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UNIDAD 1:
TRANSFERENCIA DE CALOR
Dependencia del tiempo: Estado transiente
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Química y Biotecnología
IQ46B - Operaciones de Transferencia I
Profesor: Tomás Vargas Valero
Introducción
• En general la temperatura de los cuerpos varía en función del tiempo y la posición
tzyxT ,,,
Hasta ahora considerada
despreciable
(ESTADO ESTACIONARIO)
Si consideramos variaciones de temperatura respecto al tiempo podemos tener dos casos:
Una pequeña esfera de cobre sacada del interior
de un horno (SIN VARIACIÓN ESPACIAL DE T)
Un trozo de carne siendo asada en el horno
(CON VARIACIÓN ESPACIAL DE T)
Sistema sin variación espacial
¡Generalizamos el sistema!
Sólido de forma arbitraria
En t = 0 el sólido de coloca en un medio a T
Ti < T
T = T(t)
En un diferencial dt el balance de energía será:
Energía transferida
al cuerpo en dt
= Aumento de energía
del cuerpo en dt
dTcmdtTTAh ps
, donde m = ∙V, y además dT = d(T - T)
dt
cV
Ah
TT
TTd
p
s
Sistema sin variación espacial
Entonces tendremos que:
tb
TT
TtT
i
exp
p
s
cV
Ahb
Constante de tiempo [1/s]
TtTAhtQ s
ip TtTcmtQ
ip TTcmQ max
¿Cuándo podemos aplicar este modelo?
Sistema sin variación espacial
PASO 1. Largo característico
s
cA
VL
PASO 2. Número de Biot
k
LhBi c
o también,
T
T
Lk
hBi
c
/
(convección en la superficie del cuerpo)
(conducción dentro del cuerpo) Bi = 0, aproximación perfecta
Bi < 0,1, aproximación aceptable
Ejemplo N° 1. Prediciendo su tiempo de muerte…
Sistema sin variación espacial
Una persona fue encontrada muerta a las 5 p.m. en una habitación a 20 °C. La temperatura del
cuerpo es 25 °C y el coeficiente de transferencia de calor por convección del aire se estima en
h = 8 W/m2-°C. Modelando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,7 m de largo,
estime el tiempo de muerte de la persona.
CkgJc
mkg
CmWk
p
178.4
996
617,0
3
Consideraciones:
- La persona estaba saludable al momento de morir por lo cual su temperatura corporal era
de 37 °C
- Si se considera que el ser humano está compuesto por un 72% de agua (% masa), entonces
a la temperatura promedio [(37 + 25)°C/2] las propiedades termodinámicas son:
Ejemplo N° 1. Prediciendo su tiempo de muerte…
Sistema sin variación espacial
Una persona fue encontrada muerta a las 5 p.m. en una habitación a 20 °C. La temperatura del
cuerpo es 25 °C y el coeficiente de transferencia de calor por convección del aire se estima en
h = 8 W/m2-°C. Modelando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,7 m de largo,
estime el tiempo de muerte de la persona.
mrLr
Lr
A
VL
s
c 0689,022 2
00
2
0
1,089,0
k
LhBi c
151079,2
s
cV
Ahb
p
s
tbTT
TtT
i
exp ht 2,12
¡MODELO NO APLICABLE!
Sistema con variación espacial
En t = 0 temperatura de los cuerpos igual a Ti
Pared plana Cilindro Esfera
-Se comienzan a enfriar en t = 0 (T < Ti)
-Simetría respecto a ejes vertical o centro del cuerpo
¿Qué importancia puede tener esto?
Sistema con variación espacial
Ecuaciones en derivadas parciales: resolvamos el balance para una barra de metal
0 L
T(x,t) T(x+dx,t)
Fourier
xxx dx
dT
dx
dTAkQ
A
Energía interna
dt
dTcmQ p
xAm
Sistema con variación espacial
Ecuaciones en derivadas parciales: resolvamos el balance para una barra de metal
0 L
t
Tc
x
Tk p
2
2
Extenderlo a dos o tres dimensiones es aplicar la misma metodología…
Veamos la solución de este problema para una placa plana que está
a 0 °C y se calienta en t = 0 a 100 °C (bordes a temperatura continua)
Soluciones del tipo
0
,,m
m txTtxT
Tm obtenidos con variables separables
Sistema con variación espacial
Ya se han desarrollado soluciones analíticas de los sistemas especificados…
Se definen parámetros adimensionales (pared plana, por ejemplo)
TT
TtxTtx
i
,,Temperatura adimensional
Distancia adimensional desde
el centro L
xX
Coeficiente adimensional de
transferencia de calork
LhBi
Tiempo adimensional
2L
t
Para cilindros y esferas:
Lo mismo reemplazando L
por r0
Aproximaciones para > 0,2
Sistema con variación espacial
L
xA
TT
TtxTtx
i
pared12
11 cosexp,
,
Pared plana
Cilindro
Esfera
0
10
2
11 exp,
,r
rJA
TT
TtrTtx
i
cilindro
0
1
0
1
2
11 exp,
,
r
r
r
rsen
ATT
TtrTtx
i
esfera
A1 y 1 dependen del número de Biot
J0 función de Bessel
Sistema con variación espacial
Sistema con variación espacial
1
1,0
max
1
sen
Q
Qpared
pared
Pared plana
Cilindro
Esfera
También podemos tener relaciones de calor:
1
11,0
max
21
J
Q
Qcilindro
cilindro
3
1
111,0
max
cos31
sen
Q
Qesfera
esfera
Ejemplo N° 2. Cociendo huevitos…
Sistema sin variación espacial
Un huevo se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro. Inicialmente el huevo está
a una temperatura uniforme de 5 °C y se deja caer en agua hirviendo a 95 °C. Tomando el
coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 1.200 W/m2-°C, determine cuánto
tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a 70 °C
CkgJc
mkg
CmWk
p
178.4
993
627,0
3
Consideraciones:
-Si se considera que el huevo está compuesto por un 74% de agua (% masa), entonces
a la temperatura promedio [(5+70)°C/2] las propiedades termodinámicas son:
pc
k
Ejemplo N° 2. Cociendo huevitos…
Sistema sin variación espacial
Un huevo se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro. Inicialmente el huevo está
a una temperatura uniforme de 5 °C y se deja caer en agua hirviendo a 95 °C. Tomando el
coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 1.200 W/m2-°C, determine cuánto
tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a 70 °C
8,470
k
rhBi
9958,1;0753,3 11 A
209,0exp
,, 2
11
ATT
TtrTtx
i
esfera
Mayor que 0,2 (nos salvamos…)
2
0r
t min4,14t
Pero Biot exacto es:
9,153
0
k
rhBi
¡Resultado muy similar!