apuntes de clases2 ingeniería sisimica

Silvana Cominetti

APUNTES DE LA ASIGNATURA INGENIERÍA SÍSMICA

PROFESORA: SILVANA COMINETTI

SISMOLOGÍA APLICADA A LA INGENIERÍA SÍSMICA

CAUSAS DE LOS SISMOS

PLACAS TECTÓNICAS: la tierra está cubierta por varias placas duras que interactúan generando los sismos.Estas capas tienen un espesor de 70 km. Bajo el mar y 140 km. Bajo la tierra.Las placas duras se orientan sobre placas relativamente suaves y se mueven como cuerpos rígidos

Silvana Cominetti

A menudo los sismos se generan en la zona de subducción y en las regiones donde las placas se deslizan unas contra otras.

Núcleo interno

Núcleo Externo

Manto

2900 km

6370 km

5000 km

Corteza 10 km a 150 km

Placa de Nazca

Placa Sudamericana

http://www.pbs.org/wnet/savageearth/animations/earthquakes/index.html

Tipos de Sismos:

Según Movimiento Según ProfundidadINTERPLACA SUPERFICIALES H<60kmINTRAPLACA INTERMEDIO 60<H<300 kmCORDILLERANO (MARINOS) PROFUNDO H>300 km

Subducción

Placa de Nazca

Placa Sudamericana

Costa

Andes

FALLAS: deslizamientos recíprocos de las capas de roca en un plano determinado. Según la dirección se clasifican en:.- Deslizamiento en inclinación: el deslizamiento se lleva a cabo en una dirección vertical.NORMAL: capa superior desliza hacia abajoREVERSA: capa superior desliza hacia arriba.- Deslizamiento horizontal:

IZQUIERDA

DERECHA

Silvana Cominetti

FALLA SÍSMICA: falla que aflora a la superficie. Ej.: Falla de San Andrés

Foco, Centro o Hipocentro: punto donde se origina el movimiento sísmicoEpicentro: proyección del foco sobre la superficie de la tierraDistancia focal: distancia desde el foco al punto observado del movimiento del terrenoDistancia epicentral: distancia desde el epicentro al punto observado

foco

epicentro Distancia epicentral

Distancia focal

ONDAS DE CUERPO: se propaga en un continuo infinito P: onda longitudinalS: onda de corte perpendicular a su vibración

ONDAS SÍSMICASONDA DE SUPERFICIE: se propaga en la superficie de la tierra

(sismos poco profundos) OndasL (Love) y R (Raleigh)

ESCALAS: MAGNITUD DE RICHTER (CUANTITATIVA) M = log A – log A0 A = amplitud máxima (m) en un punto a 100 km del epicentro, medida en un sismómetro tipo Wood-Anderson

INTENSIDAD DE MERCALLI MODIFICADA (CUALITATIVA)

INTENSIDAD DE MERCALLI MODIFICADA (CUALITATIVA)VALOR DESCRIPCIÓNDE LA INTENSIDADI no se percibeII percibido por personas en descansoIII se percibe en interioresIV se agitan puertas y ventanasV se percibe en exteriores. Las puertas oscilan. Personas

dormidas se despiertan. VI todos lo perciben. Caminata inestable. Platos y ventanas

se rompen.VII dificultad para estar de pie. Lo advierten quienes

manejan. Caídas de enyesado.VIII se afecta la conducción de vehículos. Daños a la

albañilería ordinariaIX pánico general. Albañilería débil destruida. Albañilería

ordinaria dañada.X generalidad de albañilería y estructura de marcos

destruidaXI rieles se tuercen. Tubería subterránea se rompeXII daño total

MEDICIÓN DE SISMOS Sismómetro: se mide el movimiento del terreno registrando las de un péndulo simple suspendido de un punto fijo.

Sismógrafo: mide desplazamientos.

Acelerógrafo de movimiento intenso: es el que se requiere para los objetivos de la ingeniería sísmica, que se interesa en los sismos fuertes.Normalmente está en reposo, hasta que se dispara cuando la aceleración del terreno supera un valor preestablecido. Mide aceleraciones.

t(seg)

us(cm/seg2)

Registro sísmico

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

frecuencia f = 1/T (ciclos/seg)período T (seg) tiempo de repetición

de un ciclofrecuencia angular = 2/T (rad/seg) = 2f

M

K

x(t)

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S es aquél que se puede expresar como:

A

t seg

T = 1/

A =t

)()(;cos)(;)( 22 txtsenAtxtAtxtAsentx

Ir a: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm

PÁGINAS INTERESANTES PARA CONOCER DE ONDAS Y M.A.S.

ECUACIONES M.A.S.videos de física interesante mecánica ondulatoria. Ecuaciones F=-kx, etc. F=maLey de Hoock, Ecuación diferencial del mas, Eergía Potencial Elástica,http://www.acienciasgalilei.com/videos/video.htmhttp://platea.pntic.mec.es/jjreal/WebQuest/m_princi.htm

descripción de propagación de una ondahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/descripcion/descripcion.html#Descripción%20de%20la%20propagación

PÉNDULO SIMPLEhttp://www.kettering.edu/~drussell/Demos/Pendulum/Pendula.html

El movimiento ondulatoriohttp://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/index.html#

http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/Prism400.html

ondas longitudinales y transversaleshttp://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm

RFRFRFFx

00

Ec. de Newton (2ª Ley)

0

KxxmxmxK

xKF

xmamF

m

m

(fuerza elástica o

fuerza de inercia - restitutiva) R F

K

K

M

M xx

x

KxR

0 DRI FFF

PRINCIPIO DE D`ALEMBERT

FI : Fuerzas de Inercia con signo contrarioFR: Fuerzas ResistentesFD: Fuerzas Disipativas

k

mT

m

k

m

kxxteníaseSAMPor

xm

kx

mxkxm

22

:...

1/0

22

M

K1

M

K2

K1 < K2 T1 > T2

M1

K

M2

KM1 > M2 T1 > T2

FLEXIBLE RÍGIDO

D´ALEMBERT

s

s

abs

abs

xMxkxM

xkxxM

xkxM

xmxkF

0)(

0

0

)()()(

)(var

txMtxktxM

txtiempoelconiableesxSi

s

ss

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DINÁMICO DE UN SISTEMA DE 1 g.d.l. SOLICITADO POR UNAACELERACIÓN DEL SUELO

)(;0

0)(

0)0()(

0)()(

0

21

21

21

021

2211

kkkxkxm

xkkxm

xkkxm

xxkkxm

kkxm

eqeq

k1 k2

m

k1 k2

x

m

k11 k22

k11 k22

xm

1 = x – x0 = x – 0 = x

2 = x – x0 = x – 0 = x1 = 2 = x

x0=0

EJEMPLO Nº 1

nteindependieldgconecuaciónxkxm

kkko

kk

kkk

xkkk

kkxx

kk

kxkxxk

xkk

kx

xkkxk

xkxkxk

xkxxk

fuerzasdeequilibrio

xkxkxm

kxm

eq

eqeq

eq

...110

111

)(

)()

)(()(

)(

)(

)(

0

0

22

2121

21

221

2122

21

222122

221

21

12122

111222

11122

12222

222

k1

m

k1

k2

x2

m

k11= k1(x1-x0) = k1x1

2xm

x0=0EJEMPLO Nº 2

k2

x1

k11= k1(x1-x0) = k1x1

k22= k2(x2-x1)

k22= k2(x2-x1)

OSCILACIONES PERIÓDICAS SIN AMORTIGUAMIENTO

KM

)(tx)(txs

t seg

M M

)(txs

t seg

k/2 k/2

k/2 k/2

)(tx)(tx )(tx

)(txs

t seg

suelodelnaceleraciótx

estructuraladedinámicolibertaddegradotx

s )(

)(

KM

)(tx

M

x0=0

)(txK )(txK

)()()(

)(

txtxtx

txM

sabs

abs

))()()(

0)())()((

0)()(

txMtxKtxM

txKtxtxM

txKtxM

s

s

abs

J

EJEMPLO Nº 3

m

k k

a

L

m

k k

a

m

aka kaka ka

Mrestitutivo

segak

mLT

mL

ak

mL

ak

mLakmL

akJ

DINÁMICOMOVIMIENTODEECUACIÓN

mLJ

polarinerciademomentoJJM

aakM

n

inercial

orestitutiv

2

2

2

22

2

2

222

2

2

22;

2

02

1/02

02

;

2

EJEMPLOS PROPUESTOS:DETERMINAR Tn

m

k

k

a1

L

m

a2

m

a

L

k x

m

a1

L

k2 x

1 2 3

k1

a2

4

k2

k1

k1m x

EJEMPLO Nº 4PÉNDULO INVERTIDO

3

3 3

3

;

L

EIk

IE

LP

PkkP

m

L ColumnaE,I

xFR xm

¿k?

m x

Determinación de k:

P=1

332

3

3

32

3

03

1/0

3

0

mL

EIT

mL

EI

xmL

EIx

mx

L

EIxm

xkxm

DINÁMICOMOVIMIENTODEECUACIÓN

n

MOMENTOS DE INERCIA POLAR DE MASAS

mr

)(

)(

)(

:

)()()(

22

``

22

``

22

``

222222

22`

yxmII

zxmII

zymII

STEINER

dmyxIzzdmzxIyydmzyI

m

Jr

mrJgiroderadiodmrJ

zzzz

yyyy

xxxx

xx

m

AA

A

A`

VARILLA

L

x

y

z2

12

1mLII zzyy

DISCO DELGADO

2

2

4

12

1

mRII

mRIJ

yyyy

xx

PARALELEPÍPEDO

2

2

22

12

112

1

)(12

1

amI

bmI

bamIJ

zz

yy

xx

CILINDRO

)3(12

12

1

22

2

LRmII

mRIJ

zzyy

xx

OSCILADOR DE 1.G.D.L. CON AMORTIGUAMIENTO

Mmxc

xk

absxm

s

abs

xmxkxcxm

xkxcxm

0

cr

ncrncr

ntDtD

C

C

críticoientoamortiguam

deteConsmCsubradicalelanulasem

C

subradicaldelcantidadladedependenquesolucionesm

c

m

cDeBeAxsolución

Dm

cDcaractecuac

xm

kx

m

cxxkxcxm

LIBRESSOSCILADORE

tan22

3

)2(

2:

0..

00

:

22

22

21

kM

)(tx)(txs

t seg

m

m

)(txs

t seg

k/2 k/2

)(tx

c c

tiempoelendecrecenquesponencialedosdesumatx

eBeAtx

D

lestructuraeréstieneno

D

D

mCCC

tttt

nn

nn

nnn

ncr

nnnn

exp)(

)(

11

int:1

1

2

11

22

2

222

22

tn

)(tx

)1()(

int:1

BeAtx

D

lestructuraeréstieneno

t

n

n

tn

)(tx

00

2

11

2

)0(;)0(;0

cos)(

)(cos)()(

)(cos)(cos)(

)(

1

)(

1

int:1

22

xxxxt

inicialesscondicionelasdedependenFyE

tiFsentEetx

tsenBAitBAetx

tisentBtisentAetx

BeAeetx

aamortiguadfrecuencia

BeAetx

iD

lestructuraeréstienesí

aat

aat

aaaat

titit

na

tittit

nn

n

n

n

aan

nnnn

00

00

000

000

00

)()(

cos)(

1)0(

)0(

coscos)(

xx

xtg

sen

xA

tsenAetx

tsenxx

txetx

i

xxFxx

xExx

tFitEsenetiFsentEetx

n

a

at

aa

na

t

a

n

aaaat

aat

n

n

n

nn

)(05,0);(02,0;1;2

2

2 hormigónaceroT

T

aa

a

aa

ta

)(tx

0x

Determinación de

Para determinar , se usa el método denominado “Decremento Logarítmico”. Se necesita conocer dos amplitudes consecutivas “oscilando libremente”.

Se define:

ta

)(tx

a

Ta

1x2x

21

2lnlnln

1

lnln

2)(2

1

12

2

1

1

1

2

1

n

nanT

Tt

t

a

t

t

Tee

e

x

x

tsenendasemáximoel

Ttt

Ae

Ae

x

x

an

an

n

n

n

0)ln(

2

1

2 2

1

x

x

OSCILACIONES FORZADAS

)(txs

t seg

m

k/2 k/2

)(tx

PARTICULARSOLUCIÓNTRANSIENTESOLUCIÓN

GENERALSOLUCIÓN

tsenxtxtxtx

m

c

txtxm

ktx

m

ctx

mtxmtxktxctxm

txktxctxtxm

suelodelnaceleraciótsenxtx

suelodelentodesplazamitsenxtx

sssnn

n

s

s

s

ssss

sss

2

0

2

2

0

0

)()(2)(

2

)()()()(

1/)()()()(

0)()())()((

)(

)(

c


0

2

222

2

2

0

2

222

2

2

0

0

00

0

00

...;

4)1(

4)1(

)()(

;

,,

)()(

s

máxP

s

n

s

n

s

máxP

s

n

s

n

ss

P

a

n

a

a

tn

H

x

xDAF

xx

tsenxtx

PARTICULARSOLUCIÓN

sen

xA

xx

xtg

xxinicialesscondicionedeA

tseneAtx

TRANSIENTESOLUCIÓN

F.A.D

1

s

n

1

0

Resonancia

RESONANCIA PUENTE TACOMAhttp://www.kettering.edu/~drussell/Demos/

TacomaNarrowsBridge.mpg


)(

4)1(

)()()()(

..

2

222

2

2

0

tsenx

tseneAtxtxtx

iaestacionarsoltransientesol

FINALMENTEESCOMPLETASOLUCIÓNLA

s

s

n

s

n

s

a

tn

PH

)(

4)1(

)()()()(

..

2

222

2

2

0

tsenx

tseneAtxtxtx

iaestacionarsoltransientesol

FINALMENTEESCOMPLETASOLUCIÓNLA

s

s

n

s

n

s

a

tn

PH

Si la solicitación del suelo es una función sinusoidal, entonces conocemos la respuesta en el tiempo de nuestro sistema de 1 g.d.l.

Si la aceleración del suelo no es una función sinusoidal, tenemos las siguientes alternativas:

ALTERNATIVA A: si la excitación es una función periódica, ésta se puede escribir como una composición de funciones sinusoidales, mediante la TRANSFORMADA DE FOURIER.


TRANSFORMADA DE FOURIER

http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/Fourier/Fourier.html


Tt

tm

Tt

tn

Tt

t

mm

nn

tdtsenmtfb

tdtntfa

tfdepromediovalordttfT

dttfa

tsenmbtnaatf

2

2

2

0

110

1

1

1

1

1

1

)(

cos)(

)()(1

)(2

cos)(

ALTERNATIVA B:

INTEGRAL DE SUPERPOSICIÓN O DE CONVOLUCIÓN O INTEGRAL DE DUHAMEL

Si la función excitatriz no es una función periódica, se determina la respuesta del sistema solicitado por esta función, la que es subdividida en una serie de IMPULSOS. Las respuestas del sistema ante los impulsos que componen la función, son finalmente superpuestos.

La respuesta del sistema del sistema ante este impulso es una respuesta en el tiempo “”


M

K

x()=x(t)

f()0=0

f()

1

d2

0=0

f()

f0

Solicitación: Impulso en 0

Respuesta del sistema, x0()ante un impulso provocado en tiempo 0

x0()=h0()

1

f()

f1


x1()=h1()

2

f()

f2

Solicitación: Impulso en 2


x2()=h2()

3

f()

f3


x3()=h3()

1

2 3

x(t)

t

f(t)

..........)()()()()( 33322211100 thfthfthfhftx

(t)

1

tsenek

thtx

UADOSUBAMORTIGCASO

atn n

21)()(

10

Respuesta a un Impulso Unitario

m

k(t)

x(t)=h(t)

t

x(t)=h(t)

t

Al aplicar un impulso en el tiempo t=, su peso será:

Su contribución a la respuesta en el tiempo t, dependeráDel tiempo transcurrido, (t-), es decir:

Respuesta a una Excitación ArbitrariaYa que el sistema que se está analizando es lineal, es posible aplicar el principiode superposición, por lo que, combinando todas las contribuciones de estos impulsos,La respuesta a la excitación arbitraria será:

INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN O DE DUHAMEL

)(ˆ fF

)()( thf

tt

dhtftxiablesdecambiohaciendoodthftx00

)()()(var,)()()(

1

0

111 )()()()(Ret

p dhtftxttónsolicitaciladurantespuesta

pt

p dhtftxttónsolicitaciladedespuésspuesta0

222 )()()()(Re

t

x(t)

t1

x(t1)

Respuesta del Sistema

f(t1)

tp

t

Solicitación

tp

t1

t2

t2

x(t2)

a

s

a

s

a

t

pat

a

t

pat

a

snn

s

x

m

xm

m

f

ttdtsenem

ftx

ttdtsenem

ftx

txxtxtx

mtxmtfkxtxctxm

p

n

n

)()()(

)()(

)(

0)()(

)(

)()(2)(

1/)()()()(

0

)(

0

)(

2

Respuesta de un sistema sometido a una aceleración del suelo

tsenm

eth

impulsounaspuesta

aa

tn

)(

:Re

)(

)(

`)`cos(`)(`0)(

)()(1

)(

0)()(1

)(

0

0

000

`

0

)(

0

)(

p

p

aa

na

tpsp

t

pat

sa

t

pat

sa

ttxx

ttxx

con

tsenxx

txetxttttxttpara

ttdtsenextx

ttdtsenextx

n

n

n

Respuesta de un sistema sometido a una aceleración del suelo

dttsenextx

esosciladordelrelativavelocidadlaLuego

LEIBNITZdt

tdatatF

dt

tdbtbtFd

dt

tFtx

dtFtx

dtsenextx

aaant

t

a

tb

ta

tb

ta

t

at

sa

n

n

)}(cos)({)(1

)(

:,

)()(

))(,()(

))(,(),(

)(

),()(

)()(1

)(

)(

0

)(

)(

)(

)(

0

)(

PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTASe conoce la respuesta de desplazamiento relativo del oscilador de 1 g.d.l.

Los máximos valores de velocidad y desplazamiento del sistema dependen del terremoto y de las características de la estructura, (Tn, )

dttsenextx

esosciladordelrelativavelocidadlaLuego

LEIBNITZdt

tdatatF

dt

tdbtbtFd

dt

tFtx

dtFtx

dtsenextx

aaant

t

a

tb

ta

tb

ta

t

at

sa

n

n

)}(cos)({)(1

)(

:,

)()(

))(,()(

))(,(),(

)(

),()(

)()(1

)(

)(

0

)(

)(

)(

)(

0

)(

a

nVnD

at

t

snV

nD

TSTS

dtsenetxAVMTS

txAVMTS

n

),(),(

)()(...),(

)(...),(

)(

0

Se define el Espectro de Respuesta de Desplazamiento Relativo a la función:

Se define el Espectro de Respuesta de Pseudo Velocidad a la función:

)()()()( tPtxktxmtxkR

)(tx

R

k

)()()()(

)()(0)()()(

txtxtPFtxm

txtxtPtxktxm

yy

y

ESPECTRO DE CAPACIDAD

),(),(),(

),(),(),(

),(

),(

),(

),(),(),(

2

2

nAnVnVnmáx

nVnV

n

nVmáx

nDmáx

máxmáx

DnnA

VnnA

n

nV

a

nVnD

TSmTSmTSmF

mkmk

mk

TSk

mk

TSk

TSkF

TSkF

xkF

xkF

STS

STS

TSTSTS

n

k/2 k/2

)(tx )(tx

)(txs

t seg

m

APLICACIÓN DEL PSEUDO ESPECTRO

)(tx

t segmáxx

CONCEPTOS

Ductilidad

Demanda de Ductilidad: lo que el terremoto va a demandar de acuerdo a un conjunto de condiciones. Es un concepto teórico. La demanda teórica es una estimación de la demanda real.

Condición que debería cumplirse:

Suministro de Ductilidad > Demanda Real

y

p

x

x

elásticoR

pxyx x

R

yR

vigcol MM 5/6

Mecanismos de Falla

Mecanismo de Falla Ideal Falla de Panel (Piso blando) hay que evitarla

Concepto “Columna Fuerte-Viga Débil”

ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS PLANOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

k1

k2

k3

k4

m1

m2

m3

m4m4

m3

m2

m1 u1

u2

u3

u4

)(txs

t seg

)(txs

t seg

u1

u2

u3

u4

GENERACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UNA ESTRUCTURA

MÉTODO DE CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

g.d.l. dinámicos “”

g.d.l. estáticos “”

k1

k2

k3

k4

1

2

3

4

1

2

3

4

2020xmarcoK

44xmarcolateralK

entosdesplazamidevectorr

rigidezdematrizK

externasfuerzasdevectorF

rKF

nx

nxn

nx

nxnxnnx

:

:

:

1

1

11

Se tiene la Ecuación General:

KK

KKPT0

En el caso sísmico las fuerzas equivalentes actúan en la dirección de los g.d.l. dinámicos. No hay fuerzas preponderantes en las otras direcciones. Se asumen iguales a 0. Por lo tanto esta expresión se puede escribir como:

)(

)(

0

1

1

1

Tcond

cond

T

TT

KKKKK

KP

KKKKP

KKKK

KKP

Se tiene entonces:

k1

k2

k3

k4

m1

m2

m3

m4m4

m3

m2

m1 x1

x2

x3

x4

)(txs

t seg

)(txs

t seg

x1

x2

x3

x4

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DINÁMICO DE UN SISTEMA DE N g.d.l.

1.- Fuerzas de Inercia

)(

)(

)(

)(

44

33

22

11

s

s

s

s

xxm

xxm

xxm

xxm

2.- Fuerzas en los Elementos Elásticos

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

x

x

x

x

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

F

F

F

F

xKF

e

e

e

e

e

3.- Fuerzas de Amortiguamiento Viscoso. En general el efecto del amortiguamiento se considera en forma implícita en los espectros. xCFa

4

3

2

1

000

000

000

000

m

m

m

m

MMatriz de Masas Concentradas

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Vectores de Desplazamientos, Velocidades y Aceleraciones

Para cada masa la suma de las fuerzas debe ser igual a cero.

Por lo tanto la Ecuación de Equilibrio Dinámico queda:

ss

s

xx

con

xMxKxCxM

1

1

1

1

1

1

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS - CASO NO AMORTIGUADO

Vibración LibreToda estructura elástica puede vibrar libremente en forma tal que el desplazamiento de cada una de sus masas con respecto a su posición de equilibrio estático es igual al producto de una función de la posición de la masa por una función del tiempo, que es la misma para todas las masas.

0 xKxM

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/vibracion_barra/vibracion_barra.htm#Modos%20normales%20de%20vibración%20de%20una%20barra%20elástica

modos de vibrar http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html

)(

.

.

)(

)(

)(;

)(

.

.

)(

)(

)(

)()(

2

1

2

1

tZ

tZ

tZ

tZ

tx

tx

tx

tx

tZtx

nn

Z no depende de t. A esta forma de vibrar se llama modos naturales. Al conjunto de valores zi se le llama forma del modo. Al período de (t), en caso de que exista, se llama período natural, Ti.

Derivando, se tiene:

y sustituyendo se llega a :

Para la masa mi, se tiene:

)()( tZtx

0)()( tZKtZM

ii

jjij

i

i

jijijiii

zm

zk

t

t

tzktzm

)(

)(

0)()()(

f(t) Indep. de t

Ambos términos deben ser constantes, pues el 1º depende de t, pero el 2º no. Si a este término se le denomina -2, se tiene:

0)()( 2 tt iii

iiT

2

0)det(0)(

0)()(

0)()(

0)(

)()(

22

2

22

MKZMK

tZKtZM

tZKtZM

tquedoconsideran

ttsenat

ii

ii

i

iiiiii

Cuya solución es (*): tsenat iii )(

i: frecuencia natural del modo i

Derivando (*), se tiene

**

rjsim

rjsiZMZ

jr

T

j

0

De aquí se obtienen las frecuencias i2, las que también reciben el nombre de

valores propios.

Al reemplazar cada valor de i2 en la ecuación **, se obtienen los Zi. Cada uno

de estos vectores se llama modo de vibración.

Para cada modo no se obtienen soluciones únicas, sino que solamente valores relativos entre las zij.

Se demuestra que los modos de vibración tienen las siguientes propiedades:

a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez

rjsim

rjsiZKZ

jjr

T

j 2

0

./

""

1

.

)()(

masaslasarc

OSNORMALIZADMODOS

dehablaseZMZSi

arbitrarioesZMZproductoEl

Zttx

j

T

j

j

T

j

jj

j

Los modos naturales constituyen un conjunto completo, lo que significa que cualquier configuración de desplazamientos x(t) puede expresarse como una combinación lineal de los Zj.

x1(t)

x2(t)

= 1(t) xZ11

Z21

MODO 1 1 MODO 2 2

Z12

Z22

+ 2(t) x

)(

)()(;

;)(

)()(

2

1

22

21

2

12

11

12

1

t

tt

Z

ZZ

Z

ZZ

tx

txtx

203875.00

040775.0

0040775.

3

2

1

m

m

m

M

EJEMPLO

m3=200(Ton)/g

k3=80 T/cm

k3

k3

3=1

k2+k3

k3

2=1

k2k1+k2

k2

1=1

33

3322

221

0

0

kk

kkkk

kkk

K

m2=400(Ton)/g

m1=400(Ton)/g

k2=200 T/cm

k1=200 T/cm

0

804203875.110

180

40775.5.355.2

05.280

40775.5

det

0)(

110

15.35.2

05.25

80

2

2

2

2

MK

K

segTseg

rady

segTseg

rady

segTseg

rady

yyy

ySea

169.0;2.1375;19.17

265.0;4.562;030.7

569.0;122;523.1

0386.184885.157751.25

80:

3233

2222

1211

23

2

321.0

804.0

0.1

969.1

853.0

0.1

:log

541.2

751.1

0.1

1

..

0

0

0

1273.55800

802545.230200

02002545.350

/122)

0)(

32

23

221

11

31

21

11

21

2

ZZ

obtieneseyconamenteanáZ

zcon

DLsistema

z

z

z

segradconi

ZMK n

Modos de Vibración:

1.0

1.751

2.541

1.0 1.0

0.853

-1.969

-0.804

0.321

MODO 1 MODO 3MODO 2

EJERCICIO:

a) Verificar la ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS c/r a la Matriz de Masas y a la Matriz de Rigidez

b) Normalizar los modos a: i

iTi

ii

T

iZ

ZMZM

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apuntes de clases2 ingeniería sisimica

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