apunte introductorio al tratamiento de imáganes para tecnología médica, mensión rayos x
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Apuntes de tratamiento de imáagnes, orientados a laaplicación de tecnología médica
Miguel Bustamante
Email: [email protected]
vie 30 de octubre de 2015
1 Miguel Bustamante
Presentación
En presente texto, es el resultado de dictar un curso de procesamiento de imágenes para
alumnos de la carrera Tecnología médica mención rayos X. La idea básica es dar una introducción al
procesamiento de imágenes y su aplicación a la imágenes de rayos X. Con este propósito, usaremos
programas de acceso libre para ilustrar y realizar los ejercicios.
Estos programas son:
• Imagej : programa libre de procesamiento de imágenes.(http://imagej.nih.gov/ij/)
• wmaxima: programa de calculo matemático de acceso libre
(http://andrejv.github.io/wxmaxima/).
• Audacity: Editor grabado de sonidos (música), de acceso libre (http://audacity.sourceforge.net/?
lang=es).
• Libreoffice , Suite para el trabajo de documento gratis (https://es.libreoffice.org/)
Se recomienda bajar estos programas. Estos programas existen para las plataformas de windows, Linux
y Mac.
2 Miguel Bustamante
IndiceApuntes de tratamiento de imáagnes, orientados a la aplicación de tecnología médica............................1Miguel Bustamante....................................................................................................................................1Email: miguelbustamante271@yahoo.com...............................................................................................1vie 30 de octubre de 2015..........................................................................................................................1Presentación...............................................................................................................................................2Álgebra de las Imágenes............................................................................................................................4Operaciones con imágenes.........................................................................................................................6
Suma......................................................................................................................................................7Suma tipo 1.......................................................................................................................................7
Resta de imágenes.................................................................................................................................8Resta tipo 1.......................................................................................................................................8Resta tipo 2.......................................................................................................................................9
Resta.........................................................................................................................................................10Resta tipo 1.....................................................................................................................................10Resta tipo 2.....................................................................................................................................10
Producto de imágenes...............................................................................................................................11Producto tipo 1................................................................................................................................11Producto tipo 2................................................................................................................................12
División de Imágenes..........................................................................................................................12División tipo 1................................................................................................................................12División tipo 2................................................................................................................................13
Operadores lógicos...................................................................................................................................13Estadística e Histograma..........................................................................................................................17Operaciones sobre el histograma.............................................................................................................22Filtros sobre las Imágenes........................................................................................................................25
Señales bidimensionales: Imágenes....................................................................................................34Filtros Espaciales lineales...............................................................................................................34Filtro espaciales no lineales............................................................................................................40
Señales Bidiomensionales: imágenes..................................................................................................43Transformada de Fourier..........................................................................................................................45
Serie de Fourier...................................................................................................................................45Ejemplo aplicado............................................................................................................................53
Transformada de Fourier.....................................................................................................................54Transformada de Fourier en Imágenes................................................................................................56
Estadística de una Imagen........................................................................................................................60Textura de una imagen....................................................................................................................61 Indice Fractal.................................................................................................................................64
3 Miguel Bustamante
Álgebra de las Imágenes
Para comenzar a presentar el tema del álgebra de las imágenes, primero debemos entender que es
una imagen para nuestros propósitos. Una imagen corresponde a una “matriz” de 512x512 ( o mas),
cuyos elementos de la matriz son números enteros de 0 a 65555 (16 bit). Pero, también podemos
pensar que las imágenes corresponde a una función bi-dimensional anotado I(x,y), donde I(x,y)
representa un número asociado a la posición (x,y); o tres valores asociado al punto (x,y), como sería
la convención RGB.
Veamos a que nos referimos: la siguiente imagen (Figura 1)
La representación una función, donde I(x,y) representa la intensidad asociado al punto (x,y) se
observa en la figura 2. En este caso, podemos decir que la mayor intensidad está asociado a un mas
claro, y las intensidades mas oscura, a valores cercanos a cero.
De la interpretación como matriz, el recuadro rojo de la figura 1, podemos despegarla como
elementos de una matriz.
4 Miguel Bustamante
Fig. 1: Imagen cotidiana
La imagen
Cada elemento de la matiz Iij es un numero, que dependiendo de las capacidades del despliegue o
la forma de almacenamiento, puede llegar hasta 64-bit; como también cada elemento de la matriz
puede tener asociado tres elementos (R,G,B) para el despliegue de los colores.
La aplicación de uno modelo de función de imagen, o como arreglo matricial va a depender del
problema que se está tratando.
5 Miguel Bustamante
Fig. 2: Representación de la función bi-dimensional de una imagen
181 191 199 182 188 185 164 190 216 253 252 251157 163 158 153 168 165 149 163 178 216 245 252152 151 151 145 140 141 150 159 148 185 215 249120 130 131 123 131 133 128 143 149 154 180 210125 128 123 117 121 119 117 128 142 149 147 172111 109 114 121 106 99 119 124 147 154 167 152108 110 103 106 104 99 113 126 149 177 195 192105 102 101 100 105 108 105 106 127 175 225 240102 104 102 96 104 109 93 103 107 143 215 248104 101 101 102 101 97 106 109 112 119 165 219105 114 99 107 109 100 105 106 129 132 165 207113 124 101 97 108 101 104 104 112 133 174 206114 107 109 97 106 106 115 107 102 122 149 203115 100 108 112 107 111 107 99 111 118 145 190119 111 102 114 107 109 101 106 110 118 139 184110 108 105 113 118 111 127 136 132 115 138 15299 109 108 106 115 128 162 170 169 164 157 172
108 106 111 111 124 140 161 190 226 211 189 187111 105 119 121 106 135 143 192 230 226 214 227125 124 112 119 140 144 158 178 205 229 216 228
Iij=
Operaciones con imágenes.
Ahora, sabiendo los tipos de elementos con las que trabajaremos, vamos a definir ciertas
operaciones básicas entre las imágenes I1 e I2.
La primera operación que utilizaremos en la suma.
6 Miguel Bustamante
Fig. 3: Imagen I1
Fig. 4: Imagen I2
Suma
La suma entre imágenes es simple en la definción. La suma de dos imágenes forma una
tercera imagen de acuerdo a la igualdad:
Is (x , y )=I1(x , y)+ I2(x , y )
cada elemento de la función (o de la matriz) se suma para formar la imagen resultante. En el caso
del programa Imagej[imagej], tiene dos formas de suma.
Suma tipo 1
Cuando en el programa se suma, se la opción de crear una imagen de 32-bit. La imagen inicial
son de 8-bit. El resultado es una imagen con mayor información, ya que los valores se suman en
forma natural y el despliegue se arregla de modo que el máximo corresponda al tono de 0 (negro) y
el mínimo a 255 (blanco) figura 5.Suma tipo 2
En la suma tipo de 2, se desactiva el modo de creación de un imagen de 32 bit., de modo que si la
suma es mayor que 255, el pixel resultante se asocia el valor 255. El resultado que se obtiene se
aprecia en la figura
7 Miguel Bustamante
Fig. 5: Resultado de la suma de I1 e I2, respetando la suma
Como se observa, la suma puede tener sus variantes y se debe tener calro la forma de operar con
esta herramienta ya que podemos perder información que buscamos.
Resta de imágenes
Vamos a proceder a restar las imágenes I1 menos I2. Esta operación, al igual que la anterior,
también presenta dos posibilidades, como en la suma.
Resta tipo 1
Cuando se resta, con la opción de los 32.bit activado, se crea la siguiente figura.
8 Miguel Bustamante
Fig. 6: Resultado de la suma tipo 2 de I1 e I2.
En esta operación se respeta la operación usual de resta, es decir cuando se resta 0-255 se genera un valor de -255, que sería el negro, el cero corresponde al tono de 125 y el blanco a color 255, es decir serescala para desplegar la información generada algebraicamente.
Resta tipo 2
Desactivando la opción de 32-bit, todo lo menor a cero queda en el color cero, y todo lo mayor a 255 a 255. como resultado se observa en la figura 8
La operación Resta
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Fig. 7: Operación de resta de i1 menos i2, de forma tipo 1
Fig. 8: Resta de I1 menos I2, de la forma tipo 2
RestaEn este caso, la imagen resultante es I( x , y)=I1(x , y )−I2(x , y ) , la aplicación cotidiana de
la operación. Sin embargo, en el Imagej, se puede activar la opción de la generación de una imagen dede 32-bit.. Esto genera dos tipo de operación resta, como la anterior.
Resta tipo 1
La activación de la opción de 32-bit, genera la figura 9. Como resultado tieme la misma acción del la suma tipo 1, donde el valor -255 se asocia al negro y el 255 al blanco.
Resta tipo 2
Al desactivar la opción de 32-bit, la figura 10 es el resultado de esta operación. En este tipo de operación, lo menro a 0 es cero y lo mayor a 255 es 255.
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Fig. 9: Resultado de la resat de I1 menos I2, cpn la opción de los32-bit activado
Producto de imágenesEn este tipo de operación la imagen resultante, o mejor dicho el valor de la intensidad asociado
al punto (x,y) es I ( x , y)=I1(x , y ) I2(x , y) , el producto convencional de numeros. Sin embargo, como lo naterior, tenemos dos tipo de resultados: con la posibilidad de 32-bit o sin la posibilidad de los 32-bit.
Producto tipo 1
Con la activación de los 32 bit, se genera una imagen cuyo máximo valor es 255x255=65025, ycomo mínimo 0. Este despliegue se arregla para que el máximo valor sea cero y el mínimo negro (Figura 11).
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Fig. 10: Resultado de la operación I1 menos I2, sin la opción de 32-bit activado
Producto tipo 2
En el caso tipo 2, sin la opción de 32 bit, el máximo valor es 255 y el mínimo y se observa el mismo resultado de la figura 11, pero con menos información.
División de Imágenes
Al igual que antes, hay dos tipos de resultado, con 32 -bit y son 32-Bit
División tipo 1
La imagen resultante es I(x,y)=I1(x,y)/I2(x,y), y se divide como numero reales.
Al habilitar los 32-bit, algunos resultado pueden dar inf, divido por cero. Pero se despliega de color blanco, y cero negro (Figura 12).
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Fig. 11: Producto de i1 por I2, con la opción de 32 activado
División tipo 2.
En este caso, el infinito se reemplaza por 255 (blanco) y el 0 por negro, observando la misma imagen de la figura 12. Es sólo una representación, ya que el calculo de 32-bit tiene mas información.
Operadores lógicosAhora vamos a abordar otro tipo de operaciones, que son las operaciones lógicas. Para entender estas operaciones, debemos construir las tablas de verdad del álgebra booleana. En el álgebra de Boole, existe básicamente dos elementos 0 y 1 (Falso=0 o Verdadero=1). Dentro de este conjunto se pueden definir ciertas operaciones , como las operaciones de suma, resta, etc. en particular las operaciones lógicas.
Las operaciones lógicas son: AND, OR, XOR.
Para ver como “operan” estas funciones, se debe construir las tablas de verdad, que son tablas que muestran los resultados al combinar los elementos 0 y 1.
La operación AND tiene la tabla asociada
La operación OR tiene la tabla asociada
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Fig. 12: imagen de las división I1/I2, con la opción de los 32-bit
Tabla 1: tabla del operador AND (o Y)
AND 0 10 FALSO FALSO1 FALSO VERDADERO
y la tabla de verdad del operador XOR.
Pero , ¿cómo operamos las imágenes, con estas operaciones lógicas?.
La posición de las imágenes (x,y) generalmente son número enteros positivos, como lo es la intensidad I(x,y) asociado al punto. La intensidad, puede ser un número de 2 bit (binario), 4 bit, 16 bit, 32 bit, 64 bit, 128 bit, etc.
Concentrémonos en una imagen de 16 bit. Esta imagen tiene como valor máximo 65535, tomando como color el 0. El numero 65535 se puede expresar como un código binario.
Veamos un ejemplo. Escribamos los número enteros en la base binaria
Numero Entero Binario
0 0 0
1 1x20 1
2 1x21+0x20 10
3 1x21+1x21 11
4 1x22+0x21+0x20 100
5 1x22+0x21+1x20 101
6 1x22+1x21+0x20 110
7 1x22+1x21+1x20 111
Todos estos numero enteros se pueden escribir en un código binario. Los coeficientes de las potencias de 2 son la clave para entender la base en que se escriben los números binario o su interpretación.
Veamos ahora, como operamos con estos operadores lógicos
Supongamos el número 165 y se quiere operar lógicamente con el número 55. Escribamos estos números en código binario: 165 = 10100101 y 55= 00110111. como vemos, están escrito en la misma base y en código binario. Realicemos el operador AND entre estos números.
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Tabla 2: Tabla del operador or (u O)
0 10 FALSO VERDADERO1 VERDADERO VERDADERO
or
Tabla 3: Tabla del operador XOR, u O excluyente
XOR 0 10 FALSO VERDADERO1 VERDADERO FALSO
10100101
AND
00110111
00100101
Cada elemento del numero binario del primer número (165) se opera con el mismo sitio del otronúmero del otro número (55). Aplicando la tabla de verdad 1. da el resultado expuesto en la tabla. Elresultado corresponde al numero entero 37. De igual manera, se opera sobre la tablas de operadoreslógicos.
Veamos aplicado a una imagen y operar con otra imagen .
El resultado de operar con el operador lógico AND da
En la siguiente tabla se muestra los resultados con los distintos operadores (Tabla 4).
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Operador Lógico Resultados
AND
OR
XOR
Tabla 4: Resultados de los operadores lógicos
Como vemos, los distintos operadores tienen distintos resultados.
Cada operación visto en este capítulo puede tener o tiene una aplicación para obtener información de un proceso de adquisición o de una imagen. Todo depende de las operaciones que hacemos para obtener esa información.
Estas operaciones, no son las únicas. Usted puede definir tantas operaciones como quiera. Lo importante el propósito de la operación, que tipo de información va obtener de este.
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Estadística e Histograma.
En general, cuando se trabaja con imágenes del tipo clínico, un índice que se usa mucho es el término contraste. En el mundo de las imágenes, es la diferencia entre la luminosidad mayor con la
luminosidad menor, dividido por el promedio. C=Lmax−Lmin
Lmedia
. Sin embargo hay otras definiciones
de contraste, como C=Lmax−Lmin
Lmax+ Lmin
[Contartste]. Esto implica que se redefine los parámetro
extremos en una imagen, cuando se cambia el contraste, cambiando el brillo máximo y mínimo.
.
Veamos en la figura 14. La imagen a) es la imagen original, y la b) es con el constrate modificado. Fíjese en los valores de los máximo y mínimo de la figura 14.b; cambian, son distintos. Es decir, la intensidad 255 presente en la imagen original se redefine como 197 en la nueva imagen, al igual que elmínimo que de cero es 39. Básicamente, ese un cambio de contraste. Pero esta no es la única operación que sirve para cambiar los “tonos” o colores en la imagen.
Antes de ver estos nuevas operaciones, debemos conocer un forma de representar la frecuencia en que se repite los colores. Esta representación se denomina histograma, y básicamente corresponde a una tabla de frecuencia de cada color (o tono) que compone una imagen.
Supongamos que tenemos la imagen 13 de 256 tonos de grises.
El histograma asociado a esta imagen en la figura 15
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Fig. 13
18 Miguel BustamanteFig. 14: a) Imagen original, b) imagen con diferente contrate
De la figura 15, podemos notar que el color que mas se repite es el 66 (moda, 7811 cuentas), pero el color promedio es 83 con una desviación estándar de 14.
El histograma tiene mas información de lo podemos ver. Un objeto dentro de la imagen está compuesto por cierto niveles de grises, que contrasta con el fondo circundante. Cada pixel de ese objetotiene un tono (o color ) distintos que el entorno, de lo contrario se confundiría. Si contamos el número de pixeles que componen este objeto en la imagen, podemos calcular el área del objeto en términos de pixeles o de unidades de área (1 pixel es a a mm2).
Veamos una aplicación.
Tenemos una imagen de rayos x de una cuña e Cobre.
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Fig. 15: Histograma
0 50 100 150 200 250 3000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Histograma
Tono 0-255
Fre
cue
nci
a
En este caso, entre mas grueso la cuña, mas claro es el tono asociado a la cuña. Veamos ahora el histograma de esta imagen.
El color en torno a 50 es el mayor ya que corresponde al fondo, y 255 es el color blanco.
Los otros máximos son las intensidades de los escalones: en entorno a 100 corresponde al primer escalón, el entorno a 130 al segundo y así sucesivamente. Si calcúlanos el área bajo una curva de un escalón, esta área corresponde al área que sustenta esas intensidades; si calculamos la curva del primer escalón, será el área de ese escalón.
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Fig. 16: Radiografía de una cuña de cobre con distintos espesores
Fig. 17: Histograma de la cuña. 255 blanco y 0 negro
En esta linea, el área del histograma corresponde al área de la imagen. Es decir, el área del objeto dentro de la imagen se puede escribir como
A=∑c i
c f
H i→ A=∫c i
c f
H (c )dc
o en su expresión equivalente H=d Adc
21 Miguel Bustamante
Operaciones sobre el histogramaExisten otras operaciones que se pueden hacer sobre una imagen, que afecten el contraste, pero
no que sea un cambio de contraste.
La imagen 16 tiene asociado el histograma 17. Vamos a cambiar operando sobre los colores.
Vamos a realizar el siguiente cambio en los tonos Ip=I 2
255, donde Ip representa el color de la nueva
imagen (figura 18). La expresión anterior señala que el color 255 en la imagen I corresponde al 255 en la imagen Ip, pero el 200 en el I, corresponde a 157, y el 150 al 88, etc. cambiando el contraste de la imagen.
Veamos la imagen resultante
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Fig. 19: Nueva imagen, cambiando el histograma
Fig. 18: Grafico del cambio de color aplicado a las imagenes
El histograma asociado a esta imagen se observa en la figura 20. Nótese el cambio en los tonos de 0 al 100. En el nuevo histograma se desplazan a hacia el cero.
Pero este no es el la única acción posible. Supongamos a hora la siguiente operación en los tonosCp=√C √255 . La nueva imagen se observa en la figura 22 y el histograma comparado con la
imagen original se observa en la figura 21. En este caso, la imagen se ha aclarado, ya que los tonos oscuros se desplazan hacia la zona de colores claros.
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Fig. 20: Histograma modificado y original
Fig. 22: Cambio de color, operación raíz de color Fig. 21: Histograma original y modificado, con una nueva
función
Se pueden inventar nuevas forma de operaciones sobre estas imágenes. Veamos un nuevo ejemplo.
Supongamos que la nueva conversión (operación) viene descrita por la función Cp=(C2
100C<C0
C C⩾C0)
Supongamos que C0=150, la nueva imagen se observa en la figura 23.
Si se mira bien, el histograma (figura 24), a partir de la intensidad 150 coinciden, tal que como se predecía la fórmula.
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Fig. 23: Figura resultante de la operación
Fig. 24: Histograma original, e histograma con el cambio
Filtros sobre las Imágenes
Primera parte: Señales unidimensionales.
Estamos entrando a una contenido muy aplicado en el tratamiento de imágenes: el uso de losfiltros digitales. Pero en este capítulo, vamos a estudiar los filtros en el espacio de la imágenes. Paraentender eso, debemos presentar una operación muy interesante sobre una “señal”, la operación deconvolución.
Formalmente , si tengo una señal h(t) y la convolución con una señal g(t) el producto deconvolución se define de estas “señales” es:
Ecu 1
Esta es la definición formal de la convolución. Un ejemplo gráfico de la señal es la que se observa enla figura 25
La señal resultante, es la que aparece en negro. Se que esto no es claro, pero vamos a ir paso a paso enla aplicación de modo que cada ejemplo, nos ilustre de su aplicación.
Para nuestros efectos prácticos, con señales digitales la definición de la convolución, dada por laecuación 1, se transforma en la siguiente expresión:
h[i]: Señal discreta de indice i
g[i]: Señal discreta de indice i.
Ecu 2
donde n es un indice que se que está contenido en el dominio de las funciones. Es necesario hacer notarque el resultado de esta operación es otra señal, y que en este caso, son señales unidimensionales.
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Fig. 25: Señales en un proceso de convolución
h( t)∗g (t)=∫ h(τ) g (τ−t )d τ
h [i ]∗g [i ]=∑n
h [n] g [ i−n]
Ejemplo:
Supongamos que la señal g[i], viene dado por la siguiente expresión
g [ i ]={0, i<−2
i+2,−2<i<02−i ,0<i<2
0, i>2}
La representación de esta señal, se observe en la figura 26
LA señal h[i], la vamos a definir igual que g[i], es decir vamos a hacer una convolución con si mismah[i]=g[i]*g[i]. Aplicamos la definición, con -5<n<5.
Por ejemplo
h[-1]=g[-5]g[-6]+g[-4]g[-6]+g[-3]g[-5]+g[-2]g[-4]+...+g[5][-4]
y se aplica por cada punto. Una nueva señal se obtiene, y depende del tipo función que estamosusando. En rigor, cuando trabajamos con señales discretas, existe una señal principal y que seconvoluciona con otra señal, pero en un número finito de valores, como se observa en la expesiónanterior. Supongamos que tenemos una señal unidimensional h[i], y se quiere operar convolucionar con
g[i]=[1,1,4,1,1], 5 elementos
Supongamos que tenemos la señal h[i], como en la figura
26 Miguel Bustamante
Fig. 26: g[i]
-15 -10 -5 0 5 10 150
0,5
1
1,5
2
2,5
g[i]
i
g [ i ]∗g [ i ]=∑n
g [n] g [i−n]=g [−5] g [i−5]+g [−4 ] g [i−4]+...+g [0] g [i ]+ ...g [5] g [i−5]
Vease que la señal inicial tiene mucho “ruido1”. Cuando se aplica la convolución, la señal cambia y eneste caso, tiene menos ruido. Pero también podemos cambiar la acción de g[i]=[1,-24,-2,1]
1 Variación de la señal con respecto del promedio
27 Miguel Bustamante
Fig. 27: Señal h[i] y su convolución
0 20 40 60 80 100 120 140
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Señal original y su convolución
h[i]
convolucion
INDICE I
Como se aprecia la nueva señal, es distinta, tiene mas ruido que la anterior. De hecho, podemos hacermas aplicaciones, y sólo depende del los valor de g[i].
Esto opera, de la siguiente forma:
Cada elemento del operador g[i] se multiplica por un dato de la señal h[j], es decir
g[1]*h[1]+g[2]*h[2]+...g[5]*h[5], y eso genera el valor asociado a h[3].
Posteriormente se corre una casilla y se procede igual para generar el valor asociado a h[4].Obviamente una nueva señal sale de este procedimiento.
Se repite por toda la señal h[i], dando cuenta de una nueva señal.
28 Miguel Bustamante
Fig. 28: Convolución de h[i] con g[i]=[1,-2,4,-2,1]
0 20 40 60 80 100 120 140
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Señal original y su convolución
h[i]
convolucion
INDICE I
H[1] h[2] h[3] …. h[N]
g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]
g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]
H[1] h[2] h[3] …. h[N]
g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]
H[1] h[2] h[3] …. h[N]
g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]
Lo mas interesante de este procedimiento es que la acción de g[i] depende de los valores y la cantidadde los elementos. Veamos un ejemplo
El siguiente gráfico, corresponde al nivel de marea de una sonda en Chanaral [SEALEVWEL].(http://www.ioc-sealevelmonitoring.org/station.php?code=chnr,) el dia 2013-06-11 a las 11:42:00.29.
La linea en verde, corresponde a tomar 3vecinos H[i-1],H[i],H[i+1], multiplicados por 1/3, cadauno. Como se ve en la figura 29, es mas suave que la variación de puntos. Pero comparado con la lineaazul, de 6 vecinos, esta última es mas suave aún. Entre mas es la cantidad de elementos H[i], se suavizala curva. Este es un ejemplo de suavizado de curva, pero no es el único.
Supongamos, ahora que se quiere dar mas peso ponderado a los puntos mas extremos; es decir,H[i-1] tenga mayor relevancia en el calculo que H[i]. Por ejemplo g[1]= 2/5, g[2]=1/5 y g[3]=2/5.
Veamos una el efecto en los datos figura 30
29 Miguel Bustamante
Fig. 29: Marea en el tiempo (cada minuto)
Fig. 30: Datos, con mayor ponderación en los extremos
En una acercamiento a la zona rectangular, se observa que una variación con respecto a losanteriores figura. 31
Aunque es mas suave, tiene variaciones mayores que el anterior. Sugiero que haga usted con 5elementos y probar los resultados. Con distintos valores de los elementos de g[i].
Pero este comportamiento, puede cambiar radicalmente. Supongamos que g[1]=1, g[2]=0 y g[3]=-1.
Vea el resultado:
30 Miguel Bustamante
Fig. 31: Acercamiento de datos y suavizado
Vea la señal procesada que esta en torno de cero, y alejada de la señal original. En un acercamiento ala señal obtenida se observa una variación en torno al cero figura. 33.
31 Miguel Bustamante
Fig. 32: Señal original y procesada
Lo se ha calculado, corresponde a la “derivada” de la señal. Cuando una señal es constante, laderivada es cero, no cambia. En este caso, hay mucho “ruido” y la operación destaca este ruido, peroborra las “componentes constante” de la señal.
Supongamos que tenemos la siguiente señal.
32 Miguel Bustamante
Fig. 33: Acercamiento de la señal obtenida
Si aplicamos la derivada, como antes, se obtiene el siguiente gráfico
Este tipo de operaciones, destaca los cambios brusco de intensidad. Por ejemplo, podría servirpara detectar el cambio de una señal.
Podemos aplicar otro tipo de operación, que también detecta los cambios. Supongamos que la señaldiscreta, se opera como: (f i+ 1+ f i−1−2f i)/2
El figura que se obtiene es:
33 Miguel Bustamante
Fig. 34: Función signo en forma discreta
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Función signo
Discreto
Fig. 35: Derivada de la señal signo
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,00
2
4
6
8
10
12
Derivada discreta de la función signo
Vemos en la figura 36, que el cambio en la señal se produce justo donde hay un cambio bruscode la intensidad en la señal original (fig. 34), igual que la figura 35
Estas operaciones son algunas formas de detectar cambio brusco de intensidad, o bordes de unaseñal.
Señales bidimensionales: Imágenes
Filtros Espaciales lineales
Apliquemos la forma de operar a una señal bidimensional: imagen. Anotamos una elemento de una imagen en mono cromática como Iij (intensidad) que es el elemento i, j de la imagen.
Supongamos que tenemos la figura 37.
34 Miguel Bustamante
Fig. 36: Segunda derivada de la señal
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
-15
-10
-5
0
5
10
15
Segunda deriavada discreta
Vamos a generar una nueva imagen K ij , basado en la siguiente definición
Ecu 3: Filtro sobre una imagen I
corresponde a un promedio ponderado de los elementos en torno de Iij
Esta imagen, es un poco menos ruidosa que la anterior. Pero igual mantiene ruido. Lo que hace
35 Miguel Bustamante
Fig. 37: Imagen con ruido
Fig. 38: Imagen resultante, de la operación anterior
K ij=I i−1 j∗1+ I i+1 j∗1+ I ij∗2+ I i j−1∗1+ I i j+ 1∗1
6
este filtro es promediar la intensidades en torno al punto (i,j).
Sin embargo, se puede agrandar la acción del filtro. Supongamos que ahora, sacamos elpromedio de las intensidades de todos los vecinos correspondiente a una matriz de 9x9 en torno delpixel (i,j). el resultados se observa
como se observa, en la figura 39, los bordes son mas borrosos que los anteriores, hay menos nitidez,pero hay menos ruido también. Esto es característico de este tipo de filtro, que promedia lasintensidades. Sin embargo, la acción depende del tamaño de la región del calculo.
Una operación interesante, es poder restar la imagen 37 y la imagen 39. la imagen que seobtiene es sustraer las diferencias entre la original, y la suavizada.
36 Miguel Bustamante
Fig. 39: Resultado de un promedio de 9x9 elementos en torno del punto i,j
Fig. 40: Resultado de una resta de imágenes
Como vemos, la imagen resultante destaca los bordes del objeto.
Los resultados de este tipo de operaciones, depende de los coeficiente que multiplican los elementosvecinos del punto i,j. La ecuación 3, se puede escribir como una multiplicación de matrices
Ecu 4: Representación matricial de la convolucioón
Cada elemento Kij, es el producto de la matriz centrada en I ij, por la matriz “convolución”. Esta matrizconvolución se va moviéndose por todos los puntos i,j de la imagen I, para que calcule la nueva imagenK. Sin embargo, el resultados K, depende de los coeficientes de la matriz convolución. Veamos esto enun ejemplo:
Supongamos que tenemos la imagen I
Vamos a aplicar a esta imagen la matriz de convolución de la ecuación 3.
El resultados que con este “filtro” se observa en la figura 42
37 Miguel Bustamante
Fig. 41: Imagen I
K ij=(I i−1 j−1 I i j−1 Ii+1 j−1
I i−1 j Iij I i+1 j
I i−1 j+1 I i−1 j+1 I i+1 j+1)(
0 1 01 2 10 1 0) 1
6
Vamos a aplicar, con una nueva matriz (0 1 0
−1 2 10 −1 0) 1
2, cuyo resultados es:
38 Miguel Bustamante
Fig. 42: Resultado de la imagen I,
Fig. 43: Resultado, con la nueva matriz
Hagamos un cambio, aún mas dramático. Definimos la nueva matriz como: (−1 0 1−1 0 1−1 2 1)
12
obteniendo la nueva imagen:
Como se observa, los coeficiente de la matriz convolución cambia el modo de trabajo, de modo quetenemos distintos resultados. Vamos a llamar “filtro” a esta matriz.
Supongamos que la matriz es (−1 0 1−1 0 1−1 0 1) , el resultados es:
Este filtro resalta los bordes de un cambio brusco de intensidad. Cuando esto ocurre, se dice
39 Miguel Bustamante
Fig. 44: Imagen resultante
Fig. 45: Imagen resultante. Nótese como los bordes se resaltan
que es un filtro asa alto: resalta los cambio en la señal.
Existe otros tipo de filtro que también, resalta los cambio brusco de intensidad. Probemos lasiguiente matriz:
(0 1 01 −4 10 1 0) ,
El resultado se observa en la figura 46.
Este tipo de filtro, da como resultado mucho ruido , no tanto los bordes del hueso. Sin embargo,también se puede aplicar para resaltar los cambios de intensidad.
Todos estos filtros que operar con una matriz asociada, operar de igual forma en todos lospuntos de la imagen, es decir en cada pixel i,j de la imagen. Este tipo de filtro que se aplica en elespacio de la imagen se llaman lineales. Su acción no depende la posición del punto i,j.
Filtro espaciales no lineales
Todos los filtros visto anteriomente, se comportan linealmente: su acción es la misma no importando la ubicación. Los filtros lineales cumple con la condición
Ecu 5
donde y son números escalares.
40 Miguel Bustamante
F(α I(x 1, y1)+β I (x 2, y2))=α F( I (x 1, y 1))+βF ( I( x2, y2))
Fig. 46: Imagen resultante del filtro Laplaciano
Supongamos que tenemos una señal en una dimensión dada por el vector h[i]. Aplicamos la siguiente acción F() sobre la señal h[i],
hn[ i ]=F (h [i ])=√h[i−1]
2+2h [i+1]
2
√3
El resultado de la aplicación, se aprecia en la figura.
Verifiquemos si se cumple ala igualdad en la ecuación 5.
F(h[ i]+h[ j ])=√(h [i−1]+h[ j−1])2+2(h [i+1]+h [ j+1])
2
√3
Ahora
41 Miguel Bustamante
Fig. 47: Señal original y la aplcaición del filtro no lienal
F [h [i ]]=√h [i−1]
2+2h [i+1]
2
√3 y F [h [ j ]]=
√h[ j−1]2+2h [ j+1]
2
√3
y como podemos ver F(h[i]+h[j]) ≠ F(h[i])+F(h[j]).
Veamos otro filtro nolineal. Definamos sobre la señal h[i], el filtro G[h[i]], como
G [h[ i ]]=[h [i ]2+h [i−1]2
h [i ]2+h [i+1]2 ]h[ i ]
Es calro que es no lienal (probar si cumple o no la igualdad 5) El efecton s obre los datos se aprecia enla figura 48
El filtro G, aumenta la diferencia con la señal, pero sigue la tedencia de esta.
42 Miguel Bustamante
Fig. 48: Accion de los filtro F y G, no lineal
Señales Bidiomensionales: imágenes
En el caso de las imágenes, un filtro no lineal es el filtro mediana. En una matriz (kernel), setoma el valor del medio de la secuencia. Es decir, si tengo la siguiente secuencia de datos 1,3,6,7,5; elvalor de la mediana de este filtro es el 6. Si tengo la secuencia 1,7,3,4,5; le mediana es 3. Esto influyeen el resultado de la imagen. Como se observa en la figura 49, la imagen resultante es mas borrosoque la oiriginal, perdiendo detalles. No confunda con la acción del promedio, ya que no calcula elvalor promedio de los valores de las intensidades, si no toma el valor de la intensidad en la secuenciaque esta justo en el medio.
Obviamente, no es el único filtro. También esta el filtro Max (maximo) que busca el valor máximo dela intesidad en un arreglo (figura 50). También el valor mínimo (Min), idem lo anterior, pero es elmínimo (figura 51).
43 Miguel Bustamante
Fig. 49: Imagenes, con original y con el filtro mediana
Fig. 50: Imagen obtenida con el filtro de máximo
Fig. 51: Imagen, obtenida con el filtro mínimo
El uso de estos tipo de filtro depende del t upo de problema, y la información que buscamos.
44 Miguel Bustamante
Transformada de FourierPara poder a entender lo que es la transformada de Fourier, primero de vemos ver lo que es la serie deFourier.
Serie de Fourier
Este tipo de matemática, se aplica cuando una señal tiene una periodicidad T, es decir f(t+T)=f(t). Porejemplo, los latidos cardíacos, la respiración, la rotación de la Tierra.
Para nuestro interés, vamos a trabajar con señales que tienen periodo T, es decir
Un teorema de Fourier, consiste es que cualquier función periódica se puede escribir como unacombinación lineal de la funciones (1, sin(wi t), cos(wi t)), con wi=2/T i, donde i es un indice que vadesde i =0 hasta el infinito. En otra forma de espresar esta afirmación es
f (t)=a0
2+∑
i=0
(ai cos(wi t)+bi sin(wi t))
con a0=2T∫0
T
f (t)dt , ai=1T∫0
T
f (t)cos(wi t)dt y bi=1T∫0
T
f (t)sin(w i t )dt .
45 Miguel Bustamante
Fig. 52: Función periodica, con periodo T=6,2
T
Veamos un ejemplo de serie periódica, y el calculo de los coeficiente a0, ai y bi.
Supongamos que tenemos la función f(t) definida como f (t)=t , −π<t<π , con periodo 2.
La imagem de la función f(t) se aprecia en la figura 53.
Calculemos los coeficientes de Fourier de esta serie:
• a0=2T∫0
T
f (t)dt=2
2π∫−π
π
t dt=0
• ai=1T∫0
T
f (t)sin(wi t )dt=1
2π∫−π
π
t sin(wi t)=(−1)i+1 2
i
• bi=1T∫0
T
f (t)cos(wi t)dt=1
2 π∫−π
π
t cos (w i t )dt=0 .
Según estos, resultados, la serie de Fourier de la función f(t) es f (t)=∑i=1
(−1)i+ 1 2i
sin(wi t) , con
w i=2 π
2 πi=i . Veamos la representación gráfica de la serie de f(t).
46 Miguel Bustamante
Fig. 53: Función f(t), con periodo 2
Fig. 54: Serie de Fourier G(t), y la señal original f(t)
Entre mas términos tenga la serie mejor se aproxima a la señal original.
Veamos otro ejemplo de esto. Supongamos que la señal periódica viene descrita por la expresión
Ecu 6. Veamos la representación gráfica de esta función.
El periodo de función (o señal) es . Calculemos los coeficientes de Fourier de esta señal:
• a0=π
2
3
• ai=(−1)i 4
i2
• bi=0
La representación gráfica de esta serie se observa como
47 Miguel Bustamante
Fig. 55: Representación de la función f(t) en 6
f (x)=x2, 0<x<π
Vemos que podemos escribir funciones periódicas. Pero que pasa si cortamos la serie en un numerofinito de terminos, es decir n=3, o n=5.
Como vemos entre mas términos se aproxima mejor a la señal. Veamos otro ejemplo.
Supongamos que tenemos la siguiente señal:
48 Miguel Bustamante
Fig. 56: Serie de Fourier, f(x)=x2
Fig. 57: Serie de Fourier, con distinto numero de términos; n=3, 5 y 25
Ecu 7
con T=1.
La serie de Fourier asociada a esta señal f (t)=4π [∑
i=1
∞ sin (π x i )
2i−1 ] , dando cuenta de la forma
Definamos el siguiente parámetro. c i=√ai+b i . Grafiquemos el termino Ci, en función w i=2 π
Ti .
49 Miguel Bustamante
Fig. 58: Señal f(t)
f(t)
Ecu 8: Forma de la señal H, con 2 miembros de la serie y func2 con 20 términos
f (t)={−1 −T /2<t <01 0<t <T /2 }
Este gráfico Ci representa el coeficiente asociado a la frecuencia w(i). Lo importante de este gráficoes que se aprecia que las frecuencias mas bajas son los contribuyen a la forma gruesa de la señal. Lasfrecuencias superiores, (altas) dan la forma detalle de la señal. Entre mas frecuencias altas mayor es lapresición de la señal, como se aprecia en la figura 57.
Pero, ¿que pasa si modificamos las amplitudes de la serie en función de w?
Supongamos que la función moduladora viene descrito por K (w ,w0):=e−(w i−w0)
2
20 .
g(t)=4π [∑
i=1
∞
K (w i ,w0)sin (π x i )
2 i−1 ] , con w0=3. Veamos como queda esta señal, cuando
comparamos f(t) y g(t) con N=20 términos.
50 Miguel Bustamante
Fig. 59: Coeficiente C(i) en función w(i)
0 10 20 30 40 50 60 700
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Coeficiente C(i)
Señal f(t)
wi
C(i
)
Como vemos de la señal resultante, ciertas coeficientes sobreviven o son modificados para generaruna nueva señal con las nuevas amplitudes. Pero si cambiamos la forma de modificar las amplitudes,podemos tener una nueva señal. Supongamos que K (w i , w0)=e−|w i−w0|0.04 , y obtenemos la señal
La señal F es la modificada es suave comparada con la señal H, ya que el operador K resalta las“frecuencias” bajas con respecto a las altas que dan los detalles de la forma. Supongamos que
K (w i , w0)=1−e−|w i−w0|0.04 . La nueva señal es
51 Miguel Bustamante
Fig. 60: Señal F, original con 20 términos y H con el operador con 20 términos
Fig. 61: Señal Original F, y señal H con el nuevo operador.
Como podemos ver en la figura 62, la señal resultante tiene frecuencias de mayor frecuencia,comparado con la figura 61. El operador K se comporta como un “filtro”, un seleccionador defrecuencias que modifica la amplitud asociada a la frecuencia wi. Por lo observado, el operador(filtro) K puede seleccionar las frecuencias que resulten de la forma analítica. A grandes rasfgos,podemos decir que existe filtros:
• Pasa bajo
• pasa medio
• Pasa alto.
La amplitud original, con las amplitudes modificadas de acuerdo a los filtro “pasa bajo” y“pasa alto”. La representación de la figura 63 se denomina espectro de Fourier. Muestra la amplitudasociada a cada frecuencia de la señal, y la modificación de la señal por medio de los filtros.
52 Miguel Bustamante
Fig. 62: Señal F original, y la señal resultante H
Fig. 63: Amplitud original, con amplitudes modificadas de acuerdo a los filtros.
0 10 20 30 40 50 60 700
0,5
1
1,5
Amplitudes, modificadas con el operador K
K, filtro pasa bajo y alto
Original
Pasa bajo
Pasa alto
wi
Ci
Ejemplo aplicado.
Supongamos que tenemos una eñal, correspondiente a la riza de un bebe.
El sonido tiene una representación de variaciones de amplitud en el tiempo, como se observa enla figura 65. SI calculamos los coeficienbtes Ci, asociado a la frecuencia de la onda, noda un espectrode Fourier del sonido en cuestión como se observa en la figura .
Apliquemos una función K(f) (o en este caso de f=w/2), de modo que modifique el sonido, que seobserva en la figura 66
.
El rersultado de la aplicación dfe K(f) origina una nueva señal (Figura 67) y cuyo espéctro seobserva en la figura 68
53 Miguel Bustamante
Fig. 65: Forma de la onda de la risa del BebeFig. 64 Espectro original
Fig. 66: Función K(f)
Como se observa las señales distintas (sonidos) y por el efecto de K, y que cambia las gananciasde las amplitudes de la señal original asociadas a la una frecuencia wi (o fi).
Transformada de Fourier
Veamos la siguiente situación. En los párrafos anteriores vimos que las amplitudes asociada a
una frecuencia wi. Esta frecuencia se define como w i=2 π
Ti . Supongamos ahora que el valor de T
tiende a infinito ( T→∞ ). Se puede pensar que la función periódica tiene un periodo infinito, esdecir ocurre una vez. La amplitud que dependia de wi, tiene a a una valor w, es decir en vez de unafunción discreta dependiente de i, depende de w un numero real.
Veamos un ejemplo. Supongamos que f (t)=e−|a|t . La amplitud dependiente de la frecuencia
se calcula de la forma C(w)=1
√2π∫−∞
∞
f (t )e− jwt=dt
2 a
a2+w2
que es la transformada de Fourier de
f(t). En este caso j2=-1.
54 Miguel Bustamante
Fig. 68: Espectro original, y modificado or K
Fig. 67: Señal resultante de la aplicaión del filtro K
Si a=1, la función tiene la forma, como se muestra en la figura 69.
La transformada de Fourier de esta señal se observa en la figura 70
La expresión de g(w) es la amplitud asociada a la frecuencia w.
La función f(t) debe cumplir ciertas condiciones. Una importante es que ∫−∞
∞
|f (t)|2 dt=K
tiene un valor finito. Por ejemplo la función f (t)=et no se puede calcular la transformada ya queno cumple con la condición anterior. Veamos una función muy particular, la función delta
f (t)=δ(t−t 0) . La función es 1 en t=t0 y 0 en todo el resto. Podemos pensarlo que es el ruido quegenera un petardo.
La transformada de esta función 1, es decir G(w)=1. Una interpretación para entender, es queel ruido (pulso ) tiene todas las frecuencias y son todas emitidas.
55 Miguel Bustamante
Fig. 69
Fig. 70: Transformada de f(t), g(w)
Veamos una función mas f (t)={1 |t|<T0 |t|>T } . la transformada de Fourier de esta función es
G(w)=2sin(wT )
w
Transformada de Fourier en Imágenes.
Sabemos que una imagen, se puede pensar como una señal bidimensional I(x,y). La transformada de Fourier de una señal en dos dimensiones se define como
G(u , v )=1
2π∫−∞
∞
∫−∞
∞
I (x , y )e− j (ux+ vy)dxdy .
Veamos una imagen como I ( x , y)={255 |x|,|y|<10 |x|,|y|>1}
La imagen de la función I(x,y) es
56 Miguel Bustamante
Fig. 71: Transformada de Fourier de f(t)
Fig. 72: Imagen de I(x,y)
Las transformada de Fourier de la imagen 72 es
En una representación de la intensidad de la imagen 73, es
Esta representación es la intensidad asociada a cada frecuencia en una matriz bidimensional de la imagen.
Si anulamos las intensidades cercabas al origen , estamos quitando las frecuencias bajas, la imagen resultante debería resaltar los bordes por sobre el objeto. Supongamos que modificamos las intensidades asociado a las frecuencias de acuerdo a la función 75. Como resultado que se obtiene la imagen
57 Miguel Bustamante
Fig. 73: Imagen de la transformada de Foruier de I(x,y)
Fig. 74: Representación de la intensidad de la transformada de Fourier
La nueva imagen Ip(x,y), cuya transformada de Fourier es la imagen 76, es el producto de una filtraje de la imagen I(x,y) 72. El resultado se puede expresar como TFIp(u , v )=G(u , v)TFI (u , v ) , donde
• TFI(u,v) es la transformada de I(x,y), figura 73.
• TFIp(u,v) es la transformada de la imagen Ip(x,y)
• G(u,v) es el filtro que afecta TFI(u,v), modifica para obtener la imagen Ip(x,y).
Como vemos, podemos alterar una imagen cambiando las ganancia de las amplitudes asociada alas frecuencias que componen la imagen. Dependiendo la acción del filtro G(u,v) hay filtros pasa bajos, pasa medio y pasa altos. Todo depende de como modifica las amplitudes.
58 Miguel Bustamante
Fig. 75: Perfil de intensidad del filtro.
Fig. 76: Imagen de la transformada inversa, una vez aplicado el filtro.
Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos la siguiente imagen.
Aplicando un filtro de suavizado se obtiene la imagen y su transformada de Fourier
Como vemos en la figura 78, la imagen es borrosa. Si observamos el espectro de fourier correspondiente vemos que predominan las frecuencias bajas (Colores claros), a diferencia de la figura77, que como tiene una mejor definición de los contornos, las imagen se ve mas nítida.
59 Miguel Bustamante
Fig. 77: Imagen y Transformada de Fourier
Fig. 78: Imagen Resultante y transformada correspondiente
Estadística de una Imagen
Hasta el momento, hemos tratado una imagen mediante filtros y cambio de colores. Pero existe mas información que sólo el despliegue de la imagen. Podemos sacar información del tipo estadístico.
Como primer aproximación de una imagen o región de interés) podemos obtener:
• La intensidad Máxima
• La intensidad mínima
• El valor promedio de la intensidades
• La desviación estándar de estadístico o su varianza
• Moda
Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos la imagen de 8-bit (255 tonos de grises), figura79
Utilizando el programa ImageJ, se obtiene los siguientes resultados presentados en la tabla
Parámetro Valor
Máximo 255
Mínimo 0
promedio 106,963
Desviación Estandar 76,646
Moda 255
60 Miguel Bustamante
Fig. 79
Pero, no son lo únicos índices que podemos extraer de una imagen. Un parámetro útil para la imágen es el contraste. Existen varias definiciones de contraste.
Definiciones
• Contraste usualI max−I min
I
• Contraste de weber I−I b
I b
, donde Ib, es la intensidad del fondo e I intensidad media ( I )
por la imagen o de la región de interés.
• Contraste de Michelson I max−I min
I max+ Imin
• Contraste RMS √ 1MN
∑i=0
N −1
∑j=0
M−1
(I ij−I )2
Veamos aplicado estas definiciones a una imagen 79. Sabemos que la intensidad promedio es 106,963, con un área de 12000000, valor máximo de intensidad es de 255 y el mínimo 0.
Con estos datos, podemos construir la siguiente tabla 5
Es necesario tener una definición de constaste para comparar si quiere uno saber ha cambiado en el tiempo.
Textura de una imagen
Pero, si queremos comparar para poder distinguir diferentes “texturas” dentro de una imagen, o entre imagen, ¿como podemos separarlo, o distinguirlo por medio de la información numérica?.
En una definición de textura en imágenes, tiene asociado varios parámetros a partir de la matriz de coocurrencia. La matriz de coocurrencia se construye a partir de las intensidades de la imagen.
Supongamos que tenemos una imagen de 4 bit, es decir (24 = 16), cuya representación se observa .
61 Miguel Bustamante
Tabla 5
Contraste ValorUsual 2,3840019446Weber 0Michelson 1RMS 13,05
Elijamos un pixel en particular (marcado de amarillo). Veamos la siguiente matriz de intensidades
Centrado en el pixel de amarillo, y definimos que a un pixel de distancia (pixel siguiente), contamos las combinación que hay (12,1) =0, (12,2)=0 , asi hasta (12,11) =1, y luego sigue (12,12)=0, (12,13)=0.es decir en la matriz de coocurrencia cuenta cuantas veces se produce la combinación del tono del pixel marcado, con respecto del vecino.
También se puede buscar la combinación del tono central, con el pixel subsiguiente, no adyacente, o con el pixel en 45°, o en 90° a una distancia arbitraria. Podemos construir muchas matrices de coocurrencia.
A partir de esta matriz V, definimos Pi , j=V i , j
∑ V i , j
, que generalmente se representa como la
matriz de coocurrencia. A partir de la esta definición, podemos calcular los siguientes terminos:
• Segundo momento angular ∑i∑
j
Pi , j2
• Contraste2 ∑i∑
j
|i− j|Pi , j
• Correlación ∑
i∑
j
ij P i , j−μ iμ j
σi σ j
• Diferencia del momento inverso ∑i∑
j
Pi , j
1+|i− j|
• Entropía −∑i∑
j
P i , j log Pi , j
Veamos un ejemplo de estos.
Tenemos la siguientes imágenes
Calculemos los indice de textura de cada imagen.
2 Este constraste es distinto, del definido anteriormente
62 Miguel Bustamante
Fig. 80: Sección de la Matriz de la imagen
6 0 10 15 55 10 9 12 911 8 6 12 93 12 11 10 91 3 9 2 90 10 10 0 33 13 12 5 17 9 13 5 54 1 13 2 6
Calculemos los indices anteriores utilizando el pluginde imagej, con una radio de 1 pixel a un ángulo de 0°.
Veamos los mismo parámetros a un radio de 4 y 0°.
Como se observa en la tabla, por cada elección de radio y ángulo existe una matriz de coocurrencia distinta y por tanto los valores cambian de acuerdo a la elección. Esto nos permite diferencias imágenes que se ven semejantes, pero podemos diferenciarlo con estos indices. Este tipo de análisis da la herramientas para el pos-tratamiento de imágenes en la clínica, como ya veremos en los ejemplos.
63 Miguel Bustamante
Fig. 81Fig. 82
Table 6: Resultados obtenidos a un radio 1 pixel y a 0°
Distancia de un pixel y ángulo de 0Textura Figura 81 Figura 82Csegundo momento 0,00005725 0,002Constraste 1110,903 24,719Correlación 0,0002142 0,3626Diferencia del momento inverso 0,048 0,545Entropía 10,093 7,184
Table 7: Radio de 4 pixel y ángulo de 0°
Distancia de 4 pixel y ángulo de 0Textura Figura 81 Figura 82Csegundo momento 0,4891 0,5161Constraste 1561,023 152,41Correlación 0,2221 0,3504Diferencia del momento inverso 0,039 0,218Entropía 10,225 8,433
Indice Fractal
En la geometría euclidiana, para determinar las posición de un punto en cierto espacio está relacionado con las dimensiones del espacio. Por ejemplo: un punto en una recta necesita de un parámetro apars ser determinado, un valor respecto del origen; en un plano, necesitamos dos números: dimensión dos, y en un volumen, tres dimensiones, tres cantidades en la geometría Euclidiana. Sin embargo, hay formas geométricas que son difícil de clasificar si están una u en otra dimensión.
En la figura 83, el primer triangulo en plano, dimensión 2, pero el último inferior no es plano, perotampoco una linea... esta entre una dimensión 2 y 1. Para llegar al último triángulo, se aplico la regla,que se observa en la parte superior: cada nuevo triangulo de la iteración de deja un espacio triangularvacío. Este procedimiento se repite hasta el infinito. ¿Que dimensión tiene este “triangulo”?
Esa fue una pregunta se enfrentó Benoît Mandelbrot . Como son estructuras autosemejantes, es decirsi aumento la imagen del objeto, voy a observa estructuras parecidas a las iniciales, que se “parecen” ala mayor. Si sigo aumentando encontraré similitudes. Una definición propuesta de dimensión, que
podemos aplicar es DF=limn→∞
ln N n
ln(2n)
, donde Nn, número de cajas en una cuadricula de ancho
1/2n .
Veamos un ejemplo en el triangulo de la figura 83. Para el paso 1, sea crean 3 triángulos y no 4(triángulo negros), y la escala es 2, para n=2, se crean 9 en una escala de 4, y así sucesivamente.
Apliquemos la definición DF=limn→∞
ln(3n)
ln(2n)=
ln(3)
ln(2)=1,584962501 . Justo un valor entre 1 y 2, no
es una línea pero tampoco un plano. Lo interesante de esto es que existe muchas estructuras en lanaturaleza que presentan un comportamiento fractal.
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Fig. 83: Triangulo fractal
Utilicemos el programa Imagej con el plugin “Bonej”.
Veamos una imagen que es un fractal.
Según el programa, la dimensión fractal es 1.5014, que comparado con el naterior es 1,58.
Apliquemos ahora a una imegen radiográfica, de hueso esponjoso
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Fig.84http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Romanescu.JPG#mediaviewer/File:Romanescu.JPG
Fig. 85: Triángulo de Sarpienski, fue cread en 1915 por el matemático polaco que le dio nombre y está considerado como el primer fractal artificial.
Para aplicar el Bonej, se debe binarizar la imagen; es decir, llevar a dos tonos: 0 y 255. Esto es muyarbitrario, ya que el cortar donde se binariza, depende del usuario.
En este caso, aplicando Bonej, la dimensión fractal da 1,863. No es 2, pero cercano, ya que el huesopresenta orificio: las trabeculas. Sin embargo este resulatdo es sensible a la discresión del usurario.
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Fig. 86: a) Imagen del hueso b) Imagen binaria del hueso
a) b)