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Apuntes de Telecomunicaciones

Christian OberliProfesor Asociado

Departamento de Ingeniería ElécricaPontificia Universidad Católica de Chile

Versión 2016–1

http://www.latina.puc.cl/

Índice

1. Modulación analógica 4

1.1. Amplitud modulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Banda lateral doble con supresión de portadora . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Banda lateral única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Frecuencia modulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Ruido 43

2.1. Procesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2. Proceso estocástico a través de un filtro lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Ruido térmico (blanco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4. Propiedades de los procesos estocásticos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . 58

3. Comunicaciones digitales en banda base 60

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2. Receptor óptimo binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3. Probabilidad de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4. Optimalidad del filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.5. Transmisión M−aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4. Representación equivalente de banda base 99

4.1. Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2. Pre-envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3. Representación de señales de pasa banda en banda base . . . . . . . . . . . . 104

4.4. Representación de sistemas de pasa banda en banda base . . . . . . . . . . . 106

4.5. Representación de ruido de pasa banda en banda base . . . . . . . . . . . . . 109

4.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

c© 2010 – 2016 Christian Oberli 1

5. Transmisión digital en pasabanda 115

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2. Receptor óptimo M−ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3. Representación geométrica de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4. Otras constelaciones M -arias de pasa banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6. Sistemas de comunicaciones digitales 143

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2. Pares codificador–decodificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3. Entropía y compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.4. Capacidad de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Anexo 1: Competencias necesarias en probabilidades 152

Anexo 2: Funciones de Bessel 156


Prefacio

Este libro es una transcripción del manuscrito que elaboré y perfeccioné a lo largo de 10 añosdictando el curso introductorio a las telecomunicaciones en el Departamento de IngenieríaEléctrica de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Esta primera edición es resultadodel excelente trabajo de transcripción hecho por el alumno Sebastián Soto, a quién agradezcoy felicito muy sinceramente por el trabajo.

El texto de esta primera versión pública sin duda hereda falencias del manuscrito. Espero irsubsanándolas con el tiempo y agradezco desde ya correcciones, observaciones y sugerenciasde los lectores.

La visión para este libro es presentar los fundamentos de telecomunicaciones en forma simple ymedular, recogiendo con formalidad matemática los conceptos esenciales y las relaciones entreellos, pero sin abordar aspectos que pueden ser explorados más adelante con las herramientasentregadas aquí.

Christian Oberli, en Santiago el 29 de febrero de 2016.


Capítulo 1 Modulación analógica

1.1. Amplitud modulada

1.1.1. Señal AM en el dominio del tiempo

La señal de amplitud modulada (AM) está dada por

s (t) = Ac [1 + kam (t)]︸︷︷︸envolvente

cos (2πfct)︸︷︷︸portadora

, (1.1)

donde m (t) es la señal de mensaje (analógica, en Volts), ka es la sensibilidad de amplitud (enV−1), Ac es la amplitud de portadora (en Volts) y fc es la frecuencia portadora (en Hertz).La modulación AM se ilustra en la figura 1.1.

Figura 1.1: Ilustración de una señal AM.

La condición|kam (t)| < 1 ∀t (1.2)


asegura que la envolvente de s (t) tenga la misma forma que m (t). Si |kam (t)| > 1 para algúnt, se dice que la portadora está sobremodulada. Ello implica una inversión de fase, lo que setraduce en una distorsión de envolvente. Es de sumo interés evitar la sobremodulación, ya quela detección (demodulación) de la señal AM justamente consiste en detectar la envolvente.

1.1.2. Señal AM en el dominio de la frecuencia

Analicemos la señal AM en el dominio de la frecuencia. Para ello, reescribimos la amplitudmodulada como:

s (t) = Ac cos (2πfct)︸︷︷︸portadora pura

+Ackam (t) cos (2πfct)︸︷︷︸portadora modulada

, (1.3)

y tomamos transformada de Fourier, resultando:

S (f) =Ac2

[δ (f − fc) + δ (f + fc)] +kaAc

2[M (f − fc) +M (f + fc)] . (1.4)

Si m (t) tiene un espectro como el ilustrado en la figura 1.2 (a), entonces el espectro de laseñal modulada 1.4 es aquel de la figura 1.2 (b). Observamos que el ancho de banda de unatransmisión AM es de BAM = 2W .

Figura 1.2: Espectro de frecuencia de la señal AM. Los espectros en rojo se conocen comobandas laterales inferiores y los espectros en naranja como bandas laterales superiores.

Es importante que se cumpla fc � W , puesto que de lo contrario no hay envolvente. Porejemplo, radio Cooperativa es una emisora de la banda AM y tiene fc = 760 kHz y W < 5kHz.


1.1.3. Índice de modulación

Sea m (t) un tono puro de frecuencia fm, dado por:

m (t) = Am cos (2πfmt) , (1.5)

con fm � fc. Entonces, la señal AM es (figura 1.3)

s (t) = Ac [1 + kaAm cos (2πfmt)] cos (2πfct) . (1.6)

El producto kaAm es una constante adimensional conocida como factor de modulacióno índice de modulación, que denotaremos µ. Es claro que si µ > 1, entonces ocurresobremodulación.

Figura 1.3: Modulación AM de un tono puro: (a) señal modulante, (b) portadora y (c) señalmodulada.

Sean Amax y Amın los valores máximo y mínimo de la envolvente positiva. Por inspección dela figura 1.3 escribimos:

Amax

Amın

=Ac (1 + µ)

Ac (1− µ), (1.7)

de lo que resulta

µ =Amax − Amın

Amax + Amın

. (1.8)

El resultado 1.8 puede ser usado para determinar el índice de modulación en un sistema real:

1. Se alimenta el modulador con una señal sinusoidal, tal como en la ecuación 1.5.

2. Se observa la señal modulada 1.6 en el osciloscopio y se mide Amax y Amın.

3. Se determina µ usando la ecuación 1.8.


1.1.4. Eficiencia energética de la modulación AM

Usando la identidad trigonométrica

2 cos (α) cos (β) = cos (α + β) + cos (α− β) , (1.9)

es fácil mostrar que s (t) en la ecuación 1.6 puede escribirse como:

s (t) = Ac cos (2πfct) +1

2µAc cos [2π (fc + fm) t] +

1

2µAc cos [2π (fc − fm) t] . (1.10)

Tomando transformada de Fourier a la ecuación anterior, resulta (figura 1.3):

S (f) =1

2Ac [δ (f − fc) + δ (f + fc)] +

1

4µAc [δ (f − fc − fm) + δ (f + fc + fm)] +

1

4µAc [δ (f − fc + fm) + δ (f + fc − fm)] .

(1.11)

Analicemos la potencia de esta señal:

Potencia portadora = 2 ·(

1

2Ac

)2

=1

2A2c (1.12)

Potencia bandas laterales = 2 · 2 ·(

1

4µAc

)2

=1

4µ2A2

c (1.13)

La eficiencia energética de la modulación AM, dada por la razón entre la potencia del mensajey la potencia total transmitida es:

ηE =Potencia bandas laterales

Potencia total(1.14)

=14µ2A2

c12A2c + 1

4µ2A2

c

(1.15)

Entonces,

ηE =µ2

2 + µ2. (1.16)

La eficiencia (1.16) está graficada en la figura 1.4 en función de µ. En el caso ideal, µ = 1,pero aún en este caso la eficiencia es pobre y apenas logra ηE = 1

3. Esto significa que se

destina tan solo un 30% de la potencia en transmitir el mensaje; el resto es potencia deportadora que no lleva información.


Figura 1.4: Eficiencia energética de la modulación AM de un tono puro.

Cabe preguntarse: ¿Si AM es tan ineficiente, por qué entonces tiene una historia de granpopularidad? La respuesta es que permite implementaciones muy simples del receptor. Estoes relevante en aplicaciones de broadcasting : es preferible que miles de receptores sean baratos,pudiendo ser más caro y complejo el (único) transmisor (no obstante, en AM el transmisorpuede ser muy simple también).

1.1.5. Detector de envolvente

El circuito más simple para demodular señales AM es el detector de envolvente. Funcionaasí:

1. Modelamos la antena como una fuente de señales AM (figura 1.5).

s(t)

Rs

+

−

vs(t)

Figura 1.5: Detector de envolvente: antena como una fuente de señales AM.

2. Agregamos un diodo para rectificar la señal recibida (figura 1.6).


s(t)

Rs

Figura 1.6: Detector de envolvente: antena como una fuente de señales AM.

3. Un filtro pasabajos RC remueve las oscilaciones (figura 1.7).

s(t)

Rs

C R`

Zeq =

R` ·1

jωC

R` +1

jωC

= · · · = R` − jR2`ωC

1 +R2`ω

2C2

Figura 1.7: Detector de envolvente: un filtro pasa bajos remueve las oscilaciones y recuperala envolvente.

Cuando el diodo conduce, este tiene una resistencia pequeña (rf , figura 1.8). Dado que laresistencia de la fuente (Rs) también es pequeña, y escogiendo la resistencia de carga grandeR`, el condensador se carga. Para que la carga ocurra con suficiente rapidez, necesitamos(Rs + rf )C � 1

fc. Por otro lado, R`C debe ser suficientemente grande para filtrar la porta-

dora, pero no demasiado para ser capaz de seguir a la envolvente, cuya máxima frecuenciaes W . Así, los criterios de diseño de un detector de envolvente son:

(Rs + rf )C �1

fc� R`C �

1

W(1.17)


s(t)

Rs

rf

C R`

Figura 1.8: Circuito equivalente del detector de envolvente (diodo conduce).

1.1.6. Virtudes y limitaciones de AM

Eficiencia energética. Pobre. En el mejor de los casos con µ ≈ 1 se tiene ηE ≈ 13.

Eficiencia espectral. Pobre. Las bandas laterales son esencialmente réplicas redun-dantes una de otra.

Complejidad de implementación. Simple, a costas de ηW y ηE.

El paso lógico para mejorar la eficiencia es permitir diseños más complejos. Identificamos dosposibilidades concretas:

1. Suprimir la portadora (figura 1.9). Esto mejora ηE pero ηW no cambia.

Figura 1.9: Mejoramiento de eficiencia de AM mediante supresión de portadora.

2. Suprimir además una de las bandas laterales y con ello mejorar también ηW .


Figura 1.10: Mejoramiento de eficiencia de AM mediante supresión de una banda lateral.

1.2. Banda lateral doble con supresión de portadora

1.2.1. Señales BLD–SP

La modulación de banda lateral doble con supresión de portadora (BLD–SP, eninglés: double side-band with suppressed carrier, DSB–SC) es esencialmente la modulación“clásica” descrita por la propiedad de traslación espectral del análisis de Fourier. Concreta-mente, la señal modulada es (figura 1.11)

s (t) = m (t)Ac cos (2πfct) (1.18)

Es claro que en este caso las inversiones de fase son inevitables, pero la información sigueestando en la amplitud de la portadora.

El modulador es simplemente un multiplicador entre la señal modulante y una portadora(figura 1.12). Su implementación electrónica más común es conocida como el moduladorde anillo (ring modulator). Entender el circuito correspondiente es materia de un curso deelectrónica y no lo estudiaremos aquí.

m(t) s(t)

c(t)

Figura 1.12: Modulador BLD–SP.


Figura 1.11: Modulación de banda lateral doble con supresión de portadora: (a) señalmodulante, (b) señal modulada.

El espectro de la señal BLD–SP es bien conocido y está dado por (figura 1.13):

S (f) =1

2Ac [M (f − fc) +M (f + fc)] (1.19)

Figura 1.13: Modulación BLD–SP: (a) espectro de amplitud de la señal modulante y (b)espectro de magnitud de la señal modulada.


1.2.2. Detección coherente

Para demodular señales BLD–SP necesitamos un método que permita resolver las inversionesde fase. La solución es conceptualmente sencilla, y consiste de un modulador BLD–SP seguidopor un filtro pasa bajos (figuras 1.14 y 1.15). En la práctica, la dificultad de usar este métodoes que requiere una portadora local en el receptor que sea coherente con la portadora deltransmisor, esto es, que ambas portadoras coincidan perfectamente tanto en frecuencia comoen fase. Esto es imposible de lograr en la práctica.

cos (2πfct)

s(t) LPF m(t)

Figura 1.14: Demodulador BLD–SP.

Figura 1.15: Traslación espectral de una señal BLD–SP al ser re-modulada con una porta-dora de frecuencia fc.

1.2.3. Loop de Costas

Analicemos el caso en que el oscilador local coincide en frecuencia con el del transmisor perono en fase, como lo ilustra la Figura 1.16.

v (t) = A′c cos (2πfc + ϕ) s (t) (1.20)= AcA

′c cos (2πfct) cos (2πfct+ ϕ)m (t) (1.21)

=1

2AcA

′c cos (4πfct+ ϕ)m (t) +

1

2AcA

′c cos (ϕ)m (t) . (1.22)


A′c cos (2πfct) + ϕ)

s(t)

v(t)

LPF v0(t)(t)

Figura 1.16: Demodulación BLD–SP con error de fase en la portadora.

En (X), el primer sumando es una señal pasa banda centrada en 2fc, y el segundo términoes una señal de banda base, v0 (t), proporcional a m (t) por un factor cos (ϕ). La situación seilustra en la Figura 1.17, el que se recupera mediante un filtro pasabajos (Figura 1.16).

Figura 1.17: Espectro de magnitud de la señal BLD–SP demodulada con error de fase enla portadora.

Vemos que:

Si ϕ ≈ 0, entonces v0 (t) ≈ m (t) y la detección de m (t) es posible.

Si ϕ ≈ ±π2, entonces v0 (t) ≈ 0 y el mensaje no puede ser recuperado. Esta situación se

conoce como un cero de cuadratura.

En la práctica, ϕ varía continuamente en el tiempo debido a cambios del canal y de lascondiciones de propagación, como a cambios en la electrónica como temperatura de los com-ponentes, voltajes de alimentación, etc. Por ello, es imprescindible encontrar una forma derecepción capaz de compensar en tiempo real las fluctuaciones de ϕ.

El Loop de Costas es una arquitectura de receptor que aprovecha el efecto del cero decuadratura para generar una señal de control que adelanta o atrasa la fase del oscilador local


en el sentido correcto para re-sincronizar la portadora del receptor con aquella del transmisorpresente en la señal recibida. El loop utiliza un oscilador controlado por voltaje (voltagecontrolled oscillator, VCO, figura 1.18) y opera de la siguiente forma (figura 1.19):

voltaje VCO frecuencia ∝ voltaje

Figura 1.18: Relación entrada–salida de un oscilador controlador por voltaje (VCO).

Ac cos(2πfct)m(t)

LPF

−90◦

VCO LPF

LPF Señal demod.

1

2Ac cos(ϕ)m(t)

1

2Ac sen(ϕ)m(t)

sen(2πfct+ ϕ)

cos(2πfct+ ϕ)

Demodulador en fase

Demodulador en cuadratura

Osciladorcontroladopor voltaje

Discriminadorde fase

Figura 1.19: Diagrama de bloques del Loop de Costas.


Cuando ϕ ≈ 0, la salida del demodulador en fase es aproximadamente 12Acm (t), pro-

porcional a la señal deseada. A su vez, la salida del demodulador en cuadratura esaproximadamente cero. Así, el discrimiandor en fase, que consiste de un multiplicadorseguido por un filtro pasabajos, produce una salida también esencialmente igual a cero.Así, el VCO mantiene su frecuencia actual y preserva la coherencia entre la portadoralocal y la del transmisor.

Si ϕ es pequeño, la salida del discriminador de fase es:

LPF{

1

4A2cm

2 (t) cos (ϕ) sen (ϕ)

}≈ kϕ, (1.23)

la que tiene el signo de ϕ puesto que sen (ϕ) ≈ ϕ y todos los demás términos sonpositivos. El filtro pasa bajos remueve las fluctuaciones de m2 (t) por lo que su salidaes una señal proporcional a ϕ. Si ϕ > 0, el voltaje de entrada al VCO es positivo y elloreduce fc hasta que ϕ vuelva a cero.

El Loop de Costas pierde sincronismo al haber silencio (si m (t) ≡ 0). Para señales de voz,la recuperación del sincronismo es imperceptiblemente rápida.

En comparación con el detector de envolvente, es claro que el Loop de Costas es más complejo,ya que requiere implementar:

1. un oscilador local,

2. un circuito de control, y

3. dos filtros pasabajos.

1.3. Banda lateral única

1.3.1. Señal BLU

Queremos realizar una modulación de banda lateral única (BLU) como lo ilustra la figura1.20. Para ello, la forma más inmediata que se nos ocurre es modular primero BLD–SP y luegousar un filtro pasa banda (figura 1.21). Desafortunadamente, esta solución es técnicamentedifícil (por lo tanto costosa) debido a los estrictos requerimientos del filtro pasa banda entérminos de:

1. Alto factor fcW.

2. Aguda transición entre la pasa banda y la rechaza banda, la que debe ser lograda dentrode la brecha de energía típica de señales de audio. (¿Y qué ocurre si no hay brecha deenergía?)


Figura 1.20: Modulaciones de banda lateral única.

Ac cos (2πfct)

s(t) = BLU BPFu(t)

m(t)

Figura 1.21: Modulación BLU utilizando un filtro pasa banda (método impráctico).

Es claro que necesitamos una solución más inteligente. ¿Qué tal si en vez de filtrar la bandalateral indeseada la cancelamos? La idea se ilustra en la figura 1.22 y el diagrama de bloquesdel modulador en la figura 1.23. La función de transferencia H (f) mostrada en ambas figurasse conoce como transformador de Hilbert. Se trata de un dispositivo ideal que en la


práctica se implementa con filtros cuya respuesta de frecuencia a la respuesta de frecuenciadeseada. Debido a la aproximación, la supresión de la banda lateral no es perfecta.

cos(2πfct)

sen(2πfct)

−

=

− j2

[δ(f − fc)− δ(f + fc)]

H(f) = −j sgn(f)

H(f) = −j sgn(f)

Transformadorde Hilbert

Figura 1.22: Modulación BLU por cancelación de la banda lateral no deseada.


−90◦

H(f)

Ac cos(2πfct)

Ac sen(2πfct)

m(t) + s(t)

4= m(t)

±

Figura 1.23: Diagrama de bloques del modulador BLU.

La señal BLU está compuesta por la señal modulante m(t) y su transformada de Hilbert,m (t), y está dada por

s (t) = Acm (t) cos (2πfct)± Acm (t) sen (2πfct) , (1.24)

donde el signo positivo para m (t) corresponde a BLI (banda lateral inferior) y el negativo aBLS (banda lateral superior). Las propiedades de m (t) son estudiadas en la sección 4.1.

1.3.2. Demodulación de señales BLU

El demodulador BLU uiliza la propiedad de traslación espectral (figuras 1.24 y 1.25).

A′c cos (2πfct)

s(t) LPF v0(t)

v(t)

Figura 1.24: Demodulador BLU.


A′c cos (2πfct)

s(t)

Figura 1.25: Demodulación BLU.

Analicemos nuevamente el caso en que el oscilador local del receptor tiene un desfase ϕ conrespecto al del transmisor. La salida del mezclador, antes del filtro pasabajos, es:

v (t) = s (t)A′c cos (2πfct+ ϕ) (1.25)= AcA

′cm (t) cos (2πfct) cos (2πfct+ ϕ)− AcA′cm (t) sen (2πfct) cos (2πfct+ ϕ) (1.26)

=AcA

′c

2m (t) [cos (−ϕ) + cos (4πfct+ ϕ)]− AcA

′c

2m (t) [sen (−ϕ) + sen (4πfct+ ϕ)] .

(1.27)

Filtrando pasabajos, resulta:

v0 (t) =AcA

′c

2[m (t) cos (ϕ) + m (t) sen (ϕ)] . (1.28)

La expresión anterior no revela mucho. Analicémosla en el dominio de la frecuencia:

V0 (f) =AcA

′c

2

[M (f) cos (ϕ) + M (f) sen (ϕ)

](1.29)

=AcA

′c

2M (f) [cos (ϕ)− j sgn (t) sen (ϕ)] (1.30)

=

AcA′c

2M (f) e−jϕ, si f > 0,

AcA′c

2M (f) ejϕ, si f < 0,

(1.31)

ya queM (f) = −j sgn (f)M (f) . (1.32)

Vemos que el error de fase ϕ en el oscilador local del receptor resulta en una distorsión defase en la salida del modulador. La distorsión no es grave para señales de voz, ya que el oídohumano es poco sensible a ella (efecto “Pato Donald”), pero es inaceptable para audio de altafidelidad.


1.4. Frecuencia modulada

1.4.1. Modulación de ángulo

En su forma más general, la modulación de ángulo se describe como

s (t) = Ac cos [θ (t)] , (1.33)

donde θ (t) es un ángulo en función de la señal de mensaje. Para una portadora pura, θ (t) =2πfct + ϕ0 con ϕ0 una fase inicial. Una oscilación completa de la portadora ocurre cuandoθ (t) cambia en 2π radianes.

Existen infinitas maneras de variar θ (t) con una señal de mensaje dada m (t). Dos métodosparticulares son:

Modulación de fase (PM). θ (t) varía linealmente con la señal de mensaje m (t):

θ (t) = 2πfct+ kpm (t) . (1.34)

donde 2πfct es el ángulo de la portadora pura y kp es la sensibilidad de fase, en radV . Así,

la modulación PM está dada por:

s (t) = Ac cos [2πfct+ kpm (t)] . (1.35)

Modulación de frecuencia (FM). La frecuencia instantánea varía linealmente con m (t).La frecuencia instantánea se define como “la variación del ángulo por unidad de tiempo” dela siguiente forma:

f (t) = lım∆t→0

θ (t+ ∆t)− θt2π∆t

. (1.36)

En el límite resulta una relación integro–diferencial entre la frecuecnia instantánea y el ánguloθ (t):

f (t) =1

2π

dθdt

(t) (1.37)

θ (t) = 2π

ˆ t

0

f (τ) dτ. (1.38)

La variación lineal de la frecuencia instantánea en función de m (t) implica que f (t) tiene laforma

f (t) = fc + kfm (t) , (1.39)

con kf un parámetro de unidades HzV llamada sensibilidad de frecuencia. Usando la ecua-

ción 1.38 en 1.39 encontramos

θ (t) = 2πfct+ 2πkf

ˆ t

0

m (τ) dτ, (1.40)


y con ello formulamos el modelo de señal FM como sigue:

s (t) = Ac cos

[2πfct+ 2πkf

ˆ t

d

m (τ) dτ]. (1.41)

La figura 1.26 ilustra las modulaciones FM y PM resultantes cuando la modulante es unarampa. En la figura 1.27 se comparan las modulaciones FM y PM con AM. Observamos que:

1. Los cruces por cero de s (t) ya no ocurren a instantes regulares.

2. FM y PM tienen envolventes de amplitud constante.

3. FM y PM no siempre pueden ser distinguidas visualmente una de la otra.

Figura 1.26: Comparación entre modulaciones PM y FM: (a) señal modulante, (b) señalmodulada y (c) señal modulada en frecuencia.


Figura 1.27: Comparación entre modulaciones AM, PM y FM. (a) portadora, (b) señalmodulante, (c) señal modulada en amplitud, (d) señal modulada en fase y (e) señal moduladaen frecuencia.

Comparando las ecuaciones 1.35 con 1.41, vemos que FM y PM tienen esencialmente la mismaestructura y pueden ser generadas con circuitería similar (figura 1.28). Así, las propiedadesde PM pueden ser deducidas a partir de las de FM, y viceversa, motivo por el que nosenfocaremos a estudiar FM.


Ac cos(2πfct)

(a) Señal modulanteˆ

dt Moduladoren fase Señal FM

Ac cos(2πfct)

(b) Señal modulanteddt

Moduladoren frecuencia Señal PM

Figura 1.28: (a) Generación de FM usando un modulador PM y (b) vice–versa.

1.4.2. Señal FM en el dominio del tiempo

La modulación FM es un proceso no lineal, esto es, la señal transmitida, s (t), es una funciónno lineal del mensaje m (t). Por ello, el espectro de una transmisión FM no guarda unarelación simple con el espectro del mensaje m (t), como es el caso con AM, BLD–SP y BLU.

Para estudiar el espectro de una modulación FM, consideremos el caso simple de la modula-ción FM de un tono puro,

m (t) = Am cos (2πfmt) . (1.42)

La frecuencia instantánea de la modulación en este caso está dada por

f (t) = fc + kfAm cos (2πfmt) (1.43)= fc + ∆f cos (2πfmt) , (1.44)

con ∆f4= kfAm un parámetro denominado desviación de frecuencia. ∆f representa el

máximo alejamiento de la frecuencia instantánea con respecto a la frecuencia de la portadora(en Hertz).

En ángulo instantáneo de la modulación es:

θ (t) = 2π

ˆ t

0

f (τ) dτ (1.45)

= 2πfct+∆f

fmsen (2πfmt) (1.46)

= 2πfct+ β sen (2πfmt) , (1.47)


donde β 4=

∆f

fmes el índice de modulación de una señal FM. β tiene unidades de radia-

nes y representa la máxima desviación del ángulo instantáneo con respecto al ángulo de laportadora.

Así, la modulación FM de un tono puro está dada por

s (t) = Ac cos [2πfct+ β sen (2πfmt)] . (1.48)

Según el valor de β, se reconocen dos tipos de modulación FM:

Si β < 0,3 rad, se habla de FM de banda angosta.

Si β > 0,3 rad, se habla de FM de banda ancha.

Realizaremos el análisis espectral de la señal FM para cada caso por separado.

1.4.3. Análisis espectral de la modulación FM de un tono puro

FM de banda angosta. Expandiendo la ecuación 1.48 obtenemos:

s (t) = Ac cos (2πfct) cos [β sen (2πfmt)]− Ac sen (2πfct) sen [β sen (2πfmt)] . (1.49)

Para β pequeño tenemos

cos [β sen (2πfmt)] ≈ 1 (1.50)sen [β sen (2πfmt)] ≈ β sen (2πfmt) . (1.51)

Entonces, la ecuación 1.49 se simplifica a:

s (t) ≈ Ac cos (2πfct)− βAc sen (2πfct) sen (2πfmt) . (1.52)

Este resultado describe cómo generar una modulación FM de banda angosta en forma apro-ximada de manera simple. El diagrama de bloques correspondiente se muestra en la figura1.29. La señal producida por este modulador difiere de la modulación FM ideal 1.49 funda-mentalmente en dos aspectos:

1. La envolvente de la salida contiene una modulación de amplitud residual.

2. El ángulo θ (t) ya no es una sinusoide perfecta, si no que contiene distorsión armónica.

m(t)

ˆdt + FM–BA

−90◦ Ac cos(2πfct)

Figura 1.29: Modulador FM de banda angosta.


Expandiendo el producto de senos en la ecuación 1.52, reescribimos s (t) como

sFM-BA (t) ≈ Ac cos (2πfct) +1

2βAc {cos [2π (fc + fm)]− cos [2π (fc − fm) t]} . (1.53)

Recordemos ahora el resultado 1.10 visto para la modulación AM de un tono puro:

sAM (t) = Ac cos (2πfct) +1

2µAc {cos [2π (fc + fm) t] + cos [2π (fc − fm) t]} . (1.54)

Vemos que las expresiones 1.53 y 1.54 son muy similares. Esto da lugar a la interpretaciónfasorial para FM de banda angosta mostrada en la figura 1.30 (el espectro de 1.53 se muestraen la figura 1.32).

Figura 1.30: Interpretación fasorial de (a) una modulación FM e banda angosta de un tonopuro y (b) una modulación AM de un tono puro.

FM de banda ancha. Nos interesa conocer características espectrales de FM para un valorcualquiera de β. Como punto de partida para el ánalisis, consideremos la ecuación 1.48, lacual describe la forma exacta de la señal FM de un tono puro. En general, s (t) no es periódica,a menos que fc y fm tengan cierta relación multiplicativa. Recordando que:

cos (x) =ejx + e−jx

2, (1.55)


reescribimos la ecuación 1.48 como:

s (t) =Ac2

[ej2πfct+jβ sen(2πfmt) + e−j2πfct−jβ sen(2πfmt)

](1.56)

=Ac2ej2πfct ejβ sen(2πfmt)︸︷︷︸

♣+Ac2e−j2πfct e−jβ sen(2πfmt)︸︷︷︸

♠. (1.57)

Las funciones ♣ y ♠ en la ecuación 1.57 son periódicas, por lo que podemos expandirlascomo series de Fourier. Si definimos a ♣ en 1.57 como s (t), es claro que ♠ = s (−t). Así,la expansión en serie de ♠ puede ser inferida fácilmente a partir de la expansión de ♣.Procediendo entonces con ♣, obtenemos

s (t) =∞∑

k=−∞ckej2πkfmt, (1.58)

donde ck son los coeficientes de la serie de Fourier, dados por

ck = fm

ˆ 12fm

− 12fm

s (t) e−j2πfmtdt (1.59)

= fm

ˆ 12fm

− 12fm

ejβ sen(2πfmt)−j2πkfmtdt (1.60)

=1

2π

ˆ π

−πejβ sen(x)−jkxdx, (1.61)

donde la última línea resulta de hacer el cambio de variable x = 2πfmt. Trabajando estaexpresión:

ck =1

2π

ˆ π

−πcos [β senx− kx] dx+

j2π

ˆ π

−πsen [β senx− kx] dx. (1.62)

Notando que cos [β senx− kx] es una función par y sen [β senx− kx] una función impar,entonces:

ck =1

π

ˆ π

0

cos [β senx− kx] dx. (1.63)

La expresión resultante se conoce como función de Bessel del primer tipo de ordenk y argumento β. La notación habitual para esta función es Jk (β). La figura 1.31 graficaJk (β) para distintos valores de k.


0 5 10 15

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Funciones de Bessel

β [rad]

J k(β)

Figura 31: Funciones de Bessel del primer tipo y argumento �.

1. Simetrıa:

J�k(�) = (�1)kJk(�) =

(Jk(�) si k es par�Jk(�) si k es impar

(65)

2. Energıa:1X

k=�1|Jk(�)|2 = 1 (66)

Continuando con el desarrollo, sustituyendo ck = Jk(�) en (61), resulta

s(t) =1X

k=�1Jk(�)ej2⇡kfmt. (67)

Similarmente,

s(�t) =1X

k=�1J�k(�)ej2⇡kfmt. (68)

Volviendo atras a (60) con (67) y (68), tenemos

s(t) =Ac

2ej2⇡fct

X

k

Jk(�)ej2⇡kfmt +Ac

2e�j2⇡fct

X

k

J�k(�)e�j2⇡(�k)fmt. (69)

Realizando el cambio de variable de �k por k en la segunda sumatoria, podemos unir ambassumatorias y re-escribir (69) como

s(t) = Ac

X

k

Jk(�)1

2

hej2⇡fct+j2⇡kfmt + e�j2⇡fct�j2⇡kfmt

i(70)

c� Copyright 2010–2015 Christian Oberli 23

Figura 1.31: Funciones de Bessel del primer tipo y argumento β.

Importante: En el Anexo 2 se incluye un estudio detallado de las funciones de Besselasí como la demostración de sus principales propiedades.

Entre las propiedades que usaremos de las funciones de Bessel, destacan:

1. Simetría:

J−k (β) = (−1)k Jk (β) =

Jk (β) , si k es par,

−Jk (β) , si k es impar.(1.64)

2. Energía:∞∑

k=−∞|Jk (β)|2 = 1 (1.65)

Continuando con el desarrollo, sustituyendo ck = Jk (β) en la ecuación 1.58, resulta

s (t) =∞∑

k=−∞Jk (β) ej2πkfmt. (1.66)

Similarmente,

s (−t) =∞∑

k=−∞J−k (β) ej2πkfmt. (1.67)


Volviendo atrás a la ecuación 1.57 con las ecuaciones 1.66 y 1.67, tenemos

s (t) =Ac2ej2πfct

∑

k

Jk (β) ej2πkfmt +Ac2e−j2πfct

∑

k

J−k (β) e−j2π(−k)fmt. (1.68)

Realizando el cambio de variable de −k por k en la segunda sumatoria, podemos unir ambassumatorias y re-escribir la ecuación 1.68 como

s (t) = Ac∑

k

Jk (β)1

2

[ej2πfct+j2πkfmt + e−j2πfct−j2πkfmt

](1.69)

= Ac

∞∑

k=−∞Jk (β) cos [2π (fc + kfm) t] . (1.70)

El resultado 1.70 es una forma alternativa de expresar la modulación de un tono puro dadapor 1.54. Esta nueva expresión nos permite determinar el espectro de la modulación FM deun tono puro tomándole directamente la transformada de Fourier, obteniendo:

S (f) =Ac2

∞∑

k=−∞Jk (β) [δ (f − fc − kfm) + δ (f + fc + kfm)] . (1.71)

Analicemos este importante resultado en detalle.

1. Observando la figura 1.31 vemos que para β < 0,3 se tiene

J0 (β) ≈ 1 (1.72)

J1 (β) ≈ β

2(1.73)

Jk (β) ≈ 0 para k ≥ 2 (1.74)

Este es el caso de FM de banda angosta y confirma el resultado 1.52 deducido conanterioridad. El espectro dado por 1.71 se muestra en la figura 1.32.


−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Componentes de frecuencia para modulacion FM con ß=0.3

k

|Jk(0

.3)|

−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

J k(0.3

)

Figura 32: Lineas espectrales de la modulacion FM de un tono puro con ındice de modulacion� = 0,3.

= Ac

1X

k=�1Jk(�) cos[2⇡(fc + kfm)t]. (71)

El resultado (71) es una forma alternativa de expresar la modulacion de un tono puro dada por(57). Esta nueva expresion nos permite determinar el espectro de la modulacion FM de un tonopuro tomandole directamente la transformada de Fourier, obteniendo

S(f) =Ac

2

1X

k=�1Jk(�)[�(f � fc � kfm) + �(f + fc + kfm)]. (72)

Analicemos este importante resultado en detalle.

1. Observando la Figura 31, vemos que para � < 0, 3 se tiene

J0(�) ⇡ 1 (73)

J1(�) ⇡ �

2(74)

Jk(�) ⇡ 0 para k � 2 (75)

Este es el caso de FM de banda angosta y confirma el resultado (55) deducido en laSeccion 4.3.1. El espectro dado por (72) se muestra en la Figura 32.

2. En la medida que � crece, aumenta el numero de lineas espectrales significativas (armoni-cas, Figuras 33 y 34). La separacion entre armonicas es fm Hz.


Figura 1.32: Líneas espectrales de la modulación FM de un tono puro con índice de modu-lación β = 0,3.

2. En la medida que β crece, aumenta el número de líneas espectrales significativas(armónicas, figuras 1.33 y 1.34). La separación entre armónicas es fm Hz.

−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Componentes de frecuencia para modulacion FM con ß=1

k

|Jk(1

)|

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

k

J k(1)


−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.1

0.2

0.3

0.4


k

|Jk(5

)|

−15 −10 −5 0 5 10 15−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

J k(5)





−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8


k

|Jk(1

)|

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

k

J k(1)


−15 −10 −5 0 5 10 15

0

0.1

0.2

0.3

0.4


k

|Jk(5

)|

−15 −10 −5 0 5 10 15−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

J k(5)




3. La potencia promedio de s (t) no cambia al aumentar β. Intuitivamente, ello es asíporque la señal FM tiene envolvente constante (Ac y Am se mantienen fijos), y formal-mente es así debido a la propiedad 1.65, con la que determinamos la potencia de unamodulación FM de un tono puro como

PFM =1

2A2c

∞∑

k=−∞Jk (β) =

1

2A2c . (1.75)

Es interesante notar que la potencia de la señal FM modulada es igual a la potencia dela portadora sin modular.De lo anterior se desprende que las armónicas emergentes (valores con k mayores) crecenen energía a costas de la energía de las armónicas con valores de k menores.

4. Finalmente, en las tres figuras observamos la propiedad 1.64:

Impulsos correspondientes a k par de la banda lateral inferior tienen igual signoque sus pares en la banda lateral superior (“horquilla”).Impulsos correspondientes a k impar de la banda lateral inferior tienen signo opues-to que sus pares en la banda lateral superior (“anti-horquilla”).

1.4.4. Ancho de banda de una transmisión FM arbitraria

Conocer el ancho de banda de una transmisión es vital para dimensionar la cantidad de espec-tro necesario, para hacer uso del espectro disponible de acuerdo a regulaciones y concesiones


vigentes y para asimismo conocer la eficiencia espectral de la transmisión.

Regla de Carson. Recordemos que

β =∆f

fm=kfAmfM

. (1.76)

Vemos que β depende de los parámetros fundamentales que describen a la señal modulante:amplitud y frecuencia. Analicemos por separado el efecto de estos dos parámetros sobre elespectro de la modulación FM.

Caso I. fm se mantiene fijo y Am crece. Entonces, ∆f y β crecen.

β = 1⇐⇒ ∆f = fm (1.77)

β = 2⇐⇒ ∆f = 2fm (1.78)

β = 5⇐⇒ ∆f = 5fm (1.79)

Puesto que fm es la separación entre las líneas espectrales y dado que más líneasespectrales dejan de ser despreciables al crecer β (figuras 1.32 y 1.34), deducimos que

1. el ancho de banda de FM guarda alguna relación de proporción (no necesariamentelineal) con ∆f y que

2. el ancho de banda de FM crece con Am.

Por lo tanto, aumentar la potencia del tono modulante (mayor Am) hace crecer el anchode banda de la transmisión.

Caso II. Am se mantiene fijo y fm crece. Entonces ∆f se mantiene constante y β decrece.

Puesto que ∆f es constante, el ancho de banda no cambia (conclusión anterior). Así,en la medida que β crece y fm decrece, el intervalo fc −∆f < |f | < fc + ∆f se pueblamás y más densamente con líneas espectrales. En el límite (β −→∞⇐⇒ fm −→ 0) elancho de banda tiende a 2∆f .

Ambos casos anteriores permiten plantear una fórmula empírica para el ancho de banda dela modulación FM de un tono puro. La deducción de esta fórmula considera dos escenarios:

1. β pequeño: Hemos visto en el caso de FM de banda angosta que si β es pequeño (β <0,3), la modulación tiene solo dos líneas espectrales relevantes aparte de la portadora(figura 1.32). Así, en este caso podemos decir que, en la práctica, el ancho de banda es

BFM-BA ≈ 2fm. (1.80)

Asimismo, arriba observamos que el ancho de banda guarda relación con ∆f (CasoI). Sin embargo, puesto que para FM de banda angosta se tiene ∆f = βfm < 0,3fm,podemos afirmar que para este rango de β la desviación ∆f subestima el ancho de


banda fuertemente y por lo tanto 2fm es mejor indicador que ∆f para el ancho debanda (figura 1.35).

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 2∆f = 0,2fm

fc fc + fmfc − fm

Figura 1.35: Estimación de ancho de banda de la modulación FM de un tono puro en basea fm cuando β < 0,3.

2. β grande: Cuando β es grande, por ejemplo β = 20, hay unas 25 líneas espectrales acada lado de la portadora (figura 1.36). Para estos casos podemos decir que

BFM ≈ 2∆f , (1.81)

es un buen indicador del ancho de banda, mientras que 2fm lo subestima fuertemente.


2∆f = 2 · 20fm

fc fc + 25fmfc − 25fm

Figura 1.36: Estimación de ancho de banda de la modulación FM de un tono puro en basea ∆f cuando β � 0,3.

A partir de los dos escenarios anteriores, Carson formuló la siguiente regla empírica para elancho de banda de la modulación FM de un tono puro:

BFM ≈ 2∆f + 2fm = 2∆f

(1 +

1

β

)(1.82)

La curva correspondiente se ilustra en el gráfico inferior de la figura 1.37.


10−1

100

101

102

100

101

102

β [rad]

k max

kmax

en funcion de β

10−1

100

101

102

105

106

107

β [rad]

BT

BT en funcion de β para la modulacion del Problema 4

β crit. 1%

β Carson

Figura 37: Regla de Carson (curva suave, grafico inferior) vs. criterio del 1 % (curva dentada).

A partir de los dos escenarios anteriores, Carson formulo la siguiente regla empırica para elancho de banda de la modulacion FM de un tono puro:

BFM ⇡ 2�f + 2fm = 2�f

✓1 +

1

�

◆(83)

La curva correspondiente se ilustra en el grafico inferior de la Figura 37.

4.4.2. Criterio del 1%

De (72) sabemos que FM tiene infinitas lineas espectrales repartidas sobre todo el espectro defrecuencia. Por lo tanto, en estricto rigor, BFM !1, independiente de Am y fm. Sin embargo,hemos visto que la energıa de la modulacion se concentra, en la practica, en una banda de anchofinito (Figura 34). Ello implica que para cualquier � dado, siempre existe un entero kmax tal que

Jk(�) < Jmin 8k � kmax, (84)

con Jmin un umbral que indica el valor mınimo que un Jk(�) debe tener para ser consideradosignificativo. El “criterio del 1 %” define Jmin con respecto a la amplitud de una portadora nomodulada como sigue:

Jmin = 0, 01 · J0(0). (85)

Los valores de kmax que satisfacen este criterio en funcion de � deben ser calculados numeri-camente (Figuras 37 y 38). El ancho de banda de la modulacion FM del tono puro luego sedetermina como

BFM = 2kmaxfm. (86)


Figura 1.37: Regla de Carson (curva suave, gráfico inferior) vs. criterio del 1% (curvadentada).

Criterio del 1%. De la ecuación 1.71 sabemos que FM tiene infinitas líneas espectralesrepartidas sobre todo el espectro de frecuencia. Por lo tanto, en estricto rigor, BFM −→ ∞,independiente de Am y fm. Sin embargo, hemos visto que la energía de la modulación seconcentra, en la práctica, en una banda de ancho finito (figura 1.34). Ello implica que paracualquier β dado, siempre existe un entero kmax tal que

Jk (β) < Jmın, ∀k ≥ kmax, (1.83)

con Jmın un umbral que indica el valor mínimo que un Jk (β) debe tener para ser consideradosignificativo. El “criterio del 1%” define Jmın cn respecto a la amplitud de una portadora nomodulada como sigue:

Jmın = 0,01 · J0 (0) . (1.84)

Los valores de kmax que satisfacen este criterio en función de β deben ser calculados numé-ricamente (figura 1.7 y cuadro 1.1). El ancho de banda de la modulación FM del tono puroluego se determina como

BFM = 2kmaxfm. (1.85)


Cuadro 1.1: Número de lineas espectrales significativas según el criterio del 1%.

Índice de modulación Número de frecuencias significativasβ 2kmax

0,1 20,3 40,5 41,0 62,0 65,0 1610,0 2820,0 5030,0 70

1.4.5. Ancho de banda de modulaciones FM de señales arbitrarias

Consideremos una señal modulante m (t) cuyo contenido espectral está limitado al rango[−W,W ] Hz. Se define la razón de desviación como

D4=

∆f

W. (1.86)

Vemos que la razón de desviación es una definición análoga al índice de modulación (cf.ecuación 1.46) pero para el caso general de una señal modulante cualquiera. Así, en formaanáloga al caso de la modulación de un tono puro (cf. ecuación 1.83), definimos la regla deCarson en forma generalizada para el ancho de banda de una modulación FM arbitraria comosigue:

BFM = 2∆f + 2W = 2∆f

(1 +

1

D

), (1.87)

ya que usar W para calcular D considera la situación más desfavorable para el ancho debanda.

El criterio del 1% también se puede generalizar en forma análoga tomando W para fm y Dpara β, resultando (cf. ecuación 86)

BFM = 2kmaxW . (1.88)

Ejemplo Transmisión comercial de una emisora en el dial FM.

Problema: El marco regulatorio de la banda FM impone ∆f = 75 kHz. Un valor típicopara W es 15 kHz. Determine el ancho de banda de esta modulación según

(a) la regla de Carson, y


(b) el criterio del 1%.

Solución:

(a) Con la regla de Carson obtenemos directamente BFM = 2 · (75 kHz + 15 kHz) =180 kHz.

(b) Para el criterio del 1%, la razón de desviación es D = 75 kHz15 kHz = 5. Usando este valor

por β en la figura 1.38 encontramos kmax = 8, BFM = 2 · 8 · 15 kHz = 240 kHz.

�

1.4.6. Métodos de modulación FM de banda ancha

Para generar una modulación FM de banda ancha existen principalmente dos métodos, losque se describen a continuación.

Método indirecto. Primero se genera una señal FM de banda angosta utilizando un modu-lador como el de la figura 1.29 seguido por un multiplicador de frecuencia. Este consistede un dispositivo no-lineal sin memoria seguido por un filtro pasa banda (figura 1.38). Larelación entrada-salida del dispositivo no-lineal está dada por

v (t) = a1u (t) + a2u2 (t) + · · ·+ anu

n (t) (1.89)

con los ai y n parámetros conocidos del dispositivo.

u(t)Dispositivono lineal sinmemoria

BPFv(t)

Figura 1.38: Multiplicador de frecuencia, usado para modulación de frecuencia mediante elmétodo indirecto.

Si u (t) es una señal FM, entonces:

u (t) = Ac cos [2πfct+ ϕ (t)] , (1.90)

con

ϕ (t) = 2πkf

ˆ t

0

m (τ) dτ. (1.91)

Entonces, por ejemplo con n = 3 se tiene

v (t) = a1Ac cos [2πfct+ ϕ (t)] + a2A2c cos2 [2πfct+ ϕ (t)] + a3A

3c cos3 [2πfct+ ϕ (t)] . (1.92)


Usando identidades trigonométricas es fácil mostrar que

v (t) =1

2a2A

2c +

(a1Ac +

3

4a3A

3c

)cos [2πfct+ ϕ (t)] +

1

2a2A

2c cos [4πfct+ 2ϕ (t)] +

1

4a3A

3c cos [6πfct+ 3ϕ (t)] . (1.93)

Vemos que cada sumando en la ecuación anterior es una modulación FM, y que estas mo-dulaciones tienen razones de desviación (índices de modulación) sucesivamente crecientes,resultando, a partir de algún múltiple, modulaciones de banda ancha, las que pueden seraisladas mediante un filtro pasa banda para obtener la modulación FM deseada.

Ejemplo Modulación FM mediante método indirecto.

Problema. Una señal de audio contiene frecuencias en el rango 100 Hz a 15 kHz. Elmodulador FM de banda angosta opera con D = 0,2 rad. Se desea generar una salidacon fc = 89,7 MHz y ∆f = 75 kHz. ¿Cuál es el orden n que debe tener el multiplicadorde frecuencia?

Solución:

La modulación de banda angosta tiene

∆f = DW (1.94)= 0,2 rad · 15 kHz (1.95)= 3 kHz. (1.96)

Para lograr una modulación de banda ancha con ∆f = 75 kHz se necesita n = 75 kHz3 kHz =

25. Esto se puede lograr en dos pasos con dos multiplicadores de frecuencia de orden 5en cascada.

�

Método directo. La frecuencia instantánea es variada directamente con la señal modulanteusando un VCO (figura 1.18). La desventaja de estos dispositivos es que la estabilidad delvoltaje de salida tiende a ser pobre, lo que se traduce en phase jitter de la señal modulada. Elfenómeno es más severo con valores altos de la frecuencia portadora, por lo que una soluciónes usar un VCO a baja frecuencia y alimentar su salida a un multiplicador de frecuencia.

Una forma para estabilizar la frecuencia de salida de un VCO es mediante un lazo de reali-mentación en circuitos conocidos como Phase-Locked Loops (PLL, ver sección 4.7).

1.4.7. Demodulación de señales FM

La demodlación de señales FM consiste en traducir las variaciones de frecuencia de la se-ñal recibida en variaciones de amplitud de otra señal proporcional a m (t). Dos métodos sedescriben a continuación.


Método de la derivada. Consideremos la señal FM y su derivada:

sFM (t) = Ac cos

[2πfct+ 2πkf

ˆ t

0

m (τ) dτ]

(1.97)

dsFM

dt(t) = −Ac [2πfc + 2πkfm (t)] sen

[2πfct+ 2πkf

ˆ t

0

m (τ) dτ]. (1.98)

La derivada es una señal de pasabanda (el sen (·) es una señal FM en torno a fc) moduladaen amplitud por m (t), como en AM. Así, un derivador seguido por un detector de envolventees una posible arquitectura para demodular FM (figura 1.39).

Detector deenvolvente

ddt

Figura 1.39: Demodulador FM basado en el detector de envolvente.

La implementación del derivador es conceptualmente como sigue. Recordando la propiedadde derivada de Fourier:

dsdt

(t)←→ j2πfS (f) , (1.99)

vemos que un derivador es un filtro con una pendiente lineal en su pasabanda. Una imple-mentación de esta idea para una banda en torno a la portadora se logra mediante dos filtrospasa banda en paralelo, cuyas frecuencias centrales están por sobre y por debajo de fc (figura1.40).


+

−

entrada

BPF @ fc + ∆

BPF @ fc −∆

+

−

salida

Resultante:

Figura 1.40: Arquitectura de un derivador basado en dos filtros pasa banda en paralelo.

Método basado en Phase-Locked Loops. Un Phase-Locked Loop (PLL) es un VCO esta-bilizado mediante realimentación negativa. Los PLL tienen varios usos, como sincronizaciónde frecuencia y fase, división y multiplicación de frecuencia y demodulación FM, entre otros.

Su uso como demodulador FM se ilustra en la figura 1.41:


s(t) Filtro del loop v(t)

VCO

Figura 1.41: Demodulación FM empleando un PLL (Phase-Locked Loop).

Para entender su funcionamiento, asumiremos que el VCO ha sido ajustado tal que cuandosu entrada es cero, su salida es exactamente fc y está 90◦ fuera de fase con la portadora des (t). Comenzando con v (t) (figura 1.41) representamos la relación entrada–salida del VCOcomo

r (t) = Ac cos [2πfct+ ϕv (t)] , (1.100)

con:

ϕv = 2πkv

ˆ t

0

v (τ) dτ. (1.101)

Entonces, la salida del multiplicador es

e (t) = kmAcAv sen [2πfct+ ϕm (t)] cos [2πfct+ ϕv (t)] (1.102)

=1

2kmAcAv sen [4πfct+ ϕm (t) + ϕv (t)] +

1

2kmAcAv sen [ϕm (t)− ϕv (t)] . (1.103)

El filtro del loop es un filtro pasa bajos y por ende elimina la componente 2fc dada por laprimera componente del lado derecho de la ecuación 1.103. Así, enfocamos el análisis en elsegundo término, que tiene un error de fase dado por

ϕe (t) = ϕm (t)− ϕv (t) . (1.104)

Derivando ϕe (t):

dϕedt

(t) =dϕmdt

(t)− ddt

[2πkv

ˆ t

0

v (τ) dτ]

(1.105)

=dϕmdt

(t)− 2πkvv (t) (1.106)

Pero

v (t) = e (t) ∗ h (t) (1.107)

=

ˆ ∞−∞

e (τ)h (t− τ) dτ, (1.108)

con h (t) la respuesta al impulso del filtro del loop. Con ello, reescribimos la ecuación 1.106como

dϕedt

(t) =dϕmdt

(t)− πkmkvAcAvˆ ∞−∞

sen [ϕe (t)]h (t− τ) dτ. (1.109)


Esta es una ecuación íntegro-diferencial no-lineal que describe el comportamiento dinámicodel PLL.

Cuando ϕe (t) ≡ 0 para todo t se dice que el PLL está “anclado en fase” (phase-locked). Paracasos en que ϕe (t) es pequeño, es posible mostrar que

v (t) ≈ 1

2πkv

dϕmdt

(t) (1.110)

=kfkvm (t) . (1.111)

Esto indica que un PLL anclado en fase y que sea capaz de seguir con un error ϕe (t) pe-queño las fluctuaciones de fase de una señal FM de entrada, genera en su salida una señalproporcional a la modulante m (t). De esta forma, el PLL puede ser usado como demoduladorFM.


Capítulo 2 Ruido

Importante: Este capítulo presupone que el lector cuenta con las competencias enprobabilidades listadas en el Anexo 1.

2.1. Procesos aleatorios

2.1.1. Definición

El ruido, el tema central de este capítulo y uno de los temas centrales del estudio de laIngeniería de Comunicaciones, es modelado matemáticamente como un proceso estocásticoo proceso aleatorio, concepto que definiremos en esta sección.

A diferencia que con variables aleatorias, caso en que un experimento devuelve un valorconcreto para la variable, el resultado de un experimento con un proceso estocástico es unafunción aleatoria. En nuestro caso, dicha función típicamente es una señal en función deltiempo.

Ejemplo Las siguientes señales son ejemplos de procesos estocásticos:

Señal de voz.

Señal de TV.

Señal de ruido.

Pueden realizarse las siguientes observaciones:

En los ejemplos anteriores los procesos son aleatorios puesto que no es posiblepredecir (antes de conducir el experimento) cuál será la señal que observaremos.

El espacio muestral contiene todas las funciones que satisfacen las mismas propie-dades estadísticas.


Denotaremos el proceso estocástico por X (t) y una realización del proceso porx (t), de la misma forma en que una variable aleatoria la denotamos por X y unarealización de esta variable como x.

Ejemplo En el siguiente ejemplo observamos tres realizaciones del mismo procesoestocástico con t ∈ [0, T ].

Figura 2.1: Tres realizaciones del mismo proceso estocástico con t ∈ [0, T ] .

Notamos que:

Para t = t0, X0 = X (t0) es una variable aleatoria y x1 (t0), x2 (t0) y x3 (t0) son losresultados de tres experimentos de la variable aleatoria X0.

X (t1), X (t2) y X (t3) son tres variables aleatorias diferentes, ¡y pueden tener dis-tribuciones de probabilidad muy distintas!

2.1.2. Procesos estocásticos estacionarios (P.E.E.)

Se define un proceso estocástico estacionario como aquél en el cual las característicasestadísticas del proceso son invariantes en el tiempo. Es decir,

fX(t1),...,X(tk) (x1, . . . , xk) = fX(t1+τ),...,X(tk+τ) (x1, . . . , xk) , (2.1)

y por lo tanto, la distribución conjunta de las variables aleatorias X (tj) es idéntica a la delas variables aleatorias X (tj + τ) con τ arbitrario y k también arbitrario.

Se pueden distinguir dos situaciones de especial interés:


1. Para k = 1 tenemos que:

FX(t) (x) = FX(t+τ) (x) = FX (x) , (2.2)

para todo t y τ . Esto es, la función de distribución de primer orden de un procesoaleatorio estacionario es independiente del tiempo.

2. Para k = 2 y τ = −t1 se tiene que:

FX(t1),X(t2) (x1, x2) = FX(0),X(t2−t1) (x1, x2) , (2.3)

para todo t1 y t2. Es decir, la distribución de función de segundo orden de un procesoaleatorio depende solo de la diferencia de tiempo entre los tiempos de observación y node los tiempos particulares en los cuales el proceso es observado.

2.1.3. Funciones de media, correlación y covarianza

Para los propósitos de realizar una caracterización estadística de los procesos estocásticos,definimos las siguientes funciones:

1. Función de media:

µX (t)4= E {X (t)} (2.4)

=

ˆ ∞−∞

xfX(t) (x) dx. (2.5)

fX(t) puede variar en el tiempo, como por ejemplo en la señal de audio de una conver-sación.

Si el proceso estocástico es estacionario, entonces puede notarse que para todo t secumplirá que

µX (t) = µX. (2.6)

2. Función de autocorrelación: Es una medida de cuán correlacionados están los valores(aleatorios) del proceso en t1 y t21.

RX (t1, t2)4= E {X (t1)X (t2)} (2.7)

=

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

x1x2fX(t1),X(t2) (x1, x2) dx1dx2. (2.8)

De la ecuación 2.2 puede deducirse que si el proceso estocástico es estacionario, entoncesse cumplirá que:

RX (t1, t2) = RX (t2 − t1) = RX (τ) . (2.9)1La función de autocorrelación es el segundo momento de un proceso estocástico.


3. Función de covarianza:

CX (t1, t2)4= E {[X (t1)− µX (t1)] [X (t2)− µX (t2)]} . (2.10)

Realizando una expansión de esta ecuación puede notarse que:

CX (t1, t2) = E {X (t1)X (t2)} − µX (t1)µX (t2) (2.11)= RX (t1, t2)− µX (t1)µX (t2) . (2.12)

De la misma forma, si el proceso estocástico es estacionario, entonces:

CX (t1, t2) = CX (t2 − t1) = CX (τ) . (2.13)

Más aún,CX (τ) = RX (τ)− µ2

X. (2.14)

Observaciones:

1. µX (t) y RX (t1, t2) sólo proveen una descripción parcial de la distribución de un procesoestocástico.

2. Las ecuaciones 2.6 y 2.9NO son condiciones suficientes para garantizar estacionariedad.

3. Un proceso estocástico que satisface 2.6 y 2.9 se denomina “estacionario en el sentidoamplio” (ESA), y es muchas veces considerado estacionario para efectos prácticos.

2.1.4. Propiedades de la función de autocorrelación

Para un proceso estocástico estacionario se tendrá que para todo t:

RX (τ) = E {X (t+ τ)X (t)} . (2.15)

Se pueden notar las siguientes propiedades:

1. Valor cuadrado medio del proceso estocástico: (i.e. potencia)

RX (0) = E{X2 (t)

}. (2.16)

2. Simetría:RX (τ) = RX (−τ) . (2.17)

Esto indica que medir la correlación hacia atrás es exactamente lo mismo que me-dirla hacia adelante, debido a que como el proceso es estacionario las característicasestadísticas no varían en el tiempo.

3. Máximo:|RX (τ)| ≤ RX (0) . (2.18)

Por lo tanto, ningún par de muestras del proceso están tan correlacionadas como cadamuestra consigo mismo.


Ejemplo Consideremos el proceso estocástico

X (t) = A cos (2πfct) + B sen (2πfct) ,

donde A,B iid ∼ N (0, σ2). Determinemos si este proceso estocástico es o no estacionarioen el sentido amplio.

Solución:

En primer lugar,

µX (t) = E {A cos (2πfct) + B sen (2πfct)}= E {A} cos (2πfct) + E {B} sen (2πfct)

= 0

Por lo tanto, la función de media no depende del tiempo.

Asimismo,

RX (t1, t2) = E{A2}cos (2πfct1) cos (2πfct2) +((((

((E {A}E {B} cos (2πfct1) sen (2πfct2)· · ·+((((((E {A}E {B} cos (2πfct2) sen (2πfct1) + E

{B2}sen (2πfct1) sen (2πfct2)

Luego,

RX (t1, t2) = σ2 [cos (2πfct1) cos (2πfct2) + sen (2πfct1) sen (2πfct2)]

= σ2 cos [2πfc (t1 − t2)]

= RX (t2 − t1)

Concluimos entonces que el proceso estocástico es estacionario en el sentido amplio.

�

Ejemplo De forma análoga, determinemos la estacionariedad en el sentido amplio delproceso estocástico:

X (t) = A cos (2πfct) .

Solución:

Es fácil notar que µX (t) = 0.


Asimismo,

RX (t1, t2) = E{A2 cos (2πfct1) cos (2πfct2)

}

=σ2

2{cos [2πfc (t1 + t2)] + cos [2πfc (t1 − t2)]} .

El segundo término cumple con la condición de depender exclusivamente de ladiferencia de tiempo, sin embargo no se puede lograr los mismos resultados parael primer término, que depende de la suma de tiempos.

Dado que la segunda no se cumple, se deduce que el proceso NO es ESA.

�

2.1.5. Procesos estocásticos ergódicos

Un proceso estocástico ergódico es tal que sus propiedades estadísticas se pueden obtenerobservando el proceso a lo largo del tiempo.

Ejemplo La función de media

µX = E {X (t0)} con t0 arbitrario,

donde E { } opera sobre todas las realizaciones posibles x (t) de X (t) en t = t0.

Entonces, el proceso estocástico es ergódico si realizando una observación de una reali-zación de la función en todo el tiempo puede obtenerse la media:

µX = lımT→∞

1

2T

ˆ T

−Tx (t) dt

con x (t) una realización cualquiera del proceso estocástico.

Más formalmente, el valor DC de x (t) se define como el promedio de tiempo:

µx (T )4=

1

2T

ˆ T

−Tx (t) dt (2.19)

Claramente el promedio de tiempo µx (T ) es una variable aleatoria, debido a que su valordepende del intervalo de observación y los valores que tome el proceso en dicho intervalo.Como el proceso se asume estacionario, la media del promedio de tiempo µx (T ) está dada


por:

E {µx (T )} =1

2T

ˆ T

−TE {x (t)} dt (2.20)

=1

2T

ˆ T

−TµXdt (2.21)

= µX. (2.22)

Por lo tanto, µx (T ) representa un estimador insesgado del promedio µX . Decimos que elproceso X (t) es ergódico en la media si se cumplen las siguientes condiciones:

lımT→∞

µx (T ) = µX.

lımT→∞

Var {µx (T )} = 0.

Definimos de forma similar la función de autocorrelación en el tiempo:

Rx (τ, T )4=

1

2T

ˆ T

−Tx (t+ τ) x (t) dt. (2.23)

Este segundo promedio de tiempo debe verse también como una variable aleatoria con mediay varianza propias. Decimos asimismo que el proceso x (t) es ergódico en la función deautocorrelación si se cumplen las siguientes dos condiciones:

lımT→∞

Rx (τ, T ) = RX (τ) (2.24)

lımT→∞

Var {Rx (τ, T )} = 0, (2.25)

evidentemente asumiendo que el proceso es estacionario.

2.1.6. Densidad espectral de potencia

¿Cuál es el contenido de frecuencia de un proceso estocástico? El problema al responderseesta pregunta es que los procesos estocásticos no son, en general, Fourier-transformables yaque no satisfacen que su energía sea finita, i.e.

ˆ ∞−∞|x (t)|2 dt <∞, (2.26)

para toda realización x (t). Sin embargo, |x (t)|2 (y por lo tanto x (t)) puede entenderse comouna densidad temporal de energía. La energía total de la señal (en joules) viene dada por:

E =

ˆ ∞−∞|x (t)|2 dt =

ˆ ∞−∞|X (f)|2 df (2.27)


donde X (f) es la transformada de Fourier de la realización x (t). De aquí se deduce entoncesque:

[|X (f)|2

]=

JHz. (2.28)

Definamos entonces una transformada de Fourier de tiempo acotado:

X (f) =

ˆ T2

−T2

x (t) e−j2πftdt. (2.29)

Notamos que X (f) es un proceso estocástico ya que x (f0) es una variable aleatoria para todof0 puesto que es una suma de las infinitas variables aleatorias x (t) con t entre −T

2y T

2.

La potencia espectral promedio del proceso estocástico X (t) ∈[−T

2, T

2

]en cada frecuen-

cia f está dada por:

S(T )X (f, T )︸︷︷︸

WHz , determinístico

=1

TEX{|X (f)|2

}︸︷︷︸

energía promedio por Hzpara una frecuencia f

(∀f) , (2.30)

donde T es el período en el cual fue medida aquella energía.

Definiremos entonces la densidad espectral de potencia (PSD por sus siglas en inglés)del proceso estocástico X (t) como:

SX (f) = lımT→∞

S(T )X (f, T )

[WHz

]. (2.31)

Puede observarse que esta tiene sentido intuitivo.

Una interpretación física. Para investigar la significancia física de la densidad espectral depotencia, suponemos que el proceso X (t) pasa a través de un filtro pasabandas ideal centradaen fc y de ancho ∆f . Se obtiene un filtro como el que se muestra en la siguiente figura:


Si ∆f � fc, entonces:

E{Y2 (t)

}= E

{X2 (t)

}∣∣∣∣∣f=±fc

≈ 2∆fSX (fc) . (2.32)

Por lo tanto, SX (fc) representa la densidad de frecuencia de la potencia promedio del procesoX (t)2 evaluada en la frecuencia f = fc. Se sigue entonces que:

[SX (fc)] =WHz. (2.33)

Teorema de Wiener-Kinchin. A continuación revisaremos un importante teorema querealiza la conexión entre la función de autocorrelación y la función de densidad espectral depotencia.

Para el proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X (t) se cumple la siguienterelación:

SX (f) = F {RX (τ)} (2.34)

Algunas propiedades que se deducen de esta relación son las siguientes:

1. RX (0) = E{X2 (t)

}︸︷︷︸

=σ2X

=

ˆ ∞−∞

SX (f) df .

2. SX (f) ≥ 0 para todo f (la potencia de mayor o igual que cero). Esto se deduce inme-diatamente de la deducción realizada anteriormente en la interpretación física, pues laesperanza dada es siempre positiva.

3. SX (−f) = SX (f) (simetría).

Demostración:

Esta propiedad se obtiene sustituyendo −f por f en la ecuación:

SX (−f) =

ˆ ∞−∞

RX (τ) exp (j2πfτ) dτ

Haciendo θ = −τ se tiene que:

SX (−f) =

ˆ ∞−∞

RX (−θ)︸︷︷︸RX(θ)

exp (−j2πfθ) dθ = SX (f)

que es el resultado deseado.2¡Ojo! No del proceso Y (t) . El sistema lo que hace es quedarse con una banda de X (t) por lo que se

contiene información directa de este proceso.


2.2. Proceso estocástico a través de un filtro lineal

Este caso es de especial interés para comunicaciones digitales ya que el ruido blanco siemprees filtrado a la entrada del receptor, y luego en el filtro adaptado. ¿Por qué? Para limitar lapotencia del ruido versus la potencia de la señal.

Consideremos un esquema de recepción como el siguiente:

s(t)+

w(t)

BPF

AmplificadorLineal (LNA)

Demodulador

Hasta aquí se suma ruido térmico

Figura 2.2: Esquema de recepción de un sistema de comunicaciones.

El receptor tiene una figura de ruido. El ruido térmico de las componentes electrónicos aguasabajo y w son el problema.

Para propósitos de simplificación, nos interesa estudiar el siguiente caso:

X(t) h(t) Y(t)

Figura 2.3: Transmisión de un proceso estocástico gaussiano a través de un filtro LTI.

donde X (t) es un P.E. ESA y h (t) es un filtro LTI. En particular, nos interesa determinarµY (t), RY (t1, t2) y SY (f). Teniendo clara esta caracterización, podemos respondernos lapregunta: ¿es Y (t) un proceso estocástico ESA?

Para la función de media, notamos que:

µY (t) = E {Y (t)} (2.35)

= E{ˆ ∞−∞

h (τ)X (t− τ) dτ}. (2.36)


Dado que la esperanza es un operador lineal, asumimos alternancia entre operadores yobtenemos así que:

µY (t) =

ˆ ∞−∞

h (τ)E {X (t− τ)} dτ. (2.37)

Dado que X (t) es estacionario en el sentido amplio, entonces:

µY (t) = µX

ˆ ∞−∞

h (τ) dτ (2.38)

= µXH (0) , (2.39)

y por lo tanto es una constante.

Para la función de autocorrelación, partimos de la definición:

RY (t1, t2) = E {Y (t1)Y (t2)} (2.40)

= E{ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

h (τ1)X (t1 − τ1)h (τ2)X (t2 − τ2) dτ1dτ2

}(2.41)

=

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

h (τ1)h (τ2)E {X (t1 − τ1)X (t2 − τ2)}︸︷︷︸=RX(t1−τ1−t2+τ2)

dτ1dτ2. (2.42)

Haciendo ∆t = t1 − t2 = τ obtenemos así:

RY (t1, t2) = RY (t1 − t2) = RY (τ) . (2.43)

De estas últimas dos observaciones se deduce que Y (t) es estacionario en el sentido amplio.Podemos aplicar entonces el teorema de Wiener-Kinchin a RY (τ) para encontrar SY (f). Porlo tanto,

SY (f) = F {RY (τ)} (2.44)

=

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

h (τ1)h (τ2)RX (τ − τ1 + τ2) e−j2πfτdτ1dτ2dτ (2.45)

=

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

h (τ1)h (τ2)

ˆ ∞−∞

RX (τ − τ1 + τ2) e−j2πfτdτ︸︷︷︸

τ ′=τ−τ1+τ2

dτ1dτ2 (2.46)

=

ˆ ∞∞

h (τ1) e−j2πfτ1dτ1

ˆ ∞−∞

h (τ2) ej2πfτ2dτ2

︸︷︷︸h(−τ2)←→H(−f)=H∗(f)

ˆ ∞−∞

RX (τ ′) e−j2πfτ ′dτ ′ (2.47)

= H (f)H∗ (f)SX (f) . (2.48)

Es decir,SY (f) = |H (f)|2 SX (f) . (2.49)


Ejemplo Consideremos ruido blanco transmitido a través de un filtro pasabajos ideal.¿Cuál será la función de autocorrelación del proceso estocástico a la salida, Rη (τ)?

w(t) u(f

W

)η(t)

Figura 2.4: Ruido blanco transmitido a través de un filtro BPF ideal H(f) = u(f

W

).

Solución:

Se tiene que:

H (f) = u(f

W

)=

1, |f | ≤ W

2,

0, en otro caso.

W (t) : AWGN con SW (f) =N0

2.

Entonces, de la ecuación anterior se tendrá que:

RW (τ) =N0

2δ (τ)SW (f) =

N0

2−→ Sη (f) =

N0

2u(f

W

)

y por lo tanto,

Rη (τ) = F−1

{N0

2u(f

W

)}=N0W

2sinc (τW )

donde sinc (x) =sen (πx)

πx. Graficando esta función de autocorrelación:


De esta figura se observa que el filtro correlaciona al ruido y por lo tanto el período demuestreo afecta a la potencia transmitida. De acuerdo a la función de autcorrelaciónobtenida deducimos de inmediato que la potencia promedio de η (t) es N0W .

�

2.3. Ruido térmico (blanco)

El ruido térmico es la fuente más común de ruido en sistemas de comunicaciones. Si bienexisten otros tipos de ruido, no entraremos en detalles al respecto.

El ruido térmico es producido por movimientos aleatorios de electrones en conductores eléc-tricos.

Una resistencia R a temperatura T Kelvin exhibe un voltaje W (t) en sus bornes comoresultado de aquella cinética. El ruido W (t) es un proceso estocástico gaussiano3 (comoconsecuencia del Teorema del Límite Central), de media cero y estacionario.

El estudio de un modelo físico permite llegar a la conclusión de que el ruido térmico puedemodelarse como el siguiente circuito equivalente:

+−ηT (t)

R

+

−w(t)

Figura 2.5: Modelo equivalente para el ruido térmico.

En este caso la densidad espectral de potencia de la fuente de voltaje está dada por:3Un proceso estocástico es gaussiano si X (t) es una variable aleatoria gaussiana para todo t.


SηT (f) =2Rh |f |

exp

{h |f |kT

}− 1

. (2.50)

donde:

h es la constante de Planck,

h = 6,62× 10−34 m2 · kgs

. (2.51)

k es la constante de Boltzmann,

k = 1,38× 10−23 m2 · kgs2 ·K . (2.52)

R es la resistencia equivalente de Thévenin.

Podemos notar entonces que:

SηT (f) ≈ 2kTR para |f | < 1012 Hz. (2.53)

donde 1012 Hz es un rango de frecuencias menor al de la luz visible. Por ello, se concluye queel modelo clásico para ruido térmico en bornes es el conocido modelo de ruido blanco:

SW (f) =N0

2

[WHz

]. (2.54)

En otras palabras, asumimos que la densidad espectral de potencia del ruido blanco es cons-tante e igual a N0/2 en todo el espectro de frecuencias4. Utilizamos la constante N0/2 paraindicar que 1

2de la potencia se distribuye en f > 0 y el otro 1

2de la potencia en f < 0.

Aplicando la transformada de Fourier inversa obtenemos así que:

RW (τ) =N0

2δ (τ) . (2.55)

Por lo tanto, dos muestras cualesquiera de ruido blanco siempre serán independientes, sinimportar su separación en el tiempo.

Modelando un conductor resistivo con ruido con el equivalente de Thévenin y usando elteorema de máxima transferencia de potencia, encontramos que la máxima cantidad de ruidotérmico que el conductor puede dar en una banda ∆f es:

Pmax (∆f) =2kTr · 2∆f

4R= kT︸︷︷︸

WHz=J

∆f︸︷︷︸Hz

. (2.56)

4Por esta razón se conoce como ruido blanco en analogía a la luz: al contener la misma distribución entodo el espectro de frecuencias, se hace una analogía diciendo que contiene todos los colores y por lo tanto,es blanco.


+−ηT (t)

R

Pmax =η2T (t)

4R

Figura 2.6: Modelo equivalente para el ruido térmico.

pero dicha potencia es tambiénN0

22∆f = N0∆f . Por lo tanto, igualando:

N0 = kT

[WHz

]. (2.57)

Ejemplo Considerando una temperatura T = 290K entonces N0 = 4× 10−21

[WHz

].

−→ N0 = −174

[dBmHz

]. (2.58)

Este número es fundamental en ingeniería de comunicaciones (especialmente en comuni-caciones inalámbricas, ¿por qué?).


Resumiendo, el ruido térmico es:

1. Un proceso estocástico gaussiano (por Teorema del Límite Central).

2. µW = 0.

3. Estacionario.

4. Blanco, es decir:

SW (f) =N0

2= −174

[dBmHz

]

Y por lo tanto,

RW (τ) =N0

2δ (τ)

y no existe correlación en el tiempo.

5. Aditivo, pues es la superposición del movimiento aleatorio de electrones con mo-vimiento de electrones causado por señal determinística en el conductor.

Finalmente, el modelo equivalente que consideraremos para el ruido blanco en esquemasde procesamiento de señales será el siguiente:

s(t)+

w(t)

r(t)

Figura 2.7: Modelo equivalente para el ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN).

2.4. Propiedades de los procesos estocásticos gaussianos

1. Si un proceso estocástico gaussiano es aplicado a un filtro lineal estable, entonces elproceso estocástico observado a la salida del filtro también es gaussiano.


X(t) h(t) Y(t)

En otras palabras, en términos de la figura:

X (t) gaussiano y h (t) estable −→ Y (t) gaussiano

2. Cualquier conjunto de N muestras X (t1) , . . . ,X (tn) de un proceso estocástico gaus-siano es un conjunto de N variables aleatorias gaussianas cuya densidad conjunta estácompletamente definida por:

µX(ti) = E {X (ti)} , con i = 1, . . . , N (2.59)CX (tk, ti) = E

{[X (tk)− µX(tk)

] [X (ti)− µX(ti)

]}. (2.60)

3. Si CX (tk, ti) = 0 para todo i 6= k, entonces todas las variables aleatorias X (ti) sonestadísticamente independientes.

4. Un proceso estocástico gaussiano estacionario en el sentido amplio es estacionario ensentido estricto.


Capítulo 3 Comunicaciones digitales en banda base

3.1. Introducción

Olvidemos temporalmente el uso de portadoras y enfoquémonos en el problema de transmitiruna señal digital en banda base. En primer lugar, nos preguntamos: ¿por qué transmitirinformación digital? Los beneficios son:

Mucha de la información hoy en día es de naturaleza digital.

Posibilidad de multiplicación.

Formato común para utilizar un mismo medio para transmitir información de origenmuy variado (voz, datos, vídeo, sensores).

Mayor eficiencia energética y espectral producto de posibilidad de compresión y detec-ción / corrección de errores.

Si la fuente de información es analógica, asumiremos que la conversión A/D tiene un fil-tro anti-aliasing, muestreo, cuantización y compresión tal como se muestra en el siguienteesquema:

LPFT

ZIP1001101101 · · ·︸︷︷︸

{bn}

Filtro anti–aliasing

Muestreador

CuantizadorCompresor p2 = p1 =

1

2

Figura 3.1: Conversión análogo–digital en un sistema de comunicaciones.

Es fundamental entender que la transmisión de información digital se realiza con señalesanalógicas, ya que los “medios digitales” no existen. El medio siempre es una entidad delmundo real, que se rige por leyes de la física y por ende opera en tiempo y frecuenciacontinua. Es por ello que la transmisión de un mensaje digital requiere que el mensaje binariosea asociado de alguna forma a una señal analógica.


Ejemplo Transmisión binaria conocida como NRZ (non-return to zero). A cada símboloasociamos un pulso de voltaje dado por:

m = 0

Entonces, es claro que:

s0 (t) = u(t− 1

2Tb

Tb

). (3.1)

m = 1

Análogamente,

s1 (t) = − u(t− 1

2Tb

Tb

). (3.2)

En general, ambas señales pueden ser expresadas como:

sm (t) = (−1)m u(t− 1

2Tb

Tb

)con m ∈ {0, 1} . (3.3)

Una secuencia de bits {bn} genera la siguiente señal a transmitir:

s (t) =∞∑

n=−∞sn (t) , (3.4)


donde sn (t) es la señal del n−ésimo bit y puede tomar la forma s0 (t− nTb) ó s1 (t− nTb).Luego,

s (t) =∞∑

n=−∞sbn (t− nTb) , (3.5)

=∞∑

n=−∞(−1)bn u

[t−(n+ 1

2

)Tb

Tb

]. (3.6)

De esta forma, puede hacerse una conversión entre mensaje digital y señal analógica talcomo se describe en el siguiente esquema:

Figura 3.2: Equivalencia análogo digital entre dos señales.

Normalización por la energía. Es común dejar normalizados los pulsos anteriores entérminos de su energía por bit Eb, de modo que:

sb (t) =

√EbTsu(t− 1

2Ts

Ts

)

Tomando la energía de esta señal:

E {sb (t)} =

ˆ ∞−∞|sb (t)|2 dt =

EbTs× Ts = Eb

Es decir, realizando esta normalización la energía del pulso corresponde efectivamente aEb.

Existen muchísimas formas de asociar bits con señales, pero algunas son mejores que otras.El campo de las comunicaciones digitales trata acerca de diseñar y evaluar todas esas alter-nativas.

3.2. Receptor óptimo binario

Basado en el estudio anterior, observamos que nuestro sistema de comunicaciones digitalesde banda base tiene la siguiente estructura:


Figura 3.4: Ejemplo de señal ruidosa. Arriba la señal determinística y abajo la señal deter-minística con AWGN agregado.

{bn} Moduladors(t)

Canal +

w(t)

r(t)

Demodulador {bn}

Figura 3.3: Estructura de comunicaciones en banda base.

Respecto a cada uno de los elementos de este esquema pueden realizarse los siguientes obser-vaciones:

Modulador: mapea símbolos a señales según lo estudiado.

Canal: por ahora se modela ideal, con salida s (t).

Demodulador: obtiene la secuencia de bits{bn

}detectados, puede contener errores.

La pregunta es: ¿qué forma tiene el demodulador? Recibe la señal analógica con ruido y debedecidir qué simpolo representa. En el ejemplo binario anterior:

¿Cómo determinar si esta señal resultante, con el ruido aditivo agregado, se parece más a un0 ó a un 1? ¿Cuál es el procesador óptimo para señales analógicas deterioradas por ruidoaditivo blanco gaussiano, tal que la probabilidad de error en la salida sea mínima?

La estructura óptima que se propone es la siguiente:


s(t)+

h0(t)

h1(t)T

T

+

+

max

w(t)

c0

c1

r(t)

x1(t)

x0(t)

x1[n]

x0[n]

bn

Figura 3.5: Receptor óptimo para una señal binaria.

Estudiaremos el receptor óptimo etapa por etapa. Los filtros h0 (t) y h1 (t) se conocen comofiltros adaptados a los pulsos s0(t) y s1 (t).

3.2.1. Filtros adaptados

Los filtros adaptados para s0 (t) y s1 (t) tienen una respuesta al impulso estrechamente ligadaa esas mismas señales. En efecto, se puede deducir que, buscando condiciones de optimalidadpara el filtro:

hFA,m (t) = sm (Tb − t) . (3.7)

Es decir, el filtro adaptado es un filtro cuya respuesta al impulso es la imagen tiempo–invertidade la señal a detectar.

Figura 3.6: Ejemplo de filtro adaptado para una señal dada donde s (t) es la señal y hFA (t)su filtro adaptado.

En el ejemplo binario tendríamos:


Figura 3.7: Ejemplo de filtros adaptados para el caso binario NRZ. A la derecha las señalesoriginales y a la izquierda sus respectivos filtros adaptados.

3.2.2. Muestreo en Tb

De acuerdo a la figura expuesta notamos que para los pulsos NRZ como si (f) = −s0 (f),entonces el filtro adaptado 1 tiene un desfase de π con respecto al filtro adaptado 0.

Veamos qué pasa si se transmite un cero y asumimos que por ahora no existe transmisión deruido (i.e. w (t) ≡ 0). Luego, r (t) = s0 (t), y por lo tanto:

x0 (t) = r (t) ∗ hFA,0 (t) = s0 (t) ∗ s0 (Tb − t) (3.8)

=

ˆ Tb

0

s0 (t− τ) s0 (Tb − τ) dτ. (3.9)

Es decir, gráficamente estamos obteniendo la siguiente convolución:


Figura 3.8: Resultado de la convolución gráfica para la primera entrada del filtro adaptado.

Se observa que:x0 (Tb) = A2Tb

Es decir, el máximo valor de la función se alcanza efectivamente en el instante de muestreo.

Similarmente,

x1 (t) = r (t) ∗ hFA,1 (t) (3.10)= s0 (t) ∗ s1 (Tb − t) (3.11)= s0 (t) ∗ [−s0 (Tb − t)] (3.12)= −x0 (t) . (3.13)

Gráficamente, la convolución obtenida en este caso es:

Figura 3.9: Resultado de la convolución gráfica para la segunda entrada del filtro adaptado.

De forma análoga, concluimos que:

x1 (Tb) = −A2Tb. (3.14)


3.2.3. Constantes cm

Cuando los ceros y unos son equiprobables, se escogen las constantes:

cm4= −1

2

ˆ ∞−∞

s2m (t) dt = −1

2Eb,m. (3.15)

En el caso binario NRZ que hemos estado estudiando:

c0 = c1 = −1

2A2Tb . (3.16)

3.2.4. Dispositivo de decisión

Las entradas al dispositivo de decisión son x0 (Tb) + c0 y x1 (Tb) + c1. Para el ejemplo depulsos binarios, la señal de entrada que estaremos recibiendo es:

x0(Tb)−1

2A2Tb

−x0(Tb)−1

2A2Tb

max

Figura 3.10: Entradas al dispositivo de decisión.

El dispositivo decide 0 ó 1 según cuál de las entradas es mayor:

x0 (Tb) + c0

0

≷1−x0 (Tb) + c1. (3.17)

Para el caso NRZ, notamos que las constantes se cancelan:

x0 (Tb)��

��−1

2A2Tb

0

≷1−x0 (Tb)

��

��−1

2A2Tb. (3.18)

Si se transmite un cero:

x0 (Tb) = A2Tb−x0 (Tb) = −A2Tb

Como A2TB > −A2Tb se decide en favor de 0.


3.2.5. Consideraciones de funcionamiento del receptor óptimo

Con este entendimiento básico del receptor óptimo, nos centraremos en tres aspectos:

1. ¿Puede ser simplificado el receptor óptimo?

2. ¿Cómo opera el receptor óptimo cuando se transmite más de un bit?

3. ¿Qué pasa cuando hay ruido?

Revisemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo Consideremos la transmisión de los siguientes pulsos:

Figura 3.11: Entradas a considerar para el ejemplo.

Supongamos asimismo que se transmite un cero e ignoremos el efecto del ruido. Estu-diemos el comportamiento del filtro adaptado al tomar decisiones.

Solución:

Entonces,x0 (t) = s0 (t) ∗ h0 (t) = s0 (t) ∗ s0 (T − t) . (3.19)

Gráficamente, esta señal de salida se observa como:


Figura 3.12: Salida del primer filtro adaptado.

Análogamente, se deduce la siguiente gráfica para x1 (t):

Figura 3.13: Salida del segundo filtro adaptado.

Las constantes c0 y c1 son:

c0 = −1

2

ˆs2

0 (t) dt = −1

2A2T (3.20)

c1 = −1

2

ˆs2

1 (t) dt = −1

2k2A2T. (3.21)


Así, el dispositivo de decisión compara y escoge:

max {x0 (T ) + c0;x1 (T ) + c1} = max

{A2T − 1

2A2T ; k2AT − 1

2k2A2T

}

= max

{1

2A2T ; k

(1− k

2

)A2T

}

Ejemplo: tomando k = −1

2

= max

{1

2; −5

8

}.

El receptor declara entonces un cero y observamos que la decisión es correcta para todok ∈ R\ {1}.

En caso de ser transmitido un 1, el criterio de decisión es:

max

{kA2T − 1

2kA2T ; k2A2T − 1

2k2A2T

}= max

{k − 1

2;k2

2

}

Ejemplo: tomando k = −1

2

= max

{−1 ;

1

8

}.

Nuevamente vemos que la decisión es correcta (y lo es para todo k ∈ R\ {1}).

�

3.2.6. Simplificación del receptor

Sigamos trabajando el ejemplo anterior. Comparemos x0 (T ) con x1 (T ).

x0 (T ) = s (t) ∗ h0 (t)

∣∣∣∣∣t=T

, (3.22)

donde s (t) puede ser s0 (t) ó s1 (t). Luego, considerando que estamos trabajando con un pulsoNRZ, la integral de convolución cambia sus extremos de integración de 0 a T y por lo tanto:

x0 (T ) =

ˆ t

0

s (τ)h0 (t− τ) dτ

∣∣∣∣∣t=T

(3.23)

=

ˆ t

0

s (τ) s0 (T − t+ τ) dτ

∣∣∣∣∣t=T

(3.24)

=

ˆ T

0

s (τ) s0 (τ) dτ. (3.25)


Análogamente,

x1 (T ) = s (t) ∗ h1 (t) (3.26)= · · · (3.27)

=

ˆ T

0

s (τ) s1 (τ) dτ. (3.28)

Supongamos que s1 es proporcional a s0. En dicho caso, s1 (t) = ks0 (t) y por lo tanto:

x1 (t) = k

ˆ T

0

s (τ) s0 (τ) dτ (3.29)

= kx0 (T ) . (3.30)

Así, siempre que los pulsos s0 (t) y s1 (t) sean linealmente dependientes, las salidas de losfiltros adaptados en t = T también lo serán. Por lo tanto, basta con usar un solo filtro (usardos no agrega información para la decisión.

El receptor simplificado es el siguiente (usando filtro adaptado a s0 (t)):

s(t) +

w(t)

h0(t)T

bn

Figura 3.14: Receptor simplificado usando filtro adaptado a s0 (t).

Luego, se tendrá que:

x0 (T ) =1

kx1 (T ) =

{A2T, si se transmite un 0,kA2T, si se transmite un 1.

(3.31)

La decisión se tomará entonces de acuerdo a:

x0 (T ) + c0 > kx0 (T ) + c1 −→ x0 (T ) (1− k) >1

2A2T

(1− k2

)

Si suponemos que k < 1, entonces:

x0 (T ) >1

2A2T (1 + k)

Es decir, si k < 1, el dispositivo de decisión declara:


0 si x0 (T ) ≥ A2T

(1 + k

2

),

1 si x0 (T ) < A2T

(1 + k

2

).

Se observa que la frontera de decisión es1

4, alcanzada cuando k = −1

2.

Ejemplo Consideremos la transmisión de los siguientes pulsos:

Figura 3.15: Ejemplo de transmisión de pulsos proporcionales.

Entonces, escribiendo analíticamente las expresiones:

hFA,0 (t) = A u(t− 1

2Tb

Tb

)(3.32)

hFA,1 (t) = B u(t− 1

2Tb

Tb

). (3.33)

Consideremos asimismo el receptor óptimo ya estudiado y los siguientes supuestos:

1. El receptor sabe que es ya sea s0 (t) ó s1 (t), equiprobables.

2. El receptor está perfectamente sincronizado al transmisor.

3. w (t) ≡ 0.

¿Es capaz el receptor óptimo de tomar la decisión correcta?


Solución:

Supongamos que se transmite s0 (t). Entonces,

x0 (t) = s0 (t) ∗ hFA,0 (t) (3.34)

= A2Tb ∧(t− TbTb

). (3.35)

Asimismo,

x1 (t) = s0 (t) ∗ hFA,1 (t) (3.36)

= ABTb ∧(t− TbTb

). (3.37)

También,

c0 = −1

2

ˆ Tb

0

s20 (t) dt = −A

2

2Tb (3.38)

c1 = −1

2

ˆ Tb

0

s21 (t) dt = −B

2

2Tb. (3.39)

Distinguimos así tres casos:

Caso I

Entonces, la decisión se toma en base a:

max

{A2Tb −

A2

2Tb, ABTb −

B2

2Tb

}

︸︷︷︸¡Tb es irrelevante!

= max

{A2

2, AB − B2

2

}. (3.40)

La pregunta subsecuente es:

¿A2

2R AB − B2

2?. (3.41)

Pero la expresión anterior es equivalente a preguntarse:

¿A2 − 2AB +B2 R 0?←→ ¿ (A−B)2 R 0?. (3.42)

Por axiomática real, deducimos que siempre:

A2

2≥ AB − B2

2. (3.43)


Entonces, siempre se escoge el cero, para cualquier valor de A y B, salvo en la igualdad,cuyo caso es trivial pues los símbolos a transmitir serían iguales y no habrían comunica-ciones.

Por lo tanto, con el receptor óptimo formulado con constantes, la decisión siempre escorrecta (en ausencia de ruido).

Caso II

¿Qué pasa si no se usan las constantes c0 y c1? Entonces la decisión se toma en base a:

max{A2Tb, ABTb

}= max

{A2, AB

}. (3.44)

A modo de ejemplo, si 0 < A < B, entonce se decide erróneamente a favor de 1.

Caso III

Supongamos que B = −A. Entonces la decisión se basa en:

max

{A2Tb −

A2Tb2

, ABTb −B2

2Tb

}= max

{A2Tb −

A2

2Tb,−A2Tb −

A2

2Tb

}(3.45)

= max{A2,−A2

}. (3.46)

Se observa claramente que Tb y ci son irrelevantes en este caso.

�

En el ejemplo binario NRZ notamos que siempre se tiene x1 (t) = −x0 (t) puesto que s1 (t) =−s0 (t) y por ende hFA,0 (t) = −hFA,0 (t). Por ello, la detección se puede hacer usando un solofiltro adaptado dado por hFA (t)

4= hFA,0 (t).

También notamos que c0 = c1 las hace irrelevantes para la decisión, y así las despreciamos.El receptor óptimo toma entonces la siguiente forma:

r(t) hFA(t)x(t) T

bn

Figura 3.16: Receptor óptimo simplificado para la transmisión de símbolos NRZ.


Más aún, en vez de tomar el máximo podemos evaluar el signo de la expresión, de modo que:

bn =

{0, si x (Tb) ≥ 0,

1, si x (Tb) < 0.(3.47)

3.2.7. Transmisión de una secuencia de bits

Veamos qué pasa si en vez de transmitir un bit aislado se transmite una secuencia {bn}determinada. Para el caso binario estudiado hasta ahora, determinaremos analíticamente elresultado obtenido al ingresar una secuencia de bits de la forma,

s (t) = A2

∞∑

n=−∞(−1)bn u

[t−(n+ 1

2

)Tb

Tb

]. (3.48)

El filtro adaptado normalizado por su energía corresponde a:

hFA (t) =s0 (t)ˆ ∞

−∞s2

0 (τ) dτ=

s0 (t)√A2Tb

. (3.49)

Se tiene asimismo que:

x (t) = s (t) ∗ hFA (t) (3.50)

=

ˆ ∞−∞

s (τ)hFA (t− τ) dτ. (3.51)

Reemplazando con la entrada:

x (t) =A√Tb

ˆ ∞−∞

∞∑

n=−∞(−1)bn u

[τ −

(n+ 1

2

)Tb

Tb

]u(t− τ − 1

2Tb

Tb

)dτ. (3.52)

Alternando operadores tenemos que:

x (t) =A√Tb

∞∑

n=−∞(−1)bn

ˆ ∞−∞u[τ −

(n+ 1

2

)Tb

Tb

]

︸︷︷︸(1)

(2)︷︸︸︷u(t− τ − 1

2Tb

Tb

)dτ. (3.53)

Observamos que:

El término (1) es distinto de cero para todo τ ∈ [nTb, (n+ 1)Tb].

El término (2) es distinto de cero para todo τ ∈ [t− Tb, t].


Juntando estos dos hechos, tendremos que:

ˆ ∞−∞u[τ −

(n+ 1

2

)Tb

Tb

]u(t− τ − 1

2Tb

Tb

)dτ = Tb ∧

[t− (n+ 1)Tb

Tb

], (3.54)

donde ∧ (t) =

{|t| , si t ∈ [−1, 1] ,

0, si t 6∈ [−1, 1] .Así,

x (t) = A√Tb

∞∑

n=−∞(−1)bn ∧

[t− (n+ 1)Tb

Tb

]. (3.55)

Con el propósito de comprender gráficamente el resultado de esta convolución, revisemos elsiguiente ejemplo:

Ejemplo Consideremos la siguiente secuencia de bits:

{bn} = 10110

Entonces, la señal recibida es:

Figura 3.17: Secuencia de bits codificada en la señal recibida.

Convolucionando gráficamente con el filtro adaptado normalizado obtenemos:


Figura 3.18: Resultado de la convolución gráfica con el filtro adaptado, paso a paso.

3.3. Probabilidad de error

Consideremos ahora el receptor óptimo bajo ruido blanco:


s(t) +

w(t)

r(t)

F.A.x(t) Tb x(Tb)

bn

Figura 3.19: Receptor simplificado usando filtro adaptado a s0 (t) y considerando la adiciónde ruido blanco gaussiano.

Desde luego, x (Tb) ahora es una observación ruidosa, lo cual conlleva una probabilidad decometer un error de decisión. ¿Cuál es la probabilidad de error? Hay dos errores posibles:

Error de tipo I: Se declara un 1 cuando un 0 fue transmitido. Esta probabilidad ladenotaremos por:

P (D1 | 0)

Error de tipo II: Se declara un 0 cuando un 1 fue transmitido. Esta probabilidad ladenotaremos por:

P (D0 | 0)

La probabilidad de error de bit, denotada por Pb , tiene entonces la siguiente forma general:

Pb = p0 · P (D1 | 0) + p1 · P (D0 | 1) . (3.56)

Supongamos que un 0 fue transmitido y determinemos P (D1 | 0). De la figura,

x (Tb) = r (t) ∗ hFA (t)

∣∣∣∣∣t=Tb

(3.57)

= [s0 (t) + w (t)] ∗ hFA (t)

∣∣∣∣∣t=Tb

(3.58)

= s0 ∗ hFA (t)

∣∣∣∣∣t=Tb

+ w (t) ∗ hFA (t)

∣∣∣∣∣t=Tb

. (3.59)

Asumiendo NRZ con la siguiente señal, su filtro adaptado y función de autcorrelación:


Figura 3.20: Señal enviada, su filtro adaptado y función de autocorrelación empleadas parael cálculo de probabilidad de error.

Tenemos que:

x (Tb) = A2Tb + A

ˆ ∞−∞

w (τ)

hFA(t−τ)︷︸︸︷u(t− τ − 1

2Tb

Tb

)dτ (3.60)

= A2Tb︸︷︷︸(∗)

+A

ˆ Tb

0

w (τ) dτ. (3.61)

El paso crucial para evaluar Pb es reconocer que x (Tb) es una variable aleatoria gaussiana,ya que x (t) es un proceso estocástico gaussiano y x (Tb) una muestra de dicho proceso. Porlo tanto, basta con determinar la media y varianza de x (Tb) para conocer su distribución. Enefecto,

µX|0 = E {x (Tb) | 0} (3.62)

= A2Tb + A

ˆ Tb

0

E {w (τ)} dτ (3.63)

= A2Tb. (3.64)


pues E {w (τ)} = 0. Análogamente,

σ2X|0 = E

{[x (Tb)− µX|0

]2 |0}

(3.65)

= E{A2Tb + A

ˆ Tb

0

w (τ) dτ − A2TB

}(3.66)

= E{A2

ˆ Tb

0

w (τ1) dτ1

ˆ Tb

0

w (τ2) dτ}

(3.67)

A2

ˆ Tb

0

ˆ Tb

0

E {w (τ1)w (τ2)} dτ1dτ2

︸︷︷︸RW(τ1,τ2)=

N02δ(τ1−τ2)

. (3.68)

Es decir,

σ2X|0 = A2N0

2

ˆ Tb

0

ˆ Tb

0

δ (τ1 − τ2) dτ1dτ2. (3.69)

Recordando que la función impulso integral 1 para τ1 = τ2, entonces:ˆ Tb

0

ˆ Tb

0

δ (τ1 − τ2) dτ1dτ2 =

ˆ Tb

0

dτ2, (3.70)

y por lo tanto,

σ2X|0 = A2N0

2Tb =

N0

2A2Tb, (3.71)

donde A2Tb es la energía del filtro adaptado y del pulso, i.e. definimos Eb = A2Tb. Enconsecuencia, la densidad de probabilidad de x (Tb) dado que se transmitió un 0 es:

fX (x | 0) =1√

2πN0/2exp

{−(x− A2Tb)

2

A2TbN0

}. (3.72)

Notamos que se declara un 1 cuando x (Tb) < 0, por lo que graficando la función de densidadprobabilística y achurando el área correspondiente:

Figura 3.21: Función de densidad probabilística asociada a x (Tb) así como el área quedenota la probabilidad de cometer error de tipo I.


Entonces,

P (D1 | 0) =1

2+

1

2erf

(x− A2Tb√A2TN0

)∣∣∣∣∣x=0

(3.73)

=1

2+

1

2erf

−

√A2T

N0

(3.74)

=1

2− 1

2erf

(√EbN0

), (3.75)

donde de la segunda ecuación a la tercera utilizamos la propiedad de la función error:

erf (−x) = − erf (x) . (3.76)

Análogamente, podemos determinar que para P (D0 | 1) se tendrá que:

D0 | 1 ∼ N(−A2Tb,

N0

2A2Tb

). (3.77)

Se declarará un 1 si x (Tb) > 0, por lo que gráficamente:

Figura 3.22: Función de densidad probabilística asociada a x (Tb) así como el área quedenota la probabilidad de cometer error de tipo II.

Es decir,

P (D0 | 1) = 1−[

1

2+

1

2erf

(√EbN0

)](3.78)

=1

2− 1

2erf

(√EbN0

). (3.79)


Finalmente, de esta forma,

Pb =1

2P (D1 | 0) +

1

2P (D0 | 1) (3.80)

=1

2− 1

2erf

(√EbN0

)(3.81)

Obtenemos así la probabilidad de error de bit de transmisión binaria NRZ en bandabase:

Pb =1

2erfc

(√EbN0

)(3.82)

Pueden realizarse los siguientes comentarios:

1. Eb

N0se conoce como la razón señal a ruido (SNR), entre la energía de un símbolo y la

potencia del ruido.

2. La Pb solo depende de la SNR en relación directa. Es decir,

Si Eb aumenta, entonces Pb disminuye.

Si N0 aumenta, entonces Pb aumenta.

Esta relación puede graficarse como sigue:


Figura 3.23: Relación entre la razón señal a ruido y la probabilidad de error en escala log–log. Esta curva no es otra cosa que el complemento de la función de acumulación gaussianaen escala logarítmica.

3. Se puede realizar una representación del dispositivo de decisión junto a las señales querecibe y los valores que estas pueden tomar de acuerdo a la distribución de probabili-dades. Esto se muestra en la siguiente figura:


Tb

bn

x(TB)

Figura 3.24: Dispositivo de decisión junto a señales que recibe y valores que puede tomarde acuerdo a las distribuciones de probabilidades.

Se observa que existen dos regiones de decisión.

4. El bosquejo de arriba se conoce como el espacio de señales.

(*) Si el filtro adaptado fuera normalizado por su energía, entonces:

(∗) =

ˆ ∞−∞

s0 (τ)hFA (t− τ) dτ

∣∣∣∣∣t=Tb

(3.83)

=

ˆ ∞−∞

s0 (τ)hFA (Tb − τ) dτ (3.84)

=

ˆ ∞−∞

s0 (τ)s0 (τ)√ˆ ∞

−∞s2

0 (τ ′) dτ ′dτ (3.85)

=

ˆ ∞−∞

s20 (τ) dτ

√ˆ ∞−∞

s20 (τ ′) dτ ′

. (3.86)

Notando que las variables de integración son mudas, entonces:

(∗) =

√ˆ ∞−∞

s20 (τ) dτ =

√A2Tb =

√Eb. (3.87)

Lo cual es lógico por:


la relación entre s0 (t) y hFA (t).

porque hFA (t) tiene energía 1, lo cual no altera la señal filtrada.

3.4. Optimalidad del filtro adaptado

3.4.1. Demostración de optimalidad

La optimalidad del filtro adaptado consiste en que maximiza la razón señal a ruido de losestadísticos de entrada al dispositivo de decisión (¡no existe otra forma de procesar las señalesrecibidas para mejorar la SNR aún más!).

En consecuencia, si la razón señal a ruido es máxima (para todos los estadísticos, formageneral del receptor óptimo), la probabilidad de error resulta mínima.

La SNR máxima está dada por:

ηmax = ηFA =2

N0

ˆ ∞−∞|s (f)|2 df. (3.88)

Demostración:

Una forma de describir el requerimiento es exigir que la potencia instantánea de x (t) medidaen t = T sea tan grande como se pueda comparada a la potencia promedio del ruido de salidan (t). En otras palabras, el receptor debe maximizar el SNR de pulso peak:

η =|x (T ) |2E {n2 (t)} (3.89)

Entonces, expandiendo ambos términos en términos de sus contenidos espectrales:

η =

∣∣∣∣ˆ ∞−∞

H (f)S (f) exp (j2πfT ) df∣∣∣∣ˆ ∞

−∞SN (f) df

, (3.90)

pero SN (f) =N0

2|H (f) |2. Por lo tanto,

η =2

N0

∣∣∣∣ˆ ∞−∞

H (f)S (f) exp (j2πfT ) df∣∣∣∣ˆ ∞

−∞|H (f) |2df

. (3.91)

Nuestro problema es encontrar, dada G (f), la forma particular de la respuesta en frecuenciade H (f) de modo de hacer η máximo.

Haremos uso del siguiente teorema como lema de esta demostración:


Teorema: (Desigualdad de Schwarz) Si tenemos dos funciones φ1 (x) y φ2 (x) de variablereal x, satisfaciendo las condiciones

ˆ ∞−∞|φ1 (x) |2dx <∞ y

ˆ ∞−∞|φ2 (x) |2dx (3.92)

Entonces,∣∣∣∣ˆ ∞−∞

φ1 (x)φ2 (x) dx∣∣∣∣2

≤(ˆ ∞−∞|φ1 (x) |2dx

)(ˆ ∞−∞|φ2 (x) |2dx

). (3.93)

La igualdad se alcanza si y solo si φ1 (x) = kφ∗2 (x).

Aplicando el teorema anterior, haciendo φ1 (f) = H (f) y φ2 (f) = S (f) exp (j2πfT ) setendrá que:

η ≤ 2

N0

ˆ ∞−∞|H (f) |2df

ˆ ∞−∞|S (f) |2df

ˆ ∞−∞|H (f) |2df

=2

N0

ˆ ∞−∞|S (f) |2df. (3.94)

El máximo se alcanzará entonces cuando:

ηmax =2

N0

ˆ ∞−∞|S (f) |2df . (3.95)

De acuerdo a la desigualdad de Schwarz, la igualdad se alcanzará cuando:

Hopt (f) = kS∗ (f) exp (−j2πfT ) . (3.96)

Luego,

hopt (t) = k

ˆ ∞−∞

S∗ (f) exp [−j2πf (T − t)] df. (3.97)

Si la señal es real, entonces S∗ (f) = S (−f) y por lo tanto,

hopt (t) = k

ˆ ∞−∞

S (−f) exp [−j2πf (T − t)] df (3.98)

= k

ˆ ∞−∞

S (f) exp [j2πf (T − t)] df (3.99)

= ks (T − t) . (3.100)

Entonces, el filtro óptimo, es una versión retrasada y dada vuelta de la señal s (t), esto es,adaptada a la señal de entrada: ¡el filtro adaptado!. Un filtro LTI definido de esta formase conoce como filtro adaptado. El supuesto inherente realizado en esta deducción sobre elruido de entrada w (t) es que es estacionario, blanco, de media cero y densidad espectral depotencia N0/2 y ningún supuesto se ha realizado sobre las estadísticas del ruido de canalw (t). �


Importante: Debe considerarse que para la optimalidad determinada se están realizan-do los siguientes supuestos bajo los cuales el filtro adaptado es el receptor óptimo:

1. Ruido blanco aditivo gaussiano (AWGN).

2. Canal ideal: es decir, s (t) aparece sin distorsión en la antena de recepción.

3. No hay correlación entre bits sucesivos.

3.4.2. Respuesta en frecuencia

Estudiemos la respuesta de frecuencia de un filtro adaptado para entender mejor cómo opera.En efecto,

HFA,m (f) = F {hFA,m (t)} (3.101)= F {sm (Tb − t)} (3.102)= e−j2πfTbS (−f) . (3.103)

Puesto que sm (f) son reales, sabemos que |S (−f)| = |S (f)|5. Por lo tanto,

|HFA,m (f)| = |S (f)| . (3.104)

Volviendo al ejemplo binario, graficamos las respuestas en frecuencia de cada uno de loselementos de esta etapa:

5Recuerde el lector que la transformada de Fourier de una señal real es hermítica.


Figura 3.25: Gráficos de las respuestas en frecuencia para la señal, su filtro adaptado y lafunción de autcorrelación del ruido.

El ruido w (f) tiene la energía repartida parejamente en todo el espectro pues SW (f) = N0

2

mientras que la señal no pues S0 (f) = ATb sinc (fTb) e−jπfTb .

Por lo tanto, el filtro adaptado está adaptado a la señal tal que permita pasar frecuenciasdonde la señal es fuerte con respecto al ruido y atenúa las frecuencias donde hay poca señaly sólo ruido.

Asimismo, podemos entender el filtro adaptado como la operación de correlación:

x (t) =

ˆ ∞−∞

s (τ)hFA (t− τ) dτ (3.105)

=

ˆ ∞−∞

s (τ) s [T − (t− τ)] dτ. (3.106)

Haciendo T ′ = T − t obtenemos que:

x (t) =

ˆ ∞−∞

s (τ) s (T ′ + τ) dτ, (3.107)

lo cual efectivamente una correlación. Haciendo t = T obtenemos que:

x (T ) =

ˆ ∞−∞

s2 (τ) dτ. (3.108)


3.5. Transmisión M−aria

Como extensión de la transmisión anterior, podemos agrupar los bits de la señal transmitidaen grupos de log2M bits para formar símbolos. Este proceso se conoce como transmisiónM−aria. En general, si el alfabeto tiene M símbolos posibles, las tuplas binarias son delog2 (M) bits.

Ejemplo Sistema 16–ario. En este caso, M = 16 −→ log2M = 4. Podemos generar lasiguiente tabla para el mensaje 0100101101111001:

Mensaje: 0100︸︷︷︸ 1011︸︷︷︸ 0111︸︷︷︸ 1001︸︷︷︸Símbolos: = 4 = 11 = 7 = 9Señales: s4 (t) s11 (t) s7 (t) s9 (t)

A modo de ejemplo, podemos utilizar los siguientes símbolos:

Figura 3.26: Señales de ejemplo para una transmisión M−aria.

Cualquier grupo de 16 señales es válido.

Sin embargo, hay grupos con mejores características que otros, tales como:

• Características espectrales.

• Energéticas.


• Probabilidad de error.

3.5.1. Modulación de Amplitud de Pulso (PAM)

En la transmisión M−PAM (Pulse Amplitud Modulation) se utiliza un pulso base ϕ (t) deenergía 1 y cada uno de los M símbolos se obtiene al hacer variar la amplitud del pulso.Consideremos para nuestro estudio el pulso base:

ϕ (t) =1√Tu(t− T/2T

)−→ E {ϕ (t)} = 1. (3.109)

Entonces, cada uno de los símbolos se obtiene al hacer variar la amplitud:

sm (t) = Amϕ (t) . (3.110)

Para una transmisión de 4 símbolos, es deseable incluir tanto amplitudes negativas comopositivas. Asimismo, es deseable transmitir múltiplos de un amplitud base A, de modo quepara esos cuatro bits podemos transmitir −3A, −A, A y 3A. Esto puede representarse parauna transmisión de M símbolos como:

Am = (2m+ 1−M)A√T con m ∈ {0, 1, 2, . . . ,M − 1} . (3.111)

donde agregamos el término√T para propósitos de normalización. A modo de ejemplo:

Para la transmisión NRZ binaria ya conocida, M = 2 y por lo tanto Am = ±A.

Para 8−PAM se tiene que Am = ±7,±5,±3,±1.

Se define la energía promedio del símbolo como:

Es4=

M−1∑

m=0

P (m)

ˆ T

0

sm (t) dt. (3.112)

Comoˆ T

0

sm (t) dt = (2m+ 1−M)A2T y P (m) =1

M, entonces:

Es =A2T

M

M−1∑

m=0

(2m+ 1−M)2 . (3.113)

Expandiendo la suma mediante la fórmula respectiva:

Es =A2T

3

(M2 − 1

)(3.114)


Ejemplo Para la transmisión 4−PAM, los bits se agrupan de a 2 para formar lossímbolos que después se transmiten con amplitud variable.

Para cada símbolo se define una señal:

Figura 3.27: Símbolo asociado a cada señal para una transmisión 4−aria.

Luego, a modo de ejemplo, el mensaje 01001011100111 se transmite como:


Figura 3.28: Señal de ejemplo para una transmisión 4−aria.

3.5.2. Receptor óptimo para detección M−aria

Como extensión al receptor óptimo ya estudiado, se propone la siguiente estructura para elreceptor óptimo de una trasmisión M−aria.

r(t)

sM−1(Ts − t)

...

s1(Ts − t)

s0(Ts − t)

Ts

Ts

Ts

xM−1(t)

x1(t)

x0(t)

+

+

+

cM−1

c1

c0

max In

Figura 3.29: Receptor óptimo para una tramisión M−aria.


Para el caso M−PAM, el receptor óptimo puede ser simplificado como antes, puesto quetodas las sm (t) son similares, con sm1 (t) = ksm2 (t):

s(t) +

w(t)

r(t)s(Ts − t)

Ts x(Ts)

In

Figura 3.30: Receptor óptimo simplificado y regiones de decisión para el receptorM−PAM.

3.5.3. Probabilidad de error de modulaciones M−arias

Para determinar la probabilidad de error de una modulación M−aria es necesario reconocerdos diferencias con respecto al caso binario:

1. Los errores de decisión son errores de símbolo, los cuales denotaremos como Ps. HayM − 1 errores posibles, cuyas probabilidades son, en general, distintas. A modo deejemplo, para 4−PAM, si transmitimos el símbolo binario 11, representado por un 3,se tendrá el siguiente esquema de errores:


P (D0 | 3)

P (D1 | 3)

P (D2 | 3)

Figura 3.31: Esquema de posibles errores que se pueden cometer en una modulaciónM−PAM dado el símbolo 3.

Asimismo, podemos realizar el siguiente cálculo para M genérico:

Ps =M−1∑

m=0

P (x (Ts) 6∈ Rm|m) · P (m) (3.115)

=1

M

M−1∑

m=0

P (x (Ts) 6∈ Rm|m) (3.116)

= 1− 1

M

M−1∑

m=0

P (x (Ts) ∈ Rm|m) . (3.117)

Por lo tanto, según el error, pueden resultar equivocados entre 1 y log2M bits. ¡Laprobabilidad de error de bit y la probabilidad de error de símbolo no son lo mismo!

2. Las energías de los símbolos varían, y la energía de cada símbolo individual (Es,m)representa la energía de varios bits.

Así, la probabilidad de error de modulaciones M−arias se calcula como la probabilidad deerror de símbolo en función de Es (¡y de la SNR por símbolo!)

Ps de M−PAM. Si el filtro adaptado está normalizado en energía, entonces su salida x (t)


muestreada en Ts es:

x (Ts) =

ˆ ∞−∞

hFA (t− τ) [sm (τ) + w (τ)] dτ

∣∣∣∣∣t=Ts

(3.118)

=

ˆ ∞−∞

hFA (t− τ)︸︷︷︸1√Tsu(

t− 12TsTs

) sm (τ) dτ +

ˆ ∞−∞

hFA (t− τ)w (τ) dτ (3.119)

=

ˆ ∞−∞

1√Tsu(τ − 1

2Ts

Ts

)Am√Tsu(τ − 1

2Ts

Ts

)dτ +

ˆ ∞−∞

1√Tsu(τ − 1

2Ts

Ts

)w (τ) dτ

(3.120)

= Am√Ts +

1√Ts

ˆ Ts

0

w (τ) dτ. (3.121)

Desde luego, x (Ts) es nuevamente gaussiana, con µX y σ2X dados por:

µX|m = E {x (Ts) |m} (3.122)

= (2m+ 1−M)A√Ts. (3.123)

σ2X|m =

N0

2(como antes) . (3.124)

Definiremos√E4= A√Ts. Debemos distinguir dos tipos de símbolos:

Símbolos interiores en el espacio de señales. Estos son los símbolos tales que m 6= 0 óm 6= N − 1 y por lo tanto se puede cometer error de símbolo hacia la derecha o haciala izquierda. Estos errores quedan correctamente representados por la siguiente figura:

Figura 3.32: Gráfica de la densidad de probabilidad de un símbolo interior en el espacio deseñales junto con sus respectivas probabilidades de error.


Símbolos exteriores en el espacio de señales, los cuales tal como su nombre lo dice,corresponden al caso m = 0, en el cual se comete un error cuando la variable aleatoriase desplaza hacia la derecha, y al caso m = M − 1, en el que la variable aleatoria sedesplaza hacia la izquierda.

Se sigue que:

Pe = P (x (Ts) 6∈ Rm|m) (3.125)

=

P+ + P−, si m = 1, . . . ,M − 2,

P−, si m = M − 1,

P+, si m = 0.

(3.126)

donde:

P+ = P (Dm+1|m) =1

2− 1

2erf

(√E

N0

)(3.127)

P− =1

2+

1

2erf

(−√

E

N0

)=

1

2− 1

2erf

(√E

N0

). (3.128)

Se sigue que:

Ps =1

M

M−1∑

m=0

P (x (Ts) 6∈ Rm|m) (3.129)

=1

M[(M − 2) (P+ + P−) + P+ + P−] (3.130)

=2 (M − 1)

MP+. (3.131)

Es decir,

Ps =M − 1

Merfc

(√E

N0

). (3.132)

3.5.4. Probabilidad de error de bit

Si bien este resultado es correcto, es poco útil para comparar PAM con distintos valores deM , pues:

La potencia promedio de la M−PAM crece con M .

Cometer un error de símbolo no es lo mismo para distintos M .


El segundo paso hacia una base de comparación de modulaciones con distinto M es trans-formar las Ps a probabilidades de error de bit.

Ps =

log2(M)∑

b=1

P (error de símbolo | b bits en error)P (b bits en error) . (3.133)

Con código Gray,

P (1 bit en error)� P (b bits en error) ∀b ≥ 2. (3.134)

Entonces,

Ps(≥)≈ P (1 bit en error) . (3.135)

Esto corresponde a la unión de todos los log2M eventos de 1 bit de error (mutuamenteexcluyentes, conjuntamente exhaustivos). En promedio cada uno tiene Pb probabilidad deocurrencia. De esta forma,

Ps(≥)≈

log2(M)∑

b=1

P (1 bit en error| n− ésimo bit en error)P (n− ésimo bit en error) (3.136)

=

log2(M)∑

b=1

P (n− ésimo bit en error) . (3.137)

Se define Pb como la probabilidad media de error de bit:

Pb =1

log2 (M)

log2(M)∑

b=1

P (n− ésimo bit en error) . (3.138)

Finalmente, aplicando 3.137:

Ps(≥)= log2 (M)Pb . (3.139)

Aplicación a M−PAM. Ya determinamos que la energía promedio por símbolo es:

Es =A2T

3

(M2 − 1

)=E

3

(M2 − 1

)−→ E =

3EsM2 − 1

. (3.140)

A su vez, la relación entre Eb y Es es:

Es = log2 (M)Eb. (3.141)

Así, la probabilidad de error de símbolo de M−PAM con base de SNR común en Eb/N0 es:

Ps =M − 1

Merfc

√

3 log2 (M)

M2 − 1

EbN0

. (3.142)

Graficando para distintos valores de M y Eb/N0:


Figura 3.33: Probabilidad de error de símbolo en una modulación M−PAM para distintosvalores de M , en función de Eb/N0.


Capítulo 4 Representación equivalente de banda base

Hasta ahora hemos asumido que nuestras señales digitales y la transmisión propiamentetal son realizadas en banda base. Enfoquemos ahora el caso pasa bandas, el cuál es másinteresante pues agrupa a la mayoría de los sistemas de comunicaciones modernos6.

Es claro que la frecuencia portadora es una decisión “arbitraria”, y que la portadora mismano contiene información, pero aún así hace el análisis de pasa banda tedioso debido a lapresencia del factor cos (2πfct+ ϕ).

El objetivo de este capítulo es desarrollar una técnica matemática para trabajar señales depasa banda en banda base, dejando la conversión a/de radio frecuencia de lado y focalizandola atención solamente en el mensaje.

4.1. Transformada de Hilbert

Esta operación matemática adelanta o retrasa la fase de señales en 90o. Se define la transfor-mada de Hilbert de una señal s (t) como la función s (t):

s (t) = H{s (t)} 4= 1

π

ˆ ∞−∞

s (τ)

t− τ dτ . (4.1)

donde s (t) es Fourier-transformable con transformada S (f). Asimismo, se define la transfor-mada de Hilbert inversa como:

s (t) = H−1 {s (t)} 4= − 1

π

ˆ ∞−∞

s (τ)

t− τ dτ . (4.2)

Observaciones:

Es una operación lineal.

Opera exclusivamente en el dominio del tiempo.

Es la convolución entre s (t) y1

πt.

6Para más información véase Fitz, tabla 4.1, p. 75.


Notar asimismo que F{

1

πt

}= −j sgn (f) con sgn (f) =

1, si f > 0,

0, si f = 0,

−1, si f < 0.

Por lo tanto,

S (f) = F {s (t)} (4.3)

= F{s (t) ∗ 1

πt

}(4.4)

= S (f) (−j) sgn (f) . (4.5)

Es decir, la transformada de Hilbert solo cambia la fase de la señal, dejando intacta laamplitud. En otras palabras, la respuesta en fase de la transformada de Hilbert es:

Figura 4.1: Respuesta en fase de la transformada de Hilbert.

Ejemplo Calculemos la transformada de Hilbert de s (t) = cos (2πfct).

Solución:

Calcular la transformada de Hilbert por definición nos conducirá a una integral para lacual no podemos evaluar su primitiva, de modo que trabajemos en el espectro de Fourierpara intentar realizar cálculos. Se tiene que:

S (f) =1

2[δ (f − fc) + δ (f + fc)] . (4.6)


Es decir,

S (f) = − j2

[δ (f − fc) + δ (f + fc)] sgn (f) (4.7)

=1

2j[δ (f − fc)− δ (f + fc)] . (4.8)

Volviendo al espectro temporal, podemos concluir entonces que:

H{cos (2πfct)} = sen (2πfct) . (4.9)

Se puede probar similarmente que H{sen (2πfct)} = − cos (2πfct).

�

4.1.1. Propiedades de la transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert difiere de la transformada de Fourier en el sentido de que operaexclusivamente en el dominio del tiempo. Para el caso en que una señal s (t) es real, se puedeestablecer lo siguiente:

1. Una señal s (t) y su transformada de Hilbert tienen el mismo espectro de magnitud.

Demostración:

Es claro que:

S (f) = −j sgn (f)S (f) −→ |S (f) | = |j| · | sgn (f) | · |S (f) | = |S (f) |

2. Si s (t) es la transformada de Hilbert de s (t), entonces la transformada de Hilbert des (t) es −s (t).

3. Una señal s (t) y su transformada de Hilbert s (t) son ortogonales sobre todo el intervalode tiempo, i.e. ˆ ∞

−∞s (t) s (t) dt = 0. (4.10)

Demostración:

Se tiene que: ˆ ∞−∞

s (t) s (t) dt =

ˆ ∞−∞

s (t) s (t) e−j2πftdt

∣∣∣∣∣f=0

Pero,s (t) s (t)

F−→ S (f) ∗ S (f) = −jS (f) ∗ sgn (f)S (f)


Es decir,

ˆ ∞−∞

s (t) s (t) dt = −jS (f) ∗ sgn (f)S (f)

∣∣∣∣∣f=0

= −jˆ ∞−∞

S (−ξ) sgn (ξ)S (ξ) dξ

Notemos que X (ξ) = S (−ξ) sgn (ξ)S (ξ) es una función impar pues:

X (−ξ) = −S (ξ) sgn (ξ)S (−ξ) = −X (ξ)

Por lo tanto, el valor de la integral es cero. Concluimos entonces que:ˆ ∞−∞

s (t) s (t) dt = 0

4.2. Pre-envolvente

Tal como el uso de los fasores simplifica las manipulaciones al alternar corrientes y voltajes,el uso de la pre-envolvente es particularmente útil al manejar señales y sistemas que seencuentran en pasabanda.

Consideremos una señal real s (t) cualquiera. Se define la pre-envolvente positiva de s (t)(también es posible definir una pre-envolvente negativa) como:

s+ (t)4= s (t) + js (t) . (4.11)

Claramente s+ (t) es compleja y s (t) = Re {s+ (t)}. Espectralmente hemos realizado lassiguientes operaciones:


Figura 4.2: Ejemplificación de las transformaciones espectrales que se están realizando altomar la pre-envolvente positiva de una señal real cualquiera.

De este gráfico se deduce una propiedad importante:

S+ (f) =

2S (f) , si f > 0,

s (0) , si f = 0,

0, si f < 0.

¡Es decir, la pre-envolvente positiva no tiene energía en frecuencias negativas!


4.3. Representación de señales de pasa banda en banda base

Consideremos el siguiente caso especial: s (t) es una señal real de pasa banda. Es decir,S (f) 6= 0 solo para el rango ±fc ± 1

2W donde fc es la frecuencia portadora de la señal de

pasabanda y W es el ancho de banda de la transmisión con W � fc.

La pre-envolvente s+ (t) solo tiene contenido de frecuencia en el rango fc ± 12W . Entonces,

s+ (t) puede ser expresada como una señal envolvente modulando a una portadora, o bien elespectro centrado en fc puede entenderse como un espectro G (f) en banda base desplazadoen fc unidades hacia la derecha. Por propósitos de normalización que serán explicados másadelante7, consideraremos un factor

√2. En otras palabras,

G+ (f) =√

2 G (f − fc) . (4.12)

Aplicando la transformada inversa de Fourier obtenemos que entonces g (t) debe ser tal que:

s+ (t) =√

2 s (t) ej2πfct. (4.13)

Se conoce s (t) como la envolvente compleja de la señal de pasa banda s (t). Esta señales claramente de banda base y, por lo general, es compleja y por lo tanto tiene un espectroasimétrico. Asimismo, podemos encontrar funciones reales sI (t) y sQ (t) tales que:

s (t) = sI (t) + jsQ (t) . (4.14)

donde sI (t) se define como la componente en fase de s (t) y sQ (t) como la componenteen cuadratura. Así:

s (t) = Re {s+ (t)} = Re{√

2s (t) ej2πfct}

(4.15)

= Re{√

2 [sI (t) + jsQ (t)] [cos (2πfct) + j sen (2πfct)]}. (4.16)

Es decir,s (t) =

√2sI (t) cos (2πfct)−

√2sQ (t) sen (2πfct) . (4.17)

Esta forma de expresar la señal de pasabanda s (t) en términos de su componentes en fasey cuadratura (ambos de banda base) se conoce como la forma canónica de s (t). Luego,la señal en pasabanda puede obtenerse a partir de sus componentes en cuadratura y fasemediante el siguiente diagrama:

7La envolvente compleja tiene la mitad de la potencia que tiene la pre-envolvente positiva, la que tiene eldoble de potencia que la señal original.


sQ(t)

sI(t)

−90◦

∼√

2 cos(2πfct) + s(t) = ↑ RF+

−

Figura 4.3: Representación esquemática de un conversor a radio frecuencia.

Asimismo,

s (t)√

2 cos (2πfct) = 2sI (t) cos2 (2πfct)− 2sQ (t) sen (2πfct) cos (2πfct) . (4.18)

Pero, recordando las identidades de prostaféresis:

2 cos (α) cos (β) = cos (α + β) + cos (α− β) (4.19)2 sen (α) cos (β) = sen (α + β) + sen (α− β) . (4.20)

Así, √2s (t) cos (2πfct) = sI (t) + sI (t) cos (4πfct)− sQ (t) sen (4πfct) . (4.21)

Similarmente,√

2s(t) sen (2πfct) = sI (t) sen (4πfct) + sQ (t) cos (4πfct)− sQ (t) . (4.22)

Entonces, bajo el siguiente esquema podemos tomar una señal en basa banda y obtener suscomponentes en cuadratura y fase de su envolvente compleja:


s(t)

−90◦

∼√

2 cos(2πfct)

LPF

LPF

sI(t)

−sQ(t)

= ↓ RF

Figura 4.4: Representación esquemática de un deconversor de radiofrecuencia.

La envolvente compleja es un concepto fasorial. El plano IQ rota a velocidad angular 2πfc,lo cual puede ser ignorado para efectos del análisis. El contenido de información de s (t) estácompletamente representado por s (t).

4.4. Representación de sistemas de pasa banda en banda base

Ahora que sabemos cómo manejar la representación compleja en pasabanda de las señales, eslógico que el siguiente paso deseado es un procedimiento para manejar el análisis de sistemasen pasabanda.

Sea un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) con respuesta al impulso h (t) tal queH (f) 6= 0 sólo para el rango ±fc ± 1

2WH (i.e. h (f) es un filtro pasa banda).

Entonces, podemos expresar h (t) en su forma canónica, la cual multiplicaremos en 2 poreste caso para propósitos de normalización que serán explicados a continuación:

h (t) = 2hI (t) cos (2πfct)− 2hQ (t) sen (2πfct) . (4.23)

Definimos asimismo la respuesta al impulso compleja del sistema (la respuesta en bandabase de h (t)) como:

h (t) = hI (t) + jhQ (t) . (4.24)

Y por lo tanto,h (t) = Re

{2h (t) ej2πfct

}. (4.25)


Así, h (t), hI (t) y hQ (t) son señales pasa bajo. ¿Qué es entonces H (f)? Se tiene que:

H (f) = F {h (t)} (4.26)

= F{

Re{

2h (t) ej2πfct}}

. (4.27)

Como Re {z} =z + z∗

2, entonces:

H (f) = F{h (t) ej2πfct + h∗ (t) ej2πfct

}. (4.28)

Mediante propiedad de traslación espectral tendremos que:

H (f) = H (f − fc) + H∗ (−f − fc) . (4.29)

Pero h (t) es pasa bajo y así H (f) ≡ 0 para todo |f | > 12WH . Luego, H∗ (−f − fc) ≡ 0 para

todo f > 0. Entonces, para f > 0:

H (f) = H (f − fc) para f > 0. (4.30)

Es decir,H (f) = H (f + fc) para f > −fc. (4.31)

Este resultado es importante: ¡el sistema pasa banda puede ser representado en banda basesin pérdida de información!

¿Qué pasa con la relación entrada–salida del sistema? Supongamos que x (t) es una señalpasa banda con X (f) ≡ 0 para f 6∈ [±fc ±Wx].

Sabemos que:

y (t) = h (t) ∗ x (t)

=

ˆ ∞−∞

h (τ)x (t− τ) dτ.

Escribiendo en términos de las pre-envolventes:

y (t) =

ˆ ∞−∞

Re {h+ (τ)}Re {x+ (t− τ)} dτ =

ˆ ∞−∞

Re {h+ (τ)}Re{x∗+ (t− τ)

}dτ,

pues claramente Re {z} = Re {z∗}. Antes de continuar tenemos que hacer uso del siguientelema, que representa una propiedad de las pre-envolventes:

Lema: Se tiene que:ˆ ∞−∞

Re {h+ (τ)}Re {x+ (τ)} dτ =1

2Re

{ˆ ∞−∞

h+ (τ)x∗+ (τ) dτ}. (4.32)

Demostración:


Tomando el lado derecho:ˆ ∞−∞

h+ (τ)x∗+ (τ) dτ =

ˆ ∞−∞

[h (τ) + jh (τ)

][x (τ)− jx (τ)] dτ

=

ˆ ∞−∞

h (τ)x (τ) + h (τ) x (τ) dτ + jˆ ∞−∞

x (τ) h (τ)− x (τ)h (τ) dτ

Obteniendo la parte real a ambos lados:

Re

{ˆ ∞−∞

h+ (τ)x∗+ (τ) dτ}

=

ˆ ∞−∞

h (τ)x (τ) + h (τ) x (τ) dτ

Aplicando el Teorema de Parseval notamos que:ˆ ∞−∞

h (τ) x (τ) dτ =

ˆ ∞−∞

H (f) X∗ (f) df

=

ˆ ∞−∞−j sgn (f)H (f) [−j sgn (f)X (f)] df

=

ˆ ∞−∞−j sgn (f)H (f) j sgn (f)X∗ (f) df

Como j2 = −1 y sgn2 (f)!

= 1 (salvo en f = 0), entonces:ˆ ∞−∞

h (τ) x (τ) dτ =

ˆ ∞−∞

H (f)X∗ (f) df

Aplicando la relación de Parseval en forma inversa:ˆ ∞−∞

h (τ) x (τ) dτ =

ˆ ∞−∞

h (τ)x (τ) dτ

Es decir,

Re

{ˆ ∞−∞

h+ (τ)x∗+ (τ) dτ}

= 2

ˆ ∞−∞

h (τ)x (τ) dτ = 2

ˆ ∞−∞

Re {h+ (τ)}Re {x+ (τ)} dτ

Concluimos entonces que:ˆ ∞−∞

Re {h+ (τ)}Re {x+ (τ)} dτ =1

2Re

{ˆ ∞−∞

h+ (τ)x∗+ (τ) dτ}

�

Reemplazando tenemos que:

y (t) =1

2Re

{ˆ ∞−∞

h+ (τ)x+ (t− τ) dτ}

=1

2Re

{ˆ ∞−∞

2h (τ) ej2πfcτ√

2 x (t− τ) ej2πfc(t−τ)dτ}

= Re

{√2

[ˆ ∞−∞

h (τ) x (t− τ) dτ]ej2πfct

}.


Definamos entonces la envolvente compleja de la salida como:

y (t)4=

ˆ ∞−∞

h (τ) x (t− τ) dτ = h (t) ∗ x (t) . (4.33)

Y por lo tanto, como para cualquier señal pasa banda:

y (t) =√

2 Re {y (t)} ej2πfct . (4.34)

Es decir, hay plena equivalencia entre los siguientes sistemas:

x(t) h(t) y(t) ⇐⇒ x(t) h(t) y(t)

Figura 4.5: Esquema de equivalencia entre trabajo en banda base y en pasa banda para unsistema LTI.

Así, sistemas de pasa banda pueden ser analizados completamente en banda base, evitandoel tedio asociado a la modulación de portadora y al factor ej2πfct.

4.5. Representación de ruido de pasa banda en banda base

Los procesos aleatorios de pasa banda sin duda también pueden ser representados en bandabase por medio de su envolvente compleja. Sin embargo, para que ello sea útil analíticamente,necesitamos estudiar cómo se traducen características como distribución de probabilidad,estacionariedad, autocorrelación, PSD, etc. de pasa banda a banda base.

Es fundamental entender para ello que el proceso estocástico (i.e. ruido) debe ser de pasabanda, es decir, el ruido blanco ha sido filtrado en la entrada del receptor de radiofrecuencia:

w(t) h(t) n(t)

Figura 4.6: Proceso de filtrado del ruido blanco gaussiano en un filtro pasabanda.


4.5.1. Necesidad de un filtro pasa banda

¿Por qué es necesario filtrar pasa banda a un ruido blanco para poder llevarlo a banda basey trabajarlo ahí como ruido blanco equivalente de banda base?

Porque si el ruido no es de pasabanda, entonces trasladarlo espectralmente con cos (2πfct)(ó sen (2πfct)) genera un proceso que, en general, no es estacionario.

En efecto, sea w (t) un proceso de ruido blanco con Sw (f) = N0

2, entonces y considerando la

siguiente traslación espectral:

w(t) q(t)

cos(2πfct)

Figura 4.7: Traslación espectral en un conversor de radio frecuencia.

Entonces,

Rq (t1, t2) = E {q (t1) q (t2)} (4.35)= E {w (t1) cos (2πfct1)w (t2) cos (2πfct2)} (4.36)

=1

2Rw (t1 − t2)︸︷︷︸=

N02δ(t1−t2)

{cos [2πfc (t1 + t2)] + cos [2πfc (t1 − t2)]} . (4.37)

Se sigue que Rq no es exclusivamente función de t1 − t2, por lo que q (t) no es, general, esta-cionario. En cambio, si pre–filtramos w (t) con un filtro pasa banda, la situación es distinta.En tal caso obtenemos el siguiente diagrama:

w(t) BPF q(t)

cos(2πfct)

n(t)

Figura 4.8: Traslación espectral en un conversor de radio frecuencia con filtro pasa banda.

La densidad espectral de potencia de la señal n (t), filtrada pasa banda, puede ilustrarsecomo:


Figura 4.9: Densidad espectral de potencia de n (t), la señal filtrada pasa banda.

Podemos escribir Sn (f) como:

Sn (f) = N0 u(f

W

)∗ 1

2[δ (f − fc) + δ (f + fc)] . (4.38)

Aplicando transformada de Fourier inversa:

Rn (τ) = N0W sinc (Wτ) cos (2πfcτ) . (4.39)

Pero τ = t1 − t2, de modo que:

Rn (t1 − t2) = N0W sinc [W (t1 − t2)] cos [2πfc (t1 − t2)] . (4.40)

y entonces, en la ecuación de q (t):

Rq (t) = N0W sinc [W (t1 − t2)] cos [2πfc (t1 − t2)] {cos [2πfc (t1 + t2)] + cos [2πfc (t1 − t2)]} .(4.41)

Notando que:

cos [2πfc (t1 − t2)] cos [2πfc (t1 + t2)] =1

2cos (4πfct2) +

1

2cos (4πfct1) (4.42)

cos2 [2πfc (t1 − t2)] =1

2+

1

2cos [4πfc (t1 − t2)] (4.43)

=1

2+

1

2cos 4πfct2 cos 4πfct1 +

1

2sen 4πfct1 sen 4πfct2. (4.44)

Falta desarrollar (Texto en desarrollo)

Envolvente compleja del ruido coloreado. De acuerdo a lo anterior, el ruido blanco depasa banda puede representarse como:

Sn (f) =N0

2|H (f)|2 . (4.45)


En otras palabras,n (t) = nI (t) + jnQ (t) . (4.46)

Escribiendo el ruido blanco de pasabanda en términos de sus componentes en cuadratura yfase:

n (t) =√

2nI (t) cos (2πfct) +√

2nQ (t) sen (2πfct) (4.47)

=√

2 Re{n (t) ej2πfct

}. (4.48)

Puesto que ej2πfct es una función determinística, toda la aleatoriedad de n (t) está contenidaen n (t).

4.5.2. Tres propiedades importantes de n (t)

1. Si n (t) tiene media cero, entonces nI (t) y nQ (t) tienen ambos media cero.

2. Si n (t) es un proceso estocástico gaussiano, entonces nI (t) y nQ (t) son procesos esto-cásticos conjuntamente gaussianos.

3. Si n (t) es un proceso estocástico gaussiano estacionario, entonces nI (t) y nQ (t) sonprocesos estocásticos conjuntamente estacionarios y conjuntamente gaussianos.

Así, si n (t) es gaussiano estacionario de media cero, entonces nI (t) y nQ (t) son conjuntamentegaussianos, conjuntamente estacionarios y de media cero.

Importante: nI y nQ (t) son procesos estocásticos conjuntos, es decir, están correlacio-nados. La función de correlación cruzada se define como:

RXY (t1, t2)4= E {X (t1)Y (t2)} . (4.49)

Para procesos estocásticos conjuntamente estacionarios se tiene que:

RXY (t1, t2) = RXY (t1 − t2) = RXY (τ) = RYX (−τ) . (4.50)

4.5.3. Corolarios importantes

4. RnI(τ) = RnQ

(τ), nI (t) y nQ (t) tienen las mismas propiedades estadísticas y la po-tencia del ruido de ambas componentes es la misma. Es decir,

E{n2I (t)

}= E

{n2Q (t)

}= RnI

(0) = σ2nI. (4.51)


5. RnInQ(τ) = −RnInQ

(−τ). Es decir, RnInQ(τ) es impar en τ . Haciendo τ = 0 obtenemos

que:RnInQ

(0) = 0. (4.52)

Y por lo tanto, nI (t0) y nQ (t0) son variables aleatorias independientes para todo t0.

6. Rn (τ) = 2RnI(τ)− j2RnInQ

(τ). ¡Ojo: Rn (τ) es compleja!

7. Rn (τ) = Re{Rn (τ) ej2πfcτ

}. ¡Ojo: sin

√2 y función de τ !

8. Sabemos que Var {n (t)} = σ2n = Rn (0). De las propiedades anteriores:

Rn (0) = Rn (0) = 2RnI(0) −→ σ2

n = 2σ2nI. (4.53)

Es decir,

(a) La potencia del ruido pasa banda es igual a la potencia de su envolvente complejaen banda base.

(b) La potencia de la envolvente compleja es igual a la suma de potencias de suscomponentes en fase y cuadratura.

(c) Las componentes en fase y cuadratura dividen la potencia en partes iguales.

9. La densidad espectral de potencia de n (t) está dada por:

Sn (f) = F {Rn (τ)} (4.54)= 2SnI

(f)− j2SnInQ(f) . (4.55)

donde SnInQ(f) = F

{RnInQ

(τ)}es la densidad espectral de potencia cruzada.

10. SnI(f) =

Sn (f) + Sn (−f)

4= SnQ

(f).

11. SnInQ(f) =

Sn (f)− Sn (−f)

4j.

12. Sn (f) =1

2Sn (f − fc) +

1

2Sn (−f − fc). Equivalentemente,

Sn (f) = 2Sn (f + fc) u(f

W

). (4.56)

Ahora se usa un factor 2 pues son potencias.

13. Si Sn (f) es localmente simétrica en torno a ±fc, entonces nI (t) y nQ (t) son estadísti-camente independientes (i.e. SnInQ

(f) = 0 y RnInQ(τ) = 0).


14. Para ruido blanco gaussiano de pasabanda, entonces usando las dos propiedades ante-riores,

Sn (f) = N0 u(f

Wn

). (4.57)

Para efectos prácticos se asume que Wn � Wseñal, de modo que:

Sn (f) ≈ N0 −→ Rn (τ) ≈ N0δ (τ) . (4.58)

Por lo tanto, nI y nQ son independientes y distribuyen idénticamente normal de media0 y varianza σ2

n/2.

4.6. Resumen

Hemos desarrollado un modelo completo para analizar transmisiones de pasabanda en bandabase. Sabemos cómo trabajar con:

1. Señales determinísticas en pasa banda.

2. Sistemas lineales en pasa banda.

3. Ruido en pasa banda.

en banda base, ya sea en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. La metodologíaencuentra aplicación en tres áreas:

1. Facilita el análisis matemático del sistema de comunicaciones de pasa banda.

2. Permite implementar todo el procesamiento en un sistema de comunicaciones en bandabase y en forma digital. La conversión a y de radio frecuencia es simplemente unafunción anexa que se obtiene agregando los modelos correspondientes.

3. Permite simular sistemas de comunicaciones eficientemente con frecuencias de muestreode banda base en vez de pasa banda.


Capítulo 5 Transmisión digital en pasabanda

5.1. Introducción

La única verdadera diferencia entre trabajar con envolventes complejas versus señales reales esla introducción de aritmética compleja. Veamos la equivalencia para el caso de la señalizaciónNRZ unipolar, que en pasabanda es conocida como BPSK (Binary Phase-Shift Keying):

s0 (t) =

√2EbTbu(t− 1

2Tb

Tb

)cos (2πfct) . (5.1)

s1 (t) =

√2EbTbu(t− 1

2Tb

Tb

)cos (2πfct+ π) = −s0 (t) . (5.2)

Es decir, en general:

sn (t) = (−1)bn√

2EbTbu(t− 1

2Tb

Tb

)cos (2πfct) . (5.3)

De aquí se deduce que sI (t) = (−1)bn√

2EbTbu(t− 1

2Tb

Tb

)y sQ (t) ≡ 0. Por lo tanto,

s (t) = sI (t)←− ¡NRZ!

Es decir, al tomar la envolvente compleja estamos trabajando directamente con pulsos NRZ.Gráficamente la conversión entre ambos queda dada por:


Figura 5.1: Equivalencia entre señales NRZ unipolares y señales BPSK.

BPSK no es otra cosa que una portadora modulada por NRZ unipolar. El receptor óptimoen pasabanda tiene la estructura de siempre, ya que s1 (t) = −s0 (t):

r(t) hFA(t)x(t) T

bn

Figura 5.2: Receptor óptimo de un sistema de transmisión BPSK en pasa banda.

El filtro adaptado en este caso es un filtro pasa bajos con respuesta al impulso hFA (t) =s0 (Tb − t). Igual que antes, |HFA (f)| = |s0 (f)| y gráficamente:


Figura 5.3: Filtro adaptado en pasa banda para una transmisión BPSK.

Implementar este filtro adaptado en pasa banda es difícil, porque en general 1Tb� fc

8.Una formulación e implementación en banda base con envolventes complejas es mucho másconveniente. Afortunadamente, ya sabemos bien cómo representar sistemas de pasabanda enbanda base:

r(t) hFA(t) x(t) ⇐⇒ r(t) hFA(t) x(t)

Figura 5.4: Equivalencia entre receptores óptimos simplificados en pasa banda y bandabase. En el sistema equivalente en banda base se usas dos rieles (en fase I y cuadratura Q)indicando que estamos utilizando una envolvente compleja.

El receptor óptimo para BPSK en banda base está dado por:

r(t) RF↓ hFA(t)

r(t)

Re{ }Tb

bn

Figura 5.5: Receptor óptimo simplificado para BPSK en banda base.

donde hFA (t) = s∗0 (Tb − T ). Estamos tomando la parte real pues debemos recordar que lasalida del filtro adaptado en t = Tb es una medida de la correlación entre r (t) y s0 (t), la cualaparece como energía en el eje real, ya que el filtro adaptado es s∗0.

Calculemos hFA (t):

s0/1 (t) = ±√

2EbTbu(t− 1

tTb

Tb

)1

2

(ej2πfct + e−j2πfct

). (5.4)

8Además, ¿qué pasa con hFA (t) si cambia fc? (e.g. cambio de canal)


Pero sabemos asimismo que esta señal se puede expresar como la parte real de su envolventecompleja multiplicada por el fasor respectivo:

s0/1 (t) = Re

{±√

2

√EbTbu(t− 1

2Tb

Tb

)ej2πfct

}. (5.5)

Por lo tanto,

s0/1 (t) = ±√EbTbu(t− 1

2Tb

Tb

). (5.6)

Vemos que s0/1 son reales puras, es decir, BPSK no tiene componentes en cuadratura. Luego,

hFA (t) = ±k√EbTbu( 1

2Tb − tTb

). (5.7)

donde k es una constante arbitraria.

5.1.1. Quadrature Amplitude Modulation (QAM)

Estudiemos ahora una modulación de pasa banda que sí tiene componente en cuadratura.

Ejemplo La modulación 4−QAM (también conocida como QPSK o Quadrature PSK )es una modulación en la que el pulso transmitido se escribe como:

sm (t) = (−1)bI√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)cos (2πfct)− (−1)bQ

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)sen (2πfct) .

Por inspección, dada que esta modulación ya está escrita en su forma canónica, podemosnotar entonces que su envolvente compleja viene dada por:

sm (t) =

√Es2Ts

[(−1)bI + j (−1)bQ

]u(t− 1

2Ts

Ts

), (5.8)

donde[(−1)bI + j (−1)bQ

]puede representar fases de 45◦, 135◦, 225◦ y 315◦. Es decir, la

envolvente compleja es un pulso rectangular con fases posibles ±45◦ y ±135◦.

Otra forma de verlo es usando identidades trigonométricas para mostrar que:

sm (t) =

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)[(−1)bI cos (2πfct)− (−1)bQ sen (2πfct)

](5.9)

=

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)√2 cos (2πfct+ ϕ) . (5.10)

Es decir,

sm (t) =

√EsTsu(t− 1

2TS

Ts

)ejϕ. (5.11)


¡Entonces la información de la comunicación va en la fase! La siguiente representacióngeométrica ayuda a visualizar 4−QAM:

Figura 5.6: Representación geométrica de señales 4−QAM en conjunto con señalesBPSK.

¿Qué energía tiene cada símbolo 4−QAM? Revisemos:

E =

ˆ ∞−∞|sm (t)|2 dt (5.12)

=

ˆ ∞−∞

sm (t) s∗m (t) dt (5.13)

=

ˆ ∞−∞

(√Es2Ts

)2

u(t− 1

2Ts

Ts

)[(−1)bI + j (−1)bQ

] [(−1)bI − j (−1)bQ

]dt. (5.14)

Notando la suma por su diferencia entre los últimos dos términos, se tiene finalmente que:

E =Es2Ts

ˆ Ts

0

(1 + 1) dt =Es2Ts· 2Ts = Es. (5.15)

Se deja como ejercicio propuesto al lector comprobar que se obtiene el mismo resultado conlas señales pasa banda, i.e. ˆ ∞

−∞s2m (t) dt = Es. (5.16)

Nota:

4−QAM es básicamente poner BPSK en cada uno de los rieles I/Q.


4−QAM no existe como modulación de banda base.

5.2. Receptor óptimo M−ario

¿Cómo es el receptor óptimo equivalente de banda base para 4−QAM? La forma genéricadel receptor M−ario óptimo equivalente de banda base es la siguiente:

r(t)

s∗M−1(Ts − t)

s∗1(Ts − t)

s∗0(Ts − t)

......

Re{ }

Re{ }

Re{ }

Ts

Ts

Ts

+

+

+

c0

c1

cM−1

max In

Figura 5.7: Receptor óptimo para una transmisión M -aria en pasa banda.

Analicemos las salidas de los filtros adaptados para el caso 4−QAM:

xm (Ts) = Re {si (t) ∗ s∗m (Ts − T )}∣∣∣∣∣t=Ts

. (5.17)

donde:

xm (Ts) es la salida de uno de los M = 4 filtros adaptados en t = Ts y en m = 0, . . . , 3.

si (t) es una de las posibles 4 señales transmitidas, i = 0, . . . , 3.


sm (Ts − t) es el m−ésimo filtro adaptado.

Expandiendo la integral de convolución:

xm (Ts) = Re{ˆ ∞−∞

si (τ) s∗m (Ts − t+ τ) dτ}∣∣∣∣∣

t=Ts

(5.18)

=Es2Ts

ˆ Ts

0

Re{[

(−1)bIi + j (−1)bQi

] [(−1)bIm + j (−1)bQm

]∗}dτ (5.19)

= Re{Es2

(±1± j) (±1± j)∗}. (5.20)

donde el primer número complejo corresponde a si y el segundo a s∗m. Supongamos que setransmitió i = 0. Las salidas de los cuatro filtros adaptados pueden resumirse en la siguientetabla:

si sm Multiplicación Resultado

Es2

(1 + j) (1 + j)∗ Es

Es2

(1 + j) (1− j)∗ jEs

Es2

(1 + j) (−1 + j)∗ −jEs

Es2

(1 + j) (−1− j)∗ −ES

Es decir, tomando las partes reales:

x0 (Ts | 0) = Es (5.21)x1 (Ts | 0) = 0 (5.22)x2 (Ts | 0) = 0 (5.23)x3 (Ts | 0) = −Es. (5.24)

Notamos, además, que c0 = c1 = c2 = c3 = −12Es son todas iguales por lo que pueden ser

ignoradas ya que no afectan la salida del operador max { }.Así, vemos que se declara 0 cuando 0 fue transmitido. Más aún, vemos que la combinaciónentre los operadores Re { } y max { } siempre escogerá el cuadrante correcto.


5.2.1. Simplificación del receptor óptimo M−ario equivalente de banda base

Observemos que para un sistema de comunicaciones 4−QAM se puede realizar una separacióninteresante de las envolventes complejas de las señales:

s0 (t) =

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)[cos (2πfct)− sen (2πfct)] (5.25)

−→ s0 (t) =

√Es2Tsu(t− 1

2Ts

Ts

)(1 + j) (5.26)

=1√Tsu(t− 1

2Ts

Ts

)√Es2

(1 + j)︸︷︷︸

s0

. (5.27)

Análogamente,

s1 (t) =

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)[cos (2πfct) + sen (2πfct)] (5.28)

−→ s1 (t) =1√Tsu(t− 1

2Ts

Ts

)√Es2

(1− j)︸︷︷︸

s1

. (5.29)

s2 (t) =

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)[− cos (2πfct)− sen (2πfct)] (5.30)

−→ s2 (t) =1√Tsu(t− 1

2Ts

Ts

)√Es2

(−1 + j)︸︷︷︸

s2

. (5.31)

s3 (t) =

√EsTsu(t− 1

2Ts

Ts

)[− cos (2πfct) + sen (2πfct)] (5.32)

−→ s3 (t) =1√Tsu(t− 1

2Ts

Ts

)√Es2

(−1− j)︸︷︷︸

s3

. (5.33)

Podemos graficar cada uno de los si en la siguiente gráfica:


Figura 5.8: Representación geométrica de cada uno de los si.

De estos cálculos se hace claro que:

s0 (t) = js1 (t) = −js2 (t) = −s3 (t) . (5.34)

Tomando el conjugado:s∗0 (t) = −js∗1 (t) = js∗2 (t) = −s∗3 (t) . (5.35)

Y por lo tanto, reemplazando en el instante Ts − t obtenemos que:

hFA0 (t) = −jhFA1 (t) = jhFA2 (t) = −hFA3 (t) . (5.36)

Se deduce que todos los filtros adaptados son iguales excepto por una fase. La fase indica larotación relativa del cuadrante correspondiente con respecto a s0.

Supongamos entonces que usamos un filtro adaptado con fase cero9, con respecto al cualhFA0,1,2,3 (t) tienen fases ±45◦ y ±135◦. Es decir,

hFA (t) =1√Tsu(t− 1

2Ts

Ts

). (5.37)

Representado geométricamente esta señal:

Figura 5.9: Representación geométrica del filtro adaptado en el espacio de señales.9Esto es conviente porque simplifica la implementación.


Es decir, las ramas del filtro adaptado se simplifican a la siguiente figura:

s(t) hFA(t)

x(t) Ts

x (Ts)

Figura 5.10: Diagrama de las ramas simplificadas del filtro adaptado.

donde debemos determinar x (Ts). Expandiendo la convolución:

x (Ts) = si (t) ∗ hFA (t)

∣∣∣∣∣t=Ts

(5.38)

=

ˆ ∞−∞

√Es2Tsu(τ − 1

2Ts

Ts

)[(−1)bIi + j (−1)bQi

]√ 1

Tsu(t− τ − 1

2Ts

Ts

)dτ

∣∣∣∣∣t=Ts

(5.39)

=

√Es2

1

Ts

[(−1)bIi + j (−1)bQi

] ˆ Ts

0

dτ (5.40)

=

√Es2si. (5.41)

El resultado anterior es fantástico, ya que permite formular el receptor óptimo en forma muysencilla:

r(t) RF↓ hFA(t) s

r(t) x(t) x(Ts)

Figura 5.11: Receptor óptimo simplificado para una transmisión 4−QAM.

La estructura es idéntica al caso NRZ/BPSK, solo que hay un slicer en cada riel:


x(Ts) {bI , bQ} ⇐⇒ x(Ts)

bI

bQ

Figura 5.12: Expansión del dispositivo de decisión en slicers para cada riel.

5.2.2. Resumiendo

¿Qué sabemos hasta aquí sobre comunicaciones digitales?

1. Cómo modelar señales de banda base y pasa banda.

2. Cómo modelar sistemas de banda base y pasa banda.

3. Cómo caracterizar ruido de banda base y pasa banda.

4. Cómo procesar óptimamente transmisiones digitales en presencia de ruido:

(a) Banda base y pasa banda.

(b) Binario y M−ario.

5. Cómo calcular la probabilidad de error binaria y M−aria en banda base.

Nos falta calcular la probabilidad de error de sistemas pasa banda.

5.3. Representación geométrica de señales

Recuerde el lector que hemos estado utilizando la siguiente representación geométrica:


Figura 5.13: Representación geométrica en el espacio de señales.

Esta representación es mucho más que una ayuda visual, es una forma alternativa, completa-mente consistente y equivalente para representar y analizar señales. Observemos la evoluciónque se ha logrado en materia de modelación a medida que se han introducido nuevas herra-mientas matemáticas:

Antes,Modulación

en pasa banda

Luego,Modulaciónbanda basecompleja

RF↑

Ahora,Modulaciónbanda base

compleja digital

Pulseshaping RF↑

Figura 5.14: Evolución del modulador a medida que se introducen nuevas herramientasmatemáticas.

Revisando con cuidado, BPSK y 4−QAM están ambas formuladas en base a una mismaúnica señal base: el pulso rectangular de energía unitaria:


BPSK: ϕ (t) =1√Tbu(t− 1

2Ts

Ts

)sm con sm =

{√Eb, si m = 0,

−√Eb, si m = 1.= (−1)bm

√Eb.

4−QAM: ϕ (t) =1√Tsu(t− 1

2Ts

Ts

)sm con

sm =

(1 + j)√Es2, si m = 0,

(1− j)√Es2, si m = 1,

(−1 + j)√Es2, si m = 2,

(−1− j)√Es2, si m = 3.

(5.42)

=[(−1)bIn + j (−1)bQn

]√Es2. (5.43)

La representación geométrica no es otra cosa que una representación vectorial en que la basees la función ϕ (t). Haciendo ϕ (t) = ϕI (t)+ jϕQ (t) el espacio de señales se visualiza como:

Figura 5.15: Representación geométrica de 4−QAM en el espacio de señales.

Así, podemos reescribir nuestras modulaciones de la siguiente forma compacta:

sm (t) = smϕ (t) . (5.44)

tanto para modulaciones BPSK como 4−QAM.


5.3.1. Relaciones energéticas

Lo importante a notar es que la representación geométrica mantiene las relaciones ener-géticas. En efecto, ya hemos notado que:

ˆ ∞−∞|sm (t)|2 dt =

ˆ ∞−∞|sm (t)|2 dt = Es. (5.45)

Veamos qué pasa con la nueva notación:ˆ ∞−∞|sm (t)|2 dt =

ˆ ∞−∞

sm (t) s∗m (t) dt (5.46)

=

ˆ ∞−∞

smϕ (t) s∗mϕ∗ (t) dt (5.47)

= ‖sm‖2

ˆ ∞−∞

ϕ (t) ϕ∗ (t) dt︸︷︷︸

E{ϕ}≡1

(5.48)

= ‖sm‖2 . (5.49)

¡La energía de la señal sm (t) (ó sm (t)) está dada por la norma del complejo sm! Cuidado:sm es un vector 1-D complejo.

¿Qué pasa con las diferencias energéticas?

∆Em1m2 =

ˆ ∞−∞|sm1 (t)− sm2 (t)|2 dt (5.50)

=

ˆ ∞−∞|sm1 (t)− sm2 (t)|2 dt (5.51)

= ‖sm1 − sm2‖2 . (5.52)

Demostración:

Se deja como ejercicio propuesto al lector demostrar la equivalencia entre las dos primerasintegrales. Nosotros demostraremos ahora la equivalencia entre la segunda y la tercera:ˆ ∞−∞|sm1 (t)− sm2 (t)|2 dt =

ˆ ∞−∞

[sm1 (t)− sm2 (t)] [sm1 (t)− sm2 (t)]∗ dt (5.53)

=

ˆ ∞−∞

sm1 (t) s∗m1(t) dt−

ˆ ∞−∞

sm1 (t) s∗m2(t) dt (5.54)

−ˆ ∞−∞

sm2 (t) s∗m1(t) dt+

ˆ ∞−∞

sm2 (t) s∗m2(t) dt. (5.55)


Notando que en esta última expresión aparecen energías de la señal:ˆ ∞−∞|sm1 (t)− sm2 (t)|2 dt = ‖sm1‖2 + ‖sm2‖2 − sm1 s

∗m2

ˆ ∞−∞

ϕ (t) ϕ∗ (t) dt︸︷︷︸

=1

(5.56)

− sm2 s∗m1

ˆ ∞−∞

ϕ (t) ϕ∗ (t) dt︸︷︷︸

=1

. (5.57)

Es decir,ˆ ∞−∞|sm1 (t)− sm2 (t)|2 dt = ‖sm1‖2 + ‖sm2‖2 − sm1 s

∗m2−(sm1 s

∗m2

)∗ (5.58)

= ‖sm1‖2 + ‖sm2‖2 − 2 Re{sm1 s

∗m2

}. (5.59)

Finalmente, ˆ ∞−∞|sm1 (t)− sm2 (t)|2 dt = ‖sm1 − sm2‖2 . � (5.60)

¡Concluimos que el espacio de señales respeta y mantiene las relaciones energéticas entre lasseñales! Más aún, vemos que los resultados anteriores valen para cualquier señal base ϕ (t).Es decir, no solo pueden utilizarse pulsos bases NRZ, si no que Manchester o cualquier otrotipo de pulsos.

Así, el espacio de señales es una forma extremadamente compacta para representar lo real-mente fundamental de las señales:

La información (símbolo) modulante.

La energía asignada a dicha información o símbolo.

Hemos logrado reducir nuestro problema de comunicaciones digitales de pasa banda sustan-cialmente.

Al hacer sm (t) −→ sm (t) eliminamos el tedio de la portadora, quedando solamente laforma de la envolvente.

Al hacer sm (t) −→ sm eliminamos la dependencia de nuestro análisis de la forma delas envolventes, dejando una representación vectorial discreta, independiente del tiempocontinuo o formas de señales analógicas.

En resumen, hasta aquí sabemos dos cosas cruciales sobre el espacio de señales:

Cómo representar señales y qué significa.

Que el receptor óptimo 4−QAM decide por cuadrante, ya que x (Ts) = sm.


5.3.2. Ruido blanco en el espacio de señales

Falta descubrir cómo se representa el ruido en el espacio de señales. Considerando la estruc-tura de filtro adaptado ya estudiada, tenemos que:

x (Ts | i) =[si (t) ∗ h (t) + w (t) ∗ h (t)

]∣∣∣∣∣t=Ts

(5.61)

=

ˆ T

0

siϕ (τ) h (t− τ) dτ

∣∣∣∣∣t=Ts

+

ˆ T

0

w (τ) h (t− τ) dτ

∣∣∣∣∣t=Ts

(5.62)

= si

ˆ T

0

ϕ (τ) ϕ∗ (Ts − t+ τ) dτ

∣∣∣∣∣t=Ts

+

ˆ T

0

w (τ) ϕ∗ (Ts − t+ τ) dτ

∣∣∣∣∣t=Ts

(5.63)

= si +

ˆ T

0

[wI (τ) + jwQ (τ)] ϕ (τ) dτ (5.64)

= si +

ˆ T

0

wI (τ) ϕ∗ (τ) dτ︸︷︷︸

nI

+ jˆ T

0

wQ (τ) ϕ∗ (τ) dτ︸︷︷︸

nQ

. (5.65)

Concluimos entonces que:x (Ts | i) = si + n . (5.66)

Los siguientes resultados no son simples demostrar, por lo que se presentarán sin su demos-tración:

El ruido filtrado por hFA (t) = ϕ (Ts − t) tiene una representación en el espacio deseñales análoga a la representación de señales, la cual denotaremos por n.

Su carácter aditivo se mantiene. Es decir,

r (t) = sm (t) + w (t)F.A.−−−→ x (Ts | sm) = sm + n.

Definiremos:x 4= sm + n. (5.67)

Representando en términos de las componentes en cuadratura y en fase:

x = xI + jxQ = (smI + nI) + j (smQ + nQ) . (5.68)

Esto se puede representar fasorialmente mediante el siguiente diagrama:


Figura 5.16: Diagrama fasorial para la suma entre x y s0.

Tal como vimos al estudiar representación equivalente de banda base del ruido, nI y nQdistribuyen idénticamente normal de media 0 y varianza N0

2. Dado sm, el ruido forma

una nube en torno a dicho símbolo:

Figura 5.17: Representación gráfica de la nube gaussiana 2-D en torno a s.

Luego, de acuerdo a los corolarios ya estudiados sobre las variables aleatorias nI y nQ, elsiguiente gráfico resume la caracterización estadística de estas variables:


Figura 5.18: Caracterización estadística de nI | si y nQ | sj.

5.3.3. Probabilidad de error de 4−QAM

Puesto que nI y nQ son independientes, los eventos de error en fase / cuadratura son inde-pendientes. Aplicando directamente lo que aprendimos en comunicaciones digitales en banda


base, determinamos:

Pb,I/Q =1

2− 1

2erf

(√Es

2N0

)=

1

2erfc

(√Es

2N0

). (5.69)

Como los errores I/Q son independientes, la probabilidad de error de símbolo Ps está dadapor:

Ps = 1− Pc = 1− PcIPcQ (5.70)= 1−

(1− Pb,I/Q

)P 2. (5.71)

Es decir,

Ps = 1−[

1− 1

2erfc

(√Es

2N0

)]2

. (5.72)

¿Cuál sería la probabilidad de error de bit de 4−QAM? Aplicamos una asignación alos bits de acuerdo al código Grey: los bits similares se asignan a símbolos adyacentes.

E2

E1

E3

Figura 5.19: Asignación de bits y eventos de error de acuerdo a codificación Grey.

Luego, los errores E1 y E2 son equiprobables y más probables que E3. E1 y E2 son eventosde error de un bit, mientras que E3 es un evento de error de dos bits. Entonces,

Ps = P (error de símbolo | 1 bit erróneo)

P (E1∪E2)︷︸︸︷P (1 bit erróneo)

+ P (error de símbolo | ambos bits erróneos)P (ambos bits erróneos)︸︷︷︸E3


Observamos que E1 ∪ E2 y E3 son mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos.Sea E(m)

i el i−ésimo evento con un bit erróneo. Entonces, siempre podemos decir que:

PS = P

(⋃

i

{E

(1)i

}∪⋃

i

{E

(2)i

}∪ · · · ∪ Elog

2M

). (5.73)

Como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces:

PS = P

(⋃

i

{E

(1)i

})+ P

(⋃

i

{E

(2)i

})+ · · · . (5.74)

Con código Grey, a partir de PS ≈ 1100

y menor las P(· · ·E(1)

)dominan. Así,

PS ≥ P

(⋃

i

{E

(1)i

})(5.75)

= P(E

(1)1 ∪ E(1)

2 ∪ · · · ∪ E(1)log2M

). (5.76)

Como estos eventos también son mutuamente excluyentes, entonces,

PS ≥ P(E

(1)1

)

︸︷︷︸=Pb

+P(E

(1)2

)

︸︷︷︸=Pb

+ · · ·+ P(E

(1)log2M

)

︸︷︷︸=Pb

(5.77)

= log2 (M)Pb. (5.78)

Puesto que los Ei son eventos mutuamente excluyentes, tenemos que:

P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2) . (5.79)

Por lo tanto,PS = P (E1) + P (E2) +��

�:≈ 0P (E3). (5.80)

Eliminamos el término P (E3) pues tiene un valor menor a 1100

gracias a la codificación Grey.Además, notamos que P (E1) = P (E2) y que Pb = 1

2P (E1) + 1

2P (E2). Por lo tanto,

P (E1) = P (E2) = Pb(= Pb,I/Q

). (5.81)

Con ello, PS = 2Pb. Además, recordamos que Es = 2Eb, con esto obtenemos finalmente laprobabilidad de error de bit 4−QAM:

Pb =1

2− 1

2

[1− 1

2erfc

(√EbN0

)]2

. (5.82)

Graficando para distintos valores de M y comparando con modulaciones PAM:


Figura 5.20: Probabilidades de error de símboloM−PAM,M−QAM y FSK binario (curvasM diferente no son comparables).


Figura 5.21: Probabilidades de error de bit de M−PAM, M−QAM y FSK binario, deter-minadas como Pb = Ps/ log2 (M).

Llama mucho la atención que la Pb de 4−QAM en pasa banda sea igual que la de NRZ(BPSK) en banda base. Veamos cuál es la probabilidad de error de bit de BPSK en pasabanda. Dibujando un diagrama fasorial:


Figura 5.22: Diagrama fasorial del ruido pasa banda en transmisiones BPSK.

Vemos que solo importa la componente en fase del ruido para cometer un error. ¡Esta es larazón por la cual el receptor óptimo tiene un operador Re { }! Se tiene que:

P (D1 | 0) =1

2+

1

2erf

−

√Eb

√2√

N0

2

(5.83)

=1

2− 1

2erf

(√EbN0

)(5.84)

= P (D0 | 1) . (5.85)

Finalmente, obtenemos la probabilidad de error de bit BPSK:

Pb =1

2− 1

2erf

(√EbN0

). (5.86)

Observaciones:

1. Vemos que NRZ y BPSK tiene la misma Pb . No importa si la transmisión se hace enbanda base o en pasa banda.

2. Observemos la siguiente figura que compara 4−QAM versus BPSK:


Figura 5.23: Comparación de probabilidad de error de bit y símbolo entre modulacionesQAM y BPSK.

Vemos que ambas modulaciones tienen la misma probabilidad de error de bit, pero4−QAM tiene el doble de información. Por lo tanto, aprovechar el riel en cuadraturamejora la eficiencia espectral al doble al costo de mayor complejidad, mientras que laeficiencia energética no cambia.

5.4. Otras constelaciones M-arias de pasa banda

Existe un gran conjunto de otras constelaciones de pasa banda además de las ya estudiadas.A modo de ejemplo:

La modulación 16−QAM es la combinación de 4−PAM en fase y cuadratura, modu-lando así tanto amplitud como fase:


Figura 5.24: Diagrama de símbolos de la constelación 16−QAM.

Este ejemplo puede extenderse incluso a 64 bits, obteniendo así la constelación 64−QAM:


Figura 5.25: Diagrama de símbolos de la constelación 64−QAM.

La modulación 8−PAM:

Figura 5.26: Diagrama de símbolos de la constelación 8−PAM.

Si tomamos el código anterior y lo hacemos circularmente Grey, obtenemos la modula-ción 8−PSK:


Figura 5.27: Diagrama de símbolos de la constelación 8−PSK.

Al respecto, pueden realizarse los siguientes comentarios:

1. Cada tipo de modulación tiene ventajas y desventajas en términos de eficiencia espec-tral, eficiencia energética y complejidad de implementación.

2. Todas estas modulaciones tienen función base ϕ (t), a la cual se altera la fase y/oamplitud según la secuencia de símbolos.

3. ϕ puede ser cualquier envolvente compleja, no necesariamente real pura. El diseño deestas señales se estudia en el curso IEE3514.

4. La probabilidad de error de modulaciones M−arias es, en general, difícil de obtenerteóricamente. No obstante, es conocida para la mayoría de las modulaciones relevantes.Lo usual es obtener primero Ps y luego considerar:

Ps = P (E1) + P (E2) + · · ·+ P(Elog2M

). (5.87)

donde Ei = P (error de i bits) . Si se usa código Grey, entonces:

P (E1)� P (Ei) i = 2, . . . , log2 (M) . (5.88)

Y por lo tanto Ps ≈ P (E1). De esta forma,

Ps ≈ log2 (M)Pb . (5.89)


Figura 5.28: Curvas de probabilidad de error de bit para las distintas constelaciones M -arias.


Capítulo 6 Sistemas de comunicaciones digitales

6.1. Introducción

Hasta aquí hemos logrado entender en bastante detalle cómo realizar una transmisión digitala través de un medio o canal.

Fuenteinformación

ModulaciónBB y PB

Medio/ Canal

Receptor ydemodulador

Usuarioinformación

H(f) ≡ 1

{bn}

s(t) =∑sn(t− nT ) {bn}, Ps, Pb

y ↑RF

AWGN y F.A.

Figura 6.1: Diagrama de un sistema de comunicaciones digitales a través de un medio ocanal.

Si bien hay mucho más por decir sobre el canal (véanse cursos IEE3584 e IEE3514) y sobremodulaciones y diseño de señales (IEE3514), probablemente el bloque más oscuro es el defuente y usuario de la información.

Específicamente, queremos estudiar las condiciones que debe cumplir la información bajocriterios como “uso eficiente del canal” y “minimizar la Pe en la salida”.

Partamos definiendo algunos conceptos clave:

Teoría de la información: es la rama de las telecomunicaciones que estudia los límitesteóricos de los dos puntos anteriores.


Entropía10: número mínimo de bits al cual un mensaje puede ser comprimido sinpérdida de información.

Capacidad de canal: tasa de datos máxima a la que es posible transmitir sin erroresa través de un canal dado.

6.2. Pares codificador–decodificador

Estos conceptos son el objeto de dos pares codificador–decodificador (codec) nuevos ennuestro modelo de un sistema de comunicaciones digitales.

Fuente deinformación

{xn}

Codificadorde fuente

Codificadorde canal

Modulador

Canal

Demodulador

Decodificadorde canal

Decodificadorde fuente

Usuario de lainformación

Aquí es dondequeremos maxi-mizar la tasa dedatos, donde laredundancia esmáxima.

Detecta y corrigeerrores

Señal Tx Señal Rx

Inserta ruido e interferencia

Señal demensaje

Mensajeestimado

Transmisor Receptor

Figura 6.2: Diagrama de bloques de un sistema de comunicaciones digitales.

“Codec” de fuente: Comprime el mensaje. Nivel de compresión y aproximación aentropía depende del algoritmo usado.

10No es voodoo.


“Codec” de canal: Agrega redundancia en forma controlada y permite (idealmente)detectar todos los errores cuando la tasa de transmisión es menor o igual a C.

La codificación de fuente y canal de señales analógicas es impráctica, difícil de implementary limitada; mientras que para señales digitales (mensajes digitales) se han podido desarrollaralgoritmos más y más sofisticados, permitiendo lograr eficiencias mucho mayores en el usodel canal que con fuentes analógicas.

Este es uno de los motivos principales por el cual se han impuesto las comunicaciones digitalessobre las analógicas.

Cuadro 6.1: Comparación de las tecnologías de comunicaciones análogas y digitales entérminos de eficiencia energética y espectral y complejidad de implementación.

Tecnol. Com. Eficiencia energética Eficiencia espectral ComplejidadAnálogo Pobre Pobre Baja a mediaDigital Buena a muy buena “Mejor” a muy buena Media a muy alta

El segundo motivo en favor de soluciones digitales al problema de comunicaciones es elavenimiento de la integración a gran escala de circuitos digitales, las que hacen posible laimplementación de algoritmos (codecs muy sofisticados).

6.3. Entropía y compresión

Sea la transmisión de una secuencia de símbolos {xn} con xn independientes e idénticamentedistribuidos, representando símbolos fuente (ej. x = {0, . . . ,M − 1}) no modulados. Se definela entropía como el número promedio de bits necesarios para describir cada símbolo en laforma más eficiente posible.

Es posible demostrar que la entropía está dada por:

H (x) = −∑

x∈XP (x) log2 [P (x)] [bits]. (6.1)

donde X es el alfabeto de x, es decir, todos los posibles valores que x puede tomar (e.g.0, . . . ,M − 1). Como observación, puede notarse que:

H (x) = E {− log2 [P (x)]} . (6.2)


Ejemplo Determine la entropía en el caso en que x es binario. Es decir, X = {0, 1}.

Solución:

Se tiene que:

P (x = 0) = p (6.3)P (x = 1) = 1− p. (6.4)

Entonces,H (x) = −p log2 p− (1− p) log2 (1− p) [bits] = H (p) . (6.5)

Graficando en función de p:

Figura 6.3: Gráfica de H (p) versus p.

Observamos que H (p) es máximo e igual a 1 con p = 12. Por lo tanto, hace falta 1

bit completo (en promedio) para describir un bit de la fuente x. Secuencias binariasequiprobables no pueden ser comprimidas.

Asimismo, H (p) es mínimo e igual a cero cuando p = 0 ó p = 1. En estos casos,sabemos cuál es el valor de x (la comunicación es determinística), y por endenecesitamos cero bits para describirla.

�


Ejemplo Consideremos el mensaje 4−ario:

x =

0, con P (x) =1

2,

1, con P (x) =1

4,

2, con P (x) =1

8,

3, con P (x) =1

8.

(6.6)

Entonces,

H (x) = −1

2log2

1

2− 1

4log2

1

4− 1

8log2

1

8− 1

8log2

1

8=

7

4bits. (6.7)

Vemos que cada símbolo x puede ser descrito con 2 bits (00, 01, 10, 11), pero esa no esla descripción más compacta.

¿Qué pasa si los 4 símbolos son equiprobables, como hemos estado asumiendo?

H (x) = −41

4log2

1

4= 2 bits. (6.8)

Por lo tanto, sí hemos estado usando la descripción más compacta posible.

¿Cómo podemos explotar estos conceptos? Es un área del conocimiento muy extensa en laque no entraremos, pero daremos un minúsculo ejemplo para ilustrar la idea.

Ejemplo Consideremos el código Huffman. Sea:

x a b c

P (x) 1/5 2/5 2/5


00:

01:

1:

1

5

2

5

2

5

3

5

2

5

1

0

10

1

Figura 6.4: Diagrama de construcción de un código Huffman.

Cómo construir un código Huffman:

1. Unir las dos probabilidades más pequeñas y numerarlas.

2. Repetir hasta llegar a la raíz con probabilidad igual a 1.

3. Etiquetar las ramas con 0/1 y leer el código de derecha a izquierda.

Ejemplo Código Huffman y mensaje 4−ario anterior:

111:

110:

10:

0:

1

2

1

4

1

8

1

8

1

2

1

4

1

4

1

2

1

2

1

0

1

0

1

0

1

Figura 6.5: Diagrama de construcción de código Huffman para mensaje 4−ario delejemplo anterior.


Se deja como ejercicio propuesto al lector decodificar 01001011010. Vemos que:

L =1

2· 1 bit +

1

4· 2 bits + 2 · 1

8· 3 bits (6.9)

=1

2+

1

2+

3

4=

7

4bits. (6.10)

Entonces, ¡este código comprime hasta la entropía!

El tamaño promedio de un código Huffman, L, siempre es:

H (x) ≤ L ≤ H (x) + 1

con L = H (x) si y solo pi son de la forma1

2k.

6.4. Capacidad de canal

La contribución probablemente más importante para las comunicaciones modernas fue elteorema de capacidad de canal demostrado por Shannon en 1948.

“Es posible transmitir información sin errores a través de un canal siempre y cuando latasa de transmisión sea inferior a la capacidad del canal”.

Para el canal AWGN, dicha capacidad está dada por:

C = W log2 (1 + SNR)

[bitsseg

]. (6.11)

Graficando la capacidad versus la razón señal a ruido:

Figura 6.6: Capacidad de canal versus razón señal a ruido.


Observamos que si el SNR aumenta, entonces la capacidad aumenta, de la misma forma quesi W aumenta, lo hace C.

Sin embargo, hace falta crecimiento exponencial en señal de razón a ruido para lograr unaumento lineal de C. Vemos que la eficiencia espectral está dada por (acotada por):

η(ideal)w =

C

W= log2 (1 + SNR)

[bitss · Hz

]. (6.12)

“¿Cuantos bits se pueden transmitir en 1 Hz de ancho de banda por segundo?”

Notamos que para sistemas realizables se tiene que:

w(t) q(t)

cos(2πfct)

Figura 6.7: Traslación espectral en un conversor de radio frecuencia.

SNRreal =PsPn

=EbRb

N0W, (6.13)

donde Rb es la tasa de bits/seg, y que:

Rb ≤ C ⇐⇒ EbN0

Rb

W︸︷︷︸SNR real

≤ EbN0

C

W︸︷︷︸SNR ideal

= ηWEbN0

. (6.14)

Entonces, SNR(real) ≤ EbN0

ηW = SNR(ideal). Así,

η(real)W ≤ log2

(1 +

EbN0

ηW

)

Usando un solver numérico obtenemos la siguiente gráfica:


Figura 6.8: Región de ηw versus SNR para sistemas realizables.


Anexo 1: Competencias necesarias en probabilidades

Conceptos básicos

1. A: evento. Entonces, 0 ≤ P (A) ≤ 1.

2. A y B eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P (A ∪B) = P (A) + P (B) . (6.15)

3. A y B además exhaustivos, entonces:

P (A) + P (B) = 1, (6.16)

y por lo tanto, un caso particular es B = Ac y así P (Ac) = 1− P (A).

4. Independencia: P (A ∩B) = P (A)P (B).

5. Probabilidad condicional:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B). (6.17)

6. Bayes (forma simple):P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) . (6.18)

7. Probabilidad total: A1, . . . , An eventos mutuamente excluyentes y colectivamente ex-haustivos. Entonces,

P (B) =N∑

i=1

P (B|Ai)P (Ai) . (6.19)

8. Bayes (forma general):

P (Aj|B) =P (B|Aj)P (Aj)

P (B)=P (B|Aj)P (Aj)N∑

i=1

P (B ∩ Ai). (6.20)


Variables aleatorias

1. Concepto: variables cuyo valor no puede ser predicho en forma determinística; solo seconoce la probabilidad de cada valor posible.

2. Distinción entre discretas y continuas.

3. Función de probabilidad acumulativa:

FX (x) = P (X ≤ x) . (6.21)

Se verifican las siguientes propiedades:

(a) Monotónicamente creciente:

x1 < x2 −→ FX (x1) ≤ FX (x2)

(b) 0 ≤ FX (x) ≤ 1.(c) FX (−∞) = 0 y FX (∞) =1.(d) P (X > x) = 1− FX (x).(e) P (x1 ≤ X ≤ x2) = FX (x2)− FX (x1).

4. Función de densidad de probabilidad:

fX (x) =dFX

dx(x) donde X es una v.a. continua (6.22)

(a) FX (x) =

ˆ x

−∞fX (u) du.

(b) fX (x) ≥ 0.

(c) P (x1 < X ≤ x2) =

ˆ x2

x1

fX (x) dx.

5. Momentos:

(a) Valor esperado E { }.

Media: µX = E {X} =

ˆ ∞−∞

xfX (x) dx. (6.23)

(b) Momentos y momentos centrales:

Varianza: σ2X4= Var {X} (6.24)

= E{

(X− µX)2} (6.25)

=

ˆ ∞−∞

(x− µX)2 fX (x) dx (6.26)

= E{X2}− µ2

X. (6.27)

La varianza también se conoce como segundo momento central.


6. Variable aleatoria gaussiana:

fX (x) =1√

2πσ2X

exp

[−(x− µX)2

2σ2X

]. (6.28)

FX (x) =1

2+

1

2erf

(x− µX√

2σX

). (6.29)

7. Función de error: erf (x) (disponible en MATLAB)

erf (x) =2√π

ˆ x

0

e−u2

du. (6.30)

Se verifican las siguientes propiedades:

(a) erf (∞) = 1.

(b) erfc (x) = 1− erf (x).

(c) erf (−x) = − erf (x).

(d) Q (x) = Φ (x) =1

2erf(x

2

)(notación de otros autores).

8. Teorema central del límite:Xk ∼ iid

(µX, σ

2X

). (6.31)

Definimos:

Yn4=

1√nσ2

X

n∑

k=1

(Xk − µX) . (6.32)

Entonces,

lımn→∞

fYn (y) =1√2π

exp

(−y

2

2

)←→ Yn

·∼ N (0, 1) . (6.33)

9. Variables aleatorias y vectores aleatorios:

(a) Densidad conjunta fXY (x, y).

(b) Independiencia: fXY (x, y) = fX (x) fY (y).

(c) Probabilidad condicional.

(d) Bayes.

(e) Probabilidad total.

(f) Momentos conjuntos.

10. Distribución gaussiana multivariable:

fX (x) =1√

(2π)n |RX|exp

[−1

2(x− ~µX)R−1

X (x− ~µX)

], (6.34)


con X =

X1...XN

y Xi ∼ N

(µXi

, σ2Xi

)y la matriz de covarianza:

RX = E{

(X− ~µ) (X− ~µ)T}. (6.35)


Anexo 2: Funciones de Bessel

Cortesía de Sebastián Soto Rojas.

Introducción: Una motivación física

Una de las principales motivaciones para la aparición de las funciones de Bessel –si bien noes la histórica– consiste en la resolución de problemas diferenciales con simetría cilíndrica.A modo de ejemplo, supongamos que deseamos resolver la ecuación de onda en un tamborcilíndrico, de modo que tenemos la ecuación diferencial parcial:

~∇2ϕ =1

c2ϕ (6.36)

donde c es la velocidad de propagación en el medio. Dado que podemos asumir la existenciade una simetría cilíndrica pues las condiciones de contorno lo serán, entonces

ϕ = ϕ (ρ, θ, z) , (6.37)

y por lo tanto la ecuación de onda anterior puede escribirse en coordenadas cilíndricas como:

∂2ϕ

∂ρ2+

1

ρ

∂ϕ

∂ρ+

1

ρ2

∂2ϕ

∂θ2+∂2ϕ

∂z2=

1

c2

∂2ϕ

∂t2. (6.38)

En diversas fuentes bibliográficas se puede demostrar que esta ecuación diferencial parcialtiene solución. Bajo este supuesto, asumamos que la solución puede escribirse como:

ϕ (ρ, θ, z) = R (ρ) Φ (θ)Z (z)T (t). (6.39)

Este método se conoce comométodo de separación de variables y es una técnica habitualpara resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales. Reemplazando en la ecuación diferencialparcial:

R′′ΦZT +1

ρR′ΦZT +

1

ρ2RΦ′′ZT +RΦZ ′′T =

1

c2RΦZT ′′. (6.40)

En otras palabras,1

c2

T ′′

T=

(R′′ +

1

ρR′)

1

R+

1

ρ2

Φ′′

Φ+Z ′′

Z(6.41)

Resolveremos ahora etapa por etapa.

Dependencia en el tiempo. Observe que en la ecuación anterior solamente el lado izquierdode la ecuación depende del tiempo, y el lado izquierdo depende de las variables ρ, θ y z. Por


http://web.ing.puc.cl/~spsoto

lo tanto, desde el punto de vista de t el lado derecho es una constante que denominaremos−k2, obteniendo así la ecuación diferencial:

1

c2

T ′′

T= −k2 −→ T ′′ + (kc)2 T = 0. (6.42)

Esta ecuación diferencial ordinaria tiene solución inmediata:

Tk (t) = T0±e±jkct. (6.43)

En este caso lo más sencillo es asumir que k puede ser positivo o negativo, por lo quenecesitamos solo una de estas soluciones. Luego,

Tk (t) = T0ejkct (6.44)

Dependencia en z. Bajo el reemplazo anterior se tendrá que:

− k2 =

(R′′ +

1

ρR′)

1

R+

1

ρ2

Φ′′

Φ+Z ′′

Z. (6.45)

Y bajo una idea similar a lo anterior, se tendrá que:

− Z ′′

Z− k2 =

(R′′ +

1

ρR′)

1

R+

1

ρ2

Φ′′

Φ, (6.46)

donde como el lado derecho no depende de z, es una constante bajo esta variable que deno-minaremos −a2. Así, se tiene que:

− Z ′′

Z− k2 = −a2 −→ Z ′′ +

(k2 − a2

)Z = 0. (6.47)

Nuevamente,

Z±k,a (z) = Z0e±j√k2−a2 z . (6.48)

Consideremos por simplicidad el caso en que k2 y a2 son ambos reales y positivos (aunqueesto no tiene por qué ser así. Esta solución oscila si k2 > a2, decaen exponencialmente sik2 < a2 y son constantes si k2 = a2.

Dependencia en θ. Se tiene ahora que:(R′′ +

1

ρR′)

1

R+

1

ρ2

Φ′′

Φ= −a2. (6.49)

Podemos reordenar esta ecuación como sigue para despejar Φ:

− Φ′′

Φ=

(R′′ +

1

ρR′)ρ2

R+ ρ2a2. (6.50)


Dado que no hay dependencia entre las variables de cada lado de la ecuación, ambos ladosdeben ser constantes e igual a un número que llamaremos n2. Entonces,

− Φ′′

Φ= n2 −→ Φ′′ + n2Φ = 0. (6.51)

Despejando,Φ±n (θ) = Φ0e

±jnθ (6.52)

Como la solución debe tener simetría cilíndrica, entonces la solución debe ser igual en θ = 0y θ = 2π. De esta forma,

e0 = ejn2π −→ n = 0,±1,±2, . . . (6.53)

Dependencia de ρ. Finalmente, tenemos que:(R′′ +

1

ρR′)ρ2

R+ ρ2a2 = n2. (6.54)

Multiplicando por R y reordenando términos obtenemos que:

ρ2R′′ + ρR′ +(a2ρ2 − n2

)R = 0. (6.55)

Esta ecuación diferencial, muy diferente a las anteriores, es muy similar la ecuación diferencialde Bessel, la motivación de este trabajo y que procederemos a resolver a continuación.

Antes de proceder con el próximo apartado, llevemos la ecuación a su forma estándar haciendola sustitución x = aρ, de modo que:

R = R (x) −→ dRdρ

=dRdx

dxdρ

= adRdx−→ d2R

dρ2= a2d

2R

dx2. (6.56)

Entonces la ecuación diferencial anterior puede escribirse como:

(xa

)2

a2d2R

dx2+x

aadRdx

+(x2 − n2

)R (x) = 0. (6.57)

Simplificando términos obtenemos:

x2d2R

dx2(x) + x

dRdx

(x) +(x2 − n2

)R (x) = 0 (6.58)

Esta es efectivamente la ecuación de Bessel, cuyas dos soluciones linealmente independien-tes son las funciones de Bessel Jn (x) y las funciones de Neumann Yn (x). Nótese queestas dependen del valor que n tome, razón por la cual nos referimos a n como el orden delas funciones de Bessel.


Resolución mediante series de potencias

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tendremos dossoluciones linealmente independientes. Primero construiremos una solución inicial utilizandoseries de potencias y aplicando el Teorema de Frobenius. Luego, la solución debe escribirsecomo:

R (x) = xn∞∑

k=0

bkxk. (6.59)

Entonces, tenemos que:

xR′ (x) = nxn∞∑

k=0

bkxk + xn

∞∑

k=0

kbkxk. (6.60)

Por lo tanto,

x2R′′ (x) = n (n− 1)xn∞∑

k=0

bkxk + 2nxn

∞∑

k=0

kbkxk + xn

∞∑

k=0

k (k − 1)xk. (6.61)

Asimismo, se tiene que:

x2R (x) = xn∞∑

k=0

bkxk+2 = xn

∞∑

k=2

bk−2xk. (6.62)

Reemplazando esto en la ecuación diferencial se tiene que:

xn∞∑

k=0

[n (n− 1) bk + 2nkbk + k (k − 1) bk + nbk + kbk + bk−2 − n2bk

]xk = 0

xn∞∑

k=0

(2nkbk + k2bk + bk−2

)xk = 0

Entonces, bk debe ser tal que:

k (k + 2n) bk + bk−2 = 0. (6.63)

Como la serie de potencias comienza en k = 0, entonces b−1 = 0 y por lo tanto:

b1 = − b−1

k (k + 2n)= 0 −→ b2k−1 =

b2k−3

(2k − 1) (2k − 1 + 2n)= 0. (6.64)

Para los números pares se sigue que:

b2k = − b2k−2

4k (n+ k). (6.65)

Siguiendo inductivamente se puede probar que:

b2k = (−1)kb0

4kk! (n+ k) (n+ k − 1) · · · (n+ 1). (6.66)


¿Cómo escogemos b0? En este caso, para garantizar la convergencia de la serie mediante elcriterio del cociente, hacemos b0 = 1/2nn!, por lo que reemplazando en la expresión inicial:

R (x) = Jn (x) =∞∑

k=0

(−1)k

k! (n+ k)!

(x2

)2k+n

. (6.67)

Dado que deseamos considerar también los órdenes complejos, extendemos la definición defactoriales mediante la función Gamma, obteniendo así que:

Jν (x) =∞∑

k=0

(−1)k

Γ (k + 1) Γ (ν + k + 1)

(x2

)2k+ν

. (6.68)

Observe que la evaluación puede hacerse incluso para n negativos. Se tiene que:

J−n (x) =∞∑

k=0

(−1)k

Γ (k + 1) Γ (−n+ k + 1)

(x2

)2k−n=∞∑

k=0

(−1)n+k

Γ (n+ k + 1) Γ (k + 1)

(x2

)2k+n

(6.69)Es decir,

J−n (x) = (−1)n Jn (x) . (6.70)

Propiedades de las funciones de Bessel

Función generatriz

Muchas propiedades sobre las funciones de Bessel pueden ser demostradas mediante su fun-ción generatriz. Una función generatriz, definida de forma informal, es básicamente una fun-ción cuya representación en serie de potencias contiene en cada an un término de una sucesióndada, en este caso la sucesión de funciones de Bessel.

Teorema A2.1: Se tiene que:

exp[x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞Jn (x) zn (6.71)

por lo que esta función es la función generatriz de Jn.

Demostración: Tenemos que:

exp[x

2

(z − z−1

)]= exp

(x2z)

exp

(−x

2

1

z

)=

∞∑

m=0

(x2

)m

m!zm

∞∑

k=0

(−1)k(x

2

)k

k!z−k.


Si realizamos esta multiplicación término a término:

exp[x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

m=0

∞∑

k=0

(−1)k(x

2

)m+k

m! k!zm−k.

Deseamos comenzar la sumatoria en −∞. Para ello, hagamos n = m − k con m, k ≥ 0. Deesta forma, podemos cambiar la primera sumatoria, obteniendo así que:

exp[x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞

∞∑

m−k=nm,k≥0

(−1)k(x

2

)m+k

m! k!

zn

=∞∑

n=−∞

[ ∞∑

k=0

(−1)k

(n+ k)! k!

(x2

)2k+n]

︸︷︷︸Jn(x)

zn.

Finalmente,

exp[x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞Jn (x) zn �

Proposición A2.1: Se tiene que:

cos (x) = J0 (x) + 2∞∑

n=1

(−1)n J2n (x) (6.72)

sen (x) = 2∞∑

n=0

(−1)n J2n+1 (x) (6.73)

1 = J0 (x) + 2∞∑

n=1

J2n (x) (6.74)

Demostración:

Hagamos z = ejφ −→ j senφ =1

2

(z − 1

z

)y reemplazando en la función generatriz:

ejx senφ =∞∑

n=−∞Jn (x) ejnφ.

Es decir, expandiendo mediante la fórmula de De Moivre:

cos (x senφ) + j sen (x senφ) =∞∑

n=−∞Jn (x) [cos (nφ) + j sen (nφ)] .


Separando partes real e imaginaria:

cos (x senφ) =∞∑

n=−∞Jn (x) cos (nφ) = J0 (x) + 2

∞∑

n=1

J2n (x) cos (2nφ) (6.75)

sen (x senφ) =∞∑

n=−∞Jn (x) sen (nφ) = 2

∞∑

n=0

J2n+1 (x) sen [(2n+ 1)φ] . (6.76)

Esto entrega los resultados deseados haciendo φ = π2para las dos primeras ecuaciones y φ = 0

para la tercera. �

Proposición A2.2: Se cumple que:

Jn (−x) = J−n (x) = (−1)n Jn (x) , (6.77)

para todo n ∈ Z.

Demostración:

Consideremos la función generatriz:

exp[x

2

(z − z−1

)]. (6.78)

Si hacemos x −→ −x y z −→ z−1 observamos que:

exp[x

2

(z − z−1

)]= exp

[−x

2

(z−1 − z

)](6.79)

¡Que son exactamente la misma función! expandiendo en series de potencias:∞∑

n=−∞Jn (x) zn =

∞∑

n=−∞Jn (−x) z−n. (6.80)

En el primer miembro hacemos m = −n, obteniendo así que:∞∑

n=−∞Jn (x) zn =

∞∑

m=−∞J−m (x) z−m. (6.81)

Es decir,(−1)n Jn (x) = J−n (x) = Jn (−x) . (6.82)

Luego, la función de Bessel es par para órdenes pares e impar para órdenes impares. �

Proposición A2.3: Para todo n ∈ Z:

2J ′n(x) = Jn−1 (x)− Jn+1 (x) , (6.83)2n

xJn (x) = Jn+1 (x) + Jn−1 (x) , (6.84)

ddxxnJn (x) = xnJn−1 (x) . (6.85)


Demostración:

Tomemos la función generatriz:

exp[x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞Jn (x) zn (6.86)

Derivamos a ambos lados en función de x:

1

2

(z − z−1

)exp

[x2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞J ′n (x) zn (6.87)

El lado izquierdo puede expandirse en sus series de potencias:

1

2z

∞∑

n=−∞Jn (x) zn − 1

2z−1

∞∑

n=−∞Jn (x) zn =

∞∑

n=−∞J ′n (x) zn, (6.88)

−→ 1

2

∞∑

n=−∞[Jn−1 (x)− Jn+1 (x)] zn =

∞∑

n=−∞J ′n (x) zn. (6.89)

De aquí, igualando coeficientes:

2J ′n (x) = Jn−1 (x)− Jn+1 (x) . (6.90)

Derivando la función generatriz con respecto a z:

(x2

+x

2z2

)exp

[x2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞nJn (x) zn−1 (6.91)

Expandiendo el lado derecho:

(x2

+x

2z2

) ∞∑

n=−∞Jn (x) zn =

∞∑

n=−∞nJn (x) zn−1 (6.92)

−→∞∑

n=−∞Jn (x) zn +

∞∑

n=−∞Jn (x) zn−2 =

∞∑

n=−∞

2n

xJn (x) zn−1 (6.93)

−→∞∑

n=−∞Jn−1 (x) zn−1 +

∞∑

n=−∞Jn+1 (x) zn−1 =

∞∑

n=−∞

2n

xJn (x) zn−1. (6.94)

Igualando coeficientes concluimos que:

2n

xJn (x) = Jn+1 (x) + Jn−1 (x) . (6.95)


Sumamos ambas ecuaciones:

2J ′n (x) +2n

xJn (x) = 2Jn−1 (x) . (6.96)

Multiplicamos por xn/2:

xnJ ′n (x) + nxn−1Jn (x) = xnJn−1 (x) . (6.97)

Finalmente, por regla del producto de la derivación:

ddxxnJn (x) = xnJn−1 (x) (6.98)

Demostradas las tres identidades, queda entonces demostrado. �

Proposición A2.4: Para todo m 6= 0 se tiene que:

J20 (x) + 2

∞∑

n=1

J2n (x) = 1 y

∞∑

n=−∞Jn+m (x) Jn (x) = 0 (6.99)

Demostración:

exp[x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞Jn (x) zn. (6.100)

Se tiene entonces que:

exp[−x

2

(z − z−1

)]=

∞∑

n=−∞Jn (x) z−n. (6.101)

Multiplicando ambas:

1 =

[ ∞∑

n=−∞Jn (x) zn

][ ∞∑

m=−∞Jn (x) z−m

]

=∞∑

m=−∞

( ∞∑

n=−∞Jn+m (x) Jn (x)

)zm

=∞∑

n=−∞J2n (x) +

∑

m∈Zm6=0

[ ∞∑

n=−∞Jn+m (x) Jn (x)

]zm.

Comparando coeficientes es sigue que:

1 =∞∑

n=−∞J2n (x) = J2

0 (x) + 2∞∑

n=1

J2n (x)←− usando J−n (x) = (−1)n Jn (x) , (6.102)


y

0 =∞∑

n=−∞Jn+m (x) Jn (x) . (6.103)

Esta última relación indica que las funciones de Bessel son ortogonales entre ellas bajo elproducto interno

∑n∈Z. �

Proposición A2.5: ∑

n∈ZJn (x) = 1. (6.104)

Demostración:

Basta hacer z = 1 en la ecuación generatriz. �

Proposición A2.6: Se tiene que:

Jn (x+ y) =∑

k∈ZJk (x) Jn−k (y) , (∀n ∈ Z)

Demostración:∞∑

n=−∞Jn (x+ y) = exp

[1

2(x+ y)

(t− t−1

)],

= exp

[1

2x(t− t−1

)]exp

[1

2y(t− t−1

)],

=

[ ∞∑

k=−∞Jk (x) zk

][ ∞∑

m=−∞Jm (y) zm

],

=∞∑

n=−∞

[ ∞∑

k=−∞Jk (x) Jn−k (y)

]zn.

Comparando coeficientes se llega a lo pedido. �

Representación integral

Dado que no estamos presuponiendo un dominio de análisis complejo, revisaremos la versióndel teorema de representación integral exclusivamente para números enteros.

Teorema 2.2: Sea n ∈ Z, entonces:

Jn (x) =1

π

ˆ π

0

cos (nθ − x sen θ) dθ. (6.105)

Demostración:


Notamos que esta expresión corresponde en cierto sentido al coeficiente de una serie deFourier, ya que estamos tomando el valor medio de una función que aparenta ser periódica.De esta forma, como la función generatriz es una serie de −∞ a∞, es una bunea idea evaluart en la exponencial compleja para evaluar la situación:

ψ(x, ejθ) =∞∑

n=−∞Jn(x) ejnθ = exp

[x

2

(ejθ − e−jθ) · j

j

](6.106)

→∞∑

n=−∞Jn(x) ejnθ = exp (xj sen θ) , (6.107)

en particular,∞∑

n=−∞Jn(x)ejnθ = cos (x sen θ) + i sen (x sen θ) = g(θ). (6.108)

Notamos que cada uno de los coeficientes de esta serie de Fourier en su forma complejacorresponden a Jn(x). De lo que ya sabemos:

Jm(x) =1

π

ˆ π

−πg(θ) e−jmθdθ, (6.109)

con lo cual,

Jm(x) =1

π

ˆ π

−πcos (x sen θ) e−jmθ + j sen (x sen θ) e−jmθdθ

=1

π

ˆ π

−πcos (x sen θ) cos (mθ) + j cos (x sen θ) sen (mθ) dθ

+1

π

ˆ π

−πj sen (x sen θ) cos (mθ) + sen (x sen θ) sen (mθ) dθ

observando que i cos (x sen θ) sen (mθ) y j sen (x sen θ) cos (mθ) son impares, entonces

Jm(x) =1

π

ˆ π

−πcos (x sen θ) cos (mθ) dθ + sen (x sen θ) sen (mθ) dθ (6.110)

=1

π

ˆ π

−πcos (mθ − x sen θ) dθ. (6.111)

que era exactamente lo buscado. �

Corolario: Se tiene que |Jn (x)| ≤ 1.

Demostración:

Tomamos la representación integral:

Jn(x) =1

π

ˆ π

0

cos(nθ − x sen θ)dθ. (6.112)


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