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INTEGRAÇÃO POR PARTES
Generalidades
Aplicação: integrais cujos integrandos são compostos de:
produtos;
funções trigonométricas;
funções exponenciais;
funções logarítmicas.
Exemplos:
𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥;
𝑥2 ∙ sen 𝑥 𝑑𝑥;
arctg 𝑥 𝑑𝑥;
𝑙𝑛 𝑥2 + 1 𝑑𝑥.
Fórmula
Considere a função
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣
Diferenciando a função acima obtemos:
𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑑𝑣
Integrando membro a membro, resulta:
𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣,
𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣,
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣
Assim,
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.
Análise: Note que no integrando temos um
produto de funções e uma delas é uma
função exponencial. Vamos utilizar a
integração por Partes.
1. 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.
2. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.
Escolhemos 𝒅𝒗 em primeiro lugar (pois
deve ser uma diferencial de integração
imediata.)
𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 e 𝒖 = 𝒆𝒙.
Assim
𝒖 = 𝒆𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 =𝟏
𝟐𝒙𝟐
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.
3. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝒆𝒙 ∙ 𝒙 𝒅𝒙 =𝟏
𝟐𝒆𝒙 ∙ 𝒙𝟐 −
𝟏
𝟐 𝒙𝟐 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙
Note que a integral resultante é mais
complicada que a integral proposta.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.
2. Nova escolha de 𝒖 e de 𝒗.
𝒖 = 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = 𝒆𝒙
3. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝒙 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 𝒅𝒙
𝒙 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪
𝒙 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exercício 1: Integre 𝑥 ∙ sen 𝑥 𝑑𝑥.
1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.
𝒖 = 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙
2. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ −𝐜𝐨𝐬 𝒙 − −𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝑪
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exercício 2: Integre 𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥.
1. Vamos reescrever a integral como: 𝑥2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥
2. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.
𝒖 = 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙𝟐𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙
𝟐 𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐
𝟐 𝒙 ∙ 𝒆𝒙
𝟐 𝒅 𝒙 =
𝟏
𝟐 𝒆𝒙
𝟐𝟐𝒙 𝒅 𝒙 =
𝟏
𝟐 𝒆𝒙
𝟐 𝒅 𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐
∴ 𝒗 =𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐
INTEGRAÇÃO POR PARTES
𝒘 = 𝒙𝟐 𝒅𝒘 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝒅 𝒙𝟐
Exercício 2: Integre 𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥.
Assim,
𝒖 = 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙𝟐𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 =
𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐
3. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝒙𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝒆𝒙𝟐𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 ∙
𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐−
𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙
𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟐𝒙𝟐𝒆𝒙
𝟐−𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐+ 𝑪
𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟐𝒆𝒙
𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝑪
𝒅 𝒙𝟐
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exercício 3: Integre I = 𝑙𝑛 𝑥2 + 1 𝑑𝑥.
1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.
𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟏
𝒙𝟐+𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = 𝒙
2. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 ∙ 𝒙 − 𝒙 ∙𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙
INTEGRAÇÃO POR PARTES
𝒍𝒏(𝒘) ′ =𝟏
𝒘∙ 𝒘′
Exercício 3: Integre I = 𝑙𝑛 𝑥2 + 1 𝑑𝑥.
3. Considere 𝒙𝟐
𝒙𝟐+𝟏 𝒅𝒙, note que o grau do numerador é igual ao grau do
denominador (𝑚 = 𝑝), assim:
𝒙𝟐 + 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟏
−𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏 então 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟏 ∙ 𝟏 − 𝟏
−𝟏
4. Voltando ao cálculo da Integral I
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏−
𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙
𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒙 + 𝑪
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Exercício 4: Integre arcsen 𝑥 𝑑𝑥.
1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.
𝒖 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟏
𝟏−𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = 𝒙
2. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
INTEGRAÇÃO POR PARTES
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝒘) ′ =𝒘′
𝟏 − 𝒘𝟐
Exercício 4: Integre arcsen 𝑥 𝑑𝑥.
2. Substituição da fórmula
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 ∙ 𝒙 − 𝒙 ∙ 𝟏
𝟏−𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟐−𝟏
𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟐−𝟏
𝟐 ∙−𝟐
−𝟐∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝟏
−𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐
−𝟏
𝟐 ∙ −𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 +𝟏
𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐
−𝟏
𝟐 𝒅 𝟏 − 𝒙𝟐
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝑪
𝒅 𝟏 − 𝒙𝟐
INTEGRAÇÃO POR PARTES
𝒛 = 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒛 = −𝟐𝒙 𝒅𝒙
Exercício 5: Integre 𝑥𝑛 ln 𝑥 𝑑𝑥, com 𝑛 ≠ 1
1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.
𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟏
𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒙𝒏 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒙𝒏 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 =𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
2. Substituição na fórmula:
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝐥𝐧 𝒙 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 ∙𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏−
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏∙ 𝒙−𝟏𝒅𝒙
𝒙𝒏 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏∙ 𝐥𝐧 𝒙 −
𝟏
𝒏+𝟏 𝒙𝒏 𝒅𝒙
𝒙𝒏 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏∙ 𝐥𝐧 𝒙 −
𝟏
𝒏+𝟏∙𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
𝒙𝒏 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏𝐥𝐧 𝒙 −
𝟏
𝒏+𝟏+ 𝑪
INTEGRAÇÃO POR PARTES