apostila de raciocínio lógico para concursos

Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense

AULA 02

VALORES LÓGICOS ENTRE DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES Olá turma, Vou hoje iniciar resolvendo as questões da aula anterior. Vamos lá:

1) Traduza para a linguagem simbólica os enunciados a, b, c, d e e da questão do MPOG.

Resolução: Colocamos, na aula passada, a representação em linguagem simbólica das proposições da referida questão. Foram estas: p: Ana é artista

q: Carlos é carioca

r: Jorge é juiz

t: Breno é bonito

Transformando cada proposição para sua respectiva linguagem simbólica:

a) Jorge é juiz e Breno é bonito r ^ t

b) Carlos é carioca ou Breno é bonito q v t

c) Breno é bonito e Ana é artista t ^ p

d) Ana não é artista e Carlos é carioca ~p ^ q

e) Ana é artista e Carlos não é carioca p ^ ~q

Fácil, não?!

2) Dadas as preposições p: João é pobre e q: Laura fala inglês, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~p → q

Se João não é pobre, então Laura fala inglês


b) ~~p

~(João não é pobre)

João é pobre

c) ~p ^ q → p

Se João não é pobre e Laura fala inglês, então João é pobre

d) p v ~q

João é pobre ou Laura não fala inglês

e) q → p

Se Laura fala inglês, então João é pobre

f) p v q

João é pobre ou Laura fala inglês

g) p → ~q

Se João é pobre, então Laura não fala inglês

Ok?! Para a 3ª questão...

3) Sejam as proposições p: Carlos é rico e q: Carlos é alto e r: Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

Resolução:

Aqui, ao contrário do item anterior, escreveremos em linguagem simbólica cada enunciado, conhecendo já as letras de cada proposição simples. São elas:

p: Carlos é rico

q: Carlos é alto

r: Carlos fala alemão

a) Carlos é rico, mas fala alemão

p ^ r

Obs: Note que, aqui, a palavra “mas” é equivalente ao conectivo “e”


b) Carlos é pobre ou baixo

Dizer que “Carlos é pobre” é negar a sua condição de rico, ou melhor, dizer que “Cláudio não é rico”. O mesmo entendimento vale para sua estatura. Assim, escrevemos:

~p v ~q

c) Carlos fala alemão e é alto

r ^ q

d) Carlos é baixo ou rico, mas fala alemão

~q v p ^ r

e) Carlos é rico ou é pobre e fala alemão

p v ~p ^ r

f) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão

p v q ^ ~r

g) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão

p ^ q v ~r

h) É falso que Carlos é rico mas que não fala alemão

Aqui, note que a afirmação é “Carlos é rico mas não fala alemão”. Escrevendo em linguagem simbólica:

p ^ ~r

Agora, dizer que essa afirmação é falsa, é dar falsidade a toda a expressão simbólica, assim:

~(p ^ ~r)

i) É falso que Carlos é alto ou fala alemão mas que não é rico

Da mesma forma que na questão anterior, a afirmação é “Carlos é alto ou fala alemão mas não é rico”. E aí escrevemos:

~(q v r ^ ~p)

Essa 3ª questão só teve algumas observações para sua resolução, mas nada de muito difícil de entender, não é verdade?!


Vamos ao que interessa agora! Antes, é imperativo notar que toda e qualquer proposição deve ter um valor lógico, verdade ou falsidade. Se uma proposição é verdadeira, seu valor lógico é a verdade. Caso contrário, o valor lógico será falsidade. Nada de difícil então!

Para ficar claro, imagine as seguintes preposições simples.

p: Ana é artista

q: Carlos é carioca

Se sabemos que Ana não é artista e Carlos é carioca, tem-se o seguinte: a proposição p: Ana não é artista é falsa; e a proposição q: Carlos é carioca é verdadeira. Conclui-se que a proposição “p” é verdadeira, e “q” é falsidade.

Falou-se, na aula passada, dos operadores lógicos. Os operadores lógicos são os que ditam qual operação deverá ser realizada entre as proposições. Vamos colocá-los aqui novamente:

1) ~: negação

2) ^: conjunção (em bom português quer dizer “e”)

3) v: disjunção (chamamos pela palavra “ou”)

4) →: condicional (lemos normalmente se “p”, então “q”)

5) ↔: bicondicional (lê-se normalmente ...se e somente se...)

6) v: disjunção exclusiva (sua leitura é ou...ou...)

Saber resolver questões de lógica matemática é conhecer as operações lógicas fundamentais, através destes operadores. Estas operações obedecem às regras do cálculo proposicional. Assim, olharemos sempre para um operador lógico, e ele nos dirá qual regra deverá ser aplicada.

Para entender melhor as operações lógicas vamos estudá-las uma-a-uma. Para isso, construiremos as propaladas tabelas-verdade, para uma visualização mais didática, muito usadas no ensino dessa disciplina.

NEGAÇÃO (~)

A primeira operação que veremos será a negação (~). Montando sua tabela-verdade:

p ~p

V F

F V


Vendo a tabela, dizemos que, se p: Ana é artista, a negação de “p” é ~p: Ana não é artista. Só admitimos a verdade ou falsidade de uma preposição. Nunca poderemos dizer que uma proposição será verdade e falsidade ao mesmo tempo. Não poderíamos dizer que “Ana é artista” e “Ana não é artista” e admitir isso como verdade. Não há nada mais coerente do que esse princípio basilar da lógica matemática, conhecido como princípio da não contradição.

Igualmente, devemos ter uma única entre duas respostas possíveis: a verdade ou a falsidade de uma proposição. Do exemplo anterior, ou “Ana é artista”, ou “Ana não é artista”. Na linguagem simbólica: ou “p” ou “~p”. Esse é o princípio do terceiro excluído, também importantíssimo dentro da lógica matemática.

CONJUNÇÃO (^)

Construindo a tabela verdade da conjunção:

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Por essa tabela-verdade, será verdadeiro afirmar que “Ana é artista e Cláudio é carioca” (1ª linha). Do contrário, dizer que “Ana não é artista e Cláudio é carioca” (3ª linha) é uma falsidade.

Se observarmos, na conjunção, basta que apenas uma proposição tenha valor lógico falso para ser falsidade a conjunção p ^ q. Isso acontece nas linhas 1, 2 e 3. É esse o aspecto mais importante a ser esclarecido para a conjunção de duas proposições.

DISJUNÇÃO (v)

Construindo a tabela verdade da disjunção:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F


Segundo esta tabela-verdade, será verdadeiro afirmar que “Ana é artista e Cláudio é carioca” (1ª linha), como na conjunção p ^ q. Agora, dizer que “Ana não é artista e Cláudio é carioca” (3ª linha) é uma verdade.

Veja: na disjunção, somente teremos p v q falsidade se “p” e “q” forem falsas. Isso acontece somente na linha 4. É esse o aspecto mais importante a ser esclarecido na disjunção de duas proposições.

CONDICIONAL (→)

Construindo a tabela verdade da condicional:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Vendo a tabela-verdade da condicional, será verdadeiro afirmar que “se Ana é artista, então Cláudio é carioca” (1ª linha). Agora, dizer que “se Ana é artista, então Cláudio não é carioca” (2ª linha) é uma falsidade.

Vamos ao que interessa: na condicional, somente teremos p → q falsidade se “p” for verdadeira e “q” for falsa. Isso acontece somente na linha 2. Esse é o aspecto mais importante a ser esclarecido na condicional entre duas proposições.

Um detalhe importante são as diferentes leituras para a Condicional. Lê-se também:

p é condição suficiente para q; ou

q é condição necessária para p

Aliás, foi artifício da prova de ACE/TCU-2002, onde foi colocada, entre outras, a seguinte proposição:

“O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim”


BICONDICIONAL (↔)

Construindo a tabela verdade da bicondicional:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Vamos direto ao assunto: na bicondicional, teremos p ↔ q verdade se “p” e “q” for verdadeiras ou se “p” e “q” forem falsas. Isso acontece nas linhas 1 e 4. Esse é o aspecto mais importante a ser esclarecido na bicondicional.

É uma operação cobrada com menos frequência em provas de concursos, como já foi dito na aula passada. Mas não resta nada ficar sempre atento à Bicondicional como medida de segurança, pois no AFC/AGU-2003 foi dado o seguinte enunciado:

“X>Y e Q>Y, se e somente se Y>Z”

Fique esperto! Existem outras formas de se expressar a Bicondicional. Pode ser que venha da seguinte maneira:

p é condição necessária e suficiente para q; ou

q é condição necessária e suficiente para p

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (v)

Construindo a tabela verdade da disjunção exclusiva:

P q p ↔ q

V V F

V F V

F V V

F F F


Seremos breve: na disjunção exclusiva, teremos p v q verdade se “p” for verdadeira e “q” for falsa ou se “p” for falsa e “q” for verdadeira. Isso acontece nas linhas 2 e 3.

A disjunção exclusiva é diferente da simples disjunção no seguinte aspecto: na disjunção (v), para a proposição composta p v q ser verdadeira, basta apenas “p” ou “q” ser verdadeira, ou mesmo as duas; na disjunção exclusiva (v), para p v q ser verdadeira, uma das proposições simples, “p” ou “q”, deve ser verdadeira, nunca as duas ao mesmo tempo.

Ademais, se você estiver atendo na leitura deste material, observou neste exato momento que a tabela-verdade da disjunção exclusiva é a negação da tabela-verdade da bicondicional. Dê uma olhada rápida nas duas tabelas para tirar sua dúvida e volte para continuar a leitura do texto!

Apesar da importância de se conhecer a disjunção exclusiva, ocorre com menos frequência em provas de concurso. Há de se resaltar, porém, que, no AFC-2002, uma questão teve como uma de suas proposições a seguinte:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica

Isso mostra que devemos ficar sempre em standby...

Êta, pessoal, um pouco longo o texto, não?! Mas esse são os conceitos mais importantes para o entendimento da lógica matemática. Aos poucos, vamos destrinchando essa matéria e descobriremos, não tarde, como era tão fácil resolver questões de lógica, e só você não sabia! Será que não sabia mesmo...?!

Para finalizar, deixarei algumas questões da aula passada (na próxima página) para você resolver e ir se familiarizando com todo o processo de entendimento e resolução das questões.

Vou lá,

Dudu cearense.


Exercícios

1) Construa as tabelas-verdade das seguintes proposições:

a) p ^ q b) q v t c) q → p d) (~p ^ q) v q

2) Sabendo que os valores lógicos de “p” é F e de “q” é V, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) ~p → q

b) (~p ^ q) → p

c) p v ~q

d) (p v q) ^ (p → q)

e) (p ↔ ~q) v p

3) Sejam as proposições verdadeiras p: Carlos é rico e q: Carlos é alto e r: Carlos fala alemão. Encontre o valor lógico das proposições abaixo:

a) Carlos é pobre ou baixo

b) Carlos fala alemão e é alto

c) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão

d) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão

e) É falso que Carlos é rico mas que não fala alemão

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