“soluciÓn numÉrica de sistemas de ecuaciones lineales...

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES “ARAGÓN”

DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

Y LAS INGENIERÍAS

CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“VII ENCUENTRO MULTIDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN 2010”

AVANCES DE INVESTIGACIÓN:

“SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN

INGENIERÍA”

EJE TEMÁTICO: LA INVESTIGACIÓN EN LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS E

INGENIERÍAS.

AUTOR: ING. LUIS LORENZO JIMÉNEZ GARCÍA

VII ENCUENTRO MULTIDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN 2010

“SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA”

Autor: Ing. Luis Lorenzo Jiménez García

Prof.. de la Facultad de Estudios Superiores Aragón-UNAM. .

Resumen. Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para resolver muchos problemas de la ciencia y la ingeniería. La solución numérica de dichos sistemas la forman una gran variedad de algoritmos, como eliminación de Gauss, Gauss-Jordan, Gauss-Seidel, Montante, Jacobi, Lu y Cholesky entre otros, que de una manera u otra resuelven el sistema de ecuaciones lineales (si tiene solución). Sin embargo, cuando se trata de problemas muy complejos en donde intervienen muchas ecuaciones, se requiere de muchas operaciones aritméticas que pueden provocar caer en el tedio y el aburrimiento por tanto cálculo, entonces, debe emplearse una alternativa para el aprendizaje. Actualmente, los Métodos Numéricos tienen auge con la llegada de las computadoras y en especial para resolver sistemas de ecuaciones lineales que requieren cálculos matemáticos extremadamente complejos. Para el desarrollo de los algoritmos se ha empleado el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico MatLab. Este software constituye una poderosa herramienta para resolver problemas de ingeniería, dónde están involucradas los sistemas lineales por sus algoritmos implementados a través de sus comandos y funciones. MatLab se debe usar apropiadamente y no viene a sustituir el conocimiento impartido en el aula, se debe empelar como un recurso didáctico para hacer más atractiva la enseñanza aprendizaje de los Métodos Numéricos. Palabras claves: ecuaciones lineales, sistemas, métodos, comandos, funciones, gráficas.

Summary. The systems of linear equations are used to solve many problems of science

and engineering. The numerical solution of these systems forms a great variety of

algorithms, like elimination of Gaussian, Gaussian-Jordan, Gaussian-Seidel, Post, Jacobi,

Lu and Cholesky among others, who of a way or another one solve the system of linear

equations (if he has solution). Nevertheless, when one is very complex problems where

many equations take part, it is required of many arithmetical operations that can cause to

fall in the boredom and the boredom therefore calculation, then, must be used an

alternative for the learning. At the moment, the Numerical Methods have height with the

arrival of the computers and to especially solve systems of linear equations that require

extremely complex mathematical calculations. For the development of the algorithms the

package of numerical calculation, symbolic and graphical MatLab has been used. This

software constitutes a powerful tool to solve engineering problems, where the linear

systems by their algorithms implemented through their commandos and functions are

involved. MatLab is due to use appropriately and it does not come to replace the

knowledge distributed in the classroom, is due to empelar like a didactic resource to make

education more attractive learning of the Numerical Methods.

Key words: linear equations, systems, methods, commandos, functions, graphs

“SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE MATLAB Y SU APLICACIÓN EN INGENIERÍA”

ENUNCIADO DEL PROBLEMA. Aplicación de los comandos y funciones MatLab para la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales en ingeniería y su implementación, así como el empleo de las funciones gráficas de MatLab para representar geométricamente dichos sistemas. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. El uso de las tecnologías se ha utilizado como recurso didáctico en la búsqueda de nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje. Estos avances tecnológicos han generado software de aplicación (como MatLab) que hace que sea especialmente interesante reflexionar acerca de cómo esas tecnologías pueden modificar los procesos de enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos. Las experiencias de más de 30 años de actividades académica en el área de físico matemáticas y en especial de la impartición de la asignatura de Métodos Numéricos a los estudiantes de las diferentes carreras de ingeniería de FES Aragón, ha demostrado que el uso de MatLab como un recurso didáctico de apoyo en la solución de problemas, propicia y despierta el interés por la parte algorítmica y analítica que contiene los Métodos Numéricos. No se debe olvidar que estas tecnologías en sí mismas no promueven el aprendizaje y no constituyen ninguna panacea de carácter universal ni ninguna garantía de eficacia pedagógica, todo dependerá de la opción y concepción pedagógica por la cual se elija diseñar un determinado modelo educativo. Por último, basado en la experiencia, se ha hecho una investigación de corte cuantitativo, cuya fuente de investigación por profundidad es descriptiva. La información se obtuvo en forma experimental, siguiendo una metodología cuantitativa y de investigación comparada. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA. El presente trabajo contempla cubrir los métodos de solución numérica para resolver sistemas de ecuaciones lineales, mediante las funciones y comandos MatLab \, inv, rref, rrefmovie, solve, linsolve, lu, chol y eig, que ayuden al proceso enseñanza aprendizaje de los Métods Numéricos a los alumnos de ingeniería mecánica eléctrica, ingeniería industrial, ingeniería mecánica e ingeniería eléctrica electrónica. OBJETIVOS:

Enseñar al alumno diversas técnicas numéricas para encontrar (si existe) la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Aplicar los métodos de eliminación de Gauss, matriz inversa, Gauss-Jordan, y Factorización de LU y Cholesky, para obtener la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales.

Aplicar las capacidades de visualización gráfica de MatLab, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales en ingeniería.

1. INTRODUCCIÓN.

Por sistema de ecuaciones lineales se entiende un conjunto de ecuaciones que

deben resolverse simultáneamente y que presentan la siguiente estructura:

MNNMMMM

NN

NN

NN

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

.....

.....

.....

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

(1)

Este sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con N incógnitas puede

escribirse en forma matricial como:

BXA NxM

donde:

NMMMM

N

N

NxM

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

....

....

...

...

321

2422212

1312111

Nx

x

x

X

.

.

2

1

Mb

b

b

B

.

.

2

1

(2)

La matriz de coeficientes A se llama matriz del sistema. La matriz formada por A, a

la que se le ha agregado el vector de términos independientes B como última

columna, se le llama la matriz ampliada o matriz aumentada del sistema de

ecuaciones, que se representa por [A | B] y X es el vector de incógnitas.

Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones es necesario determinar si

dicho sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas posibles

soluciones tiene. A continuación se presentan las diversas alternativas:

lineales

ecuaciones

deSistema

adoIndetermin

trivial)(soluciónoDeterminadCompatibleHomogéneo

leIncompatib

adoIndetermin

oDeterminadCompatible

homogéneoNo

Si el vector de términos independientes B del sistema dado en (2) es diferente de

cero se dice que el sistema de ecuaciones es no homogéneo y en caso contrario

el sistema es homogéneo.

Sistema compatible o consistente. Es aquél que tiene solución y en este caso se cumple que (Teorema de Rouché-Frobenius):

rango[A] = rango [ A | B ]

El rango de una matriz es el número de columnas linealmente independientes.

También es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede

obtenerse de esa matriz.

Sistema incompatible o inconsistente. Es aquél que no tiene solución y cumple la relación:

rango[A] < rango [ A | B ]

Sistema determinado. Es un sistema compatible que presenta solución única y en este caso se verifica que:

rango[A] = número de incógnitas

Un sistema homogéneo que es determinado tiene únicamente la solución trivial

X=0.

Un sistema compatible que presenta infinidad de soluciones se conoce como sistema indeterminado y se caracteriza por:

rango[A] < número de incógnitas

2. COMANDOS Y FUNCIONES MATLAB PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

La siguiente tabla muestra las funciones y comandos empleados en MatLab para

la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales, valores característicos

(eigenvalores) y vectores característicos (eigenvectores) de una matriz no

singular.

Función Descripción

syms x y z . . . t Convierte las variables x y z . . . t en simbólicas.

solve(„ec1,ec2, …ecn‟,‟x1,x2,…xn`)

Resuelve n ecuaciones lineales simultáneas ec1, ec2,… ecn. (Sistema de las variables x1, x2,… xn).

X = linsolve(A,B) Resuelve un sistema de ecuaciones lineales del tipo A*X=B para una matriz cuadrada A, siendo B la matriz del término

independiente del sistema de ecuaciones.

X = A\B Resuelve el sistema triangular A*X=B. Emplea eliminación de Gauss.

X = inv(A)*B Resuelve el sistema A*X=B. Emplea la matriz inversa.

X = rref([A, B])

Obtiene la matriz reducida escalonada por renglones de A, utilizando el método de Gauss-Jordan, en la cual, la diagonal principal tiene 1 y los demás elementos 0. El número de renglones no nulos de rref.(A) es el rango de A. Además, muestra cuando un sistema es incompatible o indeterminado mediante el vector de términos independientes B.

rrefmovie( [A, B] ) Muestra el procedimiento paso a paso de la solución del sistema de ecuaciones lineales haciendo, incluso, cambio de renglones para facilitar los cálculos, mostrando el resultado final.

[L , U] = lu(A)

Descomposición (Factorización) LU. Devuelve una matriz triangular superior U y una matriz triangular inferior L (triangularizable mediante permutación). Se cumple que A=L*U. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales mediante la operación: X = U \ ( L\ B).

U = chol(A)

Descomposición (Factorización) de Cholesky de una matriz simétrica y definida positiva. Devuelve la matriz triangular superior U de A. Sólo se utiliza la diagonal y la parte triangular superior de A. Si A no es definida positiva devuelve un error. Se cumple que A = U' * U. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales mediante la operación X = U \ ( U‟ \ B).

A‟ Matriz transpuesta de A.

inv(A) Calcula, si existe, la matriz inversa de la matriz cuadrada A (A-1).

det(A) Determinante de la matriz cuadrada A.

rank(A) Rango de la matriz A.

e = eig(A)

Halla los valores característicos (eigenvalores) de la matriz

cuadrada A. Es decir, calcula directamente las raíces que

definen al polinomio característico de la matriz A.

[ V, D] = eig(A,B)

Halla la matriz diagonal D de valores característicos generalizados de la matrices cuadradas A y B y una matriz V, cuyas columnas son los vectores característicos correspondientes, cumpliéndose que A*V=B*V*D.

P = poly(A) Calcula los coeficientes del polinomio característico de la matriz cuadrada A.

2.1 Método de Eliminación de Gauss.

El software MatLab encuentra la solución de ecuaciones algebraicas lineales

simultáneas, dadas en (3.1), mediante el método de eliminación de Gauss usando

la forma dada en el sistema (3.2) mediante la operación: X = A \ B. Es decir, usa el

operador aritmético “ \ “ (División izquierda de la matriz).

Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método

de eliminación de Gauss:

1552

2184

74

zyx

zyx

zyx

512

184

114

A

15

21

7

B (3)

Solución: Escribiendo el sistema de matrices dado en (3) en forma de vectorial, tenemos:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15]

B =

7

-21

15

>> X= A\ B

X =

2

4

3

Nota: La solución es X = 2, Y = 4, Z = 3

Con ayuda de MatLab podemos visualizar el comportamiento gráfico del sistema

de ecuaciones lineales dado en (3)

Usando el comando surf para graficar, tenemos las figuras 1, 2 y 3:

>>[x y] = meshgrid(-5:0.5:10);

>> z = 7 - 4*x + y;

Realiza la gráfica de la primera ecuación

>>surf(x,y,z)

>> xlabel('Eje X')

>> ylabel('Eje Y')

>> zlabel('Eje Z')

>> hold on % Permite graficar el sistema sobre la

misma figura.

>>z = -21 - 4*x + 8*y;

Realiza la gráfica de la segunda ecuación

>>surf(x,y,z)

>> z = 15 + 2*x - y;

Realiza la gráfica de la tercera ecuación

>>surf(x,y,z)

Figura 1. Representación gráfica de la ecuación 1 del sistema (3)

Figura 2. Representación gráfica de la ecuación 1 y 2 del sistema (3)

Figura 3. Representación gráfica de la ecuación 1, 2 y 3 del sistema (3)

Se obtienen los tres planos de la figura 3 interceptados en el punto (2, 4, 3). Recuerde que se puede observar mejor el punto de intercepción en la ventana gráfica de MatLab, rotando la figura (rotate 3D), en la barra de herramienta de Figure. Como se puede observar en la figura 3 es muy difícil determinar visualmente el punto de intercepción del sistema de las tres ecuaciones lineales, por lo que son necesarios los métodos numéricos para resolver dichos sistemas.



24936

1052

1232

321

321

321

XXX

XXX

XXX

936

521

312

A

24

10

12

B (4)

Solución: Escribiendo el sistema (4) en forma vectorial y usando el operador \ tenemos:

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9];

>> B = [12; 10; 24];

>> X = A\ B

Warning: Matrix is singular to working precision.

X =

Nan

-Inf

Inf

Se observa que el método de eliminación de Gauss no puede encontrar la

solución del sistema dado en (4), debido a que es una matriz singular.

Usando el comando surf, obtenemos el comportamiento gráfico del sistema dado

en (4) como se observa en la figura 4.

Las dos variables tienen el mismo intervalo

>> [x1 x2] = meshgrid( - 10: 0.5: 10);

>> x3 = (12 + 2*x1 - x2)/3;

>> surf(x1, x2, x3)

>> hold on

>> xlabel('Eje X_1')

>> ylabel('Eje X_2')

>> zlabel('Eje X_3')

>> x3 = (10 -x1-2*x2)/5;

>> surf(x1,x2,x3)

>> x3= (24 - 6*x1 + 3*x2)/( -9 );

>> surf(x1,x2,x3)

Figura 4 Gráfica de un sistema inconsistente

Se puede observar en la figura 4 que los tres planos de las rectas nunca se cruzan

y por lo tanto no existe un punto en común, es decir, el sistema es incompatible o

inconsistente (no tiene solución).



72

82

0523

321

321

321

XXX

XXX

XXX

112

121

523

A

7

8

0

B (5)

Solución: Escribiendo los datos del sistema dado en (5), tenemos:

>> A = [3 2 -5; -1 2 -1; -2 1 1]; B = [0; -8; -7];

>> X = A\B


X =

Nan

-Inf

-Inf

Usando el comando sur f(como en los casos anteriores), obtenemos el

comportamiento gráfico del sistema dado en (5) como se observa en la figura 5.

Figura 5 Gráfica de un sistema indeterminado

Se puede observar en la figura 5 que los tres planos son interceptados por una

línea recta. Esto significa que el sistema tiene muchas soluciones, es decir, es

compatible indeterminado y todas las soluciones se encuentran sobre la línea

recta. En este caso MatLab no puede determinar cuando un sistema no tiene

solución o tiene infinidad de soluciones, pues manda el mismo mensaje de salida

para ambos sistemas.

2.2 Método de la Matriz Inversa

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas

(matriz cuadrada) y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de

cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos).

Por medio de MatLab, la solución del sistema se hace mediante la operación X =

inv(A)*B. Se fundamenta en:

BAXBAXIBAXAABXA ******* 1111

Ejemplo 4. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) por el método de la

matriz inversa.

Solución: Escribiendo las instrucciones de MatLab tenemos:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15];

>> d = det(a) % Determinante de A

d =

-154

>> X = inv(A)*B

X = 2.0000 4.0000 3.0000

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24];

>> determinante = det(A)

determinante =

0

Veamos que sucede si no se cumple

d ≠ 0

>> X = inv(A)*B


X =

Inf

Inf

Inf

>> A = [3 2 -5; -1 2 -1; -2 1 1]; B = [0; -8; -7];

>> determinante = det(A)

determinante =

0

No se cumple que det(a) ≠0

>> X = inv(A)*B


X =

NaN

NaN

NaN

El operador matricial de MatLab "\" división izquierda equivale a la solución de sistemas lineales mediante X = inv(A)*B. este operador es más poderoso de lo que parece, puesto que suministra la solución aunque la matriz A no tenga inversa y además proporciona solución directa sobre sistemas indeterminados.

2.3 Método de Gauss-Jordan Es una variante del método de Gauss y resulta ser más simple al final del proceso, ya que no es necesario despejar las variables, pues la solución se obtiene directamente. Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes, esto es, obtener la matriz identidad, que consiste en hacer 1 la diagonal principal y 0 los demás elementos de la matriz (Matriz escalonada) . MatLab calcula la solución del sistema mediante el comando X=rref([A,B]).

Ejemplo 5. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) por el método de

Gauss-Jordan.

Solución: MatLab encuentra la solución convirtiendo la matriz A en matriz identidad I y la última columna es el vector solución del sistema. Utilizando el comando rref para resolver los sistemas mencionados, tenemos:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [7; -21; 15];

>> X = rref([A B])

X =

1 0 0 2

0 1 0 4

0 0 1 3

Nota: La solución es x = 2, y = 4, z = 3

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24];

>> X = rref([A B])

X =

1.0000 0 -0.2000 0

0 1.0000 2.6000 0

0 0 0 1.0000

Nota: Se observa en el tercer renglón que 0=1, por lo que el

sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

>> A = [3 2 -5; -1 2 -1; -2 1 1]; B = [0; -8; -7];

>> X = rref([A B])

X =

1 0 -1 2 X1 - X3 = 2

0 1 -1 - 3 X2 - X3 = -3

0 0 0 0

Nota: Se observa en el tercer renglón que 0 = 0, por lo que el

sistema es indeterminado, es decir, tiene muchas soluciones y

se resuelve dando un valor arbitrario a cualquiera de las

incógnitas.

Por ejemplo, si X3=1, X1=3 y X2=-2.

Si deseamos ver el procedimiento paso a paso del método de Gauss-Jordan,

usamos el comando rrefmovie([A B]).

Utilizando el comando rrefmovie para analizar el sistema dado en (3) tenemos

(MatLab despliega el proceso de solución paso por paso):

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5];

>> B = [ 7; -21; 15];

>> rrefmovie([A B])

2.4 Uso de los Comandos solve y linsolve

Se usan para resolver sistemas con n ecuaciones simultáneas. Los comandos

solve y linsolve aceptan el sistema como entrada en su sintaxis y resuelve

ecuaciones del tipo A*X = B.

Ejemplo 6. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) usando los comandos

solve y linsolve.

Solución:

Utilizando los comandos solve y linsolve para resolver los sistemas mencionados,

tenemos:

Los resultados en realidad se proporcionan en forma vertical.

>> [x,y,z] = solve('4*x-y+z=7','4*x-8*y+z=-21','-

2*x+y+5*z=15','x', 'y','z')

x = 2 y = 4 z = 3

La sintaxis también se puede escribir de la siguiente forma:

>>[x,y,z] = solve('4*x-y+z=7,4*x-8*y+z=-21, -2*x+y+5*z=15','x,

y,z')

x = 2 y = 4 z = 3

También puede utilizarse la sintaxis siguiente:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15];

>> X = linsolve(A,B)

X = 2 4 3

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24];

>> X = linsolve(A,B)


X =

NaN

-Inf

Inf

Nota: linsolve, ni solve encuentran la solución, por ser un

sistema incompatible.

>> A = [3, 2, -5; -1, 2, -1; -2, 1, 1];

>> B = [0; -8; -7];

>> x = linsolve(A,B)


X =

NaN

-Inf

Inf

Nota: linsolve, ni solve encuentran la solución, por ser un

sistema indeterminado

Es más fácil usar linsolve que solve porque trabaja con vectores matriciales al

igual que los métodos anteriores, aunque didácticamente solve presenta mejor los

resultados y se manipula directamente el sistema de ecuaciones lineales.

Los comandos \ , rref, linsolve también resuelven sistemas de ecuaciones lineales

con más ecuaciones que incógnitas y viceversa.

2.5 Métodos de Descomposición (Factorización)

2.5.1 Descomposición LU

Cuando tenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas bAx , donde A

es la matriz de coeficientes (cuadrada de orden NxN), sabemos que el sistema

tiene solución única si y sólo si el determinante de la matriz es no nulo, esto es, la

matriz es invertible. Entonces, para resolver el sistema hay que multiplicar ambos

lados de la ecuación, por la inversa de la matriz A. Sin embargo, calcular la

inversa de la matriz es un proceso tedioso manualmente, en lugar de eso,

introduciremos el concepto de factorización triangular. Lo que se hace es

descomponer la matriz A como el producto de dos matrices que llamamos L

(Lower-inferior) y U (Upper-superior), esto es, ULA * . La matriz L es una matriz

triangular inferior, cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a

uno (ceros sobre la diagonal principal), y la matriz U es una matriz triangular

superior con elementos en la diagonal distintos de cero (ceros bajo la diagonal

principal).

Una vez que tenemos la descomposición, si bAx y ULA * , entonces

bxUL * . Ahora, multiplicando por la inversa de L a ambos lados de la ecuación,

se tiene que bLxU 1 y multiplicando a ambos lados por la inversa de U

tenemos finalmente: bLUx 11 * . La ventaja de esto es que calcular la inversa

de una matriz triangular (inferior o superior) es más sencillo que calcular la inversa

de la matriz A. Este proceso se realiza suponiendo que no hay intercambio de

renglones.

Sin embargo, puede ocurrir que una matriz invertible A no admita factorización

ULA * , entonces, es necesario usar una matriz de permutación P (matriz NxN

tal que en cada renglón y en cada columna sólo tienen un elemento igual a 1,

siendo todos los demás valores iguales a cero) que permita la factorización.

Entonces, para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales, la

descomposición LU se reescribe como:

bPLUxbPLxUbPxULULAP ********* 111

En la descomposición LU, la matriz inferior L tiene números 1 en la diagonal.

Formalmente, a este proceso se le llama descomposición o factorización de

Doolittle y al método alternativo que usa una matriz superior U con números 1

sobre la diagonal se le conoce como descomposición de Crout.

Para llevar a cabo la descomposición (factorización) LU de una matriz no singular

A, MatLab usa el comando lu(A) y obtiene la solución del sistema de ecuaciones

lineales mediante la operación: X = U \ ( L\ B).

Ejemplo 7. Resuelve los sistemas dados en (3), (4) y (5) usando la

descomposición LU.

Solución:

Escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos de MatLab tenemos:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15];

>> [L U] = lu(A)

L =

1.0000 0 0

1.0000 1.0000 0

-0.5000 -0.0714 1.0000

U =

4.0000 -1.0000 1.0000

0 -7.0000 0

0 0 5.5000

Obtención de la solución del sistema

>> sol_sistema = U\(L\B)

sol_sistema = 2 4 3

La solución de los sistemas (4) y (5) es la misma que la dada por los métodos

anteriores.

2.6.2 Descomposición de Cholesky

Para llevar a cabo la descomposición (factorización) de Cholesky de una matriz A

definida positiva, MatLab usa el comando chol(A) y resuelve el sistema de

ecuaciones lineales mediante la operación: X = U \ ( U‟ \ B).

Ejemplo 8. Resuelva los sistemas dados en (3), (4) y (5), usando la

descomposición de Cholesky.

Solución:

Usando el comando chol para resolver los sistemas mencionados, tenemos:

>> A = [4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; B = [ 7; -21; 15];

>> U = chol(A)

??? Error using ==> chol

Matrix must be positive definite.

(La matriz debe ser definida positiva)

>> A = [-2 1 3; 1 2 5; 6 -3 -9]; B = [12; 10; 24];

>> U = chol(A)



La matriz debe ser definida positiva)

>> A = [3, 2, -5; -1, 2, -1; -2, 1, 1]; B = [0; -8; -7];

>> u = chol(a)



(La matriz debe ser definida positiva)

Como se puede observar el método de descomposición de Cholesky tiene más

limitaciones para su uso. Hagamos un ejemplo para una matriz definida positiva.

>> A = [4 2 2 4; 2 5 7 0; 2 7 19 11; 4 0 11 25];

>> B = [-1; 1; 2.5; 0.25];

>> [A B]

ans =

4.0000 2.0000 2.0000 4.0000 -1.0000

2.0000 5.0000 7.0000 0 1.0000

2.0000 7.0000 19.0000 11.0000 2.5000

4.0000 0 11.0000 25.0000 0.2500

>> U = chol(A)

U =

2 1 1 2

0 2 3 -1

0 0 3 4

0 0 0 2

>> [U L] = chol(A)

U =

2 1 1 2

0 2 3 -1

0 0 3 4

0 0 0 2

L =

0

>> sol = U\(U'\B)

sol =

-0.8125

0.8750

-0.2500

0.2500

Nota: Como se puede observar, Cholesky solamente emplea la

matriz superior U.

2.7 Valores y Vectores Característicos o Propios de Una Matriz

Sea A una matriz cuadrada de orden n y considérese la ecuación vectorial Ax =

λx, donde λ es un valor escalar. El vector nulo x = 0 es una solución (trivial) de la

ecuación vectorial. Un valor del escalar λ que satisface la ecuación mencionada

con 0x se llama valor característico, propio o eigenvalor de la matriz A. El vector

0x es el vector característico propio o eigenvector de A, correspondiente al valor

característico λ.

Para cada valor característico λ existe un vector característico x. Una matriz

cuadrada de orden n tiene cuando más n valores característicos.

El planteamiento de la ecuación vectorial dada se emplea frecuentemente en

problemas de resistencia de materiales, donde los valores característicos

corresponden a los esfuerzos principales y, los vectores característicos a las

direcciones asociadas a dichos esfuerzos. Para sistemas dinámicos lineales e

invariables con el tiempo, los valores característicos de la matriz A son las

frecuencias naturales de oscilación del sistema y, los vectores característicos son

los modos de vibración.

MatLab tiene los comandos eig y poly para la obtención de los valores

característicos (raíces iguales o diferentes, reales o complejas) y vectores

característicos, así como para el polinomio característico.

3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN INGENIERÍA.

Para resolver problemas en ingeniería que involucra sistemas de ecuaciones lineales se recomienda tener en cuenta lo siguiente: 1. Entender el problema. 2. Determinar los datos conocidos. 3. Nombrar adecuadamente las incógnitas de acuerdo a lo que se pida. 4. Establecer las relaciones existentes entre los datos conocidos y las incógnitas. 5. Determinar el sistema de ecuaciones lineales asociado a las relaciones en 4. 6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante en 5. 7. Verificar que las respuestas obtenidas estén de acuerdo al problema. 8. Interpretar el resultado si es posible.

Problema 3.1. Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro artículos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación un turno de 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro artículos está dado por

Máquina Artículo 1 Artículo 2 Artículo 3 Artículo 4

1 1 2 1 2

2 2 0 1 1

3 1 2 3 0

Por ejemplo, en la producción de una unidad del artículo 1 la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 se usa 2 horas y la máquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el

número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 artículos un día de 8 horas completas.

Solución: Sea 𝑋𝑖 el número de unidades que se deben producir del artículo 𝑖 que se fabrican durante las 8 horas con 𝑖 = 1, 2, 3, 4. 1x1: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1. 2x2: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2. 1x3: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 3. 2x4: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 4.

Como la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que:

1𝑋1 + 2𝑋2 + 1𝑋3 + 2𝑋4 = 8 Procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente:

1𝑋1 + 2𝑋2 + 1𝑋3 + 2𝑋4 = 8 2𝑋1 + 0𝑋2 + 1𝑋3 + 1𝑋4 = 8 1𝑋1 + 2𝑋2 + 3𝑋3 + 0𝑋4 = 8 Aplicando el método de Gauss-Jordan y escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos de MatLab tenemos:

>> A=[1,2,1,2;2,0,1,1;1,2,3,0]; B=[8;8;8]; X=rref([A B])

X =

1 0 0 1 4

0 1 0 1 2

0 0 1 -1 0

Se tiene una solución indeterminada, esto es:

𝑋1 + 𝑋4 = 4 𝑋2 + 𝑋4 = 2 𝑋3 − 𝑋4 = 0

de donde, 𝑋1 = 4 − 𝑋4 ; 𝑋2 = 2− 𝑋4; 𝑋3 = 𝑋4

El modelo matemático tiene infinidad de soluciones, sin embargo, el problema real de producción tiene soluciones finitas.

Cada 𝑿𝑰 es no negativa por representar la cantidad de unidades fabricadas del

artículo 𝒊 cada día, por lo tanto 𝑿𝑰 < 0 no tiene sentido.

Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces 𝑿𝑰 debe ser además un número entero para que todos los 𝑿𝑰, sean no negativos, 𝑿𝟒 debe ser un entero menor o igual que 2, y por lo tanto las posibles soluciones son

Solución x1 x2 x3 x4

1 4 2 0 0

2 3 1 1 1

3 2 0 2 2

Por ejemplo la solución 1 significa que en un día para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir 4 unidades del artículo 1, 2 del artículo 2 y ninguna de los artículos 3 y 4.

Problema 3.2. El circuito eléctrico, mostrado en la figura 6, consiste en

resistencias y fuentes de voltaje. Determina la corriente de cada resistencia

usando las Leyes de Kirchhoff, si V1 = 20; V2 = 12; V3=40; R1 = 18; R2 =10; R3 =

16; R4 =6; R5 = 15; R6 = 8; R7 = 12; R8 = 14 (Gilat, 2005):

Figura 6. Circuito con cuatro mallas

Solución:

Las Leyes de Kirchhoff (Ley de Nodos y Ley de Mallas) establecen que la suma de

voltajes alrededor de un circuito cerrado es cero. Una corriente se asigna para

cada malla. (i1, i2, i3, i4 en la figura). Entonces, la Ley de Mallas de Kirchhoff se

aplica en cada malla, obteniendo un sistema de ecuaciones lineales para las

corrientes (en este caso cuatro ecuaciones). La solución de este sistema nos da

los valores de las corrientes en las mallas. La corriente en una resistencia que

fluye en dos mallas es la suma de las corrientes en las correspondientes mallas.

Es conveniente asumir que todas las corrientes van en la misma dirección (sentido

de las manecillas del reloj en nuestro caso). En la ecuación para cada malla, la

fuente de un voltaje es positiva si la corriente fluye hacia el polo negativo (-) y el

voltaje de la resistencia es negativo para corrientes en la dirección a la corriente

en la malla.

Las ecuaciones para las cuatro mallas son:

V1 - R1 i1- R3( i1 - i3 ) – R2 ( i1 - i2 ) = 0 - R5 i2 - R2 ( i2 - i1 ) – R4 ( i2 - i3 ) - R7 ( i2 - i4 ) = 0 - V2 - R6( i3 - i4 ) – R4 ( i3 - i2 ) – R3 ( i3 - i1 ) = 0 V3 - R8 i4 - R7 ( i4 - i2 ) – R6( i4 - i3 ) = 0

Sustituyendo los datos, tenemos:

344

34I3

8I2

12I

124

8I3

30I2

6I1

16I

04

12I3

6I2

43I1

10I

203

16I2

10I1

44I

Las cuatro ecuaciones pueden ser reescritas en forma matricial:

348120

830616

1264310

0161044

A

40

12

0

20

B (6)

Usando el comando rref (Método de Gauss-Jordan) para el sistema (6) tenemos:

>> A = [-44 10 16 0; 10 -43 6 12; 16 6 -30 8; 0 12 8 -34];

>> B = [-20; 0; 12; -40];

>> X = rref([A B])

X =

1.0000 0 0 0 0.8411

0 1.0000 0 0 0.7206

0 0 1.0000 0 0.6127

0 0 0 1.0000 1.5750

Los valores de las corrientes en cada malla son:

i1 = 0.8411 A; i2 = 0.7206 A; i3 = 0.6127 A; i4 = 1.5750 A

La corriente en la resistencia R1 es i1 = 0.8411 A



Para las siguientes resistencias, pertenecen a dos mallas a la vez, por tanto, sus

corrientes son la suma de las corrientes en las mallas respectivas.

La corriente en la resistencia R2 es i1 – i2 = 0.1205 A





Problema 3.3 La figura 7 muestra un circuito resistivo puro (Torres, 1990).

Empleando las leyes de Kirchhoff, obtenga el sistema de ecuaciones lineales en

las corrientes de las mallas I. Si las resistencias son 2Ω y las fuentes de voltaje

valen V1= V2 =110 V y V3= V4 = 220 V. Determinar las 4 corrientes de malla I.

Solución:

Empleando las Leyes de Kirchhoff tenemos:

V1 - V2 = (I 1 - I 2 ) R 3 + ( I 1 - I 3 ) R 4 + I 1 ( R 1 + R 2 ) V2 - V3 = ( I 2 - I 1 ) R 3 + ( I 2 - I 3 ) R 8 + ( I 2 - I 4 ) R + I 2 R 4

V4 = ( I 3 - I 1 ) R 4 + ( I 3 - I 2 ) R 8 + ( I 3 - I 4 ) R 7 + I3 ( R 5 + R 6 )

V3 = ( I 4 - I 2 ) R 10 + (I 4 - I 3 ) R 7 + I 4 R 11

Figura 7. Circuito resistivo puro

Sustituyendo los datos, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

220622

22021022

1102282

0228

432

4321

4321

321

III

IIII

IIII

III

(7)

Usando el comando rref (Método de Gauss-Jordan) en el sistema (7) tenemos:

A = [8 -2 -2 0; -2 8 -2 -2; -2 -2 10 -2; 0 -2 -2 6]; B = [ 0; -110; 220; 220 ];

sol = rref([A B]) %Método de Gauss-Jordan

sol =

1.0000 0 0 0 12.3841

0 1.0000 0 0 12.0199

0 0 1.0000 0 37.5165

0 0 0 1.0000 53.1788

Las corrientes son I1 = 12.3841 A

I2 = 12.0199 A

I3 = 37.5165 A

I4 = 53.1788 A

Problema 3.4. Tres máquinas limpiadoras A, B y C trabajando juntas realizan la

limpieza de unos grandes almacenes en 4 horas. Si se descompone la máquina B,

entonces A y C realizan el trabajo en 6 horas, pero si se descompone la máquina

C, entonces A y B lo realizan en 8 horas. ¿Cuánto tardará cada máquina

individualmente en realizar el trabajo de limpieza?

Solución:

Reordenando los datos para tener una mejor perspectiva del problema, se tiene la

siguiente tabla:

Máquinas trabajando

Tiempo limpieza (hrs)

Limpieza en 1 hora

A,B y C juntas 4 1/4

A y C 6 1/6

A y B 8 1/8

Llamamos x, y, z al número de horas que tarda cada máquina individualmente en

hacer todo el trabajo.

Entonces, en 1 hora A limpiará 1/x del total; 1 hora B limpiara 1/y del total; 1 hora

C limpiará 1/z del total.

Por conveniencia hacemos un cambio de variables, X = 1/x, Y = 1/y, Z =1/z.

Entonces:

8/1

6/1

4/1

yx

zx

zyx

(8)

Escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos y usando el operador \

(Método de eliminación de Gauss) del sistema (8) tenemos:

>> A = [1 1 1; 1 0 1; 1 1 0] ;

>> B = [1/4; 1/6; 1/8] ;

>> sol = A\B

sol = 0.0417 0.0833 0.1250

Haciendo cambio de variable, la solución es:

>> x = 1./sol

x =

24.0000 12.0000 8.0000

Mmáquina A=24 horas; B =12 horas; C =8 horas.

Problema 3.5. Empleando las leyes de Kirchhoff, se obtuvieron las siguientes

ecuaciones lineales para el circuito mostrado en la figura 8 (Torres, 1990):

Figura 8 Circuito eléctrico de ramas

(9)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

997766

663355

885544

332211

9658

7632

21

3154

48

iRiRiR

iRiRiR

iRiRiR

iRiRiR

iiiiI

iiiIi

Iii

iiIii

Iii

C

B

B

A

A

Donde: i son las corrientes de rama, I las corrientes de las fuentes y R los valores de las resistencias.

Si el valor de las fuentes es AIAIAI CBA 4,6,2 y el de las resistencias

221 RR ; ;384 RR ;565 RR ;497 RR 63R .

Obtener las nueve corrientes de rama por el método de eliminación de Gauss.

Solución:

Sustituyendo los datos en el sistema (8) tenemos:

0445

0556

0353

0622

4

6

6

2

2

976

653

854

321

9865

7632

21

5431

84

iii

iii

iii

iii

iiii

iiii

ii

iiii

ii

(9)

Escribiendo el sistema (9) en forma matricial tenemos:

404500000

000550600

030053000

000000622

110110000

001100110

000000011

000011101

010001000

A

0

0

0

0

4

6

6

2

2

B (10)

Escribiendo los datos del sistema (10) y usando el comando “\” (Método de

eliminación de Gauss) tenemos:

>> A = [0 0 0 -1 0 0 0 1 0; -1 0 -1 1 1 0 0 0 0;

1 -1 0 0 0 0 0 0 0; 0 1 1 0 0 1 -1 0 0;

0 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1; 2 2 -6 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 3 -5 0 0 3 0; 0 0 6 0 5 -5 0 0 0;

0 0 0 0 0 5 4 0 -4];

>> B = [2; -2; 6; -6; -4; 0; 0; 0; 0];

>> corrientes_i = A\B

corrientes_i =

2.3761

-3.6239

-0.4160

-0.5636

0.5237

0.0245

1.9847

1.4364

2.0153

Las corrientes de rama son:

AiAiAiAi

AiAiAiAiAi

0153.2;4364.1;9847.1;0245.0

;5237.0;5636.0;4160.0;6239.3;3761.2

9876

54321

Problema 3.5. Si la frecuencia de oscilación de una máquina coincide con la

frecuencia natural de oscilación de la estructura sobre la que está montada, la

estructura entra en resonancia y puede colapsar. Esto es análogo a un columpio:

el columpio se balancea a cierta frecuencia (natural) y cada vez que llega a un

extremo le damos un empujón (frecuencia excitadora que coincide con la

frecuencia natural), cada vez adquirirá mayor amplitud. Una estructura

moviéndose cada vez con mayor amplitud puede dañarse.

Las frecuencias naturales de oscilación wi de cierta estructura son las raíces de

los valores característicos λi de la siguiente matriz:

6000

0400

0051

0015

(11)

Determinar si las frecuencias naturales de oscilación de la estructura son menores

que la frecuencia de oscilación de 50 ciclos/s de una máquina montada sobre ella.

Solución:

Escribiendo las instrucciones del sistema matricial (11) tenemos:

>> A = [-5 1 0 0; 1 -5 0 0; 0 0 -4 0; 0 0 0 -6];

>> frecuencias = eig(A)

frecuencias =

-6 -6 -4 -4

Las frecuencias naturales de oscilación son menores de 50 ciclos/s

Problema 3.7. Considere el sistema de tres péndulos de masa m sujetos a dos

resortes de constante k, a media altura de los péndulos de longitud 2a como se

muestra en la figura 3.10. Los resortes no tienen esfuerzo cuando los péndulos

están en posición vertical.

Figura 3.10 Sistema de péndulos acoplados

Las frecuencias naturales de oscilación wi del sistema están relacionados por λi =

4ma2wi2 a los valores característicos λi de la matriz:

22

222

22

20

22

02

kamagka

kakamagka

kakamag

Los modos de vibración natural del sistema son los vectores característicos

correspondientes. Determina los valores y vectores característicos de la matriz

simétrica, si mag = 2 y ka2 = 1.

Solución:

Sustituyendo los datos se obtiene la siguiente matriz:

510

161

015

A (12)

Escribiendo los datos del sistema matricial (12) tenemos:

>> A= [5 -1 0; -1 6 -1; 0 -1 5]; Y = poly(A)

Y =

1.0000 -16.0000 83.0000 -140.0000

01408316 23

>> val = eig(A)

val =

4.0000

5.0000 Valores característicos

7.0000

>> [V,D] = eig(A)

V =

-0.5774 -0.7071 0.4082

-0.5774 0.0000 -0.8165 Vectores característicos

-0.5774 0.7071 0.4082

D =

4.0000 0 0

0 5.0000 0 Valores característicos

0 0 7.0000

Para una frecuencia mínima λ = 4, el sistema de los tres péndulos tiene un

movimiento de vaivén uniforme semejante al péndulo de un reloj. Para la

frecuencia λ = 5, el péndulo de en medio está en reposo y los otros dos se

mueven a los lados. Para la frecuencia máxima λ = 7, los péndulos tienen

movimientos totalmente irregulares y significa que el sistema está a punto de

colapsar.

Problema 3.8 Considérese un valle aislado con N1(t) linces que se alimentan

exclusivamente de liebres, de los cuáles hay un número N2(t) como se muestra en

la figura 11 (Torres, 1990).

Figura 11 Sistema ecológico presa-depredador

La tasa de cambio en el número de predadores (linces) es proporcional a su

cambio natural (debido a natalidad y mortalidad), así como a la cantidad de

comida disponible (número de liebres). Esta relación se puede expresar

matemáticamente como:

211 NbNa

dt

dN

Donde: a y b son constantes. Asimismo, la tasa de cambio de las liebres se puede

escribir como:

212 NdNc

dt

dN

Donde: c y d son constantes. Este sistema de ecuaciones se puede escribir en

forma matricial como:

2

1

2

1

N

N

dc

ba

N

N

dt

d

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es de la forma:

ttexcexc

tN

tN21

2211

2

1

)(

)(

Donde: λ1 y λ2 son los valores característicos correspondientes a los vectores

característicos X1 y X2 de la matriz y C1 y C2 son constantes que dependen de las

condiciones iniciales.

Obtener los valores característicos para las siguientes matrices de coeficientes:

12

56A

12

56B

12

55C (12)

Solución:

Escribiendo los datos en la ventana de comandos de MatLab del sistema de

matrices (12), tenemos:

>> A = [6 5; -2 -1];

>> valores_caracteristicos = eig(A)

valores_caracteristicos =

4

1

>> B = [-6 5; -2 1];

>> valores_caracteristicos = eig(B)


-4

-1

>> C = [-5 5; -2 1];

>> valores_caracteristicos = eig(C)


-2.0000 + 1.0000i

-2.0000 - 1.0000i

De la solución se observa que si ambos valores característicos λ1 y λ2 son

positivos, el sistema ecológico explota pues las exponenciales tienden a infinito. Si

ambos valores característicos son negativos, las poblaciones se exterminan

(decrecen a cero). Si los valores característicos son complejos conjugados, las

poblaciones oscilan pues )cos()( btsenibtee tatbia .

Problema 3.9 Considere un sistema de cinco discos, cada uno de momento de

inercia j, unidos a una flecha de constante elástica torsional k, como se muestra en

la figura 12.

Figura 12 Discos unidos por una flecha

Determinar las frecuencias naturales de oscilación torsional ωi, relacionadas por λi = ωi

2 j/k con los valores característicos λi de la matriz simétrica:

11000

12100

01210

00121

00011

(13)

Así como calcular los modos de vibración torsional (vectores característicos de la

matriz). Considerar j=3kg-m2 y k=2 rad/N-m.

Solución:

Escribiendo los datos del sistema matricial (13), tenemos:

>> A = [1 -1 0 0 0; -1 2 -1 0 0; 0 -1 2 -1 0; 0 0 -1 2 -1; 0 0 0 -1 -1];

>> [V,D] = eig(A)

V =

-0.0155 -0.6852 0.5670 0.4051 0.2115

-0.0362 -0.5826 -0.0752 -0.5971 -0.5450

-0.1052 -0.3929 -0.6323 -0.1220 0.6480 Vectores característicos

-0.3143 -0.1445 -0.4732 0.6549 -0.4770

-0.9426 0.1257 0.2219 -0.1885 0.1042

D =

-1.3335 0 0 0 0

0 0.1496 0 0 0

0 0 1.1327 0 0 Valores característicos

0 0 0 2.4741 0

0 0 0 0 3.5771

Nota: Los valores y vectores característicos, nos indican que la oscilación de los discos no es uniforme y tienden al “cabeceo”.

Problema 3.9 En una armadura estáticamente determinada con nudos articulados

(Fig.13), la tensión 𝐹𝑖 en cada miembro, puede obtenerse a partir de la ecuación

matricial que se presenta enseguida (la ecuación resulta de poner todas las sumas

de fuerzas, actuando horizontal o verticalmente en cada nudo igual a cero).

Obtenga los valores de las tensiones de la armadura (Curtis, 1987).

Figura 13 Armadura con nudos articulados

7071.010000000

00105.00000

01018660.00000

7071.000001000

7071.001000000

000000100

000100010

00005.00107071.0

00008660.01007071.0

F=

0

500

0

0

500

0

0

1000

0

(14)

Solución:

Escribiendo las instrucciones en la Ventana de comandos de MatLab del sistema

matricial (14) tenemos:

>> A = [0.7071 0 0 -1 -0.8660 0 0 0 0

0.7171 0 1 0 0.5 0 0 0 0

0 1 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 -1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0.7071

0 0 0 1 0 0 0 0 -0.7071

0 0 0 0 0.8660 1 0 -1 0

0 0 0 0 -0.5 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071];

> B = [ 0; -1000; 0; 0; 500; 0; 0; -500];

>> X = A\B

X =

1.0E+003 *

-1.0247 0.7245 0 -0.2652 -0.5304 0.7245 0.2652 0.2652 -0.3741

Las tensiones son:

4.530

2.265

0

5.724

7.1024

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

1.374

2.265

2.265

5.724

9

8

7

6

F

F

F

F

Nota: Los valores negativos son comprensión y los positivos son estiramiento.

CONCLUSIÓN. La aplicación de los métodos de solución numérica para sistemas de ecuaciones lineales mediante el software de aplicación MATLAB, les facilitará a los alumnos de ingeniería la mejor comprensión de estos sistemas y de los procesos matemáticos. También permite una participación constructivista por parte del alumno, ya que puede conjeturar, experimentar y extraer conclusiones. MatLab es un potente recurso matemático que acompañará siempre al alumno en su proceso de aprendizaje, ya que con mínimos conocimientos informáticos ofrece toda una

gama de posibilidades para resolver los problemas de Métodos Numéricos, dando como resultado un mejor aprendizaje. BIBLIOGRAFÍA Etter, D. (1997). Solución de Problemas de Ingeniería con MatLab. (2ª ed.), México, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. Gerald, C y Wheatley, P. (2000). Análisis Numérico con Aplicaciones. (6ª ed.), México, Ed. Prentice Hall/Pearson Educación. Gilat, A. (2006). MatLab an introduction with applications. (2ª ed.),USA, Ed. John Wiley & Sons, Inc. The MathWorks, Inc (2009) MATLAB Function Reference R2009a. USA. Mathews, J. H. y FINK, K.D.(2000). Métodos numéricos con MatLab. (3ª ed.), España, Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana. Nieves, A. y Dominguez, S. (2002). Métodos Numéricos. Aplicados a la ingeniería. (2ª ed.). México, CECSA. Pérez, L. C. (2002). Matlab y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería. España, Ed. Prentice-Hall. Torres, J. y Czitrom, V. (1980) Métodos para la solución de problemas con computadora digital. México, Representaciones y Servicios de Ingeniería. Yang, W., Cao W, Chung T. and Morris, J.(2005). Applied Numerical Methods Using MATLAB. USA; Ed. Wiley-Interscience.

SÍNTESIS CURRICULAR Nombre: Ing. Luis Lorenzo Jiménez García. e-mail: [email protected] Tel. (55) 56230810 Ext. 39313 Grado académico: Ingeniero Civil. Estudios realizados: Posgrado en Maestría en Pedagogía (100% de créditos aprobados). Diplomado en docencia universitaria. FES Aragón. UNAM. Reconocimientos otorgados:

Reconocimiento a mi labor académica con el cambio de categoría de Profesor de Carrera Asociado “B” Tiempo Completo Interino a Profesor de Carrera Asociado “C” Tiempo Completo Definitivo. FES Aragón. 18 de Marzo de 2010.

Reconocimiento por 30 años de Servicios Académicos. F.E.S. Aragón. UNAM

Reconocimiento a mi labor académica con ingreso al Programa de Apoyo a la Incorporación del Personal Académico de Tiempo Completo (PAIPA).

Reconocimiento al Mérito Universitario. Diploma y medalla por los 25 años de Servicios Académicos. F.E.S. Aragón. UNAM.

Distinción al Profesor de Asignatura Nivel 2. E.N.E.P. Aragón. UNAM.

Profesor Fundador de la carrera de Ingeniería en Computación. E.N.E.P. Aragón.UNAM.

Reconocimiento por destacada vocación al servicio. Secretaría de Desarrollo Urbano y Ecología. México, D.F.

Cursos impartidos:

“El software de aplicación MatLab en la solución de problemas de Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. (20 horas). 2 al 6 de Agosto de 2010.

“El MatLab aplicado a la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. (20 horas). 22 al 29 de Enero de 2010.

“Resolución de Problemas con MatLab”. 2º Diplomado de Actualización en Matemáticas. DGAPA-División de la Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón. (25 horas) Septiembre 2009.

“MatLab y sus Aplicaciones en la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. . F.E.S. Aragón (Febrero 2009).

“Didáctica de las Matemáticas”. Diplomado de Actualización en Matemáticas. FES Aragón. Dirección General de Asuntos del Personal Académico. (Septiembre 2008).

“Aplicación de MatLab en las Ciencias Físicomatemáticas”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“MatLab y su aplicación en Ingeniería”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“Métodos Numéricos aplicados con MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

“El MatLab y las aplicaciones en Matemáticas”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2008).

“MatLab y su aplicación en Ingeniería”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2008)

mailto:[email protected]

“MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (Agosto 2007)

“Aplicación de MatLab a las Ciencias Físicomatemáticas y la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2007).

“MatLab aplicado al Cálculo Integral”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2007)

“MatLab”. Unidad de Sistemas y Servicios de Cómputo. F.E.S. Aragón. (2007)

“Aplicaciones de MatLab a la Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. . F.E.S. Aragón (2006).

Publicaciones electrónicas:

“La enseñanza-aprendizaje de los Métodos Numéricos con Matlab”. Publicación Electrónica. 2º Encuentro Internacional sobre la enseñanza de las Matemáticas. FES Cuautitlán. Mayo de 2010.

“Aplicación de la Integración Numérica en Ingeniería mediante MatLab”. Publicación Electrónica. Número de ISBN: 978-607-02-1090-7. VI Encuentro Multidisciplinario de Investigación. FES Aragón. UNAM (2009).

“El Software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos. Caso: Solución Numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. V Encuentro Multidisciplinario de Investigación. FES Aragón (2008).

“El software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos en Ingeniería”. IV Encuentro Multidisciplinario de Investigación. F.E.S. Aragón (2007).

Cursos tomados:

“Autocad en 2D y 3D para Ingeniería”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. (20 horas). 14 al 23 de Junio de 2010.

“Formación docente y calidad del proceso formativo”. División de Estudios de Posgrado e Investigación. FES Aragón. 7 al 20 de Junio de 2010.

“Creatividad aplicada a la enseñanza universitaria”. División de Estudios de Posgrado e Investigación. FES Aragón. 11 al 24 de Mayo de 2010.

“Didáctica de las matemáticas (Aprendizaje convencional vs Competencia matemática)”. Dirección General de Asuntos del Personal Académico. 12 al 22 de Enero de 2010

“Usos y apropiaciones de la Investigación Comparada”. Dirección General de Asuntos del Personal Académico. 11 al 15 de Enero de 2010

3er. Diplomado en Cómputo para Profesores de Licenciatura UNAM. “Introducción a la Tecnología Informática”. Centro de Cómputo. FES Aragón. (150 horas). (2009).

“Métodos Numéricos con Mathematica”. Módulo 4 del 2º. Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Junio 2009).

“La Geometría Analítica en 2D y 3D en la Ingeniería”. Módulo 3 del 2º. Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Junio 2009).

“Álgebra, Conjuntos y Álgebra lineal”. Módulo 2 del 2º. Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Mayo 2009).

“Historia de las Matemáticas y su Desarrollo”. Módulo 1 del 2º. Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (Marzo 2009).

“Herramientas de cómputo”. Módulo 5 del Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“Pensamiento matemático avanzado”. Módulo 4 del Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“Sistema de cambio variacional”. Módulo 3 del Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“Pensamiento funcional, visualización y percepción espacial”. Módulo 2 del Diplomado en Matemáticas. División de las Ciencias Físico Matemáticas y las Ingenierías. FES Aragón (2008).

“1er Taller, estrategias de la investigación de campo”. Curso Intersemestral de la Secretaría Académica del Programa de Investigación. F.E.S. Aragón (2008).

“Análisis de proyectos educativos”. Curso Intersemestral de la División de Estudios de Posgrado. F.E.S. Aragón (2008).

“Formación de tutores para el fortalecimiento de los estudios de licenciatura en la FES Aragón”. Curso de la División de Humanidades y Artes. F.E.S. Aragón (2008).

“Aplicaciones de la energía renovable en el sector agropecuario”. Curso de la UACh. (2007)

“Formulación, elaboración y presentación de Tesis de Grado”. División de Estudios de Posgrado e Investigación. F.E.S. Aragón (2007).

Curso Básico de Sismología. Curso de la Secretaría Académica del Programa de Investigación. F.E.S. Aragón. (2007)

“Metodología de la Investigación I”. Curso Intersemestral de la Secretaría Académica del Programa de Investigación. F.E.S. Aragón (2007).

“El dibujo asistido por computadora aplicado a la Ingeniería Mecánica Eléctrica”. Curso Intersemestral de la Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón (2007).

Conferencias Impartidas.

“La enseñanza-aprendizaje de los Métodos Numéricos con Matlab”. 2º Encuentro Internacional sobre la enseñanza de las Matemáticas. FES Cuautitlán. Mayo de 2010.

“Aplicación de la Integración Numérica en Ingeniería mediante MatLab”. VI Encuentro Multidisciplinario de Investigación. FES Aragón. Octubre 2009.

“Técnicas de Aprendizaje”. Conferencia impartida en la Escuela Preparatoria Oficial No. 52. Actividades referentes a la 16ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Parque Residencial Coacalco. Coacalco, Edo. deMéxico.(2009).

“Nuevas Tecnologías para la Enseñanza de las Matemáticas”. Conferencia impartida en la Escuela Preparatoria Oficial No. 3. Actividades referentes a la 16ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Nezahualcóyotl, Edo. de México (2009).

“Métodos Activos de Aprendizaje”. Conferencia impartida en el CECYTEM Ecatepec. Actividades referentes a la 15ª Semana Nal. de Ciencia y Tecnología. (Octubre 2008).

“Nuevas Tecnologías para la Enseñanza de las Matemáticas”. Conferencia impartida en el CECYTEM Ecatepec. Actividades referentes a la 15ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología (Octubre 2008).

“El Software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos. Caso: Solución Numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. V Encuentro Multidisciplinario de Investigación. FES Aragón (2008).

“Métodos Activos de Aprendizaje”. (Turno matutino y Turno Vespertino). Escuela Preparatoria Oficial No. 3. 14ª Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Nezahualcóyotl, Edo. de México (2007).

“Las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas”. (Turno matutino y Turno Vespertino). Escuela Preparatoria Oficial No. 3. 14ª. Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Nezahualcóyotl, Edo. de México (2007).

“El software didáctico MatLab aplicado a los Métodos Numéricos en Ingeniería”. IV Encuentro Multidisciplinario de Investigación. F.E.S. Aragón (2007).

“Métodos Activos de Aprendizaje”. Escuela Preparatoria Alfredo Herrera Nava. 13ª. Semana Nacional de Ciencia y Tecnología. Nezahualcóyotl, Edo. de México (2006).

“Contaminación”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8. México, D.F. (1984).

“Contaminación”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8. México, D.F. (1984).

“El Ruido en la Ciudad”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 México, D.F. (1984).

“El Ruido en Centro de Trabajo”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 . México, D.F. (1984).

“Los Efectos Ocasionados por el Ruido”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 . México, D.F. (1984).

“Control de Ruido Industrial”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 . México, D.F. (1982).

“Ruido Urbano”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 (1982).

¿El Ruido produce Neurosis?. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 (1982). México, D.F. (1982).

“Contaminación Ambiental por Ruido”. Divulgación de Temas y Tópicos Universitarios. Televisa Canales 5 y 8 . México, D.F. (1981).

Actividad docente e institucional.

Funcionario de casilla. Elecciones de consejeros alumnos al H-Consejo Técnico (2008).

Participación en el proceso de Acreditación de las Licenciaturas de Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica Eléctrica ante el CACEI. F.E.S. Aragón. UNAM (2006).

Se han dirigido y revisado diversas tesis y se ha participado en exámenes profesionales.

Miembro del Comité de Carrera de Carrera de Ingeniería Mecánica Eléctrica en el Área de Físico Matemáticas (2006- ).

Tutor de diversos alumnos del Programa de Becas Pronabes. Carrera: Ingeniería Mecánica Eléctrica. F.E.S. Aragón. UNAM. (2006- ).

Jurado de exámenes de oposición en las asignaturas Métodos Numéricos, Métodos Numéricos I y Métodos Numéricos II, de las carreras de Ingeniería Civil, Actuaría y Matemáticas Aplicadas y Computación. F.E.S. Acatlán. UNAM. (2006).

Presidente de la Comisión Dictaminadora Interna. F.E.S. Aragón. UNAM (1998-2006)

Miembro de la Comisión Dictaminadora de Diseño y Ciencias Básicas. ENEP Aragón. UNAM (1994-1996).

Representante del C. Director de la ENEP Aragón ante el Consejo Académico de Área de las Ciencias Físico-Matemáticas y de las Ingenierías. (1993-1997).

Miembro de la Comisión de Honor y Justicia. E.N.E.P. “Aragón UNAM.(1993-1997).

Miembro de la Comisión de Seguridad. E.N.E.P. Aragón. UNAM (1990-1993)

Decano del Comité de Carrera de Ingeniería en Computación. ENEP Aragón. (1991-)

Consejero Técnico Propietario de la Carrera de Ingeniería en Computación. (1987-1993)

“soluciÓn numÉrica de sistemas de ecuaciones lineales...

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