Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Antal Ádám

Választási játékok

BSc alkalmazott matematikus szakdolgozat

Témavezet®:

Jankó Zsuzsanna

Operációkutatás Tanszék

Budapest, 2016

Köszönetnyilvánítás

Legel®ször szeretném megköszönni témavezet®mnek, Jankó Zsuzsannának, aki folyamato-san segített az év során, támogatott, valamint meglátásaival, ötleteivel, LATEX-beli segítsé-gével nagyban hozzájárult a szakdolgozatomhoz.

Nagyon köszönöm családomnak, akik támaszt nyújtottak, és lelkesítettek a munkában.

Külön köszönettel tartozom Bodó Alexandrának a sok megjegyzésért, konstruktív kri-tikáért hogy a dolgozat elnyerje végs® formáját.

Megköszönöm ezenkívül barátaim türelmét, f®képpen Somogyi Rolandét, és Náray Mik-lósét, akik gyakran hallgatták lelkesedésem a téma iránt.

2

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 4

2. Választási játékok 52.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Egyéb tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Alappéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Fontosabb eredmények 143.1. May-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Condorcet rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Arrow-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Gibbard-Satterhwaite tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Választások 204.1. Többségi módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Preferencia alapú választások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1. Pontozásos módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2. Jóváhagyás alapú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3. Ellenpéldák, manipuláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. A választóer® 335.1. De�níciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2. Indexek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3. Jellemzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4. A politikai er® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5. Blokkok és koalíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.5.1. Az amerikai elnök: egy alkalmazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

1. fejezet

Bevezetés

A választáselmélet egy tág, szavazásokat és ahhoz kapcsolódó jelenségeket vizsgáló részte-rület, mely a játékelmélethez, azon belül pedig a mechanizmustervezéshez tartozik. Mintazt látni fogjuk, sok érdekességet rejt, a gyakorlati felhasználása pedig igen széleskör¶. Amileginkább a témánkhoz köt®dik az nem a parlamenti vagy az arányos választási rendszereklesznek, noha �gyelembe kell vennünk, hogy ezek az elméletet er®sen ösztönzik. F®leg azelméleti háttér kerül a középpontba: milyen szempontokat vehetünk �gyelembe, valaminttervezéskor milyen feltételeket jelöljünk ki ezek közül, hogy teljesüljön. Mindeközben ke-vésbé hangsúlyosan vesszük �gyelembe a társadalomtudományi oldalát a témának, mivelcélunk a természettudományok irányából közelíteni, hogy megismerjük az összefüggéseket.

Történelmi távlatokban elhelyezve a választás elmélete mindig is foglalkoztatta az em-bereket, de csak a XX. században kezdték el vizsgálni mélyebb tudományos eszközökkel.Mivel minden politikai rendszernek része, így különös, hogy miért csak ilyen kés®n tettékfel a szavazáselmélet nagyobb kérdéseit, ami iránt mi is érdekl®dünk. Legkorábbi írásosmunka Nicolas de Condorcet nevéhez f¶z®dik, aki már a XVIII. században fogalmazottmeg állításokat. A klasszikus eredmények a XX. század els® felében születtek, de mind amai napig jelennek meg új szavazáselméleti cikkek.

A 2. fejezetben precízen bevezetjük, mit értünk választási rendszer alatt, sok tulajdon-ságot sorolunk fel, amikkel elemezhetjük ezeket, és néhány egyszer¶bb állítást foglmazunkmeg és bizonyítunk.

A 3. fejezetben a nagyobb eredményeket vesszük sorba: a May, a Campbell-Kelly, azArrow, és a Gibbard-Satterhwaite-tételek mind egy-egy súlyos állítást hordoznak, melyekkövetkezményei dönt®en befolyásolják a témát, és meghúzzák a voksolások határait.

A 4. fejezetben sok gyakorlatban alkalmazott választási rendszert nézünk, amiket elem-zünk a 2. fejezet eszközeivel, és levonjuk a következtetéseket. Az utolsó alfejezetében a 3.fejezetben megfogalmazott állításokat egészítjük ki, és nézünk példákat illetve ellenpéldá-kat.

A 5. fejezet kitekintés, amiben a szavazóer® fogalmának szempontjából vizsgáljuk aválasztásokat. Egy külön fejezetben foglalkozunk vele, mert más meggondolások szolgálnaka hozzáállás alapjául, mint a 2. fejezetben.

4

2. fejezet

Választási játékok

2.1. Bevezetés

A kooperatív játékokkal kapcsolatos bevezetés alapjául Solymosi jegyzete szolgált. [7]A játékosok halmaza legyen egy nemüres, véges halmaz, amit N -nel fogunk jelölni.

Elemeit megszámozzuk, azaz: N = {1, 2, . . . n}.

2.1.1. De�níció. Játékosok egy halmazát koalíciónak hívjuk.

Speciálisan N -et nagykoalíciónak, ∅-t pedig üres koalíciónak. Megengedjük, hogy ajátékosok bármely társulása létrejöjjön. A nemüres koalíciók halmazát N -nel fogjuk jelölni,így N = 2N\{∅}.

A modell megadásához kell még, hogy megadjuk egy S koalíció kimeneteleinek halma-zát. Számítsába vehetjük akár a koalíciót alkotó emberek együttm¶ködésének min®ségétis, viszont mi alapvet®en csak a koalíció meglétére szorítkozunk, és ehhez egy olyan értéketrendelünk, amit a koalíció tagjai a legjobb esetben együttm¶ködve el tudnak érni. De�ni-álhatunk még a játékosokhoz különböz® Ui hasznossági függvényeket. Ezzel mi nem fog-lalkozunk, viszont fontos megemlíteni, hogy a modell mögött húzódnak az egyes játékosokdöntésének okai. Az i játékos a és b helyzet közül az a-t fogja választani, ha Ui(a) > Ui(b).Tehát feltesszük, hogy minden játékos eldönti, hogy számára mi az alkalmasabb, anélkül,hogy a hasznossági függvényt de�niálnánk.

A koalíciókon alapuló játékok attól függ®en, hogy a különböz® hasznosságok a játéko-sok között átválthatók-e vagy nem, beszélhetünk NTU (non transferable utility) és TU(transferable utility) játékokról. Utóbbival fogunk foglalkozni, így azt pontosan de�niáljuk.

2.1.2. De�níció. (N, v) pár TU-játék, ahol N a szavazók (játékosok) halmaza, valaminta v : 2N → R ún. koalíciós függvény, amire kikötjük hogy v(∅) = 0.

A továbbiakban játék alatt TU-játékot fogunk érteni.A koalíciós függvény minden S ⊆ N koalícióra megadja az értékét annak a maximális

hasznosságnak, amit a koalíció tagjai el tudnak érni N\S-t®l függetlenül. Jelöljük GN -nel

5

az N játékoshalmazon értelmezett koalíciós függvények halmazát. A koalíciós függvényskálája önkényes, nekünk csak a relatív sorrend számít. Ez indokolja a következ® de�níciót:

2.1.3. De�níció. Azt mondjuk, hogy az (N, v) játék stratégiailag ekvivalens az (N,w)

játékkal, ha ∃α > 0 és β1, β2, . . . , βn ∈ R számok, hogy w(S) = αv(S) +∑

i∈S βi ∀S ∈ N -re teljesül.

2.1.4. Állítás. A stratégiai ekvivalencia ekvivalenciarelációt de�niál a GN halmazon.

A bevezetésben foglalt állításokat bizonyítás nélkül közöljük.

2.1.5. De�níció. Azt mondjuk, hogy egy (N, v) játék:

• additív, ha v(S) =∑

i∈S v({i}) ∀S ∈ N -re.

• szuperadditív, ha v(S ∪ T ) ≥ v(S) + v(T ) ahol S, T ⊆ N és S ∩ T = ∅

Additív játékokkal olyan helyzetek modellezhet®k, ahol a játékosok semmilyen együtt-m¶ködése nem tudja növelni a hasznukat. Tetsz®leges koalíció v általi értékét egyértelm¶ende�niálja a v-nek az adott szavazókon, mint egyelem¶ koalíción felvett értéke.

Szuperadditív játékok ezzel szemben pont olyan helyzeteket demonstrál jól, amelyekesetében akár két játékos összefogása is növeli a közös értéküket. Els®sorban a szuperadditívjátékokkal fogunk foglalkozni.

2.1.6. Állítás. Az additív, és szuperadditív játékok halmaza külön-külön zárt a stratégiaiekvivalenciára nézve.

2.1.7. Állítás. Egy (N, v) játék pontosa akkor szuperadditív, ha ∀S ∈ N -re és az S bár-mely T partíciónálására nézve v(S) ≥

∑T∈T v(T ) igaz.

2.1.8. De�níció. Az (N, v) játék:

• monoton, ha S ⊆ T ⇒ v(S) ≤ v(T ) ∀S, T ∈ N -re;

• 0-monoton, ha S ⊆ T ⇒ v(S) +∑

i∈T\S v({i}) ≤ v(T ) ∀S, T ∈ N -re;

• szimmetrikus, ha |S| = |T | ⇒ v(S) = v(T ) ∀S, T ∈ N -re;

• egyszer¶, ha v(N) = 1, és v(S) ∈ {0, 1} ∀S ∈ N -re.

2.1.9. Állítás. Ha egy (N, v) nemnegatív játék (v értéke nemnegatív) szuperadditív, akkormonoton.

Bizonyítás. Ha egy tetsz®leges T halmaz el®áll egy S és egy T\S diszjunkt halmaz uni-ójaként, akkor a szuperadditivitás miatt:

v(T ) ≥ v(S) + v(T\S) ≥ v(S)

illetve mivel v nemnegatív, alulról becsülünk. Tehát tetsz®leges S ⊂ T -re v(S) ≤ v(T ),azaz v monoton. �

6

2.1.10. Állítás. A következ®k teljesülnek:

• A 0-monoton játékok halmaza zárt a stratégiai ekvivalenciára.

• Tetsz®leges játék stratégiailag ekvivalens egy monoton játékkal, tehát a monoton já-tékok halmaza nem zárt erre az ekvivalenciára nézve.

• Minden szuperadditív játék 0-monoton.

• Minden nemnegatív szuperadditív játék monoton.

Most de�niáljuk a témánkat érint® játékcsaládot:

2.1.11. De�níció. (N, v) pár egy választási játék, ha egyszer¶, szuperadditív TU-játék.

Az 1 és 0 értékekre a továbbiakban gy®zelemként, illetve vereségként fogunk hivatkozni.

2.1.12. De�níció. Azt mondjuk, hogy egy koalíció gy®z®, ha a tagjai igent szavaznak,akkor az lesz a választás kimenetele is.A gy®z® koalíciók halmazát W-vel jelöljük. Formálisan:

W = {S|S ⊆ N, v(S) = 1}

Hasonlóan de�niálhatjuk a blokkoló vagy veszt® koalíciót is: ha a tagjai nemet szavaznak,akkor az lesz a választás kimenetele is.

2.1.13. Következmény. S ⊂ T

S gy®z®⇒ T gy®z®

S veszt®⇒ T veszt®

2.1.14. De�níció. Egy szavazót kritikus szavazónak nevezzük egy gy®z® vagy veszt® ko-alícióra nézve, ha döntésének megváltoztatásával a választás kimenetele is megváltozik,feltéve, hogy a koalíció még mindig ugyanúgy szavaz a kritikus szavazó kivételével. Azaz:

i kritikus S-ben⇔ S ∈ W , S\{i} /∈ W

2.1.15. De�níció. Egy szavazó nullszavazó, ha sosem kritikus.

2.1.16. De�níció. Minimális gy®z® (veszt®) koalíciónak nevezzük azt a gy®z® (veszt®)koalíciót, amelynek minden tagja kritikus szavazó. A minimális gy®z® koalíciók halmazátM-el jelölve:

M = {S|S ∈ W ,∀i ∈ S : S\{i} /∈ W}

2.1.17. Állítás. A gy®zelmi koalíciók száma, amiben egy adott játékos kritikus megegyezika veszt® koalíciók számával, amiben szintén kritikus az adott szavazó.

7

Bizonyítás. Legyen S 3 i-t tartalmazó koalíció. Jelöljük T -vel N\S-t. Ha S gy®z® koa-líció, és i kritikus szavazója, akkor ha i megváltoztatja döntését, akkor a végeredmény ismegváltozik, így T ∪ {i} veszt® koalíció.Megfordítva, ha S veszt® koalíció, és i kritikus szavazó, akkor ha i döntésének megváltoz-tatásával, a végeredmény igen lesz, így T ∪ {i} gy®z® koalíció.Ezáltal létesítettünk egy bijekciót a gy®z® és veszt® koalíciók között, amiben i kritikus. �

2.1.18. De�níció. Sebezhetetlen a koalíció, ha nincs kritikus tagja.

2.2. Tulajdonságok

Legyen A véges, különböz® alternatívák halmaza, és legyen L az A-n megadható összeslehetséges rendezés. Az i. szavazó preferenciáit az ≺i∈ L rendezés adja meg, azaz a �i b,ha az i szavazó a-t el®bbre rangsorolja b-nél. [19] [15]

2.2.1. De�níció. Az F : LN → L függvényt közjóléti függvénynek (szavazatösszegz® függ-vénynek, vagy social welfare function, SWF) nevezzük.

A közjóléti függvény n szavazó sorrendjéb®l állít el® egy végs® sorrendet.

2.2.2. De�níció. A G : LN → A függvényt voksolási függvénynek (social choice function,SCF) nevezzük.

Ez nem összekeverend® a szavazatösszegz® függvénnyel. Fontos különbség, hogy míg aközjóléti függvény teljes rendezést ad, addig a voksolási függvény, ennél kevesebbet: csak egygy®ztest. A továbbiakban választási rendszernek fogjuk hívni ezt a kategóriát együttvéve.A választási rendszerre kimondott állítások és tételek a közjóléti és a voksolási is függvényreis igazak, feltéve, hogy teljesülnek a követelmények mindkét típusra.

2.2.3. De�níció. Az n szavazó által adott rendezések vektorát: π = (≺1,≺2, . . . ,≺n)-tválasztási pro�lnak nevezzük. Azt mondjuk, hogy π és π′ = (≺′1,≺′2, . . . ,≺′n) azonosanrendezik az a, b ∈ A lehet®ségeket, ha ∀i ∈ N : a ≺i b⇔ a ≺′i b

2.2.4. Megjegyzés. Egyes helyeken a voksolási függvényt nem az A, hanem 2A halmaz-ba való leképezésként de�niálják. [2] Így akár több gy®ztest is kijelölhet a voksfüggvény.Speciális esetben feltehetjük, hogy egyérték¶, azaz minden pro�lra egyelem¶ részhalmazátadja ki az alternatíváknak.

A voksolási függvényekkel kapcsolatban de�niáljunk el®ször néhány egyszer¶, ésszer¶feltételt:

2.2.5. De�níció. AG voksolási függvény anonim, ha a választók felcserélhet®ek, de ugyan-azt az az alternatívát hozza ki eredményül. Azaz, ha valamely l ∈ LN -re, és a ∈ A-raG(l) = a, akkor tetsz®leges π permutációra, ami az LN -beli l vektor elemeit cseréli meg:G(π(l)) = a.

8

Az anonimitás praktikus feltétel, ha azt szeretnénk, hogy a voksolás a játékosok szem-pontjából "igazságos" legyen. A választók megcserélése esetén, nem számít, milyen címkévellátjuk el az adott szavazót, a gy®ztes nem számít a preferenciák sorrendjét®l, csak maguktóla preferenciáktól. Alább található egy gyengébb változata az feltételnek:

2.2.6. De�níció. Diktátornak nevezzük az i. szavazót, ha egyedül meghatározza a sza-vazás kimenetelét, azaz adott l ∈ LN rendezésvektorra, ha ∀b ∈ A\{a}-ra a �i b, akkorG(l) = a. Ha létezik ilyen szavazó, akkor diktatúrának nevezzük a rendszert, ha pedig nem,akkor diktátormentesnek.

Amint kés®bb látni fogjuk, sok tulajdonság között fennállnak összefüggések, példáulha elvárjuk, hogy egy rendszer diktátormentes legyen, akkor más, ésszer¶ tulajdonságoknem teljesülhetnek (3.3.1 tétel). Triviális, hogy diktatórikus voksolási függvény nem lehetanonim, így az anonimitás gyengébb tulajdonság.

2.2.7. De�níció. Egy G voksolási függvény neutrális, ha az alternatívák megcserélhet®ek,azaz tetsz®leges π : A → A permutációra, ha valamely l ∈ LN -b®l az li-kben rendezettalternatívákra alkalmazzuk π-t, (ezt nevezzük l̃-nek), akkor G(l̃) = π(a), ha eredetilegG(l) = a.

2.2.8. De�níció. Egy szavazatösszegz® függvény egyhangú, hogy ha minden szavazó A-tel®rébb helyezi, mint B-t, akkor a végs® sorrendben is A el®rébb áll, mint B.

2.2.9. De�níció. Egy választási függvény Pareto-hatékony, ha egy pro�lra sem ad olyaneredményt a választás, amely egy vagy több játékos számára szigorúan jobb, míg a többijátékosnak nem rosszabb.

2.2.10. Állítás. Ha egy választási rendszer Pareto-hatékony, akkor egyhangú.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy egy közjóléti függvény Pareto-hatékony, de nem egyhangú.Ekkor létezik ellenpélda az egyhangúságra: vegyünk olyan P pro�lt, amelyben minden-kinek A > B a preferenciája, de a végs® sorrendben B > A áll. Ekkor cseréljük meg avégeredményben A-t és B-t, így egy olyan végeredményt kapunk, amit szigorúan jobb ajátékosoknak. �

Ha a voksolási függvényt a korábbi, 2.2.4 megjegyzés szerint de�niáljuk (több gy®ztes),akkor a következ® tételt kapjuk:

2.2.11. Tétel. (Moulin) [14] Legyen az m az A alternatívák halmazának elemszáma, ésn a szavazók száma. Ha van olyan 1 < r ≤ m, hogy r|n, akkor nem létezik ilyen paraméte-rekkel neutrális, anonim, és Pareto-hatékony voksolási függvény, ami pontosan egyérték¶.

Ezt a tételt nem bizonyítjuk.

9

2.2.12. De�níció. Egy közjóléti függvényre teljesül a lényegtelen alternatíváktól való füg-getlenség feltétele, hogy ha az összegzésben A el®rébb került, mint B, akkor még ha aválasztók módosítják is a döntésüket A és B relatív helyzetét meghagyva (tehát aki idá-ig A-t preferálta B-nél, az meghagyja ezt a sorrendet, és fordítva), akkor a módosítottválasztás is A-t el®rébb rangsorolja, mint B-t.

Sokszor csak IIA-ként (Independence of Irrelevant Alternatives) hivatkozunk erre a fel-tételre.

2.2.13. Állítás. Ha egy választási rendszer egyhangú és teljesül az IIA, akkor neutrális.

Ezt az állítást nem bizonyítjuk.

2.2.14. De�níció. Monotonnak nevezünk egy szavazatösszegz® függvényt, ha a szavazat-összegzés után egy A jelölt helyzete vagy nem módosul, vagy el®rébb kerül, ha egy vagytöbb szavazó A-t a sorrendjében el®rébb helyezte. Szigorúan monoton, ha ténylegesen el®-rébb kerül.

Nézzünk egy összefüggést ezen tulajdonságok között:

2.2.15. Állítás. A monotonitás és a lényegtelen alternatíváktól való függetlenség feltételé-b®l következik az egyhangúság.

Bizonyítás. Indirekt feltesszük, hogy a rendszer nem egyhangú, de teljesülnek rá a felté-telek. Mivel nem egyhangú, ezért létezik ellenpélda, azaz olyan eset, amikor minden szavazóA-t el®rébb sorolja B-nél, de a szavazatösszesítés B-t el®rébb sorolja A-nál.

Változtassuk meg a szavazatokat akképpen, hogy B sorszámát növeljük meg a szavazóklistáján addig, amíg A elé nem kerül. A monotonitás miatt, mivel B helyezését növeltük aszavazatokban, így az összesítés után is csak el®rébb kerülhet, így B még mindig A el®ttlesz az összesítésben.

Most fogjuk A-t és csökkentsük a sorszámát, B eredeti helyére téve. Az IIA feltételmiatt, mivel a relatív sorrendek megmaradtak, B > A igaz lesz továbbra is. Viszont azeredeti szavazatokban A-t és B-t kicseréltük, így ugyanazt kapjuk, ha a végeredménybenA-t helyettesítjük B-vel (és fordítva). Ekkor A > B teljesül, ami ellentmondás. �

2.2.16. De�níció. A jelölteket egy az egy ellen mérk®ztetjük. Ha létezik ezek közül olyanjelölt, aki minden másik jelölt ellen nyert ezekben a futamokban, akkor ®t Condorcet gy®z-tesnek nevezzük.

2.2.17. De�níció. Azt mondjuk, hogy teljesül Condorcet kritériuma (Condorcet-kiterjesztésvagy Condorcet-konzisztens) egy választási rendszerre, ha mindig a Condorcet gy®ztest je-löli ki gy®ztesnek, amennyiben létezik. Egy közjóléti függvény Condorcet-hatékonysága aza valószín¶ség, hogy a Condorcet-jelölt kerül ki gy®ztesen, amennyiben létezik ilyen.

10

A Condorcet-hatékonyság Condorcet rendszerek esetében triviálisan 1, míg nem ilyenrendszerek esetében szigorúan kisebb. Szintén Condorcet-r®l elnevezett kritérium, de azel®z®t®l független:

2.2.18. De�níció. Condorcet veszt® kritériuma azt mondja ki, hogy Condorcet vesztessoha nem lehet gy®ztese egy választásnak. Condorcet vesztesnek nevezzük azt a jelöltet,akit mindenki más legy®z egy az egy elleni külön szavazásokban.

2.2.19. De�níció. Többségi kritérium azt mondja ki, hogy ha egy jelölt a szavazatoklegalább felét megszerezte, akkor ® lesz a gy®ztes.

2.2.20. De�níció. Egy voksolási függvény klónfüggetlen, ha egy alternatíva helyett sokmásik ún. klón alternatívát hozzáadva az A alternatívák halmazába nem változik meg azeredmény.

Utóbbi de�níciót legkönnyebben egy példán keresztül érthetjük meg. Sok esetben a vá-lasztás rendszerén keresztül éri manipuláció a meghozandó döntést, mint például ha azemberek nagy része elfogadna egy alternatívát, akkor ha ehelyett több hasonló alternatívátajánlunk fel nekik, ezek a szavazatok szétosztódhatnak az alternatívák között. Például egyabszolút többségi szavazás er®sen ki van téve az ilyenfajta manipulációnak, és ennek elle-nére az az egyik leggyakrabban alkalmazott rendszer (ld. 4.3.7 példa). Nem klónfüggetlenrendszer tehát hasonló (vagy akár ugyanolyan) alternatívák között különbséget tesz. [18]

2.2.21. De�níció. Részvételi kritérium azt mondja ki, hogy egy adott szavazatok b hal-mazához hozzáveszünk még egyet úgy, hogy arra a szavazatra A > B teljesül, akkor agy®ztes nem változhat A-ról B-re.

A kritérium neve (participation criterium) onnan ered, hogy amennyiben egy közjólé-ti függvény nem teljesíti ezt, el®állhat olyan eset, hogy egy szavazó azzal juttatja el®reaz ® általa preferált jelöltet, ha távolmarad a szavazástól, ahelyett, hogy rá adna le egyszavazatot. Ismert még a no-show paradox kifejezés is erre a jelenségre.

Egy egyszer¶ példa a többségi szavazás, ahol megszabhatják például, hogy a szavazóklegalább 50%-a részt kell hogy vegyen a szavazáson. Ekkor ha mondjuk a szavazók min®-sített többsége támogat egy jelöltet, akkor az ®t nem támogatók jobban járnak, ha nemszavaznak (így nem érik el ugyanis az érvényességi küszöböt), minthogy szavazzanak, ésezzel érvényessé tegyék az általuk nem preferált jelölt gy®zelmét.

2.2.22. De�níció. Voksolási függvény konzisztens, hogy ha a választókat két diszjunkt, Sés T halmazba sorolva külön-külön folytatnánk le a szavazást, és ugyanazt az eredménytkapnánk, akkor a választást S ∪ T -re megismételve szintén ezt a gy®ztest kapjuk.

11

2.3. Egyéb tulajdonságok

A választási játékok témakörében még más egyéb tulajdonságok is fontosak lehetnek, ilyenpéldául a polinomiális id®ben való kiszámítása az eredménynek. Mint azt kés®bb látni fog-juk, vannak olyan rendszerek, amelyek tulajdnoságai el®nyösebbé teszik másokkal szemben,viszont a gyakorlatban (például akár már 10 alternatívát tartalmazó esetben is) használha-tatlanok. A polinomialitásra a rendszerek tárgyalásánál nem, csak a 4.3 alfejezetben térünkki.

Szubjektívabb ötlet a választási rendszereket a választók elégedettsége alapján összeha-sonlítani. Ezen témakör kapcsolódik a társadalomtudományokhoz, valamint er®sen köt®dika modellhez, ahogyan az elégedettséget mérjük. Példaként egy statisztikai alapokon nyugvóhozzáállást mutat a következ® ábra,de kiemeljük, hogy a megadott paramétereken belül ér-telmezzük az eredményt, valamint itt a teljesség igénye nélkül hasonlítottak össze néhányata választási rendszerek közül. [16]

A választóer® legegyenletesebb eloszlása is fontos szempont lehet. Err®l b®vebben az5. fejezetben olvashatunk, de fontos itt is megemlíteni, hogy a választóer® sok választásirendszerben egy koalíció kezében összepontosulhat, és például a nem anonim rendszerekesetében számít, hogy melyik szavazó melyik.

2.4. Alappéldák

Miután a különféle választási rendszereket néznénk meg, tekintsük a következ® alappéldá-kat. Ezekb®l a játékokból indulunk ki, és használjuk majd az utána következ® klasszikuseredményekhez.

2.4.1. Példa. (Egyszer¶ többségi szavazás) A szavazók N halmazának egy igen/nemdöntést kell hoznia, úgyhogy mindenki szavazata egyet ér. Egyszer¶ többségi elvet hasz-nálunk, azaz a szavazatok több mint felének igennek kell lennie. Továbbra is 1 jelenti az

12

elfogadást, 0 az elutasítást. Ekkor tetsz®leges S ⊆ N -re:

v(S) =

{0, ha |S| < |N |/21, ha |S| ≥ |N |/2

Ez a példa �nomítható, mégpedig több ponton is. El®fordulhat hogy arra van szüksé-günk, hogy a szavazóknak ne ugyanannyit érjen a szavuk, tehát súlyozzuk ®ket:

2.4.2. Példa. (Súlyozott többségi szavazás) G = (N, (wi)i∈N , q), ahol N az n szavazóhalmaza, akiknek w1, w2, . . . wn > 0 mennyiség¶ szavazatuk van. Kvótának nevezzük a q-t, ennyi szavazat kell, hogy egy koalíció eltudja dönteni a kimenetelét egy választásnak,

valamint w =n∑i=1

wi jelöléssel w ≥ q > w/2 teljesül.

A súlyozott választási játék is egyszer¶ választási játék, ahol S ⊆ N -re:

v(S) =

1, ha∑i∈S

wi ≥ q

0, egyébként

A konstans egy súlyozással, és az |N |/2 kvótával kapjuk a súlyozatlan esetet. Sokszorbonyolultabban választjuk ki a végeredményt, mint hogy összeszámláljuk a szavazatokat,valamint több válaszlehet®ség közül is akarunk választani. Ezekre az általánosabb esetekremutatunk majd kés®bb néhány példát.

A súlyozott többségi szavazásokat, mint játékokat gyakran egyszer¶bb jelöléssel hasz-náljuk: egy vektorba soroljuk fel a következ® paramétereket: els® számként a kvótát, majdutána csökken® sorrendben a súlyokat. Így pl. az egyszer¶ többségi szavazás 5 emberre a[3|1, 1, 1, 1, 1] játék.

2.4.3. Példa. (Páronkénti játszmák) A Páronkénti játszmák azt a jelöltet nyeri meggy®ztesként, aki mindegyik más jelöltet megver egy az egy elleni játszmákban. Ez példáulmegvalósulhat úgy, hogy mindenki sorrendbe állítja a jelölteket, és ha két tetsz®leges x ésy jelöltet nézünk meg, eldöntjük, hogy azon szavazókból van-e több, akik x > y-ként, vagyfordítva rendezték a két kiválasztott alternatívát. Látható, hogy a páronkénti játszmákbóla Condorcet-gy®ztes kerül ki gy®ztesen, amennyiben létezik.

Angolul Pairwise Majority Rule-ként (PMR) emlegetik, és csak a Condorcet gy®ztesselrendelkez® pro�lokon de�niáljuk.

13

3. fejezet

Fontosabb eredmények

3.1. May-tétel

3.1.1. Tétel. (May) [13] Két alternatíva, és páratlan számú választó esetén az egyszer¶többségi szavazás az egyetlen anonim, neutrális, és monoton voksolási függvény. Két alter-natíva és tetsz®leges számú szavazóra pedig ez az egyetlen anonim, neutrális, és szigorúanmonoton voksolási függvény, ami viszont megenged döntetlent.

Bizonyítás. Az egyszer¶ többségi szavazás triviálisan kielégíti ezeket a feltétleket.Az egyértelm¶séget indirekt bizonyítjuk, tegyük fel, hogy van olyan voksolási függvény, aminem egyszer¶ többségi. Ekkor vegyünk egy ilyen rendszert, és tekintsük egy olyan pro�lban,amiben az x jelölt nyer, noha a másik, y jelöltnél kevesebb szavazata van. Ilyen létezik,hiszen nem minden rendszer egyszer¶ többségi. Ekkor adjunk x-nek át annyi szavazatoty-tól, hogy pontosan forduljon meg a sorrend. Ekkor a monotonitás miatt x még mindignyer, de a neutralitás és az anonimitás feltétele miatt y-nak kéne nyernie.Hasolóan bizonyítható az az eset is, amikor y és x holtversenyben vannak. �

A May tétel gyakorlatilag azt a benyomásunkat er®síti meg, hogy két alternatíva közülegyszer¶en választhatjuk azt, amire többen szavaznak. Ha több alternatívát adunk a vá-lasztáshoz, amint látni fogjuk, jócskán bonyolítja a helyzetet, és sajnos negatív eredménytfogunk kapni.

3.2. Condorcet rendszerek

3.2.1. De�níció. Legyen DCondorcet ⊂ LN halmaz azon pro�lok halmaza, amelyekbenlétezik Condorcet-gy®ztes.

A következ® tulajdonságokat a tételhez fogjuk használni:

3.2.2. De�níció. Egy G voksolási függvény er®sen monoton, ha egy P pro�lt úgy módosí-tunk P ′-re, hogy egy szavazó ≤i preferenciáját ≤′i-re cserélve: ∀y : G(P ) ≥i y ⇒ G(P ′) ≥′i yteljesül, akkor G(P ) = G(P ′)

14

3.2.3. De�níció. Egy G voksolási függvény lefelé monoton, ha egy P pro�lt úgy módosí-tunk P ′-re, hogy egy szavazó ≤i preferenciáját ≤′i-ra úgy cseréljük, hogy egy G(P ) = b-t®lkülönböz® alternatíva helyzését csökkentjük, akkor a gy®ztes nem változik: G(P ) = G(P ′).

3.2.4. De�níció. Egy G voksolási függvény monoton, ha egy P pro�lt úgy módosítunkP ′-re, hogy egy szavazó ≤i preferenciáját ≤′i-ra úgy cseréljük, hogy egy a gy®z® alternatívátel®rébb soroljuk, akkor a gy®ztes nem változik: G(P ) = G(P ′).

Megjegyzend®, hogy közjóléti függvényekre másképp de�niáltuk a monotonitást.

3.2.5. Lemma. [2] Az alábbi következtetés fennáll a voksolási függvényekre:Taktikázásbiztos ⇒ er®s monoton ⇔ lefelé monoton ⇒ monoton.

Bizonyítás. Az els® következtetéshez tegyük fel, hogy nem manipulálható a szavazás, denem er®sen monoton. Vegyük a következ® hozzárendelést: <i→<′i, mely el®rébb helyezi agy®ztes a alternatívát úgy, hogy a veszít, és b nyer. (Ilyen hozzárendelés létezik, mivel nemteljesül az er®s monotonitás). Ha b >i a, akkor a szavazó jobban jár, ha a nem ®szinte<′i preferencia szerint szavaz (ezzel b nyer). Ha pedig a >i b teljesül, akkor az eredeti, <′ihelyett jobban jár a <i prefereniával. Ezzel ellentmondva a taktikázásbizotsságnak.

Az ekvivalenciához azt kell látni, hogy bármely módosítás, amit a lefelé monotonitásmegenged, azzal kihozható olyan P ′ pro�l, amit az er®s monotonitásban feltettünk. Ezvisszafelé is igaz, hiszen ha egy nem gy®z® alternatívát a sorrendbe lejjebb helyezve teljesülaz er®s monotonitás feltétele.

Az utolsó következtetés pedig szintén egyszer¶en látszik, hiszen ha egy nem gy®z® al-ternatívát hátrébb sorolunk, akkor továbbra sem nyer, ami a voksolási függvények mono-tonitási tulajdonsága. �

3.2.6. Lemma. Az A alternatívák halmaza álljon az a, b, c1, c2, . . . cm−2 lehet®ségekb®l,ahol m ≥ 3, és legyen F lefelé monoton voksolási függvény, ami A-ba hat. Legyen P egypro�l, amelyre f(P ) = a. Ekkor létezik olyan P ∗ pro�l, amelyre f(P ∗) = a, és:

- ∀i-re ahol a >i b, >∗i= a > b > c1 > · · · > cn−2 és

- ∀i-re ahol b >i a, >∗i= b > a > c1 > · · · > cn−2.

Bizonyítás. Figyeljük P szavazóit, és tegyük a rendezésük legaljára c1-t, és ezt végezzükel az összes szavazóra. Ezt ismételjük meg minden ci-re. Ekkor a rendezés pont úgy néz ki,mint ahogy azt fent de�niáltuk, továbbá a lefelé monotonitás miatt f(P ∗) = a. �

3.2.7. Tétel. (Campbell-Kelly) [3] Tekintsük az összes G : DCondorcet → A voksolá-si függvényt, ahol az alternatívák száma legalább három. A Páronkénti játszmák anonim,neutrális és taktikázásbiztos, és páratlan sok szavazó esetén az egyetlen ilyen.

15

Bizonyítás. Amennyiben létezik Condorcet-gy®ztes, a rendszer ®t fogja kihozni nyertes-nek, így a PMR anonim és neutrális. Hogy lássuk, hogy taktikázásbiztos, nézzük az i.szavazó (®szinte) szavazatát: ebben y >i x, ahol x a Condorcet-gy®ztes. Ha egy megváltoz-tatott szavazatot ad le, nem tudja módosítani x és y közötti meccs kimenetelét (hiszen ®már y-t segítette), így x biztosan legy®zi y-t, és y nem lehet Condorcet-gy®ztest.

Az egyértelm¶séghez ismét indirekt jutunk el. Tekintsünk a G neutrális, anonim éstaktikázásbiztos voksfüggvényt, ami a DCondorcet felett van értelmezve. Ha G 6= PMR,akkor legyen P ∈ DCondorcet tetsz®leges pro�l, aminek Condorcet-gy®ztese b. Ekkor fennáll:b 6= a = G(P ).

Mivel G taktikázásbiztos, emiatt lefelé monoton (3.2.5 lemma). Alkalmazhatjuk ekkora 3.2.6 lemmát P -re, így kapva P ∗-ot (P ∗ ∈ DCondorcet és G(P ∗) = a). Így:

- ∀i-re ahol a >i b, >∗i= a > b > c1 > · · · > cn−2 és

- ∀i-re ahol b >i a, >∗i= b > a > c1 > · · · > cn−2.

Mivel b volt eredetileg a Condorcet gy®ztes, és a és b relatív helyzetei megmaradtak, ezérttöbb b >∗i a szavazat van, mint amennyi a >∗i b. Egyesével cseréljük meg a és b helyzetéta b >∗i a-képp rendez® szavazatokban, amíg nem lesz annyi b >∗i a szavazat, mint amennyia >∗i b eredetileg volt. Mivel n páratlan, a pro�l DCondorcet halmazban marad. A monoto-nitás miatt még mindig a nyer, viszont a és b helyzetét megcseréltük, így a neutraitás ésanonimitás miatt b-nek kéne nyernie. Ellentmondásra jutottunk, azaz a Páronkénti játszmavalóban az egyetlen ilyen típusú voksolási függvény. �

Láttuk tehát, hogy ez a (sz¶kített értelemben) legjobb kiterjesztése a kétalternatívásesetnek, viszont a Condorcet-rendszerekkel kapcsolatban negatív eredményeink is vannak:

3.2.8. Állítás. Minden legalább három alternatívát tartalmazó Condorcet-típusú rendszermegsérti a konzisztencia kritérumát.

3.2.9. Tétel. (Moulin (1988)) Minden Condorcet-kiterjesztés megsérti a részvételi kri-tériumot.

Nem kell feltétlenül Condorcet-kiterjesztésnek lenni a rendszernek, tekintsük a következ®a tételt:

3.2.10. Tétel. Legyen n elegend®en nagy páratlan szám, és az alternatívák száma legyenlegalább 4. Ha F neutrális, anonim DCondorcet felett, akkor taktikailag manipulálható, vagymegsérti a konzisztencia kritériumát.

3.3. Arrow-tétel

Tekintsük a következ®, a diktatúrát jobban megvilágító tételt:

3.3.1. Tétel. (Arrow tétele) [1] Ha az alternatívák száma legalább három, akkor nemlétezik olyan teljes rendezést adó választási rendszer, amely egyszerre teljesítené a lényeg-telen alternatívától való függetlenséget, a diktátormentességet, és az egyhangúságot.

16

Bizonyítás. A tételt olyan formában fogjuk belátni, hogy feltesszük az IIA-t és az egy-hangúságot, és igazoljuk, hogy ekkor a rendszer diktatúra. A tétel sokfajta bizonyításaközül Geanakoplosét ismertetjük, amihez használjuk el®ször a következ® lemmát: [8]

3.3.2. Lemma. (Extremális lemma) [19] Ha egy választási rendszer kielégíti az IIA-tés az egyhangúságot, valamint ha a szavazók egy adott jelöltet vagy az els® vagy az utolsóhelyre tesznek, akkor a szavazatösszesítés után az adott jelölt vagy az els®, vagy az utolsóhelyre kerül.

Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy az A jelöltet mindenki els®, vagy utolsó helyre so-rolta, de léteznek olyan B és C jelöltek, hogy B > A > C. A lényegtelen alternatíváktólvaló függetlenség feltétele alapján A relatív pozíciója nem változik meg, ha minden sza-vazó megváltoztatja B és C helyzetét C-t el®rébb téve a rendezésükben, mint B-t. Ekkorviszont minden szavazó C-t preferálja B-vel szemben, és így az egyhangúság miatt, C > B

a végs® rendezésben is. Viszont a kiindulásunk az volt, hogy B > A > C, ebb®l B > C, ésez ellentmondás. �

De�niáljuk Pi választási pro�lok egy sorozatát. P0 legyen az a pro�l, amiben mindenkiegy adott C jelöltet utolsónak állít. Pi legyen az a pro�l, amiben az els® i szavazó C-t els®helyre rakja, míg a többi szavazó az utolsó helyre. Pi és Pi+1 között az csak az i. szavazósorrendje különbözik, aki az els®r®l az utolsó helyre rakja C-t.

Az extremális lemmát használva a Pi pro�lokra azt kapjuk, hogy C vagy els®, vagyutolsó helyen lesz a szavazatösszegzés után. A monotonitás miatt ekkor lesz egy olyan kszám, hogy Pi pro�lok i < k-ra az összegzés C-t utolsó helyre rakja, míg i ≥ k esetén pedigels® helyre. Ekkor a k. szavazó dönti el ebben a pro�lban C helyét.

Most megmutatjuk, hogy a k. szavazó ebben a pro�lban bármelyik két jelölt közöttisorrendet eldöntheti. Legyen A és B két másik jelölt. Válasszuk ki az egyiket, ez legyen A.Konstrulájunk egy új pro�lt, P ′-t amiben a k. szavazó A > C > B rangsorolja a háromjelöltet, és legyen a többi szavazónak a sorrendje tetsz®leges úgy, hogy C-t az els® vagyutolsó helyen hagyja, a korábbiaknak megfelel®en. A független alternatíváktól való men-tesség miatt a szavazatösszegzés A-t el®rébb teszi, mint C-t, mivel A és C relatív helyzeteimegegyeznek Pk−1-ben lév®vel, ahol C utolsó helyre került. Hasonlóképpen C > B, mivel arelatív helyzetek megegyeznek a Pk-ban lév®vel. Így A > C > B lesz az eredmény, ha a k.szavazó A > C > B-t szavaz. Ez az indoklás ugyanígy igaz, ha a k. szavazó B > C > A-tszavaz, tehát a k. szavazó dönti el a B és A sorrendjét. Ez tetsz®leges C-t nem tartalmazópárra igaz, tehát C-t nem tartalmazó párokra a k. szavazó el tudja dönteni.

De ez ugyanúgy elmondható, ha C helyett egy másik, mondjuk D-re alkalmazzuk ezt agondolatmenetet. Legyen a j. az a szavazó, amelyik el tudja dönteni mindegyik, D-t nemtartalmazó párra, hogy mi legyen sorrendjük. Feltettük, hogy legalább három különböz®jelöltre lehet szavazni, mondjuk most ezek legyenek az A, C és D. Ekkor ha j 6= k, akkora k. szavazó nem tudja megváltoztatni A és C relatív helyzetét, viszont erre képes voltkorábban, amikor a Pj−1-t és Pj-t hasonlítottuk össze. Tehát j = k, azaz a k. szavazóminden pár relatív helyzetét el tudja dönteni, azaz diktátor. �

17

3.4. Gibbard-Satterhwaite tétel

A. Gibbard és M. A. Satterthwaite egymástól függetlenül bizonyították ezt a tételt. [9] [17]Hasonlóan az Arrow-tételhez, ez is azt mondja, hogy a diktatúra az egyetlen feltételeknekmegfelel® választási rendszer. Ebben az esetben viszont a manipulálhatóságot vizsgáljuk.A bizonyításhoz, valamint a tétel pontos kimondásához már korábban de�niáltuk a szük-séges tulajdonságokat, egy új jelölést vezetünk csak be.

3.4.1. De�níció. Legyen S szavazók egy halmaza. Azt mondjuk, hogy S gátolja B-t A-valszemben (jelölés: A �S B), hogy ha minden S-beli szavazó A-t el®rébb helyezi a sorrend-jében, mint B-t, akkor B nem lesz megválasztva.

3.4.2. Tétel. (Gibbard-Satterthwaite) Ha legalább három jelölt van, minden egyhangúés taktikázásbiztos választási rendszer diktatúra.

Bizonyítás. [19] Könnyen látható, hogy A �S B-hez elég mutatni egy olyan pro�lt, hogyha S minden szavazója A > B-t szavaz, a többi szavazó mind B > A sorrendet állít fel,akkor B nem kerül megválasztásra. (Hiszen a maradék szavazó sz¶kebb részhalmaza semképes megválasztani B-t, ha az S-en kívüli összes szavazó nem tudta - az egyhangúságmiatt.)

3.4.3. Állítás. Legyen A, B és C három, egymástól különböz® jelölt, és S legyen a szavazókolyan halmaza, hogy A �S B teljesül. Legyen S = P ∪Q, ahol P és Q diszjunkt halmazok.Ekkor vagy A �P C vagy C �Q B teljesül.

Bizonyítás. Használva az állítást megel®z® gondolatot elég egy speciális esetet néznünk.Tekintsük a pro�lt:

P Q RA C BB A CC B A...

......

Ahol A, B és C jelölteken kívül minden más jelöltet utánuk raktunk sorrendbe. Az egy-hangúság miatt csak A, B és C közül kerülhet ki a gy®ztes, de ezek közül is a feltettük,hogy A �S B, így a korábbi megjegyzésünk miatt B nem lehet gy®ztes.

Amennyiben A nyer, A �P C, hiszen P minden szavazója A > C-t szavaz, míg a többiekfordítva rendezik, de nem C, hanem A gy®zött.

Fordítva: amennyiben C nyer, C �Q B teljesül hasonló gondolatmenettel. �A következ® lépés, hogy belátjuk, nincs szükség B-re, tetsz®leges D-re A �S D és

D �S B teljesülni fognak, ha A �S B valamely B-re. Az el®z® állítást használva P = S

választással következményként kapjuk ezt, ugyanis szavazók egy üres halmaza nem tudblokkolni egy jelöltet, így A �S D kell, hogy teljesüljön. Fordítva, ha P-t választjuk üreshalmaznak, akkor D �S B igaz.

18

A blokkolás fordítva is m¶ködik, azaz A �S B, akkor B �S A. Mert ha pl. C egy tetsz®-leges harmadik jelölt, akkor el®z® lépésben leírtak miatt A �S C is igaz. Újra használva,most a másik szerepre: B �S C, majd újra, ismét az els® szerepre: B �S A.

Diktátor halmaznak fogjuk nevezni minden olyan S halmazt, amelyre teljesül, hogyA �S B, minden A-B párra. Belátjuk, hogy van egyelem¶ diktátor halmaz, azaz diktátor.

3.4.4. Állítás. Ha S diktátor halmaz, és S = P ∪ Q, ahol P és Q nemüres diszjunkthalmazok, akkor vagy P vagy Q diktátor halmaz.

Bizonyítás. Ehhez el®ször azt lássuk be, hogy ha A �S B, akkor S diktátor halmaz.Legyenek C és D tetsz®leges jelöltek, be kell látnunk, hogy ekkor C �S D. Hasonlóan akorábbi gondolathoz, itt is kicserélgetjük az elemeket, és belátjuk, hogy tetsz®leges pártmeg tudunk csinálni, hiszen ha A = D, akkor megcseréljük A-t és B-t, majd kicseréljükB-t D-re. Hasonlóan, ha B = C. Egyéb esetekben pedig kicseréljük A-t C-re, B-t pedigD-re, és kész vagyunk.

Tehát tudjuk, hogy ha A �S B teljesül valamilyen A,B-re, akkor mindegyik párra, ésígy diktátor halmaz S. Ekkor használva az 3.4.3 állítást kapjuk, hogy vagy A �P C vagyC �Q B, azaz, mivel vagy P -ben, vagy Q-ban van blokkolás, így tetsz®leges blokkolás isvan bennük, tehát az egyik diktátor halmaz. �

A tételt lefelé haladó indukcióval bizonyítjuk. Tudjuk, hogy az egész halmaz diktátorhalmaz, hiszen ha mindenki egy adott, A jelöltet ír az els® helyre, akkor az nyer, ugyanis azegyhangúság szerint ha minden szavazóra A > B teljesül, akkor a végs® sorrendben is ilyenirányban kell állnia a relációnak. Ez mindegyik másik B jelöltre igaz, így az összes szavazóhalmaza diktátor halmaz. Ekkor vegyük a teljes halmaz egy P ∪ Q nemüres, diszjunktfelbontását, és az el®z® állítás értelmében tudjuk, hogy az egyik halmaz diktátor halmaz.Legyen ez a P. Mivel egyik halmaz sem üres, P elemeinek a száma szigorúan kisebb, mint azösszes szavazók száma, továbbá legalább 1 elemet tartalmaz. Ismételjük meg ezt a lépéstP-vel, véve egy P ′ ∪ Q′ felbontást. Hasonló elgondolással kapjuk a P ′ halmazt, aminekszintén nemüres diktátor halmaz, és szigorúan kevesebb eleme van, mint P-nek. Folytatvaa lépéssorozatot eljutunk addig, amíg a P∗ halmazig, ami egyelem¶, és diktátor halmaz,tehát az egyetlen elem benne diktátor. �

3.4.5. Megjegyzés. Létezik bizonyítás végtelen számosságra is.

19

4. fejezet

Választások

Miután de�niáltuk a választási játék fogalmát, most ismertetünk néhány fontosabb válasz-tási rendszert. Ezeket nem feltétlenül formálisan nézzük meg, valamint a dolgozat terje-delmére való tekintettel nem tudunk minden tulajdonságra bizonyítást vagy ellenpéldátszolgáltatni. [20] [15]

4.1. Többségi módszerek

Relatív többség

A May-tétellel megismerkedtünk a két alternatívás esettel. Ha páros sok szavazó van, le-hetséges döntetlen, de ett®l eltekintve ez a módszer mindig célra vezet.

Ha legalább 3 induló van, akkor könnyen elképzelhet®, hogy egyik jelölt sem szerzi mega szavazatok legalább felét, így a gy®ztes szigorú értelemben ebben az esetben nincs de�-niálva. Az relatív többségi (simple majority) választás ennek a kézenfekv® általánosítása:azt választjuk meg, aki a legtöbb szavazatot kapta, még akkor is, ha nem kapja meg a sza-vazatok legalább felét. Ezt másnéven First-past-the-post votingnak nevezzük. Alkalmazzákezt az egyszer¶ elvet olyan esetekben is, amikor több embert kell megválasztani, akkor a klegtöbb szavazatot kapott embert jelölik ki gy®ztesként. (Ez az ún. Single non-transferablevote vagy SNTV rendszer). Ez a világon használt legelterjedtebb rendszer, a magyarorszá-gi választási rendszernek is részét képezi. Ennek ellenére van olyan kritérium, amit nemteljesít, nézzünk erre példákat:

4.1.1. Példa. A relatív többségi szavazás nem Condorcet-rendszer:80 szavazó esetében 41 szavazat kellene a gy®zelemhez, és legyenek a választók prefe-

renciái a következ®k:30 27 23A B CB A BC C A

20

A példában a relatív többségi nyertes A, hiszen mindenki egy szavazatot ad le, mégpedigaz általa legszimpatikusabbnak ítélt jelöltet, így A nyer 30 szavattal, viszont a rendszernekB a Condorcet-gy®ztese, hiszen A-t 50-30, C-t pedig 57-23 arányban gy®zi le.

A relatív többségi szavazás teljesíti a többségi kritériumot, monoton, egyhangú és konzisz-tens, nem teljesíti azonban a klónfüggetlenséget (ld. 4.3.7 példa), és a Condorcet veszt®kritériumát sem.

Szekvenciális szavazás

A szekvenciális szavazás a relatív többségi egy változata. Több lépcs®ben választjuk ki agy®ztest, minden fordulóban csökkentve a jelöltek számát. A 4.1.1. példában tehetjük azt,hogy a második fordulóban A és B jelölt között döntünk többségi módszerrel, így B nyer.

Nevezhetjük többlépcs®s szavazásnak is, van kétfordulós (el®fordulós) szavazás is. Igenelterjedt módosítás, például az Egyesült Államokban ha egy párton belül többen is in-dulnának a választáson, el®választásokat tartanak, hogy melyikük induljon az országoselnökválasztáson.

Ezzel még mindig nem lesz Condorcet-rendszer, de Condorcet-veszt® kritériuma teljesül-ni fog. A többlépcs®s rendszer aszimmetriája miatt sérül a monotonitás, és a konzisztencia,valamint tudunk példát mutatni a részvételi kritérium és a lényegtelen alternatíváktól valófüggetlenség megsértésére is.

4.2. Preferencia alapú választások

A korábban de�niált közjóléti függvények, és voksolási függvények mentén továbbhalad-va, most olyan rendszereket fogunk tekinteni, ahol a választók egy teljes rendezést adnakpreferenciaként, és azt nézzük meg, ebb®l hogyan alakul a végleges sorrend, vagy hogyanválasztunk ki egyetlen gy®ztest. Ezekre a rendszerekre teljesülni fognak a korábban látotttételek (Arrow, Gibbard-Satterthwaite).

Ide soroljuk még a gyenge rendezéseket adókat is, valamint azokat, amelyek függetlenmin®sítést kérnek a jelöltekr®l.

Az ilyen rendszereket nevezzük preferencia alapúnak (vagy preferential voting-nak).

Min®sített párok

Ez a Páronkénti játszmák egy egyszer¶ általánosítása. Készítünk egy rendezést a jelölteken,és megkülönböztetjük az egy az egy elleni gy®zelmeket a következ®féleképpen: Nézzük alegnagyobb különbséggel rendelkez® párt (pl. A megverte B-t 20 szavazó esetén 18-2-re).Ekkor a rendezésben feltesszük, hogy A > B. Haladunk tovább úgy, hogy megtartsuka rendezés tranzitivitását, és így ha olyan feltétel jönne, ami a korábbiaknak ellentmond,akkor azt nem vesszük �gyelembe. Ha több ugyanolyan arányú nyertes van, akkor a rendszerlehet, hogy több gy®ztest is kihoz. Ha van Condorcet gy®ztes, akkor ez a módszer ®thatározza meg, de ha nincs, akkor is megjelöl egy vagy néhány gy®ztest, akik viszont

21

nem a Condorcet-vesztesek. Emellett a többségi kritérium, a klónfüggetlenség, valaminta montonitás is jellemzi ezt a rendszert. Megsérti azonban a konzisztencia és a részvételikritériumot, erre nézzünk egy példát:

4.2.1. Példa. A min®sített párok megsérti a részvételi kritériumot Tekintsük a következ®két pro�lt, és aztán vizsgáljuk meg a két pro�l unióját.

7 6 3 9 8 6A B C A B CB C A C A BC A B B C A

Tekintsük el®ször az els® szavazást. Összegezve az alternatívák párjait, és sorrendbe állítva,a következ®t kapjuk (indexben írva az elfogadás mértékét): B >13 C, A >10 B és C >9 A.Így az els® kett®t használva teljes rendezést kapunk: A > B > C.

A második szavazásban a következ® súlyokkal kapjuk a párokat: A >17 C, C >15 B ésB >14 A, azaz az összesítésben A > C és C > B áll, amib®l A > C > B az eredmény, ittis A a nyertes.

Tekintsük most a közös választást, 39 szavazóval. Itt a megfelel® párok súlyai: A >24 C,B >21 C és B >20 A. Ezek tranzitív relációt határoznak meg, mégpedig: B > A > C-t,azaz az összesítésben B a nyertes, noha mindkét részszavazásban A nyert.

Hare módszer

A Hare módszer (vagy instant-runo� voting, IRV ) teljes rendezést használ. A szavazatokalapján megnézzük, hogy melyik az a jelölt, akire a legkevesebben szavaztak els® helyen.Töröljük a jelöltet a halmazból lesz¶kítve a szavazók rendezését, és ismételjük ezt a lépést.Az utolsó lépésben egyszer¶ többséggel döntünk a megmaradt két jelölt között. Abban azesetben, ha az összegzéssel holtversenyt kapnánk az utolsó helyen, mindegyik ilyen jelöltetelimináljuk. Ekkor el®fordulhat, hogy valaki úgy nyer, hogy az utolsó fordulóban nincsabszolút többsége, csupán az összes többi jelölt kiesett.

Nézzünk egy példát a Hare módszerre, amiben azt is látni fogjuk, hogy nem teljesítisem a lényegtelen alternatíváktól való függetlenséget, sem a monotonitást.

4.2.2. Példa. Hare módszer

4 3 2 2A C C BB B A CC A B A

Els®körben senki nem éri el a hatos kvótát. A legkevesebb els® hellyel rendelkezettközül B-t töröljük, így C nyer 7-4-re. Ha azonban két szavazó megváltoztatja döntését

22

B > C > A-ra, a C > B > A-ra szavazott három közül, ezt kapjuk:

4 4 2 1A B C CB C A BC A B A

Ekkor el®ször C-t töröljük, és a választást A nyeri 6-5-re úgy, hogy A és C relatív helyzeteegyetlen szavazatban sem lett megváltoztatva.

4.2.3. Példa. Hare módszer

6 5 4 1B C A AC A C BA B B C

Ebben a pro�lban A-t és C-t ejtjük ki, mivel senki nem érte el a kvótát. Így B nyer.Ha egy ember megváltoztatja szavazatát, és B-t el®rébb sorolja A-nál (utolsó oszlop):

6 5 4 1B C A BC A C AA B B C

Ekkor szintén nincs meg a kvóta, A-t töröljük, és a két megmaradt versenyz® közöttC nyerne 9-7-re. Azaz annak ellenére, hogy egy jelölt el®rébb került az egyik szavazatban,hátrébb került a végeredményben, tehát nem teljesül a monotonitás.

Nem igaz rá továbbá a konzisztencia, a részvételi kritérium és a Condorcet-kritérium.Viszont a Condorcet veszt® kritériumot, a többségi kritériumot, és a klónfüggetlenségetteljesíti.

Coombs módszer

Coombs módszere a Hare-éhoz hasonló, de a szavazatok összeszámlálása után a legtöbbutolsó helyre írt jelöltet töröljük a halmazból, és a rendezést sz¶kítve ismételjük az eljárást.

Ez a módszer nem feltétlenül adja ugyanazt az eredményt, mint a Hare módszer.

Bucklin módszer

A Bucklin módszer szintén teljes rendezés alapú. A választás el®tt meghatározunk egykvótát (ez lehet pl. 50%+1, 2/3). El®ször a választók els® választását vesszük �gyelembe.Ha így összegezve a szavazatokat kapunk egy kvótát elér® jelöltet, ® nyert, ha nem, ak-kor hozzáadjuk a választók második jelöltjét is. Így is összegzünk, és folytatjuk a jelöltekhozzáadását, amíg nem éri el legalább egy ember a kvótát. Ha több ember éri el a kvó-tát, azt választjuk ki, amelyiknek több szavazata van, egyenl®ség esetén pedig folytatjuk amódszert.

23

Copeland

Condorcet eredeti választási rendszerének analógiájára csinálhatjuk azt is, hogy mindenkitmindenkivel versenyeztetünk, és ha valaki x páros választást nyert, y darabot vesztett,akkor x−y lesz az állása. Ezeket rendezzük, és a legjobb arányúakat vesszük bele egyenkénta rendezésbe, amíg teljes relációt nem kapunk.

Ez a választási rendszer az egyik legegyszer¶bb, viszont a gyakorlatban ezt alig használ-ják: bár Condorcet rendszer, az IIA-t, a klónfüggetlenséget, a konzisztenciát és a részvételikritériumot is megsérti.

Páros játszmák

Ehhez a választási rendszerhez szükségünk van a jelöltek egy sorozatára/listájára(agenda),ezt fogjuk használni. A jelölteket egymás után egy az egy ellen mérk®ztetjük egymással.A gy®ztes megy tovább, és a lista következ® tagjával mérettetik meg. A nyertes az utolsóforduló gy®ztese lesz. Ezt hívják amendment voting-nak.

Különböz® sportágakban is gyakran el®fordul ez a rendszer (angol:sequential pairwisevoting). Például alkalmazzák csoportbontás után, pl. a futballigákban.

Ez valóban Condorcet típusú rendszer, viszont a választás gy®ztese egyéb esetekbener®sen függ a sorrendt®l. A páros játszmák rendszere a többségi kritériumot, a Condorcetveszt® kritériumát és a monotonitást is teljesíti, viszont sem nem konzisztens, sem nemegyhangú.

Kemény-Young módszer

4.2.4. De�níció. (Kendall tau metrika) De�niáljuk két lineáris rendezés távolságát akövetkez®képpen:

dk(�,�′) = |{(a, b) ∈ A× A|a � b és b �′ a}|

Ez a metrika a lineáris rendezések közötti inverziókat számolja össze, és arra használjuk,hogy a szavazók elégedettségét mérjük vele a közös sorrend iránt.

De�niálhatjuk két pro�l távolságát is:

dk(P, P′) =

n∑i=1

d(�i,�′i) ahol �i a P , a �′i pedig a P ′ pro�l megfelel® tagja

4.2.5. De�níció. Adott � rendezéshez tartozó egyhangú pro�l az az U� pro�l, amelynekminden eleme �.

Ekkor a Kemény-Young eljárás megadja azt az egyhangú U� pro�lhoz tartozó � rendezést,amelyre dk(P,U�) minimális, azaz a lehet® legkisebb távolságra van a pro�l rendezéseit®linverziók tekintetében. Az eljárást nem fejtjük ki.

Látható, hogy a rendezésben a Condorcet-gy®ztesnek kell az els® helyen állnia, amennyi-ben létezik, ellenkez® esetben a dk(P,U�) szigorúan csökkenne, ha feljebb raknánk Condorcet-gy®ztest a � rendezésben.

24

4.2.6. Tétel. (Young, Levenglick (1978)) Kemény-eljárás az egyetlen neutrális, és kon-zisztens Condorcet-kiterjesztés.

Ez talán ellentmondást jelentene korábbi megállapításainkkal, (3.2.8 állítás) viszont aKemény-Young eljárás valójában nem közjóléti függvény, mert nem egyértelm¶ a függ-vény értéke. Így nem közjóléti függvényként értelmezve, hanem olyan függvényként, amirendezések egy halmazát adja vissza (ami minimalizálja a távolságot a pro�ltól a dk metrikaszerint), így valóban lehet egyszerre Condorcet-kiterjesztés és konzisztens.

A Kemeny-Young az ismertetett eljárások közül az egyetlen, ami exponenciális futáside-j¶, így nagyobb rendszerekre nem alkalmazható, viszont közelít® algoritmusok is ismertek.

A rendszer hátterét adó metrika miatt nem lesz konzisztens, klónfüggetlen, a részvételikritériumot sem teljesíti, de a monotonitás igaz.

Schulze módszer

Vizsgáljunk meg a jelöltek halmazán képzett összes párt. De�niáljuk egy d függvényt, amitetsz®leges A és B jelöltekre megadja azon szavazatok számát, amiben a válaszók A > B-ként rendezték a két jelöltet (hasonlóan a min®sített pároknál). Ezzel de�niálhatunk aszavazást reprezentáló gráfot. Vegyünk egy teljes, irányított gráfot, melynek a csúcsai azalternatívák, és minden (A,B) élére írjuk rá a megfelel® d(A,B) értékeket. Legyen egyút értéke a legkisebb él értéke. Ekkor a Schulze módszer A > B-t ad ki eredményül, had(A,B) > d(B,A). Belátható, hogy egy tranzitív rendezést kapunk, ha ezt minden párraelvégezzük. [18]

Ha d(A,B) = d(B,A), akkor a módszer A-t és B-t egyenl®ként rendezi.A Schulze módszerét nem részletezzük, az ezt végrehajtó algoritmus, melyet Schulze a

cikkében leír O(n3) lépésben megadja a nyertest.Schulze módszere jól kisz¶ri a klónokat, monoton, és Condorcet-rendszer is, viszont nem

konzisztens és nem teljesül a részvételi kritérium.

4.2.1. Pontozásos módszerek

Rendezéses rendszerek

4.2.7. De�níció. A w = (w1, w2, . . . wn) valós számokat tartalmazó vektor. A vektortpontszámvektornak, elemeit pontértékeknek nevezzük. w rendes, ha w1 ≥ w2 ≥ · · · ≥wn, és w1 > wn. A vektorhoz tartozó pontszámítási szabály : a legels® helyezett w1, amásodik w2 és stb. pontszámot kap, ezeket egy jelöltre összeadjuk, és a gy®ztes a legnagyobbpontszámú alternatíva lesz. Rendes pontszámítási szabály a rendes pontszámvektor általindukált pontszámítási szabály.

Néha azt is megkövetelhetjük, hogy a pontszámok nemnegatívak legyenek. A gyakorlat-ban használt legtöbb pontszámítási vektor ilyen. Néhány példa:

• Borda: w = (n, n− 1, n− 2, . . . 1)

25

• Relatív többségi szavazás: w = (1, 0, . . . 0)

• Anti-pluralitás: w = (1, 1, . . . 1, 0)

• k-elfogadási: w = (1, 1, . . . 1, 0, . . . 0), ahol k darab egyes szerepel a vektorban

• Formula 1: w = (25, 18, 15, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 1, 0, . . . 0)

A szabály gyakran az, hogy veszik a legkisebb pontszámú alternatívát, és azt kizárjáka rendezésb®l. Újraszámlálják a szavazatokat, és újra kiveszik a legalacsonyabb pontszámújelöltet. A végén lehet, hogy egy jelölt marad, vagy valaki abszolút többséget szerez, ekkor®t jelöljük ki gy®ztesként.

Erre példa Baldwin módszere, ahol minden körben a legkisebb Borda pontszámú játé-kost kivesszük a rendezésb®l, és az utolsó körben megmaradt alternatíva lesz a nyertes.A Nanson-szavazás ett®l abban különbözik, hogy minden körben kivesszük a rendezésb®laz átlagos Borda pontszám alatt lév® jelölteket, és ezt addig ismételjük, míg végül egylehet®ség marad csak. Ez a két rendszer Condorcet-rendszer.

A teljesség igénye nélkül további példák: Alternative Vote, Hare módszer, Single Trans-ferable Vote (STV), Instant Run-o� Voting (IRV), és a Ranked Choice Voting (RCV).

4.2.8. De�níció. Összetett pontozási szabálynak nevezzük pontszámvektorok egy wi so-rozatát, azzal a módszerrel, hogy összegezzük a pontszámokat w1 vektor szerint, és haegyenl®ség lenne, akkor w2 vektor pontszámai döntenék el a helyezést. Ha maradnánakegyenl® pontszámok, akkor w3-t használnánk, és így tovább, amíg nem kapunk n nem-egyenl® számot, ami megadja a sorrendet az alternatívák között.

Bizonyítás nélkül közlünk néhány ehhez kapcsolódó állítást:

4.2.9. Tétel. (Smith, 1973; Young 1975) [21] Az anonim, neutrális, és konzisztens voks-függvények pontosan az összetett pontozási szabályok.

Nézzük a leggyakrabban alkalmazott pontozást: a Bordát. Az el®z® tétel mellett mástulajdonságát is tekinthetjük, pl. nem teljesíti az IIA-t:

4.2.10. Példa. Tekintsünk a következ® pro�lt:

5 3A CB BC A

Ekkor A, B és C rendre 18, 16 és 14 pontot szereznek. Ha azonban a második oszlopbanC és B sorrendjét felcseréljük, (C és A relatív sorrendje megmarad), akkor a következ®tkapjuk:

5 3A BB CC A

26

Ekkor a pontok rendre: 18, 19 és 11 lesznek: Tehát noha A és C relatív sorrendje nemváltozott, a szavazatösszegzés után mégis megfordult a sorrendjük, azaz nem teljesül azIIA.

Az ellenpéldákat nem fejtjük ki, de a Borda-pontozás nem Condorcet-rendszer, valamintnem teljesíti sem a többségi kritériumot, sem a klónfüggetlenséget, viszont a részvételi ésCondorcet veszt® kritériumát igen.

Skálaszavazás

A range voting (vagy score voting) is pontozásos módszer, azonban ahelyett, hogy azono-sítanánk a helyezetteket az alternatívák teljes rendezésén, megengedjük, hogy ®k magukmin®sítsék azokat.

Az egyik legegyszer¶bb eset, hogy a játékosok minden jelöltet értékelnek egy skálán.Ezeket a pontokat szummázzuk egy jelötre, majd a legtöbb ponttal rendezlkez® lesz anyertes.

Ez az egyik legelterjedtebb szavazási módszer, használják sportversenyeknél, az okta-tásban, vagy éppen különböz® éttermeket, vagy �lmeket rangosoroló honlapoknál is (pl.IMDB). Ennél egy fokkal összetettebb rendszert használnak pl. m¶- és toronyugróknál,ahol 3 zs¶ri pontoz, az összeget pedig felszorozzák az ugrás nehézségével, így kapva egysúlyozott pontszámokból álló listát.

A skálaszavazás, teljesíti az Arrow-tétel feltételeit,(v.ö. Arrow-tétel (3.3.1))) így az dik-tatórikus rendszer, viszont több el®nyös tulajdonsága van, és miatt sokan javasolják poli-tikában alkalmazott választások lebonyolítására: klónfüggetlen, monoton, konzisztens és arészvételi kritériumot is teljesíti.

A skálaszavazás egyik hátránya, hogy nem biztos, hogy a vélemények jól tükrözödnék aszámokban (nem biztos, hogy mindenkinek ugyanazt jelenti az 3/5-ös értékelés). A m¶ugrózs¶rik például egy tréningen vesznek részt, amiben meghatározzák milyen szempontokatvegyenek �gyelembe. Másrészt er®sen manipulálható a szavazás: ha a számunkra kevés-bé szimpatikus jelölteket irreálisan alacsonyabb pontszámmal látjuk el, er®sen növeljüka preferált alternatívánk gy®zelmének esélyét. A skálaszavazás nem Condorcet-rendszer,Condorcet veszt® kritériumát, valamint a többségi kritériumot sem elégíti ki.

Osztási szavazás

A skálaszavazáshoz hasonló rendszer (cumulative voting). A szavazók pontozzák a jelölteketazzal a feltétellel, hogy összesen meghatározott számú pontjuk van. Ez lehet pl. egy egészszám (mintha többet szavaznának) és csak egészre darabolhatják, de lehet akár 1, amittetsz®leges valós részekre oszthatnak szét. A pontok összegét veszik alapul az eredménynél,a legtöbbet kapott lesz a gy®ztes. Ez gyakorlatilag a skálaszavazás speciális esete, de sokel®bb tárgyalt rendszer felfogható az osztási szavazás speciális esetének, amikre egy újabbalternatívát (senki) hozzáadva vezethetjük vissza.

27

Használják vállalatoknál vezérigazgató választásakor: minden alkalmazott a beosztásaalapján kap k darab szavazatot. El®fordulhatnak er®s frakciók, így akár adhatják egyetlenjelöltnek az összes pontjukat is a szavazók.

Monoton, konzisztens a részvételi kritérium teljesít®, de az IIA-t, a Condorcet és atöbbségi kritériumot megsért® rendszer.

4.2.2. Jóváhagyás alapú

A rendezésekt®l eltér® hozzáállást fogunk nézni: a szavazók kijelölik a szavazók egy részhal-mazát, amik tartalmazzák a számukra elfogadható jelölteket. Ez az úgynevezett approvalvoting [12]. Nincs megmondva, hogy hány embert kell megjelölniük - lehet, hogy senkire se,lehet, hogy mindenkire szavaznak. Variációi a választásnak: megszabhatják pl. a minimálisvagy maximálisan megjelölend® jelöltek számát.

A szavazatokat százalék formájában összegzik, mégpedig úgy, hogy a szavazók hány szá-zaléka tartotta elfogadhatónak az adott alternatívát. Egy jelöltre ezt nevezzük jóváhagyásiaránynak. Bizonyos esetekben egy el®re megadott kvótát kell elérni, pl. 50%-ot, máskorpedig meghatározott számú gy®ztest szeretnénk, és a jóváhagyási arány szerinti rendezettlista elején lév® k alternatívát jelöljük meg gy®ztesnek. Ekkor például el®fordulhat, hogydöntetlenek alakulnak ki. Ilyenkor célszer¶ egy többfordulós módszerrel ötvözni (különszavaztatjuk a szavazókat a két jelölt között), így kapva végleges eredményt. Amennyibenkvótát kell elérni, el®fordulhat hogy senki se éri el kvótát, vagy az is, hogy többen elérik,tehát a nyertesek száma nem el®re meghatározott.

Ha a közjóléti függvényeket gyenge rendezésen is értelmezzük, akkor a következ® tételtkapjuk:

4.2.11. Tétel. [12] Egy gyenge rendezést adó közjóléti függvény pontosan akkor elfogadásiszavazás, ha egyhangú, anonim, független a lényegtelen alternatíváktól.

Az egyhangúságot kiterjesztjük a nem összehasonlíthatóságnál is, egyébként nem telje-sítené ezt a kritériumot.

Az elfogadási szavazás nem Condorcet-szavazás, és a Condorcet veszt® kritériumát semteljesíti. Klónfüggetlen, monoton, konzisztens, és teljesíti a részvételi kritériumot.

Jóváhagyás alapú rendszerek vannak például cégeknél új alkalmazottak felvételénél. Vanegy minimum követelmény, hogy jelentkezzen az állásra, és ezen felül több interjúztatóvéleménye alapján kerülhetnek be dolgozók. Ki-ki szavaz a jelöltekr®l: ki az, akit el tudnakfogadni, és a végén összegezve (akár kvótás, akár a legmagasabb jóváhagyási arányt kapottk darab) kerülnek be a jelöltek a céghez.

Jóváhagyás alapján jobban lehet reprezentálni az emberek harmadik lehet®ségeit (pl.pártszavazások), viszont nem rendezi relatívan a jelölteket. Gyakorlatilag az ókori Spártá-ban is így szavaztak. Azt a jelöltet választották meg, aki esetén a legnagyobb volt a tömegkiabálása.

4.2.12. Példa. Nézzünk egy példát egy összetettebb szavazási rendszerre: az új zélandizászló referendumára.

28

4.1. ábra. Az új zászlók

2015-t®l 2016-ig tartottak Új Zélandon a népszavazást, abban a kérdésben, hogy a la-kosság szeretne-e új zászlót az országnak. A régi zászló tartalmazta az Egyesült Királyságzászlóját, ami kiváltó oka volt a referendum megtartásának. Kétfordulós voksolási rend-szert írtak ki, el®ször az új zászlóról döntöttek, majd arról, hogy maradjon-e a régi, vagyez a kiválasztott legyen az új lobogó.

2015 szeptemberére választotta ki a felel®s bizottság a szavazásra bocsátott zászlókat,melyeket az 4.1. ábrán láthatunk. A motívumok közül sok hasonló is akad: a páfrány 3típusban is szerepel, így ha egyszer¶ többségi szavazást írtak volna ki, a szavazatok meg-oszlódtak volna a hasonló alternatívák között. Mivel politikailag fontos volt a kérdés, ezértegy elfogadási rendszert készítettek, ami skálaszavazáson alapult. Egyedi szavazatokat ad-hattak le a választók: tetsz®leges számú zászlót kiválaszthattak, és azokat rangsorolhatták.Ebben a rendszerben ha nem rangsoroltak egy alternatívát, akkor az a listájuk legaljárakerült. Ezekre a szavazatokra alkalmazták a Hare módszert, ezzel �gyelembe véve az em-berek másodlagos alternatíváit, és végül a nyertes a jobb alsó kék-fekete páfrány lett a délkeresztje motívummal. (Relatív többségi szavazás alapján a fels® sor jobb oldali zászlójanyert volna.)

Másodszor a lobogó lecserélésér®l szavaztak: az új és a régi zászló közül kellett dönteni.A végeredmény 56.7%-kal a zászló megtartása lett.

4.3. Ellenpéldák, manipuláció

A következ® két példában bemutatjuk, hogy az ismertetett választási rendszerek mennyirekülönböz® eredményeket adhatnak.

Egyértelm¶ség

4.3.1. Példa. 5 különböz® jelölt van (A-E), és a következ® sorrendekre ennyien szavaztak:

36 24 20 18 8 4A B C D E ED E B C B CE D E E D DC C D B C BB A A A A A

29

Végezzük el néhány korábban ismertetett rendszerre a szavazatösszegzést:

1. Abszolút többségi: Nincs többségi gy®ztes.

2. Egyszer¶ többségi: A-t jelölték meg legtöbben els® helyen, így A gy®ztes.

3. Többfordulós: Ha a két legtöbb szavazatot elért ember között rendezzük meg a má-sodik fordulóját a választásnak, akkor azt kapnánk eredményül, hogy B megveri A-t110-74-re, így B nyer.

4. Hare módszer: Mindig a legkevesebb els® hellyel rendelkez® embert zárjuk ki. El®szörE-t 12 els® hellyel. Ezután összesítve A 36, B 32, C 24, D-nek pedig 18 els® helyevan, így D-t töröljük. A 36, B 32, C pedig 42 els® helye után B-t vesszük ki, és A ésC között pedig C nyer 110-74-re.

5. Borda pontozás: Ellen®rizhet®, hogy a jelölteknek a következ® lesz a pontszámuk:

A B C D E254 312 324 382 378

D lesz a gy®ztes.

6. Condorcet: E Condorcet gy®ztes, mert megveri mindegyik jelöltet. (A-t 74-36, B-t66-44, C-t 72-38, D-t pedig 56-54 arányban)

Ez a példa jól mutatja, hogy ebben az esetben a rendszert®l függ®en bármelyik jelöltetki tudjuk hozni gy®ztesnek. Minden kritériumot teljesít® választás nincs, és felmerülhet akérdés, hogy mégis mit használjunk a gyakorlatban. Erre azt a választ lehet adni, hogyhasználjuk azt, amit az adott helyzet megkövetel. Van ahol a klónfüggetlenség fontosabb,mint a konzisztencia, és fordítva - a lényeg, hogy a voksolás megalkotói tisztában legyeneka rendszerük jellemz®ivel, és határaival.

Manipuláció

A következ® példában a választás manipulációját elemezzük.

4.3.2. Példa. Tekintsük a következ® Hare-módszer szerint lezajló választást.

8 6 5A B CB C DC A AD D B

30

Ebben a példában a Hare-módszer szerint el®ször D-t (0 els® helyezettel), majd C-telimináljuk, aztán A nyerne a következ® lépésben 13-6-ra. Tegyük fel azonban, hogy a B-C-A-D-re szavazott 6 ember közül egy megcseréli B és C sorrendjét. Tekintsük a módosította táblázatot a szavazatokkal:

8 5 5 1A B C CB C D BC A A AD D B D

Nézzük most milyen eredményt hoz Hare szerinti választás. Hasonlóan az el®bbihez,most is D-t vesszük ki el®ször 0 els® hellyel, viszont utána B-t elimináljuk ki, mivel nekicsak 5 els® helye van, C-nek pedig 6. Az utolsó lépésben C megveri A-t 11-8-ra, így az azegy szavazó, aki módosította a sorrendjét biztosította, hogy C-t jelölje meg a Hare-metóduseredményképp, és nem A-t. Ez annak ellenére történt, hogy a szavazók többsége B-t el®rébbhelyezi, mint C-t.

Ahogy a példában látható, néha kis módosítás is elég hogy a végeredményben nagyváltozásokat okozzunk. Mivel a manipuláció kiküszöbölhetetlen (vagy legalábbis ebben azesetben), nézhetjük a kimenetel pro�lokról való függését a taktikázáson keresztül.

Ha nem manipulálható egy rendszer, akkor azért is árat kell �zetni: más, ésszer¶ feltéte-lek nem teljesülnek, és így igazából nem kapunk praktikus rendszert. Az, hogy egy rendszerelméletileg manipulálható, még nem jelenti azt, hogy ezt a gyakorlatban is meg lehet tenni,ugyanis:

- Ahhoz, hogy manipuláljunk, az összes többi szavazó szavazatát ismernünk kell. Ez agyakorlatban ritkán teljesül.

- Meg kell bizonyosodnunk arról, hogy más játékos nem akarja manipulálni a szava-zást. Ha mégis így van, a játékelmélet más részterületén, nemkooperatív játékkéntmodellezhetjük a helyzetet.

- Ki kell számolnunk, hogy megtudjuk, mit kell szavaznunk a kívánt eredmény elérésé-hez.

A gyakorlat szempontjából az utolsó pont t¶nik talán a legkevésbé fontosnak, viszontezzel kapcsolatban több eredmény is született, ami mint elméleti problémát foglalkoztatottszámos kutatót.

4.3.3. De�níció. (Manipuláció probléma) Tegyük fel, hogy minden szavazó szavazataismert, az az egy P pro�l a manipulátor szavazatának kivételével. A feladat: tud-e úgyszavazni a manipulátor, hogy egy adott jelölt gy®zzön, és ha igen, akkor mit kell szavaznia?

A manipuláció problémájának sok változata van, ilyen például a koalíciós manipulációprobléma: szavazók egy halmaza a manipulátor, ismerik a többi szavazó szavazatát. Akérdés az, hogy belássuk, hogy tudnak-e úgy szavazni, hogy egy adott jelölt nyerjen.

31

4.3.4. De�níció. Azt mondjuk, hogy egy szavazási rendszer kielégíti a BTT feltételeket,ha:

• polinomiális id®ben futtatható

• minden P pro�lhoz, és alternatívához a rendszer egy S(P, a) pontszámot rendel úgy,hogy a legnagyobb pontszámú jelölt gy®z.

• a következ® monotonitás szabály érvényes: Ha módosítjuk a szavazást úgy, hogy tet-sz®leges a-ra ha minden szavazó nem helyezett el®rébb olyan b jelöltet, melyre a > b

fennállt eredetileg, akkor a módosított P ′ pro�lra S(P, a) < S(P ′, a) teljesül, azaz apontszám nem csökkenhet ilyen esetben.

4.3.5. Tétel. (Bartholdi (1989)) A manipulációs probléma polinomiális id®ben megold-ható a BTT feltételeket teljesít® rendszerekre.

Útmutatás: a-t legel®re rakva, a többi jelöltre megnézzük a pontszámokat, és mindigolyanokat rakunk a következ® helyre, akik nem gy®zik így le a-t, belátható, hogy ez akonstruktció jó, és polinomiális id®ben meghatározható a válasz.

Meglehet®sen nagy irodalma van a manipulációs kérdésnek, és külön-külön minden rend-szert elemezhetünk. Amennyiben egy manipulátor van, a legtöbb rendszerr®l polinomiálisid®ben eldönthet®, hogy manipulálható-e: például a Copeland, a Borda, a többségi ilyenek.Ha több manipulátor van, már nagyobb számítási gátba ütközünk: a Borda, a Baldwin, ésaz STV is NP-belinek feladatnak bizonyul.

4.3.6. Tétel. A koalíciós manipulációs probléma a súlyozott többségi szavazásra NP-teljes.

Útmutatásként: a partícionálási problémára vezetjük vissza, hiszen adott koalíció wisúlyait kell felosztani több jelölt között úgy, hogy semelyik másik ne nyerjen a preferálta-val szemben.

A gyakorlatban használnak olyan választási rendszereket, amik végeredményét nem tud-juk polinomiális id®ben kiszámolni. Noha ezek valóban nem használhatók sok alternatí-va/szavazó esetén, mégis a komplexitásuk adja, hogy a választás a gyakorlatban nem leszmanipulálható. [6]

A manipuláció témaköréhez tartozik a taktikai nevezés is. A taktikus nevezés azt jelenti,hogy a választási rendszerünkben az alternatívák között több hasonló alternatívát adunkmeg. Amennyiben a rendszerre nem teljesül a klónfüggetlenség, következ® problémák áll-hatnak fent.

4.3.7. Példa. 1969-ben egy kanadai kisváros, Thunder Bay nevér®l tartottak szavazást.Egy új név nagyon népszer¶ lett: a Lakehead. A választást megalkotók nem akartak vál-tozást a város nevében, így három alternatívát adtak a névre: Thunder Bay, Lakehead,és The Lakehead. Mivel csak egy szavazatot lehet leadni, és mint az várható volt, a réginevet elutasítók megosztódtak a két új név között, és így végül a város nevét nem változ-tatták meg. A végs® arányok jól tükrözik a szavazók igényét: 15870 - Thunder Bay, 15302- Lakehead, és 8377 - The Lakehead. [18]

32

5. fejezet

A választóer®

5.1. De�níciók

Az alábbiakban a 2.4.2 de�níció jelöléseit fogjuk használni.

5.1.1. De�níció. Legyen G = (N, v) tetsz®leges választási játék. Az index (er®index vagyválaszóer®) egy k : v → R+

0N függvény.

Ez a függvény koalíciós függvényhez vektort rendel, azaz adott játék esetén mindenszavazó egy nemnegatív számot kap. Ezt a számot nevezzük az adott játékos indexének.A továbbiakban azonos N játékoshalmazon dolgozunk, a játékok között csak a v koalíciósfüggvénnyel teszünk különbséget.

5.1.2. De�níció. Azt mondjuk, hogy egy k index anonim, ha minden G választási játékra,és π játékosok permutációjára

ki(πv) = kπ(i)(v) ahol πv(S) = v(π(S)) ∀S koalícióra

5.1.3. De�níció. Azt mondjuk, hogy egy k index teljesíti a nullszavazó axiómát, ha egynullszavazónak nem lehet ereje, azaz:

i nullszavazó ⇒ ki(v) = 0

Legyen G és G′ két választási játék közös szavazóhalmazzal (N). Jelöljük a koalíciósfüggvényeiket v-vel és w-vel. Ekkor de�niálhatjuk az G ∨G′ és G ∧G′ játékokat, melynekkoalíciós függvényei v ∨ w és v ∧ w, ahol tetsz®leges S koalícióra

(v ∨ w)(S) = max{v(S), w(S)} és v ∧ w(S) = min{v(S), w(S)}

Ezek a választási játékok jól modelleznek olyan helyzeteket, mikor egy döntés megszületé-sének több kritériuma van, és mindegyiket teljesítenie kell a koalíciónak.

5.1.4. De�níció. A k indexre teljesül az átviteli axióma, ha ki(v) + ki(w) = ki(v ∨ w) +

ki(v ∧ w) ∀i ∈ N

33

Végül pedig két karakterisztikus de�níció:

5.1.5. De�níció. (Shapley teljes érték axióma) Tetsz®leges (N, v) választási játékra∑i∈N

Φi(v) = 1

5.1.6. De�níció. (Banzhaf teljes érték axióma) Tetsz®leges (N, v) választási játékra∑i∈N

psii(v) =1

2n−1

∑i∈N

∑S3i

v(S)− v(S\{i})

5.2. Indexek

Fontosabb indexek

Arányos index

A legegyszer¶bb módszer a szavazók választóerejéhez, ha a rendszerb®l adódó súlyokkalde�niáljuk a szavazók erejét. Például a súlyozott többségi szavazásnál az adott wi súlyokatkapják meg a szavazók, leosztva persze az összsúllyal.

Megmutatható, hogy ez a triviális index mentes sok paradoxontól, ami a többi indexnélfennáll, viszont majd arra is látunk példát, amikor nem reprezentálja jól a relatív er®ket,például kevés ember esetén.

A Shapley-Shubik index

A Shapley-Shubik módszer a következ®. A szavazók sorban szavaznak. Amint a szavazáskimenetele biztos (pl. 2/3 elérése - ez a rendszert®l függ), azonnal lezárul a választás. Azta szavazót, aki a dönt® szavazatot leadta (az utolsót), pivot szavazónak fogjuk nevezni.Egy szavazó Shapley-Shubik indexe azon esetek száma, amelyben pivot szavazó, leosztvaaz összes eset számával.

Φi =∑S3i

(s− 1)!(n− s)!n!

(v(S)− v(S\{i}))

Mivel a sorrend fontos, n szavazó esetén n! sorrend lesz, így a Shapley-Shubik index számo-lása már kisebb esetekben is nagy számolókapacitást vehet igénybe. Jóllehet, a kerekítettérték a faktoriálisra vonatkozó becsléssel könnyen kiszámítható. Amennyiben szebb esetünkvan, egyszer¶bb lesz a számolás(v.ö. 5.5.2 tétel).

A Shapley-index a TU-játékok Shapley-értékéb®l származik, viszont a részletesebb le-vezetést itt nem közöljük.

34

A Penrose-Banzhaf index

Banzhaf elgondolása is hasonló volt, viszont annyiban módosította Shapley elképzelését,hogy mivel a legtöbb szavazási rendszerben nem sorban zajlik a szavazás, így a végs® dön-tésben nem is kell számításba venni, hogy eredetileg hogyan, milyen sorrendben szavaztak.Ezért nem érdemes sorrendbe rakni a szavazókat, hanem az összes gy®z® koalíciót kelltekinteni, és azokat az esetek összeszámolni, ahol kritikus a szavazó.

Tehát egy adott szavazó Banzhaf indexe: azon esetek száma, amikor a szavazó kritikusegy gy®z® koalícióban. Az összes eset száma n szavazó esetén 2n−1, mivel annyi darabrészhalmaza van a szavazóknak, aminek i része.

ψi =1

2n−1

∑S3i

v(S)− v(S\{i})

Speciálisan a súlyozott játéknál: tegyük fel, hogy egy gy®z® koalíciónak x szavazat van, ésegy q kvótát kell elérni. Szükségképpen x ≥ q. Ekkor a koalíciónak x − q plusz szavazatavan, így kritikus szavazó csak az lesz, akinek több mint x− q szavazata van.

Megjegyzés: Stra�n indexnek is hívják az általános alakját, amennyiben nem 1/2-1/2az esélye, hogy a többi szavazó hogyan szavaz. Mi ezt az általánosított változatát nemtárgyaljuk.

Egyéb indexek

1. A Coleman indexb®l két típus van: kezdeményez® (initiate) index azon esetek száma,amiben a választó kritikus egy veszt® koalícióra nézve, míg a megakadályozó (prevent)index a gy®z® koalícióra nézve kritikus eseteket számolja össze.

2. A Johntson index : Míg a Banzhaf indexnél egy S koalícióra nézve ugyanakkora súllyalkerült számításba, addig Johntson által számolt érték fordított arányos a koalícióelemszámához képest. Ez jobban kedvez a kisebb koalícióknak, viszont a koalíciókmögötti valószín¶ségi egyformák.

3. A Deegan-Packel indexe a Johntson egy módosítása. Valójában azok helyett a koalíci-ók helyett, amiben a szavazó kritikus, csak azokat számoljuk össze, amelyek minimálisgy®z® koalícióknak tagja.

4. Holler Public Good Index -et röviden csak PGI-nek hívják. Ez az index Banzhaf egymódosítása, amiben csak a minimális gy®z® koalíciókat vesszük számításba, viszont aDeegan-Packellel ellentétben nem kap fordítottan arányos értéket a minimális gy®z®koalíció létrehozásáért.

5.3. Jellemzés

A dolgozat terjedelmére való tekintettel összefoglalunk néhány fontosabb eredményt.

35

A feltett axiómák jól karakterizálják a két példát:

5.3.1. Tétel. (Dubey(1975)) A Shapley-Shubik index az egyetlen anonim választóer®,ami teljesíti a nullszavazó, az átviteli és a Shapley teljes érték axiómát.

5.3.2. Tétel. (Dubey és Shapley(1979)) A Banzhaf index az egyetlen anonim válasz-tóer®, ami teljesíti a nullszavazó, az átviteli és a Banzhaf teljes érték axiómát.

Az imént de�niált indexek racionális feltételekb®l indultak ki, de amint látni fogjuk,más, szintén ésszer¶ feltételeket nem teljesítenek. Vizsgáljuk most az indexeket a következ®három eset szempontjából, amikben módosítjuk a választási játékot (más forrás parado-xonként hivatkoznak rá):

1. Jelöljük (Nij, vij)-vel azt a játékot, amiben az i. és a j. szavazót összevonjuk, azazúgy tekintünk rá, mintha egy szavazó lenne. (súlyok esetén összeadjuk a súlyukat).Ekkor indexeik is így viselkednének, azaz ki(v) + kj(v) ≥ kij(v) (Property of size).

2. Ha új tagokat adunk hozzá az N halmazhoz, az nem növelheti egyik szavazó erejétsem. (Property of new members)

3. Ha két koalíció nem fog össze, az nem növelheti egyikük választóerejét sem. (Propertyof quarelling members)

Valójában a három fontosabb index közül csak az arányos index kerüli el ezeket a parado-xonokat, Shapley és Banzhaf indexei mindhárom paradoxont magukban hordozzák.[10]

Ezek az esetek a valóságban is megjelenhetnek, és fontos, hogy a választási rendszerekkorábban tárgyalt tulajdonságai mellett újabb jellemzést kaphatunk az indexeket használ-va.

5.3.3. Példa. A gyakorlatban hozott példa az 1958-as formálódó Európai Unió MiniszteriTanácsának választási rendszere. Ebben, amint láthatjuk, példát kapunk a nullszavazóparadoxonra.

A tanács felépítése: Németország, Franciaország és Olaszország 4, Belgium, Hollandia 2,Luxemburg pedig 1 súllyal szavaz. A súlyok összege 17, a kvóta 12. A paritásokat vizsgálvavegyük észre, hogy Luxemburg nullszavazó: nincs olyan eset, amiben döntése változtatnaaz eredményen. Ez az indexeken is megmutatkozik: a 4 súllyal bíró szavazók Shapley indexe23.3%, a 2 súlyúaké 15%, és Luxemburgé 0%.

Új szavazó hozzáadása már valóban megváltoztatná a helyzetet, ha ugyanis egy 1 súlyúszavazót adunk hozzá, a paritásokat megvizsgálva is látszik, hogy lesz erejük a döntéshez(indexük 5.7%-ra n®).

Korábban nem láthattunk olyan esetet, ahol nullszavazó létezése adódott volna, viszontaz indexek vizsgálata rávilágít erre.

S®t a következ® tétel is teljesül, de ezt bizonyítás nélkül közöljük:

5.3.4. Tétel. [11] A nullszavazó axiómából következik az új tagok paradoxona.

36

5.4. A politikai er®

Az axiomatikus bevezetés helyett más irányból is el lehet jutni ezekhez az indexekhez apolitikai er®n keresztül is. A politikai er®r®l való intuíció az, hogy A-nak politikai hatalmavan B felett, ha A rá tudja venni B-t, hogy tegyen meg valamit, amit B egyébként nemtenne meg. [4] Ez valószín¶ségekkel is felírható, de mint azt kés®bb látni fogjuk, igencsakkörülhatárolható, valószín¶ségekt®l mentes de�níciót kapunk. A-nak ilyen értelemben po-litikai hatalma van, ha módosíthatja egy adott döntés kimenetelének valószín¶ségét. Ezlehet kis beleszólás, vagy teljes hatalom a döntés felett (1 vagy 0 valószín¶ség).

Formálisan: legyen A egy rögzített választó, és si ∈ S a világ különböz® állapotainakhalmaza, ami a többi játékos szavazatainak kombinációból áll, továbbá legyen W a világállapotainak valószín¶ségi változója, ezzel a jelöléssel P(W = si) az esélye, hogy a világsi állapotban van. Jelöljük H-val az A szavazó politikai erejének indikátor valószín¶ségiváltozóját, ami vegyen fel egyet olyan helyzetben, ha A képes eldönteni a szavazást (ígyH : S → [0, 1] függvény). A döntés kimenetele többféle is lehet, mi az igen/nem típusúakraszorítkozunk most.

Kézenfekv® de�níciónak t¶nik, hogy a politikai er® H várható értéke legyen: (teljesvárható érték tételt alkalmazva)

Power(A) = E(H) =∑

ε∈{0,1}

εP(H = ε) = P(H = 1) =∑si∈S

P(W = si)P(H = 1|W = si)

(5.1)Hogy ezt egyszer¶bben kezeljük, vezessük be a következ® jelölést. P(H = 1|W = si)-t jelöl-jük I(si)-nek, mint az W-re vonatkozó feltételes valószín¶ségi változót. Mivel a választásirendszert ismerjük, ha tudjuk a többi szavazatot, el tudjuk dönteni mi a kimenetel, így Iindikátor változó lesz. [5]

Feltettük, hogy a választók 1/2-1/2 eséllyel szavaznak igent, vagy nemet, de ez a felté-telezés elhagyható, és így a modell kiterjeszthet®.

I annak az indikátor változója, hogy ha a világ si állapotban van, A el tudja-e döntenia választás kimenetelét, ez pedig megfeleltethet® a v koalíciós függvénnyel, amit a 2.1.11de�nícióban írtunk.

5.5. Blokkok és koalíciók

Egészen idáig koalíciókról beszéltünk, ami szavazók egy nem er®sen kötött halmaza. Blokk-nak nevezzük szavazók egy olyan halmazát, amelyek mindig együtt szavaznak. Gyakorla-tilag egy ilyen blokkot visszavezethetjük egy kevesebb szavazóból álló választásra, ahol ablokkot egyetlen szavazó reprezentálja, nagyobb er®vel.

5.5.1. Példa. Adott egy héttagú testület, amiben 3 ember blokkot alkot. Számoljuk ki aShapley-Shubik indexüket, ha 4 szavazat kell az elfogadáshoz.

Legyen a blokk X, a többi négy ember pedig A,B,C és D. Ekkor vegyük ezen 5 emberpermutációit. Az XABCD alakú permutációkban A a pivot szavazó, ez 6 esetben fordul el®

37

A-nál, összesen 24 esetben A,B,C és D-vel. Szintén ennyi esetben lesznek pivot szavazókaz ABCDX alakúakban. A blokk pivot a fennmaradó 120 − 2 · 24 = 72 esetben. Így ablokk indexe: 72

120= 3

5, azaz a blokk tagjai egyenként 1

5jut, a többieké pedig 12

120= 1

10. A

blokk tagjainak indexe kétszerese lett a blokkon kívüli szavazókénak.Ha 4 ember állna össze, a hatalmuk teljes, így nekik 1

4lesz az indexük, míg a többieké

0.

Mivel n! darab esetet kell megvizsgálni hamar nagy számokhoz juthatunk. A következ®tétel segít leegyszer¶síteni a számolást.

5.5.2. Tétel. Tegyük fel, hogy egy n szavazónak kell szavaznia egy kérdésr®l. Az n sza-vazó között van egy x nagyságú blokk, valamint q a kvóta, azaz legalább q szavazat kell atámogatáshoz. Legyen q > n

2. Ekkor a blokk Shapley-Shubik indexe:

x

n− x+ 1ha x ≤ n− q + 1

n− q + 1

n− x+ 1ha n− q + 1 ≤ x ≤ q

x

n− x+ 1ha q ≤ x

Bizonyítás. Tekintsük a blokkot egyetlen szavazónak, aminek a súlya a tagjainak az össze-ge, és így alkalmazzuk rá a Shapley-Shubik érték kiszámátísára vonatkozó eljárást. Írjuk felsorban az n darab szavazót úgy, hogy az els® legyen a leginkább a döntés mellett, az utolsópedig a legkevésbé. Mivel q a kvóta, emiatt a pivot szavazó a q. lesz a sorban. Mivel a blokktagjait úgy tekintjük, mintha egy emberként szavaznának, így a sorrendben egymás mellérakjuk ®ket, mégpedig az i, i + 1, . . . i + x − 1 helyeken. Az i blokk-kezd®érték n − x + 1

fajta lehet.Amikor x ≤ n − q + 1 a blokk szavazói csak akkor kerülnek a pivot helyre, ha i =

q−x+ 1, q−x+ 2, . . . q, azaz az összes n−x+ 1 hely közül x darab lesz jó kiindulás. Mivelminden permutáció egyformán valószín¶, így az esetek x

n−x+1részében lesz pivot a blokk.

Amikor n − q + 1 ≤ x ≤ q, akkor a legkisebb hely akkor is q − x + 1 lesz, viszont alegnagyobb elem már n − x + 1. Így hasonlóképpen a blokk indexe: (n−x+1)−(q−x+1)+1

n−x+1=

n−q+1n−x+1

.Amennyiben q ≤ x, a blokknak teljes kontrollja van a szavazás felett, így a blokk indexe

1 (az ehhez tartozó képletb®l egy egynél nagyobb szám jön ki). �Vizsgáljuk most meg a másik gyakran el®forduló indexet: a Banzhaf-ot.

5.5.3. Példa. Tekintsünk egy öttagú testületet, melyben van egy vezet®. A vezet®nek, X-nek, két szavazat van, míg a többi négy tag 1-1 szavattal rendelkezik, ®k legyenek A,B,Cés D. A kvóta 4 szavazat. Számoljuk ki a Penrose-Banzhaf indexeit a szavazóknak. (Az2.4.2 példa után de�niált jelöléssel: elemezzük az [4|2,1,1,1,1] játékot.)

Legkevesebb 4 szavazat kell egy gy®z® koalícióhoz. 4 szavazata van az ABCD koalíció-nak, és annak a hat koalíciónak, ami X-b®l és még két másik tagból áll. Mindegyik esetben

38

mindenki kritikus szavazó. Ez idáig 6 eset X-nek, és 4 a többinek. 5 szavazatot tartalmazókoalíciók azXABC,XABD,XACD, ésXBCD. Mindegyikben csakX a kritikus szavazó,ez további 4 eset X-nek. XABCD sebezhetetlen koalíció.

Ez összesen 26 eset. Ebb®l X 10-et, a többi szavazó 4-4-et birtokol. Így az indexeik:(1026, 426, 426, 426, 426

).

Ahogy látható, a Banzhaf index számolása sem könny¶, viszont algoritmikusan könnyebb,programozhatóbb. A súlyozott többségi szavazáshoz már internetes kalkulátorok is készül-tek.

5.5.1. Az amerikai elnök: egy alkalmazás

Bemutatunk egy alkalmazást a Shapley-Shubik indexre. Az amerikai választási rendszerigen gyakran a célkeresztbe kerül, amikor a választások igazságosságát mérlegelik az elemz®.Egy kiragadott kérdéssel foglalkozunk csak: Mekkora er®t képvisel a döntéshozásban azelnök?

Az amerikai elnök egy dologgal van kitüntetve: az elnöki vétóval. Az amerikai törvény-hozás három lépcs®jét �gyeljük csak most: A Képvisel®ház 435 emberb®l áll, itt egyszer¶többséghez 218, min®sített többséghez 290 szavazat kell. A Szenátus 100 emberb®l áll,ebb®l 51 és 67 az egyszer¶ illetve a min®sített többség határa. Miután mindkét szerv egy-szer¶ többséggel megszavazta a javaslatot, az az elnökhöz kerül, aki átnézi, és élhet elnökvétójával. Elnöki vétó esetén a két másik szerv csak min®sített többséggel fogadhatja el atörvényt, így ehhez jóval nagyobb egyetértés szükséges a Képvisel®házban és a Szenátusbanegyaránt.

Összesen 536 ember sorrendjét kell megnéznünk (az elnökkel együtt). Tegyük fel, hogyx darab képvisel® és y darab szenátor el®zi meg az elnököt a rendezésben. �ket (x + y)!

féleképpen rendezhetjük el, míg az elnök után lév®ket pedig (535 − x − y)! féleképpen.Mivel

(435x

)féleképp választhatjuk ki a képvisel®ház tagjait, valamint

(100y

)a szenátorokat,

így Nx,y-al jelölve adott (x, y) párra a rendezések száma:

Nx,y = (x+ y)!(535− x− y)!

(435

x

)(100

y

)Ahhoz hogy megkapjuk a rendezések számát, ahol az elnök pivot szavazó, össze kell adniezeket az Nx,y tagokat az összes (x, y) párra, ahol egyszer¶, de nem min®sített többség van- a többi esetben, szavazati jog híján, nem kerül pivot helyzetbe. Azaz a p elnök indexe:

Φ(p) =435∑i=218

100∑j=51

Nx,y −435∑i=290

100∑j=67

Nx,y

Tekintettel az Nx,y nagyságrendjére, valamint a számítás bonyolultságára, ennek csak aközelít® összegével foglalkozunk. Matlab programcsomaggal kiszámolható a mennyiség, ami0.16 körüli érték, azaz az elnök Shapley-Shubik indexe 16%.

Ahogy az alkalmazásból látszik, kicsit összetettebb esetben ezeket az indexeket nemkönny¶ kiszámolni.

39

Irodalomjegyzék

[1] Arrow, K. J.: A Di�culty in the Concept of Social Welfare. Journal of Political Econ-momy 58 (4): 328-346 (1950)

[2] Felix Brandt, Vincent Conitzer, Ulle Endriss, Jérôme Lang, Ariel D. Procaccia: Hand-book of Computational Social Choice. Cambridge University Press, 1-144 (2016)

[3] Campbell, D. E. and Kelly, J. S. Strategy-Proofness Characterization of MajorityRule. Economic Theory, 22(3), 557-568 (2003)

[4] Dahl, R. A.: The concept of power. Behavioral Science, 2(3), 201-215. (1957)

[5] Sreejith Das: Voting Power Techniques: What do they measure? Springer, (2014)

[6] Piotr Faliszewski, Edith Hemaspaandra, Lane A. Hemaspaandra: Using Complexityto Protect Elections. Communications of the ACM, Novermber 2010, vol 53, No 11.74-82 (2010)

[7] Forgó Ferenc, Pintér Miklós, Simonovits András, Solymosi Tamás: Kooperatív játék-elmélet. Elektronikus jegyzet, 1-21 (2006)

[8] Geanakoplos, J.: Three brief proofs of Arrow's impossibility theorem. Econ. Theory26, 211-215 (2005)

[9] Gibbard, A.: Manipulation of voting schemes: a general result. Econometrica 41, 587-600 (1973)

[10] Kóczy Á. László: Proportional power is free from paradoxes. (2004)

[11] Kóczy Á. László: Measuring voting power: The paradox of new members vs. the nullplayer axiom. (2008)

[12] Francois Maniquet, Philippe Mongin: Approval voting and Arrow's impossibility the-orem, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 519-531 (2014).

[13] Kenneth O May: A Set of Independent Necessary and Su�cient Conditions for SimpleMajority Decision. Econometria, vol. 20, No. 4. 680-684 (1952)

[14] Moulin, H.: The Strategy of Social Choice. Amsterdam: North Holland. (1983)

40

[15] Hannu Nurmi: Voting Systems for Social Choice, Research Gate. (2009)

[16] William Poundstone: Gaming the Vote, Hill & Wang. (2008)

[17] Satterthwaite, M. A.: Strategy-proofness and Arrow's conditions: existence and corres-pondence theorems for voting procedures and social welfare functions. J. Econ. Theory10, 187-217 (1975)

[18] Markus Schulze: A new monotonic, clone-independent, reversal symmetric, andcondorcet-consistent single-winner election method, Springer-Verlag 267-303 (2010)

[19] Végh László, Pap Júlia, Király Tamás: Játékelmélet jegyzet. Elektronikus jegyzet 44-48 (2013)

[20] W. D. Wallis: The Mathematics of Elections and Voting, Springer, 2014

[21] H. P. Young: Social Choice Scoring Functions, SIAM Journal on Applied Mathematics.Vol. 28, No. 4, 824-838 (1975)

41