anÁlisis de fiabilidad.anÁlisis de fiabilidad. estudio

ANÁLISIS DE FIABILIDAD.ANÁLISIS DE FIABILIDAD.ANÁLISIS DE FIABILIDAD.ANÁLISIS DE FIABILIDAD.

ESTUDIO TEÓRICO Y PRÁCTICOESTUDIO TEÓRICO Y PRÁCTICOESTUDIO TEÓRICO Y PRÁCTICOESTUDIO TEÓRICO Y PRÁCTICO CON SPSS.CON SPSS.CON SPSS.CON SPSS.

Gema Manzano VenturaGema Manzano VenturaGema Manzano VenturaGema Manzano Ventura

Dirigido por

D. Rafael Pérez OcónD. Rafael Pérez OcónD. Rafael Pérez OcónD. Rafael Pérez Ocón

Trabajo Fin de MásterTrabajo Fin de MásterTrabajo Fin de MásterTrabajo Fin de Máster

Máster en Estadística Aplicada

Universidad de Granada

Septiembre, 2013

Este trabajo se presenta para la obtención del Título Oficial del Máster

Universitario “Estadística Aplicada”. Ha sido posible gracias a la inestimable ayuda

del Sr. D. Rafael Pérez Ocón, catedrático de la Facultad de Ciencias de Granada, a

quien debo agradecer su excelente labor como profesor y su implicación como

director en este proyecto.

A mi Abuela,

Por dejarme el tesoro infinito de tus palabras, tus abrazos, tus

besos, tu sonrisa. Por enseñarme tantas pequeñas y grandes cosas. Por

tu coraje y alegría que hoy me impulsan a vivir, a pesar de tener que

hacerlo en un mundo en el que tú ya no estás. Por regalarme tu

recuerdo eterno.

Gema Manzano Ventura

1

RESUMEN.......................................................................................................................... 3

Capítulo 1: FIABILIDAD ......................................................................................................... 5

1. Introducción .................................................................................................................... 6

1.1. Introducción a la Fiabilidad ................................................................................................ 6

1.2. Contexto Histórico .............................................................................................................. 8

2. Fiabilidad en el tiempo ................................................................................................... 10

2.1. Definición formal de fiabilidad ......................................................................................... 10

2.2. Medidas de la fiabilidad ................................................................................................... 12

2.3. Distribuciones de vida ...................................................................................................... 20

3. Análisis Paramétrico ...................................................................................................... 28

3. 1. Introducción ..................................................................................................................... 28

3.2. Método Probability Plotting ( Q-Q PLOT) ......................................................................... 29

3.2.1. Obtención de los puntos a ajustar .......................................................................................... 30

3.2.2. Regresión lineal mínimo-cuadrática ..................................................................................... 32

3.3. Método de máxima verosimilitud .................................................................................... 37

4. Análisis no paramétrico .................................................................................................. 39

4.1. Tiempos de censura .......................................................................................................... 40

4.2. Estimación Kaplan-Meier ................................................................................................. 41

5. Mantenimiento .............................................................................................................. 43

5.1. Tiempo de reparación-TTR ............................................................................................... 44

Capítulo 2. ESTUDIO REAL DE FIABILIDAD ........................................................................... 46

1. Introducción .................................................................................................................. 47

1.1. Justificación del estudio .................................................................................................... 47

1.2. Estudio de fiabilidad con SPSS .......................................................................................... 50

2. Fiabilidad: Análisis de los tiempos de fallo ...................................................................... 51

2.1. Análisis descriptivo de los tiempos de fallos .................................................................... 51

2.2. Análisis paramétrico ......................................................................................................... 55

2.2.1. Regresión lineal ............................................................................................................................. 59

2.3. Propiedades de fiabilidad del generador eléctrico .......................................................... 63

2.4. Análisis no paramétrico .................................................................................................... 67

2.4.1. Regresión lineal a partir de la estimación........................................................................... 70

2.5. Análisis paramétrico & Análisis no paramétrico .............................................................. 72

2.5.1. Comparación parámetros estimados .................................................................................... 72

2.5.2. Comparación funciones de fiabilidad .................................................................................. 73

Análisis de Fiabilidad. Estudio teórico y práctico con SPSS.

3. Mantenimiento: Análisis de tiempos de reparación ........................................................ 74

3.1. Análisis descriptivo de los datos ....................................................................................... 74

3.2. Análisis paramétrico ......................................................................................................... 76

3.2.1. Regresión lineal ............................................................................................................................. 78

3.3. Propiedades de reparación del sistema ........................................................................... 81

3.4. Análisis no paramétrico ................................................................................................... 85

3.5 Análisis paramétrico & Análisis no paramétrico .............................................................. 88

3.5.1. Comparación de parámetros estimados .............................................................................. 88

3.5.2. Comparaciones de funciones de mantenibilidad ............................................................. 88

Apéndice del Capítulo 2: Simulación ................................................................................... 90

A.1. Introducción ..................................................................................................................... 91

A.2. Distribución Weibull ....................................................................................................... 91

A.2.1.Generación de una v.a. que sigue una distribución Weibull ........................................ 91

A.2.2. Comprobación ajuste Weibull para tiempos de fallos ................................................... 92

A.3. Distribución log-normal ................................................................................................... 96

A.3.1.Generación de una v.a. que sigue una distribución log-normal .................................. 96

ANEXO 1. Datos reales del generador: Tiempos de fallo y reparación ................................ 102

ANEXO 2. Estructura de datos en el Análisis de Supervivencia ........................................... 104

ANEXO 3. Tabla de supervivencia T_operativo .................................................................. 105

ANEXO 4. Tabla de supervivencia T_reparación ................................................................ 107

ANEXO 5. Datos simulados v.a. Weibull ............................................................................ 109

ANEXO 6. Datos simulados v.a. Log-normal ...................................................................... 112


3

RESUMEN

Una de las proposiciones más firmes del estadístico es la construcción de

modelos de probabilidad que sean capaces de describir el comportamiento teórico

de diferentes fenómenos aleatorios que ocurren en el mundo real. La pretensión

principal de esta modelización es la de hacer predicciones sobre la ocurrencia de

dichos fenómenos para así aprovechar o prevenir sus consecuencias. Es éste

también el origen de una disciplina relativamente reciente-s.XX-, la ingeniería de

fiabilidad.

Los ingenieros buscan conocer cómo se producen los fallos en los

dispositivos o sistemas que diseñan o fabrican. Pues sólo de esta manera podrán

predecir el momento apropiado para la inspección, reparación o sustitución de los

componentes, evitando –o, al menos, anticipándose - así, a las repercusiones de un

posible fallo.

Este trabajo pretende ser un recorrido introductorio al análisis de fiabilidad

en el que el lector -pudiendo partir de un desconocimiento total de la disciplina-

consiga llegar a entender, tanto desde un punto de vista teórico como práctico,

cómo la estadística, las matemáticas y la ingeniería se unen para conseguir

modelizar la probabilidad de que ocurra un fallo –o de completar una reparación-

en un sistema o dispositivo.

El proyecto consta de dos capítulos bien diferenciados. El primero de ellos

recoge la teoría que sustenta todos y cada uno de los métodos prácticos usados en

el capítulo dos. En muchas ocasiones, esta teoría queda escondida por potentes

software estadísticos que realizan completos estudios sistematizados.

En el segundo capítulo, se trabaja con datos reales correspondientes a los

tiempos de fallo y tiempos de reparación de un generador eléctrico monitorizado.

A partir de ellos y, utilizando el paquete estadístico SPSS, se consigue describir las

medidas de fiabilidad y reparabilidad más comunes, que persiguen modelar las

distribuciones de probabilidad para estos tiempos.

Por último, se incluye un apéndice de este capítulo que demuestra la

utilidad de la simulación para verificar los resultados obtenidos en un análisis de

fiabilidad.


A partir de aquí, se dejan muchas líneas de investigación abiertas. Una de

ellas es un posible estudio análogo al presentado pero teniendo en cuenta la

aparición de medidas relativas a interrupciones en el registro de la toma de datos-

observaciones censuradas-, caso muy frecuente en la práctica. También, cabe

plantearse que una vez conocida la distribución de probabilidad que siguen

nuestros tiempos de fallo, podríamos conocer cómo fallaría un sistema formado

por n de estos dispositivos agrupados en distintos sistemas complejos:

serie/paralelo, k-out-of-n, sistema puente, y/u otros.

El grado de profundidad de los contenidos y métodos supone siempre una

línea abierta que cabe recorrer impulsados por la diversión y curiosidad que

provoca describir el mundo real a través de la estadística.


5

Capítulo 1: FIABILIDAD


1. Introducción

1.1. Introducción a la Fiabilidad

Coloquialmente, nos fiamos de algo o alguien cuando confiamos en él o ello.

Es decir, cuando tenemos una amplia seguridad de que se comportará como

esperamos. Sería magnífico contar con ciertas nociones científicas que nos

advirtieran ante una alta probabilidad de que esto no ocurrirá en un instante dado

con el fin de prevenir las repercusiones o, incluso, y si es posible, evitar tal fallo.

Para suerte y desgracia del ser humano, es absolutamente imposible predecir

cuando alguien va a tomar un comportamiento diferente al esperado y nos fallará.

Sin embargo, el estudio de fallos en productos, equipos o sistemas conforma una

consolidada disciplina, dentro del campo de la ingeniería, tan sólida como útil.

Todos somos usuarios de productos y sistemas y, también, sufrimos las

repercusiones de sus fallos. Es por ello que, de manera intrínseca, sabemos mucho

acerca de la fiabilidad. Fijarnos en algunas de nuestras prácticas como usuarios nos

ayudará a establecer algunas importantes pautas que fundamentan esta disciplina.

En primer lugar, cuando somos consumidores de un producto que usamos

frecuentemente o del que dependemos por alguna circunstancia, nos planteamos

pagar por una determinada marca un poco más si es que ésta nos ofrece más

confianza que otra de la competencia. Esto es, si así tenemos una mayor seguridad

de que fallará menos, tendrá una vida útil más larga o, simplemente, nos ofrecerá

un mejor servicio. En ingeniería, esto se traduce diciendo que aumentar la

fiabilidad de un sistema siempre lleva un coste y un esfuerzo añadido que debe

adecuarse al objetivo y trascendencia del producto.

Por otro lado, las repercusiones de los posibles fallos en los productos,

tanto económicas como relativas a nuestra seguridad como usuarios, son

determinantes para entender la teoría de la fiabilidad.

Por ejemplo, el que una pila falle o esté deteriorada no nos supone graves

consecuencias. Cambiar la pila por una nueva supone un bajo coste de dinero y de

esfuerzo – lo hará el propio usuario- y, al sustituirla, el aparato podrá funcionar

como antes del suceso. Además, a priori, este fallo no supone ningún riesgo


7

importante para nuestra seguridad. Es por todo ello que, en general, y

fundamentado en que el deterioro o fallo de una pila no implica repercusiones

significativas, los usuarios no llevan a cabo absolutamente ningún tipo de acción -

ni de mantenimiento ni de inspección- que advierta el fin del dispositivo. Pues no

compensaría económicamente si tenemos en cuenta el coste de la solución del

problema: comprar otra pila nueva.

Ahora bien, fijémonos en los neumáticos de nuestro coche. Al estar en

continuo contacto con la superficie, la banda de rodamiento sufre un desgaste

progresivo que lleva a la rueda al deterioro y la posterior imposibilidad del

cumplimiento de las funciones de tracción y la maniobrabilidad del vehículo. Con

un deterioro severo, se pierde nivel de adherencia y capacidad de frenada,

especialmente, cuando las condiciones meteorológicas no son favorables. Las

repercusiones de estos fallos, aunque dependen del momento, sin lugar a dudas

suponen un alto riesgo de accidente que podría traer consecuencias fatales para

los ocupantes del vehículo. Aun suponiendo que los pasajeros no sufrieran daño

alguno en el accidente, nos enfrentaríamos a una reparación de alto coste

económico que superaría, con seguridad, el importe que hubiera supuesto evitar el

fallo cambiando los neumáticos a tiempo. En este caso y debido a las importantes

consecuencias – tanto económicas como de seguridad- del fallo en los neumáticos

se hace necesario establecer pautas de inspección que evalúen el estado del

neumático en cualquier instante y que nos permitan anticiparnos a un posible fallo

en las funciones del mismo. Es por ello que las bandas de rodadura presentan en su

superficie unos dibujos en forma de canales que permiten disponer fácilmente de

testigos de desgaste, que adviertan al usuario sobre su nivel de deterioro. La

profundidad mínima del dibujo permitida, por ley, es de 1,6mm y ésta puede

medirse fácilmente con una regla, una moneda o el propio testigo de desgaste del

neumático.

Trasladado a la ingeniería de fiabilidad, esto significa que, en primer lugar,

debemos asumir que el fallo en un sistema tendrá unas repercusiones que

dependerán del tipo de sistema y del tipo de misión que éste lleve a cabo. Es

deseable que los sistemas diseñados sean fiables en la medida que marquen las

consecuencias económico-operativas de sus posibles fallos. Así, entendemos que


los ingenieros no pueden exigir el mismo nivel de fiabilidad en una bombilla que

en una central nuclear, en una tostadora que en el motor de un avión. Y es que,

desafortunadamente, todos los dispositivos llegan a un instante en que no podrán

cumplir el cometido para el que fueron diseñados. Sin embargo, determinar el

momento en que esto ocurrirá no es, en la mayoría de los casos, tarea fácil. Aquí es

donde entra en juego la ingeniería de fiabilidad. En ella recaen responsabilidades

que van desde predecir – a través de la estadística- la vida media de una pila hasta

estudiar con profundidad los mecanismos a través de los cuales pueden producirse

fallos en una central nuclear. Imponer requisitos exigentes en la seguridad de los

usuarios o establecer y realizar pautas de mantenimiento, inspección y reparación

en los dispositivos y sistemas son algunas de sus tareas más destacables.

1.2. Contexto Histórico

La aparición de sistemas militares de gran complejidad en la Segunda

Guerra Mundial trajo asociados importantes problemas de mantenimiento y

disponibilidad de los mismos debido a sus frecuentes fallos. El considerable coste

derivado de estos problemas provocó que, hacia 1952, el Departamento de Defensa

norteamericano se plantease, por vez primera, el estudio de los fallos en los

equipos como un asunto ineludible. Pidió ayuda a la industria electrónica con el fin

único de evaluar los fallos en los sistemas de ingeniería y encontrar fundamentos

científicos que ayudasen a dar solución al problema.

En seguida, el grupo de ingenieros designado se plantea que, lógicamente, lo

importante de los equipos y sistemas que diseñaban y utilizaban era que éstos

presentaran, con un nivel adecuado de seguridad y confianza- de fiabilidad- un

correcto funcionamiento. Así nace el término formal de fiabilidad –realiabity en

inglés- que dará título a una disciplina de sofisticadas matemáticas, la ingeniería de

fiabilidad.

Como todo nacimiento científico, la teoría de la fiabilidad en sistemas viene

impulsada a través de una necesidad social que, casi siempre, implica el beneficio

económico. En este caso, tanto la disponibilidad como la seguridad de equipos y

productos serán sus progenitores. Desde un punto de vista científico y, también


9

económico, tan importante era reducir en costes de mantenimiento como evitar

fallos en sistemas que atentasen contra la seguridad del usuario.

Y es que, aunque la teoría formal creada en torno al concepto de fiabilidad

es reciente, desde siempre se ha sabido que conseguir cierta seguridad de que un

producto funcionara correctamente reportaría múltiples e innegables beneficios.

Una evidencia de esta idea primitiva de fiabilidad se produce en el s. XVII

cuando la reina Ana de Gran Bretaña, promovida por las frecuentes catástrofes

derivadas de los continuos fallos en la estimación de la posición de los barcos,

ofrece una enorme recompensa a quien consiga medir longitudes en el mar con un

error menor de un grado. Este problema se reducía a conocer en cada instante la

diferencia de hora local de un punto respecto a otro (150 es la diferencia en

longitud en cada hora). Sin embargo, los relojes de la época no ofrecían seguridad

alguna sobre su precisión y debían ser ajustados frecuentemente – a través del Sol-

debido a cambios en la temperatura, la humedad o, simplemente, tras un tiempo.

Por tanto, la seguridad en los barcos se convirtió en un problema de estudio de la

fiabilidad de relojes.

Otra muestra de la percepción de fiabilidad, concebida con el fin de reducir

costes, aparece con la aplicación de los métodos actuariales utilizados en las

primeras compañías de seguros para la evaluación de los riesgos de sus pólizas. Se

estimaba cuánto se debía pagar al contratar una póliza en base a la frecuencia de

epidemias y la tasa de mortalidad asociada a las mismas. Esta evaluación era

llevada a cabo a través de las llamadas tablas de vida. En ellas, se apuntaban los

resultados de la observación, durante un tiempo dado, de la supervivencia/muerte

de un conjunto de pacientes sometidos a distintos tratamientos.

Esta técnica de “estimación de vida” no tardo en aplicarse a sistemas

tecnológicos de gran relevancia, como los ferrocarriles.

Con estas bases ya sentadas al inicio del s. XX, la teoría crece paso a paso

hasta ser establecida tal y como la conocemos hoy. Científicos como W. Weibull,

que estudió la duración de materiales o T.B. Epstein y M. Sobel, quienes

construyeron un modelo probabilístico que ayudó a estimar la vida media de los

dispositivos, contribuyen de manera determinante a la ingeniería de fiabilidad.


El artículo “Multicomponent systems and structures and their reliability” -

Estructuras y sistemas multicomponentes y su fiabilidad- publicado en 1961 por Z.

W. Birnbaum; J. D. Esary, y S.C. Saunders, supone una recopilación de lo

demostrado hasta ese momento y un punto de partida de toda aplicación práctica

en ingeniería de fiabilidad.

Otros artículos de la misma época, demuestran que las reducciones de

costes de utilización y mantenimiento compensan ampliamente las inversiones

realizadas en los estudios de fiabilidad. La inspección, el mantenimiento y la

reparación de dispositivos se asumen como parte intrínseca de tales estudios.

En los últimos años, la disciplina se ha visto impulsada por la demanda de la

tecnología moderna. Estudios realizados en la década de los 80 sobre redes de

comunicación encuentran hoy aplicación en internet y los sistemas web.

Actualmente, la ingeniería de fiabilidad es una teoría ampliamente usada en

procesos de diseño, fabricación, seguridad, mantenimiento y logística. Su

aplicación se extiende a cualquier sector: sistemas electrónicos, plantas de

producción, telefonía…, siendo absolutamente imprescindible su uso en áreas

como la nuclear, la aeroespacial o la ingeniería de transportes en general.

2. Fiabilidad en el tiempo

2.1. Definición formal de fiabilidad

La primera idea –la más simple y lógica- del concepto de fiabilidad es la de

seguir la vida operativa del sistema y utilizar el dato de fallo total de servicio como

un índice de fiabilidad del mismo.

Históricamente, todas las medidas asociadas a la fiabilidad – como ocurre

con la descrita- eran indicadores de funcionamiento de carácter determinístico, es

decir, eran parámetros fijos. Esta idea hacía imposible resolver cuestiones relativas

a la degeneración progresiva del sistema o a evaluar la implicación en el fallo de

distintos entornos operativos, impidiendo estimar -en cualquier caso- un riesgo

importante de fallo en un momento dado y haciendo irrealizable anticipar una


11

solución que evite o palie las repercusiones del mismo. Éste supone el objetivo

último de la fiabilidad.

Luego y, dado que el principal cometido es evaluar-en términos

probabilísticos- el riesgo de fallo del sistema en cualquier instante, el tiempo se

hace un parámetro esencial en la definición de fiabilidad. Aún más si consideramos

que la degradación de los componentes con el trascurso del mismo supone una de

las causas más influyentes en los fallos de los sistemas.

Parece claro que la probabilidad de funcionamiento varía, no sólo con el

tiempo, sino también con las condiciones de entorno –temperatura, humedad,

diferencia de presión…- que deben ser tenidas en cuenta incuestionablemente en

cualquier estimación de operatividad.

También afectará a esta predicción de “supervivencia” del sistema el nivel

de buen funcionamiento considerado. Y es que no existen dos únicos estados en la

condición del dispositivo: funcionando o fallado, sino que debemos considerar que

los sistemas, en la mayoría de los casos, cuentan con estados intermedios- al sufrir

degeneraciones progresivas, por ejemplo-.

Así, una definición sólida y útil de fiabilidad debe considerar los conceptos

de probabilidad, tiempo, entorno y buen funcionamiento. Las definiciones más

destacadas en la bibliografía de la ingeniería de la fiabilidad son:

“La fiabilidad es la probabilidad de que un dispositivo efectuará la función

para la que fue construido hasta un momento dado bajo condiciones específicas de

uso."1

“La fiabilidad es la calidad en el tiempo.”2

“La fiabilidad es la probabilidad de que un componente o sistema

desarrolle, durante un periodo de tiempo dado, la tarea que tiene encomendada,

sin fallos, y en condiciones establecidas”.3

1 I. BAGOWSKY, Reliability Theory and Practise, Prentice-Hall. 1961

2 L.V. CONDRA, Reliability Improvement with Design of Experiments, Marcel Dekker, New York. 1993.

3 Definición práctica. ISO 9126


2.2. Medidas de la fiabilidad

Una vez establecida cómo podría cuantificarse la fiabilidad se debe decidir

qué medidas e índices son los más adecuados para medirla del modo más científico

y riguroso posible.

De la definición formal de fiabilidad-dada en líneas anteriores- entendemos

que debemos encontrar una probabilidad (casos favorables/casos posibles) de que

un sistema desarrolle la tarea que tiene encomendada sin fallos durante un

periodo de tiempo dado y bajo unas condiciones establecidas.

Dado que la ocurrencia de fallos sucede aleatoriamente, vamos a definir la

magnitud tiempo de fallo,τ , -longitud de tiempo hasta la ocurrencia del fallo en un

componente o sistema-como una variable aleatoria que, debido al carácter del

tiempo, será continua y estará definida sobre el eje real positivo4.

A.A.A.A. Función de distribución de fallosFunción de distribución de fallosFunción de distribución de fallosFunción de distribución de fallos

Así, la probabilidad de que el fallo del sistema ocurra antes de un tiempo t

cualquiera- sobre el que queramos estimarlo- es:

)()( tFtP =≤τ

A la función de tiempo F(t) se le denomina usualmente función de

distribución de fallos o, simplemente, función de probabilidad. En estadística,

siempre que aparece una variable aleatoria continua -aquella que puede tomar un

número infinito no numerable de valores- aparece asociada su función de

distribución de probabilidad como:

F: ][)(][)(

]1,0[

tPtFtxXPxFx

R

≤=→⇒≤=→→

τ

Evaluar las propiedades matemáticas más importantes de una función de

distribución nos demostrará –científicamente- pautas esenciales en la teoría de la

fiabilidad. Éstas son las siguientes:

4 Klein y Moeschberger (1997), Andersen, Borgan, Gill y Keiding (1993), Cox y Oakes (1984),

Lawless (1982).


13

Para cualquier función de distribución se verifica

1)()(lim)(lim =∞==≤∞→∞→

FtFtPtt

τ .

En fiabilidad, esta propiedad se traduce diciendo que si tuviéramos un intervalo

infinito de tiempo, el fallo sería un suceso seguro. Ya lo anticipábamos, todos los

sistemas fallarán y dejarán de cumplir, en un momento dado, la función para la que

fueron diseñados.

En particular, si sabemos que la v.a continua τ toma valores entre el intervalo de

tiempo (ti, tf), tenemos que:

⇒=≤≤∀= 0][__0)( ii tPtttF τ La probabilidad de que el sistema hubiera fallado

antes de que comience el periodo de inspección o funcionamiento no se considera.

⇒=≤≥∀= 1][__1)( ff tPtttF τ La probabilidad de que el sistema haya fallado al

finalizar el periodo de inspección o funcionamiento denota el suceso seguro (

fi tt ≤≤ τ ).

F(t) es monótona no decreciente. Esto es,

si )()( 2121 tFtFtt ≤⇒< .5 Esta propiedad supone la demostración matemática de

que la probabilidad de fallo no decrece con el tiempo – aumenta o permanece

constante-. En este punto cabe la idea de degeneración de los sistemas con el

tiempo.

La probabilidad de que τ tome un valor del intervalo (t1, t2), esto es,

la probabilidad de acotar el tiempo de fallo entre dos valores de tiempo se calcula

como [ ] [ ] )()(][ 121221 tFtFtXPtPttP −=≤−≤=≤≤ ττ

La probabilidad de que τ tome un valor determinado, t1, es igual a

cero: 0)( 1 == tP τ .6

5 Si [ ] [ ]1 2 1 1 2 2( ) 0, ( ) 0, .t t I t t I t t< ⇒ = ⊂ = Luego: [ ] [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P I t P I t F t F t≤ ⇒ ≤

6 [ ] ).()(lim][ 111

11

−

→−=≤<== xFtFttPtP n

xtnττ Dado que τ una v.a. absolutamente continua:

)()( 11−= xFtF


B.B.B.B. Función de Función de Función de Función de densidad de probabilidad (f.d.p)densidad de probabilidad (f.d.p)densidad de probabilidad (f.d.p)densidad de probabilidad (f.d.p)

Sea una τ una v.a. continua y F(t) su función de distribución,

matemáticamente llamamos función de densidad de probabilidad de la variable

aleatoria a la derivada primera de la distribución, esto es: f(t)=F’(t).

Entre sus propiedades matemático-estadísticas más destacables:

El área situada entre su gráfica y el eje de abscisas es la unidad.

Esto es;

1)0(1)(0

=∞<<⇔=∫∞

τPdttf .

Matemáticamente, que un dispositivo falle en un intervalo infinito de

tiempo es un suceso seguro.

La función de distribución de fallos puede hallarse a partir de la

función densidad: )()0()()(')()(00

tFFtFdttFdttftFtt

=−=== ∫∫ .

Permite el cálculo de la probabilidad de que un fallo se produzca en

un intervalo dado:

∫∫ ==−=<<=≤≤−

2

1

2

1Re

1221..

21 )()(')()()()(t

t

t

tBarrowglacontinuaav

dttfdttFtFtFttPttP ττ

∫==≤tc

cc dttftFtP0

)()()(τ

∫ ∫∫∞∞

−=≤−==≥0 0

)()()(1)()(td

t

dd dttfdttftPdttftPd

ττ

OBSERVACIÓN: Estos resultados pueden interpretarse geométricamente,

diciendo que la probabilidad de que el tiempo de fallo se encuentre entre un

intervalo de tiempo (t1,t2) es igual al área de la región limitada por las rectas: t=t1,

t=t2, la curva de la función de densidad de probabilidad y el eje de abscisas.


15

Figura 1.1. Función de densidad

El área F(t) limitada por la función de densidad, el eje de abscisas y la

región situada a la izquierda de la recta vertical en el punto t, representa la

probabilidad de fallo en el tiempo t.

C.C.C.C. Vida esperVida esperVida esperVida esperada o tiempo medio entre fallos: ada o tiempo medio entre fallos: ada o tiempo medio entre fallos: ada o tiempo medio entre fallos: MTBFMTBFMTBFMTBF (Mean Time Between

Failures)

La teoría matemática nos permitiría, además, calcular los distintos

parámetros que caracterizan esta distribución de variable continua: esperanza,

desviación típica, momentos, cuartiles, moda, etc.

Sin duda, la esperanza matemática del tiempo de fallo τ juega un papel

esencial en un estudio de fiabilidad. Su cálculo viene dado a través de la expresión:

[ ] ∫∞

=0

)( dtttfE τ

En general, el MTBF no es constante por lo que siempre debe

especificarse el intervalo en el que es hallado. Cuando el sistema o dispositivo es

no reparable solemos hablar de esta cantidad como MTTF (Mean Time To

Failure) o tiempo medio de fallo. El MTBF (o el MTTF) debe utilizarse cuando se

especifique además la función de distribución de fallos, dado que dos

distribuciones pueden tener el mismo valor de MTBF (o MTTF) y, sin embargo,

producir niveles muy distintos de fiabilidad.


Tanto la función de distribución como la de densidad, así como la

esperanza matemática, son estadísticos propios de cualquier estudio

matemático-estadístico de una variable aleatoria continua. Su aplicación a la

ingeniería de fiabilidad, tomando como v.a. continua el tiempo de fallo, τ ,

constituye una base fundamental en la que se apoya el desarrollo de la teoría.

Ahora bien, existen por convenio, otras funciones y parámetros que permiten

evaluar el nivel de fiabilidad de un dispositivo o sistema.

D.D.D.D. Función de supervivencia o Función de fiabilidadFunción de supervivencia o Función de fiabilidadFunción de supervivencia o Función de fiabilidadFunción de supervivencia o Función de fiabilidad

La fiabilidad representa la probabilidad de que no ocurra un fallo en un

intervalo (0,t) , esto es, de que el tiempo en el que se produce el fallo, τ , sea

mayor que t y, por tanto, el sistema sobreviva al intervalo considerado. Esta es

la razón por la que se suele identificar la función de supervivencia con la

fiabilidad. Matemáticamente, la función supervivencia o función de fiabilidad,

R(t) – del inglés Realiabity- seentenderá, por tanto, como la probabilidad

complementaria a la calculada a través de la función de distribución:

)(1)()( tFtPtR −=≥= τ

Por las propiedades de la función de distribución, queda demostrada

que la función de supervivencia es no creciente, es decir si 1 2 1 2( ) ( )t t R t R t< ⇒ ≥ .

Se inicia en R(0)=1 y tiende a 0 a medida que t → ∞ .

Además puede comprobarse que el MTTB puede expresarse en términos

de la fiabilidad como sigue7:

[ ]0 0

( ) ( )E tf t dt R t dtτ∞ ∞

= =∫ ∫

7 DEMO: [ ] [ ]0

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E tf t dt sdR s R s ds sR s sdR s sdR sτ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∞= = − ⇔ = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫


17

E.E.E.E. Tasa media de Tasa media de Tasa media de Tasa media de razón de fallorazón de fallorazón de fallorazón de fallo

La tasa a la que ocurren fallos en un intervalo de tiempo dado se define

como la probabilidad de ocurrencia de un fallo por unidad de tiempo en el

intervalo, supuesto que el fallo no se produjo antes del comienzo del mismo.

Matemáticamente esta idea se traduce en una probabilidad condicional de

que un dispositivo, que haya sobrevivido al instante t1, falle en el intervalo (t1,t2).

Esto es, se define la probabilidad condicional como la probabilidad de que

ocurra B, teniendo en cuenta que A ya ha sucedido:

[ ]

[ ] [ ][ ]

1 2 1 1 21 2 1

1 1

( )/

( )

( , ) _ _ ( ) ( ) ( )( , ) ( )

( ) ( )

P B AP B A

P A

P falla t t y sobrevivió t R t R tP falla t t sobrevivió t

P sobrevivió t R t

= ⇒

−= =

∩

Sin más que dividir por la longitud del intervalo, obtenemos la media de la

tasa de fallos del intervalo.

Tasa media de razón de fallo=( )

1 2

1 2 1

( ) ( )

( )

R t R t

R t t t

−−

Ésta supone un parámetro muy útil de la fiabilidad en distintos períodos de

la vida del dispositivo, ya que es una medida de lo propenso que resulta el

dispositivo a fallar en función de su edad.

F.F.F.F. Función Función Función Función Tasa Tasa Tasa Tasa de Fallo o Función de Riesgode Fallo o Función de Riesgode Fallo o Función de Riesgode Fallo o Función de Riesgo

Aproximando la tasa media de fallo a un intervalo infinitesimal, 1 2t t→ ,

obtenemos la llamada función de tasa de fallo o función de riesgo instantánea. Para

un instante dado:

1 2

1 2 1 1 11

1 2 1 1 1 1

( ) ( ) '( ) '( ) ( )( ) lim

( )( ) ( ) ( ) ( )t t

R t R t R t F t f th t

R t t t R t R t R t→

− −= = = =−

En general:

0

( ) ( ) ( )( ) lim

( ) ( )dt

R t R t dt f th t

R t dt R t→

− += =


La función de riesgo representa la probabilidad condicional de fallo en un

instante dado, es decir, la relación de fallos esperados en el próximo periodo de

tiempo teniendo en cuenta el número de fallos ocurridos en el periodo anterior. Su

variación hace referencia a la velocidad a la cual se producen los fallos.

Para algunos propósitos, es útil definir la función de riesgo acumulativa:

0

( ) ( )t

H t h t dt= ∫

Además, merece la pena analizar la relación que existe entre la función de

supervivencia y la de riesgo,

0

( ) ( ) ( ) /( ) lim

( ) ( )dt

R t R t dt dR t dth t

R t dt R t→

− += = −

La resolución de esta ecuación diferencial:

0

0 0 0

0

( ) / ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ln( ( ))

( ) ( ) ( )

( ) exp ( )

t t t

t

t

dR t dt dR t dR sh t h t dt h s ds h s ds R s

R t R t R s

R t h s ds

− −= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = −

∫ ∫ ∫

∫

Nos muestra que la función de riesgo caracteriza y define a la función de

distribución – y, por tanto, a la función de supervivencia o fiabilidad- del sistema.

Luego, la evolución de la función de riesgo determinará en cada instante, la

tendencia al fallo. Sus distintos perfiles se representan en la conocida curva de la

bañera.

Figura 1.2. Curva de la función tasa de fallo con forma de bañera


19

A. ZONA DE MORTALIDAD INFANTIL/Fallos iniciales: Matemáticamente en esta

zona se cumple que ( ) 0d

h tdt

< y, por tanto, la distribución de vida F(t) presenta

una tasa de fallos decreciente (IFR) . Cuando se inicia el funcionamiento de la

población de equipos, la tasa de fallos instantánea resulta ser relativamente alta,

sin embargo, decrece muy rápidamente con el tiempo. Esto se debe a que en

esta una parte de los dispositivos resultan ser producidos con unas

características inferiores a las especificaciones de diseño: errores de diseño del

equipo, equipos defectuosos, instalaciones incorrectas, etc. Al cabo de un breve

periodo de funcionamiento, esos equipos “débiles” o por debajo del estándar

irán fallando y los demás equipos sanos seguirán funcionando. A medida que

pasa el tiempo es más probable que un equipo que no haya fallado siga

funcionando, por eso la tasa de fallos es decreciente.

B. ZONA DE TASA DE FALLOS CONSTANTE O VIDA ÚTIL/Fallos accidentales: En

esta zona la tasa de fallos no es ni creciente ni decreciente aunque se puede dar

el caso en que sea crecientes o decreciente en promedio. Esto es, una vez han

fallado todos los equipos “débiles”, se entra en una zona de tasa de fallos

razonablemente constante. Los fallos no se producen debido a causas

inherentes al equipo, sino por causas aleatorias externas. Estas causas pueden

ser accidentes fortuitos, condiciones inadecuadas u otros.

C. ZONA DE DESGASTE/Fallos de desgaste: Matemáticamente en ella se cumple

( ) 0d

h tdt

> y esto implica que su distribución de vida F(t) en esta zona

presenta una tasa de fallos creciente (DFR). La utilización acumulada de por los

equipos empieza a producir una frecuencia de avería y fallos cada vez mayores

debido al efecto de envejecimiento.

No todos los dispositivos o sistemas poseen este mismo tipo de función de

riesgo, con estas tres zonas citadas. Existen otras once formas gráficas más que

tipifican la conducta de distintos componentes o sistemas. Sin embargo, la utilidad

de la curva de bañera reside en que nos muestra todas las formas y

comportamientos posibles de una tasa de fallos.

Además, su aplicación es directa al comportamiento de muchos tipos de

componentes, entre ellos, los electrónicos. Así, por ejemplo, es frecuente ver como


muchos teléfonos móviles- de los llamados de última generación- pueden

presentar pequeños defectos al ponerse en funcionamiento (zona de mortalidad

infantil), después de ellos se espera que el usuario disfrute de un periodo en el que

el funcionamiento se registre sin fallos importantes (vida útil), hasta que, pasados

unos dos o tres años, la frecuencia de averías aumente considerablemente hasta

que, finalmente, el móvil resulte inservible.

Los doce modelos gráficos de modos de fallo-entre los que se encuentra la

curva de bañera-tienen una gran utilidad en la decisión sobre la conveniencia o no

de cambio o reparación de un componente según la zona en la que se encuentre el

dispositivo fallado. Así, por ejemplo, en el caso de una avioneta con un solo motor,

será de absoluta necesidad conocer la probabilidad de éste falle en diferentes

etapas de su vida (tras 500, 800, 1000 horas de funcionamiento, etc.).

2.3. Distribuciones de vida

El sentido de la fiabilidad es realizar estimaciones -predicciones

probabilísticas- del tiempo de buen funcionamiento –funcionamiento sin fallos- de

los distintos sistemas o componentes. Como hemos visto, esto es posible a partir de

las funciones de distribución F(t), de supervivencia R(t),de densidad f(t) y/o de

tasa de fallo, h(t). A través de la estadística, sabemos que la f.d., F(t), y la f.d.p, f(t),

pueden obtenerse como resultado de un análisis estadístico de ciertos valores de la

variable aleatoria continua que define la distribución. Esto implica que el problema

que platean las demostraciones de fiabilidad pasa por la medición de una serie de

tiempos de fallos y un posterior análisis estadístico para identificar, a través de

ellos, las distribuciones que siguen.

Sea τ la variable que representa los tiempos de fallo de un determinado

dispositivo, el objetivo es conocer su función de densidad asociada –la función de

distribución, función de supervivencia y la función tasa de fallos pueden

determinarse a través de ella-.

Dado que muchos dispositivos -especialmente los componentes con

funciones similares- presentan conductas de fallos parecidas nos encontramos

frecuentemente frente a algunas de las siguientes distribuciones:


21

A.A.A.A. Distribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencial negativanegativanegativanegativa

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es:

( ) tf t e λλ −= , 0t ≥

Es decreciente, convexa, toma el valor λ en t=0 y tiende a cero cuando

t → ∞ .

Su función de distribución viene dada por:

F(t)=0

0 0

( ) 1t t

tt t tf x dx e dt e eλ λ λλ − − −= = − = −∫ ∫ , 0t ≥

Y la función de supervivencia o fiabilidad es, por tanto:

R(t)=1-F(t)= te λ−, 0t ≥

La función tasa de fallo o función de riesgo se obtiene como:

( )( )

( )

t

t

f t eh t

R t e

λ

λλ λ

−

−= = =

Que es una constante. Lo que significa que si un dispositivo sigue una

distribución de vida exponencial, la probabilidad de fallo en intervalo de tiempo

cualquiera de amplitud t, es independiente del tiempo que el dispositivo lleva

funcionando. No se acepta la idea de envejecimiento o desgaste por uso. A esta

característica, propia sólo de la distribución exponencial, se la conoce como

propiedad de no memoria.

Figura 1.3. Función de densidad Exponencial negativa


Figura 1.4. Función Tasa de fallos de la función densidad exponencial negativa

La media o esperanza matemática del tiempo de fallo τ :

[ ]int

0 _

1t

egraciónpor partes

E MTTF t e dtλτ λλ

∞−= = =∫ ,

siendo la varianza:

[ ] 2 22int

0 0 _

1( ) t

egraciónpor partes

Var t f t dt t e dtλτ λλ

∞ ∞−= = =∫ ∫

Esta distribución aparece siempre que nos encontremos con dispositivos

que presenten una tasa de fallo constante, tales como componentes ópticos o

electrónicos.

B.B.B.B. Distribución normalDistribución normalDistribución normalDistribución normal

La función de densidad de la distribución normal es:

2

2

( )

2

2

1( )

2

t

f t eµ

σ

πσ

− −

= , 0t ≥

Donde µ es la media (que coincide con la moda y mediana) y σ es la

desviación típica de la distribución.

La función de distribución de probabilidad viene dada por: F(t)=0

( )t

f t dt∫

que no es, en ningún caso fácil de resolver. Esta distribución presenta, además, la


23

dificultad de que, sea cual sea la media, siempre existe una probabilidad de fallo

anterior a t=0, lo cual carece por completo de sentido físico.

La fiabilidad o función de supervivencia es: R(t)=1-F(t).

La función de riesgo se obtiene como:( )

( )( )

f th t

R t=

El tiempo de ejecución de las tareas de mantenimiento y/o reparación

puede representarse frecuentemente a través de la distribución normal.

C.C.C.C. Distribución logDistribución logDistribución logDistribución log----normal normal normal normal

La función de densidad log-normal es: 2

2

(ln )

2

2

1( )

2

t

f t et

µσ

πσ

−−= , 0t ≥

siendo µ y σ2 , los parámetros de la distribución.

Las función de distribución F(t), la de supervivencia R(t) y la función tasa

de fallos h(t) se calcularía de manera análoga al desarrollo seguido en apartados

anteriores.

1.5. Función de densidad Log-normal


Figura 1.6.Función Tasa de Fallos de la función log-normal

La función log-normal modela, frecuentemente, los tiempos de reparación

de sistemas o dispositivos. Además, caracteriza la distribución de fallos de metales,

semiconductores, diodos o aislantes eléctricos.

D.D.D.D. Distribución WeibullDistribución WeibullDistribución WeibullDistribución Weibull

La función de densidad de probabilidad de una distribución Weibull es:

( ) ( )11

1

1( ) ( )

ttf t t e f t t e

ββ β

θ

λβ θβ

λ

β λβ λθ

− − −−

=

= → = , 0t ≥

siendo θ el factor de escala que define cuánto de dispersa se encuentra la

distribución y, por tanto, se mide en las mismas unidades que t –por comodidad se

trabaja con λ, que es su inverso- y β el factor de forma que define la forma de la

distribución– ni la exponencial ni la normal presentan factor de forma pues tienen

una forma predeterminada que no varía en ningún caso- y es adimensional.

La función es creciente para β>1, decreciente para β<1 e igual a la

distribución exponencial para β=1. No tienen, por tanto, forma específica ya que

depende del valor de los parámetros y, por ello, juega un papel fundamental en el

análisis de fallos experimentales.

Su función de distribución es:

( ) ( )1

0 0

( ) ( 1/ , ) ( ) ( ) 1t t

t tF t W f t dt t e dt eβ βλ λβθ λ β λβ λ − −−= = = = = −∫ ∫ , 0t ≥

La función de fiabilidad, por tanto, toma la forma:


25

( )( ) tR t eβλ−= , 0t ≥

La función de riesgo viene dada a través de la expresión:

( ) ( )1

1( )( ) , 0

( )

t

t

t ef th t t t

R t e

β

β

β λβ

λ

λβ λλβ λ

− −−

−= = = ≥

Figura 1.7. Función densidad de la distribución Weibull

Figura 1.8. Función Tasa de Fallos Weibull

En la media y la varianza de la v.a. tiempo de fallo, τ , que sigue una

distribución Weibull, interviene la función gamma:

[ ] 1· 1E τ θ

β = Γ +

[ ] 2 22 11 1Var τ θ

β β = Γ + − Γ +

La distribución Weibull sirve para caracterizar a multitud de dispositivos y

sistemas, pues gracias a la flexibilidad que ofrecen los parámetros, permite


representar a los tres tipos de conducta de la función tasa de fallos en la tres zonas

de la curva de la bañera (creciente, constante y decreciente). Esta es la razón de

que sea ampliamente usada en ingeniería.

E.E.E.E. Distribución Erlang Distribución Erlang Distribución Erlang Distribución Erlang

Consideremos un dispositivo que está formado por k (k ≥ 1) unidades

idénticas que están conectadas secuencialmente. Inicialmente solo está operativo

el dispositivo 1, si éste fallase se conectaría automáticamente el 2, si éste lo hiciera,

se conectaría el 3 y así sucesivamente, hasta que k fallase. Vamos a suponer que

cada uno de estos dispositivos tiene una distribución exponencial idéntica -con el

mismo parámetro λ-. Dado que operan independientemente, el tiempo del fallo del

sistema completo es la suma de los tiempos de fallo de los k dispositivos:

1 2 ... kτ τ τ τ= + + + . La función de densidad de la v.a. continua τ es el resultado de la

operación matemática convolución de las k funciones de densidad exponenciales:

1 1

( ) , 0( ) ( 1)!

k k k kt tt t

f t e e tk k

λ λλ λ− −− −= = ≥

Γ −

Esta distribución se denota como E(k, λ), esto es, una distribución de Erlang

de parámetro k y parámetro λ de escala –equivale a una Gamma con un valor

entero positivo para k- .

La función de distribución de Erlang-o Gamma si no consideramos k Z+∈ ,

es:

11

00

( )( ) 1

( 1)! !

tk ikk x t

i

tF T x e dx e

k iλ λλ λ−

− − −

=

= = −− ∑∫ , 0t ≥

Así, la función de riesgo o función de fiabilidad, toma la forma:

1

0

( )( )

!

ikt

i

tR t e

iλλ−

−

==∑ , 0t ≥

Y la función tasa de fallo es:

( )

1

1

0

( ) ( 1)!( )

( )

!

k kt

ikt

i

te

f t kh t

R t te

i

λ

λ

λ

λ

−−

−−

=

−= =

∑, 0t ≥

Para k>1 esta función es monótona creciente, h(0)=0 y lim ( )t

h t λ→∞

= .


27

Para 0<k<1 es monótona decreciente, con lim ( )t

h t λ→∞

= y 0

lim ( )t

h t+→

= ∞ .

Para k=1, lógicamente, estamos ante una distribución exponencial.

Figura 1.9. Función densidad de probabilidad Gamma

Figura 1.10. Función Tasa de Fallos Gamma

La media y la varianza del tiempo de fallo τ para una distribución

Erlang/Gamma son:

[ ] [ ] 2,

k kE MTTF Varτ τ

λ λ= = =

Al igual que la distribución Weibull, la Erlang permite representar las tres

posibles conductas de la función tasa de fallo, por lo que es enormemente utilizada

en el análisis de datos experimentales y juega un papel fundamental en la

caracterización de dispositivos electrónicos.


3. Análisis Paramétrico

3. 1. Introducción

El primer paso en todo estudio de fiabilidad es registrar una serie de

mediciones de tiempos de fallos –longitudes de tiempo determinadas por el

instante en el que algún sistema o componente a evaluar falló-; o lo que es lo

mismo, tomar algunos valores de la variable aleatoria continua tiempo de fallo,τ .

A partir de un registro adecuado de estos datos – teniendo en cuenta la enorme

dificultad de marcar un correcto límite entre funcionamiento correcto y fallo-,

comienza un estudio estadístico que tiene como último fin encontrar la

distribución de probabilidad que mejor se ajuste a las observaciones registradas y,

por tanto, permita realizar inferencias fiables sobre el funcionamiento futuro del

dispositivo.

361 454 521 675 754

801 825 849 867 878

899 913 924 937 941

Ejemplo 1. Observaciones de tiempos de fallos (en horas)

de 15 bombas centrífugas idénticas.8

Lo primero que convendría es probar un ajuste de las observaciones con

alguna de las distribuciones de probabilidad frecuentes: exponencial, normal, log-

normal, Weibull o Erlang/Gamma. Ya que si pudiéramos caracterizar la serie de

tiempos de fallos con una distribución teórica dada, se simplificaría enormemente

el análisis descriptivo de las observaciones y la inferencia a realizar sobre ellas.

Además, nos permitiría graficar fácilmente las estimaciones de la función de

supervivencia, de la f.d.p., y de la tasa de fallos sin más que estimar los parámetros

de la distribución de ajuste. A este análisis, basado en el ajuste de las

observaciones a una distribución teórica dada a través de la estimación de sus

parámetros se le denomina análisis paramétrico. Si, por el contrario, el ajuste con

una distribución teórica no fuera posible deberemos llevar a cabo un estudio

basado en métodos más sofisticados denominados no paramétricos.

8 ALBERTO SOLS, Fiabilidad, Mantenibilidad y Efectividad, Madrid, 2000. p.155.


29

El objetivo de este capítulo es determinar qué función de distribución

teórica representa mejor los datos observados de tiempos de fallos. Así como

encontrar los valores de los parámetros de la distribución correspondiente. Con tal

cometido son muchos los métodos disponibles que se encuentran en la literatura

específica del análisis de fiabilidad: método de máxima verosimilitud, método de

momentos, tests directos de validaciones (test de Barlett para la distribución

exponencial, test de Mann para la distribución Weibull…),etc.

Sin embargo, en nuestra opinión, uno de ellos destaca, por su carácter

completo, sobre los demás: Probability Plotting, también llamado gráfico QQ-Plot.

La rapidez que nos ofrece un análisis gráfico para determinar si es posible o no un

ajuste- e incluso la bondad del mismo- se complementa con el rigor y la precisión

que podemos encontrar a través del método matemático de la regresión lineal-

estimación de parámetros, determinación del grado de ajuste, cálculo de las

bandas de confianza, etc-.

Siguiendo el carácter didáctico e introductorio de este trabajo, nos

valdremos, una vez más, de lo ya conocido para adentrarnos en un nuevo

aprendizaje. En este caso, las matemáticas ponen su famoso método de regresión

lineal al servicio del análisis de fiabilidad.

3.2. Método Probability Plotting ( Q-Q PLOT)

El grado de asociación entre una distribución hipotética teórica y la nube de

puntos generada a través de los valores de tiempo de fallo registrados, puede

analizarse de un modo simple y eficaz a través de técnicas gráficas; sin más que

representar la distribución teórica y analizar si la nube de puntos puede ser

descrita a través de ella.

Sin embargo, al representar las distintas distribuciones teóricas obtenemos,

en muchos casos, curvas muy similares, lo que dificulta enormemente la tarea de

ajuste con la nube de puntos empírica. Por ello trabajaremos con gráficos de

probabilidad, que re-escalarán las f.d. para que éstas tengan forma lineal. El ajuste

debe realizarse en los ejes coordenados: OX -que contiene información sobre cada

uno de los tiempos de fallos registrados 1 2, ,..., nτ τ τ - y OY –que recoge el valor


estimado de la función de distribución empírica asociada a cada uno de los tiempos

de fallos: 1 2( ), ( ),..., ( )nF F Fτ τ τ -.

3.2.1. Obtención de los puntos a ajustar

Supongamos que tenemos de una serie de n dispositivos idénticos, por tanto

disponemos de n observaciones de tiempos de fallo 1 2, ,..., nτ τ τ , a partir de las

cuales debemos identificar la función de distribución de fallos teórica que siguen.

Ahora bien, en seguida nos asalta un problema. La nube de puntos que debemos

ajustar es de la forma ( )( ), 1,...,i

empíricai i i tx t y F i n= = = . Disponemos del valor de la

coordenada xi- definido como el tiempo en el que falló el i-ésimo dispositivo-. Sin

embargo, aparece una paradoja cuando tratamos de hallar su coordenada y

correspondiente. Pues no podemos estimar su valor haciendo un supuesto con una

distribución teórica, que es precisamente el que queremos demostrar.

El problema se resuelve como sigue:

Partimos de n observaciones de tiempos de fallo 1 2, ,..., nτ τ τ . En general, su

función de distribución empírica será: { }º

( )n

n observaciones tF t

n

≤=

Ordenando los tiempos de fallos por orden creciente, 1 2 ... nτ τ τ< < < , el

valor de la función de distribución y la función de fiabilidad empíricas se definen,

entonces como:

( )( )ni

iF

nτ = 9

( )( ) ( )( )1 1n ni i

iR F

nτ τ⇒ = − = −

Se dice que ( )iτ es el (i/n)-cuantil de la función de distribución empírica Fn(t).

Según el teorema central del límite de la teoría de probabilidad, ocurre:

lim ( ) ( )n

nF t F t

→∞→ . Esto es, la distribución empírica converge- en sentido

probabilístico- a la función de distribución, cuando n crece. Luego se cumple que:

9 Fue usada en el campo de la hidrología y supone la primera elección de ( )( )n

iF τ . Se conoce con

el nombre de “Método California". Esta opción, que parece la más natural, tenía el gran inconveniente de no poder representar la observación n-ésima, de gran interés en ciertos aspectos.


31

( ) ( )( ) ( )ni i

iF F

nτ τ≈ =

Observación: Debido a que la función de distribución empírica en el entorno de ( )iτ

se comporta como: ( )( ) ( )

10 , ( )n n

i i

i iF F

n nτ τ−− = = , se suele tomar en la práctica el

valor medio de ambos, es decir, ( ) ( )

0.5( ) ( )n

i i

iF F

nτ τ −≈ =

10 como valor apropiado

de F en ( )it . Aunque otros autores hacen uso de otras estimaciones tales como:

( )( )i

iF

nτ = , ( )( ) 1i

iF

nτ =

+11 ( )( )

0.3,

0.4i

iF

nτ −=

−12,etc… Esta elección no cambia,

esencialmente lo expuesto, pues se obtendrían idénticas conclusiones.

Para cualquier distribución teórica de parámetros θ y β, se cumple:

[ ] ( )1t tP t F p F p

β βτθ θ

−− − ≤ = = ⇔ =

Siendo p el valor real de la función de distribución hipotética. Luego ( )1F p−

y t presentan una relación perfectamente lineal.

Siguiendo esta idea, nuestra distribución empírica, caracterizada por los

tiempos de fallos: 1 2 ... nτ τ τ< < < , tomará el valor estimado 0.5

i

ip

n

−= :

( ) ( )1 ( )_ _ _( ) _ _

0.5 isi se ajusta ani ila distribución teórica

iF F p

n

τ βτ

θ− −−= ←→ ≈

Y, por tanto, cuanto más se ajustan los puntos a la distribución teórica, más

se aproxima ( )1iF p−

a ( )iτ β

θ−

y más alineados están los puntos. El ajuste perfecto

está representado por la igualdad.

10

HAZEN A., FLOOD FLOWS: A Study of Frequencies and Magnitudes, 1930. John Wiley & Sons, New York. 11

WEIBULL W., Ingeniors Ventenskaps Akademien Handlingar, 1939,p. 153. Se considera el valor

esperado de ( )inF

τ βθ−

.

12 BENARD ET AL., Statistica, 1953, Capítulo 7.pp: 163-173.


La recta de ajuste tendrá la forma: ( )1F p− = τ βθ−

( ) ( ) ( )1 1 1

F p F p F p A Btτ θ τ β θ

β− − −−

⇒ = ⇒ = + ⇔ = + .

Por tanto, los puntos que vamos a tratar de ajustar a una distribución

teórica serán: ( )( )1( ) ,i iF pτ − . Donde ( )iτ son los valores de tiempos de fallos

observados y 1 0.5i

iF p

n− − =

son los valores obtenidos a partir de la función de

distribución teórica F(t) que se quiere ajustar a los datos, fijando previamente

( )

0.5( )n

i i

iF p

nτ −= = .

A este tipo de gráfico también se le conoce como gráfico cuantil-cuantil o

quantil-quantil plot (QQ-plot). Ya que consiste en hacer un gráfico de dispersión

entre los valores de la muestra ordenados y los cuantiles del modelo propuesto.

Cuando se tengan representados todos los puntos (x,y) asociados a las

observaciones, se deberá hallar la recta de regresión asociada, la cual

corresponderá a la f.d. de la distribución elegida cuyos parámetros mejor se

ajusten a las observaciones.

3.2.2. Regresión lineal mínimo-cuadrática

En una situación ideal (irreal) en la que todos los puntos de un diagrama de

dispersión se encontraran en una línea recta, no tendríamos que preocuparnos

sobre qué recta es la que mejor se ajusta a nuestra nube de puntos. Simplemente

uniéndolos entre sí, obtendríamos la recta –distribución elegida con parámetros

adecuados- buscada. Pero en una nube de puntos más realistas, donde son posibles

muchas rectas, es necesario encontrar la mejor representante de nuestra nube de

puntos. Convencionalmente, la elegimos en base a la condición de que ésta hace

mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre cada punto

experimental y la recta (método de mínimos cuadrados). Por tanto, los

coeficientes A y B- que determinarán nuestros parámetros en la distribución

hipotética- serán hallados a partir de esta Imposición matemática.


33

3.2.2.1. Aplicación práctica. Ajuste en las distintas distribuciones de vida

Distribución exponencial

1. Ordenamos los n tiempos de fallos registrados en orden creciente:

(1) (2) ( )... nτ τ τ< < < y asignamos, a cada uno, el rango i=1, 2,…,n.

2. Linealización de la función de distribución exponencial:

[ ]_ ln( ) 1 1 ( ) ( ) ln 1 ( )t t

tomandoF t e F t R t e F t tλ λ λ− −= − ⇒ − = = → − = −

Dado que el ln no puede tomar valores negativos, aceptamos: [ ]ln 1 ( )F t tλ− − =

3. Los puntos a ajustar por la recta son: ( )

0.5, ln 1 , 1,...,i

ii n

nτ − − − =

.

4. Por tanto, podemos identificar el coeficiente de la recta de ajuste con el

parámetro de escala λ :

( )( )1( ) ,i iF pτ − � ( )

0.5, ln 1i

i

nτ − − −

[ ] [ ] {ln 1 ( )ln 1 ( )

Y F tF t t Y AX B A

X tλ λ

= − −− − = = + ⇒ ⇒ ==

�

Distribución Weibull



2. Linealización de la función de distribución Weibull:

( ) ( )( ) ln ln ( ) ln( ln(1 ( )) ln lntR t e R t F t tβλ β β λ−= ⇒ − = − − = +

3. Determinación de los puntos empíricos: ( )0.5

ln , ln ln 1 1,2,...,i

ii n

nτ

− − − =

4. Determinación de los parámetros θ y β:

1( )

0.5,i

iF

nτ − −

� ( )0.5

ln , ln ln 1i

i

nτ

− − −

ln( ln(1 ( )) 1ln( ln(1 ( )) ln ln

exp( )ln

AY F tF t t Y AX B BX t A

ββ β λ θ

λ λ

== − − − − = + = + ⇒ ⇒ = == �


Distribución Erlang/Gamma



2. El gráfico probabilístico de una Erlang, se construye ajustando a una recta los

puntos:

( )

0.5, , 1, 2,....,i

ii n

nτ − =

Distribución normal y lognormal

Las funciones de distribución y fiabilidad de las distribuciones normal y log-

normal solo pueden expresarse en términos integrales. Esta es la razón por la son

los programas estadísticos los encargados de llevar a cabo su ajuste por regresión

lineal.

3.2.2.2. Evaluación de la bondad del ajuste

Es fundamental disponer de alguna indicación precisa que determine el

grado en el que la recta seleccionada se ajusta a la nube de puntos antes de utilizar

la ecuación para hacer predicción alguna. Pues es posible que la mejor de las rectas

disponibles no refleje un ajuste que podamos aceptar (en este caso debemos

recurrir a métodos no paramétricos). Y todo lo contrario, a mejor ajuste, mejores

serán las predicciones realizadas con el modelo.

El método de mínimos cuadrados ofrece distintas formas de resumir el

grado en que la nube de puntos se ajusta a la recta de regresión. Esto es, el grado

de confianza con el que podemos identificar la distribución de fallos del

componente o sistema con la distribución teórica elegida cuyos parámetros que

implican el mejor ajuste. A este respecto, podríamos utilizar la media-en valor

absoluto- o la mediana de los residuos (distancias de cada punto a la recta). En

nuestro caso, las medidas que usaremos para medir la bondad del ajuste lineal

mínimo cuadrático, son:

Coeficiente de correlación de Pearson:


35

• Es el coeficiente más utilizado para medir la bondad de un ajuste de regresión,

una vez obtenida la recta: ( )1

Y AX B F p At B−

= + = +�

• Su definición matemática es: ( ),

Y X

Cov Y Xr

σ σ= , donde:

Cov (Y,X) es la covarianza entre las variables Y, X y Xσ y Yσ es la desviación

típica de la variable X-que en nuestro caso se corresponde con τ -o ln τ -e

Y- que cuyos valores son F-1(pi)-, respectivamente.

• El coeficiente varía de -1 a 1 bajo el significado:

� Un coeficiente positivo indica asociación lineal positiva, es decir, tienden

a variar en el mismo sentido mientras que un coeficiente negativo indica

asociación lineal negativa, es decir, tienden a variar en sentido opuesto.

� Un coeficiente próximo o igual a cero denota poca o ninguna relación

lineal entre las variables. Un coeficiente próximo o igual-en valor

absoluto- a la unidad denota una dependencia lineal intensa o exacta

entre las variable.

Coeficiente de determinación lineal

• Es el cuadrado del coeficiente de correlación, r2, se representa por R2.

• Su expresión matemática es:

totalcuadradosdeSuma

residuoslosdecuadradoslosdeSumaR

___

______12 −= .

• Expresa la proporción de la varianza de la variable dependiente Y que está

explicada por la variable independiente X.

• Su rango de valores, lógicamente es: 0 12 ≤≤ R . La interpretación de los

posibles valores del coeficiente de determinación:

[0.0-0.25)--------------------------� Ninguna correlación entre X e Y

[0.25-0.50)------------------------� Correlación débil

[0.50-0.75)------------------------� Correlación moderada

[0.75-1)----------------------------� Correlación intensa

1-------------------------------------� Correlación perfecta


La validez de la inferencias -realizadas a través de la recta de regresión

lineal- será directamente proporcional al grado de ajuste de ésta con la nube de

puntos. Es por ello que, para aceptar a la distribución teórica-recta de regresión-

como representante de los datos observados de tiempo de fallo, debemos exigir un

estricto límite a este grado de ajuste. La correlación entre ambas-nube de

puntos/recta- debe ser de, del menos, 95% - 0.95r ≥ -.

Si estamos frente a este caso, y dado que el objetivo final es tratar de hacer

inferencias a través de la función de distribución obtenida para saber el instante

futuro en el que el dispositivo podría fallar, cabe precisar, todo cuanto sea posible,

la función de distribución obtenida.

3.2.2.3. Predicción y estimación a partir del modelo. Bandas de confianza.

Una vez hemos aceptado el modelo ajustado de la distribución teórica con

parámetros dados- recta de regresión-ésta puede interpretarse de dos formas:

1. Como predicción del valor que tomara F(t) cuando t=T.

2. Como estimación del valor medio de F(t) para el valor t=T, es decir,

( )E F t t T = .

Ambas cantidades están sujetas a incertidumbres. Es por ello que se hace

necesario establecer un intervalo de confianza, entendido como una región que

contendrá a la verdadera relación entre F(t) y τ con seguridad del (1-α)%-

normalmente usamos α=0.05, esto es 95%-.

Lo haremos basándonos, de nuevo, en la recta de regresión minimo-

cuadrática:

Proposición:Proposición:Proposición:Proposición: Obtenida la recta de regresión lineal mínimo-cuadrática:

Y=AX+B, podemos decir con un (1-α) ·100% de confianza que cuando x=X, el

valor medio estimado en y y el valor predicho en y, se encuentran

respectivamente, en los siguientes intervalos:


37

( )2

1 /2, 2

1ˆ ·n RXX

X XY t s

n Sα− −

−±

y

( )2

1 / 2, 2

1ˆ · 1n RXX

X XY t s

n Sα− −

−± +

Siendo:

1 / 2, 2nt α− − = t-Student con n-2 grados de libertad que deja a su izquierda un área de 1- α/2.

Puede consultarse en tablas específicas para valores de t-Student con parámetros 1 / 2, 2nα− −

Rs =Varianza residual del modelo

2XX XS nσ=

3.3. Método de máxima verosimilitud

En este apartado, exponemos un método general que permite hallar los

parámetros de la distribución de ajuste. Partimos, de nuevo, de n tiempos de fallos

registrados 1 2, ,..., nτ τ τ . Estos datos pueden ser vistos como observaciones de una

función de densidad teórica dada f(t, θ1,θ2) – exponencial, normal, log-normal,

Weibull y Erlang/Gamma- donde es conocida la forma de la distribución pero no

sus parámetros. Tomaremos la notación ( )1 2,θ θ θ= .La función de verosimilitud de

las observaciones será:

( )1

( , )n

ii

L fθ τ θ=

= ∏

Más común es trabajar con el logaritmo de la función de verosimilitud, esto

es: ( )ln ln ( )Lθ θ= . Los estimadores máximo verosímil 1 2ˆ ˆ,θ θ de θ1,θ2 son aquellos

que maximizan la función de verosimilitud-o su logaritmo-. Normalmente, se

encuentran resolviendo las ecuaciones:

( )ˆ , 1,2jj

lj

θθθ

∂= =∂

Muchas veces nos encontramos con que estas ecuaciones son complejas y

requieren de métodos complejos- como el algoritmo de Newton- para ser

resueltas.


Veremos a modo de ejemplo, la aplicación de este método para dos de las

distribuciones más frecuentes en fiabilidad, la distribución exponencial y la

distribución Weibull.

• Distribución exponencial

La función de verosimilitud para los datos observados es:

( )1 21 1

, ,..., , ( , ) i

n n

n ii i

L L e λττ τ τ λ τ λ λ −

= =

= =∏ ∏

Esto es,

( )1

1

n( )

n

ii

nn

ii

L e L L nLnλ τ

λ λ λ τ=

−

=

∑= ⇒ = − ∑

Por tanto, el parámetro se estima como:

1

1

( ) ˆ0 0n

i ni

ii

Ln L n nτ λλ λ τ=

=

∂ = ⇒ − = ⇒ =∂ ∑

∑

El resultado es esperado pues la tasa de fallos para esta distribución es

constante y coincide con el recíproco del tiempo medio entre fallos.

• Distribución Weibull

La función de verosimilitud es para los datos observados en una Weibull:

( ) ( )1

1 21

( , ,..., ) ( )n

tn

i

L t eββ λτ τ τ λβ λ − −

=

= ∏

Los valores de los parámetros que la hacen máxima se obtienen a través de

la resolución del sistema formado por las derivadas parciales de la función

respecto a cada uno de los parámetros, esto es:

1/

1

( ) ˆ0n

ii

Ln L n

β

βλ

λ τ=

∂ = ⇒ =

∂ ∑


39

( )1

1

1

( )( ) 1 1

0ˆ

n

i i ni

ini

ii

LnLn L

Lnn

β

β

τ ττ

β βτ=

=

=

∂ = ⇒ − =∂

∑∑

∑

El proceso de cálculo de esta segunda ecuación es iterativo y requiere de un

algoritmo especial para resolverlo. Una vez encontremos este segundo valor,

podremos obtener la estimación del parámetro λ̂ .

El uso de este método permite encontrar los parámetros de las posibles

distribuciones teóricas elegidas como posibles representantes de nuestros datos–

a través del gráfico QQ, por ejemplo-. Sin embargo, es absolutamente necesario

disponer de una medida que refleje la bondad del ajuste de estas distribuciones

dadas- distribuciones hipotéticas con parámetros encontrados a través del método

de máxima verosimilitud-a nuestros datos observacionales. Pues sólo de esta

manera es posible determinar cuál de ellas representa mejor -y en qué medida lo

hace- a nuestras observaciones.

Lo más frecuente en este sentido es realizar un test como el de Kolmogorov

–Smirnov, en el que se comparan la función cumulativa de distribución empírica

con la teórica definida a través de los parámetros de la distribución.

4. Análisis no paramétrico

El análisis no paramétrico implica la no aceptación de un modelo teórico

previo como representante de nuestros datos. A partir de esta idea, nacen distintos

métodos analíticos y gráficos que nos permitirán analizar e interpretar los datos

registrados, aunque siempre menos profundamente que si hubiéramos aceptado

una distribución hipotética (caso paramétrico). Existen dos causas principales

para el uso de métodos no paramétricos:

1. Utilidad: Comenzar el análisis de las observaciones sin un supuesto

previo puede resultar francamente útil. Ya que, en algunos casos, este primer

análisis no paramétrico podría resultar suficiente y, en otros, constituirá un

indicador altamente eficaz hacía un modelo más estructurado (paramétrico).


2. Necesidad: Si realizando un estudio paramétrico no conseguimos

demostrar un ajuste significativo con ninguna de las distribuciones hipotéticas,

será necesario aplicar técnicas no paramétricas para la obtención-al menos gráfica-

de las distintas medidas de fiabilidad.

Los métodos no paramétricos están adheridos a conceptos como Kaplan-

Meier o tiempos censurados. Comenzaremos por una definición breve de estos

últimos.

4.1. Tiempos de censura

Supongamos que disponemos de un conjunto de dispositivos idénticos al

que se desea evaluar. Para llevar a cabo un análisis de fiabilidad debemos registrar,

como primer paso, una serie de medidas correspondientes al intervalo de tiempo

hasta que algún dispositivo falla-tiempos de fallo-. Sin embargo, este estudio puede

presentarse para cuatro situaciones bien diferenciadas:

1. Observaciones completas: Se conoce el estado inicial del conjunto de

copias idénticas del dispositivo a evaluar–bien por ser copias nuevas o por

disponer del tiempo en el que ha ocurrido el último fallo para cada uno- y se

concluye el estudio de observación siempre y cuando hayan fallado todos y cada

uno de los dispositivos del conjunto.

2. Censura izquierda: Puede ocurrir que el estudio comience sin conocer la

situación inicial de los dispositivos (o de algunos de ellos)- -cuando fallaron por

última vez- y finalice una vez se haya registrado el tiempo de fallo para cada uno de

ellos.

3. Censura derecha: Se conoce la situación inicial de los dispositivos pero el

estudio concluye para un tiempo fijado, donde, queden todavía algunas copias

funcionando sin fallos.

4. Censura múltiple: Por último, puede ocurrir que al comienzo de la prueba

se desconozca la situación inicial de algunos dispositivos, o de todos, y al finalizar

la prueba algunos de ellos sigan funcionando.


41

Los métodos paramétricos explicados -de Q-Q Plot y Máxima Verosimilitud-

son aplicables, por supuesto con modificaciones pertinentes, cuando disponemos

de observaciones con censura de cualquier tipo.

Sin embargo, en este contexto, las técnicas paramétricas tradicionales

tienden a despreciar la información contenida en los datos censurados lo cual

puede sesgar los resultados obtenidos. Es por ello, que los datos con censura se

asocian más a un estudio de fiabilidad no paramétrico.

4.2. Estimación Kaplan-Meier

La fiabilidad un dispositivo o sistema se puede estimar de manera no

paramétrica basándose en los tiempos de observación (censurados y no censurados y no censurados y no censurados y no

censuradoscensuradoscensuradoscensurados) usando métodos actuariales o a través del método de Kaplan-Meyer.

Nos centraremos en este último.

Si asumimos que el fallo es independiente para cada dispositivo, las

probabilidades de sobrevivir en un tiempo tj determinado se calculan gracias a la

ley multiplicativa de las probabilidades, esto es, la probabilidad de que el

dispositivo sobreviva-sin fallos- a un tiempo tj es igual a la probabilidad de

sobrevivir hasta el momento anterior t(j–1) por la probabilidad condicionada de

sobrevivir un tiempo t(j) después de haber sobrevivido un tiempo t(j–1). Vamos a

intentar exponerlo más fácilmente:

� Disponemos de n copias idénticas del dispositivo a evaluar, de las que

hemos tomado k observaciones de tiempos de fallo distintos (k ≤ n) –el

fallo de varias unidades en el mismo instante está permitido-.

� Denotamos con dj el número de unidades que fallan en el tiempo tj.

� Denotamos por Li a los tiempos de censuras, entendidos como el tiempo

en el que se dejo de observar el dispositivo-sin que éste hubiera fallado-.

� Denotamos por nj al número de unidades en riesgo en tj – unidades

operativas y no censuradas justo antes de tiempo tj-.

Una estimación de la probabilidad condicional de supervivencia después del

tiempo tj, dado que ha sobrevivido justo antes de tj: j j

j

n d

n

−, así, es sencillo


entender que la estimación de Kaplan-Meier para la función de supervivencia, R(t),

será, entonces:

:

ˆ( )j

j j

j t t j

n dR t

n<

−= ∏

Ahora bien, cuando el muestreo es completo, esto es, no tenemos

observaciones censuradas, y ocurre que n1=n y nj=nj-1-dj (j=1,…,n); este estimador

puede simplificarse a la función de fiabilidad empírica definida como:

{ }º _( )

n observaciones tR t

n

>=

Ya que en este caso el número de observaciones mayores que cualquier t es

conocido con exactitud.

Las propiedades de este estimador no se estudiarán aquí explícitamente,

pueden consultarse en la bibliografía. Sin embargo, es importarte explicitar que, en

cualquier caso-censura o no- se trata de una función escalonada que toma el valor

1 en t=0 y decrece por un factor ( )j j

j

n dn

− inmediatamente después de cada

fallo. La estimación no cambia en los tiempos de censura Li, el efecto de los mismos

se pone de manifiesto en los valores nj y, por tanto, en los saltos de R̂(t).

La función razón de fallo acumulativa-o función impacto- es H(t)=-ln R(t),

por lo que de un modo natural, tomamos su estimación empírica como:

ˆ ˆ( ) ln ( )H t R t= −

La gráfica de esta función es especialmente útil para determinar ciertas

propiedades de la distribución, por ejemplo, permite diagnosticar cómo se

comportará su tasa de fallo h(t).


43

5. Mantenimiento

Hasta aquí se han introducido las técnicas estadísticas implicadas en un

análisis de fiabilidad llevado a cabo a partir del registro de una serie de tiempos de

fallo de un sistema o dispositivo.

Aunque conocer, a través de las diferentes medidas de fiabilidad, la

capacidad que tendrá un sistema de desarrollar adecuadamente su labor a lo largo

del tiempo, supone un paso de gigantes en la prevención de ciertos fallos- p.e fallos

de desgaste,- lo cierto es que sigue siendo imposible diseñar dispositivos que no

fallen.

Esto nos lleva a plantearnos la necesidad de actuar en este sentido y

plantear técnicas que nos permitan tanto prevenir de alguna manera los fallos

antes de que se produzcan como devolver al sistema, una vez éste falló, a su estado

operativo. Aquí entra el juego el mantenimiento.

El mantenimiento está estrechamente ligado a la fiabilidad –mayor

frecuencia de fallos, mayor mantenimiento- pues los dos estudian, de manera

complementaria, la operatividad de sistemas. Y, como la fiabilidad, el

mantenimiento conforma también una disciplina de la ingeniería que debe ser

aplicada en la concepción, diseño y desarrollo de sistemas.

La mantenibilidad, tal y como ocurría con la fiabilidad, debe ser

demostrada. Sin embargo, las muchas responsabilidades que recaen sobre ella-

consumo de tiempo, empleo de recursos humanos, materiales, costes, etc- hacen

que encontremos un amplio abanico de medidas disponibles. Todas ellas

pertenecen a uno de los cuatro grupos en que se dividen los parámetros que miden

la mantenibilidad: parámetros basados en el tiempo, parámetros basados en la

carga de trabajo, parámetros basados en la frecuencia y parámetros basados en el

coste de las tareas.

La reparación, la inspección, el reemplazamiento y los costes hacen del

estudio del mantenimiento una disciplina extensa que precisa de técnicas

estadísticas nuevas que escapan al cometido de este trabajo.

Sin embargo, la absoluta analogía y relación existente entre las variables

aleatorias continuas tiempo de reparación -TTR (Time To Repair), relativa a la


mantenibilidad, y el tiempo de fallo, hace que detenernos en el TTR sea un paso

obligado en este estudio.

5.1. Tiempo de reparación-TTR

Al monitorizar un sistema o componente, el registro de su tiempo de fallo se

identifica con el intervalo de tiempo en el que el sistema ha estado operativo

(hasta que se produjo el fallo). Si el dispositivo es reparable, cuando se produce la

avería, el monitor detecta ese instante como tiempo de fallo –o lo que es lo mismo,

tiempo operativo- e instantáneamente, pone en marcha otro contador que

funciona hasta que el sistema es devuelto a su estado de correcto funcionamiento.

A este nuevo intervalo de tiempo se le conoce como tiempo de reparación.

Como vemos, el tiempo de reparación presenta idénticas características

matemáticas que la variable tiempo de fallo y, es por ello que, comparte con ella

todo el conjunto de técnicas estadísticas estudiadas hasta el momento.

A.A.A.A. Función de mantenibilidadFunción de mantenibilidadFunción de mantenibilidadFunción de mantenibilidad

Se define como la probabilidad de que la reparación del sistema ocurra

antes de un tiempo t cualquiera- sobre el que queramos estimarlo-:

[ ]0

( ) ( )t

M t P TTR t m t dt= ≤ = ∫

B.B.B.B. Función de Función de Función de Función de no no no no reparabilidadreparabilidadreparabilidadreparabilidad

Se define como:

Rr(t)=1-M(t)

Equivale a la función de supervivencia evaluada a través de los tiempos de

fallo pero ambas funciones se presentan con connotaciones opuestas. Rr(t) se

define como la probabilidad de que el sistema no haya sido reparado –previamente

era entendido como la probabilidad de no haber fallado- antes de un tiempo t. Con

lo cual, el crecimiento de Rr(t) conlleva implicaciones negativas en cuanto a la

disponibilidad del sistema, mientras que al crecimiento de R(t) le pasa todo lo

contrario.


45

C.C.C.C. Función de densidad delFunción de densidad delFunción de densidad delFunción de densidad del tiempo de reparacióntiempo de reparacióntiempo de reparacióntiempo de reparación

Como toda función de densidad de probabilidad, cumple:

( )( )

dM tm t

dt=

Comparte todas las propiedades matemáticas descritas para la función de

densidad del tiempo de fallos. Por tanto, permite el cálculo de la probabilidad de

que una reparación dure en un cierto intervalo de tiempo mayor o menor que un

tiempo fijado.

D.D.D.D. Función de tasa de reparaciónFunción de tasa de reparaciónFunción de tasa de reparaciónFunción de tasa de reparación

Se define de manera análoga a la función tasa de fallo, es decir,

( )( )

1 ( )

m tt

M tµ =

−

La tasa de reparación en el instante t, mide la probabilidad que un sistema

sea reparado en el intervalo [t, t+∆t], esto es, nº de reparaciones por unidad de

tiempo. Conocer este parámetro resulta muy útil en mantenimiento, ya que su

evolución determina la probabilidad de que la reparación sea completada en un

instante dado.

El estudio de inferencia estadística de estas medidas de permitirán al

ingeniero hacer predicciones relativas al tiempo de reparación del dispositivo, lo

que parece una idea fundamental al hablar de disponibilidad del mismo.

Para obtener la función de mantenibilidad-y a partir de ella la función de

densidad y función tasa de reparación- de un determinado sistema, debemos

generar observaciones de TTR, y a partir de ellas y siguiendo exactamente las

mismas técnicas –paramétricas y no parámetricas- explicadas hasta el momento

para la serie de tiempos de fallo, se debe encontrar la distribución que mejor las

represente.


Capítulo 2. ESTUDIO REAL

DE FIABILIDAD

47

1. Introducción

1.1. Justificación del estudio

Los ingenieros necesitan conocer de qué manera

los dispositivos o sistemas que diseñan o fabrican.

los tiempos adecuados para la

componentes evitando –o anticipándose

fallo. Esta es la única y verdadera esencia de la ingeniería de fiabil

La teoría en la que se fundamenta la fiabilidad de sistemas

capítulo primero de este trabajo

aplicarla al mundo real, de hacerla útil.

Comienza aquí la parte más interesante e imprescindible

aplicación práctica del análisis de fiabilidad.

En este estudio trabajaremos con 72 datos de tiempos de fallos y

correspondientes tiempos de reparación reales recogidos a t

monitorización de un generador eléctrico

Un generador eléctrico es un dispositivo que consigue transformar la

energía mecánica en energía eléctrica.

Mantiene, por tanto, una diferencia de

potencial entre dos de sus puntos

Por la ley de Faraday, cuando hacemos

girar una espira – conductor

plano- a través de un campo magnético, se

produce en ella una variación del flujo de

dicho campo, lo que provoca una diferencia de

potencial entre los bornes de la espira.

En las centrales de generación eléctrica, la espira recibe el nombre de rotor

debido a su movimiento constante

un material ferromagnético

un campo magnético. El estator

por bobinas por las que circulará la corriente. Cuando el rotor gira, el flujo del


Justificación del estudio

necesitan conocer de qué manera se producen los fallos en

istemas que diseñan o fabrican. Pues sólo así es posible estimar

los tiempos adecuados para la inspección, reparación o sustitución de los

o anticipándose- así, a las repercusiones de un posible

fallo. Esta es la única y verdadera esencia de la ingeniería de fiabilidad.

La teoría en la que se fundamenta la fiabilidad de sistemas

capítulo primero de este trabajo- solo toma sentido cuando somos capaces de

aplicarla al mundo real, de hacerla útil.

Comienza aquí la parte más interesante e imprescindible de este trabajo: la

aplicación práctica del análisis de fiabilidad.

En este estudio trabajaremos con 72 datos de tiempos de fallos y

tiempos de reparación reales recogidos a t

monitorización de un generador eléctrico de una determinada compañía.


energía mecánica en energía eléctrica.

Mantiene, por tanto, una diferencia de

potencial entre dos de sus puntos- polos-.

Por la ley de Faraday, cuando hacemos

conductor cerrado

a través de un campo magnético, se

produce en ella una variación del flujo de

, lo que provoca una diferencia de

potencial entre los bornes de la espira.

entrales de generación eléctrica, la espira recibe el nombre de rotor

debido a su movimiento constante- y es una bobina enrollada en torno a

material ferromagnético por la que se hace circular una corriente, que produce

El estator-o parte estática del generador- está constituido


Figura 2.1. Generación electricidad


se producen los fallos en

Pues sólo así es posible estimar

inspección, reparación o sustitución de los

las repercusiones de un posible

idad.

La teoría en la que se fundamenta la fiabilidad de sistemas-recogida en el

solo toma sentido cuando somos capaces de

de este trabajo: la

En este estudio trabajaremos con 72 datos de tiempos de fallos y sus

tiempos de reparación reales recogidos a través de la

determinada compañía.


entrales de generación eléctrica, la espira recibe el nombre de rotor-

una bobina enrollada en torno a

por la que se hace circular una corriente, que produce

está constituido


Figura 2.1. Generación electricidad


campo magnético a través del estator-bornes de la espira- varía con el tiempo, por

lo que se generará una corriente eléctrica. La energía mecánica –rotación del rotor-

que el generador transforma en energía eléctrica proviene del movimiento de una

turbina, accionada –dependiendo del tipo de central- por vapor de agua, aire o

agua.

A continuación, se muestra esquemáticamente el papel de un generador

eléctrico en una central hidráulica.

Figura 2.1.Generador eléctrico en una central hidráulica

Dado que son responsables del abastecimiento de electricidad, los fallos en

los generadores de las compañías eléctricas, pueden provocar los molestos

apagones que todos, como usuarios, hemos sufrido alguna vez.

Las consecuencias de un fallo en un generador eléctrico dependen del

momento y circunstancias en que se produzcan. Existen averías que no impiden

que el generador siga funcionando y suministrando electricidad, otros fallos

pueden provocar apagones durante algunos segundos en una barriada o cuidad y,

también pueden darse grandes averías que precisen de costosas y largas

reparaciones provocando apagones de horas o incluso días. En este último caso, los

muchos perjuicios causados por la falta de corriente eléctrica o frecuentes cortes

de suministro, puede provocar que clientes individuales y entidades-empresas,

industrias,…- impongan multas que resulten en millonarias pérdidas para las

compañías eléctricas.


49

Por otro lado, fallos frecuentes, aún con reparaciones casi instantáneas,

inducen al malestar entre los usuarios que podrían abandonar la compañía por

otra de la competencia con menos tasa de fallos.

Pero, sin duda, la causa más determinante en la necesidad de realizar un

estudio de fiabilidad en generadores eléctricos es la de prevenir costes en su

mantenimiento y reparación. Determinar la cantidad de repuestos de los que se

necesita disponer para los distintos componentes, fijar el tiempo adecuado entre

las inspecciones, conocer la conveniencia de sustituir o no un dispositivo según su

grado de desgaste, son tareas relacionadas directamente con los resultados de un

estudio de la fiabilidad.


1.2. Estudio de fiabilidad con SPSS

De entre la multitud de software disponibles13, hemos elegido SPSS-

Statistical Package Social Sciences- para llevar a cabo nuestro estudio de fiabilidad.

La razón fundamental es la facilidad de uso que, debido a su carácter intuitivo y

simple, permite un óptimo manejo de datos estadísticos tanto a usuarios como a

expertos.

Una vez iniciada la sesión en SPSS, debemos elegir la opción

correspondiente a la introducción de datos.

El editor de datos presenta dos sub-ventanas diferentes: vista de datos y

vista de variables. En la primera introduciremos los datos teniendo en cuenta que

SPSS maneja los datos en términos de variables, cada una de las cuales ocupa una

columna. Por tanto, en cada columna colocaremos los valores de la variable

correspondiente. Hay que tener en cuenta que SPSS entiende los decimales con

comas.

En cuanto al visor vista de variables, nos permite guardar información

adicional relativa a las variables que manejamos: nombre, tipo, nº de decimales

que fijamos, etc…

En nuestro caso, las dos variables de trabajo son: fτ -tiempos de fallos- y rτ -

tiempos de reparación. La unidad del tiempo es el día. Ver [ANEXO 1ANEXO 1ANEXO 1ANEXO 1]. La variable

aleatoria continua tiempo de fallo tomará los valores correspondientes a intervalos

de tiempo determinados por el instante en el que el generador falló. De ahí que le

designemos como T_operativo, haciendo referencia a que se identifica con

intervalo de tiempo en el que el generador estuvo operativo no registrando fallos.

El intervalo de tiempo que va desde el instante en el que el sistema falla hasta que

vuelve a estar operativo recibe el nombre de tiempo de reparación.

Tantos si los datos son referidos a 72 generadores eléctricos como si se

trata de una inspección realizada a un solo generador-las compañías eléctricas son

muy reacias a la hora de ofrecer información sobre sus datos reales- estamos

13

Las posibilidades pasan por el uso de cualquier software de hojas de cálculo, p.e., Excel, hasta sofisticados entornos que usan lenguaje propio de programación, p.e., R .Realizan un estudio completo y específico de fiabilidad Statgraphics o Minitab.


51

hablando de observaciones completas-sin censura-. Al tratar con tiempos de

reparación, podemos suponer-sin pérdida de generalidad- que se trata de la

inspección a un solo generador eléctrico. Así lo consideraremos a lo largo de este

estudio.

2. Fiabilidad: Análisis de los tiempos de fallo

2.1. Análisis descriptivo de los tiempos de fallos

El primer paso en cualquier estudio estadístico debe ser un análisis

descriptivo de los valores que van a utilizarse. Este análisis implica obtener todas

las medidas centrales (media, moda, mediana), así como los parámetros de

dispersión (rango, varianza, desviación típica, desviación media, cuartiles,

percentiles). Acompañando estos resultados con parámetros de forma de la

distribución (asimetría y curtosis) y su representación gráfica (histogramas),

podremos obtener una primera interpretación del comportamiento de la

distribución de los datos.

Todo ello se obtiene con el programa SPSS a través de las órdenes:

Analizar > Estadísticos Analizar > Estadísticos Analizar > Estadísticos Analizar > Estadísticos descriptivos > Frecuenciasdescriptivos > Frecuenciasdescriptivos > Frecuenciasdescriptivos > Frecuencias


Obtenemos los siguientes resultados:

Estadísticos

T_operativo

N Válidos 72

Perdidos 0

Media 24,502305

Mediana 14,020833

Moda ,3167a

Desv. Típ. 30,1940738

Varianza 911,682

Asimetría 2,712

Error típ. De asimetría ,283

Curtosis 9,432

Error típ. De curtosis ,559

Rango 168,7174

Mínimo ,3167

Máximo 169,0340

Percentiles

25 5,711806

50 14,020833

75 34,047396

Del análisis descriptivo basado en las 72 medidas de tiempos de fallos se

deduce que:

El máximo tiempo que el generador eléctrico ha estado operativo, sin

registrar ninguna avería, ha sido de 169,03 días. El intervalo de tiempo mínimo en

el que el sistema ha estado operativo hasta la detección de un fallo fue de 0,32 días,

aproximadamente, unas 7 horas y media.


53

Medidas de centralizaciónMedidas de centralizaciónMedidas de centralizaciónMedidas de centralización

La media de días de todos los fallos producidos en el generador eléctrico,

durante la inspección, es de, aproximadamente, 24,50 días.

La mediana nos informa de que el número de veces que el sistema falló,

estando operativo un intervalo de tiempo inferior a 14,02 días es el mismo que el

número de veces que el sistema falló estando operativo un intervalo de tiempo

superior a 14,02 días. Esto es, de las 72 observaciones, hay 31 tiempos de fallos-

tiempo operativos- registrados con valores menores de 14,02 días y 31 tiempos de

fallos mayores de 14,02 días. Dado que los valores extremos –máximo y mínimo-

de la distribución están muy alejados (el rango es de 168,72), la mediana suele ser

considerada, en este caso, un mejor valor de centralización que la media.

Existen diferentes valores para la moda entendida como los intervalos de

los tiempos de fallos que registran una mayor frecuencia. Uno de ellos es 0,3167

días, esto es, aproximadamente: 7h y 36 min.

Medidas de dispersiónMedidas de dispersiónMedidas de dispersiónMedidas de dispersión

El valor de la varianza y de su raíz, la desviación típica son indicadores de

lo alejados, de lo dispersos, que se encuentran nuestros valores respecto a la

media. Como vemos, 911,68 y 30,19, son cantidades muy altas que denotan la falta

de representatividad de los parámetros centrales.

Los cuartiles o percentiles P25%=5,71 días , P50%=14,02 días y P75%=34,05

días hacen referencia al valor de la variable tiempo operativo tal que las

frecuencias absolutas de los valores iguales o menores que él representan el 25%,

el 50% -coincide con la mediana- y el 75% de la frecuencia total de la distribución.

Gráfico de distribución: HistogramaGráfico de distribución: HistogramaGráfico de distribución: HistogramaGráfico de distribución: Histograma y Parámetros de formay Parámetros de formay Parámetros de formay Parámetros de forma

La principal razón de este estudio descriptivo de los datos es obtener una

primera interpretación de la distribución que siguen los valores de tiempos de

fallos. Los parámetros de asimetría y curtosis nos ayudarán a describir esta

distribución al margen de su representación gráfica- comparándola con la


distribución normal de Gauss-. Por otro lado, la información más eficaz disponible

sobre la forma de la distribución nos la ofrece el análisis de su histograma.

MediMediMediMediddddas de formaas de formaas de formaas de forma

Un valor del parámetro de asimetría de 2,71 (>0) nos indica que la

distribución no es simétrica y, además, presenta una asimetría derecha (moda ≤

mediana ≤ media).

El parámetro de curtosis hace referencia a cómo de concentrados están los

valores centrales en la distribución entorno a las medidas de centralización. Dado

que este coeficiente presenta un valor de 9,43 (>0), se entiende que la distribución

tratada presenta una forma más puntiaguda que la distribución normal de Gauss.

HistogramaHistogramaHistogramaHistograma

Nos indica la

probabilidad de encontrar

observaciones de tiempos de

fallos en los distintos

intervalos. Vemos que esta

probabilidad es mucho mayor

para valores cercanos al cero.

Lo que nos indica que fueron

frecuentes los fallos

producidos cuando el

dispositivo eléctrico llevaba

operativo sólo días o incluso

horas-los más frecuentes-. La probabilidad de que el generador falle a medida que

pasan los días parece ser cada vez menor.

OBSERVACIÓN: Toda representación gráfica de una variable continua en

SPSS presenta la singularidad de facilitar un estudio descriptivo de normalidad. A

través de la comparación con la distribución normal podemos identificar mejor la

forma y simetría de la distribución que estamos estudiando.


55

CCCCONCLUSIONES DEL ANÁLONCLUSIONES DEL ANÁLONCLUSIONES DEL ANÁLONCLUSIONES DEL ANÁLISIS DESCRIPTIVO PREISIS DESCRIPTIVO PREISIS DESCRIPTIVO PREISIS DESCRIPTIVO PREVIOVIOVIOVIO PARA PARA PARA PARA T_T_T_T_OPERATIVOOPERATIVOOPERATIVOOPERATIVO

• Se produce una altísima tasa de fallos para breves períodos de tiempo de

funcionamiento del generador. Esta tasa va bajando a medida que el tiempo

operativo es mayor.

• La tasa de fallos parece ser, pues, decreciente. Es decir, cada vez es más

probable que si el generador no ha registrado un fallo con el paso de los

días, siga funcionando correctamente.

• Pasando un tiempo operativo dado, aproximadamente 70 días, la

probabilidad de que el generador eléctrico falle se estabiliza, se hace

aproximadamente constante.

Todo ello nos indica que la tasa de fallo instantánea o función de riesgo

presentaría una acentuada zona de mortalidad infantil que se supera con una

estabilización de la tasa de fallos. No se detecta una zona de desgaste. Este hecho

puede deberse a que no exista tal zona o a que el tiempo de inspección del estudio

sea menor que el tiempo de degradación de componentes.

2.2. Análisis paramétrico

En base al estudio descriptivo realizado con anterioridad, podemos ya

obtener algunas pautas en la decisión sobre qué distribución se podría ajustar

mejor a nuestras observaciones. Tales como:


1. La tasa de fallos no parece ser constante a lo largo del tiempo, por lo que

la distribución exponencial quedaría, en principio, descartada para

representar el comportamiento de los tiempos de fallo registrados.

2. Del estudio descriptivo adicional de normalidad se extrae que los datos

tiempos de fallo no parecen seguir una distribución de este tipo.

Sin embargo, y dado la facilidad con la que SPSS nos lo permite, a través de

los gráficos Q-Q, vamos a comparar la serie de tiempos de fallos con cada una de

las distribuciones de vida hipotéticas, descritas en el apartado [2.3] de este trabajo.

Las órdenes pertinentes para ello son:

Analizar> Estadísticos descriptivos > Gráficos QAnalizar> Estadísticos descriptivos > Gráficos QAnalizar> Estadísticos descriptivos > Gráficos QAnalizar> Estadísticos descriptivos > Gráficos Q----QQQQ

En la casilla DDDDistribuciones de contrasteistribuciones de contrasteistribuciones de contrasteistribuciones de contraste elegimos cada una de las

distribuciones teóricas con las que se va a comparar la distribución empírica de

nuestra variable “T_operativo”. En cuanto a la fórmula de estimación de la

proporción, el paquete SPSS toma por defecto, la fórmula de Blom, 0.375

0.25i

ip

n

−=+

14

como valor estimado de ( )( )1iF τ− . Como ya vimos en el apartado [3.1.] las distintas

posibilidades conducen a resultados equivalentes-con diferencias máximas de

centésimas-.

Este análisis gráfico también ofrece una estimación de los parámetros de la

distribución teórica de ajuste. Sin embargo, como buscamos acercarnos a una

evaluar simplemente la posibilidad del ajuste, estos datos no serán tenidos en

cuenta.

14

BLOM, G., Statistical Estimates and Transformed Beta-Variables, Wiley, New York, 1958.


57

• Distribución Exponencial

• Distribución Normal

• Distribución log-normal



• Distribución Gamma (Erlang)

A la vista de los resultados parece razonable descartar las distribuciones

exponencial, normal y log-normal, pues los gráficos Q-Q muestran una clara falta

de ajuste entre los puntos y estas tres distribuciones.

Aunque estos gráficos suponen una técnica fácil de aplicar y de gran

utilidad se trata sólo de una técnica descriptiva. Tanto la distribución Weibull

como la Gamma parecen una posible distribución de ajuste para nuestra serie de

datos.

Aunque hemos obtenido sus parámetros de ajuste a través del método de a través del método de a través del método de a través del método de

máxima veroximilitudmáxima veroximilitudmáxima veroximilitudmáxima veroximilitud:


59

Es ésta la única información de la que disponemos. Por tanto, el siguiente

paso necesario es cuantificar el grado de ajuste a estas dos distribuciones para

elegir, de entre ambas, la que mejor representa la serie de tiempos de fallo

registrada.

2.2.1. Regresión lineal

Para hacer útil el método Probability Plotting es necesario medir el grado

de asociación entre las variables y la distribución teórica elegida. Para ello, nos

valdremos de la teoría expuesta en el apartado [3.2], cuyo primer paso era obtener

los puntos a ajustar.

Ordenaremos los n -72- tiempos registrados en orden creciente. A

continuación, generamos la variable rango con valores i=1,2,3…,72.

• Distribución Gamma

Los puntos para la comparación con una distribución Erlang/Gamma son:

( )

0.5, , 1, 2,....,i

ii n

nτ − =

Generamos la coordenada yG (yGamma) a partir de las órdenes:

Transformar>Calcular variableTransformar>Calcular variableTransformar>Calcular variableTransformar>Calcular variable


Una vez hemos tenemos los puntos a ajustar, llevamos a cabo el ajuste de

regresión lineal.

El comando a seguir es: Analizar > Regresión > LinealAnalizar > Regresión > LinealAnalizar > Regresión > LinealAnalizar > Regresión > Lineal

Los resultados son:

Resumen del modelo b

Modelo R R cuadrado R cuadrado

corregida

Error típ. De la

estimación

1 ,793a ,628 ,623 ,1784970

a. Variables predictoras: (Constante), xG

b. Variable dependiente: yG

El valor del coeficiente de correlación de Pearson (R<0.95) denota que no

existe una relación demostrada entre las variables que podamos aceptar. Luego,

nuestros datos no serán representados por la función Gamma.


Los puntos a ajustar son: ( )0.5

ln , ln ln 1 1,2,...,i

ii n

nτ

− − − =

El análisis de regresión lineal ofrece los siguientes resultados:

Resumen del modelo


corregida

Error típ. De la

estimación

1 ,988a ,975 ,975 ,20069

a. Variables predictoras: (Constante), xW

Obtenemos un valor del coeficiente de Pearson igual a 0,988, lo que denota

una alta correlación entre los valores xW e yW. Se demuestra, entonces, que la

recta de regresión hallada –distribución teórica de Weibull con unos parámetros

específicos- se ajusta muy bien a la nube de puntos (a nivel del 98,8% de

confianza) y podemos usarla, por tanto, como representante de la conducta de los

tiempos de fallos.


61

2.2.1.1. Estimación de los parámetros: Regresión lineal&Máxima verosimilitud

El análisis de regresión lineal ofrece, además:

Coeficientes a

Modelo Coeficientes no

estandarizados

Coeficientes

tipificados

t Sig. Intervalo de confianza de

95,0% para B

B Error típ. Beta Límite

inferior

Límite

superior

1 (Constante) -2,696 ,047

-

57,602 ,000 -2,789 -2,602

xW ,868 ,017 ,988 52,562 ,000 ,835 ,901

a. Variable dependiente: yW

El coeficiente llamado constante es el origen de la recta de regresión y el

coeficiente llamado xW se corresponde con la pendiente de la recta de regresión.

Según obtuvimos en el apartado de teoría correspondiente:

ˆln( ln(1 ( ))

ln( ln(1 ( )) ln ln 1ˆ ˆln exp( )ˆ

AY F tF t t Y AX B

BX tA

ββ β λ

λ θλ

== − − − − = + = + ⇒ = = ⇒ =

�

El parámetro de forma de la distribución, es , por tanto:

β̂ [ ]95%0,868 0.825,0.901A β= = ⇒ ∈

El parámetro de escala θ̂ , se calcula a través de:

( ) ( )2,696ˆ exp exp 0,868B

Aλ −= = = 0,044781ˆˆ

θλ

⇒ = = 22,331

Cuyos intervalos de confianza –al 95%- son, aproximadamente:

max ´min

max

min max

min

2,789 1ˆ ˆ2,789 exp 0,0402 24,8756ˆ0,868

2,602 1ˆ ˆ2,602 exp 0,0499 20,0401ˆ0,868

const

const

λ θλ

λ θλ

− = − → = = ⇒ = =

⇒ − = − → = = ⇒ = =

[ ]95%ˆ 22,331; 20.040, 24.858θ θ⇒ = ∈


Por tanto, los parámetros hallados a través del método de regresión lineal

mínimo-cuadrática son análogos a los

obtenidos a través del método de

máxima verosimilitud –se encuentran

dentro de los intervalos de confianza

de los parámetros estimados-.

Los intervalos de confianza nos informan sobre los límites en que podemos

esperar que se encuentre el valor poblacional de cada coeficiente de regresión.

Estos límites se obtienen sumando y restando 1.96 errores típicos (nivel de

confianza 95%) al valor correspondiente de regresión lineal.

Los estadísticos t se distribuyen según el modelo de probabilidad t de

Student con n-2 grados de libertad. Sus niveles críticos de significación nos

permiten contrastar las hipótesis nulas de que los coeficientes de regresión valen

cero. En nuestro caso, se demuestra, a un nivel de sig. 0,000 (<0,005), que los

coeficientes de regresión son distintos de cero y, en consecuencia, la variable

independiente está significativamente relacionada con la independiente.

Observación: El resultado del estadístico t es equivalente al del estadístico F

en la tabla ANOVA (de hecho t2=F).

En definitiva, a la vista de los resultados, se demuestra que la función de

distribución Weibull con parámetros 0,0448

0,868

λβ

= =

se ajusta a nuestra nube de

puntos empírica con una bondad del 98,8%. O lo que es lo mismo, la serie de

tiempos de fallo registrada puede caracterizarse por una distribución Weibull con

un nivel de confianza del 98,8%.

2.2.1.2. Estimación y predicción a partir del modelo. Bandas de confianza.

Una vez hemos especificado, estimado y validado un modelo, podemos

utilizarlo con objetivos diferentes. En general, estamos interesados,

principalmente, en predecir el comportamiento futuro de la variable tiempo de

fallo, esto es, predecir cuando el sistema podría fallar.

Parámetros de distribución estimados

T_operativo

Distribución de Weibull Escala 22,412

Forma ,855


63

A continuación, se muestra el gráfico de dispersión y las bandas de

confianza al 95% que contienen la verdadera relación entre F(t) y τ :

A la hora de realizar las predicciones, se puede ver que el intervalo de

predicción para el valor observado de la variable tiempo de fallo resulta más

grande que el intervalo de predicción para el valor esperado de la variable. Esto es

debido a que en la predicción hemos de considerar también la perturbación

aleatoria la cual incrementa la varianza del término error.

2.3. Propiedades de fiabilidad del generador eléctrico

Una vez demostrado el ajuste, la adopción de la función de distribución

hipotética como representante de nuestros datos, nos conducirá fácilmente a la

obtención de las demás medidas de fiabilidad-función de supervivencia, función

densidad de probabilidad, función de tasa de fallos, ordinaria y acumulativa, etc-.


Es éste el cometido que implica la culminación al estudio realizado, pues a

partir de él se infieren todas las propiedades de fiabilidad del dispositivo eléctrico

evaluado.

1. 1. 1. 1. Función de distribución:Función de distribución:Función de distribución:Función de distribución: W(λ,β)=W(0,0448; 0,868)= ( ) 0 ,868(0,0448· )1 e 1t teβλ− −− = −

Se representa la función de distribución para el intervalo de tiempo de un año [0-365 días]

La probabilidad de que el generador

eléctrico falle crece rápidamente en los

primeros días.

A los 50 días la probabilidad de que el

sistema falle está en torno al 80%.

Pasando los 100 días de funcionamiento,

la probabilidad del fallo del generador, se

eleva prácticamente, al 100% .

La probabilidad de que ocurra un fallo en un intervalo cualquiera t1-t2 (t2>t1) es

F(t2)-F(t1).

2. Función 2. Función 2. Función 2. Función de supervivenciade supervivenciade supervivenciade supervivencia

Su formulación matemática es:0,868( ) (0,0448 )

0,04480,868

( ) 1 ( ) ( )t tR t F t e R t eβλ

λβ

− −==

= − = → =

El valor de esta curva en cada punto

representa –en tanto por uno- la

probabilidad de sobrevivir sin fallos a un

tiempo t (medido en días).

Ofrece, como ya sabemos, la misma

información –pero en términos de

supervivencia y no de fallo- que la función

de distribución.


65

3. Función densidad de probabilidad de fallo3. Función densidad de probabilidad de fallo3. Función densidad de probabilidad de fallo3. Función densidad de probabilidad de fallo

Su formulación matemática es:

( ) ( ) ( )1 0,8680,868 1 (0,0448* )( ) 0,0448*0,868* 0,0448*t tf t t e t e

β βλλβ λ− −− −= �

Es, como ya preveíamos una función

decreciente que tiende a cero cuando

t → ∞ .

Si tomamos un punto fijo de t, por

ejemplo t=50 días, el área limitada por

la curva, el eje de abscisas y la región a

la izquierda de la recta t=50

representa la probabilidad de fallo

para 50 días.

A mayor tiempo, mayor área y, por tanto, mayor probabilidad de fallo.

Para tiempos pequeños el área es grande, lo que implica una probabilidad amplia

de fallo. El área total bajo la curva representa la unidad.

4. Función Tasa de fallo4. Función Tasa de fallo4. Función Tasa de fallo4. Función Tasa de fallo o Función de riesgoo Función de riesgoo Función de riesgoo Función de riesgo

Su formulación matemática es:

( ) ( ) ( )1

1 0,868 1

0,04480,868

( )( ) 0,0448*0,868 0,0448*

( )

t

t

t ef th t t t

R t e

β

β

β λβ

λλβ

λβ λλβ λ

− −− −

=−=

= = = →

La evolución de esta curva determina

la tendencia al fallo del generador

eléctrico durante un año.

Se señala una acentuada zona de

mortalidad infantil en la que existe un

alto riesgo de fallo del dispositivo.


A medida que el generador va superando esta zona sin fallos, cada vez es más

improbable que falle-o que los fallos no se hayan producido antes-.

No se observa una zona de desgaste o envejecimiento. Es decir, que el riesgo de

fallo comience a aumentar pasado un tiempo operativo que implique que el

sistema es propenso a averías por degradación o desgaste.

5. Función Tasa de Fallo acumulativa5. Función Tasa de Fallo acumulativa5. Función Tasa de Fallo acumulativa5. Función Tasa de Fallo acumulativa

Se define como: H(t)=0

( )t

h t dt∫ o bien H(t)=-ln R(t). Esta función ofrece mucha

información acerca de la distribución, ya que:

• Si ( )H t es lineal en t ⇒ la función tasa de

fallos o función de riesgo, h(t), es constante.

• Si ( )H t es convexa con derivada primera

creciente en t ⇒ la función tasa de fallos o

función de riesgo, h(t), es creciente.

• Si ( )H t es convexa con derivada primera

decreciente en t ⇒ la función tasa de fallos o

función de riesgo, h(t), es decreciente.

En nuestro caso y aunque parece seguir una forma lineal, se intuye –sobre todo al

inicio de la gráfica- cierta curvatura en el sentido de una función convexa con

derivada decreciente, lo que explicaría la forma decreciente de la función tasa de

fallos.

6.6.6.6. Vida esperada o Tiempo medio entre fallosVida esperada o Tiempo medio entre fallosVida esperada o Tiempo medio entre fallosVida esperada o Tiempo medio entre fallos

La formulación matemática del tiempo entre fallos y la varianza para una

distribución Weibull son:

[ ] 1· 1E τ θ

β = Γ +

[ ] 2 22 11 1Var τ θ

β β = Γ + − Γ +

Para nuestra distribución, de parámetros: escala 1

22,321θλ

= = y forma:

0,868β = : [ ]E τ = 23,97599 días [ ] 2767,8669diasVar τ =


67

2.4. Análisis no paramétrico

Imaginemos que no se ha obtenido el grado de bondad exigido en el ajuste

con ninguna de las distribuciones hipotéticas. Es en este caso donde entraría en

juego el análisis no paramétrico.

SPSS supone una potente herramienta estadística para la realización de

análisis de supervivencia no paramétrico, como veremos en este apartado, a través

del estimador de Kaplan-Meier.

Para llevar a cabo un estudio de supervivencia-o fiabilidad- necesitamos, de

forma indispensable, al menos dos variables: tiempo y estado.

La variable tiempo se refiere al intervalo de tiempo comprendido entre el

inicio del seguimiento del sistema y el momento en que falló (o se le perdió la pista

si es que se corresponde con un dato censurado).

La variable estado puede tener varios valores (0-sistema fallado, 1-sistema

perdido (censura), 2-sistema operativo al final del seguimiento). SPSS nos pedirá

sólo un valor, que es el que marca la ocurrencia del evento terminal, en nuestro

caso, el fallo (no olvidemos que nuestros datos son observaciones completas-sin

censura-).

En el [ANEXO 2ANEXO 2ANEXO 2ANEXO 2] se muestra la estructura de la base de datos con la que

trabajaremos.

Dado que no contamos con datos censurados y el estudio es completo, el

dispositivo siempre termina fallando al final del tiempo de seguimiento y, por

tanto, su estado se representa por 0 en todos los casos.

Para llevar a cabo el procedimiento:

Analizar>Supervivencia>Kaplan MeierAnalizar>Supervivencia>Kaplan MeierAnalizar>Supervivencia>Kaplan MeierAnalizar>Supervivencia>Kaplan Meier

Cuando se abre la ventana de diálogo, seleccionamos la variable Tiempo-

correspondiente a los valores T_Operativos-en la casilla HoraHoraHoraHora, , , , aunque no

olvidemos que la unidad de nuestros datos es el día. En la celdilla EstadoEstadoEstadoEstado, se

agregará la variable Estado. El programa nos pide Definir eventoDefinir eventoDefinir eventoDefinir evento para especificar el


valor único que tiene asignado la el resultado que se evalúa; en nuestro caso, el

fallo (0).

En el botón OpcionesOpcionesOpcionesOpciones, señalamos los estadísticos y gráficos que deseamos

obtener como resultado. Al final del estudio, obtendremos la tabla de

supervivencia y la gráfica de la función de supervivenciafunción de supervivenciafunción de supervivenciafunción de supervivencia o fiabilidad- R̂(t)-, la

función función función función uno menos la supervivenciauno menos la supervivenciauno menos la supervivenciauno menos la supervivencia o función de distribución- F̂ (t)=1- R̂(t)- y la

función tasa de fallo acumulativa- ˆ ( )H t - a la que el programa SPSS le da el nombre

de ImpactoImpactoImpactoImpacto. Además, bajo la orden Guardar Guardar Guardar Guardar , vamos a obtener numéricamente los

valores de la función supervivencia; la función tasa de fallo y la función tasa de

fallo acumulada.

Los resultados obtenidos para nuestra variable tiempos de fallos son:

Resumen del procesamiento de los casos

Nº total Nº de eventos Censurado

Nº Porcentaje

72 72 0 0,0%

En la tabla de supervivenciatabla de supervivenciatabla de supervivenciatabla de supervivencia del [ANEXO 3][ANEXO 3][ANEXO 3][ANEXO 3] se muestran:

� Columna Tiempo: Nos muestra el tiempo de seguimiento o tiempo que el

generador eléctrico ha estado operativo antes de que se produzca el fallo.

� Columna Estado: Nos indica si se ha producido el desenlace evaluado, en

nuestro caso, el fallo, que se cumple al final de todos los intervalos de

tiempos evaluados.

� Columna Supervivencia Acumulada: Proporción de casos para los que no ha

tenido lugar el fallo-todavía- en el tiempo dado.

� Columna Estimación error: Error estándar correspondiente a la estimación

de Kaplan-Meier en cada tiempo.

� Columna Nº eventos acumulados: Indica los generadores eléctricos fallados

producidos hasta el tiempo indicado. Si hablamos de un único generador,

podemos pensar en los valores de esta columna como las reparaciones que

ha necesitado en ese tiempo.

� Columna Nº casos que permanecen: Indica el número de sistemas que no

han fallado para ese tiempo.


69

Los gráficos obtenidos son:

• Función de supervivenciaFunción de supervivenciaFunción de supervivenciaFunción de supervivencia

En primer lugar, vemos que

la función de supervivencia tiene la

misma forma que la que obteníamos

a partir de la suposición del modelo

W(θ=22.3214, β=0.868), lo que nos

indica que el análisis paramétrico y

no paramétrico ofrecen, como era

de esperar, los mismos resultados.

Como preveíamos en la

teoría, a partir del estimador de

Kaplan-Meier se obtiene una función de supervivencia que es escalonada, toma el

valor 1 en t=0 y decrece j j

j

n dn

−

en cada fallo.

En ciertas ocasiones, este resultado gráfico-unido al análisis de los valores

que toma esta función empírica- es suficiente o representa la única opción, pues no

hay ajuste con distribuciones hipotéticas, p.e., para estimar las propiedades de

fiabilidad o supervivencia del sistema. Es por ello, que es preciso definir esta

función tanto como sea posible. Para ello, vamos a añadir a la misma, bandas de

confianza simultáneas al 95%. Éstas custodiarán, con una seguridad del 95%, la

verdadera relación entre los tiempos de fallo observacionales y la función de

supervivencia del generador eléctrico.

Un intervalo de confianza al 100(1-α)% de ˆ ( )R t para R(t) está dado por:

1 / 2ˆ ˆ( ) ( )R t z tα σ−±

Donde 1 / 2z α− denota el percentil de la distribución normal estándar al nivel

1-α/2 cuyo valor es 1.96.


Como vemos en

nuestro caso, los intervalos

estándar así construidos

pueden incluir valores fuera

del rango [0,1]. Esto puede

ser evitado aplicando la

distribución normal

asintótica a una

transformación de R(t) para

la cual el rango no está

restringido.

Por ejemplo, la transformación:

log{−log R̂(t)},

permite determinar límites de intervalos de confianza asintóticos al

100(1−α)% dados por: R̂ (t) exp{±z1−α/2 σ̂ (t)/[ R̂ (t) log R̂(t)}.

2.4.1. Regresión lineal a partir de la estimación

Podemos, a partir de los valores de esta función obtener una tercera

estimación de los parámetros que deberá ser comparada con las estimaciones

procedentes a través del método de máxima verosimilitud y regresión lineal.

Para ello vamos a llevar a cabo un análisis de regresión lineal con los puntos

de ajuste: ( )ˆln( ln( ( )), lni iR τ τ− , donde ˆ ( )iR τ son los valores encontrados a través

del estimador Kaplan-Meir y guardados en nuestra base de datos a partir de la

orden GuardarGuardarGuardarGuardar.

Los resultados correspondientes a este análisis de regresión son los

siguientes:

Resumen del modelo


corregida

Error típ. de la

estimación

1 ,993a ,985 ,985 ,14689

a. Variables predictoras: (Constante), lnTiempo


71

Coeficientes a


estandarizados

Coeficientes

tipificados


95,0% para B


inferior

Límite

superior

1 (Constante) -2,571 ,035

-

74,380 ,000 -2,640 -2,502

lnTiempo ,837 ,012 ,993 67,542 ,000 ,813 ,862

a. Variable dependiente: lnMenoslnR

Luego:

ˆ 0,837;β = [ ]95% 0.813,0.862β ∈

ˆ 21,578;θ = [ ]95% 19.871,23.432θ =

Que son acordes con los encontrados anteriormente.

• Función de distribucióFunción de distribucióFunción de distribucióFunción de distribuciónnnn

De nuevo, se obtiene el

mismo resultado que el

ofrecido por el análisis

paramétrico, que indicaba a la

función Weibull de parámetros

θ=22,3214 y β=0.868 como

representante de nuestra

distribución. Lo cual indica la

representatividad del ajuste.


• FunciónFunciónFunciónFunción Tasa de fallo acumulativaTasa de fallo acumulativaTasa de fallo acumulativaTasa de fallo acumulativa

La función llamada en SPSS

impacto se corresponde con la

función tasa de fallo acumulativa,

ˆ ˆ( ) ln ( )H t R t= − . En ella se aprecia, de

manera más notable que en el caso

paramétrico, los valores que toma y a

partir de ellos, se demuestra el

carácter de función convexa con

derivada primera decreciente, lo que

demuestra que la función tasa de fallo es, efectivamente, decreciente.

2.5. Análisis paramétrico & Análisis no paramétrico

2.5.1. Comparación parámetros estimados

AAAAnálisis paramétrico:nálisis paramétrico:nálisis paramétrico:nálisis paramétrico:

Máxima verosimilitud

ˆ 0.855β =

ˆ 22, 412θ =

Regresión lineal-mediante método Q-Q Plot

ˆ 0.868;β = [ ]95% 0.825,0.901β ∈

ˆ 22,331;θ = [ ]95% 20.040,24.858θ ∈

AAAAnálisis no paramétrico:nálisis no paramétrico:nálisis no paramétrico:nálisis no paramétrico:

Regresión lineal- a partir de la estimación de Kaplan-Meier-:

ˆ 0,837;β = [ ]95% 0.813,0.862β ∈

ˆ 21,578;θ = [ ]95% 19.871,23.432θ =


73

2.5.2. Comparación funciones de fiabilidad

• Función de distribuciónFunción de distribuciónFunción de distribuciónFunción de distribución

• Función de fiabilidad o función de supervivenciaFunción de fiabilidad o función de supervivenciaFunción de fiabilidad o función de supervivenciaFunción de fiabilidad o función de supervivencia

• Función Tasa de Fallo acumulativaFunción Tasa de Fallo acumulativaFunción Tasa de Fallo acumulativaFunción Tasa de Fallo acumulativa


3. Mantenimiento: Análisis de tiempos de reparación

3.1. Análisis descriptivo de los datos

Procediendo de igual manera que para la variable continua T_operativo:

Estadísticos

T_reparación

N Válidos 72

Perdidos 0

Media ,927363

Mediana ,309375

Moda ,1042

Desv. Típ. 1,8212356

Varianza 3,317

Asimetría 3,619

Error típ. De asimetría ,283

Curtosis 15,211

Error típ. De curtosis ,559

Rango 11,1764

Mínimo ,0042

Máximo 11,1806

Percentiles

25 ,098611

50 ,309375

75 ,738542

El tiempo mínimo que el generador ha estado inoperativo en una

reparación ha sido de 0,0042 días, unos 6,05 minutos. Mientras que el tiempo

máximo registrado empleado en una reparación es de 11,1806 días.

Medidas de centralizaciónMedidas de centralizaciónMedidas de centralizaciónMedidas de centralización

La media de días para las reparaciones registradas durante la inspección es

de 0,9273días, esto es, 22,26 horas.

La mediana nos informa de que el valor del tiempo de reparación,

0,309375 días, o 7,43 horas, implica que la mitad de reparaciones necesitaron

menos de 7,43 horas y la otra mitad de reparaciones necesarias duraron más de

7,43 horas.


75

La moda o valor más repetido como duración de las reparaciones es 0,1042

días, 2,5 horas.

Medidas dMedidas dMedidas dMedidas de dispersióne dispersióne dispersióne dispersión

Los valores de la varianza y la desviación típica, 3,32 y 1,82

respectivamente, son mucho más pequeños que los registrados para la variable

tiempo de fallo. Esto nos indica que los valores de la variable TTR están menos

dispersos respecto a sus valores centrales. Y, por tanto, estos últimos suponen

medidas más representativas de los valores de la población.

Los cuartiles o percentiles P25%=,099días ~2,4 horas, P50%=0,309 días~7,4

horas y P75%=0,74 días ~17,7 horas hacen referencia al valor de la variable tiempo

de reparación tal que las frecuencias absolutas de los valores iguales o menores

que él representan el 25%, el 50% y el 75% de la frecuencia total de la

distribución.

Gráfico de distribución: HistogramaGráfico de distribución: HistogramaGráfico de distribución: HistogramaGráfico de distribución: Histograma y Parámetros de formay Parámetros de formay Parámetros de formay Parámetros de forma

MediMediMediMediddddas de formaas de formaas de formaas de forma

Un valor del parámetro de asimetría de 3,62 (>0) nos indica, de nuevo, que

la distribución presenta una asimetría derecha (moda ≤ mediana ≤ media).

El valor del parámetro de curtosis de 15,21 (>0), señala que la distribución

tratada presenta una forma más puntiaguda que la distribución normal de Gauss.

HistogramHistogramHistogramHistogramaaaa

El histograma indica

una alta frecuencia de

reparaciones que precisan de

un intervalo muy breve de

tiempo. Sin embargo,

aparecen reparaciones-con

mucha menor frecuencia y sin

pautas de ninguna clase- que


precisan de tiempos largos de reparación.

CCCCONCLUSIONES DEL ANÁLONCLUSIONES DEL ANÁLONCLUSIONES DEL ANÁLONCLUSIONES DEL ANÁLISIS ISIS ISIS ISIS DESCRIPTIVO PREVIODESCRIPTIVO PREVIODESCRIPTIVO PREVIODESCRIPTIVO PREVIO PARA PARA PARA PARA T_T_T_T_REPARACIÓNREPARACIÓNREPARACIÓNREPARACIÓN

• La tasa tiempos de reparación presenta una forma muy diferente a la

tasa de tiempos de fallo.

• En este caso, aunque también se señala una alta frecuencia al

comienzo, la tasa de reparaciones con una duración dada no se

estabiliza tras un tiempo operativo.

La probabilidad de finalizar una reparación en un tiempo corto es muy alta. En

general, decrece con el tiempo pero puede aumentar para valores concretos de

tiempos de reparación, no siguiendo una pauta fijada.

3.2. Análisis paramétrico

Ya disponemos de ciertas razones para descartar la comparación de

nuestros datos con ciertas distribuciones –como la exponencial o la distribución

normal- vamos a utilizar los gráficos Q-Q para examinar el ajuste con restantes:

• Distribución Log-normal


77


• Distribución Gamma

A simple vista, parece que el mejor ajuste a los datos de tiempo de

reparación lo ofrece la distribución log-normal. El cálculo de los parámetros de la

distribución a través del método de máxima verosimilitud nos ofrece como

resultados:

Parámetros de distribución estimados

T_reparación

Distribución Lognormal Escala ,284

Forma 1,590


OBSERVACIÓN: Sea 1 2, ,..., kτ τ τ , una muestra aleatoria de una variable aleatoria

lognormal. Una variable, digamos rτ , se distribuye con una lognormal de

parámetros a y b, cuando los logaritmos naturales de dichas variables ln( 1τ ), ln( 2τ

), …., ln( kτ ) se describen mediante una distribución normal con media µ y

desviación estándar σ finita. La transformación Y= ln( iτ ) produciría una variable

aleatoria normal con una media de ln(a)=µ y una desviación estándar de b=σ.

Para la evaluación de las medidas de fiabilidad se requiere la estimación de

los parámetros µ y σ de la distribución log-normal bajo el ln(τ ). Por tanto, y, en

base al resultado de a y b por el método de máxima verosimilitud:

ln( ) ln(0,284) 1,25878

1,590

aµσ

= = = −=

La mayoría de software estadísticos –especializados en análisis de

supervivencia y fiabilidad - ofrecen directamente esta última estimación como

parámetros de la distribución log-normal15. Sin embargo, no es el caso de SPSS, que

estima a y b 16.

Así pues, si demostramos un ajuste válido –al menos 0.95 para el coeficiente

de correlación en la regresión lineal- la función de densidad de la distribución que

representaría nuestros datos, tendría la forma:

2

2

(ln )

2

2

1( )

2

t

f t et

µσ

πσ

−−=

Donde µ y σ se corresponden con la media y la desviación típica del

logaritmo de los tiempos de reparación.

3.2.1. Regresión lineal

Si t es una variable aleatoria log-normal, su función de supervivencia, en

este caso función de no reparabilidad, puede escribirse como:

15

Es el caso, p.e., de MiniTab o S Statgraphics. 16

Estas expresiones, son, por tanto, estimadores estimadores insesgados en la distribución normal de los logaritmos; sin embargo, obviamente, sus antilogaritmos no serán estimadores insesgados de la variable original.


79

ln( )

tR t

µφσ

− + =

Donde φ es la función de distribución estándar.

Por tanto, la linealización de la función de no reparabilidad-supervivencia-

de la distribución log-normal vendría dada como:

1 1 1 ln( ( )) (1 ( )) (1 ( ))i

tR t F t F p

µφ φ φσ

− − − − += − = − =

Donde φ-1 se corresponde con los cuantiles de la distribución normal

estándar17.

Por tanto, podría comprobarse que los datos observacionales siguen una

distribución log-normal, si los puntos: 1 0.51 , ln , 1,2...,72r

ii

nφ τ− − − − =

están

alineados.

Podemos estimar, además, los parámetros µ y σ a través del la pendiente de

la recta, 1

σ y la ordenada en el origen,

µσ

.

Debido a la relación ln

( )t

R tµφ

σ− + =

es posible hallar las distintas

medidas de fiabilidad a través de la estimación de los parámetros µ y σ.

Haciendo el análisis de regresión lineal en SPSS, obtenemos:

Resumen del modelo


corregida

Error típ. De la

estimación

1 ,996a ,992 ,992 ,088988564

a. Variables predictoras: (Constante), menosLnt

17

Pueden calcularse fácilmente en Excel bajo la función DISTR.NORMAL.ESTAND.INV


Tenemos un valor muy elevado de la correlación lo que indica que los datos

observaciones de los tiempos de reparación se ajustan – con un 99.6% de

confianza- a una distribución log-normal.

3.2.1.1. Estimación de los parámetros:Regresión lineal & Máxima verosimilitud

Coeficientes a


estandarizados

Coeficientes

tipificados


95,0% para B


inferior

Límite

superior

1 (Constante) -,788 ,013

-

58,740 ,000 -,815 -,761

menosLnt ,625 ,007 ,996 94,161 ,000 ,612 ,639

a. Variable dependiente: InversNormal

De los coeficientes obtenidos podemos hallar la estimación de los

parámetros de escala y forma de la distribución log-normal, tal y como hemos

indicado:

Pendiente: 1

ˆ0.625 1,6;ˆ

σσ

= − ⇒ =

[ ]95% 1.565,1.635σ ∈

Constante:ˆ

ˆ0,788 0,788*1,6 1,2608;ˆµ µσ

= − ⇒ = − = −

[ ]95%ˆ 1.218, 1.304µ ∈ − −

Que se corresponden con los procedentes del método de máxima

verosimilitud, sin más que tener en cuenta la observación realizada.

3.2.1.2. Inferencia y estimación a partir del modelo: Bandas de confianza

A continuación se presenta la recta de ajuste junto a las bandas simultáneas

de confianza del 95%- es muy importantes tenerlas en cuenta tanto para la

realización de estimaciones como de predicciones-:


81

El intervalo de confianza para valores medios (CI) , representada por la

banda más estrecha (la más cercana a la curva de ajuste), especifica entre qué

valores se estima que está el promedio de los posibles valores de y para un Xi

determinado.

El intervalo de confianza para valores individuales (PI), representado por la

banda más ancha, especifica entre qué valores se estima que se encuentre una

única observación individual y para un Xi determinado.

3.3. Propiedades de reparación del sistema

Queda demostrado, por tanto, que podemos representar nuestros datos

observacionales de los tiempos de reparación a través de una distribución log-


normal de parámetros µ=1,2608 y σ=1,6. A partir de esta idea, podemos

caracterizar fácilmente la reparabilidad del sistema bajo las medidas precisas.

A. Función de mantenibilidadFunción de mantenibilidadFunción de mantenibilidadFunción de mantenibilidad

La forma específica de la función de mantenibilidad viene dada como:

M(t)=1-ln( ) ln( ) 1,2608

11,6

t tµφ φσ

− + − − = −

,con φ distribución normal estándar.

La mayoría de reparaciones surgidas se

solucionan en cortos intervalos de tiempo,

esa es la razón por la que la probabilidad de

que el sistema esté reparado crece

rápidamente desde tiempos muy pequeños.

Lo cual es buena señal, pues indica que las

reparaciones del sistema son rápidas-

recordemos que el cuartil 0.75 nos indicaba

que a las 17 horas están solucionadas el

75% de las averías surgidas-.

La probabilidad de que el generador sea reparado en un intervalo cualquiera t1-t2

(t2>t1) es M(t2)-M(t1).

B. Función de no reparabilidadB. Función de no reparabilidadB. Función de no reparabilidadB. Función de no reparabilidad

Su forma matemática es: Rr(t)=

ln( ) ln( ) 1,2608

1,6

t tµφ φσ

− + − − =

El valor de esta curva en cada punto

representa –en tanto por uno- la

probabilidad de que no se haya

completado la reparación del sistema

para un tiempo t (medido en días).

Ofrece, como ya sabemos, la misma

información –pero en términos


83

negativos - que la función de distribución o mantenibilidad.

C.C.C.C. Función de densidad de probabilidad de reparaciónFunción de densidad de probabilidad de reparaciónFunción de densidad de probabilidad de reparaciónFunción de densidad de probabilidad de reparación

2

2

(ln )

21,26082

1,6

1( ) . .log ( 1.2608,1.6)

2

t

f t e f d normalt

µσ

µσπσ

−−

=−=

= → − −

Como preveíamos, es una función que

tiende a cero cuando t → ∞ .

Si tomamos un punto fijo de t, por

ejemplo t=1 día, el área limitada por la

curva, el eje de abscisas y la región a la

izquierda de la recta t=1 representa la

probabilidad de que el sistema esté

reparado en 1 día.

A mayor tiempo, mayor área y, por

tanto, mayor probabilidad de completar la reparación. Es por ello que en la

primera zona, la curva toma la mayor parte de su superficie.

DDDD. Función Tasa de reparación o Función de Tendencia de Reparabilidad. Función Tasa de reparación o Función de Tendencia de Reparabilidad. Función Tasa de reparación o Función de Tendencia de Reparabilidad. Función Tasa de reparación o Función de Tendencia de Reparabilidad

Su forma implícita viene dada por:

h(t)=1,2608

1,6

( ) . . .log ( 1.2608,1.6)

ln 1,2608( )1,6

r

f t f d p normal

tR t µσ φ

=−=

− −→− −

La evolución de esta curva determina la

tendencia a completar la reparación del

generador eléctrico durante un año.

Se señala una acentuada zona, para

tiempos pequeños, en la que existe una

enorme probabilidad-creciente- de que

el sistema haya sido reparado.

A partir un corto periodo de tiempo, que


el generador complete su reparación con el paso de los días es cada vez más

improbable. La probabilidad de una avería sea reparada a los 4 días es muy escasa,

aún menos probabilidad a los 6 o los 8 días, resultando imposible que una avería

no se haya reparado para el tiempo de 12 días.

E. Función de Tasa de Reparación acumuladaE. Función de Tasa de Reparación acumuladaE. Función de Tasa de Reparación acumuladaE. Función de Tasa de Reparación acumulada

Se define como: H(t)=0

( )t

h t dt∫ o bien H(t)=-ln R(t)

Presenta una clara forma convexa con derivada decreciente, lo que indica,

que, efectivamente, y como ya hemos visto, la función tasa de fallo decrece con el

tiempo desde un tiempo t inferior a la unidad-día-.

F. F. F. F. Tiempo medio de reparación Tiempo medio de reparación Tiempo medio de reparación Tiempo medio de reparación

Ya sabemos que la distribución log-normal tiene dos parámetros en el

ln( rτ ) que son µ y σ. Sin embargo, la estimación de los parámetros de la variable

original rτ no es sencilla, debido a que los parámetros siempre presentan sesgos.

Sin entrar en profundidad sobre el asunto [véase G.Mateu-Figueras,V.Pawlowsky,

2003] daremos la estimación más común para la esperanza y la esperanza

matemática de una variable rτ que se distribuye bajo una ley log-normal de

parámetros µ y σ. (Aitchinson & Brown, 1957):


85

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

22

2

1.26081.6

22 2 21.2608

1.6

1,01938

· 1 12,167133

r r

r r

E e E días

s e e s días

σµ

µσ

σµ σµσ

τ τ

τ τ

+

=−=

+

=−=

= → =

= − → =

3.4. Análisis no paramétrico

Procedemos de igual manera que para el estudio de los tiempos de fallo.

La tabla de supervivencia para la variable tiempos de reparación se expone en el [ANEXO 4ANEXO 4ANEXO 4ANEXO 4].

Los resultados gráficos obtenidos son:

• Función de no reparabilidadFunción de no reparabilidadFunción de no reparabilidadFunción de no reparabilidad

La función de supervivencia indica la probabilidad en cada tiempo t de que

el sistema no esté aún reparado. Como ya sabíamos, esta probabilidad decrece

rápidamente para valores de tiempos muy pequeños.

El resultado gráfico de la función

de no reparabilidad es el mismo

que al considerar que se trata de

una distribución log-normal de

parámetros µ=1.2608 y σ=1.6.

Lo cual nos da una idea de lo

significativo del ajuste

conseguido a través del método

paramétrico.

A continuación se muestra las bandas de confianza al 95% para la función

de no reparabilidad: 1 / 2ˆ ˆ( ) ( )R t z tα σ−±


Tal y como hemos hecho para la variable T_operativo, es posible medir, de

nuevo, el ajuste de la variable T-reparación a una log-normal a través de los

resultados de la regresión lineal de los puntos: ( )( )1( ) ( )

ˆ ( ) ; lnr i r iRφ τ τ−

donde ˆ ( )i rR τ

son los valores encontrados a través del estimador Kaplan-Meir.

Obtenemos:

Resumen del modelo


corregida

Error típ. de la

estimación

1 ,995a ,990 ,990 ,09565

a. Variables predictoras: (Constante), menosLnt

Coeficientes a


estandarizados

Coeficientes

tipificados


95,0% para B


inferior

Límite

superior

1 (Constante) -,813 ,015

-

54,340 ,000 -,843 -,783

menosLnt ,617 ,007 ,995 83,077 ,000 ,602 ,632

a. Variable dependiente: InvNormR

Luego, los valores estimados de los parámetros son:


87

1ˆ0,617 1.621

ˆσ

σ= − ⇒ =

[ ]95% 1.582,1.661σ ∈

ˆˆ0,813 0,813*1,621 1,318

ˆµ µσ

= − ⇒ = − = −

[ ]95%ˆ 1.269, 1.366µ ∈ − −

• Función de MantenibilidadFunción de MantenibilidadFunción de MantenibilidadFunción de Mantenibilidad

Tiene más sentido, para la variable tiempos de reparación, hablar de la

función de mantenibilidad M(t), que informa de la probabilidad de que el sistema

sí esté disponible-esté reparado-para un tiempo t.

Presenta una clara analogía con

de la función de distribución

obtenida considerando que

nuestros tiempos de reparación

siguen una distribución log-

normal de parámetros los

estimados.

• Función Tasa de reparación acumulativa o Función de impactoFunción Tasa de reparación acumulativa o Función de impactoFunción Tasa de reparación acumulativa o Función de impactoFunción Tasa de reparación acumulativa o Función de impacto

Por último, la función de impacto o función tasa de reparación acumulativa

presenta la forma:

De nuevo, coherente a la

obtenida a partir del supuesto

de la distribución log-normal en

el método paramétrico.


3.5 Análisis paramétrico & Análisis no paramétrico

3.5.1. Comparación de parámetros estimados

Análisis paramétrico:Análisis paramétrico:Análisis paramétrico:Análisis paramétrico:

Máxima verosimilitud

ˆ 1, 25878

ˆ 1,590

µσ

= −=

Regresión lineal-mediante método Q-Q Plot

ˆ 1,2608;µ = − [ ]95%ˆ 1.218, 1.304µ ∈ − −

ˆ 1,6;σ =

[ ]95% 1.565,1.635σ ∈

AAAAnálisis no paramétriconálisis no paramétriconálisis no paramétriconálisis no paramétrico::::

Regresión lineal- a partir de la estimación de Kaplan-Meier-:

ˆ 1,318;µ = [ ]95%ˆ 1.269, 1.366µ ∈ − −

ˆ 1,621;σ =

[ ]95% 1.582,1.661σ ∈

3.5.2. Comparaciones de funciones de mantenibilidad

• Función MantenibilidadFunción MantenibilidadFunción MantenibilidadFunción Mantenibilidad


89

• Función de no reparabilidadFunción de no reparabilidadFunción de no reparabilidadFunción de no reparabilidad

• Función de tasa de reparación acumuladaFunción de tasa de reparación acumuladaFunción de tasa de reparación acumuladaFunción de tasa de reparación acumulada


Apéndice del Capítulo 2:

Simulación


91

A.1. Introducción

Por último, aplicaremos una técnica ampliamente conocida en ingeniería y

supervivencia para comprobar que los ajustes obtenidos –tanto para las variables

tiempo de fallo como tiempo de reparación- tienen realmente validez, a efectos

prácticos. Es una idea fácil de aplicar y completa el trabajo realizado.

El objetivo es el siguiente: una vez encontrada la distribución de

probabilidad específica-con los parámetros estimados- podemos generar valores

de la variable aleatoria, en nuestro caso, valores de tiempos, que siguen esa

distribución. Así, lo que estaremos simulando son los posibles tiempos de fallo o

los tiempos de reparación para nuestro generador eléctrico. Estos valores serán,

de nuevo, representados usando Plotting Points y se comprobará si el ajuste

estimado es bueno a partir de la alineación de los puntos representados. Es una

confirmación empírica.

A.2. Distribución Weibull

A.2.1.Generación de una v.a. que sigue una distribución Weibull

Al simular valores de una variable aleatoria que sigue una distribución

Weibull con los parámetros estimados (θ=22.32142 y β=0.868) estamos

simulando valores de tiempos de fallo de nuestro generador. El método de hacerlo

contiene los siguientes pasos:

1. La función de distribución de una Weibull es: ( , ) ( ) 1t

W F t e

β

θθ β − = = −

siendo θ y β el parámetro de escala y forma respectivamente.

2. Así: ( ) 1t

F t e

β

θ − = − =R, donde R es una variable aleatoria uniforme en

(0,1).

3. Luego, resolviendo t en términos de R, se obtiene:


( )

( )

1/

1/

1 1 (1 ) (1 )

(1 )

t tt t

e R R e Ln R Ln R

t Ln R

β β ββθ θ

β

θ θ

θ

− − − = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ − − = ⇒

⇒ = − −

Dado que: 1-R es también uniforme en (0,1), se puede tomar:

( )1/( )t Ln R

βθ= − que será la expresión que usaremos en la simulación.

En SPSS, lo haremos a partir de la orden:

Transformar > CTransformar > CTransformar > CTransformar > Calcular alcular alcular alcular variable > variable > variable > variable > ( )1/( . (0,1))Ln RvUniform

βθ −

A.2A.2A.2A.2.2. Comprobación ajuste Weibull.2. Comprobación ajuste Weibull.2. Comprobación ajuste Weibull.2. Comprobación ajuste Weibull para tiempos de fallospara tiempos de fallospara tiempos de fallospara tiempos de fallos

Vamos a calcular muestras de tamaño 10, 20 y 40 valores numéricos de la

variable tiempo de fallo, que seguirán nuestra distribución

( , ) (22.32142,0.868)W Wθ β = . Representaremos cinco gráficos Q-Q Plot para cada

una de estas muestras y estudiaremos si se aproximan a rectas.


93

n=10n=10n=10n=10


n=20n=20n=20n=20


95

n=40n=40n=40n=40

Vemos que, cuanto mayor es el tamaño de la muestra simulada, mejor es el

ajuste a la recta.


A.3. Distribución log-normal

A.3.1.Generación de una v.a. que sigue una distribución log-normal

Siguiendo la misma idea que para la v.a. de una Weibull, encontraremos el

método de general los tiempos de reparación que siguen una log-normal de

parámetros µ=-1,2608 y σ=1,6 como:

1. Generamos Z~N(0,1)

2. Devolvemos Xlog-normal~eµ+σZ

En SPSS: Transformar >Calcular Variable > ( )exp . (0,1)·Rv normalµ σ+


97

n=10n=10n=10n=10


n=20n=20n=20n=20


99

n=40n=40n=40n=40

De nuevo, los datos se alinean mejor cuando mayor es el tamaño de la muestra.


Conclusiones finales:

1. El análisis de fiabilidad es un conjunto de métodos estadísticos

que permite hacer estimaciones e inferencias útiles relativas a la ocurrencia

de fallos y tareas de mantenimiento en un sistema a partir del registro de

una serie de tiempos en que se produjeron dichos sucesos. Estos métodos

deben ser integrados en todas las fases del ciclo de vida de los sistemas: diseño,

fabricación, vida operativa y retirada.

2. El paquete estadístico SPSS permite realizar completos análisis de

fiabilidad. En este estudio sólo se ha hecho uso de algunas de las muchas

posibilidades que nos ofrece este software. Entre ellas, se encuentra la de trabajar

con observaciones censuradas –a las que permite definir en la pestaña PerdidosPerdidosPerdidosPerdidos en

la ventana Vista de variablesVista de variablesVista de variablesVista de variables para el análisis paramétrico y como un valor distinto

al terminal, 1 generalmente, en la pestaña EstadoEstadoEstadoEstado del análisis de supervivencia no

paramétrico-. Además, SPSS ofrece la posibilidad de comparar dos curvas de

supervivencia bajo el método loglogloglog----rankrankrankrank.

3. La distribución Weibull se presenta como una fuerte candidata a

representar funciones de densidad de probabilidad de fallos. La enorme

flexibilidad de la distribución –obtenida a través del valor de sus parámetros-, da

lugar a modelaciones de la función tasa de fallo cuando ésta es creciente,

decreciente o constante lo que permite obtener buenos ajustes con series de

tiempos muy distintas.

4. La experiencia indica que la distribución log-normal supone una

óptima elección como representante de m(t). Esto es debido a que la mayoría

del personal encargado de las reparaciones de un sistema estará familiarizado con

las averías frecuentes y completarán las reparaciones en intervalos breves de

tiempos. Sin embargo, espontáneamente podrían aparecer averías complejas o

personal sin experiencia, que darían lugar a tareas de reparación con períodos más


101

grandes de reparación. Lo que quedaría representado por la forma de la

distribución normal, asimétrica y con acentuada cola derecha.

5. La simulación es una herramienta extraordinariamente útil en el

análisis de fiabilidad. Sus cometidos van desde la obtención del modelo o su

validación, hasta el cálculo de estimaciones y predicciones de las características de

fiabilidad del sistema. La rapidez, el ahorro de costes y la seguridad que ofrece

hacen de ella un mecanismo imprescindible en cualquier análisis de fiabilidad.

6. La idea de estimar y especificar un modelo que permita

representar la probabilidad de ocurrencia de un suceso en el tiempo, tiene

aplicación directa en muchas otras disciplinas. En medicina, por ejemplo, se

usan exactamente las mismas técnicas estadísticas para evaluar las funciones aquí

descritas: función de supervivencia, función de riesgo, vida esperada, etc, a partir

una serie de tiempos de fallo, entendidos, esta vez, como tiempo de vida de

pacientes desde una operación o el inicio de un tratamiento o enfermedad-.


ANEXO 1. Datos reales del generador: Tiempos de fallo y

reparación

T_operativo T_reparación

21,05556 0,05556

0,72917 1,19792

38,61736 0,22986

0,37500 0,73958

8,88194 0,14306

1,28542 0,64583

8,88056 0,10069

15,39583 2,01042

0,66667 0,01736

5,90972 0,31181

19,90694 0,10417

3,06319 0,71458

23,26389 0,63542

0,62708 0,47708

143,59583 0,37639

9,12847 0,79514

0,77083 5,44792

7,07917 0,76458

10,12500 0,10417

2,61458 1,36458

69,43194 2,39097

60,31944 0,64931

36,17292 0,73542

4,13333 0,16667

26,12778 1,84028

20,83403 0,16667

27,57361 0,41597

12,64583 0,46528

4,33889 0,30694

23,86528 0,16250

0,31667 0,72778

7,47500 3,74444

26,28611 1,43125

34,80625 0,25486

37,97986 11,18056

50,67847 0,02639

24,77986 0,10903

44,21111 0,81806

10,90208 0,04236

7,11736 0,06736

2,42083 1,48125

52,81667 0,45764

40,91667 0,03958


103

7,44653 0,25694

5,93889 0,15139

4,93472 0,06944

9,51528 0,73542

19,75903 0,08681

26,08333 6,07292

58,67361 0,10417

11,14583 0,04167

17,22917 5,46736

10,92847 0,05208

95,05833 0,09792

9,80486 0,07708

28,02639 0,06042

1,83681 0,36111

39,94722 0,04653

31,77083 0,03264

66,38819 0,53056

169,03403 0,03542

22,85556 0,33333

3,52778 0,26944

9,89931 0,31597

5,64583 0,16806

0,55625 0,38125

9,86597 1,19931

20,12708 0,12986

2,14028 5,61597

52,14167 0,01319

19,65278 0,00417

56,10972 0,14306


ANEXO 2. Estructura de datos en el Análisis de Supervivencia Caso T_oper Estado

1 ,3167 0

2 ,3750 0

3 ,5563 0

4 ,6271 0

5 ,6667 0

6 ,7292 0

7 ,7708 0

8 1,2854 0

9 1,8368 0

10 2,1403 0

11 2,4208 0

12 2,6146 0

13 3,0632 0

14 3,5278 0

15 4,1333 0

16 4,3389 0

17 4,9347 0

18 5,6458 0

19 5,9097 0

20 5,9389 0

21 7,0792 0

22 7,1174 0

23 7,4465 0

24 7,4750 0

25 8,8806 0

26 8,8819 0

27 9,1285 0

………..


105

ANEXO 3. Tabla de supervivencia T_operativo

Tabla de supervivencia

Tiempo Estado Proporción acumulada que sobrevive

hasta el momento

Nº de eventos

acumulados

Nº de casos que

permanecen

Estimación Error típico

1 ,317 0 ,986 ,014 1 71

2 ,375 0 ,972 ,019 2 70

3 ,556 0 ,958 ,024 3 69

4 ,627 0 ,944 ,027 4 68

5 ,667 0 ,931 ,030 5 67

6 ,729 0 ,917 ,033 6 66

7 ,771 0 ,903 ,035 7 65

8 1,285 0 ,889 ,037 8 64

9 1,837 0 ,875 ,039 9 63

10 2,140 0 ,861 ,041 10 62

11 2,421 0 ,847 ,042 11 61

12 2,615 0 ,833 ,044 12 60

13 3,063 0 ,819 ,045 13 59

14 3,528 0 ,806 ,047 14 58

15 4,133 0 ,792 ,048 15 57

16 4,339 0 ,778 ,049 16 56

17 4,935 0 ,764 ,050 17 55

18 5,646 0 ,750 ,051 18 54

19 5,910 0 ,736 ,052 19 53

20 5,939 0 ,722 ,053 20 52

21 7,079 0 ,708 ,054 21 51

22 7,117 0 ,694 ,054 22 50

23 7,447 0 ,681 ,055 23 49

24 7,475 0 ,667 ,056 24 48

25 8,881 0 ,653 ,056 25 47

26 8,882 0 ,639 ,057 26 46

27 9,128 0 ,625 ,057 27 45

28 9,515 0 ,611 ,057 28 44

29 9,805 0 ,597 ,058 29 43

30 9,866 0 ,583 ,058 30 42

31 9,899 0 ,569 ,058 31 41

32 10,125 0 ,556 ,059 32 40

33 10,902 0 ,542 ,059 33 39

34 10,928 0 ,528 ,059 34 38

35 11,146 0 ,514 ,059 35 37

36 12,646 0 ,500 ,059 36 36

37 15,396 0 ,486 ,059 37 35

38 17,229 0 ,472 ,059 38 34


39 19,653 0 ,458 ,059 39 33

40 19,759 0 ,444 ,059 40 32

41 19,907 0 ,431 ,058 41 31

42 20,127 0 ,417 ,058 42 30

43 20,834 0 ,403 ,058 43 29

44 21,056 0 ,389 ,057 44 28

45 22,856 0 ,375 ,057 45 27

46 23,264 0 ,361 ,057 46 26

47 23,865 0 ,347 ,056 47 25

48 24,780 0 ,333 ,056 48 24

49 26,083 0 ,319 ,055 49 23

50 26,128 0 ,306 ,054 50 22

51 26,286 0 ,292 ,054 51 21

52 27,574 0 ,278 ,053 52 20

53 28,026 0 ,264 ,052 53 19

54 31,771 0 ,250 ,051 54 18

55 34,806 0 ,236 ,050 55 17

56 36,173 0 ,222 ,049 56 16

57 37,980 0 ,208 ,048 57 15

58 38,617 0 ,194 ,047 58 14

59 39,947 0 ,181 ,045 59 13

60 40,917 0 ,167 ,044 60 12

61 44,211 0 ,153 ,042 61 11

62 50,678 0 ,139 ,041 62 10

63 52,142 0 ,125 ,039 63 9

64 52,817 0 ,111 ,037 64 8

65 56,110 0 ,097 ,035 65 7

66 58,674 0 ,083 ,033 66 6

67 60,319 0 ,069 ,030 67 5

68 66,388 0 ,056 ,027 68 4

69 69,432 0 ,042 ,024 69 3

70 95,058 0 ,028 ,019 70 2

71 143,596 0 ,014 ,014 71 1

72 169,034 0 ,000 ,000 72 0


107

ANEXO 4. Tabla de supervivencia T_reparación

Tabla de supervivencia

Tiempo Estado Proporción acumulada que

sobrevive hasta el momento

Nº de eventos

acumulados

Nº de casos

que

permanecen Estimación Error típico

1 ,004 0 ,986 ,014 1 71

2 ,013 0 ,972 ,019 2 70

3 ,017 0 ,958 ,024 3 69

4 ,026 0 ,944 ,027 4 68

5 ,033 0 ,931 ,030 5 67

6 ,035 0 ,917 ,033 6 66

7 ,040 0 ,903 ,035 7 65

8 ,042 0 ,889 ,037 8 64

9 ,042 0 ,875 ,039 9 63

10 ,047 0 ,861 ,041 10 62

11 ,052 0 ,847 ,042 11 61

12 ,056 0 ,833 ,044 12 60

13 ,060 0 ,819 ,045 13 59

14 ,067 0 ,806 ,047 14 58

15 ,069 0 ,792 ,048 15 57

16 ,077 0 ,778 ,049 16 56

17 ,087 0 ,764 ,050 17 55

18 ,098 0 ,750 ,051 18 54

19 ,101 0 ,736 ,052 19 53

20 ,104 0 . . 20 52

21 ,104 0 . . 21 51

22 ,104 0 ,694 ,054 22 50

23 ,109 0 ,681 ,055 23 49

24 ,130 0 ,667 ,056 24 48

25 ,143 0 . . 25 47

26 ,143 0 ,639 ,057 26 46

27 ,151 0 ,625 ,057 27 45

28 ,163 0 ,611 ,057 28 44

29 ,167 0 . . 29 43

30 ,167 0 ,583 ,058 30 42

31 ,168 0 ,569 ,058 31 41

32 ,230 0 ,556 ,059 32 40

33 ,255 0 ,542 ,059 33 39

34 ,257 0 ,528 ,059 34 38

35 ,269 0 ,514 ,059 35 37

36 ,307 0 ,500 ,059 36 36


37 ,312 0 ,486 ,059 37 35

38 ,316 0 ,472 ,059 38 34

39 ,333 0 ,458 ,059 39 33

40 ,361 0 ,444 ,059 40 32

41 ,376 0 ,431 ,058 41 31

42 ,381 0 ,417 ,058 42 30

43 ,416 0 ,403 ,058 43 29

44 ,458 0 ,389 ,057 44 28

45 ,465 0 ,375 ,057 45 27

46 ,477 0 ,361 ,057 46 26

47 ,531 0 ,347 ,056 47 25

48 ,635 0 ,333 ,056 48 24

49 ,646 0 ,319 ,055 49 23

50 ,649 0 ,306 ,054 50 22

51 ,715 0 ,292 ,054 51 21

52 ,728 0 ,278 ,053 52 20

53 ,735 0 . . 53 19

54 ,735 0 ,250 ,051 54 18

55 ,740 0 ,236 ,050 55 17

56 ,765 0 ,222 ,049 56 16

57 ,795 0 ,208 ,048 57 15

58 ,818 0 ,194 ,047 58 14

59 1,198 0 ,181 ,045 59 13

60 1,199 0 ,167 ,044 60 12

61 1,365 0 ,153 ,042 61 11

62 1,431 0 ,139 ,041 62 10

63 1,481 0 ,125 ,039 63 9

64 1,840 0 ,111 ,037 64 8

65 2,010 0 ,097 ,035 65 7

66 2,391 0 ,083 ,033 66 6

67 3,744 0 ,069 ,030 67 5

68 5,448 0 ,056 ,027 68 4

69 5,467 0 ,042 ,024 69 3

70 5,616 0 ,028 ,019 70 2

71 6,073 0 ,014 ,014 71 1

72 11,181 0 ,000 ,000 72 0


109

ANEXO 5. Datos simulados v.a. Weibull

( , ) (22.32142,0.868)W Wθ β =

n=10n=10n=10n=10

T_simu1 T_simu2 T_simu3 T_simu4 T_simu5

53,10308 37,80406 11,94015 24,83222 6,02130

74,05752 4,66514 ,21166 9,50898 88,01968

40,33387 70,22201 25,51638 8,77138 42,38402

58,47673 13,35824 12,97776 5,25267 28,69398

7,58305 8,05276 14,26325 37,94578 7,81567

7,03874 ,98043 29,28731 47,98320 4,99882

2,37387 26,29989 23,81520 17,45297 3,88506

23,51649 13,55763 1,25486 22,23879 6,71674

14,80800 4,87066 19,67194 15,36241 80,30822

6,74424 51,40996 59,62048 58,56200 20,54997

n=20n=20n=20n=20


48,71107 58,18271 37,80406 24,83222 34,9476

18,28308 5,81428 4,66514 9,50898 6,0045

9,82994 35,33357 70,22201 8,77138 2,0344

28,47363 35,82208 13,35824 5,25267 41,2060

45,61613 9,90891 8,05276 37,94578 29,5062

6,82182 ,66103 ,98043 47,98320 6,9468

23,88305 33,97862 26,29989 17,45297 1,6182

17,46648 24,47366 13,55763 22,23879 52,3900

77,57901 77,35155 4,87066 15,36241 14,2623

57,42826 5,64768 51,40996 58,56200 53,7183

48,40417 53,10308 11,94015 6,02130 1,1857

83,65548 74,05752 ,21166 88,01968 13,8099

9,47440 40,33387 25,51638 42,38402 30,3099

46,00734 58,47673 12,97776 28,69398 8,6476

6,33574 7,58305 14,26325 7,81567 8,6775

1,11863 7,03874 29,28731 4,99882 2,6871

11,16177 2,37387 23,81520 3,88506 71,0244

31,27083 23,51649 1,25486 6,71674 19,7558

6,04580 14,80800 19,67194 80,30822 11,6318

88,15190 6,74424 59,62048 20,54997 2,9070


n=40n=40n=40n=40


48,71107 37,80406 34,94761 8,09877 44,95155

18,28308 4,66514 6,00448 5,52479 19,44309

9,82994 70,22201 2,03442 28,72847 ,41955

28,47363 13,35824 41,20596 22,14181 6,18157

45,61613 8,05276 29,50625 8,25673 22,82979

6,82182 ,98043 6,94678 86,49943 10,25980

23,88305 26,29989 1,61822 3,65021 7,95821

17,46648 13,55763 52,38997 11,93976 25,26100

77,57901 4,87066 14,26234 10,20428 17,69602

57,42826 51,40996 53,71827 5,14103 13,32771

48,40417 11,94015 1,18574 56,18323 96,39541

83,65548 ,21166 13,80988 21,81213 14,41112

9,47440 25,51638 30,30986 5,36173 86,81324

46,00734 12,97776 8,64755 ,75822 94,09996

6,33574 14,26325 8,67752 17,51604 83,90998

1,11863 29,28731 2,68715 6,38313 1,79956

11,16177 23,81520 71,02440 11,20010 8,28027

31,27083 1,25486 19,75575 80,69203 146,17296

6,04580 19,67194 11,63177 13,40352 70,47394

88,15190 59,62048 2,90702 23,23996 86,22497

58,18271 24,83222 40,78406 15,88043 163,47431

5,81428 9,50898 33,33360 ,30740 36,11967

35,33357 8,77138 40,44085 7,48925 39,69503

35,82208 5,25267 ,09263 6,80243 ,70809

9,90891 37,94578 30,19538 100,33563 7,62841


111

,66103 47,98320 7,91788 122,76834 12,03518

33,97862 17,45297 7,79713 4,44146 11,39837

24,47366 22,23879 10,24716 1,93155 58,85258

77,35155 15,36241 1,08431 13,11933 36,67166

5,64768 58,56200 3,07258 38,93706 1,09428

53,10308 6,02130 ,77767 7,47714 3,34874

74,05752 88,01968 12,84036 17,75355 3,29082

40,33387 42,38402 2,25084 19,52379 9,74211

58,47673 28,69398 6,57723 14,67927 24,40120

7,58305 7,81567 21,17893 30,60735 ,99160

7,03874 4,99882 15,42099 72,21727 34,17603

2,37387 3,88506 117,39505 11,91961 3,28307

23,51649 6,71674 40,04740 5,04751 30,73099

14,80800 80,30822 11,01141 73,37262 59,54715

6,74424 20,54997 ,30473 6,27161 48,91352


ANEXO 6. Datos simulados v.a. Log-normal

Log-normal (µ,σ)= Log-normal(-1.2608 ,1.6)

n=10n=10n=10n=10

T_simu1 T_simu T_simu3 T_simu4 T_simu5

,06606 ,16441 ,28995 ,28187 ,26857

,26704 ,04427 ,06930 1,53984 ,53733

,18238 2,78099 3,20896 ,03091 ,29565

,15921 ,07022 ,18508 ,18093 ,54321

,01455 ,13852 ,27682 ,08141 ,34738

,01677 ,01629 2,51159 ,17134 ,17041

,17060 ,02474 ,20124 ,04580 1,06350

3,87064 1,43347 ,17025 1,77730 ,31503

,21028 ,91874 ,86234 2,47611 ,31173

,17068 ,72143 ,05901 ,04010 ,46375

n=20

T_simu1 T_simu T_simu3 T_simu4 T_simu5

,06606 ,28995 ,26857 1,54547 ,14608

,26704 ,06930 ,53733 1,33673 ,07509

,18238 3,20896 ,29565 ,04765 ,07098

,15921 ,18508 ,54321 4,74448 ,01075

,01455 ,27682 ,34738 ,61120 ,13231

,01677 2,51159 ,17041 ,09790 ,01227

,17060 ,20124 1,06350 ,23744 ,01803

3,87064 ,17025 ,31503 1,75044 ,51572

,21028 ,86234 ,31173 1,48887 ,88164

,17068 ,05901 ,46375 ,00945 ,11503

,16441 ,28187 ,04203 4,37087 ,52233

,04427 1,53984 ,00616 ,13941 4,19473

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,07022 ,18093 1,58311 ,24897 ,92566

,13852 ,08141 ,54568 ,02996 ,03355

,01629 ,17134 ,06003 1,14066 ,05399

,02474 ,04580 ,13786 ,13247 ,05428

1,43347 1,77730 12,10462 ,06676 ,19739

,91874 2,47611 ,09652 ,01177 ,42990

,72143 ,04010 ,13039 ,96091 ,03748


113

n=40n=40n=40n=40 T_simu1 T_simu T_simu3 T_simu4 T_simu5

,06606 ,26857 ,14608 ,13345 1,48188

,26704 ,53733 ,07509 ,40111 ,13630

,18238 ,29565 ,07098 ,03797 ,04426

,15921 ,54321 ,01075 ,12429 ,95391

,01455 ,34738 ,13231 ,56151 1,30090

,01677 ,17041 ,01227 ,19939 ,02732

,17060 1,06350 ,01803 ,43722 ,84620

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,21028 ,31173 ,88164 ,00432 ,16246

,17068 ,46375 ,11503 ,15864 ,48969

,16441 ,04203 ,52233 ,41433 2,73340

,04427 ,00616 4,19473 ,34462 ,02997

2,78099 1,01018 ,32037 1,14178 2,68038

,07022 1,58311 ,92566 ,02328 1,88309

,13852 ,54568 ,03355 ,21864 7,49605

,01629 ,06003 ,05399 ,44773 ,69797

,02474 ,13786 ,05428 ,54244 ,12458

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,72143 ,13039 ,03748 ,69521 ,01425

,28995 1,54547 4,60066 ,40688 ,76838

,06930 1,33673 ,09225 ,30201 ,04160

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,20124 ,23744 1,54681 ,48416 ,03279

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,08141 ,02996 ,19411 ,03696 1,35658

,17134 1,14066 ,02074 ,01665 3,37895

,04580 ,13247 ,11176 ,08329 ,31553

1,77730 ,06676 1,00404 ,12563 ,08782

2,47611 ,01177 ,13050 ,35696 ,81236

,04010 ,96091 ,02397 ,90873 ,14078

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