análise de sistemas contínuos por transformada de...
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Sinais e SistemasEng. da Computação
Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Laplace
Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação
Centro de Informática - UFPE
ES 413 Sinais e Sistemas
Capítulo 4
1-2Sinais e SistemasEng. da Computação
Conteúdo• Introdução
• A Transformada de Laplace
• A Transformada Inversa
• Propriedades da Transformada de Laplace
• Solução de Equações Diferenciais e Integro-diferenciais
• Diagrama de Blocos
• Realização de Sistemas
1-3Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (i)• Definições
– Decompõe-se o sinal f(t) em sinais exponenciais complexos da forma exp(st) onde s é uma variável complexa (freqüência complexa do sinal).
– Dado um sinal x(t), a transformada (bilateral) de Laplace é:
– A transformada (bilateral) inversa de Laplace é definida como:
• c é uma constante que assegura a convergência da integral;• x(t) é um sinal no domínio do tempo;• X(s) é um sinal no domínio da freqüência.
( ) ( )∫∞
∞−
−= dtetxsX ts
∫∞+
∞−=
jc
jc
stdsesXj
tx )(21
)(π , onde
1-4Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (ii)• Observações
– Simbolicamente, tem-se que:
– O par de transformada de Laplace pode também ser indicado por:
• Esta transformada, chamada de bilateral ou dois-lados pode tratar de sinais que existam em todo intervalo de tempo, isto é, sinais causais ou não-causais.
• A Transformada Unilateral (ou de um lado) de Laplace, a ser definida posteriormente, só considera sinais causais.
( ))]}([{)(e)]}([{)(
inferir se-pode logo ,)]([)(e)]([11
1
sXLLsXtxLLtx
sXLtxtxLsX−−
−
==
==
)()( sXtx ⇔
1-5Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (iii)• Características
– Linearidade deste operador:
– Região de convergência (ROC):• A região de convergência (ou região de existência) de X(s) é o
conjunto de valores de s para os quais existe a integral que define a transformada de Laplace.
)()()()(
)]()([)]()([
Prova)()()()( então
)()();()( pares os Sejam
22112211
22112211
22112211
2211
sXasXadtetxadtetxa
dtetxatxatxatxaL
sXasXatxatxasXtxsXtx
stst
st
+=+
=+=+
+⇔+⇔⇔
∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−
1-6Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (iv)– Exemplo:
.Re é )( de iaconvergênc de regiãoA
Re1)( ou
0)Re(1
)( Logo
0)Re(0)Re(0
lim
|1
)(
então ,0,0)( como ,)()( definiçãoPor
)()( para iaconvergênc de região sua e )( Determine
)(
0)(
0
)(
0
assX
asas
tue
asas
sX
asas
e
eas
dtedteesX
ttudtetuesX
tuetxsX
at
tas
t
tastasstat
stat
at
−>
−>+
⇔
>++
=
<+∞>+
=
+−===
<==
=
−
+−
∞→
∞+−∞ +−∞ −−
∞
∞−
−−
−
∫∫
∫
1-7Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (v)– Exemplo:
1-8Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (vi)• Observações
– Região de convergência para sinais de duração finita: Este sinal écaracterizado como existindo apenas no intervalo . Para um sinal de duração finita que seja absolutamente integrável, a ROC étodo o plano s.
• Isto ocorre pois a exponencial (da definição de Transformada de Laplace) é finita, uma vez que é integrada no intervalo finito de existência do sinal.
– Papel de ROC: Requerido para avaliar a Transformada Inversa de Laplace. A operação para achar tal Transformada requer integração no plano complexo. O caminho de integração deve estar no ROC (ou existência) para X(s).
],[ 21 tt
1-9Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (vii)• Transformada Unilateral de Laplace
– Transformada na qual todos sinais são restringidos a serem causais. É um caso especial da Transformada bilateral.
• Ela é necessária para que exista correspondência um-para-um, entre x(t) e X(s), quando não se tem especificado o ROC (como ilustrado no exemplo anterior).
• Os limites de integração passam a ser zero e infinito.– Transformada Unilateral de Laplace X(s) de um sinal x(t):
• O limite inferior assegura a inclusão da resposta ao impulso e permite o uso das condições iniciais (no instante do limite inferior) para solucionar equações diferenciais empregando Transformada de Laplace.
∫∞ −−
=0
)()( dtetxsX st
1-10Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (viii)• Transformada Unilateral de Laplace
– Em princípio não há diferenças entre as Transformadas de LaplaceUnilateral e Bilateral.
• A Transformada Unilateral é a Transformada Bilateral que lida com subclasse de sinais que existem a partir de t=0.
• A expressão para a Transformada Inversa permanece inalterada em ambos os casos.
– Existência da Transformada Unilateral de Laplace:
∞<
===
∫∫∫
∞ −
−∞ −−∞ −
−
−−
0
00
)( se converge integral a logo
1 onde ,])([)()(
dtetx
edteetxdtetxsX
t
tjtjtst
σ
ωωσ
1-11Sinais e SistemasEng. da Computação
Transformada de Laplace (ix)– Exemplo: Determine as Transformadas de Laplace a seguir
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] 0)(Re)(Re ,)(
)(cos
1121
)()(21
)(cos
logo ,)(21
)(cos que se-Lembre (c)
0Re ,11
)()( (b)
)0()()( amostragem de epropriedad se-usou
1,)()( (a)
.)(cos (c) );( (b) );( (a)
020
20
000
0
0
0
00
0
0
-
>=±+
=
∴
+
+−
=+=
+=
>=−===
=
==
−
−
∞−∞ −∞ −
∞
∞−
∞ −
∫∫
∫∫
−−
−
sjss
stutL
jsjstuetueLtutL
tueetut
ss
es
edtedtetutuL
dttt
dtettL
tuttut
tjtj
tjtj
ststst
st
ωω
ω
ωωω
ω
φδφ
δδ
ωδ
ωω
ωω
1-12Sinais e SistemasEng. da Computação
A Transformada Inversa (i)• Determinação da Transformada Inversa
– Busca-se expressar X(s) como o somatório de funções mais simples que podem ser encontradas em tabelas.
)()34()(3
32
4)3)(2(
67)( Logo,
323621
)3)(2(67
432614
)3)(2(67
32)3)(2(67
667
667
de Inversa daTransforma a Encontre :Exemplo
32
32
21
212
2
tueetxssss
ssX
sss
k
sss
k
sk
sk
sss
sss
sss
tt
s
s
+=⇒−
++
=−+
−=
=+−
=−+
−=
=−−−−
=−+
−=
⇒−
++
=−+
−=
−−−
−−−
−
=
−=
1-13Sinais e SistemasEng. da Computação
A Transformada Inversa (ii)• Determinação da Transformada Inversa
)()137()(2)(2
131
72)( Logo,
1312
58)2)(1(
52
72152
)2)(1(52
212
)2)(1(52
2352)(
. onde imprópria função uma é )( onde23
52)( de Inversa daTransforma a Encontre :Exemplo
2
2
2
2
1
2
1
212
2
2
2
2
tueettxss
sX
sss
k
sss
k
sk
sk
sss
ssssX
NMsXss
ssX
tt
s
s
−−
−=
−=
−+=⇒+
−+
+=
−=+−
+=
+++
=
=+−+
=++
+=
⇒+
++
+=++
+=++
+=
=++
+=
δ
1-14Sinais e SistemasEng. da Computação
A Transformada Inversa (iii)• Determinação da Transformada Inversa
)()]9.1263cos(106[)(
355
3556)( Logo,
5)43(43polar forma em ,43
4353329
)35)(35()34(6
634
346)35)(35(
)34(6
3535)35)(35()34(6
)(
)3410()34(6
)( de Inversa daTransforma a Encontre :Exemplo
05
)3/4(tan)3/4(tan
)3/4(tan)3/4(tan22*2
352
01
*221
2
11
11
tutetx
jse
jse
ssX
eejjk
jjj
jsjsss
k
jsjsss
k
jsk
jsk
sk
jsjsss
sX
ssss
sX
t
jj
jj
js
s
++=⇒
+++
−++=
=+=+−−−=
+−=−−+
=++−+
+=
=×
=++−+
+=
⇒++
+−+
+=++−+
+=
+++
=
−
−−−
−−
+−=
=
−−
−−
1-15Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Laplace (i)• Motivação:
– Úteis para encontrar a Transformada de Laplace e para se determinar soluções de equações Integro-diferenciais.
• Deslocamento no Tempo:
• Deslocamento na Freqüência:
• Propriedade de Diferenciação no Tempo
.0,)()()( então ,)()()( Se
:como expressa amentealternativser pode epropriedad Esta
)()( se- tem,0 para então ,)()(
000
00
0
0
≥⇔−−⇔
⇔−≥⇔
−
−
tesXttuttxsXtutx
esXttxtsXtx
st
st
)()( então ,)()( 00 ssXetxsXtx ts −⇔⇔
∑=
−−−
−
−⇔
−⇔⇔
n
k
kknnn
n
xssXsdt
txd
xssXdt
tdxsXtx
1
)1( )0()()(
geral em e ),0()()( então ,)()(
1-16Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Laplace (ii)• Propriedade de Integração no Tempo:
• Escalonamento:
• Convolução no Tempo e Convolução na Freqüência
s
dx
ssXdx
ssX
dxsXtx
t
t
∫∫
∫−
−
∞−
∞−+⇔
⇔⇔
0
0
)()()(
e ,)(
)( então ,)()(
ττττ
ττ
⇔⇔
as
Xa
atxsXtx1
)( então ,)()(
( )[ ])()(21)()( freqüência na Convolução
)()()()( tempono Convolução.)()( e )()( Considere
2121
2121
2211
sXsXjtxtx
sXsXtxtxsXtxsXtx
∗⇔⇔∗
⇔⇔
π
1-17Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Laplace (iii)• Adição e Multiplicação Escalar
• Propriedade de Diferenciação na Freqüência:
• Propriedade de Integração na Freqüência:
• Valor Inicial
• Valor final
)()(escalar por çãoMultiplica
)()()()( Adição
11
2121
skXtkx
sXsXtxtx
⇔+⇔+
dssdX
ttxsXtx)(
)( então ,)()( ⇔−⇔
∫∞
⇔⇔s
dXttx
sXtx ττ )()(
então ,)()(
exista. limite o que desde ,)(lim)0( então Laplace, de
dasTransforma têm/)( sua e )( Se :inicial valor do Terorema
ssXx
dttdxtx
s ∞→
+ =
.imaginário eixo noou
RHP no pólos haja não caso ,)(lim)(lim então Laplace, de
dasTransforma têm/)( sua e )( Se :final valor do Terorema
0ssXtx
dttdxtx
st →∞→=
1-18Sinais e SistemasEng. da Computação
Propriedades da Transformada de Laplace (iv)• Exemplo
6)52(
)32(10lim)52(
)32(10lim)(lim)(
0)52(
)32(10lim
)52()32(10
lim)(lim)0(
que se- temAssim
)52(
)32(10)(
:por dado )( para )( de finais e iniciais valoresos Determine
20200
22
2
=++
+=
++
+==∞
=++
+=
++
+==
+++=
→→→
∞→∞→∞→
+
sss
sssssssYy
sss
ssss
sssYy
sssssY
sYty
sss
sss
1-19Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (i)• Soluções de Equações Integro-diferenciais
– A transformada de Laplace substitui equações diferenciais por equações algébricas na resolução do sistema dinâmico seguindo as operações:
• Obtenção das equações diferenciais;
• Obtenção das transformadas de Laplace das equações diferenciais;
• Resolução das equações algébricas para as variáveis de interesse;
• Obtenção da transformada inversa de Laplace da solução encontrada.
1-20Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (ii)• Equações Diferenciais
– Resolve-se equações diferenciais com coeficientes constantes. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma equação diferencial é uma equação algébrica.
– Exemplo:
12)()0()0()()(
2)()0()()(
);()(
:se- temLaplace de dasTransforma das espropriedad Pelas
)()(
)(6)(
5)(
:expressão a escrevendo-Re
)()( entrada e,1)0( e 2)0( iniciais condições com
)()1()()65( :ordem segunda delinear ED a Resolva
222
2
2
2
4
2
−−=−−⇔
−=−⇔⇔
+=++
===
+=++
−−
−
−−−
ssYsysysYsdt
tyd
ssYyssYdt
tdysYty
txdt
tdxty
dttdy
dttyd
tuetxyy
txDtyDDt
&
&
1-21Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (iii)– Exemplo (continuação):
[ ] [ ]
)(23
32
13)( :Logo
42/3
33
22/13
432)4)(3)(2(45202)(
)4)(65(45202
)(41
)112()()65(
41
4)(62)(512)(
)()(
)(6)(
5)(
:se- temAssim,
4)0()(
)(;
41
)()()(
:se- temLaplace de dasTransforma das espropriedad pelas Ainda
432
3212
2
22
2
2
2
4
tueeety
ssssk
sk
sk
ssssssY
sssss
sYss
ssYss
ssssYssYssYs
txdt
tdxty
dttdy
dttyd
ss
xssXdt
tdxs
sXtuetx
ttt
t
−−=
+−
+−
+=
++
++
+=
+++++=
∴+++
++=∴
++
=+−++
∴+
++
=+−+−−
⇔+=++
+=−=
+=⇔=
−−−
−−
1-22Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (iv)– Componentes de Entrada Zero e Estado Zero da Resposta:
{
( )44444 344444 21
44 344 21
444 3444 2143421
43421
zero estado resposta
432
zero entrada resposta
32
zero estado componente
2
zero entrada componente
2
entradainiciais cond.
22
)(23
221
)(57)(
42/3
32
22/1
35
27
)(
)65)(4(1
)65(112)(
41)112()()65(
41)112()()65(
:que se- temanterior, exemplo No
tueeetueety
ssssssY
ssss
ssssY
ssssYss
ssssYss
ttttt
−+−+−=∴
+−
++
+−
+
+−
+=∴
+++++
+++=∴
++++=++∴
++=+−++
−−−−−
1-23Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (v)– Comentários sobre Condições Iniciais:
• As condições iniciais em zero menos são satisfeitas pela resposta de entrada zero, e não pela resposta total.
• A resposta total satisfaz as condições iniciais no tempo zero mais, condições estas, em geral, distintas daquelas em zero menos.
1-24Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (vi)– Exemplo: Na figura abaixo, a chave é fechada por um longo
período antes do tempo t=0, quando ela é aberta instantaneamente. Determine a corrente no indutor .0 para ),( ≥tty
1-25Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (vii)– Exemplo (continuação):
sssY
dy
Cvqdy
s
dy
ssY
dy
ssYyssYdt
tdysYty
tudytydt
tdy
tuvy
t
CC
t
t
C
2)()( que se- temAssim,
2)10(51
)0()0()( :capacitor no corrente a Para
)()()(
e 2)()0()()( então ,)()( Para
)(10)(5)(2)(
:é laço do equação a aberta, chave a Com)(10entrada e 10)0(;2)0( :iniciais Condições
0
0
+⇔
====
+⇔
−=−⇔⇔
=++
===
∫
∫
∫∫
∫
∞−
−−
∞−
∞−
∞−
−
∞−
−−
−
−
ττ
ττ
ττττ
ττ
1-26Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (viii)– Exemplo (continuação):
( ))()6.262(cos5)( :Concluindo
6.264/2tan;2;54/20
;tan;2
onde
,2
)()cos( :Inversa daTransforma
52/2)(2)(
52
1010)(5)(22)()(10)(5)()(:laço de equação da Laplace de ada transforma oEncontrand
0
01
22
12
22
2
tutety
br
acbacABAa
acABaBcA
r
cassBAstubtre
sssYsY
ss
ssssYsYssYtudyty
dttdy
t
at
t
+=
=====
−=
−−
=−
−+=
+++⇔+
++=∴=
++∴
=+++−⇔=++
−
−
−
−
∞−∫
θ
θ
θ
ττ
1-27Sinais e SistemasEng. da Computação
Soluções de Equações (ix)– Exemplo (continuação):
1-28Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (i)• Expressão Geral de um Sistema LTIC
)()(
),()(),()(
tempono derivação sua e Laplace de adas transformas se- temAssim,
0)0()0()0()0(
)0(
é, isto causal, é entrada a disto, Além
0)0()0()0()0()0(
é, isto relaxado, teinicialmen é sistema o zero, estado de resposta a Para
ou, )()()()( : ordem de LTIC sistema o Seja
)1(
)1(
)2(
)2(
2
2
)1(
)1(
)2(
)2(
2
2
11
10
11
1
sXsdt
txdsXtxsYty
dtxd
dtxd
dtxd
dtdx
x
dtyd
dtyd
dtyd
dtdyy
)x(t)bDbDbD(b
)y(t)aDaDa(D
txDPtyDQN
kk
k
N
N
N
N
N
N
N
N
NNNN
NNNN
⇔⇔⇔
======
======
++++=
=++++
=
−
−−
−
−−−−−
−
−−
−
−−−−−
−−
−−
K
K
K
K
1-29Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (ii)• Expressão Geral de um Sistema LTIC
– Interpretação Intuitiva da Transformada de Laplace• Pode-se expressar quase todos os sinais de utilidade prática
como um somatório de exponenciais incessantes sobre um intervalo contínuo de freqüências.
• Como s é uma freqüência complexa de exp(st), por isto, o método com a Transformada de Laplace é chamado de método do domínio da freqüência.
tatada.aqui ldiferencia equação da ncia transferêde função a é Esta
)()()(
)()(
)()(
:é LTIC sistema o para Laplace de daTransforma a Logo,
11
1
11
10
11
1011
1
sHsXsY
sXasasasbsbsbsb
sY
s)Xbsbsbs(bs)Yasasa(s
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
=∴++++++++
=∴
++++=++++
−−
−−
−−
−−
KK
KK
1-30Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (iii)– Exemplo:
)()32()( finalmente
,3
32
15
2)( Assim,
)5)(3)(2()1(3
53
651
)()()( é saída a assim
5
3)](3[)( tambéme ,
651
)()(
)(
iaconseqüêncpor ,)()1()()65(
)(3entrada e 0)0()0( :iniciais Condições
)()()(6)(5)( :LTIC sistema do resposta a Ache
325
2
52
)()(
2
5
2
2
tueeetysss
sY
ssss
ssss
sXsHsY
stueLsX
sss
sQsP
sH
txDtyDD
tueyy
txdt
tdxtydt
tdydt
tyd
ttt
t
DPDQ
t
−−−
−
−−−
+−−=+
++
−+
−=
++++
=+++
+==
+==
+++
==
+=++
===
+=++
32144 344 21
&
1-31Sinais e SistemasEng. da Computação
Resposta de Estado Zero (iv)– Exemplo:
ssHsX
ssY
dxty
ssXsY
sHssXsY
dtdx
ty
esXsY
sHesXsY
TtxtyT
t
sTsT
1)()(
1)(
)()( :ideal integrador Um(c)
)()(
)()()(
)( :idealdor diferencia Um(b)
)()(
)()()(
)()( :segundos de de idealatrasador Um(a) ncia transferêde funções as Encontre
0
=∴=⇔
=
==∴=⇔
=
==∴=⇔
−=
∫
−−
ττ
1-32Sinais e SistemasEng. da Computação
Estabilidade (i)• Critério de Estabilidade Assintótico
– Para P(s) e Q(s) sem fatores comuns, o critério pode ser expresso em termos de pólos da função de transferência de um sistema:
• Um sistema LTIC é assintoticamente estável se e só se todos pólos (simples ou repetidos) da função de transferência H(s) estão no semiplano esquerdo (parte real negativa).
• Um sistema LTIC é instável se e só se uma das duas condições for verdade: (i) ao menos um pólo de H(s) encontra-se no semiplano direito; (ii) houver pólos repetidos de H(s) sobre o eixo imaginário.
• Um sistema LTIC é marginalmente estável se e só se não houver pólos de H(s) no semiplano direito e houver pólos não-repetidos sobre o eixo imaginário.
– A localização dos pólos de H(s) dentro de um mesmo semi-plano não influencia na estabilidade de um sistema.
1-33Sinais e SistemasEng. da Computação
Diagrama de Blocos (i)• Introdução
– Um sistema grande pode ser formado por número enorme de componentes tais como ocorre no diagrama de um circuito de rádio ou um receptor de televisão. Pode-se, então, resolver este problema através do emprego de subsistemas interconectados que podem ser caracterizados em termos de relações entrada-saída. Em particular, um sistema linear pode ser caracterizado por sua função de transferência H(s). Os subsistemas podem ser interconectados em cascata, paralelo e por realimentação.
– A função de transferência relaciona variáveis controladas com controladoras, representando relação causa-efeito de maneira esquemática através de diagrama de blocos. Este diagrama édefinido como um bloco operacional e unidirecional que representa a função de transferência de variáveis de interesse.
1-34Sinais e SistemasEng. da Computação
Diagrama de Blocos (ii)– Exemplos:
1-35Sinais e SistemasEng. da Computação
Diagrama de Blocos (iii)– Exemplo: Sistema multivariáveis
=
)()(
)()()()(
)()(
2
1
2221
1211
2
1
sRsR
sGsGsGsG
sYsY
)(1 sR
)(2 sR
)(11 sG
)(12 sG
)(21 sG
)(22 sG
)(1 sY
)(2 sY++
+
+
1-36Sinais e SistemasEng. da Computação
Diagrama de Blocos (iv)– Exemplo: Função de transferência de um sistema de malha
fechada.
)(sG)(sR
)(sH
)(sE )(sY
)(sB
+
−
[ ][ ]
diagramas. estes para reduções de técnicasdeatravés simples mais outro a reduzidoser pode blocos de diagrama Um
)()(1)(
)()(
)()()()()(1)()()()()()()()()()()( então ,)()()( como
,)()()()()()( que se-Tem
sHsGsG
sRsY
sRsGsYsHsGsYsHsGsRsGsYsYsHsRsGsYsEsGsY
sYsHsRsBsRsE
+=
∴=+∴−=∴−==
−=−=
1-37Sinais e SistemasEng. da Computação
Diagrama de Blocos (v)– Exemplo: Rover de Marte (sojourner), alimentado por energia
solar.
1-38Sinais e SistemasEng. da Computação
Diagrama de Blocos (vi)– Exemplo: Sistema de controle para o rover: (a) malha aberta
(sem realimentação); (b) malha fechada (com realimentação).MASTER 47
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−
+R(s)r(t) = t,t ≥ 0 +
+
R(s)
Controller
+
+K(s +1)(s +3)s2+4s+5
1(s +1)(s +3)
1(s +1)(s+ 3)
D(s)
D(s) Rover
RoverY(s)
Vehicleposition
Y(s)Vehicleposition
K
(a)
(b)
Figure 4.25 Control system for rover; (a) open-loop (without feedback) and (b) closed-loop with feedback.The input is R(s) = 1/s.
1-39Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (i)• Introdução
– Método sistemático de realização (ou implementação) de uma função de transferência arbitrária. A realização caracteriza-se por:
• Constituir-se em um problema de síntese;
• Existir, em geral, mais de uma maneira de ocorrer;
• Empregar integradores, diferenciadores, adicionadores e multiplicadores.
– O problema de realização estuda como encontrar uma representação (por variáveis de estado) de um sistema LTI a partir de uma função de transferência.
1-40Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (ii)• Realização: Forma Direta I (DFI)
– Inicialmente será exposto um caso particular: realização de um sistema de terceira ordem:
.invertidas blocos dos posições as com cascata em conexão uma aeequivalent éanterior opção a ,comutativa epropriedad da causaPor
.)( e )( de cascata em conexãopor )(realizar se-Pode
)().(1
1)(
1)(
21
21
33
221
33
221
0
33
221
33
221
0
322
13
322
13
0
sHsHsH
sHsH
sa
sa
sas
bsb
sb
bsH
sa
sa
sa
sb
sb
sbb
asasasbsbsbsb
sH
=
+++
+++=
∴+++
+++=
++++++
=
1-41Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (iii)• Realização: DFI
– Este sistema é descrito pelas equações:
)(1)()(1
1)(
)()(
33
221
33
221
33
221
0
sYsa
sa
sa
sWsW
sa
sa
sa
sY
sXsb
sb
sb
bsW
+++=∴
+++=
+++=
)(sX )(1 sH )(2 sH )(sY
)(sX )(2 sH )(1 sH )(sY
1-42Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (iv)• Realização: DFI
)(sW
s1
)(sX +
s1
s1
+
+
0b
+
1b
2b
3b
s1
)(sY+
s1
s1+
+
+
1a−
2a−
3a−
+
+
+
+
1-43Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (v)• Realização: DFI
)(sW
s1
)(sX +
s1
s1
+
+
+
0b
+
1b
1−Nb
Nb
s1
)(sY+
s1
s1
+
+
+
+
1a−
1−− Na
Na−
+
+
+
+
Sistemas de ordem N:
Note que é necessário 2N integradores para realizar tal sistema.
Neste tipo de realização, primeiro realiza-se H1(s)e depois H2(s).
1-44Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (vi)• Realização: Forma Direta II (DFII)
– Inicialmente realiza-se H2(s) e depois H1(s). Com respeito ao caso anterior, a ordem dos blocos é invertida. Para o sistema anterior de terceira ordem, tem-se:
– A mesma situação é estendida para um sistema de ordem N.
)().(1
1)( 123
3221
0
33
221
sHsHsb
sb
sb
b
sa
sa
sa
sH =
+++
+++=
1-45Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (vii)• Realizações Cascata e Paralela:
– Uma função de transferência H(s) pode ser expressa como um produto de funções de transferência ou como uma soma:
si. entre interagem escoeficient todos caso, último no que vezuma sistema no parâmetros de variaçõespequenas
a sensíveis menosser a tendemaquelas pois diretas formas às spreferívei são cascatas algumas a paralela formas as prático, vistade ponto Do
)()()5(
2)1(
6)5)(1(
284)(
que se- temamente,alternativ
)().()5(
1)1(
284)5)(1(
284)(
43
21
sHsHssss
ssH
sHsHss
sss
ssH
−=
+
−
+
=
++
+=
=
+
++
=
++
+=
1-46Sinais e SistemasEng. da Computação
Realização de Sistemas (viii)• Realizações Cascata e Paralela:
– Realizações da função anterior:
)(sX1284
++
ss )(sY
51+s
)(sX1
6+s
)(sY
52+s
−
+
1-47Sinais e SistemasEng. da Computação
Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB
– Todos
• Problemas– 4.1-1 até 4.1-3.
– 4.2-1, 4.2-3 até 4.2-5.
– 4.3-1 até 4.3-3, 4.3-5 até 4.3-9, 4.3-12.
– 4.5-1 até 4.5-3.
– 4.6.1 até 4.6.10