análise de sensibilidade, dualidade e análise...

Análise de sensibilidade, dualidade e

análise pós-otimização

Pesquisa Operacional - 2019/2

Introdução• Uma das hipóteses de um modelo de PPL é assumir que

todos os parâmetros do modelo são determinísticos.

max ou min Z = f(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn

sujeito à a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn{ ≤ , = , ≥ }b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn{ ≤ , = , ≥ }b2

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn{ ≤ , = , ≥ }bm

...

...

...

...

x1, x2, . . . , xn ≥ 0 (restrição de não-negatividade)

cj ; aij ; bi são conhecidos com certeza

• A estimativa desses parâmetros é baseada em previsões futuras;

• Mudanças podem ocorrer até que a solução final seja implementada;

• Exemplos:

• Alterações nas quantidades de recursos disponíveis;

• Introdução de um novo produto;

• Variação de preço de um produto;

• Aumento ou diminuição dos custos de produção…

Análise de sensibilidade

• É fundamental no estudos de PPL;

• Objetivo:

• Investigar os efeitos que determinadas alterações nos parâmetros do modelo causariam na solução ótima.


• CASO 1: análise de sensibilidade

• Estuda-se a variação (limite inferior e superior) que os coeficientes da função objetivo e as constantes bi podem assumir, sem alterar a solução ótima do modelo inicial ou sem alterar a região de soluções viáveis.

• Considera-se a alteração de um parâmetro por vez.


• CASO 2: análise de sensibilidade pós-otimização

• É empregado quando, após mudanças nos parâmetros do modelo, a solução ótima do modelo é afetada.

• Torna-se necessário recalcular a nova solução ótima do modelo.

• Pode-se considerar mais de uma alteração de parâmetro por vez.

Teoria da dualidade

• Antes do estudo do CASO 2: análise de sensibilidade pós-otimização é preciso estudar a teoria da dualidade.

• Os conceitos da teoria de dualidade são usados na análise pós-otimização.

• Todo PPL original é chamado primal, está associado a outro problema chamado dual.

Teoria da dualidade

• Para um problema de maximização com n variáveis e m restrições, o respectivo dual será um problema de minimização com m variáveis e n restrições.

• Apesar de possuírem características distintas, ambos os problemas levam a mesma solução ótima.

• Pode ser mais conveniente resolver um problema de programação linear a partir do problema dual.


• Primeiro estudo:

• Análise de sensibilidade do modelo em função de alterações em um dos coeficientes da função objetivo, sem alterar a solução básica original do modelo (a solução básica permanece ótima).

• Observe: como um dos coeficientes da função objetivo é alterado, o valor da função objetivo z também muda.

ExemploA empresa Romes Calçados está interessada em planejar sua produção de chinelos e tamancos para o próximo verão.

Os produtos passam pelo processo de corte, montagem e acabamento.

O lucro unitário por chinelo e tamanco fabricado é de R$15,00 e R$20,00, respectivamente.

A tabela mostra o total de horas de mão de obra (horas-homem) necessárias para produzir uma unidade de cada componente em cada processo de fabricação, além do tempo total disponível por semana, também em horas-homem.

SETORTempo (horas-homem) para processar 1 unidade Tempo disponível

(hora-homem/semana)Chinelo TamancoCorte 5 4 240

Montagem 4 8 360Acabamento 0 7,5 300

Solução

As variáveis de decisão do modelo são:

x1 = quantidade de chinelos a serem produzidos semanalmente

x2 = quantidade de tamancos a serem produzidos semanalmente

O lucro unitário por chinelo e tamanco fabricado é de R$15,00 e R$20,00, respectivamente.

max z = 15x1 + 20x2

SETORTempo (horas-homem) para processar 1 unidade Tempo disponível

(hora-homem/semana)Chinelo TamancoCorte 5 4 240

Montagem 4 8 360Acabamento 0 7,5 300

max z = 15x1 + 20x2

sujeito a 5x1 + 4x2 ≤ 240 (1)4x1 + 8x2 ≤ 360 (2)

7,5x2 ≤ 300 (3)

xj ≥ 0 j = 1,2

1

2

3

x1 = 20, x2 = 35 z = 15(20) + 20(35) = 1000

Análise de Sensibilidade

• Faremos agora uma análise de sensibilidade a partir de alterações nos valores dos coeficientes da função objetivo, efetuando uma alteração por vez.

• O objetivo é determinar o intervalo de valores que cada coeficiente da função objetivo pode assumir, mantendo os demais coeficientes constantes, sem afetar a solução básica do modelo (a solução básica permanece ótima).

Análise de Sensibilidade

• Essa análise baseia-se na comparação entre os coeficientes angulares das restrições ativas (tratadas como restrições de igualdade) com o coeficiente angular da função objetivo.

• As restrições ativas são aquelas que definem a solução ótima do modelo.

• Se as restrições inativas do modelo forem eliminadas, a solução ótima não será afetada.

Coeficiente angular da função objetivo a partir de sua equação reduzida

z = c1x1 + c2x2

x2 = −c1

c2x1 +

zc2

Forma reduzida:

Coeficiente angular da FO

Intervalo de valores para ci que não alteram

a solução básica original do modelo

1

2

RESTRIÇÕESATIVAS

coef. angular das restrições ativas

5x1 + 4x2 ≤ 240 (1)

4x1 + 8x2 ≤ 360 (2)

x2 = −54

x1 + 60 → m1 = −54

x2 = −12

x1 + 45 → m2 = −12

x2 = −c1

c2x1 +

zc2

(FO)

−54

≤ −c1

c2≤ −

12

⇒ 0,5 ≤c1

c2≤ 1,25

ExemploA partir do problema da empresa Romes Calçados, faça uma análise de sensibilidade considerando as seguintes alterações:

a) Suponha que houve um aumento nos lucros unitários do chinelo e tamanco para R$20,00 e R$25,00, respectivamente, em função de reduções de custos de produção, principalmente mão de obra.

Verificar se a solução básica permanece ótima. Em caso positivo, qual o novo valor de z?

max z = 15x1 + 20x2 (FO original)

max z = 20x1 + 25x2 (nova FO)

max z = 20x1 + 25x2 (nova FO)

c1

c2=

2025

= 0,8

0,5 ≤c1

c2≤ 1,25 CONTINUA VÁLIDA!

x1 = 20, x2 = 35 z = 20(20) + 25(35) = 1275

A SOLUÇÃO ÓTIMA É A MESMA.

a)

b) Quais as possíveis variações em c2 que manteriam a solução básica do modelo original? OBS.: Os demais parâmetros permanecem constantes.


0,5 ≤c1

c2≤ 1,25 subst. c1 = 15

0,5c2 ≤ 15 ⇒ c2 ≤ 30

1,25c2 ≥ 15 ⇒ c2 ≥ 12

⇒ 12 ≤ c2 ≤ 30 ⇒ co2 − 8 ≤ c2 ≤ co

2 + 10

c) Quais as possíveis variações em c1 que manteriam a solução básica do modelo original? OBS.: Os demais parâmetros permanecem constantes.

0,5 ≤c1

c2≤ 1,25 subst. c2 = 20

0,5 ⋅ 20 ≤ c1 ≤ 1,25 ⋅ 20

⇒ 10 ≤ c1 ≤ 25 ⇒ co1 − 5 ≤ c1 ≤ co

1 + 10


d) Imagine que houve um aumento no custo do couro, o principal insumo para a fabricação do tamanco, diminuindo seu lucro unitário para R$18,00.

Para que a solução básica do modelo original permaneça inalterada, o lucro unitário de chinelos deverá satisfazer qual intervalo?

0,5 ≤c1

c2≤ 1,25 subst. c2 = 18

0,5 ⋅ 18 ≤ c1 ≤ 1,25 ⋅ 18

9 ≤ c1 ≤ 22,5

Exercício avaliativo• Considere o problema de maximização

max z = 15x1 + 20x2

sujeito a 4x1 + 8x2 ≤ 360 (1)

xj ≥ 0 j = 1,2

x1 ≤ 60 (2)

• Determinar:

a) A solução gráfica do PPL dado.

b) As possíveis variações em c1 que manteriam a solução básica do modelo original, mantendo os demais parâmetros constantes.

c) Faça o mesmo para c2.

Análise de sensibilidade• Segundo estudo:

• A análise de sensibilidade a partir de alterações no valor de uma bi (disponibilidade de recursos).

• É baseada no conceito de preço-sombra (shadow price):

• definido como o acréscimo (ou decréscimo) no valor da função objetivo caso seja adicionada (ou retirada) uma unidade na quantidade atual de recursos disponíveis da i-ésima restrição.

Preço-sombra

Pi =Δz+1

Δbi,+1=

z+1 − z0

+1

• O cálculo do preço-sombra (� ) caso seja adicionada 1 unidade de recurso em � é:

Pibo

i

acréscimo no valor da função objetivo z caso

seja adicionada 1 unidade de recurso em � bo

i

valor inicial da função objetivo

novo valor dafunção objetivo após

ser adicionada 1 unidade em �bo

i

acréscimo em � . A definição de preço-sombra considera

um acréscimo de 1 unidade na quantidade de recursos i.

boi

Preço-sombra

Pi =Δz−1

Δbi,−1=

z−1 − z0

−1=

z0 − z−1

1

• O cálculo do preço-sombra (� ) caso seja retirada 1 unidade de recurso em � é:

Pibo

i

decréscimo no valor da função objetivo z caso

seja retirada 1 unidade de recurso em � bo

ivalor inicial da função objetivo

novo valor dafunção objetivo após

ser retirada 1 unidade em �bo

i

decréscimo em � . A definição de preço-sombra considera

um decréscimo de 1 unidade na quantidade de recursos i.

boi

Interpretação• O preço-sombra pode ser interpretado como:

• o preço justo a ser pago pela utilização de uma unidade do recurso i

ou

• o custo de oportunidade de recursos pela perda de uma unidade do recurso

O preço-sombra é o nome dado às variáveis de decisão do problema dual.

Análise de sensibilidade• Definido o preço-sombra para o recurso i (� ), o objetivo

dessa análise de sensibilidade é determinar o intervalo de valores em que pode variar de forma que o preço-sombra permanece constante.

Pi

bi

b0i − q ≤ bi ≤ b0

i + p

acréscimo permissível de p unidades em �boi

decréscimo permissível de q unidades em �boi

Preço-sombra constante

• O intervalo deve ser determinado de modo a satisfazer a seguinte relação:

Δz+p

Δbi,+p=

Δz−q

Δbi,−q=

z+p − z0

p=

z0 − z−q

q= Pi

acréscimo no valor da função objetivo z caso

seja adicionada p unidade de recurso em � bo

i

decréscimo no valor da função objetivo z caso

seja adicionada p unidade de recurso em � bo

i

decréscimo de q unidades em �bo

i

acréscimo de P unidades em �bo

i

Intervalo especificado em que o preço-sombra permanece constante

• Se fossem adicionadas p unidades em � , o valor da função objetivo cresceria �

• Essa equação também pode ser interpretada como o preço justo a ser pago pela utilização de p unidades do recurso i, sendo proporcional ao preço-sombra.

• Se fossem adicionadas q unidades em � , o valor da função objetivo decresceria �

• Essa equação também pode ser interpretada como o custo de oportunidade pela perda de q unidades do recurso i.

boi

Δz+p = Pi × p

boi

Δz−p = Pi × q

Preço sombra

• O cálculo do preço-sombra é válido somente para as restrições ativas (que definem a solução ótima do modelo).

• Caso contrário, variações em � dentro da região de soluções viáveis não influenciarão a solução ótima do modelo, concluindo que o preço-sombra para restrições não ativas é zero.

bi

• Resolvendo o problema de forma gráfica, à medida que a quantidade de recursos � varia, a i-ésima restrição se desloca paralelamente à i-ésima restrição original.

• A solução ótima do modelo atual continua sendo determinada pela interseção das mesmas retas ativas do modelo original.

• Enquanto a interseção dessas retas ocorrer dentro da região de soluções viáveis o acréscimo no valor da função objetivo pela utilização de p unidades do recurso i ou o decréscimo pela perda de q unidades do mesmo recurso será proporcional ao preço-sombra

• o preço-sombra permanecerá constante para o intervalo �

• Para qualquer valor de � fora desse intervalo, será necessário recalcular a nova solução ótima do modelo, já que a região de soluções viáveis é alterada.

bi

b0i − q ≤ bi ≤ b0

i + p

bi

ExemploA partir do problema da empresa Romes Calçados, faça uma análise de sensibilidade em função de alterações nos recursos:

a) O preço-sombra para cada setor (corte, montagem e acabamento).

b) Determinar o decréscimo e o acréscimo máximo permissível para cada � que manteriam seu preço-sombra constante (quando o mesmo é positivo) ou que não alterariam a solução ótima do modelo inicial (quando o preço-sombra for nulo).

bi

max z = 15x1 + 20x2

sujeito a 5x1 + 4x2 ≤ 240 (1)4x1 + 8x2 ≤ 360 (2)

7,5x2 ≤ 300 (3)

xj ≥ 0 j = 1,2

Solução

x1 = 20, x2 = 35 z = 15(20) + 20(35) = 1000

CORTE

MONTAGEM

ACABAMENTO

1) Alterações na disponibilidade de recursos do setor de CORTE

• Se o tempo disponível para o setor de cortes aumentar em uma hora-homem, a primeira restrição de:

de 5x1 + 4x2 ≤ 240 (1)para 5x1 + 4x2 ≤ 241

H(x1 = 20,333; x2 = 34,833)

Z = 1001,667

NOVA SOLUÇÃO ÓTIMA

• Preço-sombra para o setor de CORTES (� ), considerando o acréscimo de uma hora-homem na disponibilidade de recursos:

P1

P1 =Δz+1

Δbi,+1=

z+1 − z0

+1=

1001,667 − 1000241 − 240

= 1,667

• A cada hora-homem adicionada para o setor de corte, a função objetivo cresce 1,667;

• O preço justo pago por cada hora-homem utilizada no setor de corte é 1,667

• Preço-sombra para o setor de CORTES (� ), considerando o decréscimo de uma hora-homem na disponibilidade de recursos:

P1

P1 =1000 − 998,333

240 − 239= 1,667

• A cada hora-homem retirada para o setor de corte, a função objetivo decresce 1,667;

• O custo de oportunidade por cada hora-homem perdida no setor de corte é 1,667

de 5x1 + 4x2 ≤ 240 (1)para 5x1 + 4x2 ≤ 239

x1 = 16,667; x2 = 35,167

Z = 998,333

• O objetivo é determinar o intervalo de valores em que � pode variar de forma que o preço-sombra permaneça constante.

b1

b0i − q ≤ bi ≤ b0

i + p

• Enquanto isso correr:

• �P1 × p = 1,667 × p e P1 × q = 1,667 × q

� cresceb1

12 � decresceb1

A solução ótima do modelo original é determinada pela interseção das retas (1) e (2)

Preço-sombra será constante no segmento

DGD(10,40)

G(90,0)

• Enquanto a interseção das equações � e � ocorrer dentro da região de soluções viáveis (segmento DG), o preço-sombra permanecerá constante.

• Os pontos D e G representam os limites inferiores e superior para � .

• Qualquer ponto fora desse segmento resultará em uma nova solução básica,

5x1 + 4x2 = b14x1 + 8x2 = 360

b1

• Os limites inferiores e superiores para � podem ser determinados substituindo-se as coordenadas dos pontos D(10,40) e G(90,0) em � :

• Limite inferior para � (ponto D): �

• Limite superior para � (ponto G): �

• Enquanto o valor de � estiver dentro do intervalo � o preço sombra permanecerá constante.

• �

b1

5x1 + 4x2

b1 5 × 10 + 4 × 40 = 210

b1 5 × 90 + 4 × 0 = 450

b1210 ≤ b1 ≤ 450

b01 = 240 ⇒ b0

1 − 30 ≤ b1 ≤ b01 + 210

b0i − q ≤ bi ≤ b0

i + p

• Para � , o preço a ser pago pela utilização dessas 210 horas-homem para o setor de corte será

• �

• Se fossem adicionadas 210 horas-homem no tempo total disponível para o setor de corte, a função objetivo cresceria R$350,00.

p = 210

P1 × 210 = 1,667 × 210 = 350

• Para � , o custo de oportunidade pela perda dessas 30 horas-homem para o setor de corte será

• �

• Se fossem retiradas 30 horas-homem no tempo total disponível para o setor de corte, a função objetivo decresceria R$50,00.

q = 30

P1 × 30 = 1,667 × 30 = 50

install.packages(c("lpSolve"))

# coeficientes de x1 e x2 na função objetivo

func.objetivo <- c(15,20)

# coeficientes de x1 e x2 nas restrições

coeficientes.restricoes <- matrix(c(5,4,4,8,0,7.5),ncol = 2,byrow = TRUE)

# sinal das restrições

direcao.restricoes <- c("<=","<=","<=")

# limite das restrições

limites.restricoes <- c(240,360,300)

#solucão

solucao.problema <- lpSolve::lp(direction = "max",

objective.in = func.objetivo,

const.mat = coeficientes.restricoes,

const.dir = direcao.restricoes,

const.rhs = limites.restricoes,

compute.sens=TRUE)

# valor da função objetivo na solução

solucao.problema$objval

# Valores para as variáveis

solucao.problema$solution

# Coeficientes de sensibilidade de FO

solucao.problema$sens.coef.from

solucao.problema$sens.coef.to

# Preço-sombra

solucao.problema$duals

# limites para bi

solucao.problema$duals.from

solucao.problema$duals.to

> solucao.problema

Success: the objective function is 1000

> # Valores para as variáveis

> solucao.problema$solution

[1] 20 35

> solucao.problema$sens.coef.from

[1] 10 12

> solucao.problema$sens.coef.to

[1] 25 30

> solucao.problema$duals

[1] 1.666667 1.666667 0.000000 0.000000 0.000000

> solucao.problema$duals.from

[1] 2.10e+02 1.92e+02 -1.00e+30 -1.00e+30 -1.00e+30

> solucao.problema$duals.to

[1] 4.50e+02 3.84e+02 1.00e+30 1.00e+30 1.00e+30

Exercício avaliativo

2) Faça a análise de sensibilidade para alterações na disponibilidade de recursos do setor de MONTAGEM.

Confira o resultado no R.

3) Análise de sensibilidade para alterações na disponibilidade de recursos do setor de ACABAMENTO.

• A solução ótima do modelo original é determinada pelas restrições de corte e montagem.

• A restrição de acabamento (� ) não é ativa, alterações no valor de � dentro da região se soluções viáveis não influenciarão a solução ótima do modelo original.

• O seu preço-sombra é zero.

7,5x2 ≤ 300b3

análise de sensibilidade, dualidade e análise...

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