© 2008 HSarı 1

Anizotropik Ortamda Işık

© 2008 HSarı 2

Ders İçeriği

• Işığın kristal içinde ilerleyişi

• İzotropik olmayan (anizotropik) kristaller• Kübik kristaller

• Tek Eksenli Kristaller

• Çift Eksenli Kristaller

• Optik eksen tanımı

• Çift kırılma

• Anzotropik kristallerin uygulamaları• Dalga Klavuzları

• Kutuplayıcılar

© 2008 HSarı 3

İzotropik Ortam

χ=skaler (izotropik ortam)oP Eε χ=

� �

2 (1 )o

n = = = +ε

κ χε

E ile P paralel (E//P)

E ile D paralel (E//D)

k ile S paralel (k//S)

elektriksel alınganlık

elektriksel geçirgenlik

kırılmaindisi

dielektrik sabiti

χ=skaler (izotropik ortam)

no

nx

ny

indeks ellipsoidi

k

no

x

y

enerji akışı

S

E

vo

vx

vy

eş hız yüzeyleri

vo=c/no

c/nok

E

D E=� �

ε

S E H= � � �

no

nx

ny

EP

izotropik

χx

χy

χx ≠χy

© 2008 HSarı 4

Anizotropik Ortam

k skalerB kA=��

k tensör

AB

AB

Bx=kxxAx+ kxyAy + kxzAzBy=kyxAx+ kyyAy + kyzAzBz= kzxAx+ kzyAy + kzzAz

Bx=kAxBy=kAyBz=kAz

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

k k k

k k k k

k k k

=

k=a B kA=��

vektör tensör’e karşı

χ=tensör (kristal ortam)oP Eε χ=

� � E ile P paralel ?

E ile D paralel ?

k ile S paralel ?

A

B (-) k<1

//B A��

(+) k>1

x

y

EP

anizotropik

χx

χy

χx ≠χy

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

=

χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ χ

x xx xy xz x

y o yx yy yz y

z zx zy zz z

P E

P E

P E

=

χ χ χ

ε χ χ χ

χ χ χ

Kristalin diğer ortamlardan, elektromanyetik dalganın ilerleyişi düşünüldüğünde, en önemli farklılığıanizotropik özellik gösterebilmesidir yani farklı yönlerdeki elektriksel özelliği farklı olabilmektedir

© 2008 HSarı 5

Anizotropik Ortam

Sıradan ve soğurucu olmayan bir kristal için bu tensör simetriktir ve her zaman 3 tane temel eksen bulunabilir

jj

ijoi ED ∑=

=3

1

κε

Dielektrik sabiti κ cinsinden

(1 )o oD E E E= ε + χ = ε = ε κ� � � �

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

κ κ κ

κ κ κ κ

κ κ κ

1 111 12 13

2 0 21 22 23 2

31 32 333 3

.

D E

D E

D E

κ κ κ

ε κ κ κ

κ κ κ

=

=

33

22

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

2 (1 )o

n = = = +ε

κ χε

D1=εο[κ11E1+ κ21E2 + κ13E3]

D2=εο[κ21E1+ κ22E2 + κ23E3]

D3=εο[κ31E1+ κ32E2 + κ33E3]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ χ

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

=

χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ χ

x:1, y:2, z:3

x

z

yκx

κy

κz

x

z

y

κx

κy

κz

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

κ κ κ

κ κ κ κ

κ κ κ

© 2008 HSarı 6

Anizotropik Ortamların Sınıflandırılması

=

33

22

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

=

11

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

=

33

22

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

Durum-I Kübik sistem( Bakır, gümüş, sodyum Al metal sistemleri)

Durum-III Çift eksenli kristal sistem(Mika)

Durum-II Tek eksenli kristal sistem( Kuartz, Kalsit)

κ11≠ κ22≠ κ33

κ11≠ κ33

o

nε

εκ ==

κ11=κ22 =κ33

no

nx

nz

on = κ

no

nx

ny

no n

x

nz

ne

no n

x

nz

ne2

no n

x

ny

ne1

no

nx

ny

11on = κ

33en = κ

11on = κ

2 33en = κ

1 22en = κ

© 2008 HSarı 7

Anizotropik Ortamda Maxwell Denklemleri

0

0ρ

ε∇ = =� �

.D

0∇ =� �

.H

ot

µ∂

∇× = −∂

�� � H

E

t

∂∇× =

∂

�� � D

H

jijo Eκε=iD

( ) ( ) ( )o o

DE H

t t tµ µ

∂ ∂ ∂∇× ∇× = − ∇× = −

∂ ∂ ∂

�� � � � �

2( ) ( . )E E E∇× ∇× = −∇ + ∇ ∇� � � � � � �

22

2( . ) o

DE E

tµ

∂−∇ + ∇ ∇ = −

∂

�� � � �

Kristal içinde Maxwell denklemlerini yazıp çözüm bulmaya çalışalım

Burada

B=µoH σij=0

vektörel eşitliği kullanılırsa

Burada Çünkü izotropik ortamda ε skaler olmasına karşın anizotropikortamda ε tensördür ve E ile D herzaman birbirine paralel değildir!

A=kBA//B

A=CB

Ödev-1: Böyle olduğuna kendinizi ikna ediniz (matematiksel olarak tabii ki!)

. .E D∇ ≠ ∇� � � �

Burada

© 2008 HSarı 8

1 2 3( ) ( ) ( ). y y x y y y zx z

D E E ED DD

x y z x y z

κ κ κ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∇ = + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� �

( . ) 0E∇ ∇ ≠� � �

22

2( . ) o

DE E

tµ

∂−∇ + ∇ ∇ = −

∂

�� � � �

( . )i k r toE E e ω−=

� �� �

( . )i k r toD D e ω−=

� �� �

( . )i k r toH H e ω−=

� �� �

Burada dielektrik sabitler κ1y, κ2y ve κ3y ortak değillerdir (ortak parantez dışına alınamaz!)

olduğu için dalga denklemini buna göre çözmemiz gerekecektir.

Hangi durumda yukarıdaki denklem dalga çözümlüdür? Çözümün dalga formunda olduğunu kabul edersek

Yukarıdaki ifadede

2 2 ( . )( ) ( . ).i k r toE E e k k Eω−∇ = ∇ = −

� � � �� � �

© 2008 HSarı 9

[ ]( )ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ...) . ...x y zi k x k y k z

x x y y z z x x x xi i i ik E ik E ik E i ik e i ik ik Ex x x

+ +∂ ∂ ∂= + + = + = +

∂ ∂ ∂

� �k.E

ˆˆ ˆ.( . ) . . . . .x y zE ik k E jk k E kk k E k k E ∇ ∇ = + + =

� � � � �� � � � � � �

22

2.( . ) o

DE E

tµ

∂−∇ + ∇ ∇ = −

∂

�� � � �

2

2. . ( . ) o

Dk k E k k E

tµ

∂ + − = − ∂

�� � � �� �

Herhangi bir maddede k.D=0 fakat en genel olarak k.E≠0

x-bileşeni için

Işığın anizotropik ortamda ilerleyişini belirleyen dalga denklemi

. .E ik E∇ =�� � �

ˆˆ ˆ.( . ) ( . ) ( . ) ( . )E i ik E j ik E k ik Ex y z

∂ ∂ ∂∇ ∇ = + +

∂ ∂ ∂

� � �� � � � � �

Bu işlem y- ve z-bileşeler için de yapılırsa yukarıdaki dif. Eşitlik vektörel olarak

© 2008 HSarı 10

Homojen ve izotropik madde için k.E=0 ve D=εE olduğundan

0+k2E=µoω2εE

(k2-µoω2ε)E=0

Bu denklemin çözümünün

k2-µoω2ε=0

εµ

ω

ok

12

2

= faz

ok

νεµ

ω==

1

ˆ ˆ ˆ ˆk k k k k n kv c n c

ω ω ω= = = =� �

=> =>

İzotropik madde (bütün doğrultularda aynı elektriksel özellik gösteren) için bulduğumuz denklemi çözelim

2. . . . ok k E k k E Dµ ω − =

� � � �� � �

Vektörel eşitlik

22

2.( . ) o

DE E

tµ

∂−∇ + ∇ ∇ = −

∂

�� � � �

Direfansiyel eşitlik

© 2008 HSarı 11

k~

knk ˆ~=

k�

2 22

2 2. . ( . ). ok k E k k E D

c c

ω ωµ ω − + =

� � �� � � �

İşlemleri kolaylaştıracak boyutsuz bir nicelik tanımı yaparsak

boyutsuz bir vektör, yönü yayılma yönünde, büyüklüğü ise kırılma indisi n’e eşit.

2~~nkk =

2

2. . ( . ).k k E k k E

c

ω = −

� � � �� �

2

2. . . .k k E k k E

c

ω =

� � � �� �

ˆ ˆ ˆ( )k k k k nkv c

ω ω= = =� �

k n=�

k�2

kπ

=λ

�

2. . . . ok k E k k E Dµ ω − =

� � � �� � �

2. . . . ok k E k k E Dµ ω − =

� � � �� � �

© 2008 HSarı 12

2~~nkk =

0)~

(~2 =−− jiji EE κjji Ekkn

≠

==

jieger

jiegerij 0

1δ jiji EE δ=

0)~

(~2 =−− jijjij EE κδ jji Ekkn

0~~

( 2 =−− jijij E)κδ ji kkn 2( )ij i j ij ijn k k Mδ κ− − ≡� �

0ij jM E =

( ) 0ij jM n E =

Boyutsuz formda karakteristik denklem

Ej yi parantez dışına nasıl alırız? Kranecker delta notasyonunu kullanarak elektrik alanları

şeklinde yazabiliriz

1 11 1 12 2 13 3j jM E M E M E M E= + +

n: özdeğerlerEj: özfonksiyonlar

2. .k k E n E =

� �� �

2. . . . ok k E k k E c Dµ − + =

� � �� � � �

i ij j o o ij jD E Eε µ ε κ= =

x xx x xy y xz zD E E Eε ε ε= + +2 2. .i i o i ij jk k E n E c D Eµ κ − + = =

�� �

Bileşenler cinsinden

© 2008 HSarı 13

ij j jA E aE=

( ) 0ij ij jA a Eδ− =

Bu bir özdeğer probleminden başka bir şey değildir. Genel olarak

Burada a özdeğer, Ej’ler ise öz fonksiyonlardır.

( ) 0ij jM a E =

detMij(a)=0 ifadesinden özdeğerler bulunur: a1 , a2 gibi

( ) ( )ij ij ijA a M aδ− ≡

11 12 1 1

21 22 2 2

A A E Ea

A A E E

=

ij j jA E aE=özdeğerler ifadesinde kullanılarak öz fonksiyonlar jE bulunur

özdeğerler ���� kırılma indisleriniözfonksiyonlar ���� elektrik alanı (kutuplanma doğrultusu)

© 2008 HSarı 14

0~

0~

ˆ~

3

2

1

=

=

=

k

k

ink

jj

ii

knk

knk

ˆ~

ˆ~

=

=

=

11

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

=

000

000

00~~

2n

kk ji

2 211 11

2 211 11

2 211 11

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0ij

n n

M n n

n n

κ κ

κ κ

κ κ

− − = − = − − −

0000

0000

000

0

0

0

000

000

00 111

3

2

111

=++

=++

=++

⇒

=

E

E

E

E κκ

x

yz

k

Mij

matrisi

detMij=0 ifadesinden özdeğerleri bulabiliriz. Bu özdeğerler:

κ11[(κ11-n2)2]=0 => n2=κ11 => n=( κ11)

1/2

Daha önce bulunan sonuçlarla aynı!Elektrik alanı (yani her öz değere karşı gelen öz fonksiyonları) bulmaya çalışalım:

E1=0, E2=keyfi, E3=keyfi (Ex=0, Ey ≠0, Ez ≠0)

k~

Örnek 1: Kübik Sistem (Bütün yönler özdeş-İzotropik Ortam)

Işığın (k’nın) yönünün kübik ortam içinde x-doğrultusunda olduğunu kabul edelim ( k = î )

niceliği

x

yz

k

E

kübik sistem

Boyutsuz

2( )ij i j ij ijn k k Mδ κ− − ≡� �

( ) 0ij jM n E =

© 2008 HSarı 15

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

0~

0~

ˆ~

3

2

1

=

=

=

k

k

ink

=

000

000

00~~

2n

kk ji

2 211 11

2 211 11

2 233 33

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0ij

n n

M n n

n n

κ κ

κ κ

κ κ

− + + = − + = − − + −

x

yz

k

Örnek 2:Tek eksenli (uniaxial) sistem (Bir yöndeki optik özellik diğer iki yönden farklı olan sistemler)

k’nın x-doğrultusunda olduğunu kabül edelim

Dij matrisi

Özdeğerleri bulmaya çalışırsak:

DetMij(n)=0 => κ11[(κ11-n2).(κ33-n

2)]=0 => Birbirinden farklı iki çözüm vardır, bunlar:

n1=(κ11)1/2 ve n2=(κ33)

1/2

n1=(κ11)1/2≡no => o-ışını [normal ışın (ordinary-ray)]

n2=(κ33)1/2≡ne => e-ışını [anormal ışın (extraordinary ray)]

2( )ij i j ij ijn k k Mδ κ− − ≡� �

x ve y aynı, z farklı

© 2008 HSarı 16

0)(00

0000

000

0

0

0

00

000

00

31133

111

3

2

1

1133

11

=−++

=++

=++

⇒

=

− o

o

o

o

o

E

E

E

E

E

κκ

κ

κκ

κ

11 1 11 1

11 33 2 11 33 2

3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 ( ) 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

e e

e e

e

E E

E E

E

κ κ

κ κ κ κ

+ + = − = ⇒ + − + =

+ + =

Alanlara bakalım(öz fonksiyonlar):

E1=0, E2=keyfi, E3=0 (alan vektörü ilerleme yönünde sıfır, alan y-yönünde kutuplanmıştır)

E1=0, E2=0, E3=keyfi (elektrik alan z-yönünde kutuplanmıştır!)

x

yz

k, no

E

x

yz

k, ne

E

n=(κ33)1/2≡ne e-ışını (anormal ışın) durumunu inceleyelim. Bu değere karşı gelen alan vektörleri

n=(κ11)1/2≡no o-ışını (normal ışın) durumu için:

11 1

11 33 2

0 0

( ) 0

e

e

E

E

≠ ⇒ =

− ⇒ =

κ

κ κ

( ) 0oij o jM n E =

( ) 0eij e jM n E =

Ödev-2: Yukarıdaki örnekte yayılma doğrultusu z ekseni ise özdeğer ve özfonksiyonları bulunuz

© 2008 HSarı 17

Anizotropik Ortam-Sonuç

Bu sonuçlar tek eksenli sistemde aynı anda iki tane ilerleyen dalga olduğunu söylemektedir.

Işık, x-yönünde ilerlerken kutuplanması y-yönünde ise no, kutuplanma doğrultusu z-yönünde ise ne kırılma indisini görecektir

Işık aynı maddede ilerlemesine karşın elektrik alanının kutuplanmasına bağlı olarak farklı kırılma indisi görmektedir.

z

vo=c/no

x

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

(κ11)1/2=no

(κ11)1/2=no

(κ33)1/2=ne

y

k

E

z

ve=c/ne

x

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

(κ11)1/2=no

(κ11)1/2=no

(κ33)1/2=ne

y

k

E

Pz kutuplu ışık ne kırılma indisini görürPy kutuplu ışık no kırılma indisini görür

Önemli Not: Işığın ilerlediği eksen değil! elektrik alanın hangi eksen üzerinde oluşu kırılma indisini belirler

© 2008 HSarı 18

Optik Eksen

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

x

z, (optik eksen)

y

x ve y eksenleri aynız ekseni farklı (optik eksen-oe)

İzotropik maddelerde tek bir kırılma indisi vardır, ışık her yönde aynı hızla ilerler ve ışığın hızı kristaldakiyayılma doğrultusundan bağımsızdır.

Yukarıdaki tek eksenli malzemede ışık z doğrultusunda ilerlerse elektrik alan ister x, isterse y doğrultusunda olsun aynı hızda ilerler. Kutuplanma doğrultusundan bağımsız olarak aynı kırılma indisini görüldüğü doğrultuya optik eksen (oe) denir

Anizotropik ortamda da öyle bir eksen bulunabilir mi ki bu eksen boyunca ilerleyen ışık kutuplanma doğrultusundan bağımsız olarak aynı kırılma indisini görsün?

no

no

nek

no

no

nek

Ey

Ex

no

no

ne

nx=ny=no nz=ne

© 2008 HSarı 19

Optik Eksen

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

Yukarıdaki tek eksenli malzemede ışık z doğrultusunda ilerlerse elektrik alan ister x, isterse y doğrultusunda olsun aynı hızda ilerler. Kutuplanma doğrultusundan bağımsız olarak aynı kırılma indisini görüldüğü doğrultuya optik eksen (oe) denir

İki ekseni aynı olan kristallere Tek Eksenli kristaller denmesinin sebebi tek bir optik eksen oluşundandır

Çift eksenli kristallerde iki farklı optik eksen bulunur

İzotropik kristallerde optik eksen sayısı sonsuzdur.

no

x

z, (optik eksen)

y

x ve y eksenleri aynız ekseni farklı (optik eksen-oe)

no

ne

nx=ny=no nz=ne

© 2008 HSarı 20

Çift KırılmaŞimdi tek eksenli bir sistemde genel bir duruma bakalım. Optik eksen (z) boyunca değil de optik eksen

ile belli bir açı (φ) yaparak ilerleyen ışığı düşünelim

x

z, (oe)

y φ

1

2

3

0

sin

cos

k

k n

k n

=

= φ

= φ

�

�

�

=2

2

2

2

00

00

00

n

n

n

n ijδ

=

33

11

11

00

00

00

κ

κ

κ

κ ij

=

φφφ

φφφ222

222

coscossin0

cossinsin0

000~~

nn

nnkk ji

2( )ij i j ij ijn k k Mδ κ− − ≡� �

211

2 2 211

2 2 233

0 0

0 (sin 1) sin cos

0 sin cos (cos 1)ij

n

M n n

n n

κ

κ φ φ φ

φ φ κ φ

−

= + − + −

Karakteristik denklemde yukarıdaki ifadeleri kullanırsak Dij matrisi

φ

no

no

oe (ne)

k

Ex

Ey

x

y

z

Ödev-2: Yukarıdaki durum için öz değer ve öz fonksiyonları bulunuz

© 2008 HSarı 21

Çift Kırılma

Ex kutuplu ışık

φ

no

no

oe (ne)

k

Ex

Ey

x

y

z

z

y

φ

k

ne

-z

z

y

φ

k

no

-z

Ey kutuplu ışık2 2

2 2 2

1 cos ( ) sin ( )

( ) o en n n

φ φ= +

φ

( ) on nφ =

Eğer bir ışık demeti z-y doğrultusunda ilerlerse o-ışını φ açısından bağımsız olarak no kırılmaindisini görecektir. Ancak e-ışını hareket doğrultusuna bağlı olarak farklı n indisini görecektir.

© 2008 HSarı 22

Anizotropik Malzeme Türleri

Çift kırılmada kırılma indisinin küçük olduğu eksene hızlı eksen,büyük olduğu eksene yavaş eksen de denir

ne < no durumunda ne hızlı eksen, no ise yavaş eksendir

Optik eksen

Pozitif tek eksenli kristal ne > no

φ

k

no

ne

Optik eksen

Negatif tek eksenli kristal ne< no

φ

k

none

İzotropik kristal no

nx

ny

φ

k

no

Kuartz (pozitif) Kalkita (negatif)no=1,5443 no=1,6584ne=1,5534 ne=1,4864Faz hızı vo > ve Faz hızı vo< ve

© 2008 HSarı 23

Çift Kırılma-Özet

optik eksen (oe)

z, ne

y, no

k

normal ışınanormal ışın

φ

kk

no

ne

ne > no pozitif kristal

k

k-z, ne

-y, no

φ

k

x

y

Ez (oe)

E

φ

no

no

oe (ne)

k

E

© 2008 HSarı 24

İndex Elipsoidi

Sonuçları 3 boyut için genelleştirebiliriz

ny

nx

x

y

z

nz

nx ≠ ny ≠ nz

n2

nx

ny

x

y

z

nz

n1k

-y

ny

nx

x

y

z

nz

nx = ny = nz

Herhangi bir k doğrultusunda ilerleyen ışığın göreceği kırılma indis değerleri

no=n1

ne=n2

© 2008 HSarı 25

Anizotropik Ortamda Enerji Akışı

x

k

ED

B

S z (oe)

x

z (oe)

kEE

S

B

φ

DE

H H

ED

H, B

normal ışınanormal ışınk

optik eksen

z, ne

y, no

φ

ne

EE D

no

DS

S

= � � �S E H

E //D

S ┴H

© 2008 HSarı 26

Çift Kırılma-Snell Yasası

ko

k1

k2

θ1θ2

ko

k

θt

izotropik ortam anizotropik ortam

oe

Hava

Kristal

nt

Hava

sin sini i t tn nθ θ= sin ( , )sin ( )i i t tn n P Pθ θ θ=

θi θi

PP

2

2

2

2

2

cossin

)(

1

oe nnn

φφ

φ+=

ni ni

no

ne

normalnormal

oe

oe

Ödev-3: Kutuplanmamış ışık, optik eksenleri birbirine dik olan bitişik özdeş prizmalar arasında geçiş yaptığında kutuplanma özelliği nasıl değişir?

© 2008 HSarı 27

Çift Kırılma

E

O E

O

E

OE

O

E

O E

O

Tek eksenli pozitif Tek eksenli negatif

EO

Anormal ışınNormal ışın

© 2008 HSarı 28

Anizotropik Kristallerin Uygulamaları

Çiftkırıcı maddeler optoelektronikte sıkça kullanılır

Bu maddeler özellikle:

- Işığı kutuplamada,

- Kutuplanmış ışığın kutupluluk özelliğini değiştirmede,

- Dalga plakalarının yapımında,

- Işığın modülasyonunda kullanılmaktadır

© 2008 HSarı 29

Çift kırıcı maddeler uygun şekillerde kullanılarak (optik eksen ve kalınlıkları ayarlanarak) dalga plakaları olarak adlandırılan pasif optik elemanlar yapılabilir

Dalga plakaları, • o- ve e-ışık arasında çeşitli dalga boylarında faz farkı oluşturmaya yarayan optik elemanlardır

• Optik eksene özel bir açıda gelen ışık dalgası no ve ne farkına bağlı olarak farklı hızlarda ilerler

•Dalga plakası olarak kullanılan malzemenin kalınlığı öyle ayarlanabilirki no ve ne eksenlerinden çıkan ışığın arasındaki optik yol farkı çeyrek dalga plakaları için λ/4, yarım dalga plakaları için λ/2 tam dalga plakaları için λ şeklinde olabilir

Dalga Plakaları

© 2008 HSarı 30

zkzFazλ

πφ

2=== ddFazfarkı

eo λ

π

λ

πφ

22−=∆=

e

bosluke

o

bosluko

nn

λλ

λλ == ,

eo

bosluk

nndFazfarkı −=λ

π2

Faz Farkı

o eOptikYolfarkı d n n≡ −

n

2o

o

Faz kd nk d n dπ

= φ = = =λ

d

ko

kn

kn=nko

λn=λo/n

2o

o

Faz kz nk z zπ

= φ = = =λ

ko

© 2008 HSarı 31

E

Gelen ışık

Çıkan ışıkd

E

no

ne

Optik eksen

Tek Eksenli Kristalin Optik eksenine herhangi bir açıda gelen ışınlar

k

v//=c/ne

v┴=c/no

ne: Yavaş eksen no: Hızlı eksen

Faz Farkı

Faz farkıeo

bosluk

nndFazfarkı −=λ

π2

© 2008 HSarı 32

Çeyrek Dalga Plakasıo-ve e-ışık demetleri arasında π/2 faz farkı oluşturan kristal “çeyrek dalga plakası” olarak adlandırılır

d plaka kalınlığı olmak üzere π/2 lik faz farkı |nod-ned|=λ/4 lük bir yol farkına eşdeğerdir

Örneğin kuartz için sodyum dalgası kullanıldığında (l nm) d=0,00164’ye eşit olacaktır

Dalga Plakaları-Çeyrek Dalga Plakaları

φ=45o veya 135o ise Dairesel Kutuplu Dalga

φ ≠45o veya 135o ise Eliptik Kutuplu Dalga

Yarım Dalga Plakaları doğrusal kutuplanmış ışığı en genel olarak eliptik, eliptik kutuplanmış ışığı ise doğrusal kutuplu dalgaya çevirir

no

E

Gelen ışık

Çıkan ışık

φ

Doğrusal Kutuplanmış ışıkDairesel Kutuplanmış ışıkne

d

2

2o e

bosluk

Fazfarkı d n nπ π

λ= − =

4bosluk

o eOptikyolfarkı d n nλ

= − =

© 2008 HSarı 33

Yarım Dalga Plakasıo-ve e-ışık demetleri arasında π kadarlık faz farkı oluşturan bir kristal “yarım dalga plakası” olarak adlandırılır

Dalga Plakaları-Yarım Dalga Plakaları

• d plaka kalınlığı olmak üzere π kadarlık faz farkı |nod-ned|=λ/2 kadarlık bir yol farkına eşdeğerdir.

• Yarım dalga plakası da çeyrek dalga plakasına benzer bir düzenekle oluşturulabilir İki plakanın tek farkıkalınlıklarının farklı oluşudur.

• Çeyrek dalga plakasında o- ve e-ışınları arasında faz farklı π/2 olacak şekilde geçiktirme sağlayacak kalınlık, yarım dalga plakası için bu faz farkı π olacak şekilde plakanın kalınlığı ayarlanır

• Yarım Dalga Plakaları emd’nın polarizasyon doğrultusunu değiştirmekte ters çevirmekte kullanılır

no

E

Gelen ışıkÇıkan ışık

θ

Doğrusal Kutuplanmış ışık Terslenmiş olarak doğrusal Kutuplanmış ışıkne

d

E

θ

2o e

bosluk

Fazfarkı d n nπ

πλ

= − =2

bosluko eOptikyolfarkı d n n

λ= − =

© 2008 HSarı 34

Tam Dalga Plakasıo-ve e-ışık demetleri arasında 2πn kadarlık (n tam sayı) faz farkı oluşturan bir kristal “tam dalga plakası” olarak adlandırılır

• d plaka kalınlığı olmak üzere 2π kadarlık faz farkı |nod-ned|=λ’lük bir yol farkına eşdeğerdir

• Tam dalga plakası da yarım ve çeyrek dalga plakasına benzer bir düzenekle oluşturulabilir

• İki plakanın tek farkı kalınlıklarının farklı oluşudur

• Çeyrek dalga plakasında o- ve e-ışınları arasında faz farklı π/2 olacak şekilde geçiktirme sağlayacak kalınlık, tam dalga plakası için bu faz farkı 2π olacak şekilde plakanın kalınlığı ayarlanır

• Tam dalga plakaları geciktirici olarak kullanılır

Dalga Plakaları-Tam Dalga Plakaları

no

E

Gelen ışıkÇıkan ışık

θ

Doğrusal Kutuplanmış ışık Geciktirilmiş ışıkne

d

Eθ

22o e

bosluk

Fazfarkı d n nπ

πλ

= − =o e boslukOptikyolfarkı d n n λ= − =

© 2008 HSarı 35

Dairesel ve Eliptik Kutuplu Dalganın Elde Edilişi

Hızlı Eksen

Yavaş Eksen

θ

Doğrusal Kutuplayıcı

Kutuplanmamış ışık

Doğrusal kutuplanmış ışık

Sol-el yönünde dairesel olarak kutuplanmış ışık

Kutuplama ekseni

Çeyrek Dalgaplakası

θ = 45o dairesel kutuplu ışık

θ ≠ 45o eliptik kutuplu ışık

© 2008 HSarı 36

Özet

Çift kırıcı maddeler optoelektronikte sıkça kullanılır. Bu maddeler özellikle ışığı kutuplamada, değişik dalga plakalarında (örneğin yarım dalga, çeyrek dalga plakalarında) ve ışığın modülasyonunda

kullanılmaktadır.

© 2008 HSarı 37

Özet

Teşekkürler