analİz i kİtabi - 1 - matematikoabt.com fileÖabt analİz konu anlatimli ÇÖzÜmlÜ soru bankasi...

ÖABT

ANALİZ KONU ANLATIMLI

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Yasin ŞAHİN ÖRNEKTİR

ÖABT

ANALİZ

KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,

yayınlanamaz, depolanamaz.

Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.

Eser Sahibi Yasin ŞAHİN

ISBN: 978-605-66977-2-2

Aybil Basımevi Sertifika No: 31790

Baskı & Cilt:

www.aybilonline.com

Aybil Dijital Baskı Reklam Mühendislik Turizm Sanayi ve Ticaret Limited Şirketi

Ferhuniye Mh. Sultanşah Cd. No:30/A KONYA Tel: 0.332 350 21 71 Fax: 0.332 350 71 21

KONYA – KASIM – 2016

ÖRNEKTİR

İÇİNDEKİLER Polinomlar ................................................................................................................................................................ 1 Test 1 ........................................................................................................................................................................ 4 Çözümler .................................................................................................................................................................. 6 Test 2 ........................................................................................................................................................................ 8 Çözümler ................................................................................................................................................................ 10 Konu Tarama Testi 1 .............................................................................................................................................. 12 Çözümler ................................................................................................................................................................ 13 II. ve III. Dereceden Denklemler ........................................................................................................................... 14 Test 3 ...................................................................................................................................................................... 16 Çözümler ................................................................................................................................................................ 18 Test 4 ...................................................................................................................................................................... 20 Çözümler ................................................................................................................................................................ 22 Konu Tarama Testi 2 .............................................................................................................................................. 24 Çözümler ................................................................................................................................................................ 25 Parabol ................................................................................................................................................................... 26 Test 5 ...................................................................................................................................................................... 29 Çözümler ............................................................................................................................................................... 31 Test 6 ...................................................................................................................................................................... 33 Çözümler ................................................................................................................................................................ 35 Konu Tarama Testi 3 .............................................................................................................................................. 37 Çözümler ................................................................................................................................................................ 38 II. Dereceden Eşitsizlikler ...................................................................................................................................... 39 Test 7 ..................................................................................................................................................................... 42 Çözümler ............................................................................................................................................................... 44 Test 8 ...................................................................................................................................................................... 46 Çözümler ................................................................................................................................................................ 48 Konu Tarama Testi 4 .............................................................................................................................................. 50 Çözümler ................................................................................................................................................................ 51 Trigonometri .......................................................................................................................................................... 52 Test 9 ..................................................................................................................................................................... 63 Çözümler ............................................................................................................................................................... 65 Test 10 .................................................................................................................................................................... 67 Çözümler ................................................................................................................................................................ 69 Test 11 .................................................................................................................................................................... 71 Çözümler ................................................................................................................................................................ 73 Konu Tarama Testi 5 .............................................................................................................................................. 75 Çözümler ................................................................................................................................................................ 76 Karmaşık Sayılar .................................................................................................................................................... 77 Test 12 .................................................................................................................................................................... 81 Çözümler ............................................................................................................................................................... 83 Konu Tarama Testi 6 .............................................................................................................................................. 85 Çözümler ............................................................................................................................................................... 86

ÖRNEKTİR

Logaritma ............................................................................................................................................................... 87 Test 13 ................................................................................................................................................................... 92 Çözümler ............................................................................................................................................................... 95 Konu Tarama Testi 7 .............................................................................................................................................. 97 Çözümler ................................................................................................................................................................ 98 Toplam ve Çarpım Sembolü .................................................................................................................................. 99 Test 14 ................................................................................................................................................................. 102 Çözümler ............................................................................................................................................................. 105 Konu Tarama Testi 8 ............................................................................................................................................ 107 Çözümler .............................................................................................................................................................. 108 Diziler .................................................................................................................................................................. 109 Test 15 ................................................................................................................................................................. 116 Çözümler ............................................................................................................................................................. 118 Test 16 .................................................................................................................................................................. 120 Çözümler .............................................................................................................................................................. 122 Test 17 .................................................................................................................................................................. 124 Çözümler .............................................................................................................................................................. 126 Konu Tarama Testi 9 ............................................................................................................................................ 128 Çözümler .............................................................................................................................................................. 129 Özel Tanımlı Fonksiyonlar .................................................................................................................................. 130 Test 18 .................................................................................................................................................................. 138 Çözümler .............................................................................................................................................................. 140 Test 19 .................................................................................................................................................................. 142 Çözümler .............................................................................................................................................................. 144 Konu Tarama Testi 10 .......................................................................................................................................... 146 Çözümler .............................................................................................................................................................. 147 Limit ve Süreklilik ............................................................................................................................................... 148 Test 20 .................................................................................................................................................................. 156 Çözümler .............................................................................................................................................................. 158 Test 21 .................................................................................................................................................................. 159 Çözümler .............................................................................................................................................................. 161 Test 22 .................................................................................................................................................................. 162 Çözümler .............................................................................................................................................................. 164 Test 23 .................................................................................................................................................................. 166 Çözümler .............................................................................................................................................................. 168 Test 24 .................................................................................................................................................................. 170 Çözümler .............................................................................................................................................................. 172 Konu Tarama Testi 11 .......................................................................................................................................... 174 Çözümler ............................................................................................................................................................. 176 Türev Alma Kuralları ........................................................................................................................................... 177 Test 25 .................................................................................................................................................................. 187 Çözümler .............................................................................................................................................................. 189 Test 26 .................................................................................................................................................................. 191 Çözümler .............................................................................................................................................................. 193 Test 27 .................................................................................................................................................................. 195 Çözümler .............................................................................................................................................................. 196 Konu Tarama Testi 12 .......................................................................................................................................... 197 Çözümler .............................................................................................................................................................. 199

ÖRNEKTİR

Türevin Geometrik Yorumu ................................................................................................................................. 200 Test 28 .................................................................................................................................................................. 211 Çözümler ............................................................................................................................................................. 213 Test 29 .................................................................................................................................................................. 215 Çözümler .............................................................................................................................................................. 217 Test 30 .................................................................................................................................................................. 219 Çözümler .............................................................................................................................................................. 221 Test 31 .................................................................................................................................................................. 223 Çözümler .............................................................................................................................................................. 226 Konu Tarama Testi 13 .......................................................................................................................................... 229 Çözümler ............................................................................................................................................................. 232 Belirsiz İntegral .................................................................................................................................................... 234 Test 32 ................................................................................................................................................................. 242 Çözümler ............................................................................................................................................................. 244 Test 33 .................................................................................................................................................................. 245 Çözümler .............................................................................................................................................................. 247 Test 34 .................................................................................................................................................................. 249 Çözümler .............................................................................................................................................................. 251 Konu Tarama Testi 14 .......................................................................................................................................... 252 Çözümler ............................................................................................................................................................. 254 Belirli İntegral ve Uygulamaları .......................................................................................................................... 255 Test 35 .................................................................................................................................................................. 265 Çözümler ............................................................................................................................................................. 267 Test 36 .................................................................................................................................................................. 269 Çözümler .............................................................................................................................................................. 271 Test 37 .................................................................................................................................................................. 273 Çözümler .............................................................................................................................................................. 275 Test 38 .................................................................................................................................................................. 277 Çözümler .............................................................................................................................................................. 279 Test 39 .................................................................................................................................................................. 281 Çözümler .............................................................................................................................................................. 283 Konu Tarama Testi 15 .......................................................................................................................................... 285 Çözümler .............................................................................................................................................................. 288 Seriler ve Yakınsaklık Testleri ............................................................................................................................. 291 Test 40 .................................................................................................................................................................. 298 Çözümler .............................................................................................................................................................. 300 Test 41 .................................................................................................................................................................. 302 Çözümler .............................................................................................................................................................. 304 Test 42 .................................................................................................................................................................. 305 Çözümler .............................................................................................................................................................. 307 Konu Tarama Testi 16 .......................................................................................................................................... 309 Çözümler .............................................................................................................................................................. 312 Genelleştirilmiş (Has Olmayan) İntegraller ......................................................................................................... 314 Test 43 .................................................................................................................................................................. 317 Çözümler .............................................................................................................................................................. 318 Konu Tarama Testi 17 .......................................................................................................................................... 319 Çözümler .............................................................................................................................................................. 320

ÖRNEKTİR

Laplace Dönüşümleri ........................................................................................................................................... 321 Test 44 .................................................................................................................................................................. 323 Çözümler .............................................................................................................................................................. 324 Konu Tarama Testi 18 .......................................................................................................................................... 325 Çözümler .............................................................................................................................................................. 326 Çok Değişkenli Fonksiyonlar ............................................................................................................................... 327 Test 45 .................................................................................................................................................................. 332 Çözümler .............................................................................................................................................................. 334 Test 46 .................................................................................................................................................................. 336 Çözümler .............................................................................................................................................................. 338 Konu Tarama Testi 19 .......................................................................................................................................... 340 Çözümler .............................................................................................................................................................. 342 Katlı İntegraller .................................................................................................................................................... 344 Test 47 .................................................................................................................................................................. 347 Çözümler .............................................................................................................................................................. 349 Konu Tarama Testi 20 .......................................................................................................................................... 351 Çözümler .............................................................................................................................................................. 352 Genel Tarama Sınavı ........................................................................................................................................... 353 Çözümler ............................................................................................................................................................. 368

ÖRNEKTİR

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Arkadaşlar,

ÖABT soruları akademik konulardan ve okul müfredatındaki temel konulardan

oluşmaktadır. Hepimizin amacı bu sınavda başarılı olmak ve istediğimiz bir okula atanmaktır.

Yeni sınav sisteminde bu amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi

pekiştirmeniz, çıkacak soru tiplerine uygun çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık

tekrar yapmanız gerekmektedir.

Analiz Konu Anlatımlı Çözümlü Soru Bankası Kitabı, yukarıdaki belirlemeye uygun

olarak değişen sınav sistemine göre, sizleri ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak amacıyla

düşünülmüştür. Bu kitabın hazırlanmasında çok emek sarf edildiğinden, kitabı kısmen ya da tamamen çoğaltanlara hakkımı helâl etmiyorum. Faydalanacak tüm öğretmen arkadaşlara

başarılar diler, bugünlere gelmemde büyük pay sahibi olan sevgili eşime ve dostlarıma

şükranlarımı sunarım.

Yasin ŞAHİN

ÖRNEKTİR

Analiz Çok Değişkenli Fonksiyonlar

327

Tanım: Tanım kümesi nR kümesinin bir alt kümesi

olan fonksiyonlara çok değişkenli fonksiyonlar

denir. Eğer bu fonksiyonun değer kümesi de R ise

buna n- değişkenli reel değerli fonksiyon denir.

f(x, y) iki değişkenli fonksiyon

g(x, y, z) üç değişkenli fonksiyon

Örnek: 2 2f(x,y) 4 x y fonksiyonunun tanım

kümesini bulup xy düzleminde gösterelim.

f(x, y) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için

2 2

2 2

4 x y 0

x y 4

olmalıdır. O halde f fonksiyonunun tanım kümesi

biçimindedir.

Tanım: xy düzleminde z = f(x, y) fonksiyonunun

sabit değerler aldığı noktaların oluşturduğu eğrilere

seviye eğrileri denir.

Örnek: f(x, y) = x2 + y2 fonksiyonunun bazı seviye

eğrilerini bularak grafiğini çizelim.

f fonksiyonu f(x, y) = 1 sabit değerini aldığında

x2 + y2 = 1 çemberi bir seviye eğrisi, f(x, y) = 4 sabit

değerini aldığında x2 + y2 = 4 çemberi bir başka

seviye eğrisidir.

Bazı Eğrilerin Grafikleri

1. Elipsoid:

2. Paraboloid:

2 2

2 2z x yc a b

3. Hiperboloid:

a) Tek Kanatlı Hiperboloid:

2 2 2

2 2 2x y z 1a b c

b) İki Kanatlı Hiperboloid:

2 2 2

2 2 2z x y 1c a b

ÖRNEKTİR


328

4. Silindir

2 2

2 2x y 1a b

5. Koni:

2 2 2

2 2 2z x yc a b

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik

Tanım: 2A R , A kümesinin bir yığılma noktası (a,

b) ve f de A kümesi üzerinde tanımlı reel değerli

fonksiyon olmak üzere, f fonksiyonunun (a, b)

noktasındaki limiti

(x,y) (a,b)

lim f(x,y)

biçiminde gösterilir.

Uyarı:

i) f(x, y) fonksiyonu (a, b) noktasında tanımlı olma-

dığı halde limiti olabilir.

ii) f(x, y) fonksiyonunun limiti varsa bu limit (x, y)

noktasının (a, b) noktasına yaklaşma biçiminden

bağımsızdır. Diğer bir ifadeyle (x, y) noktası (a, b)

noktasına hangi eğri boyunca yaklaşırsa yaklaşsın

limit değeri değişmez. Eğer (x, y) noktasının (a, b)

noktasına yaklaşma biçimine göre limit değişiyorsa

f fonksiyonunun (a, b) noktasında limiti yoktur.

iii) f(x, y) fonksiyonunun limitinin kartezyen koordi-

natlardaki hesaplanmasında sonuca ulaşılmazsa

x = r cos

y = r sin

kutupsal koordinatlarından yararlanılabilir.

Örnek:

2 2(x,y) (0,0)

xylimx y

limitini hesaplayalım.

I. yol: (0, 0) noktasına y = mx doğrusu boyunca

yaklaşırsak

2 2 2 2 2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)

2

xy xmxlim limx y x m x

m1 m

olduğundan limit yoktur. Çünkü m değeri değiştikçe

limit değişmektedir.

II. yol:

2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0

xy r cos r sinlim limx y r (cos sin )

cos sin

olduğundan limit yoktur. Çünkü değiştikçe limit

değişmektedir.

Örnek:

2

4 2(x,y) (0,0)

x ylimx y


(0, 0) noktasına y = mx2 parabolleri boyunca yakla-

şalım.

2 2 2

4 2 4 2 2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)

2

x y x mxlim limx y x m x

m1 m

olduğundan limit yoktur. Çünkü m değiştikçe limit

değeri değişmektedir. ÖRNEKTİR


329

Örnek:

2 2

2 2(x,y) (0,0)

x ylimx y


2 2 2 2

2 2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0

2r 0

x y r cos r sinlim limx y r cos r sin

lim r cos sin

0

Tanım: 2A R ve (a, b), A kümesinin bir yığılma

noktası olsun. f fonksiyonunun (a, b) noktasında

sürekli olabilmesi için

i) f fonksiyonu (a, b) noktasında tanımlı olmalıdır.

ii) f fonksiyonunun (a, b) noktasında limiti olmalıdır.

iii) f fonksiyonunun (a, b) noktasındaki limiti görün-

tüsüne eşit olmalıdır.

Örnek:

2 2

2 2x y , (x,y) (0,0) ise

f(x,y) x y0 , (x,y) (0,0) ise

şeklinde tanımlanan fonksiyonun 2R de sürekli

olup olmadığına bakalım.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0

x y r (cos sin )lim limx y r (cos sin )

cos2

olduğundan limit yoktur. Çünkü değiştikçe limit

değişmektedir. O halde limit olmadığından fonksi-

yon 2R de sürekli değildir.

Kısmi Türevler

Tanım: 2A R , f : A R, f(x, y) bir fonksiyon ve

(a, b) A olsun.

h 0

f(a h, b) f(a, b)limh

limitine (varsa) f fonksiyo-

nunun x değişkenine göre (a, b) noktasındaki kısmi

türevi denir ve

xf f(a,b) , (a,b), f (a,b)x x

sembollerinden biriyle gösterilir.

k 0

f(a, b k) f(a, b)limk

limitine (varsa) f fonksiyo-

nunun y değişkenine göre (a, b) noktasındaki kısmi

türevi denir ve

yf f(a,b) , (a,b), f (a,b)y y

sembollerinden biriyle gösterilir.

Örnek: f(x, y) = x2 + xy - y2 fonksiyonu için x yf (2,3) ve f (2,3) kısmi türevlerini hesaplayalım.

y sabit tutulur ve x değişkenine göre türev alınırsa

xf (x,y) 2x y

xf (2,3) 7

x sabit tutulur ve y değişkenine göre türev alınırsa

yf (x,y) x 2y

yf (2,3) 4

bulunur.

Örnek:

2

2 2x y , (x,y) (0,0) ise

f(x,y) x y0 , (x,y) (0,0) ise

fonksiyonunun varsa x yf (0,0) ve f (0,0) kısmi türev-

lerini bulalım.

x h 0

f(h,0) f(0,0)f (0,0) limh

h 0

0 0limh

0

y k 0

f(0,k) f(0,0)f (0,0) limk

k 0

0 0limk

0 ÖRNEKTİR


330

Tanım: f fonksiyonunun x yf ve f kısmi türevlerinin

x ve y değişkenlerine göre türevlerine (varsa) f nin

ikinci mertebeden kısmi türevleri denir.

2

xx x x 2f ff (f )

x x x

2

xy x yf ff (f )

y x y x

2

yx y xf ff (f )

x y x y

2

yy y y 2f ff (f )

y y y

Örnek: f(x, y) = y ex/y fonksiyonu için

xx xyf ve f kısmi türevlerini bulalım.

x / y x / yx

1f (x,y) y e ey

x / yxx

1f (x,y) ey

x / yxy 2

xf (x,y) ey

Teorem: z = f(x, y) , x = g(u, v) ve y = h(u, v) olsun.

z = f(g(u, v)), h(u, v))

f f x f yu x y y u

f f x f yv x v y v

Örnek: z = x2 + y2 fonksiyonu için x = u - v, y = u +

v olduğuna göre, z zveu v

türevlerini hesaplaya-

lım.

z z x z yu x u y u

= 2x . 1 + 2y . 1

= 2x + 2y = 4u

z z x z yv x v y v

= 2x . (-1) + 2y . 1

= 2y - 2x

= 4v

Tam Diferansiyel

x ydz z dx z dy

ifadesine z = f(x, y) fonksiyonunun tam diferansiyeli

denir.

Örnek: z = y ex fonksiyonu için dz tam diferansiye-

lini hesaplayalım.

xx

xy

z ye

z e

olduğundan

x ydz z dx z dy x xye dx e dy

bulunur.

Kapalı Fonksiyonların Kısmi Türevi

F(x, y, z) = 0 denklemi ile verilmiş olan z = f(x, y)

fonksiyonu için

z Fxx Fz

z Fyy Fz

Örnek: z2 - x2y + yz - 1 = 0 denklemi ile verilen z = f(x, y) fonksiyonunun x yz ve z kısmi türevlerini

bulalım.

x2xy 2xyz

2z y 2z y

2 2

yx z x zz

2z y 2z y

Herhangi Bir Yönde Türev Alma

f f ff i j kx y z

ifadesine f(x, y, z) fonksiyonunun gradiyenti denir. f fonksiyonunun P noktasındaki gradiyenti p( f ) ile

gösterilir.

u birim vektör olmak üzere,

p( f ) u

ifadesine f(x, y, z) fonksiyonunun u

yönündeki

türevinin P noktasındaki değeri denir.

ÖRNEKTİR


331

Örnek: f(x, y, z) = x2y - y z fonksiyonunun 3 4 12u i j k

13 13 13

yönündeki türevinin P(2, 3, 1)

noktasındaki değerini bulalım.

2f f f2xy , x z , yx y z

olduğundan f fonksiyonunun P(2, 3, 1) noktasında-

ki gradiyenti

p( f ) 12 i 3 j 3 k

olur. Buradan

p3 4 12( f ) u 12 3 3

13 13 13

1213

bulunur.

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minimum

z = f(x, y) fonksiyonu (a, b) noktasında sürekli ve

ikinci mertebeden kısmi türeve sahip olsun.

x yf (a,b) f (a,b) 0 olmak üzere,

i) 2xx yy xyf (a,b) f (a,b) f (a,b) 0 ise (a, b) fonksiyo-

nun eyer noktasıdır.

ii) 2xx yy xyf (a,b) f (a,b) f (a,b) 0 ve xxf (a,b) 0 ise

(a, b) fonksiyonun bir yerel minimum noktasıdır.

iii) 2xx yy xyf (a,b) f (a,b) f (a,b) 0 ve xxf (a,b) 0 ise

(a, b) fonksiyonun bir yerel maksimum noktasıdır.

Örnek: f(x, y) = 12xy - x3 - y3 fonksiyonunun yerel

ekstremum noktalarını bulalım 2

xf (x,y) 12y 3x 0

2yf (x,y) 12x 3y 0

22 2

2

4y x y4y44x y

y4 = 64 y

y = 0 , y = 4

x = 0 , x = 4

olacağından kritik noktalar A(0, 0) ve B(4, 4) tür.

xx

yy

xy

f (x,y) 6x

f (x,y) 6y

f (x,y) 12

A(0, 0) noktası için

xx yy xyf f f 0.0 12 0

olduğundan A eyer noktasıdır.

B(4, 4) noktası için

xx yy xyf f f ( 24).( 24) 12 0

ve

xxf 0 olduğundan B yerel maksimum noktası-

dır.

ÖRNEKTİR

Analiz Çok Değişkenli Fonksiyonlar Test 45

332

1. 2 2f(x) ln(4 x y ) x y 2

fonksiyonunun tanım kümesinin kartezyen koordinatlardaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?

2. Aşağıdakilerden hangisi

f(x, y) = x2 + y2

fonksiyonunun seviye eğrilerinden biri olamaz?

A) 2 2x y 0 B) 2 2x y 1

C) 2 2x y 2 D) 2 2x 2y 4

E) 2 2x y 9

3. 2n

n 0

xf(x,y)y

eğrisinin A(2, 3) noktasından geçen seviye eğrisinin denklemi aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) y2 = 3x2 B) 4y2 = 9x2 C) 3y2 = 2x2

D) y2 = 2x2 E) y2 = x2

4. 2 2

2 2(x,y) (0,0)

x ylim cosx y 1

limitinin değeri kaçtır?

A) -1 B) 0 C) 12

D) 1 E)Yoktur

5. 2 2(x,y) (0,0)

1lim arctanx y

limitinin eşiti nedir?

A) - B) 2

C) 0 D) 2 E)

6. (x,y) (0,0)

xylim3 xy 9


A) -6 B) -3 C) 0 D) 3 E) 6

ÖRNEKTİR

Analiz Çok Değişkenli Fonksiyonlar Test 45

333

7. 2(x,y) (1,2)

xy 2x y 2limy 4


A) 0 B) 12

C) 1 D) 2 E) 3

8. 3 2 2

(x,y) (3, 1)

x 3x y xy 3ylimx 3y


A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

9. 2 2(x,y) (0,0)

xylimx y


A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E)Yoktur

10. 4 2

4 2 2(x,y) (0,0)

x ylim(x y )


A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Yoktur

11. (x,y) (0,0)

xlimy

limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Yoktur

12.

2 2

2 2sin(x y ) , (x,y) (0,0) ise

f(x,y) x ym , (x,y) (0,0) ise

fonksiyonu 2R de sürekli olduğuna göre, m kaçtır?

A) 0 B) 12

C) 1 D) 2 E) 3

ÖRNEKTİR

Analiz Çözümler Test 45

334

1. 2 24 x y 0

2 24 x yx y 2 0x y 2

Cevap C

2. 2 2x y a şeklinde olmalıdır.

Cevap D

3. 2 4

2

2

x x 11 ...y y x1

y

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

y ay x

9A 3,2 için a5

y 95y x

5y 9y 9x

9x 4y

Cevap B

4. n

0lim cos 11

Cevap D

5. 2 2n

1lim arctanx y

1arctan arctan

0

2

Cevap D

6.

x,y 0,0

3 xy 9xylim3 xy 9 3 xy 9

x,y 0,0

x,y 0,0

xy 3 xy 9lim

9 xy 9

lim 3 xy 9

6

Cevap A

ÖRNEKTİR

Analiz Çözümler Test 45

335

7.

2x,y 1,2

x y 2 y 2lim

y 4

x,y 1,2

x,y 1,2

x 1 y 2lim

y 2 y 2x 1 2 1limy 2 4 2

Cevap B

8.

2

x,y 1,2

x x 3y y x 3ylim

x 3y

2

x,y 1,2

2x,y 1,2

x y x 3ylim

x 3y

lim x y 9 1 10

Cevap D

9. 2 2x,y 0,0

xylimx y

2 2 2 2x,y 0,0

2

x,y 0,0

x,y 0,0

2 2 2x,y 0,0

2

2 2x,y 0,0 x,y 0,0

x r cosyazılırsa

y r sinr cos r sinlim

r cos r sinr cos .sinlim

rlim r cos .sin 0

II. yoly mx olsun

x.mxlimx m xmx mxlim lim 0

x 1 m 1 mx

Cevap A

10. 2y mx olsun.

4 2 4

2x,y 0,0 4 2 4

2

2x,y 0,0 2

x m xlimx m x

mlim limit yoktur.1 m

m değeri değiştikçe limit değeri değişece-

ğinden limit yoktur.

Cevap E

11. y mx olsun.

x,y 0,0 x,y 0,0

x 1lim limmx m

m değeri değiştikçe limit değeri değişece-

ğinden limit yoktur.

Cevap E

12.

2 2

2 2x,y 0,0

sin x ylim 1

x y

m 1 için süreklidir.

Cevap C

ÖRNEKTİR

Analiz Çok Değişkenli Fonksiyonlar Konu Tarama Testi 19

340

1. x yf(x,y)x y

fonksiyonunun tanım kümesinin kartezyen koordinatlardaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?

2. 2 2f(x,y) 9 x y

Fonksiyonunun A( 3, 3) noktasından

geçen seviye eğrisi aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) 2 2x y 1 B) 2 2x y 3

C) 2 2x y 4 D) 2 2x y 6

E) 2 2x y 9

3. x

(x,y) (0,0)

e sin ylimy


A) - B) -1 C) 0 D) 1 E) +

4. 2 2

(x,y) (0,0)

x ylimsin(x y)


A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E)Yoktur

5. 3 2

2 2(x,y) (0,0)

x xylimx y


A) 0 B) 12

C) 1 D) 2 E)Yoktur

6. 4

2 4(x,y) (0,0)

ylimx y


A) 0 B) 12

C) 1 D) 2 E)Yoktur

ÖRNEKTİR

Analiz Çok Değişkenli Fonksiyonlar Konu Tarama Testi 19

341

7.

2

2 2xy , (x,y) (0,0) ise

f(x,y) x ya , (x,y) (0,0) ise

fonksiyonu 2R de sürekli olduğuna göre, a kaçtır?

A) 0 B) 12

C) 1 D) 2 E) 4

8. 2 2z x y fonksiyonu için

I. x yz xz yz

II. zdz = xdx + ydy

III. xy yxz z

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) II ve III E) I, II ve III

9. n

n 0f(x,y) (xy)

fonksiyonu için x1 2f ,2 3

kaçtır?

A) 49

B) 12

C) 23

D) 1 E) 32

10. 3 2z x y

eğrisinin P(1, 1, 1) noktasındaki gradiyent vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3i 2j k

B) 3i 2j k

C) i j k

D) 2i 3j k

E) i j k

11. A(-1, 1, 2) ve B(1, 2, 0) noktaları için

f(x, y, z) = xy + xz + yz

fonksiyonunun AB

yönündeki türevinin A noktasındaki değeri kaçtır?

A) 83

B) -1 C) 1 D) 2 E) 73

12. f(x, y) = 6xy – x3 – y3

fonksiyonunun yerel maksimum noktası aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 0) B) (1, 0) C) (0,2)

D) (2, 2) E) (1, 2)

ÖRNEKTİR

Analiz Çözümler Konu Tarama Testi 19

342

1. x yf x,y 0x y

x y 0x y

eşitsizliğini A seçeneği sağlar.

Cevap A

2. 2 2f 3, 3 9 3 3

2 2

2 2

9 3 33

f x,y 9 x y 3

x y 6

Cevap D

3.

x 0x,y 0,0

sin ylim e e .1 1y

Cevap D

4.

x,y 0,0 x,y 0,0

x y x y x ylim lim x y 0.1 0sin x y ain x y

Cevap A

5. y mx olsun.

3 2 3

2 2 2x,y 0,0

3 2

2 2x,y 0,0

x,y 0,0

x m xlimx m x

x 1 mlim

x 1 m

lim x 0

Cevap A

6. 2x my

4

2 4 4 4x,y 0,0 x,y 0,0

y 1lim limm y y m 1

m değeri değiştikçe limit değeri de değişir.

Dolayısıyla limit yoktur.

Cevap E

7. x r cos

2 2

2x,y 0,0

x,y 0,0

2

y r sin

r cos r sinlimr

lim r cos .sin2 0

a 0 için R de süreklidir.

Cevap A

ÖRNEKTİR

Analiz Çözümler Konu Tarama Testi 19

343

8. x 2 2

2xI) Z2 x y

y 2 2

x y

2 2 2

xy 2 2 2 2

yx 2 2 2 2

xy yx

2yz2 x y

z x.z y.z

2x 2yII) dx dx dy2 x y 2 x y

z.dz x.dx ydyx.2yIII) z

2 x y . x y

y.zxz2 x y . x y

z z

Cevap E

9. 2f x,y 1 xy xy ...

x 2

x 2

1f x,y1 xy

yf x,y1 xy

21 2 33f ,2 3 211

3

Cevap E

10. 2 2 3f 3x y i 2x yj k

pf 3i 2j 1k

Cevap B

11. xf y z

y

z

A

A

A

f x z

f x yAB 2,1, 2 birim vektör değil

2 1 2u , ,3 3 3

f y z i x z j x y k

f 3i j

2 1 2f u 3. 1. 03 3 3

73

Cevap E

12.

22 2 2x2 2

y

4

f 6y 3x 0 2y x y2y2f 6x 3y 0 2x y

y2y4

y 0, y 2x 0, x 2

x

y

xx

yy2

xx yy xy

xx

yy2

xx yy xy2

A 0,0 noktası içinf 0f 0

f 6x 0 fxy 6f 6y 0

f .f f

0.0 6 0A 0,0 eğer noktasıdır.

B 2,2 noktası içinf 12f 12

f .f f

12. 12 6 0

B 2,2 fonksiyonunu yerel minimum noktasıdır.

Cevap D

ÖRNEKTİR

analİz i kİtabi - 1 - matematikoabt.com fileÖabt analİz konu anlatimli ÇÖzÜmlÜ soru bankasi...

Documents