analysis of arbitrary frequency selectice surfaces

7/27/2019 Analysis of Arbitrary Frequency Selectice Surfaces

1/4

A n a l y s i s o f A r b i t r a r y F r e q u e n c y S e l e c t i v e

S u r f a c e s : A n a l y t i c C o n s t r a i n t s

A l o n S . B a r l e v y

a n d Y a h y a R a h m a t - S a m i i

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s

4 0 5 H i l g a r d A v e n u e

L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 2 4 - 1 5 4 9

I . I N T R O D U C T I O N P l a n a r p e r i o d i c s u r f a c e s , o f t e n c a l l e d F r e q u e n c y S e -

l e c t i v e S u r f a c e s ( F S S ) , h a v e b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d f o r a b o u t a q u a r t e r o f

a c e n t u r y , a n d a c o m p r e h e n s i v e b o o k d e v o t e d t o t h e t o p i c h a s r e c e n t l y b e e n

p u b l i s h e d 1 ] . A n e x a m p l e s h o w i n g t w o c r o s s s e c t i o n s o f a t y p i c a l F S S i s g i v e n

i n g u r e s 1 a a n d 1 b . I n t h e p a s t , d i e r e n t n u m e r i c a l t e c h n i q u e s h a v e b e e n

i m p l e m e n t e d t o c a l c u l a t e t h e v a l u e o f t h e r e e c t i o n c o e c i e n t , ? , f o r F S S .

I n t h i s p a p e r , w e a r e m o r e i n t e r e s t e d i n n d i n g c o n s t r a i n t s o n ? , t h a n t h e

e x a c t n u m e r i c a l v a l u e o f ? . P r o v i d i n g p h y s i c a l c o n s t r a i n t s o n t h e r e e c t i o n

c o e c i e n t g i v e s i n s i g h t a s w e l l a s a d d i t i o n a l c o n d e n c e i n n u m e r i c a l r e s u l t s .

O n e o b v i o u s r e s t r i c t i o n o n t h e r e e c t i o n c o e c i e n t i s ? 1 . T h i s c o n s t r a i n t

c o m e s a b o u t f r o m e n e r g y c o n s e r v a t i o n a n d i t s t a t e s t h a t f o r p a s s i v e s t r u c t u r e s ,

t h e r e e c t e d p o w e r c a n n o t e x c e e d t h e i n c i d e n t p o w e r . B y u s i n g t h e c o n s e r -

v a t i o n o f e n e r g y a l o n g w i t h e l d c o n t i n u i t y e q u a t i o n s , a d d i t i o n a l a n a l y t i c a l

c o n s t r a i n t s f o r ? c a n b e d e r i v e d . T h e c o n s t r a i n t s a p p l y t o F S S h a v i n g a n y

a r b i t r a r y p a t c h o r s l o t ( a s i n g u r e 1 a ) . T h e o n l y a s s u m p t i o n s m a d e a b o u t

t h e F S S a r e : ( 1 ) s t r u c t u r e i s i n n i t e l y p e r i o d i c , ( 2 ) m e t a l l i c p a t c h e s a r e i n -

n i t e s i m a l l y t h i n , ( 3 ) p l a n e w a v e i n c i d e n c e , a n d ( 4 ) o n l y o n e p e r i o d i c s c r e e n

i s p r e s e n t .

I I . F O R M U L A T I O N T h e c o n s t r a i n t s o n t h e r e e c t i o n c o e c i e n t w i l l b e

d e r i v e d f o r t h e c a s e t h a t t h e i n c i d e n t e l d i n g u r e 1 b i s T r a n s v e r s e M a g n e t i c

( T M ) p o l a r i z e d . T r a n s v e r s e E l e c t r i c ( T E ) p o l a r i z a t i o n c a n b e d e r i v e d b y a

s l i g h t c h a n g e t o e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) a n d p r o c e e d i n g w i t h a s i m i l a r a n a l y s i s .

A s d e r i v e d i n 2 ] , t h e e l d s c a t t e r e d f r o m F S S i s a s u m m a t i o n o f p l a n e w a v e s

( c a l l e d F l o q u e t m o d e s ) t h a t s a t i s f y t h e p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n . I t i s a l s o

s h o w n i n 2 ] t h a t t h e F l o q u e t m o d e s a r e o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r . A s a r e s u l t ,

t h e t o t a l p o w e r i s t h e s u m o f t h e p o w e r i n e a c h F l o q u e t m o d e . I n a d d i t i o n ,

e a c h F l o q u e t m o d e m u s t i n d e p e n d e n t l y s a t i s f y t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d

b o u n d a r y c o n d i t i o n s . W e w i l l t h e r e f o r e e n f o r c e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n l y

o n t h e l o w e s t o r d e r F l o q u e t m o d e ( t h a t i s t h e m o d e t h a t p r o p a g a t e s a l o n g

t h e s p e c u l a r d i r e c t i o n ) . S i n c e e a c h h i g h e r o r d e r F l o q u e t m o d e s a t i s e s t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e t o t a l e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s s a t i s f y t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s .

W r i t i n g o n l y t h e l o w e s t o r d e r m o d e , t h e f o l l o w i n g ( T M ) t a n g e n t i a l e l d e x i s t s


2/4

i n t h e t h r e e r e g i o n s o f g u r e 1 b ( n o t e t h e u s e o f t h e a n d

>

>

>

>

:

e

?

0

z c o s

0

+ ? e

+

0

z c o s

0

c o s

0

z 0

A e

?

1

z c o s

1

+ B e

+

1

z c o s

1

c o s

1

0 z d

e

?

0

z c o s

0

c o s

0

d z

( 1 )

H

y

=

8

>

>

>

>

>

:

1

0

e

?

0

z c o s

0

? ? e

+

0

z c o s

0

z


3/4

w h e r e t h e w e i g h t i n g f a c t o r , w , i s

w = e

?

0

d c o s

0

c o s h (

1

d c o s

1

) +

1

0

c o s

1

c o s

0

s i n h (

1

d c o s

1

)

!

2

( 8 )

E q u a t i o n ( 7 ) i s a n e q u a t i o n f o r a c i r c l e . F i g u r e 2 s h o w s s a m p l e p l o t s o f c i r c l e s

i n t h e c o m p l e x p l a n e f o r d i e r e n t v a l u e s o f w a n d n o l o s s ( e = 0 ) . I t i s e v i d e n t

t h a t t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 7 ) c a n n o t b e n e g a t i v e . T h e r e f o r e , t h e m a x i m u m

l o s s i n t h e s y s t e m c a n o n l y o c c u r w h e n e

m a x

=

w

w + 1

( w i s r e a l a n d p o s i t i v e ) .

I I I . E X A M P L E F o r t h e c a s e o f n o d i e l e c t r i c s u b s t r a t e ( d = 0 o r

1

=

0

) , t h e

w e i g h t i n g f a c t o r , w , r e d u c e s t o w = 1 f o r a l l f r e q u e n c i e s , a n g l e s o f i n c i d e n t s ,

a n d p o l a r i z a t i o n s ( T E a n d T M r e s u l t s a r e i d e n t i c a l w h e n d = 0 o r

1

=

0

)

A s s h o w n i n g u r e 2 , w = 1 i s a c i r c l e o f r a d i u s

1

2

c e n t e r e d a t ? 5 + j 0

F i g u r e 3 s h o w s a p e r i o d i c s u r f a c e w i t h n o s u b s t r a t e t h a t h a s p r e v i o u s l y b e e n

a n a l y z e d i n 3 ] . W e h a v e w r i t t e n a c o m p u t e r p r o g r a m u s i n g t h e a n a l y s i s i n 2 ]

t o n u m e r i c a l l y n d t h e r e e c t i o n c o e c i e n t , ? , o f a p e r i o d i c s u r f a c e .

T h e m a g n i t u d e o f ? , a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y , i s s h o w n i n g u r e 4 f o r n o r m a l

i n c i d e n c e , w i t h t h e e l e c t r i c e l d p o l a r i z e d a l o n g t h e l e n g t h o f t h e p a t c h e s . T h e

r e s u l t s o f g u r e 4 a g r e e v e r y w e l l w i t h t h e r e s u l t s o f g u r e 2 . 5 i n 3 ] . F i g u r e 5

s h o w s ? i n t h e c o m p l e x p l a n e s u p e r i m p o s e d o n g r a p h s o f c i r c l e s o f w = 1 a n d

v a r i a b l e e ( e

m a x

= 5 0 % ) . A s c a n b e s e e n i n g u r e 5 , a t l o w f r e q u e n c i e s , ?

t r a v e r s e s a c i r c l e o f r a d i u s

1

2

c e n t e r e d a t ? 5 + j 0 . A t 1 9 . 7 2 G H z , g r a t i n g l o b e s

b e g i n t o p r o p a g a t e . S i n c e w e a r e m o d e l i n g a p e r f e c t c o n d u c t o r , t h e r e i s n o

o h m i c l o s s . T h e r e f o r e , a n y l o s s m u s t b e d u e t o p r o p a g a t i n g g r a t i n g l o b e s ( s i n c e

t h e i n d u c e d c u r r e n t i s m o s t l y a l o n g t h e l e n g t h o f t h e p a t c h , t h e s c a t t e r i n g i n

t h e h o r i z o n t a l p o l a r i z a t i o n i s n e g l i g i b l e ) .

F i g u r e 5 t h u s s i m u l t a n e o u s l y p r o v i d e s t w o p i e c e s o f i n f o r m a t i o n : t h e m a g n i -

t u d e o f ? ( t h e d i s t a n c e f r o m 0 + j 0 t o ? ) , a n d t h e a m o u n t o f l o s s ( l o s s =

1

2

( 1 ? 4 r

2

) , w h e r e r i s t h e d i s t a n c e f r o m ? 5 + j 0 t o ? ) .

I V . C O N C L U S I O N I n t h i s p a p e r , c o n s t r a i n i n g e q u a t i o n s f o r t h e r e e c t i o n

c o e c i e n t o f a n y a r b i t r a r y p e r i o d i c s u r f a c e o f i n n i t e s i m a l t h i c k n e s s h a v e b e e n

p r e s e n t e d . T h e s e c o n s t r a i n t s c a n h e l p v e r i f y a c c u r a c y o f n u m e r i c a l r e s u l t s a n d

g i v e f u r t h e r i n s i g h t i n t o F S S . T h e c o n s t r a i n t s s h o w t h a t t h e r e i s a t h e o r e t i c a l

l i m i t o n t h e a m o u n t o f e n e r g y t h a t c a n b e l o s t . T h e a n a l y s i s p r e s e n t e d c a n

b e e x t e n d e d t o a n y n u m b e r o f s u b s t r a t e s a n d s u p e r s t r a t e s , b u t i t c a n n o t b e

e x t e n d e d t o m u l t i p l e p e r i o d i c s u r f a c e s .

R e f e r e n c e s

1 ] T . K . W u , F r e q u e n c y S e l e c t i v e S u r f a c e a n d G r i d A r r a y . J o h n W i l e y , N e w

Y o r k , N Y , 1 9 9 5 .

2 ] J . P . M o n t g o m e r y , I E E E T r a n s . o n A n t e n n a s P r o p a g a t . , A P - 2 3 : 7 0 { 7 5 ,

1 9 7 5 .

3 ] C . S c o t t , T h e S p e c t r a l D o m a i n M e t h o d i n E l e c t r o m a g n e t i c s . A r t e c H o u s e ,

N o r w o o d , M A , 1 9 8 9 .


4/4

a

b

Y

X

F i g u r e 1 a : x - y c r o s s s e c t i o n o f a n a r b i -

t r a r y F S S .

z = 0

A

, 0 0

E0 = 1mV

z = d

, 0 01 , , 1

B

01

0

0

1

Infinitesimally ThinMetallic Patches

Z

X

F i g u r e 1 b : x - z c r o s s s e c t i o n o f a n a r b i -

t r a r y F S S .

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0

e()

m() w=0

.2

w=0.4

w=0.6

w=1.0

w=2.0

w=5.0

w

F i g u r e 2 : C o n s t a n t w c i r c l e s i n t h e c o m -

p l e x p l a n e

.76

1.52

1.35

.254

F i g u r e 3 : F S S g e o m e t r y f r o m 3 ] . D i -

m e n s i o n s a r e i n c m .

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 5 10 15 20 25 30Magnitudeof

ReflectionCoefficient

Frequency (GHz)

F i g u r e 4 : ? f o r F S S o f g u r e 3 , T E M

I n c i d e n c e

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

m()

e()

45%L

oss

40%L

oss

30%L

oss

20%Lo

ss

10%Lo

ss

0%Lo

ss

510

15

20

25

F i g u r e 5 : ? i n t h e c o m p l e x p l a n e f o r F S S

o f g u r e 3 , T E M I n c i d e n c e . 5 G H z i n -

t e r v a l s a r e d e n o t e d b y a s t a r .

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