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ANALYSIS

Ganzrationale Funktionen

Kurvendiskussionen

Die wichtigsten Methoden zur Untersuchung

ganzrationaler Funktionen

Hier geht es vor allem auch um das Verständnis: Nicht nur das Wie ist gefragt, sondern auch das Warum!

Natürlich mit Trainingsaufgaben!

Auch mit Verwendung von CAS-Rechnern

Datei Nr. 42 031

Stand: 25. Juli 2009

Friedrich W. Buckel

INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

www.mathe-cd.de

42031 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 1 2

Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

Inhalt

§ 1 Grundbegriffe 4

1.1 Funktionen 4

1.2 Ganzrationale Funktionen 4

1.3 Definitionsbereiche von Funktionen 5

1.4 Schaubilder ganzrationaler Funktionen 5

1.5 Besondere Punkte eines Schaubilds 6

a) Schnittpunkte mit der x-Achse 6

b) Schnittpunkte mit der y-Achse 6

c) Extrempunkte 7

d) Wendepunkte und Terrassenpunkte 8

1.6 Weitere Fragestellungen bei einer Kurvediskussion 9

a) Symmetrieverhalten 9

b) Verhalten für x → ±∞ 9

c) Wertmenge 9

d) Monotonieverhalten 9

§ 2 Untersuchung des Symmetrieverhaltens 10

2.1 Methodenübersicht 10

2.2 Beispiele und Schnellerkenntnisse 10

2.3 Symmetrie-Nachweis mit CAS-Rechnern 13

§ 3 Schnittpunkte mit der x-Achse – Nullstellen 14

Beispiel1 (Quadratische Gleichung) 14

Beispiel 2 (Ausklammern von x) 14

Beispiel 3 (Ausklammern von x2) 15

Beispiel 4 (Hornerschema und Polynomdivision) 16

Beispiel 5 (Biquadratische Gleichung) 17

§ 4 Eigenschaften der Potenzfunktionen 18

§ 5 Verhalten ganzrationaler Funktionen für x → ±∞ 19

§ 6 Extrempunkt und Wendepunkte 22

6.1 Hochpunkte 22

Absolute und relative Maxima 22

6.2 Tiefpunkte 24

Absolute und relative Minima 24

6.3 Wendepunkte 26

6.4 Drei Musterbeispiele zu Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten 29



6.5 Terrassenpunkte und Flachpunkte 34

6.6 Ablaufschema: Berechnung von Extrem- und Terrassenpunkten 37

6.7 Ablaufschema: Berechnung von Wendepunkten und Flachpunkten 38

§ 7 Kurvendiskussionen mit CAS-Rechnern erstellen. 39

7.1 Rechnen mit TI Nspire CAS 39

Musterbeispiel 1: 3 212f(x) x 4x 8x= − + 39

Musterbeispiel 2: 4 3 23 318 4 2f(x) x x x= − + 42

Musterbeispiel 3: ( ) 4 31 148 6f x x x 9= + + 43

7.2 Rechnen mit CASIO ClassPad 44

Musterbeispiel 1: 3 212f(x) x 4x 8x= − + 44

Musterbeispiel 2: 4 3 23 318 4 2f(x) x x x= − + 46

Musterbeispiel 3: ( ) 4 31 148 6f x x x 9= + + 47

Vorwort

Man findet hier eine gute Zusammenstellung der wichtigen Methoden zur Kurvendiskussion

ganzrationaler Funktionen. Einzelne Methoden werden in anderen Texten ausführlich behandelt und

hergeleitet. Dort kann man vertiefend nachlesen.

Die Sammlung der über 100 Beispielaufgaben dient dem Training.

Die Aufgaben findet man im Text 42100.



§ 1 Grundbegriffe

1.1 Funktionen

Berechnungsvorschriften, die zu eindeutigen Ergebnissen führen, nennt man Funktionen.

Funktionen sind also eindeutige Zuordnungen.

1.2 Ganzrationale Funktionen

Kann man eine Berechnungsvorschrift auf diese (Normal-)Form bringen

n n 1 2n n 1 2 1 Of(x) a x a x ... a x a x a−

−= + + + + + , (1)

dann nennt man diesen Funktionstyp ganzrational.

Wichtige Begriffe dazu: a) Die Zahlen O 1 2 na , a , a , ... , a im Funktionsterm nennt man Koeffizienten.

b) Die Zahl ao nennt man auch das Absolutglied (weil sie ohne x dasteht, also

absolut unveränderlich ist).

c) Die höchste vorkommende Hochzahl (Exponent) nennt man den Grad der Funktion.

d) Den auf der rechten Seite stehenden Term nennt man auch Polynom n-ten Grades.

e) Die grafische Darstellung einer Funktion nennt man auch ihr Schaubild.

Beispiele ganzrationaler Funktionen

(1) ( ) 4 3f x x x 2x 1= − + −

Diese ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Koeffizienten

a4 = 1, a3 = -1, a2 = 0, a1 = 2 und a0 = -1 (Absolutglied).

Rechts ihr Schaubild.

(2) ( ) 5 3f x x 4x 2x= − +

ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit den Koeffizienten

a5 = 1, a4 = 0, a3 = -4, a2 = 0, a1 = 2 und a0 = 0 (Absolutglied).

Rechts außen ihr Schaubild.

(3) ( ) 4 2f x x 2x 1= − +

ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades.

mit den Koeffizienten

a4 = 1, a3 = 0, a2 = -2, a1 = 0 und

dem Absolutglied a0 = 1.

Rechts ihr Schaubild.



1.3 Definitionsbereiche von Funktionen

Eine Funktion hat die Aufgabe, Funktionswerte zu berechnen.

Dazu setzt man Zahlen der Grundmenge (sie ist in der Regel R , die Menge der reellen Zahlen)

für die Variable (die meistes x heißt) ein und berechnet dann das Ergebnis.

Soll mit der Funktion f zur Zahl 4 der Funktionswert berechnet werden, schreibt man f(4).

Das heißt, dass man für die Variable 4 einsetzt um den Funktionswert auszurechnen.

Es kommt bei vielen Funktionen vor, dass man zu einer bestimmten Zahl keinen Funktionswert

berechnen kann, weil eine Rechenoperation dies nicht zulässt:

(a) Dividieren durch 0 ist nicht möglich.

Beispiel: ( ) 2f xx

= . 1f(0)0

= ist nicht berechenbar,

weil man nicht durch 0 dividieren kann.

(b) Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen.

Beispiel: ( )f x x 3= − ( )f 1 1 3 2= − = − ist nicht berechenbar,

weil 2− keine reelle Zahl ist.

(c) Logarithmieren kann man nur positive Zahlen.

Beispiel: ( ) 2f x log (4 x)= − 2 2f(6) log (4 6) log ( 2)= − = − ist nicht berechenbar,

weil 2log ( 2)− keine reelle Zahl ist.

Die genannten drei Rechenoperationen kommen bei ganzrationalen Funktionen nie vor.

Daher kann man bei diesen Funktionen zu jeder reellen Zahl einen Funktionswert berechnen.

Man versteht unter dem Definitionsbereich einer Funktion die Menge der Zahlen, zu denen

man einen Funktionswert berechnen kann.

Folgerung:

Der maximale Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist die Menge R der

reellen Zahlen: D = R .

Hinweis: Bisweilen schränkt man den Definitionsbereich einer Funktion ein, indem man den

Zusatz macht „für x 0≥ “ oder für x 0 ;∈ ∞⎡ ⎡⎣ ⎣ usw.

Daher spricht man sonst auch oft vom maximalen Definitionsbereich.

1.4 Schaubilder ganzrationaler Funktionen

Aus einer Zuordnung f : 6 36→ bzw. ( )f 6 36= kann man ein Paar bilden: ( )6 | 36

und dieses dann als Punkt in einem Koordinatensystem darstellen. Die Menge aller solcher

möglichen Paare nennt man das Schaubild einer Funktion.

Die Schaubilder von ganzrationalen Funktionen nennt man auch Parabeln n-ter Ordnung.



1.5 Besondere Punkte eines Schaubilds

Ein Großteil der Aufgaben wird sich später darum drehen, dass man besondere Punkte eines

Schaubilds finden bzw. berechnen soll. Diesen Aufgabenbereich nennt man Kurvendiskussion.

Besondere Punkte sind:

a) Schnittpunkte mit der x-Achse: ( )1N 2 | 0 und ( )2N 2 | 0−

Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben die y-Koordinate 0.

Daher nennt man die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte auch

Nullstellen. Es sind die Stellen, an denen der Funktionswert 0 ist.

Oftmals werden aber auch die Schnittpunkte schon als Nullstellen

bezeichnet. Dies ist eine Frage der Definition.

Meistens versteht man unter einer „Stelle“ die x-Koordinate

eines Punktes.

Die Berechnung der Nullstellen geschieht immer nach demselben Prinzip:

Man fragt: An welcher Stelle wird die y-Koordinate bzw. der Funktionswert 0?

Das führt dann zur Gleichung ( )f x 0= . Das ist die Nullstellenbedingung.

Ihre Lösung sind die Nullstellen, also die x-Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse.

b) Schnittpunkt mit der y-Achse: ( )S 0 | 4−

Alle Punkte, die auf der y-Achse liegen, haben die x-Koordinate 0.

Daher kann man den Schnittpunkt mit der x-Achse immer durch Einsetzen der Zahl 0 in den

Funktionsterm berechnen. Bei unserem Beispiel geht das so: ( ) 2f x x 4= −

0 eingesetzt: ( )f 0 4= −

Schnittpunkt mit der y-Achse: ( )S 0 | 4−

Betrachtet man eine beliebige ganzrationale Funktion der Form (1), dann erkennt man,

dass nach Einsetzen der Null immer alle Summanden 0 werden, die x dabei haben.

Es bleibt also immer „nur“ das Absolutglied übrig:

Funktion: n n 1 2n n 1 2 1 Of(x) a x a x ... a x a x a−

−= + + + + +

0 eingesetzt: ( ) Of 0 a=

Man kann sich also merken:

Das Absolutglied gibt an, wo das Schaubild einer ganzrationalen Funktion die y-Achse

schneidet!

1N2N

S( ) 2f x x 4= −



c) Extrempunkte – Hochpunkte und Tiefpunkte

Das Schaubild unseres neuen Beispiels hat zwei

Extrempunkte, den Hochpunkt ( )H 2 | 1− und den

Tiefpunkt ( )T 0 | 3− .

Anschaulich gesprochen liegen bei einem Hochpunkt

die Kurvenpunkte links und rechts „tiefer“, und bei einem

Tiefpunkt „höher“. Das gilt zumindest ein Stück weit.

(Die exakte mathematische Formulierung kommt später.)

Man beobachtet ferner noch eine ganz wichtige Eigenschaft

dieser Punkte. Eine ganzrationale Funktion hat in einem

Extrempunkt stets eine waagrechte Tangente.

Hinweis:

Es gibt noch andere Formen von Extrempunkten:

(1) Die Funktion 2f(x) x 4 3= − − hat zwei Tiefpunkte, in denen

die Kurve keine waagrechte Tangente sondern eine Spitze

hat. Bei ganzrationalen Funktionen kommt das nicht vor.

In der Regel ist hier ein Betrag im Spiel.

(2) Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, dann sind die

Randpunkte auch Extrempunkte, die wohl nur

in Ausnahmefällen eine waagrechte Tangente haben.

Schränkt man bei der Funktion ( ) 3 2f x x 3x 3= + −

den Definitionsbereich auf 3,5 ; 0,5−⎡ ⎤⎣ ⎦D = ein,

dann erhält man nebenstehendes Schaubild.

Zugleich sind zwei Randpunkte entstanden.

Der linke Randtiefpunkt ( )L 3,5 | 9,125− − und der rechte

Randhochpunkt ( )H 0,5 | 2,125− .

Rechts die Berechnung der y-Koordinaten mit

TI Nspire.

L

R

H

T

( ) 3 2f x x 3x 3= + −



d) Wendepunkte und Terrassenpunkte

Unsere Beispielfunktion ( ) 3 2f x x 3x 3= + − hat im

Schaubild einen Wendepunkt: ( )W 1| 1− − .

Links von W, also für x 1< − besitzt das Schaubild

(kurz: die Kurve) Rechtskrümmung. In einem Wendepunkt

ändert sich die Krümmung: Rechts von W, also für x 1> − ,

krümmt sich die Kurve nach links.

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es Wendepunkte

gibt, in denen die Kurve (wie in den Extrempunkten) eine

waagrechte Tangente besitzt. Merke:

Wendepunkte mit waagrechter Tangente nennt man Terrassenpunkte.

Beispiel: ( ) ( )3f x x 2 1= − +

Man erkennt den Terrassenpunkt ( )W 2 | 1 .

H

T

W

W



1.6 Weitere Fragestellungen bei einer Kurvediskussion

a) Symmetrieverhalten

Kurven können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.

Wenn man das rasch erkennt, kann man sich Arbeit sparen.

Die Methoden werden ausführlich im Text 41211 „Symmetrie“ behandelt.

In § 2 werden die Methoden zusammengestellt und an Beispielen gezeigt.

b) Verhalten für x → ±∞

Schließlich interessiert auch, wie sich die Funktion für sehr große Werte verhält.

Man sollte sich wenigstens vorstellen können, wie die Kurve außerhalb des Schaubilds

weiter verläuft.

c) Wertmenge

Darunter versteht man die Menge der vorkommenden Funktionswerte der Funktion

(also der möglichen y-Koordinaten der Kurvenpunkte).

d) Monotonieverhalten

Dazu gehört die Fragestellung: In welchen Intervallen steigt bzw. fällt die Kurve? Oder anders

formuliert: In welchen Intervallen nehmen die Funktionswerte zu bzw. ab? (Siehe Text 41120)



§ 2 Untersuchung des Symmetrieverhaltens

2.1 Methodenübersicht

Die ausführliche Besprechung der Methoden findet man im Text 41211 „Symmetrie“.

Daher hier nur die kurze Zusammenstellung der Verfahren und einige Beispiele zum Trainieren.

Mit K wird das Schaubild der untersuchten Funktion f bezeichnet:

1. Methode: Man berechnet ( )f x− und überprüft Folgendes:

Gilt ( ) ( )f x f x− = , dann ist K symmetrisch zur y-Achse.

Gilt ( ) ( )f x f x− = − , dann ist K punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ist aber ( ) ( )f x f x− ≠ ± , dann heißt das nicht, dass K keine Symmetrie aufweist.

Man schreibt daher dann auf: „Keine Symmetrie erkennbar“.

In manchen Fällen ist dies jedoch kein guter Rat, denn es gibt noch Symmetrien, die

man sofort erkennt, aber mit anderen Methoden nachweisen muss:

2. Methode: Eine Symmetrie zu einer Parallelen zur y-Achse (x = a) liegt dann vor, wenn in D gilt: ( ) ( )f x h f a h− = +

3. Methode: Eine Punktsymmetrie zu einem Zentrum ( )Z a | b

liegt dann vor, wenn in D gilt: ( )12 f(a h) f(a h) b+ + − =

2.2 Beispiele und Schnellerkenntnisse

Beispiel 1 ( ) 4 2f x x 2x 1= + −

K ist symmetrisch zur y-Achse. Beweis:

( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2f x x 2 x 1 x 2x 1 f x− = − + − − = + − = .

Man erkennt, warum der Beweis „funktioniert“:

Weil f nur gerade Exponenten hat, wird (-x) überall zu x.

MERKE: Besitzt eine ganzrationale Funktion f nur gerade Exponenten,

ist ihr Schaubild symmetrisch zur y-Achse.

Man hätte hier also die Berechnung von f(-x) und den Nachweis, dass ( ) ( )f x f x− =

ist, ersetzen können durch die Aussage:

Weil f nur gerade Exponenten besitzt, ist das Schaubild K symmetrisch zur y-Achse.



Beispiel 2 ( ) 3f x x 3x= −

K ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Beweis:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3f x x 3 x x 3x x 3x f x− = − − − = − + = − − = − .

Man erkennt, warum der Beweis „funktioniert“:

Weil f nur ungerade Exponenten hat, bleibt das

Minuszeichen in –x überall erhalten.

Beispielsweise ist ( ) ( )( )( ) ( )3 3 3x x x x x x− = − − − = − = − usw.

MERKE: Besitzt eine ganzrationale Funktion f nur ungerade Exponenten,

ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Man hätte hier also die Berechnung von f(-x) und den Nachweis, dass ( ) ( )f x f x− = −

ist, ersetzen können durch die Aussage:

Weil f nur ungerade Exponenten besitzt, ist das Schaubild K punktsymmetrisch zum

Ursprung.

Beispiel 3 ( ) 214f x x 2x 1= − +

Das Schaubild zeigt eine Symmetrie zur

Geraden x = 4.

Also muss ein Punkt, der um eine Strecke h

rechts von dieser Symmetrieachse liegt,

dieselbe y-Koordinate haben, wie einer,

der um die Strecke h links davon liegt.

Also ist nachzuweisen: ( ) ( )f 4 h f 4 h+ = − .

Empfehlung: Linke und rechte Seite getrennt berechnen!

( ) ( ) ( ) ( )2 21 14 4L.S. f 4 h 4 h 2 4 h 1 16 8h h 8 2h 1= + = + − + + = + + − − +

4 2h= + 214 h 8 2h+ − − 21

41 h 3+ = −

( ) ( ) ( ) ( )2 21 14 4R.S. f 4 h 4 h 2 4 h 1 16 8h h 8 2h 1= − = − − − + = − + − + +

4 2h= − 214 h 8 2h+ − + 21

41 h 3+ = −

Beide Seiten stimmen überein, die Achsensymmetrie ist nachgewiesen.

Dieses Beispiel war als Rechenübung zur Methode gedacht. Man wird diese spezielle Aufgabe

natürlich einfacher erledigen. Eine Parabel ist immer achsensymmetrisch. Man muss hier nur

noch berechnen dass der Scheitel bei x = 4 liegt. Dann kennt man auch die Achse: x =4.

y

h+h+



Beispiel 4 ( ) 3 2f x 4x 12x 10x= − + −

Laut Schaubild liegt eine Symmetrie zum Wendepunkt

( )W 1| 2− vor.

Zum Nachweis muss gelten:

( ) ( )f 1 h f 1 h

22

+ + −= − bzw. ( ) ( )f 1 h f 1 h 4+ + − = − :

1. Teilrechnung:

( ) ( ) ( ) ( )3 2f 1 h 4 1 h 12 1 h 10 1 h+ = − + + ⋅ + − +

( ) ( )2 3 24 1 3h 3h h 12 1 2h h 10 10h= − + + + + + + − −

24 12h 12h= − − − 3 24h 12 24h 12h− + + + 10 10h− −

34h 2h 2= − + −

2. Teilrechnung:

( ) ( ) ( ) ( )3 2f 1 h 4 1 h 12 1 h 10 1 h− = − − + ⋅ − − −

( ) ( )2 3 24 1 3h 3h h 12 1 2h h 10 10h= − − + − + − + − +

24 12h 12h= − + − 3 24h 12 24h 12h+ + − + 10 10h− +

34h 2h 2= − −

Summe: ( ) ( ) ( ) ( )3 34h 2h 2 4h 2hf 1 h h 2f 1 4− + − + −+ − −+ = = −

Damit ist diese Punktsymmetrie bewiesen.

Man erkennt, dass diese Rechnungen schnell sehr aufwändig werden. Wenn Schüler mit CAS-

Rechnern arbeiten, geht das selbstverständlich schneller.

Die Schwierigkeit besteht eigentlich nur darin, die Formel zu wissen, die man zum Nachweis benötigt,

und dann zu wissen, wie man die Rechnung mit dem Gerät umsetzen muss.

Man erkennt in der Abbildung auch, wie man zur verwendeten Nachweisformel kommt:

Geht man vom Symmetriezentrum W um h nach rechts, kommt man zum Kurvenpunkt

( )( )1P 1 h | f 1 h+ + .

Geht man vom Symmetriezentrum W um h nach links, kommt man zum Kurvenpunkt

( )( )2P 1 h | f 1 h− − .

Für eine Punktsymmetrie, muss W der Mittelpunkt von 1P und 2P sein, und das ist dann der

Fall, wenn gilt: ( ) ( )1 2

W

f 1 h f 1 hy yy 2

2 2+ + −+

= ⇔ = − .

W

1P

2P

h+

h−



2.3 Symmetrie-Nachweis mit CAS-Rechnern

Zu Beispiel 4: ( ) 3 2f x 4x 12x 10x= − + −

Die Rechnung ist kein Problem, wenn man

die Vorarbeit kennt, und die sollte so aussehen:

Es liegt eine Symmetrie zum Wendepunkt ( )W 1| 2− vor.

Beweis: ( ) ( )f 1 h f 1 h

22

+ + −= − bzw. ( ) ( )f 1 h f 1 h 4+ + − = − :

Beispiel 5 ( ) 4 3 21 4 23 3 3f x x x x 4x 3= − − + +

Laut Schaubild liegt eine Symmetrie zur Geraden x = 1 vor.

Also muss ein Punkt, der um eine Strecke h rechts von

dieser Symmetrieachse liegt dieselbe y-Koordinate haben,

wie einer, der um die Strecke h links davon liegt,

Also ist nachzuweisen: ( ) ( )f 1 h f 1 h+ = − .

Diese Aufgabe wird man ohne

CAS-Rechner nur schwer meistern.

Wie man sieht, ist hier nur die

Eingabe zweier Rechenbefehle

erforderlich und man ist fertig.



§ 3 Schnittpunkte mit der x-Achse - Nullstellen

WISSEN: Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben die y-Koordinate 0.

Daher nennt man die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte auch Nullstellen. Die Berechnung der Nullstellen geschieht immer nach demselben Prinzip:

Man fragt: „Wo werden die Funktionswerte 0“.

Das ist die so genannte Nullstellenbedingung: ( )f x 0=

Ihre Lösung sind die Nullstellen, die x-Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse.

Beispiel 1: ( ) 2f x x x 2= − −

Nullstellenbedingung: ( )f x 0= : 2x x 2 0− − =

Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Lösung:

1,2

21 1 4 2 1 1 3x12 2

⎧± + ⋅ ⋅ ±= = = ⎨−⎩

Ergebnis 1: Die Nullstellen von f sind 2 und -1. Ergebnis 2: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind ( ) ( )1 2N 2 | 0 , N 1| 0−

Achtung: Man merke sich den Unterschied in den Formulierungen!

WISSEN: Die quadratische Gleichung 2ax bx c 0+ + =

hat die Lösung 2

1,2b b 4acx

2a− ± −

= (genannt Mitternachtsformel)

Beispiel 2: ( ) 21

2f x x 2x= − +

Nullstellenbedingung: ( )f x 0= : 212 x 2x 0− + =

Dies ist eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied.

Man löst sie durch Ausklammern von x:

Dann entsteht ein „Nullprodukt“: ( )12x x 2 0− + =

Wissen: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

1. Faktor: x1 = 0 (1. Nullstelle)

2. Faktor: 12 x 2 0− + =

( )12 x 4 2− = − ⋅ −

2x 4= (2. Nullstelle)

Ergebnis: Schnittpunkte mit der x-Achse: ( ) ( )1 2N 0 | 0 , N 4 | 0 .

MERKE: Ist das Absolutglied 0, dann geht die Kurve durch den Ursprung.

1N2N



Beispiel 3: ( ) 314f x x 3x= −

Nullstellenbedingung: ( )f x 0= : 314 x 3x 0− =

Das ist eine Gleichung ohne Absolutglied.

Daher wird man x ausklammern und bekommt als erste

Nullstelle x1= 0.

314 x 3x 0− = | 4⋅

3x 12x 0− =

x ausklammern: ( )2x x 12 0− =

1. Faktor = 0: 1x 0=

2. Faktor = 0: 2x 12 0− =

2x 12=

2,3x 12 2 3 3,46= ± = ± ≈ ±

Diese Funktion hat also 3 Nullstellen, die Kurve besitzt 3 Schnittpunkte mit der x-Achse.

Ergebnis: ( ) ( ) ( )1 2 3N 0 | 0 , N 12 | 0 ; N 12 | 0− .

Man sollte stets den Wurzelterm als Ergebnis angeben, die Dezimalzahl ist ja nur ein

Näherungswert.



Beispiel 4: ( ) 3 21 115 5f x x x 7x 5= − + −

Nullstellenbedingung: ( )f x 0= : 3 21 115 5x x 7x 5 0− + − =

Brüche weg: „Mal 5“ ergibt: 3 2x 11 x 35x 25 0− + − =

Bei solchen Gleichungen benötigt man eine Probierlösung.

Man findet x = 1: 1 11 35 25 0− + − =

WISSEN: Kennt man eine Nullstelle a, kann man den Faktor

(x - a) ausklammern. Das macht man entweder

mit Polynomdivision oder mit dem Hornerschema.

So reduziert man den Grad der Gleichung, bis man

alle Nullstellen kennt.

Ausklammern mit dem Hornerschema: Ausklammern mit Polynomdivision:

( ) ( ) ( )2f x x 1 1 x 10 x 25= − ⋅ − +

Beide Verfahren führen auf die Produktdarstellung für die Gleichung:

3 2x 11 x 35x 25 0− + − =

( ) ( )2x 1 x 10x 25 0− ⋅ − + =

Das ist wieder ein Nullprodukt. Es wird 0, wenn einer der Faktoren 0 ist:

1. Faktor: ( ) 1x 1 0 x 1− = ⇒ = (Das war die bekannte Nullstelle).

2. Faktor: ( )2x 10x 25 0− + = 2,310 100 100x 5

2± −

= =

Die 2. Nullstelle ist eine doppelte Nullstelle.

MERKE: Bei einer doppelten Nullstelle berührt die Kurve die x-Achse!

Ergebnis: ( ) ( )1 2N 1| 0 , N 5 | 0

Anmerkung: Manche würden hier ( )2,3N 5 | 0 schreiben, weil wir bei der quadratischen

Gleichung, auf die der 2. Faktor geführt hat, auch 2,3x geschrieben haben.

Man weiß ja im Voraus oft nicht, ob es eine oder zwei Lösungen gibt.

In Wirklichkeit ist aber ( )5 | 0 ein Punkt und keine zwei. Also würde ich

von der Schreibweise ( )2,3N 5 | 0 abraten.

1 11 35 25

1 10

x 1

25

1 0 2

0

01 5

− −

−

−

=

( ) ( )( )

3 2 2

3 2

2

2

x 11x 35x 25 : x 1 x 10x 25x x

10x 35x( 10x 10x)

25x 25(25x 25)

0

− + − − = − +− −

− +− +

−− −



Beispiel 5: ( ) 4 2 31 14 2 4f x x x= − −

Nullstellenbedingung: ( )f x 0= : 4 2 31 14 2 4x x 0− − = .

WISSEN: Eine Gleichung mit den Exponenten 0, 2 und 4

heißt biquadratisch.

Sie ist eine quadratische Gleichung für x2.

Gleichung: 4 2 31 14 2 4x x 0− − =

Brüche weg, also „mal 4“: 4 2x 2x 3 0− − =

(1) Meistens wandelt man diese Gleichung durch eine Substitution in eine „echte“ quadratische

Gleichung um: Setze: z = x2: 2z 2z 3 0− − =

1,2

32 4 12 2 4z12 2

⎧± + ±= = = ⎨

−⎩

Rücksubstitution: Aus z = 3 folgt: 1,2x 3= ±

Aus z = -1 folgt: 3,4x 1= ± − ∉R

Es gibt also nur 2 Nullstellen: 1,2x 3= ± .

(2) Man kann aber auch sofort die Lösung für x2 berechnen:

4 2x 2x 3 0− − =

2 32 4 12 2 4x12 2

⎧± + ±= = = ⎨

−⎩

Aus x2 = 3 folgt: 1,2x 3= ±

Aus x2 = -1 folgt: 3,4x 1= ± − ∉R

Ergebnis: Schnittpunkte mit der x-Achse sind ( )1,2N 3 | 0± .

Anmerkung

Eine Funktion 4. Grades kann aber auch zu einer Nullstellengleichung führen, die nicht biquadratisch

ist. Hat sie diese Form: ( )4 3 2 2 2x 3x 2x 0 x x 3x 2 0− + = ⇔ − + = , dann kann man durch

Ausklammern von x2 weiterkommen. Hat sie eine Form wie 4 3 2x 2x x 3x 1 0− + − + = ,

muss man zwei Probierlösungen finden, damit zwei Klammern abspalten und so die Lösungen finden.

Dies wird ausführlich besprochen in den Texten 18040 (Gleichungen höheren Grades lösen) und

12235 (Funktionsterme faktorisieren, wie hier).

Eine ähnliche Gleichung, 4 31 148 6x x 9 0+ + = , wird im Musterbeispiel 3 in 6.4 gelöst. Dort kann man

sich dieses Verfahren ansehen.



§ 4 Eigenschaften der Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben Gleichungen dieser Art: ( ) kf x a x= ⋅

Ist k eine natürliche Zahl, liegt eine ganzrationale Funktion vor. Diese sollte man sich anschauen und

ihren Verlauf und die wichtigsten Eigenschaften wissen. (Ausführliches im Text 18010.)

1. Fall: k sei eine gerade natürliche Zahl

Die Abildung zeigt: 2y x= (Parabel)

4y x=

6y x=

Die Exponenten stehen an den passenden Kurven.

Eigenschaften:

(1) Alle Kurven sind symmetrisch zur y-Achse

(wegen der geraden Exponenten).

(2) Alle Funktionen haben die Wertmenge 0+=W R .

(3) Alle Kurven gehen durch die „Einheitspunkte“ ( )1,2E 1|1± .

2. Fall: k sei eine ungerade natürliche Zahl:

Die Abildung zeigt: y x= (Urpsrungsgerade)

3y x=

5y x=

7y x=

Die Exponenten stehen an den passenden Kurven.

Eigenschaften:

(1) Alle Kurven sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

(wegen der ungeraden Exponenten).

(2) Alle Funktionen haben die Wertmenge =W R .

(3) Alle Kurven gehen durch die „Einheitspunkte“ ( ) ( )1 3E 1|1 und E 1| 1− − .

3. Fall: k = - 1: ( ) 1 1f x xx

−= =

Diese Funktion ist nicht mehr ganzrational.

Aber wir benötigen ihre Eingenschaften dennoch!

(1) Definitionsbereich: { }0D = R \

(2) Sie geht durch die „Einheitspunkte“ ( ) ( )1 3E 1|1 und E 1| 1− − .

(3) Für x → ∞ gilt ( )f x 0→ , für x → −∞ gilt auch ( )f x 0→ .

Schreibweise: x

1lim 0x→±∞= (Dies brauchen wir!)

(4) Die Koordinatenachsen sind ihre Asymptoten.

1E2E

2

4

6

1E

3E

1

3

57



§ 5 Verhalten ganzrationaler Funktionen für x →±∞

Es gibt genau 4 Möglichkeiten, wie sich eine ganzrationale Funktion außerhalb des Zeichenblattes

verhalten kann:

( ) 3 21f x x 3x 3= + − ( ) 41

2 16f x x x 7= − − ( ) 31 13 16 2f x x x 1= − − + ( ) 4 21

4 16f x x x 4= − + +

Für x :→∞ (nach rechts)

( )1f x → ∞ ( )2f x → ∞ ( )3f x → −∞ ( )4f x → −∞

Für x :→ −∞ (nach links)

( )1f x → −∞ ( )2f x → ∞ ( )3f x → ∞ ( )4f x → −∞

MERKE:

Dieses Verhalten wird alleine durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt.

( ) ungeradef x pos x ..= ⋅ + ( ) geradef x pos x ..= ⋅ + ( ) ungeradef x neg x ..= ⋅ + ( ) geradef x neg x ..= ⋅ +

( ) 31f x 1 x ...= ⋅ + ( ) 41

2 16f x x ...= ⋅ + ( ) 311 16f x x ...= − ⋅ + ( ) 41

1 16f x x ...= − ⋅ +

Diese Ergebnisse, wonach man nur an Hand des Summanden mit dem höchsten Exponenten

vohersagen kann, welch grobe Richtung die Kurve einschlägt, lässt sich sehr einfach beweisen.

Und viele Lehrer verlangen von ihren Schülern auch, dass sie diesen kleinen Trick beherrschen.

Schauen wir ihn also an!

z. B.



Gründliche Untersuchung des Verhaltens für x →±∞ Oder, wie man auch schreibt, für x →∞ :

Beispiel 1 (Sehr ausführlich zum Verstehen): ( ) 3 21f x x 3x 3= + −

Ausklammern von x3 führt zu: ( ) 31 3

3 3f x x 1x x

⎛ ⎞= ⋅ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(denn: Ausklammern bedeutet in der Klammer dividieren!)

Für große |x|, also für x → ±∞ werden die Summanden 3x

und 3

3x

so klein, dass man

sie vernachlässigen kann. Mathematiker schreiben das so: x

3lim 0x→±∞= und 3x

3lim 0x→±∞

= .

Die Auswirkung muss man sich an Beispielen ansehen:

Statt ( )f 1000 1.000.000.000 3 1000.000 3 1.002.999.997= + ⋅ − = erhält man dann:

( ) 3 3

0 0

1

3 3f 1000 1000 1 1000 1.000.000.0001000 1000.000.000≈ ≈

≈

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⋅ + − ≈ ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

und ( ) ( )3

0 01

3 3f 1000 1000 1 1000.000.0001000 1000.000.000≈ ≈

≈

⎛ ⎞⎜ ⎟

− = − ⋅ + − ≈ −⎜ ⎟− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Man sieht also nach diesem Ausklammern, dass in der Klammer die Summanden mit

x im Nenner sehr klein werden und keine wesentliche Rolle mehr spielen.

Daher kann man nach dem Ausklammern sagen:

( ) 3 2f x x 3x 3= + − verhält sich für x → ∞ wie die Funktion ( ) 3g x x= .

Das Verhalten dieser Potenzfunktion kennen wir:

Für x → ∞ folgt: ( )g x → ∞

Für x → −∞ folgt: ( )g x → −∞

Dasselbe gilt jetzt auch für f.

Nach demselben Prinzip kann man jede ganzrationale Funktion untersuchen:

Man klammert die höchste x-Potenz aus.

Für „normale“ Rechnungen schreibt man das viel kürzer auf.

Das wird in den Beispielen 2 bis 4 gezeigt.



Beispiel 2: ( ) 412 16f x x x 7= − − 3 4

1 1 7x16 x x

4 ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Wegen 3x

1lim 0x→±∞

= und 4x

7lim 0x→±∞

= gilt für große |x|: 4116f(x) x≈ .

Ergebnis: Für x → ∞ folgt: ( )f x → ∞

Für x → −∞ folgt: ( )f x → ∞

Beispiel 3: ( ) 31 13 16 2f x x x 1= − − + 3

2 3

1 1 1x16 2x x

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Wegen 2x

1lim 0x→±∞

= und 3x

1lim 0x→±∞

= gilt für große |x|: 3116f(x) x≈ − .

Ergebnis: Für x → ∞ folgt: ( )f x → −∞

Für x → −∞ folgt: ( )f x → ∞

Beispiel 4: ( ) 4 214 16f x x x 4= − + + 2 4

1 1 4x16 x x

4 ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Wegen 2x

1lim 0x→±∞

= und 4x

4lim 0x→±∞

= gilt für große |x|: 4116f(x) x≈ − .

Ergebnis: Für x → ∞ folgt: ( )f x → −∞

Für x → −∞ folgt: ( )f x → −∞



§ 6 Extrempunkte und Wendepunkte

Diese Thematik wird ausführlich im Text "Ableitungsstory 41120" behandelt. Dort gibt es auch ausführliche Erklärungen und Musterbeispiele zu den Begriffen Monotonie und Krümmung. Diese wichtigen Funktionseigenschaften bilden den unverzichtbaren Hintergrund zu Extrem- und Wendepunkten. Natürlich reicht es für das praktische Arbeiten (Kurvendiskussions-Aufgaben), wenn man die Regeln dazu kennt. Dennoch ist das Verständnis dieser Hintergründe zum Lösen anspruchsvoller Aufgaben unverzichtbar. Ich stelle hier nur die Ergebnisse aus den entsprechenden Kapiteln der "Ableitungsstory" vor. Dann gibt es Musterbeispiele

6.1 Hochpunkte

Zunächst muss man in der Lage sein, mathematisch zu formulieren,

was ein Hochpunkt ist. Ist f die zugehörige Funktion, und liegt der

Hochpunkt an der Stelle a, dann kann man diesen Hochpunkt so

darstellen: ( )( )H a | f a .

Spricht man von der Funktion f, dann darf man den Begriff Hochpunkt

nicht verwenden, denn er gehört zur geometrischen Darstellung,

die man Schaubild oder Kurve nennt. Bei einer Funktion sagt man:

f hat an der Stelle a ein Maximum (einen maximalen Funktionswert).

Es gibt zwei Arten von Maxima.

In Abbildung 2 liegt erkennt man 2 Hochpunkte. H1 ist der

absolute Hochpunkt, denn es gibt keinen Kurvenpunkt mit einer

größeren y-Koordinate. Die Funktion hat bei -1,75 ihr absolutes Maximum.

H2 dagegen ist nur innerhalb einer „Umgebung“ von 0,6 ein Hochpunkt, denn

es gibt ja links davon Punkte, die eine größere y-Koordinate als H2 haben.

Man nennt H2 einen relativen Hochpunkt. Die Funktion hat bei 0,6 ein

relatives Maximum.

Die Abbildung 3 zeigt eine Kurve, die nur einen Hochpunkt hat, aber es gibt

durchaus Punkte, die „höher“ liegen, womit ausgedrückt werden soll, dass

sie eine größere y-Koodinate als H besitzen, etwa P. H ist für diese Kurve

ein relativer Hochpunkt, und die Funktion f1 hat bei -2 „nur“ ein relatives Maximum.

Mathematische Beschreibung eines Hochpunkts

Man sieht an der zweiten Abbildung, dass es nicht genügt, wenn man sagt: Ein Hochpunkt

hat die größte y-Koordinate. Das kann schlichtweg falsch sein. Die richtige Idee ist diese:

Man betrachtet nur den Kurvenbogen, in dem H wirklich die größte y-Koordinate hat, also f wirklich

einen maximalen Funktionswert besitzt. Man kann sich etwa auf das Intervall 3 x 0− ≤ ≤ festlegen,

oder anders geschrieben auf 3 ; 0−⎡ ⎤⎣ ⎦ . Dort sind dann alle Funktionswerte höchstens so groß wie

( )f 2 1− = .

H

a

( )f a

Abb. 1

1H

2H

Abb. 2

H

PAbb. 3



Definition

a) Eine Funktion f hat an einer Stelle a ein relatives Maximum,

wenn es eine Umgebung U(a) gibt, in der gilt: ( ) ( )f x f a≤ .

Eine solche Umgebung ist dann ein Intervall 1 2x ; x⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

in dem a als innere Stelle liegt, also: 1 2x x x< < .

b) Gilt die Ungleichung ( ) ( )f x f a≤ für alle x∈D , dann liegt

sogar ein absolutes Maximum vor.

Folgerungen

Hat eine Funktion f an einer Stelle a ein Maximum, dann besitzt ihr Schaubild den Hochpunkt ( )( )H a | f a .

Man achte darauf, die Begriffe nicht zu vermischen:

Zur Funktion gehört das Maximum, zur Kurve der Hochpunkt.

Falsch wären Ausdrucksweisen wie „Die Funktion hat den Hochpunkt H“

oder: „Die Kurve hat bei a ihr Maximum“. Dies ist mathematischer Unsinn.

Es gibt ein wichtiges Kriterium zum Auffinden solcher Hochpunkte:

Wenn eine Kurve in einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt und

wenn die Kurve dort Rechtskrümmung hat, dann muss dieser Punkt ein Hochpunkt sein!

Mathematisch formuliert man das so:

Voraussetzung ist: Die Funktion ist zweimal differenzierbar.

Wenn für eine Stelle a gilt: ( )f ' a 0= (1)

und zugleich: ( )f '' a 0< (2)

dann hat f bei a ein „lokales“ Maximum.

(bzw.: Das Schaubild K von f hat den Hochpunkt ( )( )H a | f a

Erklärungen: Die Voraussetzung wird benötigt, damit man (2) überprüfen kann.

Bei ganzrationalen Funktionen ist diese Voraussetzung immer erfüllt.

(1) heißt die hinreichende Bedingung und bedeutet:

In H gibt es eine waagrechte Tangente.

(2) heißt die notwendige Bedingung und bedeutet:

In H hat die Kurve Rechtskrümmung.

Übrigens: Ein „lokales Maximum“ bezieht sich auf eine bestimmte Umgebung, es bezeichnet also

dasselbe aus wie ein „relatives Maximum“. Beide Begriffe sind zunächst erst mal vorläufiger Natur.

Es kann sich am Ende zeigen, dass sie doch ein absolutes Maximum darstellen.

H

a

1x 2x

( )f a

U(a)

( )f x



6.2 Tiefpunkte


was ein Tiefpunkt ist. Ist f die zugehörige Funktion, und liegt der

Tiefpunkt an der Stelle b, dann kann man diesen Hochpunkt so

darstellen: ( )( )T b | f b .

Spricht man von der Funktion f, dann darf man den Begriff Tiefpunkt

nicht verwenden. Dann sagt man: f hat an der Stelle b ein Minimum

(einen minimalen Funktionswert).

Es gibt zwei Arten von Minima.

In Abbildung 5 liegt erkennt man 2 Tiefpunkte. T1 ist der

absolute Tiefpunkt, denn es gibt keinen Kurvenpunkt mit einer

kleineren y-Koordinate.

Die Funktion hat bei -1,75 ihr absolutes Minimum.

T2 dagegen ist nur innerhalb einer „Umgebung“ von 0,6 ein Tiefpunkt,

denn es gibt ja links davon Punkte, die eine kleinere y-Koordinate als

T2 haben. Man nennt T2 einen relativen Tiefpunkt.

Die Funktion hat bei 0,6 ein relatives Minimum.

Die Abbildung 6 zeigt eine Kurve, die nur einen Tiefpunkt hat, aber es gibt

durchaus Punkte, die „tiefer“ liegen, womit ausgedrückt werden soll, dass

sie eine kleinere y-Koodinate als T besitzen, etwa P. T ist für diese Kurve

ein relativer Tiefpunkt.

Die Funktion hat bei 0 „nur“ ein relatives Minimum.

Mathematische Beschreibung eines Tiefpunkts

Man sieht an der zweiten Abbildung, dass es nicht genügt, wenn man sagt:

Ein Tiefpunkt hat die kleinste y-Koordinate. Das kann schlichtweg falsch sein.

Die richtige Idee ist die: Man betrachtet nur den Kurvenbogen, in dem T wirklich die kleinste

y-Koordinate hat, also f wirklich einen minimalen Funktionswert besitzt.

Man kann sich etwa auf das Intervall 2 x 1− ≤ ≤ festlegen, oder anders geschrieben auf 2 ; 1−⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Dort sind dann alle Funktionswerte mindestens so groß wie ( )f 0 3− = .

T

b

f(b)

Abb. 4

2T

1T

Abb. 5

TP

Abb. 6



Definition

a) Eine Funktion f hat an einer Stelle b ein relatives Minimum,

wenn es eine Umgebung U(b) gibt, in der gilt: ( ) ( )f x f b≥ .

Eine solche Umgebung ist dann ein Intervall 1 2x ; x⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

in dem b als innere Stelle liegt, also: 1 2x x x< < .

b) Gilt die Ungleichung ( ) ( )f x f b≥ für alle x∈D , dann liegt

sogar ein absolutes Minimum vor.

Folgerungen

Hat eine Funktion f an einer Stelle b ein Minimum, dann besitzt ihr Schaubild den Tiefpunkt ( )( )T b | f b .

Man achte darauf, die Begriffe nicht zu vermischen:

Zur Funktion gehört das Minimum, zur Kurve der Tiefpunkt.

Falsch wären Ausdrucksweisen wie „Die Funktion hat den Tiefpunkt T“

oder: „Die Kurve hat bei b ihr Minimum“. Dies ist mathematischer Unsinn.

Es gibt ein wichtiges Kriterium zum Auffinden solcher Tiefpunkte:

Wenn eine Kurve in einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt und

wenn die Kurve dort Linkskrümmung hat, dann muss dieser Punkt ein Tiefpunkt sein!


Voraussetzung ist: Die Funktion ist zweimal differenzierbar.

Wenn für eine Stelle b gilt: ( )f ' b 0= (1)

und zugleich: ( )f '' b 0> (2)

dann hat f bei b ein „lokales“ Minimum.

(bzw.: Das Schaubild K von f hat den Tiefpunkt ( )( )T b | f b

Erklärungen: Die Voraussetzung wird benötigt, damit man (2) überprüfen kann.

Bei ganzrationalen Funktionen ist diese Voraussetzung immer erfüllt.

(1) heißt die hinreichende Bedingung und bedeutet:

In T gibt es eine waagrechte Tangente.


In T hat die Kurve Linkskrümmung.

Übrigens: Ein „lokales Minimum“ bezieht sich auf eine bestimmte Umgebung, es bezeichnet also

dasselbe aus wie ein „relatives Minimum“. Beide Begriffe sind zunächst erst mal vorläufiger Natur.

Es kann sich am Ende zeigen, dass sie doch ein absolutes Minimum darstellen.

U(a)

T

b

f(b)

1x 2x

( )U b



6.3 Wendepunkte


was ein Wendepunkt ist. Es geht jetzt um die Krümmung der Kurve.

Man stelle sich vor, die Kurve so zu durchfahren, dass dabei die x-Werte

zunehmen. Im Punkt R muss man das Lenkrad schon leicht nach rechts

einschlagen: In R hat das Schaubild K Rechtskrümmung. In L liegt

Linkskrümmung vor. Dazwischen gibt es dann mindestens eine Stelle,

an der wir einen Übergang von Rechts- nach Linkskurve haben.

Das ist hier im Punkt W der Fall. Ein solcher Punkt heißt Wendepunkt.

Man kann also sagen: In einem Wendepunkt erfährt eine Kurve Krümmungswechsel.

Man erinnere sich: Hoch- und Tiefpunkte gehören zur „Kurvensprache“. Spricht man von einer

Funktion, muss man Maximum und Minimum sagen. Bei Wendepunkten gibt es kein Analogon

in der „Funktionensprache“. Die Krümmung ist eine ausgesprochen geometrische Angelegenheit.

Man kann sich dazu etwas überlegen, wenn man über Wachstum spricht, aber das sei erst einmal

hinten an gestellt.

Es gibt zwei Arten von Wendepunkten.

Die Kurve 4 23116 2y x x= − + hat

im Wendepunkt ( )1W 2 | 5− Wechsel von RK nach LK und

im Wendepunkt ( )2W 2 | 5 Wechsel von LK nach RK.

Mathematische Beschreibung eines Wendepunkts

Wie in 41120 erklärt worden ist, kann man mit einer

Ableitungsfunktion die Änderung der Werte der Funktion

beschreiben, die abgeleitet worden ist.

Beispiel: Ist in einerm Intervall 0 ;3⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )f ' x 0> , dann

nehmen in diesem Intervall die Werte f(x) zu. Da f’’ die

Ableitung von f’ darstellt, gilt für f’ sinngemäß dasselbe:

Wenn in einem Bereich 2 ; 2−⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )f '' x 0> ist, dann

nehmen in 2 ; 2−⎡ ⎤⎣ ⎦ die f’(x)-Werte zu. Da man aber mit

f’(x) die Tangentensteigung berechnen kann, heißt das,

dass die Steigungen von – 2 bis 2 zunehmen. Und nun

schauen wir dazu die Abbildung ab. Genau das passiert

nämlich hier. In der Tabelle (TI Nspire) kann man die

f’(x)-Werte, also die Tangentensteigungen ablesen:

Von x = -5 an nehmen die Werte ab, bei – 2 sind sie am kleinsten. Dann nehmen sie zu und erreichen

bei x = 2 ein (relatives) Maximum. Und dann nehmen sie wieder ab.

W

R

L

1W 2W

RK RK

LK



In einem Bereich mit Rechtskrümmung nehmen die Tangentensteigungswerte ab, in einem mit

Rechtskrümmung nehmen sie zu.

Wenn f’(x) links von – 2 abnimmt, dann ist dort die Ableitung von f’ negativ: ( )f '' x 0 für x 2< < − .

Zwischen -2 und 2 nehmen die f’(x)-Werte zu, also ist dort f’’(x) positiv: ( )f '' x 0 für 2 x 2> − < < .

Und rechts von 2 nehmen die f’(x)-Werte wieder ab: ( )f '' x 0 für x 2< > .

An den Wendestellen wechselt somit die 2. Ableitungsfunktion ihr Vorzeichen, und das macht sie an

einer Nullstelle. Hier sind einige dieser Zusammenhänge dargestellt. Anfänger werden damit vielleicht

nur Schwierigkeiten haben.

f

f ' f ''

( )f '' 2 0=

( )f '' 2 0− =

( )Hf ' x 0= ( )Hf ' x 0=

( )

1Links von Hsteigt K, alsoist f' x 0>

( )

1Re chts von Hfälltt K, alsoist f' x 0<

f '

( )

1 2Zwischen W und What K Linkskrümmung:

f'' x 0>

1W 2W

1H 2H

( )

1Links von W hat K Rechtskrümmung:

f'' x 0<



Definition: Hat die 2. Ableitungsfunktion an einer Stelle w einen Vorzeichenwechsel,

dann heist w eine Wendestelle des Schaubilds K von f und ( )( )W w | f w Wendepunkt.

Es gibt ein wichtiges Kriterium zum Auffinden von Wendepunkten:

Man kann diesen Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen über die dritte

Ableitung beweisen:


Voraussetzung ist: Die Funktion ist dreimal differenzierbar.

Wenn für eine Stelle w gilt: ( )f '' w 0= (1)

und zugleich: ( )f ''' w 0≠ (2)

dann hat K den Wendepunkt: ( )( )W w | f w

Manche merken sich noch: Ist ( )f ''' w 0> , dann hat man Wechsel von LK auf RK,

Ist ( )f ''' w 0< , dann hat man Wechsel von RK auf LK.

(LK = Linkskrümmung, RK = Rechtskrümmung)

Hinweise: In manchen Aufgaben ist die Berechnung einer 3. Ableitung so aufwändig, dass

man anstelle der Überprüfung ( )f ''' w 0≠ den Vorzeichenwechsel für f’’ an der

Stelle nachweist. Darauf gehe ich in dieser Zusammenfassung nicht ein.

(1) heißt die hinreichende Bedingung,


In W ändert f’’ ihr Vorzeichen, und das heißt Krümmungswechsel.

Wendepunkte mit waagrechter Tangente heißen Terrassenpunkte.

Sie werden in 6.5 besprochen.



6.4 Drei Musterbeispiele (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte)

Musterbeispiel 1: 3 212f(x) x 4x 8x= − +

Ableitungen: 232f '(x) x 8x 8= − +

f ''(x) 3x 8= −

f '''(x) 3=

Nullstellen: Bed.: ( )f x 0=

3 212 x 4x 8x 0− + =

x ausklammern: ( )212x x 4x 8 0− + =

1. Faktor = 0: 1x 0=

2. Faktor = 0: 212 x 4x 8 0− + = .

12

2,3 12

4 16 4 8x

2

± − ⋅ ⋅=

⋅4 16 16 4= ± − =

Schnittpunkte mit der x-Achse: ( ) ( )1 2N 0 | 0 , N 4 | 0 (4 ist doppelte Nullstelle).

In einer doppelten Nullstelle berührt die Kurve die x-Achse, d.h. es liegt sogar eine Hoch- oder Tiefpunkt vor.

Extrempunkte: Bed.: ( )Ef ' x 0= :

232 x 8x 8 0− + =

{32

4E 332

8 64 4 8 8 64 48 8 4 4x2 3 3

± − ⋅ ⋅ ± − ±= = = =

⋅

y-Koordinaten; ( )f 4 0= Das war die doppelte Nullstelle!

( ) 64 16 32 192 288 1284 1 43 2 27 9 9 27 27f 4 8 4,74− += ⋅ − ⋅ + ⋅ = = ≈

Kontrolle: ( )f '' 4 12 8 0= − > :

d. h. f hat bei 4 ein rel. Minimum, K also den Tiefpunkt ( )T 4 | 0 .

( )4 43 3f '' 3 8 4 8 0= ⋅ − = − <

d.h. f hat bei 43 ein relatives Maximum,

K also den Hochpunkt ( )12843 27H ⏐

Wendepunkte: Bed.: Wf ''(x ) 0= , d.h. W3x 8 0− =

W83x =

y-Koordinate: ( ) ( ) ( )3 28 8 8 8 6413 2 3 3 3 27f 4 8 ...= ⋅ − ⋅ + ⋅ = =

Kontrolle: 83f '''( ) 3 0= ≠

d.h. f‘‘ hat bei W83x = Vorzeichenwechsel.

Ergebnis: Also ist ( )8 643 27W ⏐ Wendepunkt von K.



Musterbeispiel 2: 4 3 23 318 4 2f(x) x x x= − +

Ableitungen: 3 2912 4f '(x) x x 3x= − +

23 92 2f ''(x) x x 3= − +

92f '''(x) 3x= −


4 3 23 318 4 2x x x 0 | 4− + = ⋅

24 312 x 3x 6x 0− + =

x2 ausklammern: ( )2 212x x 3x 6 0− + =⋅

1. Faktor = 0: 1x 0= , doppelte Lösung (also Extremstelle)

2. Faktor = 0: 212 x 3x 6 0− + = mit

12

2,3 12

3 9 4 6x

2

± − ⋅ ⋅=

⋅3 9 12= ± − ∉R

Ergebnis: Diese Funktion hat also nur die doppelte Nullstelle 0.

K berührt also die x-Achse in ( )N 0 | 0 .

Extrempunkte: Bed.: ( )Ef ' x 0=

3 2

E E E91

2 4x x 3x 0− + =

x ausklammern: ( )2

E E E91

2 4x x x 3 0− + =⋅

1. Faktor = 0: 1x 0= , doppelte Lösung

2. Faktor = 0: 2 91E E2 4x x 3 0− + = | 4⋅

2E R2x 9x 12 0− + = mit E

9 81 4 2 12 9 81 96x4 4

± − ⋅ ⋅ ± −= = ∉R

y-Koordinate: ( )f 0 0=

Kontrolle: f''(0) = 3 > 0

Ergebnis: f hat bei 0 ein relatives Minimum. K hat somit den Tiefpunkt ( )N 0 | 0 .

Wendepunkte: Bed.: Wf ''(x ) 0= d.h. 2

W W3 92 2x x 3 0 2− + = ⋅⏐

2

W W3x 9x 6 0 : 3− + = ⏐

2

W Wx 3x 2 0− + =

{W3 9 8 3 1 2x 12 2± − ±

= = =

y-Koordinaten: 78f(1) = und f(2) 2=

Kontrolle: f'''(2) ≠ 0 und f'''(1) ≠ 0 d.h. es liegen Wendestellen vor.

Ergebnis: ( )178W 1⏐ und ( )2W 2 2⏐

Multiplizieren mit 4 statt 8 erzeugt eine optimale quadratische Gleichung, die in der Lösungsformel zum Nenner 1 führt

Im Gegensatz zu oben multipliziere ich hier alle Brüche weg, weil der Bruch 94 in der Lösungsformel zu

Rechenschwierigkeiten führen würde. Den Vorteil, den 212 x bringt, gibt man damit gerne auf.



Musterbeispiel 3: ( ) 4 31 148 6f x x x 9= + + (Sehr wichtig da anspruchsvoll)

Ableitungen: 3 21 112 2f '(x) x x= +

214f ''(x) x x= +

12f '''(x) x 1= +

Nullstellen: Bed.: f(x) 0=

4 31 148 6x x 9 0 | 48+ + = ⋅

4 3x 8x 432 0+ + =

WISSEN: Gleichungen 4. Grades kann man nur in diesen Fällen lösen:

(1) 4 2ax bx c 0+ + = Das ist eine biquadratische Gleichung,

also eine quadratische Gleichung für x2.

(2) 4 3 2ax bx cx 0+ + = x2 ausklammern (Seite vorher).

(3) 4x k= 41,2x k⇒ = ±

Für die hier gegebene Gleichung gibt es keine direkte Methode.

Also muss man die indirekte Methode verwenden:

Man sucht zwei Lösungen durch Probieren/Erraten und spaltet

zu jeder einen Linearfaktor ab. Dies geschieht mittels Polynomdivision

oder das Hornerschema. Man kommt dann auf eine Form:

( )( )( )21 2x x x x rx sx t 0− − + + = . Der quadratische Term liefert dann

die restlichen Lösungen.

Wir benötigen eine Probierlösung für 4 3x 8x 432 0+ + = .

Überlegung: x muss sicher negativ sein und wegen der Brüche (Kürzen!) sollte

man x = -6 vermuten: ( ) ( ) 31 1

48 6 4f 6 36 36 6 36 9 36 46 9 27 27 0− = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅ − + = − =

Oder schneller: ( )36 36 8 6 36 432 0 (TR.)⋅ + − ⋅ + =⋅

Somit ist x1= - 6 die erste Nullstelle. Wegen ( )x 6 x 6 0= − ⇔ + = kann man den Linearfaktor

( )x 6+ aus 4 3x 8x 432+ + ausklammern, man sagt auch abspalten.

Die beste Methode dafür das Hornerschema:

(Siehe Text 42050).

Nach dem ersten Durchgang hat man die

Zerlegung: ( )( )3 21x 2xx 6 7 012x 2+ − ++ = .

Diese Zahlen legen die Vermutung nahe,

dass -6 auch Lösung der Folgegleichung

( )3 21x 2x 1 02x 72+ − + = ist. Der zweite

Durchgang liefert: ( )( )( )21xx 6 6 1x 04x 2− ++ + =

1

1x 6

1 2 12 72

1 8 0 0 4320 6 12 72 432

0 6 24 72x

1 4 1 02

0

6

= −− − −

− −=

−

−

−



(Die Faktorisiereung klappt, wenn am Ende 0 herauskommt. (Das ist der Divisionsrest!)

Deutlich umständlicher ist die Faktorisierung mittels Polynomdivision:

Nach der ersten Division hat man die

Zerlegung: ( )( )3 21x 2xx 6 7 012x 2+ − ++ = .

Diese Zahlen legen die Vermutung nahe,

dass -6 auch Lösung der Folgegleichung

( )3 21x 2x 1 02x 72+ − + = ist.

Die zweite Division liefert dann:

( )( )21x 4 2 01x x6 − ++ =

Kommentar: Man erkennt, wie unsinnig die Methode mit der Polynomdivision hier ist. Dennoch lernen viele Schüler das einfache Hornerschema nicht. Allerdings werden beide Methoden dann überflüssig, wenn man moderne Rechner zur Verfügung hat. In § 7 wird gezeigt, wie man diese Musteraufgaben mit CAS-Rechnern löst.

Nun die Übersicht nicht verlieren. Wie haben herausgefunden, dass die Zahl –6 eine

doppelte Lösung der Gleichung 4 3x 8x 432 0+ + = ist. Daher kann man sie so darstellen:

( ) ( )2 2x6 12x 04x− ++ ⋅ =

Aus der 2. Klammer folgenden die weiteren Nullstellen:

2,34 16 4 12 4 32x

2 2± − ⋅ ± −

= = ∉R

Es gibt also keine weiteren Nullstellen, sondern nur die eine (doppelte) x1 = -6.

Ergebnis: Das Schaubild berührt die x-Achse in ( )N 6 | 0−

Extrempunkte:

Bed.: ( )Ef ' x 0= , d.h. 3 21 112 2x x 0=+ | 12

3 2x 6x 0+ =

x2 ausklammern: ( )2x x 6 0+ =

1. Faktor = 0: x2 = 0

2. Faktor = 0: x1 = -6

y-Koordinaten: ( )f 0 9= und ( )f 6 0− = (das war doch die Nullstelle)

( )( )

( )

( )

( )

4 3 2

4 3

3

3

3 2

2

2

2

2

0x

(x 8x 0x 0x 432) : x 6x 6x

2x2x 12x

12x12x 72x

72x 72

x 2x 12

0x

72x 72

x 2

0

7+ + + + + =− +

+− +

− +−

−

+

−

++

− +

−

( )( )

( )

( )

3 2

3 2

2

2

2

(x 2x 12x 72) : x 6x 6x

4x 12x

x 4x 12

4x 24x

12x 7212x 72

0

+ − + + =− +

− −− − −

+− +

− +

An beiden Stallen liegt eine waagrechte Tangente vor!



Kontrolle: ( )f '' 0 0= Das aber heißt „Verdacht auf Wendepunkt“!

( )f '' 6 9 4 0− = − > Das bedeutet Linkskrümmung (und zusammen mit

der waagrechten Tangente: Tiefpunkt!)

Ergebnis: K hat den Tiefpunkt ( )N 6 | 0− .

Wendepunkte:

Bedingung: Wf ''(x ) 0= , d. h.

214 x x 0=+ | 4⋅

2x 4x 0+ =

x ausklammern: ( )x x 4 0+ =

1. Klammer: x1 = 0, 2. Klammer: x2 = - 4

y-Koordinaten: ( )f 0 9= und ( ) 16 32 161 1 1148 6 3 3 3 3f 4 16 16 4 16 9 9 9− = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = − + = − + =

Kontrolle: ( )f ''' 0 0≠

( ) ( )12f ''' 4 4 1 0− = ⋅ − + ≠

Daher hat K an den Stellen 0 und -4 je einen Wendepunkt.

Ergebnis: ( )1W 0 | 9 ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente (Terrassenpunkt)

( )112 3W 4 |− ist der 2. Wendepunkt.

Hinweis:

Hier ist uns ein Terrassenpunkt begegnet. Wichtig ist dabei folgendes Wissen:

Terrassenpunkte sind Wendpunkte mit

waagrechter Tangente. Sie tauchen also wegen

der waagrechten Tangente schon bei der

Suche nach Extrempunkten ( f '(x) 0= ) auf.

Die Kontrolle liefert jedoch ( )f '' w 0= .

Dies deutet auf einen Wendepunkt hin, weshalb

man am besten „Verdacht auf Wendepunkt“

notiert. Die Wendepunktskontrolle ( )f ''' w 0≠

bestätigt dies dann.

Also: Nach Terrassenpunkten wird nicht gezielt

gesucht. Sie tauchen bei der Extremwertberechnung

auf und müssen dann wie beschrieben durch zwei

Kontrollen bestätigt werden. Siehe dazu Abschnitt 6.5.

1W

2W



6.5 Terrassenpunkte und Flachpunkte

(1) Terrassenpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente.

Nachweis eines Terrassenpunkts:

Normalerweise findet man sie bei der Suche nach Extrempunkten.

Deren Bedingung lautet bekanntlich. ( )Ef ' x 0= (*).

Diese Gleichung führt zu allen Punkten, die eine waagrechte Tangente haben können.

Dazu gehören Tiefpunkte, Hochpunkte und eben auch Terrassenpunkte.

Man unterscheidet sie dann durch eine Kontrolle mit der 2. Ableitungsfunktion.

Dazu setzt man die x-Koordinate a der Lösung von (*) in f’’(x) ein:

( )f '' a 0> führt zu einem Tiefpunkt und

( )f '' a 0< zu einem Hochpunkt.

( )f '' a 0= deutet jedoch auf einen Wendpunkt hin.

Diesen kontrolliert man durch ( )f ''' a 0≠ .

( )

( )

f ' a 0und

f '' a 0

=

>

( )

( )

f ' a 0und

f '' a 0

=

<

( )

( )

( )

f ' a 0und

f '' a 0und

f ''' a 0

=

≠

=



(2) Flachpunkte sind Punkte, für die gilt. ( ) ( )f '' a 0 und f ''' a 0= = .

Zur Entscheidung über die genauere Art des Flachpunktes macht man fortgesetzt

diese Kontrollen in immer höheren Ableitungen, bis eine davon ein Ergebnis 0≠ liefert.

1. Fall: Ist ( ) ( )f '' a 0 und f ''' a 0= = aber IVf (a) 0≠ , dann liegt kein Wendepunkt vor.

Beispiele:

a) ( ) 4f x x x= +

( ) 2f '' x 0 12x 0 x 0= ⇔ = ⇔ =

( ) ( )f ''' x 24x, f ''' 0 0= =

IVf (x) 24 0= ≠

K verläuft im Flachpunkt O „ganz lange“

dicht an der Ursprungstangente y x= .

b) ( ) 4f x x=

Hier gilt schon ( )f ' 0 0= und dann wie

in a) ( ) ( )f '' 0 f ''' 0 0= = aber ' Vf (0) 0≠ .

Also hat der Flachpunkt in ( )O 0 | 0 sogar

eine waagrechte Tangente. Es liegt ein

Tiefpunkt vor, weil ( )IVf 0 0> ist.

2. Fall: Ist ( ) ( ) ( )IVf '' a 0, f ''' a 0 und f a 0= = = aber Vf (a) 0≠ , dann liegt ein Wendepunkt vor.

Beispiele:

a) ( ) 5f x (x 1) x 2= − + +

Man leitet mit der Kettenregel ab:

( ) ( )4f ' x 5 x 1 1= ⋅ − +

( ) ( )3f '' x 20 x 1= −

( ) ( )2f ''' x 60 x 1= −

( )IVf x 120(x 1)= −

( )Vf x 120= .

Bei der Suche nach Wendepunkten führt ( )f '' x 0=

auf 3 320(x 1) 0 (x 1) 0 x 1− = ⇔ − = ⇔ = .

Nun folgen die Kontrollen: ( ) ( ) ( )IV Vf ''' 1 0, f 1 0 und f 1 0= = ≠ .

Also liegt ein Wendpunkt vor. Wegen ( )Wy f 1 3= = gilt: ( )W 1| 3 .

Die Tangentensteigung in W ist ( )f ' 1 1= . Die Tangente in W ist: y x 2= +

W

WT



b) ( ) 5f x x=

Hier gilt schon ( )f ' 0 0= und dann wie in a)

( ) ( ) ( )IVf '' 0 f ''' 0 f 0 0= = = aber Vf (0) 0≠ .

Also hat der Flachpunkt ( )O 0 | 0 , der zugleich

Wendepunkt ist, sogar eine waagrechte Tangente.

Verallgemeinerung:

(1) Entsteht das erste von 0 verschiede Kontrollergebnis in einer geraden Ableitung,

dann liegt kein Wendepunkt vor.

( ) ( )f '' a 0 , f ''' a 0 , ...= = aber geradef (a) 0≠ ,

Beispiele:

Dargestellt sind (oben von außen nach innen):

( ) ( )6 2010f(x) x und f xf xx x , = == .

Sie alle haben allerdings zusätzlich ( )f ' 0 0= , also

im Flachpunkt ( )O 0 | 0 eine waagrechte Tangente,

wodurch der Flachpunkt zum Tiefpunkt wird.

(2) Entsteht das erste von 0 verschiede Kontrollergebnis in einer ungeraden Ableitung,

dann ist der Flachpunkt sogar ein Wendepunkt.

( ) ( )f '' a 0 , f ''' a 0 , ...= = aber ungeradef (a) 0≠ ,

Beispiel:

Dargestellt sind (oben von außen nach innen):

( ) ( )7 2111f(x) x und f xf xx x , = == .

Sie alle haben allerdings zusätzlich ( )f ' 0 0= , also

im Flachpunkt ( )O 0 | 0 eine waagrechte Tangente,

wodurch der Wendpunkt zum Terrassenpunkt wird.

Man erkennt an diesen Abbildungen, wieso man den Namen

Flachpunkt eingeführt hat. In einer (nicht zu großen) Umgebung

eines Flachpunktes verläuft die Kurve „flach“, also fast

gradlinig dicht entlang der Tangente im Flachpunkt.

WW



6.6 Ablaufschema für die Berechnung von Extrempunkten und Terrassenpunkten

(1) Bedingung für waagrechte Tangenten: Ef '(x ) 0= ergibt xE = a usw.

(2) Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten: ( )Ey f a ...= = usw.

(3) Kontrollrechnung: ( )f '' a ...= mit dieser Entscheidung:

Wenn ( )f '' a 0< Wenn ( )f '' a 0< Wenn ( )f '' a 0=

dann hat f bei a dann hat f bei a dann Verdacht auf WP.

ein relatives Maximum. ein relatives Minimum. Wenn ( )f ''' a 0≠

( )( )H a | f a ( )( )a | f aT ( )( )W a | f a

ist dann Hochpunkt. ist dann Tiefpunkt. ist dann Wendepunkt

mit waagr. Tangente,

also Terrassenpunkt.



Ablaufschema für die Berechnung von Wendepunkten und Flachpunkten

(1) Bedingung für Wendepunkt: wf ''(x ) 0= ergibt xW = a usw.

(2) Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten: ( )Ey f a ...= = usw.

(3) Kontrollrechnung: ( )f ''' a ...= (Vorzeichenwechsel von f’’ ?)

Wenn ( )f ''' a 0≠ Wenn ( )f ''' a 0=

dann hat f bei a dann hat f bei a

einen Wendepunkt einen Flachpunkt

( )( )W a | f a Ist der erste von 0 verschiedene

Ableitungswert von ungerader

Ordnung, ist dieser Flachpunkt

auch ein Wendepunkt.



§ 7 Kurvendiskussionen mit CAS-Rechnern erstellen

7.1 Rechnen mit TI Nspire CAS

In diesem Abschnitt werden die drei Musterbeispiele aus 6.4 sowohl mit dem CAS-Rechner

TI Nspire CAS, also auch mit CASIO ClassPad durchgerechnet. Dabei wird erklärt, wie man die

Rechner bedient, aber auch, was man bei dieser Art Lösung noch aufschreiben sollte.


Zuerst definiert man die Funktion f und gleich dazu auch

die Ableitungsfunktionen. Es ist günstig, mit f1 die 1. Ableitung

zu bezeichnen, mit f2 die zweite und mit f3 die dritte.

Für die (abzugebende) Lösung sollte man sich dann

die Ableitungsfunktionen anzeigen lassen und sie dann

abschreiben:


f ''(x) 3x 8= −

f '''(x) 3=

Nullstellen: Bed.: ( )f x 0= (1)

Für die Berechnung der Nullstellen kennt TI Nspire zwei Befehle: solve und zeros.

Ergebnis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind ( ) ( )1 2N 0 | 0 , N 4 | 0 .

Hinweis:

Wie wir gleich sehen werden, ist die Lösung der Gleichung mit

zeros sehr ökonomisch. Man findet diesen Befehl im Katalog,

den man mit kaufruft. Dann gibt man den Anfangs-

buchstaben z ein und erhält zeros, was mit · in den

Calculator übertragen wird.

Extrempunkte: Bed.: ( )Ef ' x 0= (2)

Die Lösungen dieser Gleichung sind 4

1 3x = und 2x 4= .

y-Koordinaten; ( )f 4 0=

( ) 12843 27f 4,74= ≈

Kontrolle: ( )43f '' 4 0= − <

( )f '' 4 4 0= > :

d.h. Hochpunkt ( )12843 27H ⏐ , Tiefpunkt ( )T 4 | 0 .

·

/·



Man spart deutlich Arbeit, wenn man die Gleichung (2) nicht

mit solve sondern mit zeros löst. Die Ausgabe des Ergebnisses

als Menge (Liste), ermöglicht eine simultane Berechnung

der Werte von f und f2 für beide Ergebnisse! Man sollte die

Lösungsmenge der Gleichung in einer Variablen (z. B. ep (Extrempunkte)) zwischenspeichern!

Wendepunkte: Bed.: Wf ''(x ) 0=

Ergebnis: W83x =

y-Koordinate: ( )8 643 27f 2,67= ≈

Kontrolle: 83f '''( ) 3 0= ≠


Ergebnis: ( )8 643 27W ⏐ ist Wendepunkt von K.

Schaubild mit Nspire:

Man öffnet ein Grafikfenster und lässt f zeichnen.

Dazu nimmt man den nächsten freien Namen, also f4

und schreibt in die Befehlszeile: f4(x) f(x)= .

Jetzt kann man die Fensterparameter ändern b41 .

Ich habe dann noch mit /G die Eingabezeile ausgeblendet und die Beschriftung verschoben.

Für eine Übertragung ins Heft braucht man eine Wertetabelle.

Dazu öffnet man ein Spreadsheet und betätigt die Menüfolge

b51 . Dann erhält nebenstendes Bild.

Mit · wählt man f aus und erhält eine Tabelle mit der

Schrittweite 1. Wenn man die Schrittweite 0,5 bevorzugt,

kann man das über b53 ändern:

/·



Symmetrieverhalten: Die Zeichnung lässt vermuten, dass eine Punktsymmetrie zum Wendepunkt

( )8 643 27W ⏐ vorhanden ist. Diese ist so nachzuweisen: Zwei zu W symmetrische Kurvenpunkte sind:

( )( )8 81 3 3P h | f h+ + und ( )( )8 8

1 3 3P h | f h− − . Wenn W ihr Mittelpunkt ist, liegt Punktsymmetrie zu W vor.

Also untersucht man die Gleichung:

( ) ( )( )8 8 6412 3 3 27f h f h⋅ + + − =

Man sieht, dass die Berechnung der linken Seite zum gewünschten Wert führt, also ist K

punktsymmetrisch zu W.

Bleibt noch die Wertmenge. Diese kann man an der Zeichnung schon ablesen: =W R .

Oder man lässt Nspire rechnen:




Ausführliche Erklärungen zur Bedienung von Nspire findet man im Musterbeispiel 1.


23 92 2f ''(x) x x 3= − +

92f '''(x) 3x= −


Nx 0=

Schnittpunkt mit der x-Achse: ( )N 0 | 0


Ex 0=



Ergebnis: Tiefpunkt ( )N 0 | 0 .


( ) ( )71 28W 1| , W 2 | 2 .

Kontrolle: ( ) ( )f ''' 1 0 und f ''' 2 0≠ ≠

Wertetafel für die Zeichnung im Heft:

Eine Symmetrie ist nicht erkennbar.

Wertmenge:

Da f 4. Grades ist, gibt es einen absoluten Tiefpunkt ( )N 0 | 0 :

Für x → ±∞ gilt ( )f x → ∞ .

Da f stetig ist, gilt also [ [0 ;= ∞W .



Musterbeispiel 3: ( ) 4 31 148 6f x x x 9= + +

Ausführliche Erklärungen zur Bedienung von Nspire findet man im Musterbeispiel 1.


214f ''(x) x x= +

12f '''(x) x 1= +


Nx 6= −

Schnittpunkt mit der x-Achse: ( )N 6 | 0−


E1x 6= − , E2x 0=

y-Koordinaten: ( )f 6 0− = ,

( )f 0 0=

Kontrolle: ( )f '' 6 3− >

( )f '' 0 0= Wendepunkt?

Verdacht auf Terrassenpunkt!

Tiefpunkt: ( )T 0 | 9


xW1 = -4, xW2 = 0

y-Koordinaten: ( ) 113f 4− = und ( )f 0 9=

Kontrolle: ( )f ''' 4 1 0− = − ≠ und ( )f ''' 0 1 0= ≠

Daher hat K an den Stellen 0 und -4 je einen Wendepunkt.

Ergebnis: ( )1W 0 | 9 ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente (Terrassenpunkt)


Keine Symmetrie erkennbar.

Wertmenge:


Für x → ±∞ gilt ( )f x → ∞ .




7.2 Rechnen mit CASIO ClassPad


Zuerst definiert man die Funktion f und gleich dazu auch

die Ableitungsfunktionen. Es ist günstig, mit f1 die 1. Ableitung

zu bezeichnen, mit f2 die zweite und mit f3 die dritte.

Fürs Heft sollte man sich dann die Ableitungsfunktionen

anzeigen lassen und sie dann abschreiben:


f ''(x) 3x 8= −

f '''(x) 3=


xN1 = 0, xN2 = 4.

Ergebnis: Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind ( ) ( )1 2N 0 | 0 , N 4 | 0 .

Extrempunkte: Bed.: ( )Ef ' x 0= (2)

Lösungen: 41 3x = und 2x 4= .

y-Koordinaten; ( )f 4 0=

( ) 12843 27f 4,74= ≈

Kontrolle: ( )43f '' 4 0= − < und ( )f '' 4 4 0= >

d.h. Hochpunkt ( )12843 27H ⏐ , Tiefpunkt ( )T 4 | 0 .

Ich habe hier eine abkürzende Rechnung vorgenommen, indem ich die Funktionswerte für f

und für f2 zugleich für beide Extremstellen durchgeführt habe. Dazu musste man sie in

geschweifte Klammern setzen. Dies behandelt Classpad als Liste und rechnet dann die

ganze Liste um!

Wendepunkte: Bed.: Wf ''(x ) 0= Ergebnis: W83x =

y-Koordinate: ( )8 643 27f 2,67= ≈

Kontrolle: 83f '''( ) 3 0= ≠


Ergebnis: ( )8 643 27W ⏐ ist Wendepunkt von K.



Schaubild mit ClassPad.

Man öffnet die Funktionenliste und trägt f(x) ein.

Dann lässt man die Kurve zeichnen.

Mit Klick auf Zoom – Quickstandard bekommt

man eine bessere Ansicht. Wer will kann die

Fensterdaten noch besser anpassen

(Abb. rechts).

Um die Zeichnung ins Heft zu übertragen,

benötigt man eine Wertetabelle.

Diese erstellt Classpad sofort.

Man kann dann noch die Parameter

verändern.

Das Ergebnis steht dann rechts.

Symmetrieverhalten:

Die Zeichnung lässt vermuten, dass eine Punktsymmetrie zum Wendepunkt ( )8 643 27W ⏐ vorhanden

ist. Diese ist so nachzuweisen: Zwei zu W symmetrische Kurvenpunkte sind:

( )( )8 81 3 3P h | f h+ + und ( )( )8 8

1 3 3P h | f h− − . Wenn W ihr Mittelpunkt ist, liegt Punktsymmetrie zu W vor.

Also untersucht man die Gleichung:

( ) ( )( )8 8 6412 3 3 27f h f h⋅ + + − =

Die erste Berechnung der linken Seite ergibt einen

nicht gewünschten Term. Mit simplify kann man diese

„Antwort“ dann zum Ergebnis führen.

Man sieht, dass die Berechnung der linken Seite zum

gewünschten Wert führt, also ist K punktsymmetrisch zu W.

Bleibt noch die Wertmenge.

Diese kann man an der Zeichnung schon ablesen: =W R .

Oder man lässt Nspire rechnen!

2 Möglichkeiten werden gezeigt.




Ausführliche Erklärungen zur Bedienung von ClassPad findet man im Musterbeispiel 1.


23 92 2f ''(x) x x 3= − +

92f '''(x) 3x= −


Nx 0=

Schnittpunkt mit der x-Achse: ( )N 0 | 0


Ex 0=



Ergebnis: Tiefpunkt ( )N 0 | 0 .


( ) ( )71 28W 1| , W 2 | 2 .

Kontrolle: ( ) ( )f ''' 1 0 und f ''' 2 0≠ ≠

Wertetafel für die

Zeichnung im Heft:

Eine Symmetrie ist nicht erkennbar.

Wertmenge:


Für x → ±∞ gilt ( )f x → ∞ .




Musterbeispiel 3: ( ) 4 31 148 6f x x x 9= + +

Ausführliche Erklärungen zur Bedienung von ClassPad findet man im Musterbeispiel 1.


214f ''(x) x x= +

12f '''(x) x 1= +


Nx 6= −

Schnittpunkt mit der x-Achse: ( )N 6 | 0−


E1x 6= − , E2x 0=

y-Koordinaten: ( )f 6 0− = ,

( )f 0 0=

Kontrolle: ( )f '' 6 3− >

( )f '' 0 0= Wendepunkt?

Verdacht auf Terrassenpunkt!

Tiefpunkt: ( )T 0 | 9


xW1 = -4, xW2 = 0

y-Koordinaten: ( ) 113f 4− = und ( )f 0 9=

Kontrolle: ( )f ''' 4 1 0− = − ≠ und ( )f ''' 0 1 0= ≠

Ergebnis: ( )1W 0 | 9 ist ein Wendepunkt mit

waagrechter Tangente (Terrassenpunkt)


Keine Symmetrie erkennbar.

Wertmenge:


Für x → ±∞ gilt ( )f x → ∞ .


analysis ganzrationale...

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