ANALIZA PROSTIRANJA ULTRAZVU NIH OSCILACIJA U SENDVI PRETVARA IMA

Milan Radmanovi , Dragan Man i , Elektronski fakultet u Nišu

Rad po pozivu

Sadržaj – U ovom radu primenom trodimenzionalnih jedna-ina linearne elasti nosti analizirane su osnosimetri ne osci-

lacije metalnih i PZT prstenova kona ne dužine, sa razli itim otvorom i dužinom. Ove zavisnosti su prikazane za prstenove od razli itih materijala i razli itih dimenzija. U pore enju sa rezultatima dobijenim primenom jednodimenzionalne teorije, rezonantne frekvencije izra unate primenom predloženog nu-meri kog metoda bolje aproksimiraju merene rezultate.

1. UVOD

Analiza oscilovanja razli itih metalnih elemenata obi no je povezivana sa rešavanjem nekog prakti nog problema. U brojnim primenama snažnog ultrazvuka, razli iti metalni tala-sovodi su projektovani da osciluju pri rezonantnim uslovima, zbog toga što su potrebne velike izlazne amplitude oscilacija (i do nekoliko desetina m). U najve em broju primena me-talni talasovodi su cilindri sa ili bez centralnog otvora, koji osciluju na osnovnom debljinskom rezonantnom modu, kao polutalasni rezonatori. Na jednom kraju metalnog talasovoda priklju en je ultrazvu ni pretvara , koji pobu uje oscilovanje talasovoda, a na drugom, radnom kraju metalnog talasovoda, emituje se ultrazvu na snaga. U cilju dobijanja što ve e efi-kasnosti, odnosno pove anja emitovane ultrazvu ne snage, neophodno je da pobudni pretvara i metalni izvršni alat osci-luju na istoj frekvenciji. Ovo je prvi razlog zbog kojeg je od-re ivanje rezonantnih frekvencija metalnih talasovoda posta-lo bitno, posebno u postupku projektovanja ultrazvu nih ure-

aja za zavarivanje.

Pored ovakvog “nezavisnog” oscilovanja metalnih izvrš-nih alata, metalni nastavci su i sastavni delovi samih pobud-nih ultrazvu nih pretvara a. U takvim ure ajima, kojima pri-padaju i Langevinovi ultrazvu ni sendvi pretvara i za pri-menu u tehnici snažnog ultrazvuka, pre svega u sistemima za ultrazvu no iš enje i zavarivanje, teži se ka dobijanju što ve-ih amplituda mehani kih oscilacija na njihovom radnom,

emitorskom kraju, pa je i u tim slu ajevima analiza oscilova-nja neophodna za njihovo pravilno projektovanje i funkcioni-sanje. Langevinov sendvi pretvara je polutalasna rezonant-na struktura, koja osciluje u longitudinalnom pravcu [1]. U najprostijem obliku sastoji se od jednog ili više parova pobud-nih piezokerami kih prstenova, pritisnutih pomo u centralnog zavrtnja izme u emitorskog i reflektorskog metalnog nastav-ka. Naj eš i oblici ovih pretvara a i njihovih sastavnih delo-va prikazani su na slici 1. U takvim slu ajevima rezonantna frekvencija kompletnog ultrazvu nog pretvara a se razlikujeod rezonantne frekvencije pojedina nog metalnog nastavka. Zbog toga je odre ivanje rezonantnih frekvencija pojedina -nih metalnih nastavaka po etni uslov za projektovanje slože-nijih sendvi pretvara a [2].

Prve optimizacije parametara ovakvih sendvi pretvara apo ele su po etkom sedamdesetih godina prošlog veka, na osnovu teorije elektromehani kih filtara. Odre ivanje rezo-nantnih frekvencija longitudinalnih oscilacija metalnih nasta-vaka, koji su dosta komplikovane geometrije, vršeno je po-mo u vibracionih platformi, a zatim je trimovanjem ostvare-no podešavanje. U tim prvim istraživanjima došlo se do odre-

enih zaklju aka, pri emu je najzna ajniji u vezi sa dužinom pretvara a i kao optimum je utvr eno da je polutalasni pret-vara najefikasniji. U isto vreme se pokušavalo do i do odgo-

varaju ih matemati kih relacija pomo u kojih bi se mogla iz-vršiti izra unavanja dužine metalnih nastavaka. Me utim, takvi prora uni su dosta neta ni iz razloga složenosti elektro-mehani kog sistema sendvi pretvara a, komplikovanog na-ina rada i oscilovanja samih piezokerami kih plo ica i slo-

ženosti trodimenzionalnih izra unavanja. Kako su napredova-li tehnologija izrade i kvalitet piezokerami kih plo ica, proiz-vo eni su pretvara i boljih karakteristika. Sa druge strane, usavršavani su postupci mehani ke obrade metalnih nastava-ka u cilju poboljšanja mehani ke sprege, što je još više pove-avalo efikasnost samih pretvara a.

Sl.1. Naj eš i oblici ultrazvu nih sendvi pretvara a

i njihovih sastavnih delova.

Razvoj ultrazvu nih pretvara a pratio je veliko nau no

interesovanje za ovu oblast, tako da je ura eno mnogo proje-

kata u oblasti usavršavanja materijala koji se primenjuju za

Langevinovi ultrazvu ni

sendvi pretvara i

eli ni nastavci

duraluminijumski nastavci

PZT keramika

elikPZT keramikaduraluminijum

Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, a ak, 6-10 juna 2004, tom II

Proc. XLVIII ETRAN Conference, a ak, June 6-10, 2004, Vol. II

141

izradu sastavnih delova pretvara a, kao i u oblasti elektri nih

i mehani kih poboljšanja koja su usmerena ka daljem razvoju

snažnog ultrazvuka. Zahvaljuju i tim tehnološkim dostignu-

ima, danas postoji veliki broj metoda projektovanja za izbor

optimalne forme ultrazvu nih pretvara a. Ove metode po i-

nju sa primenom inicijalnih matemati kih formula i podeša-

vanjem (trimovanjem) pretvara a pomo u vibracionih plat-

formi (trial and error metod), sve do današnjih dana, kada se

primenom mo nih ra unarskih sistema pokušava izvršiti pro-

jektovanje ultrazvu nih pretvara a koriš enjem razli itih nu-

meri kih postupaka (modalna analiza, metod transfer matrica,

metod kona nih elemenata itd.). Modeliranje sendvi pretva-

ra a uslovljeno je razvojem modela piezokerami kih diskova

i prstenova i, uporedo sa tim, i razvojem modela metalnih sa-

stavnih delova pretvara a istog ili sli nog oblika. Ovaj rad

predstavlja numeri ku analizu prostiranja ultrazvu nih oscila-

cija u pojedina nim sastavnim delovima pretvara a, sa ciljem

pore enja frekventnih karakteristika dobijenih na taj na in, sa

odgovaraju im frekventnim karakteristikama dobijenim pri-

menom jednodimenzionalne teorije vodova za iste slu ajeve.

Naime, jednodimenzionalna teorija vodova, sa konstantnom

brzinom prostiranja talasa u vodu, do sada je u literaturi pred-

stavljala naj eš i pristup u projektovanju i modeliranju ovak-

vih složenih struktura. U cilju ilustracije mogu nosti jednodi-

menzionalnih modela vodova za modeliranje sendvi pretva-

ra a sa slike 1, na slici 2 prikazana je eksperimentalna karak-

teristika zavisnosti ulazne elektri ne impedanse od frekvenci-

je za neoptere eni ultrazvu ni sendvi pretvara sa radnom

rezonantnom frekvencijom 41.6 kHz. Navedena zavisnost

upore ena je sa analognim karakteristikama dobijenim pomo-

u postoje ih jedno-dimenzionalnih modela (opšteg [1] i

generalnog [3] modela).

Zul [dB]

f [ ]Hz0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14x 10 4

Sl.2. Ulazna impedansa u funkciji frekvencije za ultrazvu ni

pretvara sa osnovnom rezonantnom frekvencijom 41.6 kHz:

kompletni [3] ( ) i uproš eni [1] ( ) jedno-

dimenzionalni model, i eksperimentalni rezultati ( ).

Na samoj slici su prikazane greške u odre ivanju osnov-

ne rezonantne frekvencije. Pored osnovnih, i viši rezonantni

modovi dobijeni modeliranim karakteristikama pokazuju ve-

liko odstupanje od eksperimentalnih rezultata, što predstavlja

ograni enje u primeni ovih modela kojima se, uz velika od-

stupanja, može analizirati samo osnovni rezonantni mod. O i-

gledno je da se primenom teorije vodova dobijaju znatne raz-

like izme u prikazanih jednodimenzionalnih teorija i eksperi-

menata, tako da je neophodna dalja modifikacija jednodimen-

zionalnog modeliranja sendvi pretvara a i njihovih sastavnih

delova.

U dosadašnjoj ultrazvu noj praksi koriš eni su metalni

cilindri ni nastavci sa ili bez otvora, pri emu su, kod prisut-

nog unutrašnjeg otvora, u prora unima zanemarivani uticaji

njegovih dimenzija, posebno kod metalnih nastavaka koji os-

ciluju na debljinskoj rezonantnoj frekvenciji. U ovom radu

bi e pokazano da taj uticaj nije zanemarljiv. Ukoliko su radi-

jalne dimenzije nastavka manje od etvrtine talasne dužine

debljinskih oscilacija, radijalne oscilacije su zanemarljive.

Tada se, na osnovu jednodimenzionalne talasne jedna ine

prostiranja longitudinalnih oscilacija u duga kom cilindru

(štapu), mogu na i prosta analiti ka rešenja za odre ivanje

rezonantnih frekvencija. Kod ovog pristupa pomeraji ta aka u

debljinskom pravcu su uniformni na popre nom preseku osci-

latora. Ako se talasna dužina može uporediti sa dimenzijama

u radijalnom pravcu, prostiranje talasa je izobli eno (defor-

misano) zbog uticaja radijalnih pomeraja izazvanih Poissono-

vim efektom, što dovodi do neuniformnih amplituda debljin-

skog oscilovanja [4].

Postoji nekoliko zahteva prilikom projektovanja, o koji-

ma treba voditi ra una. Zahtevana radna rezonantna frekven-

cija, i materijal od koga je izra en nastavak, odre uju njego-

ve ukupne dimenzije, od kojih je presudna dužina nastavka.

Tako e, raspodela mehani kih napona u ta kama duž nastav-

ka mora biti takva da garantuje njegov što duži radni vek. U

mnogim primenama zahteva se i poja anje amplitude oscila-

cija na radnom kraju nastavka. Najzna ajniji parametri koji

karakterišu metalne delove u ultrazvu nim oscilatorima su re-

zonantna frekvencija i odgovaraju i rezonantni mod.

Numeri ki metodi su našli široku primenu u analizi i

prora unu oscilatornih sistema sa spregnutim oscilacijama, i

omogu ili su analizu raspodele (disperzije) rezonantnih mo-

dova i odre ivanje rezonantnih frekvencija [5]. Pošto veliki

broj podataka mora biti obra en (procesiran), numeri ki me-

todi zahtevaju dosta vremena za dobijanje zadovoljavaju e

ta nosti rezultata. I pored toga, u ovom radu je predložen je-

dan numeri ki pristup za odre ivanje rezonantnih frekvencija

metalnih prstenova, zbog važnosti analize uticaja veli ine

unutrašnjeg otvora prstenova na njihove rezonantne frekvent-

ne karakteristike. Teorijska razmatranja oscilovanja metalnih

prstenova baziraju se na razli itim aproksimativnim teorija-

ma, kao i na ta noj trodimenzionalnoj teoriji. Me utim, naj-

ve i broj ovih analiza se odnosi na prstenove sa tankim zi-

dom (bliskim unutrašnjim i spoljašnjim pre nikom) ili na pr-

stenove beskona ne dužine. Pored toga, aproksimativne teori-

je su ta ne samo u okviru ograni enih opsega frekvencija i ta-

lasnih dužina, kao i za odre ene odnose dimenzija, zbog raz-

li itih aproksimacija koje su uklju ene u formulaciju takvih

teorija.

Za cilindri ne šuplje metalne nastavke beskona ne duži-

ne, bez mehani kog napona na cilindri nim površinama, reše-

nje problema njihovog elasti nog oscilovanja je sadržano u

odgovaraju oj frekventnoj jedna ini, dobijenoj rešavanjem

opštih jedna ina linearne elasti nosti. Ova jedna ina dobijena

je zadovoljavanjem relevantnih grani nih uslova na cilindri -

nim površinama nastavka, bez razmatranja uticaja kružno-pr-

stenastih krajeva kona nog nastavka. Me utim, naj eš e se u

ultrazvu nim ure ajima koriste nastavci kona ne dužine i kod

njih efekti krajeva ne mogu biti zanemareni, posebno za krat-

ke uzorke u obliku prstena ili diska. Za takve nastavke u obli-

fr=45.3kHz

(greška 8.89%)

fr=54.2kHz

(greška 30.29%)

fr=41.6kHz

142

ku prstena ili diska kona ne dužine, problem se dodatno

komplikuje zbog ozbiljnih matemati kih ograni enja. Naime,

grani ni uslovi sa nultim mehani kim naponima ne mogu biti

istovremeno zadovoljeni ta no i na kružno-prstenastim i na

cilindri nim površinama nastavka.

U nastavku izlaganja izvršena je numeri ka analiza dis-

perzije osnosimetri nih talasa u neoptere enim metalnim ko-

na nim cilindri nim nastavcima sa otvorom (metalnim prste-

novima). Poseban naglasak je stavljen na disperziju frekvent-

nog spektra. Koriš enjem ta nih jedna ina trodimenzionalnih

problema linearne elasti nosti, analizirani su frekventni

spektri prstenova kona ne debljine (dužine), sa razli itim od-

nosom unutrašnjeg i spoljašnjeg pre nika, koji su validni za

bilo koje opsege frekvencija i talasnih dužina, kao i za bilo

koje odnose dimenzija. Pretpostavljeno je osnosimetri no

kretanje prstena, koji osciluje na razli itim rezonantnim mo-

dovima, kao i simetri no kretanje u odnosu na njegovu cen-

tralnu ravan (z=0). Grani ni uslovi sa nultim mehani kim na-

ponima e biti zadovoljeni ta no na cilindri nim površinama

prstena. Frekvencije vibracionih modova, koje su na taj na in

dobijene iz frekventne jedna ine, odre uju modove koji e

biti superponirani da zadovolje aproksimativno grani ne us-

love sa nultim mehani kim naponima na ravnim kružno-

prstenastim površinama prstena. Dakle, realne, imaginarne i

kompleksne grane odgovaraju eg disperzionog spektra bes-

kona no dugog prstena, superponirane su tako da zadovolje

grani ne uslove na ravnim površinama kona nog prstena sa

velikim stepenom ta nosti. Zna i da su, pored prostiru ih

modova (realne grane spektra), analizom tako e obuhva eni i

prigušeni modovi (imaginarne i kompleksne grane spektra),

zbog ega su grani ni uslovi na ravnim površinama zadovo-

ljeni sa velikom ta noš u. Kao krajnji rezultat ove analize,

mogu e je odrediti zavisnosti rezonantnih frekvencija kona -

nih metalnih prstenova (pa ak i piezokerami kih prstenova),

sa proizvoljnim odnosom unutrašnjeg i spoljašnjeg pre nika,

od njihove debljine (dužine) [5], [6] i [7]. Cilj ovakve analize

rezonantnih frekvencija sastavnih delova ultrazvu nih pretva-

ra a je da se prikažu ograni enja jednodimenzionalnih mode-

liranja metalnih nastavaka, i ukaže na neophodnost primene

trodimenzionalnog matri nog analiti kog modela PZT i me-

talnih prstenova koji su autori predložili u jednom od svojih

radova [8]. Pošto je ova analiza bazirana na ta nim jedna i-

nama trodimenzionalnih problema linearne elasti nosti, ona

predstavlja meru za pore enje validnosti razli itih metoda,

koji za dobijanje frekventnog spektra metalnih prstenova ko-

riste aproksimativne jedna ine trodimenzionalnih problema

linearne elasti nosti, a me u kojima je i metod prikazan u

literaturi [8].

2. ODRE IVANJE FREKVENTNE JEDNA INE

Posmatraju se osnosimetri ne oscilacije homogenog, izo-

tropnog, elasti nog, metalnog cilindra sa otvorom (prstena),

koji je po svom obliku identi an sa piezo-kerami kim i me-

talnim prstenovima prikazanim na slici 1. Dakle, neka su

spoljašnji i unutrašnji polupre nik metalnog prstena a i b,

respektivno, i neka je debljina prstena 2h. Pretpostavlja se da

je centralna ravan prstena locirana pri z=0, tako da njegove

krajnje površine leže na z= h.

Kretanje ta aka prstena predstavljeno je pomo u Lameo-

ve parcijalne diferencijalne jedna ine u vektorskom obliku

[5]

2

22divgrad

tm

uuu , (1)

koja daje vezu izme u vektora pomeraja ta aka prstena u i

Lameovih konstanti materijala prstena m i u dinami kim

uslovima, i u kojoj su gustina, t vreme i 2 Laplaceov di-

ferencijalni operator. Za osnosimetri no kretanje, rešenja jed-

na ine (1) su radijalna, cirkularna i aksijalna (debljinska)

komponenta vektora pomeraja u,

,00

00

zktj

r

er

rYkD

r

rJkC

r

rYB

r

rJAu

0u , (2)

,02

02

00

zktj

z

erYDrJC

rkYBrJAkju

]

[

gde su:

2222 / kvd, 2222 / kvs

,

211

12 Ymd

Ev i (3)

12

Ys

Ev .

je kružna frekvencija, EY Youngov modul, Poisso-

nov odnos, a J0 i Y0 su Besselove funkcije. k v je

osni talasni broj (v je fazna brzina talasa, talasna dužina), vd

i vs su fazne brzine kompresionih (longitudinalnih) i ekvivo-

lumnih (transverzalnih) talasa u beskona noj sredini, respek-

tivno, a A, B, C i D su konstante. Jedna ine (2) uklju uju dve

vrste kretanja, od kojih je jedno simetri no u odnosu na cen-

tralnu ravan, dok je drugo antisimetri no kretanje u odnosu

na centralnu ravan. U ovom radu, izvršena je numeri ka ana-

liza obe vrste pomeranja, mada antisimetri no kretanje (odre-

ivanje tzv. parnih rezonantnih modova) nije od interesa u

projektovanju ultrazvu nih sendvi pretvara a. Za simetri no

pomeranje (neparni rezonantni modovi) lanovi jkze u izra-

zima (2) zamenjeni su sa coskz i sinkz, respektivno, dok su za

antisimetri no kretanje zamenjeni sa sinkz i coskz, respektiv-

no.

Ako su Trr i Trz normalni i smi u i mehani ki napon,

tada grani ni uslovi sa nultim mehani kim naponima u ta ka-

ma na cilindri nim površinama prstena daju slede e grani ne

uslove na tim površinama:

(Trr)r=a=0, za svako z i t,

(Trz)r=a=0, za svako z i t, (4)

(Trr)r=b=0, za svako z i t,

(Trz)r=b=0, za svako z i t,

pri emu su izrazi za komponente tenzora mehani kih napona

u funkciji komponenata vektora pomeraja ta aka prstena sle-

de i [5]:

r

u

z

u

r

u

r

uT rzrr

mrr 2 ,r

u

z

uT zr

rz,

z

u

z

u

r

u

r

uT zzrr

mzz 2 . (5)

143

Zamenom izraza za pomeraje (2) u grani ne uslove (4),

dobija se sistem od etiri homogene algebarske jedna ine u

funkciji nepoznatih konstanti A, B, C i D. Za dobijanje netri-

vijalnog rešenja ovih algebarskih jedna ina, determinanta

ovog sistema mora biti jednaka nuli,

0

44434241

34333231

24232221

14131211

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

, (6)

gde su:

,2

,2

,2

,2

,

,

,2/

,2/

122

24

122

23

122

121

1014

1013

1022

12

1022

11

aYA

aJA

aYaA

aJaA

aYaYaA

aJaJaA

aYaaYA

aJaaJA

.2/

,2/

,/2

,/2

,/

,/

,2//

,2//

1222

44

1222

43

142

141

1034

1033

10222

32

10222

31

bYabA

bJabA

bYbabA

bJbabA

bYbYbabA

bJbJbabA

bYbbYabA

bJbbJabA

Kompleksna transcedentna jedna ina, dobijena iz uslova

(6), naziva se frekventnom (karakteristi nom) jedna inom, i

ona povezuje normalizovanu kružnu frekvenciju ( = a/vs),

normalizovani osni talasni broj ( =ka) i razli ite fizi ke i ge-

ometrijske parametre metalnog prstena. Fizi ki parametri su

brzina prostiranja talasa (v), Poissonov odnos materijala prs-

tena ( ) i gustina ( ), dok je normalizovana debljina zida prs-

tena ( =1-b/a) geometrijski parametar. Za pojedina ne vred-

nosti i , frekventna jedna ina daje disperzione krive, od-

nosno zavisnosti izme u i . Na taj na in dobija se besko-

na no mnogo krivih, koje se obi no nazivaju granama disper-

zionog spektra. Pošto su grani ni uslovi (4) nezavisni od z,

zna i da je karakteristi na jedna ina ista i za simetri no i za

antisimetri no pomeranje. Za realne normalizovane frekven-

cije ( ), rešenja karakteristi ne jedna ine daju realne, imagi-

narne i kompleksne vrednosti normalizovanog talasnog broja

( ), koje su pridružene odgovaraju em talasu. Pri tome su re-

alni talasni brojevi pridruženi prostiru im talasima (modo-

vima), imaginarni talasni brojevi su pridruženi prostorno pri-

gušenim talasima (modovima), dok su kompleksni talasni

brojevi pridruženi i jednima i drugima, tako da su imaginarni

i kompleksni talasni brojevi bitni u okolini krajeva kona nog

prstena (z= h). Kao što je ve pomenuto, zavisno od prirode

, grane disperzionog spektra se nazivaju realnim, imaginar-

nim ili kompleksnim granama, pri emu za odre enu frekven-

ciju postoji kona an broj realnih i imaginarnih grana, i besko-

na an broj kompleksnih grana. Rešenja (sopstvene vrednosti)

za u konjugovano-kompleksnoj ravni se zanemaruju u slu-

aju prstenova beskona ne dužine, jer tada te vrednosti do-

vode do beskona nih vrednosti za pomeraje. Za kona ne prs-

tenove ovaj problem ne postoji i, prema tome, konjugovano-

kompleksne vrednosti su uklju ene pri zadovoljavanju gra-

ni nih uslova na ravnim površinama prstena kona ne dužine.

Pošto raspodela mehani kog napona ne može biti zadovolje-

na u funkciji kona nog broja realnih vrednosti , potrebno je

uklju iti doprinos imaginarnih i kompleksnih sopstvenih

vrednosti , kako bi se zadovoljili grani ni uslovi na ravnim

površinama prstena sa prihvatljivom ta noš u.

U ovom delu rada su odre ene realne, imaginarne i kom-

pleksne grane disperzionog spektra u opsezima 0 10 i

0 14 za metalni prsten od duraluminijuma (slika 3) i

opsezima 0 30 i 0 15 za PZT8 piezokerami ki

prsten (slika 4). Disperzioni spektar eli nog prstena je skoro

identi an spektru prikazanom na slici 3, i zbog toga nije po-

sebno razmatran. Pri tome je piezokerami ki prsten posma-

tran (analogno metalnim nastavcima) kao pasivni medijum,

fizi ki predstavljen njegovim modulom elasti nosti EY, Pois-

sonovim odnosom i gustinom (nisu uzimana u obzir pie-

zoelektri na svojstva i anizotropnost piezo-keramike). U ta-

beli 1 navedene su geometrijske dimenzije i vrednosti fizi -

kih konstanti za sva tri elementa, koje su koriš ene u ovoj

analizi [9]. Uklju uju i i konjugovano-kompleksne grane u

posmatranim opsezima, za svako <10 i <30 karakteristi -

na jedna ina (6) daje 9 grana disperzionog spektra, odnosno 9

rešenja za , i za metalne prstenove i za PZT8 piezokerami ki

prsten.

Re( )Im( )-10

-50

510

0

5

10

0

2

4

6

8

10

Sl.3. Normalizovana frekvencija u funkciji normalizovanog

talasnog broja, za prsten od duraluminijuma sa odnosom

polupre nika b/a=8/40: realne grane spektra ( ),

imaginarne ( ) i kompleksne ( ) grane spektra.

Prva realna grana (Im( )=0) odgovara osnovnom rezo-

nantnom modu i postoji na svim frekvencijama, pri emu

raste sa porastom Re( ). Druga, tre a, etvrta i peta realna

grana polaze od prve, druge, tre e i etvrte grani ne frekven-

cije, respektivno, itd. Grani ne frekvencije se dobijaju kao re-

šenja jedna ine (6), ako je =0. Realne grane imaju minimu-

me, ili su tako e samo rastu e funkcije Re( ). Imaginarne

grane spektra formiraju petlje u oblastima prve i druge gra-

ni ne frekvencije, odnosno u oblastima postojanja tre e i et-

(7)

DURAL:

2a=40mm

2b=8mm

Re( )Im( )

144

vrte grani ne frekvencije. Pri tome, imaginarne petlje spajaju

pojedine realne grane disperzionog spektra i tako e imaju mi-

nimume i ne dodiruju nultu frekventnu ravan. U slu aju

PZT8 piezokeramike, posmatran je najve i frekventni oseg i

mogu e je uo iti etiri imaginarne petlje. Kompleksne grane

spektra “izviru” iz ekstremnih ta aka (relativnih maksimuma

i minimuma) realnih ili imaginarnih grana spektra, i presecaju

nultu frekventnu ravan kao kompleksne grane spektra. Za po-

jedina nu kompleksnu granu, opada sa porastom . Unutar

odre enog opsega normalizovane frekvencije i normalizova-

nog talasnog broja, broj realnih, imaginarnih i kompleksnih

grana se smanjuje sa pove anjem unutrašnjeg pre nika prste-

na od istog materijala.

-100

10

0

10

20

300

5

10

15

20

25

30

Re( ) Im( )

Sl.4. Normalizovana frekvencija u funkciji normalizovanog

talasnog broja, za prsten od PZT8 keramike sa odnosom

polupre nika b/a=15/38: realne grane spektra ( ),

imaginarne ( ) i kompleksne ( ) grane spektra.

Tabela 1. Dimenzije i parametri analiziranih prstenova

dural D5 alatni elik PZT8

a (mm) 20 20 19

b (mm) 4 4 7.5

0.34 0.29 3.0/ 1112EE ss

EY (Pa) 0.74 1011 2.18 1011 1/s33E=0.74 1011

(kg/m3) 2790 7850 7600

vd (m/s) 6389 6033 3622

vs (m/s) 3146 3281 1936

3. ODRE IVANJE REZONANTNIH FREKVENCIJA

Da bi se dalje teorijski odredile rezonantne frekvencije

metalnih prstenova pomo u predloženog numeri kog pristu-

pa, treba zadovoljiti grani ne uslove bez mehani kih napona

na svim površinama. Me utim, ovo je ozbiljno teorijsko og-

rani enje, jer ako su grani ni uslovi ta no zadovoljeni na do-

minantnim površinama prstena, nije mogu e ta no zadovoljiti

grani ne uslove sa nultim mehani kim naponima na preosta-

lim površinama prstena. Zbog toga je primenjen pogodan ap-

roksimativni pristup, odnosno metod superpozicije kona nog

broja rezonantnih modova, tako da su uslovi na preostalim

površinama zadovoljeni sa što manjom greškom. Pretpo-

stavlja se da za definisano karakteristi na jedna ina daje

2m+1 vrednosti na definisanoj frekvenciji Pojedina ni

pomeraji, koji odgovaraju tim talasnim brojevima, linearno su

superponirani uvo enjem 2m+1 nepoznatih konstanti, ime

se dobija rezultuju i pomeraj. Amplitude tih pomeraja bi e

odabrane tako da se što ta nije zadovolje 2m+1 nezavisnih

grani nih uslova na ravnim površinama prstena. Ako za poje-

dina no =1-b/a postoji 2m+1 grana spektra, treba zadovoljiti

slede ih 2m+1 uslova na ravnim površinama prstena u 2m+1

odabranih ta aka:

,,01,

12

1

hzTAT rmizz

m

i

izz (8)

gde je: rm1=b + m1 (a-b) / m , m1=0,1,2,...m,

,,02,

12

1

hzTAT rmirz

m

i

irz (9)

rm2=b + m2 (a-b) / (m+1), m2=1,2,...m.

Pri tome su Tzz i, rm1 i Trz i, rm2 mehani ki naponi (normalni

i smi u i), koji odgovaraju i-toj grani disperzionog spektra i

koji se ra unaju za r=rm1, odnosno r=rm2. Ai je amplitudna

konstanta, koja odgovara i-toj grani, a Tzz i Trz su rezultuju i

normalni i smi u i mehani ki napon, respektivno.

Jedna ine (8) i (9) predstavljaju sistem od 2m+1 nezavis-

nih homogenih jedna ina, koje sadrže 2m+1 nepoznatih kon-

stanti Ai. Za dobijanje netrivijalnog rešenja, determinanta

ovog sistema treba da bude jednaka nuli:

0

,12,2,1

,12,2,1

,12,2,1

,12,2,1

,12,2,1

,12,2,1

222

111

111

000

mmm

mmm

rmrzrrzrrz

rmrzrrzrrz

rmrzrrzrrz

rmzzrzzrzz

rmzzrzzrzz

rmzzrzzrzz

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

. (10)

Za datu frekvenciju f, karakteristi na jedna ina (10)

sadrži debljinu prstena l=2h kao jedini nepoznati parametar, i

daje beskona no mnogo rešenja za l. Uzimanjem razli itih

vrednosti za frekvenciju, može se odrediti zavisnost rezonant-

ne frekvencije i debljine prstena. Transcedentna jedna ina

(10) je razli ita za simetri no i antisimetri no kretanje, a ov-

de e biti izvršena analiza oba na ina pomeranja. Analizirane

su karakteristike metalnih prstenova od duraluminijuma i e-

lika sa dimenzijama 2a=40 mm, 2b=8 mm, i PZT8 prstena di-

menzija 2a=38 mm, 2b=15 mm, jer se upravo ti prstenovi

naj eš e koriste u realizaciji ultrazvu nih sendvi pretvara a.

Frekventni spektri rezonantnih modova (zavisnosti f od l) sa

simetri no i antisimetri no pomeranje, za vrednosti l od 0 do

120 mm, za duraluminijumski nastavak i PZT8 piezokerami-

ku, prikazane su na slikama 5 i 6, pri emu je, ponovo,

frekventni spektar u funkciji debljine za eli ni prsten sa is-

tim dimenzijama veoma sli an spektru sa slike 5, i nije po-

sebno razmatran.

PZT8:

2a=38mm

2b=15mm

Re( )Im( )

145

f Hz[ ]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

2

4

6

INa

IV

IIV IIIV

IINa

IIINa

INs

IINs

8

10

12

14

16

teorija voda (indeks )Vnumeri~ki metod (indeksi i )Ns Na

18x 10

4

l m[ ]

IIINs

Sl.5. Zavisnost rezonantne frekvencije od dužine za prsten od

duraluminijuma (b/a=8/40): s – simetri ni modovi,

a – antisimetri ni modovi.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

x 105 f Hz[ ]

l m[ ]

0.5

1

1.5

2

2.5

3teorija voda (indeks )Vnumeri~ki metod (indeksi i )Ns Na

IV

IIV

IIIVIVV

VIV

VV

IIINs

IVNsVNs

VINsVIINs

VIIINs

INs

INa

IINs

Sl.6. Zavisnost rezonantne frekvencije od dužine za prsten od

PZT8 keramike (b/a=15/38) ): s – simetri ni modovi

a – antisimetri ni mod.

U slu aju metalnog prstena sa slike 5 prikazana su tri

najniža neparna rezonantna moda za simetri no kretanje pr-

stena (puna linija) i tri najniža parna rezonantna moda za an-

tisimetri no kretanje prstena (isprekidana linija), kako bi se

ilustrovala velika složenost spektra u oblasti malih debljina

ovakvih metalnih prstenova.

U slu aju sendvi pretvara a sa slike 1, zna ajni su samo

simetri ni rezonantni modovi njihovih sastavnih delova, i da-

lje analize odnose se upravo na te rezonantne modove. O ig-

ledno je da frekvencija tih modova ne opada uniformno sa

debljinom u celom posmatranom opsegu f i l, jer u nekim ob-

lastima spektri imaju stepenasti oblik zbog sprezanja modo-

va, pri emu u tim oblastima spektra male pomene debljine

izazivaju velike promene frekvencije, i obrnuto. To je najpre

deo spektra oko 75 kHz na slici 5, kada sve grane spektra

imaju stepenastu strukturu, a to je i deo spektra gde se javlja i

prva kompleksna grana disperzionog spektra (slika 3). Tako-

e, oko 90 kHz tre i mod ima stepenastu strukturu, kao i viši

modovi koji ovde nisu prikazani, a ova oblast frekventnog

spektra odgovara rezonantnoj frekvenciji ivi nog (end) moda,

za koji su dominantni pomeraji oko ravnih površina prstena.

Kod PZT8 piezokerami kog prstena stepenasti delovi

spektra se nalaze u drugim oblastima, jer se radi o prstenu

znatno druga ijih dimenzija i karakteristika, odnosno u obla-

stima oko 45 kHz, 140 kHz i 170 kHz Pri tome je prikazano

prvih 8 modova za simetri ne (neparne) rezonantne modove

(puna linija) i, zbog preglednosti, samo prvi parni rezonantni

mod (isprekidana linija).

U svim slu ajevima, na datim graficima prikazane su i

karakteristike zavisnosti rezonantne frekvencije od debljine

za slu aj jednodimenzionalnog modeliranja, kada se metalni

prstenovi mogu predstaviti preko modela voda. U slu aju ne-

optere enog prstena, nalaženjem nula ulazne impedanse krat-

kospojenog voda bez gubitaka (Zul=jZctgkl), izra unavaju se

zavisnosti rezonantne frekvencije od debljine (Zc je karakteri-

sti na impedansa voda) [1]:

.,...;3,2,1,2

00 YE

vNl

vNf (11)

4. DISKUSIJA

O igledno je da pri razmatranim debljinama prstenova,

pogotovu u oblasti l/(2a)<2, model voda ne može ni približno

reprezentovati realni frekventni spektar pri osnosimetri nom

oscilovanju prstenova. Ovo se može još bolje uo iti ukoliko

se frekventni spektar prikaže u nešto druga ijem obliku, od-

nosno ukoliko se proizvod fxl prikaže u funkciji normalizo-

vane dužine l/(2a). Na slici 7 su prikazane navedene zavisno-

sti za prva tri rezonantna moda duraluminijumskog prstena sa

odnosom b/a=8/40, koje odgovaraju neparnim modovima INs,

IINs, IIINs sa slike 5, dobijenim pomo u numeri kog metoda.

Na istom grafiku prikazana je konstantna vred-

nost 2/0vfxl , dobijena na osnovu izraza (11) za osnovni

rezonantni mod (N=1) u slu aju voda. Na osnovu prikazanih

zavisnosti, o igledno je da se model voda, sa brzinom jedna-

kom brzini prostiranja talasa v0 u beskona no dugom cilindru,

može primeniti za velike dužine prstena, kada se rešenja do-

bijena razli itim pristupima asimptotski približavaju. Pri ma-

lim debljinama prstena, proizvod fxl, koji je dobijen prime-

nom numeri kog metoda, približno je konstantan, i ima znat-

no nižu vrednost nego u slu aju beskona nog cilindra. To

zna i da se model voda u toj oblasti l/(2a) može koristiti, ali

sa znatno manjom brzinom prostiranja talasa. U cilju pore e-

nja, na istom grafiku su prikazana i prva tri rezonantna moda

dobijena tako e na osnovu jedna ine (11), gde v0 treba zame-

niti sa vz dobijenim primenom metoda prividnih modula ela-

sti nosti [4]. Rezonantni modovi dobijeni ovim metodom

prate generalni trend realnih rezonantnih modova, mada razli-

ke izme u pore enih zavisnosti nisu zanemarljive.

Rezultuju e vrednosti za pomeraje ur i uz sada se lako

mogu odrediti i nacrtati zamenom vrednosti izra unatih kon-

stanti Ai u odgovaraju e izraze. Za svaku vrednost frekvenci-

je f i dužine l, može se odrediti pomeraj uz na krajnjoj, ravnoj,

emituju oj površini. U frekventnom opsegu u okolini osnov-

nog rezonantnog moda, mogu se na prethodnoj slici povezati

frekvencije koje odgovaraju onim parovima f i l za koje su

pomeraji uz maksimalni. Na taj na in se dobija glavni mod u

posmatranoj oblasti, koji je na slici 8 prikazan debljom lini-

jom. Sli ni grafici mogu se dobiti i za prstenove od drugih

materijala, koji su od prakti nog interesa. Isprekidanom lini-

DURAL:

2a=40mm

2b=8mm

PZT8:

2a=38mm

2b=15mm

146

jom je ponovo prikazana brzina prostiranja talasa za isti jed-

nodimenzionalni debljinski mod, dobijena na osnovu modela

voda. Razlike izme u ove brzine i stvarne brzine debljinskog

moda, pokazuju da jednodimenzionalni model nije adekvatan

za modeliranje ovakvih metalnih prstenova. Proizvod frek-

vencije i dužine (izražen u Hz m), koji je za glavni mod pri-

kazan na slici 8, jednak je polovini tražene brzine voda v0 (u

m/s) (izraz (11)). Na osnovu prethodno iznetog, može se zak-

lju iti da je poboljšanje jednodimenzionalnog modeliranja

metalnih prstenova mogu e izvršiti fitovanjem brzine voda,

na osnovu zavisnosti za glavni mod prikazane na slici 8.

O igledno je da je ovakav na in analize veoma složen, jer je

suviše komplikovano sprovesti kompletnu prethodnu nume-

ri ku proceduru za odre ivanje disperzionog spektra kona -

nih prstenova, i odrediti maksimalne pomeraje uz, da bi se do-

bila zavisnost na osnovu koje bi se samo poboljšao model vo-

da. Pri tome ne treba zaboraviti da celokupna prethodna nu-

meri ka procedura mora biti ponovljena pri svakom novom

odnosu polupre nika b/a. Ovo je glavni razlog zbog kojeg su

autori predložili aproksimativne trodimenzionalne matri ne

modele PZT i metalnih prstenova, ija je primena znatno

jednostavnija od prikazanog numeri kog pristupa, a koji daju

rezonantne frekventne spektre koji se dobro slažu sa eksperi-

mentalnim rezultatima [8].

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

[ ]Hz mf lx

l/2a

v /0 2

model voda

metod prividnih modula EY

predlo`eni numeri~ki metod

I II

III

Sl.7. Disperzija rezonantnih modova duraluminijumskog prstena, kod koga je b/a=8/40.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

[ ]Hz mf lx

l/2a

v /0 2

I

glavni mod oscilovanja

II

III

Sl.8. Glavni mod oscilovanja za slu aj sa slike 7.

Ukoliko je =1, prethodna numeri ka procedura daje

rešenja za oscilovanje punog cilindra (ili diska). Zbog gloma-

znosti, ova procedura nije ponovo prikazana, ve su na slici 9

punom linijom prikazana etiri najniža rezonantna moda pu-

nog cilindra od duraluminijuma, koji su dobijeni na taj na in.

Na istoj slici, ovaj normalizovani frekventni spektar diska je

upore en sa frekventnim spektrom prstena od istog materijala

i sa istim spoljašnjim pre nikom (isprekidana linija), sa odno-

som b/a=8/40 (deo spektra sa slike 5). O igledno je da se

vrednosti rezonantnih frekvencija pojedinih modova menjaju

zbog prisustva unutrašnjeg otvora, i te promene su ve e uko-

liko je pre nik otvora prstena ve i. Zbog toga, kao što je ve

ranije pomenuto, u modeliranju snažnih ultrazvu nih pretva-

ra a nije svejedno da li su sastavni elementi pretvara a metal-

ni i piezokerami ki prstenovi ili diskovi. Treba napomenuti

da je spektar punog cilindra, koji je dobijen ovim metodom,

identi an sa spektrom dobijenim pomo u metoda Hutckinso-

na [2], koji je u tom cilju reprodukovan za slu aj cilindra od

duraluminijuma, i iji su rezultati i prikazani na slici 9. Ovde

su rezonantne frekvencije punih cilindara od interesa zbog

modeliranja zavrtnja i glave zavrtnja u ultrazvu nim sendvi

pretvara ima, koji po svom obliku predstavljaju pune cilind-

re.

diskprsten

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

l a/(2 )

I

II

III

IV

Sl.9. Zavisnost normalizovane rezonantne frekvencije od

normalizovane dužine za: (a) duraluminijumski disk ( );

(b) duraluminijumski prsten kod koga je b/a=8/40 ( ).

Ipak, najvažniji doprinos u odre ivanju rezonantnih frek-

vencija u ovom delu rada vezan je za metalne prstenove, jer

je dužina zavrtnja dosta ve a od njegovog pre nika, tako da

se za zavrtanj može primeniti i model voda, i odre ivanje za-

visnosti rezonantnih frekvencija od dužine za njega nije kri-

ti no u projektovanju. Numeri ka analiza za takav slu aj nije

ovde prikazana, mada može lako biti reprodukovana denor-

malizovanjem vrednosti za slu aj punog cilindra sa slike 9.

Debljina piezokerami kih plo ica prilikom realizacije ultra-

zvu nih pretvara a je fiksna, i obi no se usvajaju piezo-kera-

mi ki prstenovi sa debljinom od 5 mm ili 6.35 mm. Zbog to-

ga je, u praksi, rezonantnu frekvenciju pretvara a mogu e po-

dešavati uglavnom izborom metalnih prstenova. Zato je odre-

ivanju njihovih karakteristika posve eno najviše pažnje.

5. EKSPERIMENTALNI REZULTATI

Da bi se testirala validnost predloženog numeri kog me-

toda eksperimentalno su odre ene rezonantne frekvencije

metalnih prstenova i punih cilindara razli itih dimenzija i od

DURAL:

2a=40mm

2b=8mm

DURAL:

2a=40mm

2b=8mm

DURAL:

2a=40mm

2b=8mm

DURAL:

2a=40mm

2b=0

147

razli itog materijala. Merenja su izvršena primenom vibracio-

ne platforme firme Herfurth1, iji je merni opseg od 15 kHz

do 50 kHz. Dobijeni eksperimentalni rezultati upore eni su sa

analognim karakteristikama dobijenim primenom opisanog

numeri kog metoda. Najpre su prikazane zavisnosti rezonant-

nih frekvencija od dužine metalnih prstenova i cilindara od

duraluminijuma (slika 10) i elika (slika 11). Prikazani su os-

novni parni i neparni rezonantni modovi dobijeni primenom

prikazanog numeri kog metoda. Pri tome su na istim slikama

kruži ima prikazane eksperimentalne rezonantne frekvencije

merene na vibracionoj platformi, za neoptere ene uzorke sa

geometrijom prikazanom na samim slikama. Kao što se može

videti na slikama 10 i 11, frekvencije dobijene numeri kom

analizom se veoma dobro slažu sa merenim frekvencijama u

posmatranom opsegu, iako su za date materijale usvojene ti-

pi ne vrednosti za Youngov modul EY i Poissonov koeficijent

. Kod konkretnih uzoraka te vrednosti mogu odstupati od

usvojenih vrednosti, što dovodi do izvesnih razlika u pore e-

nim rezultatima. Ovo se naro ito može uo iti za eli ne na-

stavke sa slike 11, gde su teorijske rezonantne frekvencije u

svim slu ajevima uvek iznad merenih rezonantnih frekvenci-

ja. Neznatno smanjenje vrednosti EY doprinosi poklapanju

prikazanih rezultata. Treba napomenuti da su sve izvršene

teorijske analize veoma osetljive na vrednosti koeficijenata

EY i , tako da male promene ovih konstanti izazivaju velike

promene rezonantnih frekvencija.

l [ ]m

f [ ]HzIa

I) 2 =40mm, 2 =0a bduraluminijum:

II) 2 =40mm, 2 =8mma bIII) 2 =51mm, 2 =0a b

Is

IIa

IIs

IIIa

IIIs

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

2

3

4

5

6

7

8x 104

Sl.10. Frekvencije prvih simetri nih (s) i antisimetri nih (a)

modova za razli ite uzorke od duraluminijuma: pore enje

izra unatih i eksperimentalnih rezultata.

Posebno je interesantno pore enje eksperimentalnih

frekventnih spektara piezokerami kih prstenova i diskova, sa

analognim teorijskim spektrima dobijenim primenom nume-

ri ke analize osnosimetri nih ekstenzionih oscilacija izotrop-

nih (metalnih) prstenova, pri emu nisu uzimana u obzir pie-

zoelektri na svojstva i anizotropnost keramike [6], [7]. U tom

slu aju frekventni spektar zavisi od Poissonovog odnosa ma-

terijala keramike

(za piezokeramiku je EE ss 1112 / , Es44/1 ,

a Eijs su piezoelasti ne konstante).

1 Herfurth, Hamburg-Altona, Sonotroden-Meßgerät type USM4

l [ ]m

f [ ]Hz

IaI) 2 =40mm, 2 =0a b

~elik:

II) 2 =51mm, 2 =0a b

Is

IIa

IIs

x 104

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Sl.11. Frekvencije prvih simetri nih (s) i antisimetri nih (a)

modova za razli ite uzorke od elika: pore enje

izra unatih i eksperimentalnih rezultata.

Teorijski i eksperimentalno je odre en frekventni spektar

piezokerami kih prstenova i diskova sa Poissonovim odno-

som 0.3, za razli ite odnose debljine i spoljašnjeg pre nika.

Dobijeni normalizovani frekventni spektri za pet najnižih re-

zonantnih modova prikazani su na slici 12 [6]. Dimenzije

analiziranog PZT8 prstena prikazane su na samoj slici. Pri to-

me su, u cilju ocene ovakvog na ina modeliranja, na istim sli-

kama prikazane eksperimentalne vrednosti rezonantnih frek-

vencija za najniže modove PZT8 prstena sa slike 12. Eksperi-

mentalni rezultati su dobijeni pomo u automatskog analiza-

tora mreža HP3042A, merenjem frekvencija na kojima je mo-

duo ulazne elektri ne impedanse minimalan. Ove eksperi-

mentalne vrednosti su zbog pore enja sa teorijskim spektrom

normalizovane na ranije pomenuti na in ( = a/vs). O igled-

no je da se ovakvom analizom skoro u potpunosti može pred-

videti i frekventni spektar piezoelektri nih keramika, bez pot-

rebe za naknadnom korekcijom primenjenih konstanti fitova-

njem eksperimental-nih rezultata.

2 =38mm, 2 =15mm, 2 =5mma b h

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

l/( a)2

Sl.12. Izra unati frekventni spektar i mereni

rezultati za PZT8 prsten.

U cilju kompletiranja opisa frekventnog ponašanja cilin-

dri nih elemenata, izvršena je analogna analiza za piezokera-

mi ke diskove [7]. Da bi se, kao i u prethodnom slu aju, te-

148

stirala validnost ovakvog modeliranja diskova, eksperimen-

talno odre ene rezonantne frekvencije piezokera-mi kih dis-

kova su upore ene sa analognim karakteristikama dobijenim

na ra unaru primenom predloženog numeri kog pristupa. Di-

menzije PZT8 diskova koriš enih u ovoj analizi prikazane su

u tabeli 2, a odgovaraju i frekventni spektar, upore en sa

eksperimentalnim rezultatima za pet najnižih rezonantnih

modova, dat je na slici 13.

Tabela 2. PZT8 diskovi koriš eni u analizi i

eksperimentalnim merenjima.

disk I disk II disk III disk IV

2a (mm) 50 30.9 24.9 38.4

2h (mm) 3 2.1 2.5 6.35

h/a 0.060 0.068 0.100 0.165

Pore enjem frekventnog spektra dobijenog primenom

opisanog numeri kog metoda, sa eksperimentalnim merenji-

ma rezonantnih frekvencija diskova iz tabele 2, može se uo i-

ti da je ostvarena velika ta nost u predvi anju rezonantnih

modova u svim slu ajevima. Pri tome je prikazan frekventni

opseg koji je naj eš e koriš en u prakti nim primenama.

l/( a)2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

I II III IV

Sl.13. Pore enje izme u izra unatog i merenog

frekventnog spektra za PZT8 diskove.

6. ZAKLJU AK

U ovom radu prikazan je jedan nov pristup u analizi pro-

stiranja ultrazvu nih oscilacija u sastavnim delovima ultra-

zvu nih sendvi pretvara a. Prikazanim numeri kim pristu-

pom za analizu osnosimetri nih oscilacija metalnih i PZT

prstenova i diskova razli itih dimenzija, izvršeno je odre iva-

nje njihovih rezonantnih frekventnih spektara, koji mogu ko-

risno poslužiti za analizu prednosti i nedostataka postoje ih

jednodimenzionalnih modela prstenova i diskova, kao i za ve-

rifikaciju razli itih trodimenzionalnih modela koji postoje u

ovoj oblasti analize snažnih ultrazvu nih sendvi pretvara a.

Posebno je interesantno da se ovaj metod analize prstenova

od izotropnog materijala može uspešno primeniti za analizu

frekventnog spektra anizotropnih piezokerami kih prsenova,

bez potrebe za naknadnim fitovanjima dobijenih rezultata,

kakva se npr. primenjuju kod primene metoda kona nih ele-

menata u ovoj oblasti. Ipak, i pored velikih mogu nosti koje

pruža za razmatranje i analizu frekventnog spektra sastavnih

delova sendvi pretvara a, ovaj pristup zbog svoje obimnosti

i složenosti nema veliku primenu u brzom i efikasnom mode-

liranju kompletnih ultrazvu nih sendvi pretvara a, jer se

ovim pristupom ne dobija model prstena kojim bi se lako

analizirali uticaji razli itih parametara i optere enja, kao u

slu aju pomenutog postoje eg analiti kog aproksimativnog

trodimenzionalnog matri nog modela prstenova, pa ak u ne-

kim primenama i u slu aju prevazi enog jednodimenzional-

nog modela voda.

LITERATURA

[1] E. A. Neppiras, “The pre-stressed piezoelectric sand-

wich transducer”, Ultrasonic International Conference

Proceedings, 1973, pp. 295-302.

[2] D. Man i , M. Radmanovi , “Projektovanje snažnih ul-

trazvu nih sendvi pretvara a”, Elektronika, vol. 1, no

1, pp. 66-69, 1997.

[3] D. Man i , M. Radmanovi , “Generalni model piezo-

elektri nog ultrazvu nog sendvi pretvara a”, XLII kon-

ferencija za ETRAN, 1998, pp. 112-115.

[4] D. Man i , M. Radmanovi , “Projektovanje sendvi

pretvara a pomo u prividnih modula elasti nosti”, XVIII

Jugoslovenska konferencija Buka i vibracije, Niš, 2002,

pp. 2.1-2.4.

[5] D.Man i , M.Radmanovi , “A numerical approach to

analysis of axisymmetric rings”, Facta Universitatis, Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics,

vol.4, no 16, pp. 141-156, 2004.

[6] D. Man i , V. Paunovi , “Rezonantne frekvencije PZT

piezokerami kih prstenova”, XLIV konferencija za

ETRAN, Soko Banja, 2000, pp. 312-315.

[7] D. Man i , V. Dimi , M. Radmanovi , “Resonance

frequencies of PZT piezoceramic disks: a numerical

approach”, Facta Universitatis, Series: Mechanics,

Automatic Control and Robotics, vol. 3, no. 12, pp. 431-

442, 2002.

[8] D. Man i , M. Radmanovi , “Piezoceramic ring loaded

on each face: a three-dimensional approach”, Journal of

Technical Acoustics, vol. 2, pp. 1.1-1.7, 2002.

[9] Five piezoelectric ceramics, Bulletin 66011/F, Vernitron

Ltd., 1976.

Abstract – In this paper, using the threedimensional equa-

tions of linear elasticity, the axisymmetric vibrations of a

finite metal and PZT rings of various hole and length have

been studied. Resonance frequency-length curves have been

given for rings with various materials and for different selec-

ted dimensions. Compared with the results of the one-

dimensional theory, the calculated resonant frequencies

according to the proposed numerical method are more closely

approximate to the measured results.

ANALYSIS OF PROPAGATION OF ULTRASONIC

OSCILLATION IN THE SANDWICH TRANSDUCERS

Milan Radmanovi , Dragan Man i

149