analiza izgub v masivnem in pramenastem vodniku · analiza je bila izvedena s programom opera, ki...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO,
RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO
Miha Krajnc
ANALIZA IZGUB V MASIVNEM IN PRAMENASTEM
VODNIKU
Magistrsko delo
Maribor, avgust 2017
i
ANALIZA IZGUB V MASIVNEM IN PRAMENASTEM VODNIKU
Magistrsko delo
Študent: Miha Krajnc
Študijski program: magisterij, 2. stopnja
Elektrotehnika
Smer: Močnostna elektrotehnika
Mentor: red. prof. dr. Anton Hamler, univ. dipl. inž. el.
Maribor, avgust 2017
ii
iii
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju dr. Antonu Hamlerju
za vodenje in pomoč pri izdelavi magistrskega
dela. Iskreno se zahvaljujem tudi vsem
domačim, ki so me podpirali pri študiju.
iv
ANALIZA IZGUB V MASIVNEM IN PRAMENASTEM
VODNIKU
Ključne besede: Električne izgube, masivni vodnik, pramenasti vodnik, analiza izgub
UDK: 621.315.34(043.2)
Povzetek
Magistrsko delo obravnava izračunavanje električnih izgub v pramenastem in masivnem
vodniku na podlagi harmoničnega izračuna elektromagnetnega polja pri frekvenci toka 1kHz,
in pramenov vodnika dolžine 500 mm ter njihove vzporedne ali ovite gradnje. Računalniška
analiza je bila izvedena s programom Opera, ki temelji na metodi končnih elementov. S
teoretično obravnavo električnega polja v električno prevodnih materialih so bili določeni
modeli vodnika. Vodniki so bili fizično izdelani. Pomerjene so jim bile električne izgube.
v
ANALYSIS OF LOSSES IN MASSIVE AND LITZ WIRE
Key words: Electrical losses, massive wire, litz wire, analysis of losses
UDK: 621.315.34(043.2)
Abstract
In those thesis are presented the calculation of electrical losses in massive and litz conductor
depending on the harmonic electrical field at frequency 1kHz of electrical current as well as
with conductor size of 500mm and parallel or twisted construction. Computer processing was
performed with the program Opera, used to calculate the electrical losses with the finite
element method. With the theoretical study of the electric field in electrically conductive
material, we defined wire models. Conductors were also handmade and measured for
electrical losses.
vi
KAZALO
1 UVOD ........................................................................................................................... 1
2 ELEKTROMAGNETNO POLJE V ELEKTRIČNO PREVODNIH MATERIALIH .................... 3
2.1 Izriv toka (SKIN EFEKT) .............................................................................3
2.2 Gostota električnega toka ........................................................................5
2.3 Fazni zamik ..............................................................................................9
2.4 Joulske izgube ....................................................................................... 12
2.5 Vrednost RMS ........................................................................................ 14
2.6 Izračun vrednosti RMS ........................................................................... 15
2.7 Grafična metoda za izračun RMS ............................................................ 15
2.8 Analitična metoda za izračun RMS .......................................................... 16
2.9 Enačba napetosti RMS ............................................................................ 17
2.10 Opredelitev vodnikov ........................................................................... 18
3 PROGRAM OPERA ZA IZVAJANJE ANALIZ ELRKTROMAGNETNIH POLJ ................... 21
3.1 Program OPERA ..................................................................................... 21
3.2 Geometrijsko modeliranje vodnika ......................................................... 23
3.3 Fizična izdelava vodnikov ....................................................................... 28
4 MERITVE IN ANALIZA ................................................................................................. 32
4.1 Masivni vodnik ...................................................................................... 32
4.1.1 Joulske izgube masivnega vodnika .......................................................................... 32
4.1.2 Električni tok masivnega vodnika ............................................................................ 34
4.1.3 Tokovna gostota masivnega vodnika ....................................................................... 35
4.2 Pramenasti ravni vodnik ......................................................................... 37
4.2.1 Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika ...................................................... 37
4.2.2 Električni tok pramenastega ravnega vodnika ......................................................... 39
vii
4.2.3 Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika ................................................... 40
4.3 Pramenasti zaviti vodnik ........................................................................ 42
4.3.1 Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika ...................................................... 42
4.3.2 Električni tok pramenastega zavitega vodnika ........................................................ 44
4.3.3 Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika .................................................. 44
4.3.4 Meritve tokov in napetosti pramenastega ravnega in zavitega vodnika ................ 46
4.4 Primerjava rezultatov meritev ................................................................ 49
5 ZAKLJUČEK ................................................................................................................. 52
VIRI ................................................................................................................................ 53
PRILOGA A .................................................................................................................... 55
PRILOGA B .................................................................................................................... 57
PRILOGA C .................................................................................................................... 58
viii
KAZALO SLIK
Slika 2.1: Prikaz vrtinčnih tokov (Iw). .......................................................................................... 4
Slika 2.2: Prikaz poteka toka skozi ploskev. ............................................................................... 5
Slika 2.3: Premik skupine nabojev. ............................................................................................. 6
Slika 2.4: Grafični prikaz pretočnih cevk. ................................................................................... 8
Slika 2.5: Shema pretočnih cevk gostote toka. .......................................................................... 9
Slika 2.6: Fazni zamik. ............................................................................................................... 10
Slika 2.7: Kazalčni diagram. ...................................................................................................... 10
Slika 2.8: Fazni kot. ................................................................................................................... 12
Slika 2.9: Poytingov vektor v cilindričnem koordinatnem sistemu. ......................................... 14
Slika 2.10: Grafična metoda za izračun vrednosti RMS. ........................................................... 16
Slika 3.1: Modeliranje masivne oblike vodnika. ....................................................................... 24
Slika 3.2: Določitev elektromagnetnih lastnosti vodnika za primer stacionarnega izračuna
elektromagnetnega polja. ........................................................................................................ 24
Slika 3.3: Določitev robnih pogojev. ......................................................................................... 25
Slika 3.4: Masivni vodnik brez okolice. ..................................................................................... 26
Slika 3.5: Masivni vodnik z okolico. .......................................................................................... 26
Slika 3.6: Pramenasti ravni vodnik brez okolice. ...................................................................... 26
Slika 3.7: Pramenasti ravni vodnik z okolico. ........................................................................... 27
Slika 3.8: Pramenasti zaviti vodnik brez okolice. ...................................................................... 27
Slika 3.9: Pramenasti zaviti vodnik z okolico. ........................................................................... 27
Slika 3.10: Prerez vodnika z dimenzijami v milimetrih. ............................................................ 28
Slika 3.11: Prikaz pramenastega vodnika. ................................................................................ 29
Slika 3.12: Pramenasti zaviti vodnik dolžine 500 mm. ............................................................. 30
Slika 3.13: Postavitev tokovnih klešč. ....................................................................................... 30
Slika 3.14: Priključitev tokovnih klešč na osciloskop. ............................................................... 31
Slika 4.1: Joulske izgube masivnega vodnika. .......................................................................... 32
Slika 4.2: Povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika. .......................................... 33
Slika 4.3: Maksimalna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika. ........................................ 33
Slika 4.4: Integralni izračuni joulskih izgub masivnega vodnika. .............................................. 33
ix
Slika 4.5: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika (10-3 W). .......... 34
Slika 4.6: Tok v masivnem vodniku. ......................................................................................... 34
Slika 4.7: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 0° in 180°. ............................ 35
Slika 4.8: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 30°. ...................................... 36
Slika 4.9: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 60°. ...................................... 36
Slika 4.10: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 90°. .................................... 37
Slika 4.11: Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika. .................................................... 37
Slika 4.12: Povprečna vrednosti joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika. ................... 38
Slika 4.13: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika. .................. 38
Slika 4.14: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika. ......................... 38
Slika 4.15: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika znaša
237 W (pomnoženo z 10-3 W)................................................................................................... 39
Slika 4.16: Tok v masivnem vodniku. ....................................................................................... 39
Slika 4.17: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°. ....... 40
Slika 4.18: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 30°. ................ 40
Slika 4.19: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 60°. ................ 41
Slika 4.20: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 90°. ................ 41
Slika 4.21: Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika. .................................................... 42
Slika 4.22: Povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika. .................... 42
Slika 4.23: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika. ................. 42
Slika 4.24: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika. ........................ 43
Slika 4.25: Povprečna vrednost joulskih izgub (pomnoženo z 10-3 W). ................................... 43
Slika 4.26: Tok v pramenastem zavitem vodniku. .................................................................... 44
Slika 4.27: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°........ 44
Slika 4.28: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 30°. ................ 45
Slika 4.29: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 60°. ................ 45
Slika 4.30: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 90°. ................ 46
Slika 4.31: Napetosti in tokovi pramenastega ravnega vodnika. ............................................. 47
Slika 4.32: Napetosti in tokovi 2-krat zavitega pramenastega vodnika. .................................. 47
Slika 4.33: Napetosti in tokovi 5-krat zavitega pramenastega vodnika. .................................. 48
x
UPORABLJENI SIMBOLI
e – električni naboj (+ ali - ) (As),
E – električna poljska jakost (Vm-1),
F – električna sila (N),
H – magnetna poljska jakost (A/m),
I – električni tok (A),
Im – kazalec električnega toka (A),
J – gostota električnega toka (A/m2),
k – RMS konstanta,
l – dolžina (m),
R – električna upornost (Ω),
Q – električni naboj (As),
S – presek vodnika (m2),
t – čas (s),
U – električna napetost (V),
Um – kazalec električne napetosti (V),
v – hitrost (m/s),
W– proizvedena toplota (W),
𝛼0𝑢 – začetni kot vektorja električne napetosti (°),
𝛼0𝑖 – začetni kot vektorja električnega toka (°),
𝜑 – fazni kot (°),
𝜌 – prostorninska gostota naboja (As/m3).
1
1 UVOD
V proizvodnji, prenosu in distribuciji električne energije velja, da električna energija nikoli
ne pride do cilja v isti vrednosti ali količini, kot je proizvedena. Glavni razlog so električne
izgube, ki so prisotne v vseh obstoječih elektroenergetskih sistemih in tudi v manjših
električnih in elektronskih sistemih. Njihov delež v distribuciji elektroenergetskega sistema
ni velik, komaj nekaj odstotkov (v Sloveniji nekaj čez 3 % [1]). Zaradi več vrst električnih
izgub imamo več dejavnikov ter kombinacij dejavnikov, pri katerih moramo biti pozorni na
to, da se izgube ne povečajo nad dovoljeno mejo, ki jo določa vsak sistem po svoje. Na
velikosti in vrste električnih izgub vplivajo materiali, načini izdelave električnih vodnikov ter
preseki vodnikov in veličine, ki definirajo ostale dejavnike, kot so električna napetost,
frekvenca, tok in dolžina vodnika. Kadar rešujemo probleme električnih izgub v neodvisnih
sistemih, ki so grajeni po potrebi posameznikov in okoljih, v katerih so pogoji nestandardno
določeni, pa je pomemben vsak dejavnik, ki pomaga omejiti ali celo zmanjšati električne
izgube. Znano je, da večji preseki vodnikov, ki so dimenzionirani po zahtevanih pogojih,
zmanjšajo določene izgube. Z obliko vodnika lahko zmanjšamo tudi ostale električne
izgube. S tem se izognemo visokim cenam neustreznih električnih vodnikov in dražjim
storitvam vzdrževanja in obnove vodnikov.
Izgube v električnih vodnikih so nezaželene, ker se pretvarjajo v toplotno energijo. Ta
negativno vpliva na izolacijo vodnikov s toplotno obremenitvijo in s pospeševanjem procesa
staranja izolacije. S prisotnostjo električnih izgub se manjša tudi izkoristek prenosa
električne energije, zato je naš cilj izbrati primerne materiale za prenos električne energije
v izmeničnih tokokrogih ter jih ustrezno oblikovati in s tem zmanjšati električne izgube.
S programskimi simulacijami ter izračuni lahko dimenzioniranje električnih vodnikov
poenostavimo. Na tak način ustvarimo vodnik, ki je ustrezen za določene pogoje in ima
majhne električne izgube.
V magistrskem delu smo analizirali električne izgube masivnih, pramenastih ravnih ter
pramenastih zavitih vodnikov. Rezultate smo na koncu primerjali in zapisali ugotovitve za
posamezni vodnik.
2
V drugem poglavju magistrskega dela smo opisali elektromagnetno polje v električno
prevodnih materialih. Razložili smo pojme, kot so izriv toka, gostota električnega toka, fazni
zamik, joulske izgube, vrednost RMS (kvadratni koren povprečne vrednosti kvadratne
trenutne vrednosti), metode izračuna RMS in predstavili opredelitev vodnikov glede na
njihove lastnosti.
Tretje poglavje opisuje programsko okolje Opera. Njegove lastnosti so opisane pri
geometrijskem modeliranju vodnikov. Opisana je tudi izdelava vodnikov, ki smo jih
uporabili pri raziskovanju.
V četrtem poglavju so zajete meritve ter njihove analize, ki se navezujejo na masivne,
pramenaste ravne ter pramenaste zavite vodnike. Opisane so električne izgube ter lastnosti
merjenih vodnikov.
3
2 ELEKTROMAGNETNO POLJE V ELEKTRIČNO PREVODNIH
MATERIALIH
Električno polje je področje ali prostor, kjer na električni naboj vpliva električna sila, ki se
definira kot zmnožek jakosti električnega polja in naboja, kar vidimo v naslednjem izrazu
(2.1):
EeF (2.1)
Tu je:
F – električna sila (N),
e – električni naboj (+ ali - ) (As),
E – jakost električnega polja (Vm-1).
Glavni pogoj za nastanek električnega toka je prevodni material, po katerem se gibljejo
prosti elektroni e-, obravnavani kot količina naboja, v določeno smer v določenem
časovnem intervalu, skozi dani presek prevodnega materiala. Na podlagi tega gibanja
ločimo dve vrsti toka:
- enosmerni tok,
- izmenični tok.
Zraven električnega toka vedno nastane elektromagnetno polje, če deluje sila (t. i.
Lorentzova sila [2]) na naelektren delec v prostoru, ki se premika ali miruje.
2.1 Izriv toka (SKIN EFEKT)
V vseh vrstah vodnikov je prisoten fizikalni pojav, ki je lastnost spreminjajočega se ali
izmeničnega toka. V električnem vodniku teče izmenični električni tok tako, da je gostota
električnega toka večja blizu površine vodnika in manjša v njegovem jedru ali sredini.
4
Gostota enosmernega toka je enakomerno porazdeljena po preseku vodnika in je
konstantna.
Pri izmeničnem toku I (slika 2.1) se v vodniku inducira napetost, ki požene vrtinčni tok Iw
(slika 2.1).
Slika 2.1: Prikaz vrtinčnih tokov (Iw).
Lenzovo pravilo pravi, da ima magnetno polje induciranega toka nasprotno smer kot
prvotno magnetno polje. Z naraščanjem električnega toka narašča magnetno polje. V
sredini vodnika ima električno polje nasprotno smer električnemu toku. Ravno obratno je
na robu vodnika, kjer ima električno polje enako smer kot električni tok. Zaradi izrinjenja
toka iz sredine proti površini vodnika je tokovna gostota na površini mnogo večja kot v
sredini. Zgodi se lahko, da tok v sredini vodnika teče v nasprotni smeri kot skupni tok. Višja
kot je frekvenca, večji je učinek izriva toka proti površju vodnika [8].
Problem skin efekta je pri nižjih frekvencah zanemarljiv (elektroenergetika). Pri visokih
frekvencah (elektronika) pa rešujemo ta problem z večjim številom tankih med seboj
izoliranih pramenov. Pri najvišjih frekvencah uporabljamo votle vodnike, ki imajo površino
vodnika, obdano s srebrom [9].
Iw
B
I
5
2.2 Gostota električnega toka
Gostoto električnega toka velikokrat označimo kot gostoto toka. Ta veličina je določena kot
kvocient med električnim tokom in presekom vodnika, skozi katerega teče tok (2.2):
𝐽 =𝐼
𝑆 (2.2)
Tu je:
J – gostota električnega toka (A/m2),
I – električni tok (A),
S – presek vodnika (m2).
Če tok prestopa ploskev prereza ravnega vodnika pravokotno in enakomerno po ploskvi,
določa gostoto električnega toka J na tej ploskvi kar kvocient absolutne vrednosti toka i
skozi ploskev in površine ploskve S (2.3).
𝐽 =|𝑖|
𝑆 (2.3)
Slika 2.2: Prikaz poteka toka skozi ploskev.
6
Primeren presek vodnika izbiramo na podlagi:
- pričakovanega toka v vodniku,
- sprejemljive gostote toka v vodniku.
V primeru bakrenega vodnika spadajo v sprejemljive vrednosti gostote toka vse tiste
vrednosti, ki so pod 4 A/mm2 ali 4 MA/m2. Če je gostota toka prevelika, povzroči čezmerno
segrevanje vodnika in s tem posledično poškoduje vodnik. V tem primeru je treba vodnik
hladiti z zrakom ali tekočino, da ne pride do temperaturne preobremenitve.
Velik vpliv na gostoto toka ima hitrost naboja. Vzdolž vodnika s presekom S se prosti
elektroni premikajo s hitrostjo v. Spodnja slika prikazuje premik skupine nabojev za pot ∆𝑙
v času od 𝑡 do 𝑡 + ∆𝑡.
Slika 2.3: Premik skupine nabojev.
S tem dobimo ustreznejšo enačbo (2.4) za gostoto električnega toka, saj je po definicij tok
i v vodniku v desno smer enak kvocientu ∆𝑄
∆𝑡 (2.4).
7
𝐽 =|𝑖|
𝑆=
|∆𝑄|
𝑆∆𝑡=
|∆𝑄|
𝑆∆𝑡∙∆𝑙
∆𝑙=
|∆𝑄|
𝑆∆𝑙∙∆𝑙
∆𝑡= |𝜌|𝑣 (2.4)
Tu je:
J – gostota električnega toka (A/m2),
i – električni tok (A),
S – presek vodnika (m2),
Q – množina naboja (C),
𝜌 – prostorninska gostota skupine nabojev (C/m3),
v – hitrost skupine nabojev (m/s),
t – čas (s),
l – dolžina vodnika (m).
Izračun (2.4) je natančnejši, ker gostota toka ni vezana le na enakomeren prehod naboja
skozi ploskev, ampak je določena kot produkt, ki ima v različnih točkah na ploskvi različne
vrednosti. Iz enačbe je razvidno tudi, da je gostota električnega toka sorazmerna hitrosti.
Vzroki za nastanek različnih vrednosti tokovne gostote na ploskvi:
- vodnik poljubne oblike,
- ponikalni tok,
- skin efekt ali kožni pojav v vodniku,
- vrtinčni tokovi v vodniku itd.
Če se naboj s prostorninsko gostoto 𝜌 giba vzdolž osi x s hitrostjo vx, potem imamo na voljo
enačbi (2.5):
𝐽𝑥 = ±𝜌𝑣𝑥 (2.5)
8
V skladu z dogovorom, da smer gibanja pozitivnega naboja določa usmeritev toka,
izberemo enačbo (2.6):
𝐽𝑥 = 𝜌𝑣𝑥 (2.6)
Enak postopek velja tudi za komponente gostote toka vzdolž osi Y in Z. Če združimo vse
komponente, dobimo naslednji vektorski izraz (2.7):
𝐽𝑥 = 𝜌𝑣𝑥 , 𝐽𝑦 = 𝜌𝑣𝑦, 𝐽𝑧 = 𝜌𝑣𝑧 → (𝐽𝑥 , 𝐽𝑦, 𝐽𝑧) = 𝜌(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) → 𝐉 = 𝜌𝐯 (2.7)
Absolutna vrednost vektorja gostote električnega toka J nam poda začetni izraz (2.8).
𝐽 = |𝐽| = √𝐽𝑥2 + 𝐽𝑦2 + 𝐽𝑧2 = √𝜌2𝑣𝑥2 + 𝜌2𝑣𝑦
2 + 𝜌2𝑣𝑧2 = |𝜌||𝑣| = |𝜌|𝑣 (2.8)
Pri opisu gostote toka uporabljamo tudi grafični način, ki temelji na shemi pretočnih cevk
(slika 2.4). Te cevke ponazarja vodnik, grajen iz več majhnih vodnikov, po katerih se tok
porazdeli. Vsota tokov teh cevk je enaka toku celega vodnika.
Slika 2.4: Grafični prikaz pretočnih cevk.
Pri predstavitvi gostote električnega toka z grafičnim načinom, shemo pretočnih cevk
opremimo z vektorji (slika 2.5). Absolutna vrednost vektorja gostote toka J je večja tam,
9
kjer je cevka ozka. V predelih, kjer je cevka širša, je absolutna vrednost vektorja gostote
toka J manjša.
Slika 2.5: Shema pretočnih cevk gostote toka.
Produkt površine ∆S cevke in absolutne vrednosti gostote toka J na tistem mestu izraža tok
∆i skozi tisto cevko [12].
2.3 Fazni zamik
Fazni zamik (slika 2.6) drugače označujemo tudi kot fazni kot, saj ga izrazimo v enotah za
merjenje kota (stopinje ali radiani) ali pa ga preračunamo v časovni zamik ter ga izrazimo v
nihajnih časih. Fazni zamik je pri nihanju razlika med nihanjem dveh faz z enako frekvenco,
pri valovanju pa razlika med fazama dveh valovanj z enako frekvenco v določeni točki
prostora. Izrazi se lahko s preračunano razliko poti v valovnih dolžinah [14].
Na področju elektroenergetike se najpogosteje srečujemo s faznim premikom med tokom
in napetostjo. Ima poseben pomen, saj so od njega odvisne naslednje količine:
- električno delo izmeničnega toka,
- električna moč izmeničnega toka,
- električne izgube energije v električnih napravah in omrežjih.
10
Slika 2.6: Fazni zamik.
Izmenični količini enakih frekvenc sta v fazi, če imata v vsakem trenutku enako smer. Kadar
pa spremenita smer na podlagi določene časovne razlike ∆𝑡, med njima nastane fazni
premik. V primeru, da prva izmenična količina spremeni smer prej kot druga, pravimo, da
prehiteva drugo količino in obratno. Zaradi zapletenosti in zamudnega risanja časovnih
diagramov za prikaz faznih zamikov uporabljamo kazalčne diagrame (slika 2.7).
Slika 2.7: Kazalčni diagram.
11
Kot že povedano, izmenična količina z večjim začetnim kotom prehiteva drugo, ki ima
manjši začetni kot z razliko začetnih kotov.
Izraza sinusne napetosti (2.9) in toka (2.10):
𝑢 = 𝑈𝑚 ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝛼0𝑢) (2.9)
Tu je:
u – električna napetost (V),
Um – temenska vrednost kazalca električne napetosti (V),
𝛼0u – začetni kot kazalca električne napetosti (°).
𝑖 = 𝐼𝑚 ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝛼0𝑖) (2.10)
Tu je:
i – električni tok (A),
Im – temenska vrednost kazalca električnega toka (A),
𝛼0𝑖 – začetni kot kazalca električnega toka (°).
Fazni kot določimo z razliko začetnih kotov napetosti in toka z izrazom (2.11):
𝜑 = 𝛼0u − 𝛼0i (2.11)
Tu je:
𝜑 – fazni kot (°),
𝛼0𝑢 – začetni kot kazalca električne napetosti (°),
𝛼0𝑖 – začetni kot kazalca električnega toka (°).
12
Slika 2.8: Fazni kot.
Iz slike 2.8 je razvidno, da se kazalci vseh količin z enako frekvenco v kazalčnem diagramu
vrtijo v isti smeri z enako krožno frekvenco 𝜔. Fazni premiki med kazalci se med vrtenjem
kazalcev ohranjajo, in kadar sta kazalca v fazi, se prekrivata [13].
2.4 Joulske izgube
Joulske izgube nastanejo, kadar skozi vodnik teče električni tok in so glavni razlog za
pregrevanje vodnika. Izračunamo jih na podlagi tokovne gostote. Kadar je tok enosmeren,
je v dolgem ravnem vodniku tokovna gostota porazdeljena enakomerno. Takrat lahko
joulske izgube izračunamo na enostaven način iz ohmske upornosti in električnega toka. Pri
izmeničnem toku in določeni frekvenci je porazdelitev tokovne gostote v osamljenem
vodniku odvisna od posledic kožnega pojava in je razporejena neenakomerno in simetrično.
V vodnikih lahko joulske izgube izračunamo na več načinov. Eden izmed njih je izračun na
13
podlagi Poytingovega vektorja Pp. Poytingov vektor je vektorska spremenljivka, ki opisuje
velikost pretoka energije elektromagnetnega polja in njegovo smer. Izračun joulskih izgub
izvedemo z integracijo Poytingovega vektorja po zaključeni ploskvi, v kateri želimo določiti
joulske izgube PCu.
𝑃Cu = ∯(𝐄 × 𝐇)𝑑𝐒 (2.12)
Tu je:
E – električna poljska jakost (V
m),
H – magnetna poljska jakost (A
m),
S – ploskev (mm2).
V enačbi (2.12) so podane ustrezne komponente vektorjev električne poljske jakosti E in
magnetne poljske jakosti H določenih vrednosti E = (0, 0, Ez) in H = (0, Hϕ, 0).
Vektorski produkt E in H predstavlja Poytingov vektor Pp, ki je predstavljen z izrazom (2.13):
Pp = 𝐄 × 𝐇 = −1 rEz𝐻ϕ = −1 rPp (2.13)
Tu je:
Ez – komponenta električne poljske jakosti v z smeri (𝑉
𝑚),
𝐻𝜙– komponenta magnetne poljske jakosti v y smeri (𝑉
𝑚).
Element ploskve dS je predstavljen z izrazom (2.14).
𝑑𝐒 = 1𝑟 𝑅0𝑑𝜙𝑑𝑧 (2.14)
Tu je:
𝑅0 – polmer okroglega vodnika (m).
14
Joulske izgube v vodniku, ki so posledica kožnega pojava, lahko izračunamo na podlagi
združitve prejšnjih izrazov (2.12), (2.13) in (2.14). Združene izraze predstavimo v
naslednjem izrazu (2.15):
P = ∯(𝐄 × 𝐇)𝑑𝐒 = −∫ ∫ 𝐸𝑧0
1
2
−1
2
2𝜋
0𝐻𝜙
0𝑅0𝑑𝜙𝑑𝑧 (2.15)
Tu je:
P – joulske izgube (W).
Na sliki 2.9 je prikazan Poytingov vektor −1𝑟 𝑃p v cilindričnem koordinatnem sistemu za
primer vodnika okroglega prereza [10].
Slika 2.9: Poytingov vektor v cilindričnem koordinatnem sistemu.
2.5 Vrednost RMS
Izraz vrednost RMS (Root-Mean-Squared) je definirana kot vrednost izmenične električne
energije, ki proizvede enako količino toplotne energije kot enosmerna električna energija
(slika 2.10). Vrednost RMS je podana kot kvadratni koren povprečne vrednosti kvadratne
trenutne vrednosti. Simbola, s katerima označujemo vrednost RMS napetosti in toka, sta
URMS in IRMS.
15
Izraz vrednost RMS se nanaša samo na časovno spremenljive sinusoidne napetosti, tokove
ali kompleksna valovanja, kjer se magnituda valovanja časovno spreminja in ni komponenta
analiz enosmerne električne energije, pri kateri je magnituda vedno konstantna. Kadar se
vrednost RMS uporablja za primerjavo z izmenično napetostno vrednost RMS sinusne
oblike, ki napaja breme ekvivalentno enosmernemu tokokrogu, se vrednost RMS imenuje
»efektivna vrednost« in je splošno predstavljena kot Ueff ali Ieff.
Z drugimi besedami, efektivna vrednost je enakovredna enosmerni vrednosti. Pove nam,
koliko voltov ali amperov izmenične električne energije imamo na razpolago za proizvodnjo
enake moči kot pri enosmerni električni energiji. Če izpostavimo primer, da je dobava
električne energije v domače omrežje v Sloveniji 230 V, se predpostavlja, da je efektivna
vrednost (RMS) enaka 230 V.
2.6 Izračun vrednosti RMS
Izračun RMS izmenične napetosti je določen z dvema osnovnima metodama:
- grafična metoda (določanje vrednosti RMS z risanjem razdelkov v koordinatnem
sistemu);
- analitična metoda (matematični proces, s katerim izračunamo efektivno vrednost
RMS katerekoli periodične napetosti ali toka [11]).
2.7 Grafična metoda za izračun RMS
Čeprav ta metoda velja za celotno periodo, se bomo omejili samo na pozitivni del. Efektivno
vrednost RMS lahko dovolj natančno določimo z razdelitvijo površine sinusne funkcije v
koordinatnem sistemu na med seboj enako oddaljene ordinate po periodi (v našem
16
primeru imamo polovico periode zaradi obravnave pozitivnega dela koordinatnega
sistema). Bolj kot na fino razdelimo periodo, bolj natančni so rezultati (slika 2.11).
Slika 2.10: Grafična metoda za izračun vrednosti RMS.
Vsaka vmesna ordinatna vrednost v pozitivni polovici periode je množena s seboj
(kvadrirana) in prišteta k vsoti prejšnjih. Ta metoda nam da kvadrirani del vrednosti RMS
napetosti. Kvadrirano vrednost delimo s številom vseh ordinat in dobimo povprečno
vrednost kvadratov. S kvadratnim korenom prejšnjih rezultatov dobimo vrednost URMS.
Tako dobimo definicijo URMS, kot je prikazana v izrazu (2.18): [11]
𝑈RMS = √𝑣𝑠𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑚𝑒𝑠𝑛𝑖ℎ 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 (𝑛𝑎𝑝𝑒𝑡𝑜𝑠𝑡𝑖)2
š𝑡𝑒𝑣𝑖𝑙𝑜 𝑣𝑚𝑒𝑠𝑛𝑖ℎ 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 (2.18)
2.8 Analitična metoda za izračun RMS
Grafična metoda je uspešna pri iskanju efektivne ali RMS napetosti (ali toka) pri
nesimetrični ali sinusoidni obliki valovanja, ki je nenavadna. Z drugimi besedami, oblika vala
spominja na kompleksne valovne oblike. S pomočjo analitičnega ali matematičnega
postopka si lahko izračunavanje vrednosti RMS zelo poenostavimo.
17
Periodična sinusna napetost je konstantna in je lahko definirana kot U(t)=Umcos(ωt) s
periodo T. Tako lahko izračunamo vrednost RMS sinusne napetosti (U(t)) z naslednjim
izrazom (2.16):
𝑈𝑅𝑀𝑆 = √1
𝑇∫ 𝑈𝑚
2𝑇
0cos2(ω𝑡)d𝑡 (2.16)
Integriranje z limitami od 0 do 360° ali T nam poda vrednost izraza (2.17): [11]
𝑈𝑅𝑀𝑆 = √𝑈𝑚
2
2𝑇[𝑡 +
1
2ωsin(2ω𝑡)]
0
𝑇
(2.17)
2.9 Enačba napetosti RMS
Napetost RMS sinusne oblike je določena z zmnožkom maksimalne vrednosti napetosti
(Um) in konstante 0,7071. Dobimo jo z izrazom (2.18):
𝑘 =1
√2 (2.18)
Napetost RMS, ki je ekvivalentna efektivni vrednosti, ni odvisna od frekvence sinusnega
vala ali faznega kota, ampak samo od magnitude sinusnega vala. Celoten izraz za izračun
napetosti RMS podamo z izrazom (2.19):
𝑈RMS = 𝑈m × 𝑘 = 𝑈m ×1
√2= 𝑈m × 0,7071 (2.19)
Množenje maksimalne vrednosti napetosti s konstanto velja samo pri sinusnih veličinah. Za
nesinusne oblike moramo uporabiti grafično metodo.
18
Kadar imamo opravka z izmeničnimi napetostmi ali tokovi, se soočamo s vprašanjem, kako
predstaviti njihove magnitude. Eden izmed enostavnih načinov je uporaba vrha napetosti
v sinusnem valu. Druga podobna metoda je uporaba efektivne vrednosti, ki je tudi znana
kot vrednost RMS. Vrednost RMS se razlikuje od povprečne vrednosti izmeničnih veličin.
Razmerje RMS in maksimalne vrednosti napetosti je enako kot razmerje med tokom RMS
in maksimalnim tokom. Večino merilnih instrumentov, kot sta voltmeter in ampermeter,
izračunavajo RMS vrednost na podlagi predvidevanja, da ima merjena veličina čisto sinusno
obliko. Za meritve RMS pri nesinusoidnih signalih potrebujemo merilni instrument za
izvajanje meritev prave RMS vrednosti.
Če povzamemo, RMS vrednost sinusnega toka proizvede enako količino toplotne energije
kot enaka vrednost enosmernega toka. Če enosmerni tok potuje skozi upor R, je poraba
električne energije skozi upor enaka izrazu (2.20) in jo označimo kot proizvedeno moč:
𝑃 = 𝐼2 × 𝑅 (2.20)
Če skozi isti upor steče izmenični tok (𝑖 = 𝐼m × sin θ), je pretvorjena električna energija v
moč enaka izrazu (2.21):
𝑃 = 𝐼RMS2 × 𝑅 (2.21)
Kadar se ukvarjamo z izmeničnimi napetostmi ali tokovi, jih je treba vedno obravnavati kot
vrednosti RMS, razen če je navedeno drugače. Zato bo imel izmenični tok, npr. 10 (A), enak
učinek kot enosmerni tok 10 A [11].
2.10 Opredelitev vodnikov
Vodnike, ki jih uporabljamo na področju elektrotehnike, delimo glede na:
- zgradbo vodnika,
- materiale, iz katerih so narejeni,
19
- vrsto izolacije,
- konstrukcijo,
- presek itd. [6].
Zgradbo vodnika določamo po njegovih oblikah:
- masivni (enožilni),
- večžilni,
- ravni,
- zaviti vodnik,
- okrogli,
- sektorski,
- fino žični itd. [6].
Materiali, iz katerih so narejeni električni vodniki, so različni, saj moramo upoštevati, da
imajo njihove zlitine in primesi različne električne in mehanske lastnosti, ki so pomembne
za obstojnost vodnika pri različnih ekstremnih pogojih. Vodniki nizkonapetostnih omrežij
so izdelani predvsem iz zlitin aluminija (Al), magnezija (Mg) in silicija (Si), ki so odporne na
večje obremenitve pri nadzemnih vodih zaradi večje mehanske trdnosti, ali pa samo iz
aluminija, če dimenzioniramo podzemne vode [5]. Električni vodniki, ki jih uporabljamo v
različnih napeljavah in sistemih, pa zahtevajo večje tokovne obremenitve ter maksimalno
električno prevodnost in so izdelani predvsem iz bakra (Cu). Vrednost specifične električne
prevodnosti bakra je 56 [Ω-1m-1], aluminija pa 34 [Ω-1m-1 ] [6].
Izolacija električnih vodnikov je pomembna predvsem za zaščito vodnika proti mehanskim
poškodbam, vremenskim pojavom in medsebojnim vplivom drugih vodnikov. Z barvo
izolacije si poenostavimo tudi prepoznavanje vodnikov. Materiali izolacij so določeni glede
na namen in stopnjo zaščite vodnika. Sestavljeni so iz mnogih elementov, kot so na primer:
- PVC,
- silikonska guma,
- mineralna vlakna,
- naravna in sintetična guma,
20
- tekstilni elementi itd. [6].
Konstrukcija določa vodnikom dodatne lastnosti, ki jih potrebujejo za kljubovanje
mehanskim obremenitvam in izpolnjevanje določenih zahtev za dimenzioniranje vodnika:
- vodnik z dodatnimi elementi za nošenje,
- vodnik s centralnim elementom, ki ni za nošenje,
- komunikacijski vodnik v energetskem kablu,
- ploščat vodnik,
- deljiv vodnik,
- nedeljiv vodnik,
- več izolacijskih omotov,
- spiralni vodnik itd. [6].
Presek vodnika ima velik vpliv na električno energijo, ki se pretaka po vodniku. Z njim
določamo varnostne meje tokovne preobremenitve vodnika, ki nastanejo zaradi
premajhnih presekov vodnika. Z zadostno velikim presekom lahko znižamo padce napetosti
in s tem preprečimo motnje delovanja naprav. To se bolj izrazi pri nizkih napetostih, kot so
0–10 V, 12 V in 24 V. Vodniki so izdelani v standardiziranih presekih:
- 0,5 mm2,
- 0,75 mm2,
- 1,0 mm2,
- 1,5 mm2,
- 2,5 mm2,
- 4 mm2,
- 6 mm2,
- 10 mm2,
- 16 mm2,
- 25 mm2,
- 35 mm2,
- 50 mm2,
- 70 mm2,
21
- 95 mm2,
- 120 mm2,
- 150 mm2,
- 185 mm2,
- 240 mm2,
- 300 mm2,
- 400 mm2,
- 500 mm2 [6].
3 PROGRAM OPERA ZA IZVAJANJE ANALIZ
ELRKTROMAGNETNIH POLJ
3.1 Program OPERA
OPERA je program za izvajanje analiz statičnega in časovno spremenljivega
elektromagnetnega polja. Ta programska oprema je na trgu že več kot 20 let in zajema več
kot 100 let razvoja elektromagnetike. Zaradi izjemno natančne simulacije zagotavlja
učinkovito izvedbo, kar omogoča hitre rešitve kompleksnih problemov na namiznem
računalniku ali prenosniku [3].
Program je sestavljen iz treh glavnih delov:
- 2D ali 3D sestavljalnika modelov,
- matematičnega reševalnika elektromagnetnih in multifizikalnih simulacij in
- post procesorja.
22
Sestavljalnik modelov (modeller) je namenjen sestavljanju geometrijskih modelov
različnih oblik, na katerih opravljamo analize. Izbiramo lahko med vnaprej pripravljenimi
telesi:
- valj,
- krogla,
- stožec,
- piramida in
- kvader.
Po oblikovanju modela nam Opera omogoča še:
- definiranje materialov,
- definiranje robnih pogojev in
- izdelavo diskretizacije modela.
Ko je izdelava modela zaključena, je pripravljen na analizo [4].
Matematični reševalnik je namenjen izračunavanju stanj v izdelanem modelu na podlagi
različnih tipov izračunov, kar omogočajo različni moduli z ustreznimi metodami.
Post procesor obdela izračunane rezultate polja in pridobiva informacije na podlagi
simulacij obravnavanega modela. Omogoča nam različne prikaze:
- prikaz izgub,
- porazdelitve polja,
- temperature itd.
Ker je program Opera odlično orodje za prikazovanje in izračun lastnosti
elektromagnetnega polja, ga lahko uporabimo za različne namene in načrtovanja:
- elektromotorjev,
- generatorjev,
- aktuatorjev,
- senzorjev,
- izračun električnih izgub in interferenc,
23
- izolacije in ozemljitev,
- ostalih elementov, odvisnih od elektromagnetnega polja.
3.2 Geometrijsko modeliranje vodnika
V laboratorijskem delu magistrske naloge smo modelirali in dimenzionirali tri vodnike, ki
smo jih obravnavali posamezno in jih med seboj primerjali. Vsi vodniki, na katerih smo
izvajali analizo električnih izgub, so bili bakreni in naslednjih izvedb:
- masivni vodnik,
- pramenasti ravni vodnik,
- pramenasti zaviti vodnik.
V vseh treh primerih je skupni presek vodnika enak in znaša 3.14 mm2.
Pri modeliranju masivnega vodnika smo določili (slika 3.1):
- premer (1 mm),
- dolžino (500 mm),
- položaj začetka vodnika v koordinatnem sistemu (x = 0, y = 0).
24
Slika 3.1: Modeliranje masivne oblike vodnika.
Slika 3.2: Določitev elektromagnetnih lastnosti vodnika za primer stacionarnega izračuna
elektromagnetnega polja.
Pri določanju elektromagnetnih lastnosti materiala vodnika, postavljenega v harmonično
(stacionarno) elektromagnetno polje, smo upoštevali (slika 3.2):
- material vodnika (baker),
25
- izotropno specifično električno prevodnost bakra 5,7∙107 S/m-1,
- konstantno relativno permeabilnost 1 in
- zamik faznega kota, ki je enak 0.
Slika 3.3: Določitev robnih pogojev.
Določanje robnih pogojev vodnika zahteva razdelitev vodnika na ploskve, ki imajo različne
elektromagnetne lastnosti (slika 3.3). Vodnik smo razdelili na štiri glavne ploskve in jim
določili tip elektromagnetnih robnih pogojev (Normal electric + voltage) ter vrednost
konstantne električne napetosti ploskve 0,5 V.
Modeliranje vodnika smo izvedli dvostopenjsko. V prvi stopnji smo definirali vodnik brez
okolice, v drugi stopnji pa vodnik z okolico. S tem smo upoštevali vplive okolice na vodnik.
26
Masivni vodnik brez okolice (slika 3.4) in z okolico (slika 3.5):
Slika 3.4: Masivni vodnik brez okolice.
Slika 3.5: Masivni vodnik z okolico.
Pramenasti ravni vodnik brez okolice (slika 3.6) in z okolico (slika 3.7):
Slika 3.6: Pramenasti ravni vodnik brez okolice.
27
Slika 3.7: Pramenasti ravni vodnik z okolico.
Pramenasti zaviti vodnik brez okolice (slika 3.8) in z okolico (slika 3.9):
Slika 3.8: Pramenasti zaviti vodnik brez okolice.
Slika 3.9: Pramenasti zaviti vodnik z okolico.
28
Za lažjo predstavo dimenzioniranja smo v programu AUTOCAD izrisali model pramenastega
vodnika z dimenzijami žic ter razmikov med njimi (slika 3.10). Na podlagi tega izrisanega
modela smo fizično izdelali vodnik in ga tudi računalniško modelirali v programskem okolju
Opera.
Slika 3.10: Prerez vodnika z dimenzijami v milimetrih.
3.3 Fizična izdelava vodnikov
V laboratoriju smo za namen primerjave rezultatov meritev in rezultatov analiz vodnik tudi
fizično izdelali.
Osnovni podatki vodnika:
- premer: 1 mm2,
- material: baker,
- izolacija: izolacijski lak,
- število vseh žic: 7.
29
Merilni instrumenti in ostali uporabljeni materiali:
- osciloskop,
- tokovne klešče,
- leseni distančniki za priključitev žic,
- lesena podlaga za pritrditev pramenastega vodnika,
- žica 0,25 mm2 s funkcijo zaščitnega opleta,
- dovodni vodnik NMY-J 3x1,5 mm2,
- lestenčne sponke,
- termo skrčke.
Sedem žic s premerom 1 mm2 smo narezali na dolžino 500 mm. Razporedili smo jih tako,
da so bile ena na sredini, ostalih šest pa enakomerno oddaljenih od sredinske in enako
oddaljene med seboj. Za to razporeditev smo uporabili lesen distančnik, ki smo mu navrtali
luknje. Te so bile enakomerno oddaljene druga od druge (slika 3.11). Za pritrditev
izdelanega vodnika smo uporabili enako žico kot za izdelavo vodnika. Da so žice v vodniku
obdržale obliko, smo uporabili termo skrčke, ki imajo funkcijo izolacije in fiksiranja.
Slika 3.11: Prikaz pramenastega vodnika.
30
Za pritrditev napajalnega vodnika na žice s premerom 1 mm2 so bile uporabljene lestenčne
sponke (slika 3.12).
Slika 3.12: Pramenasti zaviti vodnik dolžine 500 mm.
Slika 3.13: Postavitev tokovnih klešč.
31
Ob središču vodnika sta bili speljani dve tanki žički. Na eni strani vodnika smo prispajkali
tanko žico s premerom 0,1 mm2. Speljali smo jo na drugo stran vodnika po njegovi
notranjosti, kjer smo jo prepletli z drugo prispajkano žico, da bi se izognili dodatni inducirani
napetosti, ki jo povzroča magnetno polje okrog vodnika. Žice so bile obdane s tokovnimi
kleščami, ki smo jih priključili na osciloskop (slika 3.13 in slika 3.14). Na ta način smo merili
tok v vodniku, ki je bil v centru in enem izmed stranskih vodnikov.
Slika 3.14: Priključitev tokovnih klešč na osciloskop.
32
4 MERITVE IN ANALIZA
Meritve in analiza električnih izgub vseh treh vodnikov (masivni, pramenasti ravni in
pramenasti zaviti vodnik) so potekale pri napetosti U = 0,5 V in frekvenci 1 kHz. Rezultati so
prikazani v odvisnosti od faznega kota t v območju od 0° do 180°.
4.1 Masivni vodnik
4.1.1 Joulske izgube masivnega vodnika
V prvem primeru meritev smo se osredotočili na joulske izgube (W) pri frekvenci 1 kHz in
vrednosti podali v Excelovi tabeli, kjer smo oblikovali grafikon za lažjo predstavo (slika 4.1).
Slika 4.1: Joulske izgube masivnega vodnika.
Opazovali smo vrednosti joulskih izgub pri različnih faznih kotih, ki smo jih izbirali po koraku
10° v območju od 0° do 180°. Ugotovili smo, da so joulske izgube največje pri faznem kotu
30° in najmanjše pri 120°.
331
392433 449 438
402
344
272
194
120
5918 2 13
49
107
179
257
331
050
100150200250300350400450500
Jou
lske
izgu
be
(W
)
Fazni kot (°)
Joulske izgube v Watt-ih (W) pri U=0,5V v odvisnosti faznega kota (°)
33
Analiza rezultatov nam je podala še naslednje vrednosti:
- povprečna vrednost (znaša približno 225 W na sliki 4.2),
Slika 4.2: Povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika.
- maksimalna vrednost (znaša približno 449 W na sliki 4.3).
Slika 4.3: Maksimalna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika.
Joulske izgube smo določili tudi z računalniškim integriranjem produkta tokovne gostote J
in električne poljske jakosti E po volumnu vodnika (slika 4.4).
Slika 4.4: Integralni izračuni joulskih izgub masivnega vodnika.
330,541
391,777432,906448,966438,021
401,39
343,493
271,311
193,552
119,594
58,35817,2291,16912,114
48,744
106,642
178,824
256,583
330,541
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jou
lske
izgu
be
(W
)
Fazni kot (°)
Integralni izračuni joulskih izgub veličin J in E
34
Metode, po katerih smo računalniško izračunavali joulske izgube, lahko označimo za
ustrezne, saj so bila odstopanja med načini izračunov zelo majhna.
Povprečna vrednost izračunov znaša približno enako kot pri meritvah (slika 4.5).
Slika 4.5: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika (10-3 W).
4.1.2 Električni tok masivnega vodnika
Zraven joulskih izgub smo spremljali tudi električni tok (A) v vodniku pri enakih faznih kotih
od 0° do 180° kot v prejšnjem primeru (slika 4.6).
Slika 4.6: Tok v masivnem vodniku.
V primerjavi z joulskimi izgubami ima krivulja toka obliko sinusoide.
442,2459,9483,6492,7486,8466431,2383,2323,6
254,2177
94,623,8
-76,8-160,1
-238,6-309,8
-371,7-442,2
-600
-400
-200
0
200
400
600
Tok
(A)
Fazni kot v (°)
Tok (A) na začetku vodnika v odvisnosti od faznega kota (°)
35
4.1.3 Tokovna gostota masivnega vodnika
Modele, ki smo jih zasnovali na podlagi omenjenih podatkov, smo označili s porazdelitvijo
tokovne gostote J in jo grafično predstavili z barvno lestvico po celotnem vodniku. Ti primeri
nam nazorno pokažejo, kaj točno se dogaja s tokovno gostoto v vodniku pri določenem
faznem kotu (slika 4.7, 4.8, 4.9 in 4.10). Predstavljajo nam tudi skin efekt.
Slika 4.7: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 0° in 180°.
36
Slika 4.8: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 30°.
Slika 4.9: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 60°.
37
Slika 4.10: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 90°.
Za masivni vodnik je tokovna gostota pri prikazanih faznih kotih, kot sta 30° in 60° enaka
kot pri 120° in 150°, zato je nismo posebej poudarjali.
4.2 Pramenasti ravni vodnik
4.2.1 Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika
Na sliki 4.11 so prikazane joulske izgube pramenastega ravnega vodnika.
Slika 4.11: Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika.
377
434467 472
449401
333
252
171
98
418 3
2674
143
222
304
377
050
100150200250300350400450500
jou
lske
izgu
be
(W
)
Fazni kot (°)
Joulske izgube v Watt-ih (W) pri U=0,5V v odvisnosti faznega kota (°)
38
Analiza rezultatov nam je podala še naslednje vrednosti:
- povprečna vrednost joulskih izgub (znaša približno 238 W na sliki 4.12),
Slika 4.12: Povprečna vrednosti joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika.
- maksimalna vrednost joulskih izgub (znaša približno 474 W na sliki 4.13).
Slika 4.13: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika.
Integralni izračun joulskih izgub smo opravili na enak način kot pri masivnem vodniku. Kakor
vidimo, so tudi tukaj odstopanja zelo majhna, kar pomeni, da so rezultati te metode odlični
približki analiz (slika 4.14).
Slika 4.14: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika.
378
434467 472
449
401
332
253
171
97
418 3
26
74
143
222
304
378
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Jou
lske
izgu
be
(W
)
Fazni kot (°)
Integralni izračuni joulskih izgub veličin J in E
39
Povprečna vrednost izračunov znaša približno enako kot pri analizi (slika 4.15).
Slika 4.15: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika znaša 237 W (pomnoženo z 10-3 W).
4.2.2 Električni tok pramenastega ravnega vodnika
Merjenje električnega toka (A) v vodniku smo opravili tudi za pramenasti ravni vodnik, pri
enakih faznih kotih od 0° do 180° kot v prejšnjih primeru (slika 4.16).
Slika 4.16: Tok v masivnem vodniku.
469,3532,5552,5555,7542511,9466,2
406,3334,1
251,8161,8
67-34,3
-126,2-218,4
-304-380,3
-445,1-496,3-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Tok
(A)
Fazni kot (°)
Tok (A) na začetku vodnika v odvisnosti od faznega kota (°)
40
4.2.3 Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika
Slika 4.17: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°.
Slika 4.18: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 30°.
41
Slika 4.19: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 60°.
Slika 4.20: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 90°.
Kot pri masivnem vodniku tudi tukaj nimamo prikaza tokovne gostote faznih kotov 120° in
150°, ker sta enaka 30° in 60° faznim kotom, zato smo prikazali samo rezultate pri faznih
kotih 0° (slika 4.17), 30° (slika 4.18), 60° (slika 4.19), 90° (slika 4.20) in 180° (slika 4.17).
42
4.3 Pramenasti zaviti vodnik
4.3.1 Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika
Slika 4.21: Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika.
Zraven joulskih izgub (slika 4.21) smo opravili analizo ostalih vrednosti (slika 4.22):
- povprečna vrednost (znaša približno 224 W),
Slika 4.22: Povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika.
- maksimalna vrednost (znaša približno 447 W na sliki 4.23).
Slika 4.23: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika.
366416
443 443417
368
302
226
149
8232
5 430
79
146
222
299
366
050
100150200250300350400450500
Jou
lske
izgu
be
(W
)
Fazni kot (°)
Joulske izgube v Watt-ih (W) pri U=0,5V v odvisnosti faznega kota (°)
43
Slika 4.24: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika.
Prikazali smo tudi povprečno vrednost joulskih izgub metode integralskih izračunov (slika
4.24). Približna povprečna vrednost integralnih izračunov je 223 W (slika 4.25).
Slika 4.25: Povprečna vrednost joulskih izgub (pomnoženo z 10-3 W).
365
415442 442
416
367
301
225
149
81
315 4
30
79
146
222
298
365
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jou
lske
izgu
be
(W
)
Fazni kot (°)
Integralni izračuni joulskih izgub veličin J in E
44
4.3.2 Električni tok pramenastega zavitega vodnika
Slika 4.26: Tok v pramenastem zavitem vodniku.
Potek toka v pramenastem zavitem vodniku je predstavljen na sliki 4.26.
4.3.3 Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika
Slika 4.27: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°.
460,2491,1506,9507,5492,5462,6418,7362
294,4217,8
134,647,7
-41,7-129,1
-212,6-289,7
-358-415,4-460,2
-600
-400
-200
0
200
400
600To
k (A
)
Fazni kot (°)
Tok (A) na začetku vodnika v odvisnosti od faznega kota (°)
45
Slika 4.28: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 30°.
Slika 4.29: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 60°.
46
Slika 4.30: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 90°.
Kot pri ostalih vodnikih tudi tukaj nimamo prikaza tokovne gostote faznih kotov 120° in
150°, ker je enaka 30° in 60° faznim kotom. Prav zato smo prikazali samo rezultate pri faznih
kotih 0° (slika 4.27), 30° (slika 4.28), 60° (slika 4.29), 90° (slika 4.30) in 180° (slika 4.27).
4.3.4 Meritve tokov in napetosti pramenastega ravnega in zavitega vodnika
Pramenastemu zavitemu vodniku, ki smo ga izdelali v laboratoriju, smo merili vrednosti
naslednjih tokov:
- ic (tok v vodniku v centru),
- is (tok v enem izmed šestih stranskih vodnikov),
- isk (skupni tok vodnika),
ter naslednjih napetosti:
- uc (napetost na vodniku v centru),
- us (napetost na enem izmed šestih stranskih vodnikov).
Meritve smo izvedli na štirih različnih izvedbah zavitosti vodnika na dolžini 1 metra pri
frekvenci 1 kHz:
47
- ravni vodnik (slika 4.31),
- 2-krat zaviti vodnik (slika 4.32),
- 5-krat zaviti vodnik (slika 4.33),
- 10-krat zaviti vodnik (slika 4.34).
Slika 4.31: Napetosti in tokovi pramenastega ravnega vodnika.
Slika 4.32: Napetosti in tokovi 2-krat zavitega pramenastega vodnika.
48
Slika 4.33: Napetosti in tokovi 5-krat zavitega pramenastega vodnika.
Slika 4.34: Napetosti in tokovi 10-krat zavitega pramenastega vodnika.
Pri primerjavi grafov ravnega pramenastega vodnika in 10-krat zavitega pramenastega
vodnika opazimo, da so vrednosti tokov in napetosti zelo podobne. V primerjavi ravnega in
2-krat zavitega vodnika vidimo razliko v skupnem toku 𝑖sk ter toku šestih stranskih vodnikov
𝑖c + 6 ∙ 𝑖s. Ta sta v ravnem vodniku skoraj enaka, v 2-krat zavitem pa je 𝑖c + 6 ∙ 𝑖s manjši
kot 𝑖sk. V 5-krat zavitem vodniku se omenjena tokova približujeta drug drugemu. V 10-krat
49
zavitem vodniku se skoraj izenačita. Napetosti z večanjem zavitosti vedno bolj zamujajo za
tokovi.
4.4 Primerjava rezultatov meritev
Za lažjo obravnavo rezultatov meritev smo zbrali meritve vseh faznih kotov skupaj in jih
primerjali med seboj.
Masivni vodnik:
- maksimalna vrednost joulskih izgub: 449 W,
- povprečna vrednost joulskih izgub: 225 W,
- maksimalen tok v vodniku pri faznem kotu 30°: 492,7 A,
- minimalen tok v vodniku pri faznem kotu 120°: 23,8 A.
Največjo tokovno gostoto J v vodniku imamo na površini vodnika zaradi skin efekta. Njena
vrednost se giblje od 7,5 v notranjosti do skoraj 9 A/mm2 na obrobju vodnika pri faznem
kotu 0° in 180°. Pri faznem kotu 30° se vrednost tokovne gostote na površini vodnika
ponekod povzpne čez 9,9 A/mm2 in ima največjo vrednost. Pri faznem kotu 60° se tokovna
gostota na površini vodnika zmanjša in doseže vrednost pod 8 A/mm2. V notranjosti
vodnika se tokovna gostota poveča na skoraj 9 A/mm2, kar nam pove, da je v notranjosti
vodnika gostota toka večja kot na površini. Pri faznem kotu 90° se vrednost tokovne gostote
na površini vodnika spusti do 4 A/mm2, v notranjosti pa na 6,5 A/mm2. Vrednosti tokovne
gostote pri 60° in 90° (kar velja tudi za 120° in 150° fazna kota) faznih kotov nam povedo,
da v tem primeru skin efekt ni prisoten, saj je gostota toka v notranjosti vodnika večja kot
na površini.
50
Pramenasti ravni vodnik:
- maksimalna vrednost joulskih izgub: 474 W,
- povprečna vrednost joulskih izgub: 238 W,
- maksimalen tok v vodniku pri faznem kotu 30°: 555,7 A,
- minimalen tok v vodniku pri faznem kotu 120°: -34,3 A.
Pramenasti ravni vodnik ima pri faznem kotu 0° in 180° najmanjšo tokovno gostoto v
sredinskem vodniku, ki ima vrednost 8,5 A/mm2. Na zunanjih vodnikih, ki obdajajo
notranjega, se na površinah, ki so najbližje okolici, tokovna gostota poveča na 9,4 A/mm2.
V nekaterih točkah na površinah zunanjih vodnikov doseže tudi 9,6 A/mm2. Pri faznih kotih
30° in 120° se tokovna gostota porazdeli po sredinah okolijskih vodnikov, kjer doseže 10,13
A/mm2. V sredinskem vodniku je njena vrednost malo manjša, okoli 10,11 A/mm2. Največjo
vrednost 10,15 A/mm2 ima na tistih površinah okolijskih vodnikov, ki so najbližje
sredinskemu vodniku. Tokovna gostota se bistveno zmanjša pri faznih kotih, kot sta 60° in
150°. Takrat pade vrednost gostote toka na 7,9 A/mm2, na površinah okolijskih vodnikov,
ki so najbližje okolici. V notranjosti snopa se tokovna gostota porazdeli po sredinskem
vodniku ter delih okolijskih vodnikov, ki so blizu sredinskemu vodniku v vrednosti 9 A/mm2.
Pri 90° faznemu kotu je proces porazdelitve tokovne gostote enak, vendar v manjših
vrednostih od 7 A/mm2 do 3,7 A/mm2.
Pramenasti zaviti vodnik:
- maksimalna vrednost joulskih izgub: 447 W,
- povprečna vrednost joulskih izgub: 224 W,
- maksimalen tok v vodniku pri faznem kotu 30°: 507,4 A,
- minimalen tok v vodniku pri faznem kotu 120°: -41,7 A.
V pramenastem zavitem vodniku je gostota toka bolj enakomerno porazdeljena po
vodnikih kot v prejšnjih dveh primerih. Pri faznih kotih 0° in 180° se vrednost tokovne
gostote po celotnem snopu giblje okoli 10 A/mm2. Pri faznih kotih 30° se gostota toka
51
poveča na 12 A/mm2, ampak je še vedno porazdeljena po celotnem snopu. Simulacija je
pokazala, da se tokovna gostota pri faznih kotih 60° in 120° veča v notranjosti snopa v
vrednosti 10 A/mm2, na robu snopa pa v vrednosti 6 A/mm2. Enak proces je potekal pri
faznih kotih 90° in 150° v vrednostih 8 A/mm2 v notranjosti snopa ter 3 A/mm2 na robu
snopa.
52
5 ZAKLJUČEK
V magistrskem delu smo analizirali izgube masivnega, pramenastega ravnega,
pramenastega zavitega vodnika in njihove tokovne lastnosti. Izsledki so nam pokazali, da
ima pramenasti zaviti vodnik najmanjše izgube. Masivni vodnik ima električne izgube večje
kot pramenasti zaviti vodnik, ampak še vedno manjše kot pramenasti ravni vodnik. Iz tega
sledi, da ima največ izgub pramenasti ravni vodnik, saj je sestavljen iz več manjših masivnih
vodnikov, kjer se električne izgube večajo zaradi medsebojnega vpliva. Pramenasti zaviti
vodnik ima najboljše tokovne lastnosti, saj se zaradi njegove strukture tok enakomerno
porazdeli po vsem snopu, kar pomeni, da oblika izvedbe vodnika bistveno zmanjša izriv
toka. Zaradi tega so vse električne izgube manjše v pramenastem zavitem vodniku.
Pri dimenzioniranju vodnikov moramo predvidevati vse možne položaje, v katerih se lahko
vodnik znajde. Vedeti moramo, za kaj se bo vodnik uporabljal, poznati obratovalno
napetost in vse prisotne tokove, ki nam lahko ob nepravilnem dimenzioniranju uničijo
vodnik. Vodnike lahko danes dimenzioniramo zanesljivo, kar nam omogočajo že znani
izračuni in novodobni materiali, ki so iz dneva v dan boljši in trpežnejši.
53
VIRI
[1] Stanonik, M. Izgube energije v omrežju. Ljubljana: Fakulteta za elektrotehniko, 2016.
Dostopno na: http://lrf.fe.uni-lj.si/e_rio/Seminarji1516/IzgubeVOmrezju.pdf
[2. 5. 2017].
[2] Trelp, M. Teorija elektromagnetnega polja. Maribor: Fakulteta za elektrotehniko,
računalništvo in informatiko, 2011.
[3] Opera – Software for Electomagnetic Design. Velika Britanija: Cobham, 2010.Dostopno
na: https://www.cobham.com/media/637229/cts_vectorfields_opera_240610.pdf [15.
5. 2017].
[4] Jug, M. Analiza magnetnih razmer elektromagneta s kratkostičnim obročem. Maribor:
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 2016. Dostopno na:
https://dk.um.si/Dokument.php?id=98113 [22. 5. 2017].
[5] Jakše, R. Dimenzioniranje električnih vodov nizko napetostnega zunanjega priključka.
Krško: Fakulteta za energetiko UM, 2014. Dostopno na:
https://dk.um.si/Dokument.php?id=68246 [24. 5. 2017].
[6] Voršič, J. Razdeljevanje električne energije. Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo
in informatiko, 2012. Dostopno na:
http://www.powerlab.um.si/novo2012/Download/REE/Predavanja/Elektricne_napelja
ve_c.pdf [30. 5. 2017].
[7] Kristan, S. Analiza merilnega sistema za merjenje električne energije. Velenje: Fakulteta
za energetiko UM, 2012. Dostopno na: https://dk.um.si/Dokument.php?id=51956
[31. 5. 2017].
54
[8] Wikipedija. Kožni pojav, 2013. Dostopno na:
https://sl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%BEni_pojav [1. 6. 2017].
[9] Ministrstvo za šolstvo in šport, Projekt eOET-1, Osnove elektrotehnike 1, Kožni pojav.
Dostopno na: http://eoet1.tsckr.si/plus/eOet1_06_01_06-2.html [3. 6. 2017]
[10] Popović Cukovic, J. Načrtovanje navitij transformatorjev za uporovno točkasto
varjenje. Maribor: Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 2013.
Dostopno na: https://dk.um.si/Dokument.php?id=54814 [3. 6. 2017].
[11] Aspencore. Electronic tutorials, RMS voltage. Dostopno na: http://www.electronics-
tutorials.ws/accircuits/rms-voltage.html [6. 6. 2017].
[12] Ministrstvo za šolstvo in šport, Projekt eOET-1, Osnove elektrotehnike 1, Gostota
električnega toka. Dostopno na: http://eoet1.tsckr.si/plus/nivo3S/02/eOet1_3S_02-
15.html [7. 6. 2017].
[13] Ministrstvo za šolstvo in šport. E-elektrotehnika plus, Fazni premik in fazni kot, 2010.
Dostopno na: http://eele.fe.uni-lj.si/wiki/index.php/Fazni_premik_in_fazni_kot
[13. 6. 2017].
[14] Wikipedija. Fazna razlika, 2013. Dostopno na:
https://sl.wikipedia.org/wiki/Fazna_razlika [17. 6. 2017].
55
PRILOGA A
56
57
PRILOGA B
58
PRILOGA C