analitik geometri Özeti
TRANSCRIPT
-
Analitik Geometri zeti
David Pierce
Nisan , :Matematik Blm
Mimar Sinan Gzel Sanatlar niversitesistanbul
http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
indekiler
Denklik bantlar
Uzunluklar
Alanlar
Koni kesitleri ve paraboller
Hacimler
Hiperboller
aretli uzunluklar ve elipsler
-
Analitik Geometri zeti
Eksenler
Dik eksenler
Uzaklk
Dik eksenlere gre koni kesitleri
ekil Listesi
Benzer dik genler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralellik ve orantllk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dikdrtgenlerin eitlii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralellik ve orantllk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koninin eksen geni ve taban . . . . . . . . . . . . . . Bir koni kesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koninin eksen geni ve tabanlar . . . . . . . . . . . . . ki orta orantl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konide hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . 2ay2 = 2ax x2 elipsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kinci dal ile 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol . . . . . . . . Paraboln yeni ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln yeni ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln benzer genleri . . . . . . . . . . . . . . . . Kosins tanm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosins Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y2 = x x2/2a koni kesitleri . . . . . . . . . . . . . . . x2/4 y2 = 1 koni kesitleri . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln odaklar ve dorultmanlar . . . . . . . . . . Elipsin odaklar ve dorultmanlar . . . . . . . . . . . . Odak ve dorultman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-
Nisan , :
Dmerkezlilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denklik bantlar
Tanm . Doal saylar, 1, 2, 3, . . . . Bunlar N kmesini oluturur:
N = {1, 2, 3, . . . }.
(Bu ifadede = iareti aynl gsterir, yani N ve {1, 2, 3, . . . } ayn k-medir.)
Sz . lkokuldan bildiimiz gibi iki doal say toplanabilir ve arpla-bilir, ve doal saylar sralanr.
Tanm . Sral ikililer,
(a, b) = (x, y) a = x & b = y
zelliini salar. Tm A ve B kmeleri iin
AB = {(x, y) : x A & y B}.
Tanm . Bir A kmesinin yansmal, simetrik, ve geili iki-konumluR bants, A kmesinin denklik bantsdr. A kmesinin b elema-nnn R bantsna gre denklik snf veya R-snf,
{x A : x R b}
kmesidir. Bu denklik snf iin
[b]
ksaltmas kullanlabilir (ama Teorem ten sonra kullanlmayacak).
Bu kmeye denklik snf demek, bir gelenektir. Kmeler kuramnda her kmebir snftr, ama her snf kme deildir. rnein {x : x / x} snf, kme olamaz.
-
Analitik Geometri zeti
Teorem . R, A kmesinin denklik bants olsun, ve b A, c Aolsun. Ya
[b] = [c]
ya da[b] [c] = .
Tanm . N N kmesinin bants,
(k, ) (x, y) ky = x
tanmn salasn.
Teorem . N N kmesinin bants, denklik bantsdr.Tanm . N N kmesinin (k, ) elemannn -snf,
k
veya k/ pozitif kesirli saysdr. Pozitif kesirli saylar,
Q+
kmesini oluturur.
Teorem . Aadaki eitlikler, Q+ kmesinin toplama ve arpma i-lemleri iin iyi tanmdr:
k
+
m
n=
kn+ m
n,
k
mn
=am
n.
Yani
k
=
k
&
m
n=
m
n= kn+ m
n=
kn + m
n&
km
n=
km
n.
Ayrca Q+ aadaki tanma gre sralanr:
k
0 ve a > 0 ise
2ay2 = 2ax x2
denklemi, dikey kenarnn uzunluu olan, yanlamasna kenar-nn uzunluu 2a olan elipsi ( eksiklik) tanmlar (ama or-dinatlarn apa asn seilmeli). ekil e bakn. Hiperboldeki gibi
b
b
b
2a
x
y
ekil : 2ay2 = 2ax x2 elipsi
elipsin merkezi, yanlamasna kenarnn orta noktasdr. Hiperbol veelips, merkezli koni kesitidir.
-
Analitik Geometri zeti
Teorem . Teorem de koni kesitinin GF ap F noktasnn te-sine uzatlrsa ve AB dorusunun uzatlmasn keserse, hiperboln ye-rine elips kar.
Sz . imdi her koni kesiti ya parabol ya hiperbol ya da elipstir.Pergeli Apollonius bu adlar vermitir. Parabol olmayan her koni kesitimerkezlidir.
Eksenler
Tanm . Dzlemde iki doru bir O noktasnda kesisin. Dorularnbirine x ekseni, dierine y ekseni densin, ve O noktasna balangnoktas densin.
Teorem . Dzlemde her A noktas iin x ekseninde bir ve tek birB iin, y ekseninde bir ve tek bir C iin, ABOC paralelkenardr. Tamtersine b ve c iaretli uzunluk olmak zere, herhangi bir (b, c) sralikilisi iin, x ekseninde bir ve tek bir B iin, y ekseninde bir ve tek birC iin, dzlemde bir ve tek bir A iin
OB = b,
OC = c,
ve ABOC paralelkenardr.
Tanm . Teorem te b, A noktasnn x koordinatdr, ve c, Anoktasnn y koordinatdr. ekil deki gibi B noktasna b yazlabi-lir, ve C noktasna c yazlabilir.
Sz . ekil teki koordinatlar (b, c) olan nokta hiperboldeyse, ko-ordinatlar (b,c), (2a b, c), ve (2a b,c) olan noktalar dahiperboldedir.
Teorem . Denklemi 2ay2 = 2ax+ x2 olan hiperbol verilsin, amayeni st eksenleri seilsin. Eer
s ekseni, x eksenidir, ve
-
Nisan , :
A Cc
B
b O
x
y
ekil : Koordinatlar
t ekseni, hiperboln merkezinden geer ve y eksenine paralel ise,o zaman yeni st eksenlerine gre hiperboln denklemi,
2at2 = s2 a2.
Teorem . aretli uzunluklarn oran
a : b :: c : d ad = bc
kuralna gre tanmlanabilir. Oranlarn toplam
(a : c) + (b : c) :: (a+ b) : c
kuralna gre tanmlanabilir.
Sz . imdi oranlar saylar gibi kullanabiliriz.
Tanm . a : a oran1
olarak yazlsn, ve a : b orana
b
veya a/b biiminde yazlsn. O zaman hiperboln 2ay2 = 2ax + x2
denklemi
y2 = x+
2ax2
-
Analitik Geometri zeti
x
y
bb
2aO
bb
b
b
b2a b
c
c
ekil : kinci dal ile 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol
biiminde yazlabilir. Bu denkleme Apollonius denklemi diyelim. Te-orem e gre, farkl eksenlere gre, hiperboln 2ay2 = x2a2 denk-lemi de vardr; bu denklem
x2
a2 y
2
a/2= 1
biiminde yazlabilir. Bu denkleme merkez denklemi diyelim.
Dik eksenler
Teorem . Parabolde apa paralel olan her doru, yeni bir aptr.ekil teki gibi
) ABC erisi, ap FE ve kesi A olan parabol,) BD ve CE ordinat,) FA = AD, ve
-
Nisan , :
A
B
C
D EF
H
G
a a x a
c b b
s x a st
y b
ekil : Paraboln yeni ap
) BG FE, CH BFolsun. Aadaki iaretli uzunluklar tanmlansn:
AD = a,DB = b,
AE = x,EC = y,
BH = s,HC = t,
FB = c.
Paraboln dikey kenarnn uzunluu ise
m
=
c2
b2
olsun. O zamany2 = x
olduundant2 = ms.
Teorem . Paraboln bir (ve tek bir) ap iin ordinatlar apa diktir(yani Tanm deki gibi paraboln ekseni ve tek bir ekseni vardr).
-
Analitik Geometri zeti
Teorem . Hiperboln merkezinden geen ve hiperbol kesen herdoru, hiperboln yeni bir apdr. ekil teki gibi
A
B
C
D E FG
H K
L
ekil : Hiperboln yeni ap
) ABC erisi, merkezi D olan ve ap DF olan hiperbol,) BE ve CF ordinat,) DG : DA :: DA : DE,) CH BG, HK DA, HL BE
olsun. Aadaki iaretli uzunluklar tanmlansn:
DF = x,FC = y,
DH = s,HC = t,
DE = c,EB = d,
DA = a,GE = e,
DB = f,GB = g.
-
Nisan , :
(ekil ya bakn.) Hiperboln dikey kenarnn uzunluu ve 2b2 = a
df
sd
fs
cc
fs
dg
t
e
e
gt
d
gt
ekil : Hiperboln benzer genleri
isex2
a2 y
2
b2= 1
olduundans2
f2 t
2
g2c/e= 1.
Teorem . Hiperboln bir (ve tek bir) ap iin ordinatlar apa diktir,yani hiperboln bir (ve tek bir) ekseni vardr.
-
Analitik Geometri zeti
Uzaklk
Sz . Dik genle x2 = a2 + b2 denkleminin zm bulunabilir.
Tanm . x2 = a2 + b2 denkleminin (pozitif) zm
a2 + b2.
Tanm . Eksenler verilirse, koordinatlar (a, b) olan nokta ifadesi-nin yerine (a, b) noktas diyebiliriz.
Teorem . Eksenler dik ise (a, b) noktasnn (c, d) noktasndan uzak-l
(a c)2 + (b d)2.Tanm . Eksenler dik ve a 6= c ise ucu (a, b) ve (c, d) olan dorununeimi
b da c .
Sz . Tanm te eksenlerin dik olmas gerekmez ama normaldir.
Teorem . Paralel dorularn eimleri ayndr. Dik eksene gre, a 6=c ise (a, b) ve (c, d) noktalarndan geen usuz dorunun noktalar,
y =d bc a (x a) + b
denklemini salayan noktalardr. Eimi e/f olan ve (a, b) noktasndangeen usuz dorunun noktalar,
y =e
f (x a) + b
denklemini salayan noktalardr. y eksenine paralel olan ve (a, b) nok-tasndan geen usuz dorunun noktalar,
x = a
denklemini salayan noktalardr.
-
Nisan , :
Sz . u anda Descartesn ortaya koyduu uylam uygundur:
Tanm . Bir birim uzunluu seilirse,
1
olarak yazlabilir. Eer a b = c 1 ise, o zaman ab alan c olarakanlalabilir. Bu ekilde alan, hacim, oranher ey bir uzunluk olur.zel olarak eim, bir harf ile yazlabilir.
Teorem . Dik eksenlere ve birim uzunluuna gre y eksenine paralelolmayan dorunun denklii
y = mx+ b
biiminde yazlabilir, ve bunun gibi her denklem, eimi m olan ve (0, b)noktasndan geen doruyu tanmlar. Benzer ekilde a 6= 0 veya b 6= 0ise (yani a2 + b2 6= 0 ise)
ax+ by + c = 0
denklemi bir doru tanmlar, ve her dorunun denklemi bu ekilde ya-zlabilir.
Tanm . ekil de BAC dik ise
cos =b
c.
Burada , BAC asnn eitlik snf olarak anlalabilir, ve cos,ann kosinsdr. Dik ann ls
2.
O zamancos
2= 0,
ve geni a isecos = cos( ).
-
Analitik Geometri zeti
A c B
C
ab
ekil : Kosins tanm
Teorem (Kosins Teoremi). ekil de
a2 = b2 + c2 2bc cos.
A c B
C
a
b
A c B
C
ab
A c B
C
ab
ekil : Kosins Teoremi
Tanm . Dik eksenlere gre
(a, b) (c, d) = ac+ bd,(a, b) =
(a, b) (a, b) =
a2 + b2.
(a, b) noktas, (0, 0) balang noktasndan (a, b) noktasna giden ynldoru olarak anlalabilir.
Teorem . Dik eksenlere gre (a, b) ve (c, d) arasndaki a ise
(a, b) (c, d) = (a, b) (c, d) cos .
-
Nisan , :
Teorem (CauchySchwartz Eitsizlii).
(ac+ bd)2 6 (a2 + b2) (c2 + d2).
Tanm (mutlak deer). |a| ={
a, eer a > 0 ise,
a, eer a < 0 ise.
Teorem . Dik eksenlere ve birim uzunluuna gre (s, t) noktasnnax+ by + c = 0 dorusuna uzakl
|as+ bt+ c|a2 + b2
.
Dik eksenlere gre koni kesitleri
Tanm . a 6= 0 isea
= 0.
Sz . imdi > 0 ve a 6= 0 ise, dik eksenlere gre,
y2 = x 2a
x2
Apollonius denklemi, ekseni x ekseni olan ve kesi balang noktasolan
a < 0 durumunda hiperbol,
a = durumunda parabol,
a > 0 durumunda elipsi
tanmlar. ekil a bakn.
Sz . > 0 ve a 6= 0 (ve a 6= ) olsun, ve
b > 0, 2b2 = a
-
Analitik Geometri zeti
a = 1/2a = 1
a =
a = 1
a = 1/2
ekil : y2 = x x2/2a koni kesitleri
olsun. O zaman dikey kenar olan, yanlamasna kenar 2|a| olan mer-kezli koni kesitlerinin merkez denklemi
x2
a2 y
2
b2= 1.
ekil ye bakn.
Tanm . x2/a2y2/b2 = 0 denklemi, x2/a2y2/b2 = 1 hiperbolnasimptotlarn tanmlar. Yani hiperboln asimptotlar, y = (b/a)xdorulardr.
-
Nisan , :
a
a
b
b
ekil : x2/4 y2 = 1 koni kesitleri
Teorem . y2 = x+(/2a)x2 hiperboln asimptotlarnn denklemi
y =
2a (x a).
Tanm . Denklemi y2 = x olan paraboln odak noktas(
4, 0
)
ve dorultman dorusu
x+
4= 0.
Teorem . Denklemi y2 = x olan paraboln noktalar, odak nok-tasna ve dorultmana uzakl ayn olan noktalardr.
Tanm . Denklemi x2/a2 y2/b2 = 1 olan hiperboln odak nok-talar
(
a2 + b2, 0),
-
Analitik Geometri zeti
(srasyla) dorultman dorular
x = a2
a2 + b2
,
ve dmerkezlilii a2 + b2
a.
ekil e bakn. Ayrca 0 < b < a ise denklemi x2/a2 + y2/b2 = 1 olan
bb bb
b
b
aa
b
b
a2 + b2
a2 + b2
ekil : Hiperboln odaklar ve dorultmanlar
elipsin odak noktalar
(
a2 b2, 0),
-
Nisan , :
(srasyla) dorultman dorular
x = a2
a2 b2
,
ve dmerkezlilii a2 b2a
.
ekil ye bakn.
bb
b
b
bb bb b2 a2
a
b2 a2
a
b
b
aa2b2
aa2b2
ekil : Elipsin odaklar ve dorultmanlar
Sz . ekil teki gibi merkezli koni kesitinin merkezi A, ve (mer-kezin ayn tarafnda olan) kesi B, ve oda C ise, ve dorultman,koni kesitinin eksenini D noktasnda keserse, tanma gre koni kesiti-nin dmerkezlilii AC : AB, ama
AC : AB :: AB : AD,
dolaysylaBC : BD :: AC : AB,
ve sonu olarak koni kesitinin dmerkezlilii BC : BD.
-
Analitik Geometri zeti
A B CDbb AB CD
b b
ekil : Odak ve dorultman
Teorem . Merkezli koni kesitinin noktalar, bir odak noktasna veona karlk gelen dorultman dorusuna uzaklklarnn orannn d-merkezlilik olduu noktalardr. Yani ekil te (CB = C B ve BD =BD olduundan) aadaki koullar denktir:
E noktas koni kesitinde,
CE : EF :: CB : BD,
C E : EF :: CB : BD.
Sz . BC : BD :: AB : AD :: BB : DD olduundan merkezli konikesitinin E noktalar iin (ve sadece bu noktalar iin)
C E CE : EF EF :: BB : DD.
Elipste EF + EF = FF = DD, dolaysyla
CE + C E = BB.
Hiperbolde E, soldaki daldaysa EF EF = DD, dolaysyla
C E CE = BB.
-
Nisan , :
bb b
AB BC C
D D
E
FF
bb b
AB BC C D D
EF F
ekil : Dmerkezlilik