analisis tres informe
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Analisis Tres Informe .....TRANSCRIPT
INTEGRALES DOBLES
REGION EN R2
Definición 01.
Sea Den R2. Diremos que D es una región, si es la unión de un conjunto abierto conexo con algunos, ninguno o todos sus puntos de frontera.
Definición de conjunto conexo.
Sea Den R2.Diremos que D es conexo, si no existen dos subconjuntos A y B de R2 no nulos tales que A∩B≠∅ y A∪B=D .
Intuitivamente el conjunto conexo es aquel que esta “hecho de una sola pieza”.
Ejemplos:
1. A=[a ,b ] x [c , d ]= {( x , y )∈ R2/a≤x ≤b , c≤ y≤d } es una región cerrada en R2.
2. B= {( x , y )∈ R2/ x2≤ y≤ x ,0≤ x≤1} es otra región cerrada en R2.
Sus gráficos son:
INTEGRABLES DOBLES SOBRE UN RECTÁNGULO
Sea la función f :Den R2→Rdonde la region D
( x , y )→z=f ( x , y )
Es el rectángulo D= [a ,b ] x [c ,d ]={( x , y )∈R2/a≤x ≤b ,c ≤ y ≤d }
Y
X
1
Y=x
0
Y=x2
10
A
d
c
ba X
Y
Si la función f es continua sobre la región D deseamos definir la integral doble de la función
f sobre la región D, denotado por ∬ f ( x , y )dA , donde dA=dxdyo dA=dydx es la diferencial
de área.
Procedemos del siguiente modo:
Paso 01.
Consideremos dos particiones P1 y P2de [a , b ] y [c ,d ], respectivamente, P1=(x0 , x1 , x2 ,…, xm ) P2= y0, y1 , y2 ,…, yn donde a=x0<x ,…,<xm=b , c= y0< y1 ,… ,< xn=d.
Definición.
Una partícula del rectángulo D, es el conjunto.
P1xP2= {[X i−1 , X i ] x [Y j−1 ,Y j ] /1≤ i≤m ,1≤ j≤n}
Puesto que P1 descompone [a ,b ] en “m” subintervalos y P2 descomponer [c , d ] en “n” subintervalos, la partición P=P1 xP2 descompone D en “mn” subrectángulos
Una partición P’ de D se llama más fina que P si Pen P' , esto es, si todo punto de P pertenece también a P’
Paso 02.
De cada subrectángulo Dij=[X i−1 , X i ] x [Y j−1 , Y j ] ,i=1,2,…, N
Habrá N=mn rectángulos y N=mn puntos (X k¿ ,Y k
¿ )∈D ij
Llamaremos r1 , r2 , r3 ,…, rN a los subrectángulo Dij y A (rK )=(∆ x i ) (∆ y i )=dxdy=dA el
área del subrectángulo rK.
f (Xk¿ ,Y k
¿ )es la imagen de cada punto (Xk¿ ,Y k
¿ ) .
Se define la NORMA ‖P‖ de la partición P=P1 x P2 como La longitud de la diagonal mas
larga de los subrectángulo, esto es; ‖P‖=max {diag (Dij )/1≤i ≤m;1≤ j ≤n}
si la partición P la hacemos cada vez más fina, esto es, aumentamos más rectángulos (infinidad de rectangulos ) entonces la norma ‖P‖ será cada vez más pequeña. En términos
de limite es: si N→+∞entonces‖P‖→0.
La suma ∑k=1
N
f (X k¿ , Y k
¿ )A (rK ) ,se llama la suma de Riemann de la función f ; D en R2→R
asociado a la participación P.
Paso 03.
Cuando la norma de la participación p tiende a cero (‖P‖→0 ) , se puede plantear la existencia del
límite:
lim‖P‖→0
∑k=1
N
f (X k¿ , Y k
¿ )A ( rK )
Definición de integral doble.
Si f (x , y ) está definido sobre el rectángulo Den R2 , entonces la integral doble de f sobre D se
define como:
∬ f ( x , y )dA= lim‖P‖→0
∑k=1
N
f (X k¿ , Y k
¿ )A (rK )
Siempre y cuando exista ese límite. Si existe, decimos que f integrable sobre D.
FUNCION ACOTADA
Definición.
Una función f :Den R2→R se dice que es acotada en la región D si existen dos números reales r y s tales que r ≤ f ( x , y )≤s;∀ ( x , y )∈D .
LIMITE DE LA SUMA DE RIEMANN SOBRE UNA REGION CERRADA D.
Definición.
Sea f :Den R2→R una función acotada definida en la región cerrada D.
Un numero I es límite de la suma de Riemann ∑k=1
N
f (X k¿ , Y k
¿ )A (rK ) donde ‖P‖→0 , esto es
lim‖P‖→0
∑k=1
N
f (Xk¿ , Y k
¿ )A ( rK )=I , si para todo ε>0 ,existe ∂>0 tal que
|∑k=1N
f (Xk¿ , Y k
¿ )A (rK )−I|<ε ,Para toda participación P con ‖P‖<δ y toda elección del punto
(X k¿ ,Y k
¿ )∈ rK , k=1,2 ,…,N
INTEGRAL DEOBLE DE UNA FUNCION ACOTADA DEFINIDA SOBRE UNA REGION CERRADA D.
Una función acotadaf :Den R2→R es integrable sobre la región cerrada D, si existe el número real I, tal que
I= lim‖R‖→ 0
∑k=1
N
f (Xk¿ , Y k
¿ )A ( rK )
El número real I se llama INTEGRAL DOBLE DE f sobre D y se escribe como:
∬ f ( x , y )dA= lim‖P‖→0
∑k=1
N
f (X k¿ , Y k
¿ )A (rK )
INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN
Sea f :Den R2→R una función integrable en la región cerrada D, y que f ( x , y )≥0 ,∀ (x , y )∈D entonces:
∬ f ( x , y ) dA=¿ Volumen del solido Q bajo la gráfica de la superficie de la superficie
z=f (x , y ) y que tiene como base la región cerrada D.
Ejemplo.
Halle el volumen bajo la gráfica de la superficie z=x2+ y2 sobre la región
D= {( x , y )∈R2/|x|≤1 ,|y|≤1 }
Solución:
V (Q )=∬ (x2+ y2 )dA
¿4∫0
1
∫0
1−x
(x2+ y2) dydx
¿4∫0
1
∫0
1−x
(x2+ y2) dydx
¿4∫0
1 [ x2 y+ y33 ]|1−x0 dx
¿4∫0
1 [ x2 (1−x )+ (1−x )3
3 ]dx
¿4∫0
1 [ x2−x3+ 1−3 x+3 x2−x33 ]dx¿ 43∫01
[3 x2−3x3+1−3 x+3 x2−x3 ]dx
¿ 43∫0
1
[−4 x3+6 x2−3 x+1 ]dx
¿43 [−x4+2 x3−3x22 + x]|10
¿ 43 [−1+2−32 +1−0 ]
¿ 43 [ 12 ]
¿ 23
INTEGRALES ITERADAS
El cálculo de la integral doble:
V (Q )=∬ (x2+ y2 )dA Se hace por cálculos sucesivos de dos integrales: primero se integra con
respecto a una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Normalmente, cuando se hace esta integración parcial sucesiva, se opera de dentro hacia afuera, como se indica en la notación siguiente:
a. ∬ ( x+ y )dA=∫a
b [∫f (x)g (x)
f ( x , y )dy ]dxLa primera integral es respecto a y.en este caso, se barre la región D verticalmente,mirando hacia arriba tenga como frontera una curva que es la gráfica de una función y=g (x) y
la izquierda otra curva x= j ( y ) .
La segunda integral es respecto a x, en este caso a≤ x≤b . -2 2
X
Y=2Y
D
∬ (x2+ y2)dA=∫−2
2
∫1x2
2
2
f ( x , y )dydx
b. ∬ ( x+ y )dA=∫c
d [∫j ( y)h( y)
f ( x , y ) dx ]dy
La primera integral se integra primero respecto a x.
En este caso, se barre la región D horizontalmente mirando que hacia la derecha tenga como frontera una curva que es la gráfica de una función x=h ( y) y a la izquierda otra curva y=f ( x ) .
La segunda integral es respecto a y, en este caso c ≤ y ≤d .
∬ (x2+ y2)dA=∫0
2
∫−√2 y
√2 y
f ( x , y )dxdy
TEOREMA
Si una función f :Den R2→R es continua en la región cerrada D, entonces f es integrable en D.
REGIONES NO RECTANGULARES
REGION TIPO I (Banda Vertical)
Y=2
X
Y=f(x)
Y=f(x)
bxa
X
D
2
Y
Una región de tipo I es aquella que está definida del siguiente modo:
D= {( x , y )∈R2/ f (x)≤ y ≤g (x) , a≤ x ≤b }
Para “x” fijo entre las dos constantes a y b, la ordenada y varia de f (x)a g(x ), donde f y gson funciones continuas sobre [a ,b ] .
REGION TIPO II (Banda Horizontal)
Una region D de tipo II, es aquella que esta definida del siguiente modo:
D= {( x , y )∈R2/ j ( y)≤x ≤h ( y) , c≤ y ≤d }
Para “y” fijo entre las constantes c y d , la abscisa x varia de j( y)ah( y ) , donde j y h son funciones continuas sobre [c , d ] .
TEOREMA DE FUBINE PARA REGIONES NO RECTANGULARES
Si D es una región de tipo I, entonces:
c
Y
d
x=j(y)
x=h(y)
∬ ( x+ y )dA=∫a
b
∫f (x)
g( x)
f ( x , y )dy dx , Siempre y cuando existan las dos integrales.
Si D es una región de tipo II, entonces:
∬ ( x+ y )dA=∫c
d
∫j ( y)
h ( y)
f ( x , y )dxdy
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DOBLE
P1 :Regla de la Linealidad
Sean: a y b dos constantes y f , g :Den R2→R funciones integrables en la región cerrada D, entonces af +bg es integrable en la región D, y
∬ [af ( x , y )±bg ( x , y ) ]dA=a∬ f ( x , y )dA ±b∬g (x , y )dA
P2 :Regla de laDominacion Si las funciones f , g :Den R2→R son integrales en la región cerrada D y g ( x , y )≤ f ( x , y ) ,∀ ( x , y )∈D , entonces:∬ g (x , y )dA≤∬ f ( x , y )dA P3 :Regla de la Subdivision Sea f :Den R2→R una función continua en la región cerrada D si la región D=D 1 y D2Donde D1 y D2 son regiones cerradas y disjuntas, entonces:∬ g (x , y ) dA=∬ f ( x , y )dA+∬ f ( x , y )dA P4 : Sea f :Den R2→R una función integrable en la región cerrada D, y supongamos que m yMson los valores mínimos y máximo absoluto de f en D, tal que
m≤ f (x , y )≤M ,∀ ( x , y )∈D Entonces: mA (D )≤∬ f ( x , y )dA≤MA (D )
Donde A(D) es el área de la región cerrada D. INVERSION DEL ORDEN DE INTEGRACION EN UNA INTEGRAL DOBLE
E es útil a veces invertir el orden de integración de una integral iterada, porque facilita el calculo y la hace más breve.
Ejemplo:
Calcular: ∫0
3
∫2 x3
2
e y2
dydx
La primera integral que es respecto a “y” no se puede calcular, porque la función e y2
no tiene un
primitiva elemental.
Conviene intervenir el orden de integración, para ello grafiquemos la región.
D={( x , y )∈R2: 2 x3≤ y≤2 ,0≤x ≤3}
Las fronteras son { y=2
y=23x {x=0x=3
Invirtiendo el orden de integración, obtenemos:∬e y
2
dA=∫0
2
∫0
3 y2
ey2
dxdy
¿∫0
2
e y2
[ x ]|3 y /20
dy
¿∫0
2
e y2 3 y2dy
¿ 32∫02
y e y2
dy
¿ 3212e y
2|20
DX=0 X=3x/2
2
30
¿ 34
[e4−1 ]
CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS Y AREAS DE REGIONES PLANAS POR INTEGRACION DOBLE
Bajo ciertas condiciones y mediante integrales dobles podemos hallar el volumen de un sólido Q en R3 y el área de una región Den R2 .
1. Sea f :Den R2→R una función continua en la región cerrada D y f ( x , y )≥0 ;∀ ( x , y )∈D . Entonces el volumen del solido S limitado superiormente por la gráfica de la superficie z=f (x , y ) e inferiormente por la región D está dada por:
2. Sean f , g :Den R2→R funciones continuas en la región cerrada D y f ( x , y )≥ g ( x , y ) ,;∀ ( x , y )∈D . Entonces el volumen del solido S, limitado superiormente por la gráfica de la superficie z=f (x , y ) , esta dado por:
3. Sea f :Den R2→R una función continua en la región cerrada D y f ( x , y )=1 ;∀ ( x , y )∈D . Entonces el área de la región D está dado por:
Ejemplo:
Dada la suma de integrales:
V (S )=∬ f ( x , y )dA
V (S )=∬ [ f ( x , y )−g ( x , y ) ]dA
Nota: Aquí el sólido se proyecta sobre el plano XY.
A (D )=∬dA
∫−1
0
∫−√4 y+4
√4 y+4
f ( x , y )dxdy+∫0
8
∫−√4 y+4
2− y
f ( x , y )dxdy
a. Construir la región de integración.
La región sobre la cual está definida la primera integral es:
D1= {( x , y )∈ R2/−√4 y+4≤x ≤√4 y+4 ,−1≤ y≤0}
Sus fronteras son: {x=−√4 y+4x=√4 y+4
, x2=4 ( y+1 ) , {y=−1y=0
La región sobre la cual está definida la segunda integral es:
D2= {( x , y )∈ R2/−√4 y+4≤ x≤2− y ,0≤ y ≤8}
Las fronteras son: {x=−√4 y+4←parabolax=2− y←recta
,{y=0y=8
La construcción de la región de integración es:
b. Expresar la suma de integrales con una sola integral.Al unir las regiones D2∪D 1=D,la suma de integrales como una sola integral es:
∬ f ( x , y )dA=∫−6
2
∫1x2
4 −1
2−x
f ( x , y )dydx
Y=1x2/4 - 1
D 2
6
-1
D 12
8
Y=2-x
c. Calcular el valor de la integral hallada en “b” para la función:
f ( x , y )=e36 x−6x2− x3
Entonces se pide calcular. ∫−6
2
∫1x2
4 −1
2− x
e36 x−6x2−x3dydx
¿∫−6
2
(3−x−1 x24 )e36 x−6 x2−x3dxhaciendo u=36 x−6 x2−x3 , Se obtiene:
¿ 112 ∫
−216
40
eudu
¿ 112
(e40−e−216 )
Ejemplo:
Hallar el volumen del solido que está limitado por las superficies:
z=1−x2 , y=z , x=0 , z=0 , y=5
Solución:
Se pide hallar el volumen de un sólido S, mediante la fórmula:
V (S )=∬ (TECHO−PISO )dA . Si D es la proyección del solido S sobre el plano XY. Entonces el
TECHO y el PISO son funciones de la forma: z=f (x , y ) y z=g ( x , y ) .
Paso 01.
Graficar las superficies que limitan al solido S
a. z=1−x2 (esuncilindro parabolico )b. y=z(es un plano que pasa por el origen y es perpendicular al planoYZ )c. x=0 ( planoYZ )d. Z=0 ( planoXY )e. y=5 ( plano paraleloal plano XZ )
Z=1-X2
Z
Paso 02.
Recomendaciones para hallar el volumen de un sólido que se proyecta sobre el plano XY:
1. Identificar la ecuación o ecuación del techo. En este caso, hay dos techos:
y=z y z=1−x2 2. Identificar el “piso”, en este caso el piso para ambos techos es z=0 ( plano XY ) .3. Identificar la región a D, que es la proyección del solido sobre el plano XY. En este caso la región D es
la unión de dos subregiones: D=D 1∪D2 , donde:
D1= {( x , y )∈ R2/0≤ y ≤1−x2 ,0≤ x≤1 }
D2= {( x , y )∈ R2/1−x2≤ y ≤5 ,0≤x ≤1 }
4. Graficar la función D1∪D 2 ( proyecciondel solido sobre el plano XY )En z=1−x2 , si z= y ,se obtiene la parábola y=1−x2 ( parabola enel plano XY ) .
Paso 03.
El volumen del solido S es:
V (S )=∬ (TECHO−PISO )dA+∬ (TECHO−PISO )dA
¿∫0
1
∫0
1−x2
[ y−0 ]dydx+∫0
1
∫1−x2
5
[ (1−x2 )−0 ]dydx
D1 D2Y=1-x2
Y=5D1
D2
¿ 154
+ 145
¿ 4615
INTEGRALES DOBLES EN POLARES
Teorema.
Sea T :Een R2→Den R2 una transformación de clase C1, (r , θ )→ (x (r ,θ ) , y (r ,θ ) )
Definida por {x=rcosθy=rsenθcon 0≤r<+∞
α≤θ≤α+2π
Con JACOBIANO J (r ,θ )= δ ( x , y )δ (r ,θ )
=|δxδr δxδθ
δyδr
δyδθ
|=|cosθ −rsenθsenθ rcosθ |=r
Si f :Den R2→R es una función integrable en D, entonces la función f 0T :EenR2→R es integrable sobre el conjunto E y
∬ f ( x , y )dA=∬ f (x (r , θ ) , y (r ,θ ) )rdrdθ
Ejemplo:
Calcular ∬ (x2+ y2)ndA , donde D en el disco circular x2+ y2≤4 ,n>0
Solución:
Paso 01.Graficar la región D.
D E
D
x2+ y2=4
θ
D
Paso 02.Cuando la región D es circular y cunado la función integrando f ( x , y )=(x2+ y2 )n tiene la suma de
términos x2+ y2 , se aplica las coordenadas polares.
Siga el siguiente orden:
10 escribir la trasformación polar.
{x=rcosθy=rsenθ
20 escribir el Jacobiano J=r .
30 convertir las fronteras de la región D en ecuación polar la frontera polar x2+ y2=4 se convierte
en:
r2=4
r=2
40 escribir la nueva región polar E:
E={(r , θ ) /0≤θ≤2 ,0≤θ≤2π }
Paso 03.Hacer el cálculo de la integral doble en coordenadas polares:∬ (x2+ y2)ndA=∬ (r2 )n r dr dθ D E
¿∫0
2π
∫0
2
r2n+1dr dθ
¿∫0
2π [ r2n+22n+2 ]|r=2r=0dθ
¿ 12 (n+1 )
22 (n+1 )∫0
2π
dθ
¿ 1n+1
22 (n+1) π
Ejemplo:
Calcular ∬ 1xdA, donde D es la región del primer cuadrante que está dentro de la circunferencia
x2+ y2=3 x Y fuera de la cardiode r=1+cosθ .
Paso 01.Graficar la región D.
a. La circunferencia:x2+ y2=3 x Completando cuadrados,
(x−32 )2+ y2= 94b. La cardiode r=1+cosθ como es simétrico respecto al eje polar, basta tabular con:
θ=0 , π6, π4, π3, 3π4, π
D
Paso 02.Para integrar en coordenadas polares, necesitamos:
10 escribir la trasformación polar.
{x=rcosθy=rsenθ
20 escribir el Jacobiano J=r .
30 las fronteras de la región D expresadas en coordenadas polares.
a. x2+ y2=3 x en coordenadas polares es:
r2=3rcos θ
r=3cosθ
40 necesitamos la intersección de las curvas:
{ r=3 cosθr=1+cosθ , para ello resolver:
3cosθ=1+cosθ
cosθ=12
θ=π3y θ=−π
3
50 la nueva región sobre la cual se integra es:
E={(r ,θ ) /1+cosθ ≤r ≤3 cosθ ,0≤θ≤ π3 }
Paso 03.La integral en coordenadas polares es:∬ 1
xdA=∫
0
π3
∫1+cosθ
3cosθ1
rcosθr dr dθ
¿∫0
π3
∫1+cosθ
3cosθ1
cosθdr dθ
¿∫0
π3
[ 1cosθ
(3cosθ−1−cosθ )]dθ
¿∫0
π3
[2−secθ ]dθ
¿ [2θ− ln|secθ+tgθ|]|θ= π3
θ=0
¿ 2π3
−ln (2+√3 )
ÁREA MEDIANTE INTEGRAL DOBLE EN POLARES
Si Den R2 es una región cerrada en el plano XY y si mediante una transformación por la región D se convierte (se deforma) en la región.
E={(r , θ )/r1 (θ )≤ r ≤ r1 (θ ) , θ1≤θ≤θ2 }
Entonces el are de la región D en coordenadas polares es: A (D )=∫θ1
θ2
∫r1
r2
r dr dθ .
Ejemplo:
D
Hallar el área de la región exterior al círculo con ecuación x2+ y2=12 x , e interior al circulo de la
ecuaciónx2+ y2=8 x, limitada por las rectas y=x , y+√3 x=0Paso 01.Graficar las fronteras de la ecuación D.
a. La circunferencia x2+ y2=8 x completo cuadrados ( x−4 )2+ y2=16Centro: (4,0 ) ,radio a=4.
b. La circunferencia x2+ y2=12 x completo cuadrados ( x−6 )2+ y2=36Centro: (6,0 ) , radio a=6.
c. Las rectas y=x , y+√3 x=0
Paso 02.Para hallar el área en coordenadas polares se necesita:
θ=00
y=√3 x
r=12cosθ
r=8cosθ
y=xθ=π2
8 12
10 la transformación polar: {x=rcosθy=rsenθ
20 el jacobiano J=r
30 las fronteras de la región D expresadas en coordenadas polares:
a. x2+ y2=8 x se convierte en:
r2=8 rcosθ
r=8cosθ
b. x2+ y2=12x
r2=12 rcosθ
r=12cosθ
c. y=x→ yx=1→tgθ=1→θ=π
4
d. y=−√3 x→ yx=−√3→tgθ=−√3→θ=−π
3
e. El radio vector O⃗A al girar, en sentido anti horario, desde la recta
y=−√3 x (θ=−π3 ) Hasta la recta
y=x (θ=π4 ) Barre toda la región D.
Así tenemos la nueva región:
E={(r ,θ ) /8 cosθ≤r ≤12cosθ ,− π3≤θ≤ π
4 }
Paso 03.El área de la región D, en coordenadas polares, es:
A (D )=∫−π3
π4
∫8COSθ
12COSθ
r dr dθ
¿∫−π3
π4
[ r22 ]|r=12cosθr=8 cosθ
¿40∫−π3
π4
cos2θdθ
¿40 [θ2 + sen2θ4 ]| θ= π
4
θ=−π3
¿ 53
[7 π+6+3√3 ]u2
¿51.31u2
COORDENADAS POLARES MODIFICADAS
Si en una integral doble se presentan los términos de la forma x2
a2+ y
2
b2,entonces se aplica la
TRANSFORMACION POLAR modificada T :{x=arcosθy=brsenθ
x2
a2+ y
2
b2=r2
El Jacobiano J=abr
Ejemplo:
Hallar el área en el primer cuadrante de la región limitada por las elipses:
x2
4+ y
2
9=1 , x
2
16+ y2
36=1 y por las rectas L1: y=
√32x , L2: y=
3√32
x
Paso 01.Graficar la región D.
Se pide hallar A (D )=∬dA como no es nada fácil calcular esta integral doble en coordenadas
cartesianas, debemos transformar a coordenadas polares modificadas.
Paso 02.El procedimiento a seguir es:
10 Escribir las coordenadas polares modificadas: T :{ x=2 rcosθy=3 rs enθ→ yx=32tgθ
20 el jacobiano J=6 r
30 las fronteras de la región D expresadas en coordenadas polares:
y
x
θ=π3 y=3√3
2x
θ=π6
2 4
3
6
y=√32x
D
La elipse x2
4+ y
2
9=1 se convierte en:
4 r 2cos2θ4
+ 9 r2 sen2θ9
=1
r2=1
r=1
La elipse x2
4+ y
2
9=1 se convierte en:
4 r 2cos2θ16
+ 9 r2 sen2θ16
=1
r2=4
r=2
La recta L1:
yx=√32→ 32tgθ=√3
2→θ=π
6
La recta L2:
yx=3√32→ 32tgθ=3√3
2→θ=π
3
Paso 03.La nueva región sobre la cual se halla la integral doble es:
E={(r , θ ) /1≤ r≤2 , π6≤θ≤ π
3 }El área de la región es:
A (D )=∫π6
π3
∫1
2
r dr dθ
¿∫π6
π3
[ r22 ]|r=2r=1
¿∫π6
π3
(2−12 )dθ
¿ 32
[θ ]|θ= π3
θ= π6
¿ 32 [ π3−π
6 ]u2 ¿ π4u2