analisis de sistemas dinamicos[1]

ANALISIS DE SISTEMAS DINMICOS & DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL

EN TIEMPO CONTINUO POR TCNICAS DE CONTROL CLSICAS Y MODERNAS.

JOSUE FERNANDO RONCANCIO BERNAL

2012

[1]

ANLISIS DE SISTEMAS DINAMICOS

Ingeniero:

JOSUE FERNANDO RONCANCIO BERNAL.

[2]

OBJETIVO:

Analizar por teora clsica y moderna los sistemas dinmicos.

CAPITULO 1. GENERALIDADES

1. Introduccin.

2. Clasificacin de los sistemas.

3. Caractersticas de los sistemas dinmicos

4. Seales de entrada tpicas para los anlisis de los sistemas dinmicos.

5. Matriz de comportamiento o respuesta de los sistemas dinmicos

CAPITULO 2. MODELAMIENTO O MODELAJE DE SISTEMAS DINAMICOS

1. Introduccin

2. Tipos de modelos matemticos.

3. Modelamiento de sistemas mecnicos.

4. Modelamiento de sistemas electro-mecnicos.

5. Analogas electro-mecnicas.

6. Analogas electro-hidrulicas.

7. Analogas electro-Neumticos.

8. Algebra de diagramas de bloque.

9. Tcnica del Circuito equivalente.

CAPITULO 3. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAMICOS.

1. Introduccin

2. Tcnicas de anlisis de estabilidad.

4.1. Dominio del tiempo.

4.2. Dominio de la frecuencia.

3. Tcnicas de anlisis de exactitud.

4. Anlisis de respuesta Transitoria Dinmica.

4.1. Sistemas de primer orden.

4.2. Sistemas de segundo orden.

CAPITULO 4. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS EN EL ESPACIO ESTADO.

1. Introduccin

2. Definicin de las variables de estado.

3. Tcnicas obtencin de la representacin de estado.

4. Anlisis de:

[3]

i. Estabilidad.

ii. Controlabilidad.

iii. Observabilidad.

5. Solucin de la ecuacin de estado.

6. Ejemplos.

ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK.

BIBLIOGRAFIA

[4]

CAPITULO 1. GENERALIDADES

1.1. Introduccin. A continuacin algunas definiciones fundamentales para dar explicacin al tema.

Sistema: Se define como conjunto o interconexin de elementos o componentes que interactan para

cumplir una funcin establecida. Existen sistemas abstractos como los presentes en la economa, por ende

la definicin de sistema no se limita exclusivamente al sentido fsico. En este libro nicamente se har

referencia a los sistemas fsicos, los cuales se caracterizan por ser objetos tangibles.

Proceso: Secuencia de pasos, operaciones o actividades realizadas o ejecutadas para cumplir un objetivo

previamente determinado, se caracteriza por ser no tangible.

Control: Medir el valor de una variable, la cual llamaremos como variable controlada; la cual en la

mayora de los casos es la variable de salida al mismo tiempo que se corrige la variable manipulada

limitando la diferencia entre el valor deseado y el valor medido. Mediante las tcnicas de control se

garantiza el buen funcionamiento del sistema.

1.2. Clasificacin de los sistemas.

1.2.1 De acuerdo al modelo matemtico:

1.2.1.1. Sistema Lineal: La salida es proporcional a la entrada, de la misma forma cumple con las

propiedades de homogeneidad y superposicin.

Los sistemas lineales se clasifican en: L.I.T (Lineal invariante en el tiempo)

L.V.T (Lineal variante en el tiempo)

1.2.1.2. Sistema No lineal:

1.2.2. De acuerdo a la seal de entrada.

1. 2.2.1. Anlogos o Contnuos.

1. 2.2.2. Discretos o Digitales.

1.2.3. De acuerdo al nmero de entradas y salidas.

1. 2.3.1. Monovariables o SISO: nica entrada y nica salida.

1.2.3.2. Multivariables o MIMO: Mltiples entradas y mltiples salidas.

[5]

1.2.4. De acuerdo a su operacin.

1.2.4.1. Sistemas de Lazo Abierto. Son sistemas en los que la energa fluye en una o varias trayectorias sin

retorno a ningn punto anterior en el sistema. Es decir que carecen de retroalimentacin. Tambin se

puede definir como un sistema en el cual la salida no se mide ni se compara con la entrada.

1.2.4.2. Sistemas de Lazo Cerrado. Para estos sistemas se define una seal de error actuante, la cual

consiste en la diferencia entre la seal de entrada y una derivacin de la seal de salida con el objetivo de

reducir este error y llevar la salida del sistema a un valor deseado.

1.2.5. De acuerdo al Tipo de memoria

1.2.5.1. Con memoria.

1.2.5.2. Sin memoria.

1.2.6 De acuerdo a los parmetros:

1.2.6.1. Determinstico: Se conocen o se pueden determinar todas las variables. Por ende se puede

predecir su comportamiento con exactitud.

1.2.6.2. No Determinstico. Tambin conocido como estocstico, en el cual las variables tienen un

comportamiento aleatorio, y por ende se rigen por los principios de la probabilidad de tal manera que no

se puede predecir con certeza su comportamiento.

1.2.7. De acuerdo al tipo de operacin.

1.2.7.1. Sistema Manual: El operario interviene como mnimo en una de las acciones o actividades.

1.2.7.2. Sistema Automtico: El operador NO interviene en ninguna de las acciones o actividades.

1.2.8. De acuerdo a la variable de referencia.

1. 2.8.1. Sistema de Regulacin: Cuando la variable es constante en el tiempo.

1. 2.8.2. Sistema de Seguimiento: Cuando la variable cambia en forma continua con el tiempo.

1.3. CARACTERSITICAS DE LOS SISTEMAS:

1.3.1. Estabilidad: La capacidad o caracterstica que tiene un sistema para retornar a su estado de equilibrio, estado

estable, estado estacionario o rgimen permanente despus de que ha ocurrido un cambio en la respuesta del

sistema. Generalmente ocurre debido a una perturbacin producida en la entrada o la salida del sistema.

Para entradas acotadas, la salida es acotada.

1.3.2. Exactitud, Precisin o Error: El error en un sistema est determinado por la tolerancia permitida o el

porcentaje de error en la respuesta del sistema. Este depende de cada sistema y no de la variable a analizar.

[6]

1.3.3. Respuesta del Sistema:

La respuesta del sistema siempre se analiza en el dominio del tiempo. Para analizar la respuesta es necesario:

Que el sistema cumpla con la propiedad de linealidad, invariante en el tiempo.

Condiciones inciales iguales a 0.

Que la entrada sea un escaln o posicin unitaria.

La respuesta se puede analizar en el dominio del tiempo, de la frecuencia o del espacio de estado y se divide en:

-Respuesta estacionaria o estable

-Respuesta dinmica o transitoria.

Tiempo de Respuesta: Tiempo que tarda la respuesta Dinmica en llegar a su estado estable. Este corresponde a un

factor de mrito y es indicador del tiempo que tarda el sistema en estabilizarse o alcanzar su rgimen permanente y

su valor depende del porcentaje de error permitido a la respuesta del sistema.

Canal de Exactitud. Depende del error del sistema, por lo general es de 1%, 2%, 5%.

rT

[7]

1.4. TIPOS DE ENTRADA PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DINAMICOS.

En la figura se aprecia un tipo de representacin de sistemas, el cual corresponde a un diagrama de bloque, el cual

consiste en una caja negra con una entrada y una salida. Es una representacin externa del sistema que sirve en

primer lugar para ilustrar la direccin en la que la energa fluye.

El diagrama de bloque est definido por su funcin de transferencia F(s) que es la relacin entre la salida y la

entrada.

( ) ( )

( )

El flujo de energa es unidireccional.

1.4.1. Entrada Impulsiva Unitaria.

La aplicamos cuando el sistema est sometido a cambios bruscos pero NO constantes.

El impulso es la derivada de la entrada posicin.

1.4.2. Entrada posicin, Escaln Unitario u Orden Cero.

[8]

El escaln es la derivada de la entrada velocidad.

1.4.3. Entrada Velocidad, Rampa unitaria u Orden Uno

La entrada velocidad es la derivada de la entrada aceleracin.

1.4.4. Entrada Cuadrtica, Aceleracin u Orden Dos

Diagrama de Polos (P) y Ceros (Z)

1.5. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINMICOS.

Un sistema con funcin de transferencia F(s), donde:

( ) ( )

( )

El diagrama de polos y ceros de la Funcin de Transferencia de un sistema es una representacin grfica en el

plano complejo s donde los ceros se destacan con un smbolo o y los polos con un smbolo x. La importancia de

este diagrama radica en que este permite predecir el comportamiento del sistema.

[9]

CEROS: z es un cero de un sistema si F(z) 0 Los ceros se determinan hallando las races del numerador

A(s)=0 , es decir, igualndolo a 0. Sirven para hallar la respuesta dinmica. Determinan la velocidad del sistema;

entre ms ceros tenga el sistema, ms lenta es su respuesta.

POLOS: p es un polo de un sistema si F(p) Las races del denominador B(s)=0 son los polos del sistema.

Determinan la estabilidad, exactitud y forma de respuesta del sistema.

Ejemplo:

Ceros: S= -2

Polos: S1= -4 ; S2= -1

Existe una representacin alternativa, la cual se conoce como Representacin de Estado o Representacin Moderna

la cual comenz su estudio en 1960, esta es una representacin de tipo vectorial- matricial y su importancia radica

en que es una representacin interna de los sistemas.

Son vlidas para cualquier tipo de sistemas permitiendo incluir condiciones iniciales no nulas.

[10]

CAPITULO 2. MODELAMIENTO O MODELAJE DE

SISTEMAS DINAMICOS

2.1. Modelacin de los sistemas dinmicos.

Para analizar cualquier sistema es necesario un modelo matemtico. Se define como Modelo Matemtico la

representacin matemtica que describe el comportamiento de un sistema dinmico o esttico.

La representacin matemtica se obtiene a partir de las siguientes suposiciones:

Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo (LIT).

No almacenamiento de Energa (Condiciones Iniciales Nulas).

F(t)= u(t) (Entrada posicin u orden cero)

La representacin matemtica se obtiene a partir de las leyes que rigen el comportamiento del sistema.

2.1. Tipos de Modelo:

2.1.1. Conjunto de Ecuaciones Diferenciales

2.1.2. Funciones de Transferencia.

2.1.3. Representacin de Estado

2.1.1. Conjunto de Ecuaciones Diferenciales:

En ingeniera se presentan infinidad de casos de sistemas en los que se hace necesario establecer modelos

matemticos mediante el uso de ecuaciones diferenciales, las que generalmente involucran las derivadas e

integrales de las variables dependientes con respecto a la variable independiente. Encontramos un ejemplo muy

claro en el circuito RLC (Resistencia, Inductancia y Capacitancia) en serie cuya ecuacin diferencial es:

( ) ( )

( ) ( )

No sobra recordar que esta ecuacin corresponde a una ecuacin diferencial de segundo orden y por ende nos

referimos a este como un Sistema de Segundo Orden donde R es la resistencia, L la inductancia y C la capacidad.

i(t) y e(t) corresponden por su parte a la corriente de malla y al voltaje aplicado respectivamente y corresponde a su

vez a la seal forzante o variable independiente. Por su parte la corriente es la seal dependiente cuyos valores son

desconocidos y para su determinacin es necesario resolver la ecuacin diferencial.

[11]

Por lo general, la ecuacin diferencial de un sistema de orden n se escribe como:

( )

( )

( )

( ) ( )

2.1.2. Funciones de Transferencia.

La funcin de transferencia es una forma muy clsica de hacer modelado de sistemas lineales y es una

representacin de la relacin entrada vs salida entre variables. La funcin de transferencia se puede definir de

muchas maneras, sin embargo la ms importante se da cuando el sistema es alimentado con una seal de tipo

impulsiva o entrada de posicin y a la respuesta del sistema se le conoce como respuesta al impulso.

La funcin de transferencia se determina como la relacin entre las transformadas de Laplace de la variable de

salida y de entrada del sistema tomando todas las condiciones iniciales como iguales a cero. Por tratarse de una

representacin externa del sistema por lo tanto no contiene ninguna informacin conexa con la estructura interna

del sistema y a su comportamiento.

Es una expresin racional que se obtiene por medio de la transformada de Laplace:

Caractersticas de la funcin de Transferencia:

No dice como estn interconectados los elementos del sistema.

Es una representacin externa del sistema.

Para que el sistema sea fsicamente realizable, el orden del denominador debe ser mayor que el

numerador.

La funcin de transferencia para un sistema cuya funcin de entrada u(t) y salida y(t) est definida por:

( ) ( )

( )

En este punto es importante destacar que el orden del denominador n debe ser mayor o igual al orden del

numerador m para que el sistema sea fsicamente realizable.

En todo polinomio se puede obtener n races, que se conocen como los ceros del sistema, estos afectan al sistema

a travs de la velocidad y en ningn momento interfiere con la exactitud ni con la respuesta del sistema como ser

analizado ms adelante.

tBtN

tR

ty

tr

tySF

CI

0

[12]

B(S) o Denominador de funcin de transferencia del sistema, se conoce como polinomio caracterstico. Este nos

ayuda a determinar la estabilidad, exactitud y respuesta.

Permite analizar problemas en el dominio del tiempo y la frecuencia.

2.1.3. Representacin en Variables de Estado:

Es una representacin interna de los sistemas por tanto es ms fcil controlarlo, la representacin de estado es

vlida para cualquier tipo de sistema, se basa en una representacin estado vectorial-matricial en el dominio del

tiempo, entrega ecuaciones diferenciales de primer orden, permite condiciones inciales diferentes de 0 y se ha

dado su popularidad porque permite el uso de herramientas computacionales.

2.2. Modelamiento de sistemas electromecnicos.

Para modelar un sistema se requiere la siguiente secuencia de pasos:

1. Identificar el tipo de sistema corresponde.

2. Identificar las Leyes que rigen el comportamiento de cada sistema.

3. Identificar los elementos activos y los elementos pasivos :

Elementos Activos: Suministran energa al sistema (Fuerza, Torque, desplazamiento).

Elementos Pasivos: Convierten, disipan o almacenan energa. (Entre los pasivos tenemos masa, friccin,

elasticidad).

Un sistema mecnico puede presentar dos tipos de movimiento translacional o rotacional.

Elemento Pasivo Translacional Rotacional

Masa [m] [J]

Friccin [C] [B]

Elasticidad [K] [G]

[13]

OBTENCION DEL DIAGRAMA ESQUEMATICO DEL SISTEMA A MODELAR.

Ejemplo:

Se tiene la figura 2.1 y 2.1b. Aunque su posicin es distinta la forma de modelarlas es igual.

Figura 2.1a Figura 2.1b

Procedimiento para Modelar un Sistema:

2.2.1. Obtencin Diagrama de fuerzas.

A partir del diagrama fsico real del sistema a analizar se obtiene un diagrama mecnico que lo representa y

finalmente un diagrama de fuerzas: Esta es una metodologa diferente a la clsica en la cual se definen las fuerzas

segn su orientacin respecto al eje de referencia. En este caso se eligen las fuerzas en el sentido anlogo a las

corrientes en circuitos elctricos, en el sentido de que la fuerza fluye del punto de mayor potencial al de menor

potencial como ocurre con las corrientes elctricas.

En primer lugar se debe elegir si las fuerzas que actan sobre la masa son positivas entrando a la masa o saliendo

de la misma.

En el ejemplo de la figura de arriba, se toman las fuerzas que entran a la masa como positivas. Las ecuaciones as

planteadas son:

[14]

( )

Tierra corresponde al nodo cero, por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

La fuerza de entrada tambin se toma como entrando desde el nodo cero por eso el trmino (0-1) que la acompaa.

En las dems fuerzas el 1 va en el subndice.

Figura 2.1.c) Diagrama de Fuerzas para el esquema vertical.

Figura 2.1.d) Diagrama de Fuerzas para el esquema Horizontal.

2.2.2. Obtencin funcin de Transferencia.

Se definen los grados de libertad y las respectivas ecuaciones (el nmero de ecuaciones es igual a la

cantidad de grados de libertad).

2.2.3. Por ltimo se representa nuestra ecuacin que representa el sistema en un Diagrama de Bloque. Tal como lo

muestra la Figura 2.1.e

sFsykcsms 2

m

k

m

css

m

m

k

m

cs

m

ms

m

sF

sy

2

2

11

[15]

DIAGRAMA DE BLOQUE:

Es una representacin grfica de una funcin de transferencia, siendo una funcin de transferencia una

representacin matemtica del sistema consistente en una funcin racional de dos polinomios. La funcin de

transferencia relaciona nicamente las transformadas de Laplace de la salida con las de la entrada con condiciones

iniciales iguales a cero.

1. Permite obtener la funcin de transferencia global a travs de manipulaciones grficas, sin necesidad de

manipulaciones matemticas.

2. Permite simular el sistema con software (Uno de estos software es Simulink; una aplicacin de Matlab.)

Elementos de un Diagrama de Bloque:

Ramas (Representa la variables)

Bloque Representa la funcin de Transferencia.

Bifurcacin: Existe cuando una entrada y una salida van conectada a diferente bloque.

[16]

Punto Suma: es la suma algebraica de varias entradas y nica salida.

2.3. ELEMENTOS DE TRANSFORMACIN DE ENERGA:

2.3.1. Palanca

Transforma el sentido de la fuerza.

Consideraciones para el anlisis de la palanca:

No tiene masa; es decir que se considera como un elemento ideal.

Funciona como un amplificador mecnico de posicin y velocidad.

[17]

2.3.2. Tren De Engranajes:

Transforma el sentido del torque, velocidad y posicin.

Consideraciones para el anlisis del Tren de engranajes:

Elemento lineal.

N= Relacin de engranajes.

La velocidad tangencial en el punto de contacto es la misma para los dos engranes.

[18]

2.3.3. TRANSFORMADOR

2.3.4. Motor De Corriente Continua

El motor de corriente continua es una mquina que convierte la energa elctrica en mecnica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. La principal caracterstica del motor de corriente continua es la posibilidad de regular la velocidad desde vaco a plena carga.

[19]

Para modelar los motores de corriente continua existen 2 mtodos:

Motor controlado por Armadura.

Motor Controlado por Campo.

2.3.5. Modelo Circuito De Armadura:

(1); Donde = fem (Fuerza electro motriz)

[20]

(2); Donde Se denomina constante de velocidad.

2.3.6. Modelo Circuito De Campo:

; Genera el movimiento en el flujo en los 2 devanados.

2.3.7. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Armadura

; No interviene la ecuacin (3).

1. 2. ; donde eb se denomina Fuerza Contra electro-Motriz.

3.

Dominio de S

1.

2.

3. ; Donde Se denomina constante de Torque.

[21]

2.3.8. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Campo

El modelamiento de un Servomotor se desarrolla de la misma manera que para un motor D.C.

2.3.9. Motor De Movimiento Lineal ( Solenoide).

Permite obtnener un solo movimiento (como su nombre lo inidca en este caso lineal), presenta un solo

devanado que al aplicarle una exitacion genera un campo y un movimiento lineal. Presenta un momento de

inercia , una resistencia y entrega una velocidad lineal.

[22]

Transformacion del Circuito.

De la ecuacion (2), tenemos: , por tanto las funciones de transferencia son:

Y su Diagrama de bloque queda por tanto:

[23]

2.3.10.Generador o Dinamo:

Este disposiotivo se utliza como sensor de velocidad y es un Motor de Corriente continua donde el devanado

de campo se reemplaza por un iman permanentre, con resistencia e inductancia de armadura despreciable. Se

utiliza como:

Tensor de velocidad angilar.

Convertidor de Energia mecanica en energia electrica.

2.3.11. DISPOSITIVOS ELCTRICOS Y ELECTRNICOS:

Amplificador Diferencial:

Caracteristicas del Amplificador Diferencial:

1.) 2 entradas y unica salida, la salida es igual a la algebraica de las entradas, tiene una entrada poitiva y una

negativa y una salida afectada por una ganancia.

Funciona como un comparador , en control se utiliza comno detector de error, las ganacias son unitarias y la

salida es la diferencia del error.

[24]

2.) Como Inversor

Donde K se considera la Ganancia.

3.) Como sumador

4.) Como Integrador: La salida es la integral de entrada.

5.) Como Derivativo.

[25]

2.3.12.Potenciometro:

Se utilia como sensor o detector de alguna variable. Existen potenciometros:

Lineales

Angulares

COMO SENSOR DE POSICION

[26]

2.4. MODELAMIENTO DE SISTEMAS ELE TROMECNICOS, HIDRAULICOS Y NEUMTICOS

1)Circuito Electrico solenoide.

SISTEMA MECANICO:

RELACION DE VELOCIDADES:

[27]

En la Valvula entra un desplazamiento; pero sale una fuerza

Diagrama de Bloque Para Todo el Sistema.

2.5.ANALOGIAS ELECTRO-MECANICAS.

Las analogias nos permiten analizar y disear sistemas sin necesidad de implementar circuitos reales y nos permite

obtener el modelo matematico de sistemas a partir de modelos de circuitos analogos electronicos.

Se demuestra que 2 sistemas son analogos porque los modelos matematicos son identicos(mismo orden, mismo

nmero de trminos, etc.)

Para los sistemas electricos y mecnicos hay dos tipos de analogias:

-Analogia Directa. (Torque / corriente)

-Analogia Dual. (Torque / velocidad)

ANALOGA DIRECTA

Ejemplo: Demostrar que los sistemas son equivalentes:

sXsF

Entrada

Salida

O

P2)(: 32 SGSCMFuerzas ValvulaVS

dF

F

dSY

SXPalanca

P

P

S

o 11

)(

)(:

2

1

[28]

Para m2

Para m1

Para Elemento 2 tenemos:

Para Elemento 1 se tenemos:

Circuito Electrico:

[29]

Para Nodo 1 tenemos:

Para Nodo 2 tenemos:

Ordenando y remplazando:

Para 2 tenemos:

Comparando 1 con 3 y 2 con 4 tenemos en resumen la tabla de analogia directa.

1/R1

1/R2

1/L1

De manera general se puede obtener la siguiente tabla que relaciona las diferentes analogias electo-mecanicas.

ANALOGA DUAL

[30]

F (T)

V (w) I

Del circuito 1:

Nodo 1

Nodo 2:

Realizando la transformacin:

(1)

Y

(2)

[31]

Del circuito 2:

Malla 1:

(3)

Malla 2:

(4)

Comparando (1) con (3) y (2) con (4) y teniendo en cuenta el analisis de analoga directa se obtiene la siguiente

tabla:

2.6. ANALOGIAS ELCTRO-HIDRAULICAS:

Los sistemas hidraulicos incluyen fluidos en un sistema cerrado o abierto y se pueden parametrizar con

Inductancia, resistencia y capacitancias.

Resistencia: Oposicion a un flujo y se defuine como la dieferencia de potencial.

[32]

Capacitancia: Todo elelemento en capacidad de almancear energia y se define como la cantidad de energia

alamacenada con respecto a la variacion de potencial.

Inertancia: Se define como la oposicion al cambio de flujo y no se presenta hasta que no haya contacto entre los

elementos

[33]

Parametrizacion del Sistema:

=

[34]

Ejemplo:

1)

Tabla de Equivalencia Electro-Hidrauilica.

Sistema Hidraulico

Sistema Electrico

Caudal Q

Corriente I

Nivel H

Voltaje E

Resistencia Rh

Resistencia R

Capacidad Ch

Capacitancia C

[35]

2.7.ANALOGIAS ELECTRO-NEUMTICAS

Los sistemas neumaticos involucran un flujo de aire o gas en un recipiente cerrado.

Haciendo la transformacion del Circuito a Impedancias.

Ecuaciones:

Nodo

[36]

Nodo

Su diagrama de bloque queda

Tabla de equivalencia entre Circuito Hidraulico y Neumatico.

H P

Q Q

Rh Rp Ch CP Lh Lp

2.8.TECNICA DEL CIRCUITO EQUIVALENTE:

Nos permite obtener el circuito analogo directo de un sistema mecnico.

Pasos:

1. Obtener un diagrama mecanico esquematico equivalente. DME

2. Definir las masas como nodos.

3. Obtener el circuito mecanico equivalente (por definicion las masas van al nodo de refrencia y ubicar los

elementos o bordes entre nodos. DMG

4. Obtener el circuito analogo elctrico directo. (Dibujar la misma topologia del diagrama mecanico

equivalente y reemplazar:

a. Fuentes de corriente Torque .

b. Fuerzas de voltaje fuentes de velocidad lineal o angular.

c. Masas o momentos de Inercia Condensadores o capacidades.

d. Elementos de elasticidad Inductancias.

e. Elementos de ficcion o amortiguadores Resistencias.

[37]

5. Obtencion del modelo del circuito electrico y utilizando las tablas se pasa al modelo mecanico

equivalente.

Ejemplo:

Notese que hemos facilitado el diargrama haciendo uso de las Impedancias Z(s).

Las funciones de Transferencia para los respectivos nodos quedan:

[38]

2.9.ALGEBRA DE DIAGRAMAS DE BLOQUE

El algebra de diagrama de bloques nos permite obtener funciones de transferncia sin manipulaicones matematicas

Si no a partir de funciones graficas.

Las manipulaciones o transformaciones se realizan de acuerdo a la simplicidad:

1. Descomposicion, Intercambio o Fusion de Punto Suma.

Una transformacion es valida si la expresion de la salida no cambia.

El cambio realizado en la grfica es la descomposicion del punto suma, el proceso inverso se llama fusin del

punto suma.

2.Reduccion de Bloques en serie o Cascada.

3.Reduccion o Simplificacion de Bloques en Paralelo.

[39]

4. Adelanto o desplazamiento a la derecha de un Punto suma.

5.Retreaso o desplazamiento hacia la Izquierda de un Punto Suma

6.Adelanto o desplazamiento a la derecha de una Bifurcacin.

[40]

7.Atraso o Desplzamiento a la izquierda de una Bifurcacin.

8.Reduccion de bloques realimentados.

Ejemplo: Mediante Diagrama de bloques reducir el siguiente diagrama.

[41]

1 Reduccion de bloques en Casacda.

2 Adelantamiento de Bifurcacion.

3 Adelantamiento de Punto Suma.

)()()( 31 sGsBsy

[42]

4 Reduccion de Bloques Retroalimentados.

NOTA: No es posible intercambiar una bifurcacin con un punto suma.

2.10.DIAGRAMAS DE FLUJO O REOGRAMAS:

Los diagramas de flujo o reogramas nos permiuet obetneer funciones de Transferencia mediante la aplicacin de

una foprmula conocida como Formula de Mason. No hay ni manipulaciones ni operaciones algebracias.

Elementos de los diagramas de Flujo:

2.10.1.Rama: Una rama nos representa la Transmitancia o funcion de Transferencia y se representa por

2.10.2.NODO:

Representa la convergencia de varias ramas y tiene como caractersitica uan sola salida.

La salida es igual a la suma de las entradas (En un diagrama de bloque es equivalente a un punto suma).

[43]

2.10.3.TRAYECTORIA:

Es un camino abierto entre una entrada y una salida y NO toca un nodo mas de una vez.

La Transmitancia o funcion de Transferencia es igual al producto de las transmitancias de las ramas individuales

que forman la trayectoria.

m= N de Trayectorias entre una entrada y uan salida.

Ciclo: Un ciclo es una Trayectoria cerrada que No toca un nodo mas de una vez, su transmitacna es igual al

producto de las transmitacioasn que lo conforman.

L(S)= Ganancia o Transmitancia de cada ciclo.

n= N de ciclos.

2.10.4.FORMULA DE MASON:

Donde

Pasos para Obtener la Funcion de Transferencia.

1. Obtener el N de ciclos y la transmitancia de cada ciclo.

2. Obtener el determinante o polinomio caracterisitico , de la siguiente manera:

[44]

Cofactor, cada trayectoria tiene un cofactor y se obtiene eliminando el determinante de la ganacia

de los ciclos que tocan la Trayectoria.

Las Trayectorias de Color, en este caso indican los ciclos del diagrama.

El diagrama de Flujo para el ejemplo anterior queda:

Trayectorias: Para el anterior diagrama de flujo las trayectorias quedan:

f

f

f

L

Rs

L

1

1

1

G

H

[45]

Ciclos:

Formula de Mason:

Coefactores:

[46]

CAPITULO III. COMPORTAMIENTO DE LOS

SISTEMAS DINAMICOS.

Haciendo un recuento de los trminos vistos en la introduccin, el estudio del comportamiento de los sistemas

dinmicos se refiere a los estudios de la estabilidad, exactitud precisin o error y la respuesta del sistema. En

primer lugar la estabilidad se defini como la capacidad propia de un sistema para alcanzar el estado de equilibrio

o tambin llamado estado estable o rgimen permanente una vez que ha ocurrido un cambio en el sistema.

Generalmente ocurre cuando ha habido una perturbacin en el sistema.

En este captulo tambin se hace un estudio de la exactitud, precisin o error, donde el error en un sistema est

determinado por la tolerancia que se permite en la respuesta del sistema y cuya caracterstica es la discrepancia

entre la seal de entrada y la respuesta del sistema en estado estacionario.

Finalmente se hace el anlisis de la respuesta del sistema en el dominio del tiempo.

3.1. TCNICAS DE ANLISIS DE ESTABILIDAD.

Estabilidad es la capacidad que tienen los sistemas para retornar a su estado de equilibrio despus de haber

ocurrido un cambio.

Existen varios mtodos para realizar el anlisis:

1. Calculando races del polinomio o ecuacin caracterstica.

Races o polos del sistema.

2. Aplicando el mtodo numrico de Routh Hurwitz (RH)

3. En el dominio de la fercuencia.

3.2.1. Metodo de las Raices:

Teniendo la funcin de transferencia

Se analiza el polinomio caracterstico (B(s)) que es el que proporciona le informacin de estabilidad del sistema.

Para hallar las races del sistema se iguala el polinomio caracterstico a 0.

[47]

ANALISIS DE ESTABILIDAD A PARTIR DE LA UBICACIN DE POLOS

Observando la siguiente grfica:

Es posible afirmar que si hay polos en el semiplano izquierdo, el sistema es globalmente estable.

Si hay polos en el eje imaginario, el sistema es marginalmente estable.

Si hay polos en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

Ejemplo:

3.2.2. METODO NUMERICO:

Existe software que lo realiza y se basa en el criterio de Routh-Hotwiz RH de los sistemas. Nos permite

analizar la estabilidad sin la necesidad de obtener los polos, sin o aplicando el criterio de las condiciones

necesarias y suficientes. El procedimiento es el siguiente:

Tomamos el polinomio caracterstico y lo igualamos a cero(Es importante igualar a 0; como si furamos hallar sus

races.)

3.2.2. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Este criterio consiste en un mtodo algebraico que provee informacin de la estabilidad absoluta de un sistema

lineal e invariante en el tiempo cuya ecuacin caracterstica tiene todos sus coeficientes de valor constante. Este

criterio sirve como prueba para establecer si cualquiera de las races de la ecuacin caracterstica se encuentra o no

en el semiplano derecho del diagrama de polos y ceros. El nmero de races que estn en el eje j y en el

semiplano derecho tambin se indican.

La secuencia de pasos a seguir es:

1) Verificar que las condiciones necesarias se cumplan:

1. Que existan todas las potencias de S

2. Que todos los signos del polinomio o ecuacin caracterstica sean iguales.

0...... 013

3

2

2

1

1

asasasasasaSBn

n

n

n

n

n

n

n

[48]

2) Verificar que las condiciones suficientes se cumplan:

1. Que no existan cambios de signo en el primero columna en el arreglo de Routh-Hotwiz ; si por algn

motivo hay cambio de signo el sistema se considera inestable.

2. El N de cambios de signo es igual al N de races o polos del sistema.

ARREGLO DE DE ROUTH-HOTWIZ:

El arreglo de Routh-Hurwitz:

Es un arreglo triangular.

Las filas se identifican en orden decreciente, a partir de las potencias de S.

Cada dos filas se reduce en un elemento.

Toda una fila se puede multiplicar por una constante con fin de simplificar las operaciones.

El clculo de los elementos del arreglo se basa en el clculo de determinantes 2 orden.

Si el polinomio es par, la primera fila tiene un elemento ms que la Segunda.

Si el polinomio es impar, la primera fila y la segunda fila tiene igual N de elementos.

1

0

1

1

n

n

n

a

a

a

a

a

sb 1

2

3

1

1

n

n

n

a

a

a

a

a

sb

1

4

5

1

2

n

n

n

a

a

a

a

a

sb 1

3

2

1

n

n

n

n

n

ma

a

a

a

a

sb

[49]

EJEMPLOS:

1. Considere la siguiente funcin de transferencia de segundo orden:

( )

Determine si este sistema es estable o no.

Desarrollo:

1) Condiciones Necesarias

Existan todas las potencias de S

Todos los signos del polinomio o ecuacin caracterstica sean iguales, recordemos que el

polinomio caracterstico es el denominador de la funcin, En este caso

3.2.3. CASOS ESPECIALES

1. Cuando existe un0 en la primera columna, en una fila; el cero se reemplaza por un N .

Seguimos calculando los dems coeficientes; en funcin de , evaluamos los coeficientes con (0+ y0-); si hay

cambio de signo el sistema nos indica que es Inestable y el N de cambios de signo, es igual al N de polos en el

SPI.

Ejemplo:


Existan todas las potencias de S.

Todos los signos del polinomio o ecuacin caracterstica son iguales.

Arreglo:

S4 1 2 3

S3 1 2 Hemos dividido por 2

6116 23 SSSsB

34252

5.1234

SSSS

SsF

[50]

S2 3

S1

S0 3

En este caso debemos evaluar (2) valores; cuando y cuando ; para determinar el N de cambios

de signo y as determinar la estabilidad del sistema.

Evaluando para

S4 1 2 3


S2 + 3

S1 -

S0 3

Tenemos: 2 cambios de signo, por tanto hay 2 races en el SPD y como el sistema era de orden 4(S4; tal como se

muestra en el polinomio caracterstico, podemos decir que hay 2 polos en el SPD).

Evaluando para

S4 1 2 3


S2 + 3

S1 -

S0 3

Tenemos: 2 cambios de signo.

2Caso. Cuando toda una fila tiene elementos nulos, el sistema NO es estable.

Procedimiento:

Formar un polinomio auxiliar; con la potencias de la fila que precede a la fila nula. Ejemplo: Si tomamos la de

S2; derivamos el polinomio auxiliar con respecto a este.

[51]

Luego reemplazamos la fila nula con los coeficientes de la derivada del polinomio y seguimos calculando los

coeficientes.

Nota: El polinomio auxiliar debe dividir exactamente al polinomio original.

S3 1 2 3


S1 0; Como podemos ver el sistema NO tiene cambio de signo, pero No podemos

S0 2 garantizar que el sistema sea estable; por tanto es marginalmente Estable.

Entonces tomamos la fila que precede a la fila nula; en este caso S2 1 2 y formamos un nuevo polinomio

auxiliar ; lo derivamos y tenemos: . Nuestra nueva fila para S1 es S1 2.

Obtenemos los polos del sistema, que en este caso sern:

3.3. SISTEMAS AJUSTABLES:

Son sistemas ajustables porque su comportamiento se puede ajustar con parmetros conocidos como ganancia.

1025

623

2

SSS

sSsF

[52]

Debemos analizar todos los posibles valores de K.

Obtencin del Polinomio Caracterstico:

El arreglo queda:

S3 1 21

S2 2 3K Hemos dividido por 5

S1 De esta condicin se tiene:

S0 3K De esta condicin se tiene:



Todos los signos del polinomio o ecuacin caracterstica son iguales. Siempre cuando

y ; de aqu se deduce que el rango es

Para seguir con el procedimiento se debe realizar un anlisis detallado.

Para tenemos en el arreglo que se realizo anteriormente:

S3 1 21

S2 2 3K Se ha dividido por 5

SSSS

SK

537

352

01573 2 KSSSsB

0152110 23 KSSS

[53]

S1

S0 +

Conclusin: 2 cambios de signo, entonces polos en el SPD.

Para tenemos en el arreglo que realizamos al principio:

S3 1 21

S2 2 3K hemos dividido por 5

S1

S0 3K

Conclusin: Sistema Marginalmente Estable.

Para tenemos en el arreglo:

S3 1 21

S2 2 0 hemos dividido por 5

S1

S0 0

Conclusin: Sistema Marginalmente Estable.

3.4. ANALSIS DE EXACITUD, PRECISION, EEROR EN ESTADO PERMANENTE U

ESTACIONARIO.

Esta caracterstica se determina a partir de :

essp error de posicin u orden cero.

essv error de velocidad u orden uno. essa error de aceleracin u orden dos.

METODOS PARA EL ANALISIS DE EXACTITUD.

3.4.1. Definicin de error.

1

n

n

s

ntt

[54]

3.4.2. Por formula de error.

3.4.3. Por Tipo de Sistema.

3.4.1. Definicin de error.

Con

Para aplicar este procedimiento debemos repasar el Teorema del valor inicial y Teorema valor final.

Teorema valor final:

Se puede conocer cualquier valor final de cualquier variable en 2 dominios.

Teorema valor inicial:

El error depender de la seal de entrada.

3.4.2. Por formula de error.

[55]

Ejemplo: Analizar el comportamiento en funcin de K

1_ Reducimos el Bloque Retroalimentado.

3.4.3. Por Tipo de Sistema:

Se realiza a partir de la ganancia de lazo directo y el tipo de sistema se determina a partir de los factores de S en

el denominador de la ganancia de lazo directo, es decir los polos en el origen de dicha ganancia.

[56]

ERROR DE POSICIN U ORDEN 0 ESSP

Sistema Tipo 0 m=0 essp

SISTEMA TIPO I m=1 essp =0 Nulo

[57]

SISTEMA TIPO II m=2 essp =0 Nulo

SISTEMA TIPO III m=3 essp =0 Nulo

Sistema Tipo

ERROR DE VELOCIDAD U ORDEN 1 ESSV

Sistema Tipo 0 m=0 essV= Infinito

Sistema Tipo I m=1 essV= finito

Donde , Constante Esttica de Velocidad

[58]

Sistema Tipo 2 m=2 essV = Nulo

ERROR DE ACELERACIN U ORDEN 2 ESSA

Sistema Tipo 0 m=0 essa= Infinito

Sistema Tipo I m=1 essa= Infinito

Sistema Tipo II m=2 essa= finito

Donde , Constante Esttica de Aceleracin.

Sistema Tipo III m=3 essa= Nulo

El tipo de error y el tipo de sistema se puede resumir en la siguiente Tabla.

[59]

3.5. ANALISIS DE RESPUESTA

Respuesta para Sistema de primer Orden:

1.) Teorema del valor Inicial.

2.) Aplicando desarroll de facciones parciales para la entrada dada y hallamos el

valor de la Transformada.

3.) Hallamos la respuesta temporal, graficamos la pendiente inicial, pendiente final.

3.5.1. RESPUESTA IMPULSIVA UNITARIA

Nos da la respuesta natural del Sistema.

Si el sistema es estable es decreciente en el tiempo.

Teorema de valor Inicial y Valor final para la entrada dada.

Teorema del Valor final

Teorema del Valor inicial

[60]

Verificacin:

Grafico:

3.5.2. RESPUESTA PARA ENTRADA POSICION, ESCALON u ORDEN CERO.

[61]

Respuesta Temporal:

[62]

3.4.3. ANALISIS DE RESPUESTA A ENTRADA VELOCIDAD, RAMPA u ORDEN UNO.

Respuesta Temporal:

[63]

3.5.4. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS INVARIABLES EN EL TIEMPO L I T

1. Conociendo la respuesta de una entrada escaln se puede determinar la respuesta a cualquier entrada o

analizando la relacin de la respuesta a la entrada pedida con la entrada escaln; es decir se puede

determinar la derivada y/o integral de la entrada, derivando y/o integrando a la entrada dada.

[64]

3.5.5. ANALISIS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

Donde . Este Nos determina el Tipo de

respuesta.

)

Respuesta Senoidal.

El sistema No tiene ningn tipo de amortiguamiento.

;

Plano S

Forma de la Respuesta.

[65]

SISTEMA SUBAMORTIGUADO

=0

Graficando su Respuesta:

1. Hallamos su valor inicial con ; La ventaja en el Dominio de S; es que

NO necesitamos hallar su transformada Inversa.

Parmetros a factores De Merito y Solo son para Sistemas Subamortiguado.

[66]

Factores de Merito Para la respuesta Dinmica o Transitoria.

Tiempo de Crecimiento = Es el tiempo que tarda la respuesta del Sistema en alanzar por primera vez su

valor final.

Tiempo Pico : Tiempo que tarda la repuesta del sistema en alcanzar su mximo sobre impuls, es decir

que tanto puede aumentar en caso de los resortes antes de que el sistema se destruya.

Mximo Sobre impuls : Es la mxima magnitud del sistema.

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO

[67]

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO :

[68]

Ahora hallamos valor Inicial y valor Final. Con

Transformada Inversa:

Para , . .

CRITERIO DE LOS POLOS DOMINANTES.

Si la magnitud de los polos ms cercanos al eje imaginario es mnimo 6 veces menor a la longitud de los polos

ms lejanos; decimos que los primeros son polos dominantes. Si esta condicin NO se cumple No existen polos

dominantes.

[69]

En caso de existir polos dominantes la respuesta del sistema se puede aproximar al comportamiento determinado

por los polos dominantes.

Ejemplo:

N(s)=S+2=0; Sz=-2 (Ceros del Sistema).

Ejemplo:

Analizar el comportamiento del sistema de lazo cerrado en funcin de K.

[70]



Todos los signos del polinomio o ecuacin caracterstica son iguales. Siempre cuando

y ; de aqu se deduce que el rango es

S3 1 30

S2 11 60K

S1 De esta condicin se tiene:

S0 60K De esta condicin se tiene: .

Rango Valido

Anlisis de Exactitud.

[71]

Anlisis de Respuesta:

Hallamos la Respuesta Tomando los Polos:

Para K=0.1 (recordemos que podemos tomar cualquier valor siempre cuando se encunetre en el rango

) tenemos el polinomio caracterstico:

Comportamiento Equivalente a Sistema 1er orden.

Este ltimo es polo Dominante ya que 6*0.22=1.32; que es menor de 4.21 y 6.57.

Funcin aproximada:

Para K=2.5

[72]

Comportamiento Equivalente a Sistema 2orden Subamortiguado

Calculando factores de Merito, debido a que es sistema Subamortiguado.

[73]

CAPITULO 4. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS

EN EL ESPACIO ESTADO.

4.1 INTRODUCCION

En el primer captulo se hizo una mencin de las variables de estado, esta es una tcnica moderna de anlisis, la

cual permite analizar cualquier tipo de sistema, sin importar si es lineal o no o si es anlogo o digital, si es

monovariante o multivariante al igual que si sus condiciones iniciales son diferentes de cero. Adquiri relevancia

con el desarrollo de los computadores, ya que es un mtodo que se facilita con la aplicacin del ordenador y

mtodos matriciales. Tambin podemos afirmar que esta es una representacin interna de los sistemas que permite

conocer el sistema detalladamente y por ende permite hacer un mejor control asi como un diseo optimo del

sistema de control.

4.2. DEFINICIONES:

VARIABLES DE ESTADO:

Se define como variable de estado el mnimo conjunto de variables necesarias para describir el comportamiento de

un sistema y se denota por la letra n que determina el nmero de variables de estado.

Donde el nmero de variables de estado es igual al orden del sistema; es decir el orden del Polinomio

caracterstico.

4.3 ECUACIN DE ESTADO:

La representacin de estado se basa en una representacin vectorial matricial cuya ventaja ms relevante es el

aprovechamiento de que todas las ecuaciones diferenciales que originan esta representacin son de primer orden y

tienen dos tipo de respuesta, que son la normal o estndar y la compacta o forma vectorial matricial. La forma

compacta o vectorial matricial es la que se emplea en este captulo.

Debemos partir de las siguientes premisas:

El nmero de ecuaciones de estado es igual al nmero de variables de estado.

La ecuacin de estado tiene 2 formas de representacin:

A continuacin veremos los dos tipos de representacin.

4.3.1 FORMA COMPACTA DE LA ECUACION DE ESTADO

[74]

( ) ( )

( ) ( )

X corresponde a un vector columna de n elementos y se le conoce como el vector de estado.

A Es una matriz cuadrada de nxn elementos y se conoce como la matriz del sistema y contiene los parmetros del

sistema.

U Corresponde a un vector columna de r elementos y se le conoce como el vector de entrada.

B Es una matriz de nxr elementos y se le conoce como la matriz de entrada.

En esta representacin r es el nmero de entradas del sistema.

ECUACION DE SALIDA

( ) ( ) ( )

Y corresponde a un vector columna de m elementos y se le conoce como el vector de salida.

C Es una matriz de mxn elementos y se conoce como la matriz de salida.

D Es una matriz de mxr elementos y se le conoce como la matriz de acople.

4.3.2 FORMA NORMAL O ESTANDAR DE LA ECUACION DE ESTADO

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[

]

[

]

[75]

( ) [

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[

]

[

]

NOTA: Cuando [ ] se dice que el sistema se encuentra desacoplado entre la entrada y la salida o lo que es

equivalente que el sistema es singular.

4.4 TECNICAS PARA OBTENER LA REPRESENTACION EN VARIABLES DE ESTADO

Las dos tcnicas principales para este fin son las que emplean el circuito elctrico, y las que parten de la funcin

de transferencia global del sistema.

En este texto utilizaremos la tcnica que toma como punto de partida la funcin de transferencia del sistema, ya

que esta es la forma ms sencilla. Los pasos para llegar a la representacin son los siguientes:

1. Expresar la funcin de transferencia en potencias Negativas.

( ) ( )

( )

En esta funcin de transferencia la condicin de realizabilidad es m>n; es decir que el grado del denominador es

mayor que el grado den numerador. Y se dese llevar esta funcin de transferencia a la forma

( ) ( )

( )

Para lograrlo se debe factorizar la mayor potencia de S y dividir por la mayor potencia negativa de S.

[76]

2. El coeficiente del trmino independiente en el denominador debe ser unitario.

Es decir que la funcin de transferencia debe ser expresada de la siguiente manera:

( ) ( )

( )

3. Se aplica Mason a la inversa donde n corresponde al nmero de ramas y m corresponde al nmero de

ciclos de . El numerador est compuesto por las trayectorias y se pueden obtener 2 diagramas de

simulacin a saber que son el directo y el dual.

4. Definir las variables de estado. nEn este paso a la salida de cada rama integradora; aquellas que tienen

una transconductancia de valor ; se define una variable de estado ,m esto quiere decir que el nmero

de variables de estado es igual a m y no importa el orden en que se tomen. Luego no existe unicidad en

las variables de estado, por conveniencia se definirn de la salida hacia la entrada.

5. Obtencin de la forma cannica. En la entrada de cada rama se obtiene una ecuacin de estado y para

cada salida se obtiene una ecuacin de salida.

4.2.2. ESPACIO ESTADO:

Es un espacio N dimensionado, es decir, est representado por n ejes, cada uno identificado por una variable de

estado y el estado del sistema se visualiza por una Trayectoria.

[77]

Obtencin de la Representacin de Estado:

Hay 4 formas de la obtencin de representacin de Estado.

1. A partir del sistema o Circuito.

2. A partir de la ecuacin o conjunto de ecuaciones diferenciales.

3. A partir de las funciones de Transferencia.

4. A partir del diagrama de bloque.

1. A partir del sistema o Circuito. :

Existen 2 formas Circuito anlogo-directo

--Circuito real.

Se definen como variables de estado las magnitudes almacenadas en forma de energa por los diferentes elementos

o componentes del sistema.

2. Ecuaciones diferenciales:

El N de variables de estado es igual al orden de la ecuacin diferencial.

Definicin Variable Estado:

Se define la respuesta y sus derivadas hasta la derivada n-e sima, como una variable de estado.

4.2.3. OBTENCIN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO:

De la definicin de sus variables de estado, se obtiene n-1, variables de estado. La n-e sima ecuacin de estado; se

obtiene a partir de la ecuacin original, despejando la derivada de orden ms alto con coeficiente unitario y

reemplazando las respectivas variables de estado.

[78]

4.2.4. OBTENCION DE LA REPRESENTACION DE ESTADO A PARTIR DE FUNCIONES DE

TRANSFERENCIA.

1. Llevar a expresar la funcin de transferencia en potencias negativas.

2. Obtener un diagrama de flujo a partir de funcin de transferencia.

3. Definicin de las variables de estado en la salida de cada rama con Transmitancia , define una

variable de estado.

Obtencin de las Ecuaciones de Estado:

En el nodo de entrada de cada rama con funcin de Transferencia , se obtiene una ecuacin de estado.

En la salida de cada rama con Transmitancia , se define una variable de estado.

4.4. ANALISIS ESPACIO DEL ESTADO:

Caractersticas:

Estabilidad.

Controlabilidad.

Observabilidad.

4.4.1. ESTABILIDAD: La estabilidad en el anlisis de estado. Se analiza con el determinante

1. Se hallan los polos.

2. Analizar que los polos estn en el SPI

4.4.2. CONTROLABILIDAD:

La controlabilidad es la caracterstica del espacio de estado que nos permite conociendo la entrada y el estado de

un sistema en un tiempo t=0, determinar o predecir el estado del sistema en un tiempo

5.4.3. OBSERVABILIDAD:

Es la caracterstica que nos permite conociendo el estado y la entrada del sistema en un tiempo

establecer el estado del sistema en .

Anlisis de Controlabilidad:

Mediante la controlabilidad se puede analizar:

[79]

1. A partir de la matriz de controlabilidad.

Se dice que un Sistema es controlable, si la matriz de controlabilidad es de rango igual=n, donde n representa el

N de variables de estado.

; Para qu sistema sea controlable.

OBSERVABILIDAD:

Se dice que el sistema es observable si la matriz de observabilidad es mnimo rango de n , es decir si existe n

filas linealmente independientes.

2. A partir de la funcin de la matriz de diferencia, decimos que el sistema es completamente observable.

Ejemplo:

Obsrvese que la ltima fila de la Matriz corresponde a los coeficientes del denominador cambiando los signos.

Analisis de estabilidad:

[80]

.

Mismo polinomio de la funcion de Transferencia; Aplicando Criterio de RouthHotwiz, se tiene que el

Sistema Inestable.

Anlisis de Controlabilidad.

;

A que La Matriz de Contrabilidad es de

rango iguala n.

ANALISIS DE OBSERVABILIDAD:

[81]

ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK.

Introduccin a SIMULINK. Para conocer las posibilidades bsicas de Simulink se muestra Siguiente tutorial pasando por todos los puntos. 1. Simulink es un programa de simulacin tanto continua como discreta que se encuentra en el entorno MATLAB. Por tanto para acceder a l basta con invocarlo desde la ventana de comandos de MATLAB, por supuesto asegurndose antes de encontrarse en el directorio de trabajo.

2. Una vez hecho esto aparece la ventana de SIMULINK que tiene el siguiente aspecto:

[82]

3. Lo primero que se debe hacer es abrirse una ventana de trabajo que puede ser nueva o existir previamente. Para el caso de que se desee crear un nuevo trabajo se procede como se indica en la figura.

4. Con lo que obtendremos una ventana vaca como la siguiente:

5. Lo primero que podemos necesitar es una fuente de seal, luego seleccionamos las fuentes (Sources) en la

ventana de SIMULINK.

6. Con esto aparecern otra ventana con todas las fuentes de seal disponibles .En este ejemplo se selecciona con el ratn el generador de seales genrico y se arrastra hasta situarlo sobre la ventana de trabajo.

[83]

7. Para poder ver la seal recurriremos a un sumidero de seal (Sinks) que seleccionaremos en la ventana de SIMULINK.

8. Igual que antes aparecer una ventana con todos los sumideros disponibles, de la que seleccionaremos el visor (Scope) y lo arrastraremos con el ratn hasta la ventana de trabajo.

[84]

9. Ya nicamente falta unir la fuente con el sumidero, lo que se hace pulsando con el ratn sobre la pequea flecha de salida del bloque inicial y arrastrando hasta la fecha de llegada del bloque destino.

10. Para realizar la simulacin es necesario definir unos parmetros mnimos como son el intervalo de tiempo y el error admisible.

[85]

11. Adems existen otros parmetros como el mtodo de integracin a utilizar y los pasos de integracin. Parmetros que se pueden definir cmodamente en la ventana correspondiente.

12. Para ejecutar la simulacin desplegar Simulation y Start. Ver el resultado de la simulacin en el scope.

[86]

BIBLIOGRAFIA: 1. Dinmica de Sistemas. Katsuhiko Ogata. Pretince hall.

2. Ingeniera de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Pretince hall.

3. Dinmica y sistemas de control.

analisis de sistemas dinamicos[1]

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