SISTEMAS DINAMICOS

GENERALIDADES

HISTORIA

Los problemas de la dinámica han fascinado a los científicos durante muchos años. Los mas notables son los de la mecánica celeste, consistente en el estudio de movimientos de cuerpo dentro del sistema solar.

Los intentos de Newton para comprender y modelar los movimientos observados de los planetas incorporaron la leyes de Kepler y dieron origen al desarrollo del calculo. Así surgió el planteamiento de modelos de problemas dinámicos con ecuaciones diferenciales ordinarias.

El término sistema ha sido ampliamente referido en la literatura científica. Son numerosas las definiciones que pueden encontrarse acerca del mismo. El concepto se introduce como una idea abstracta que puede aplicarse a fenómenos de distinta naturaleza.

la dinámica de sistemas actual se encuentra ligado al desarrollo de una aplicación para analizar los pedidos de una empresa fabricante de componentes electrónicos.

Se observaba que aunque el número de clientes era pequeño y por lo tanto el flujo de pedidos se esperaba constante, aparecían no obstante grandes oscilaciones en el mismo.

Se investigaron técnicas de investigación operativa y se realizaron simulaciones bajo el método de Monte-Carlo, dirigido todo por el grupo de J. Forrester. Este método resultó ser insuficiente para dar una explicación razonable al tiempo que se descubrió que una combinación de retrasos en la trasmisión de información con estructuras de realimentación que se producían dentro del modelo, eran el origen de las oscilaciones.

GENERALIDADESComo primera aproximación, de forma intuitiva, puede considerarse que un sistema es un objeto formado por un conjunto de partes que interaccionan entre si y el entorno (Aracil y Gordillo, 1997).

Las técnicas y herramientas asociadas con el concepto de sistema juegan un papel importante en diversas áreas de la tecnología y han sido aplicadas en una amplia variedad de disciplinas científicas, entre ellas pueden citarse: robótica, ingeniería, economía, control de procesos, procesado de señales, sociología, antropología, psicología etc. En todas estas aplicaciones subyace la intención de modelar y analizar distintos tipos de fenómenos e interacciones (físicas, biológicas, económicas, sociales etc.)

TIPOS DE SISTEMAS

• En cuanto a su constitución, pueden ser físicos o abstractos.

• En cuanto a su naturaleza, pueden cerrados o abiertos.

Sistemas cerrados : no presentan intercambio con el medio ambiente que los rodea, son herméticos a cualquier influencia ambiental.

Sistemas abiertos : Una empresa se puede definir como un sistema abierto al entorno, con el cual intercambia elementos e información y del cual recibe la influencia que condiciona su actividad, comportamiento y resultados.

GENERALIDADES

• Un sistema dinámico es aquél en el cual los “efectos” actuales son el resultado de causas actuales y previas. En esta definición se introduce la noción de causa y efecto, que muchas veces se utiliza para describir los fenómenos de ingeniería y otros que no forman parte de esta disciplina. Es interesante observar que las ideas que se analizarán más adelante se aplican también a sistemas ajenos a la ingeniería.

GENERALIDADES

La definición anterior difiere de la noción general de un sistema dinámico como aquél que está en movimiento, es decir, que cambia (normalmente de manera rápida) con el tiempo. Por lo general, en la mayoría de las poblaciones humanas el cambio parece ser muy gradual, ¡aunque el crecimiento de ciertas células y cultivos biológicos es otra cuestión! Del mismo modo, si bien la cantidad de dinero en un banco de cajeros automáticos puede permanecer fija durante el fin de semana, esta cantidad es producto de todos los depósitos y retiros ocurridos durante la semana laboral precedente.

CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA

La naturaleza de un sistema está determinada por las partes que lo componen y las interacciones que se establecen entre las mismas. Los elementos que cobran especial importancia a la hora de su estudio son:

• Atributos: Magnitudes que representan cualidades perceptibles del sistema. Los atributos permiten realizar una descripción cualitativa del sistema.

• Interacciones: Relaciones entre las distintas partes del sistema o el entorno, que modifican el valor de los atributos.

• Comportamiento: Evolución temporal de los atributos del sistema en una situación particular.

Un ejemplo de estos conceptos puede encontrarse al analizar un sistema de población. En él, un conjunto de habitantes se relacionan entre ellos de forma que la población decrece si mueren habitantes y crece si nacen nuevos habitantes. Adicionalmente, los habitantes se relacionan con el exterior (considérese por ejemplo la necesidad que tiene la población de recursos alimentarios). De esta forma, puede considerarse que si hay escasez de alimentos la población disminuirá (habrá más muertes y menos nacimientos); si, por el contrario, hay abundancia de alimentos la población aumentará ( habrá menos muertes y más nacimientos). En este caso, el número de habitantes y los recursos pueden considerarse como atributos del sistema población y las interacciones serán las relaciones que determinan el número de nacimiento y muertes.

Aunque la naturaleza física de los sistemas y las interacciones que los caracterizan son bien diferentes, todos tienen algo en común: los sistemas responden a una excitación (interacción externa) con un comportamiento o señal de respuesta concreta (evolución de los atributos) que dependerá del estado en que se encuentren las partes del sistema ( interacción interna).

Un sistema relaciona señales de entrada con señales de salida

ENTRADASInformación

EnergíaRecursos

Materiales

TRANSFORMACION OPROCESAMIENTO

SALIDASInformación

EnergíaRecursos

Materiales

EJEMPLOS DE VIDA REAL

• Un automóvil: Cuando un conductor actúa sobre el acelerador (interacción / entrada), el automóvil (sistema) responde con un cambio de la velocidad (atributo / salida).

• Un programa de Ordenador: Por ejemplo un programa dedicado al diagnóstico automático de electrocardiogramas puede verse como un sistema que toma los valores digitalizados del electrocardiograma (entrada) y proporciona estimaciones de parámetros referidos a la salud del paciente (salida).

• Una cámara fotográfica: Es un sistema que recibe como entrada luz reflejada de un objeto, que estimula un película sensible, produciendo como salida una fotografía

CONCEPTO DE MODELO

• Habitualmente se entiende que un modelo es un objeto mediante el cual se describe un sistema. Existen numerosas consideraciones acerca del tipo de modelos. Así, se puede hablar de modelos físicos (prototipos, modelos a escala etc..), modelos simbólicos ( lingüísticos, esquemáticos, matemáticos etc...), modelos computacionales (numéricos, redes neuronales etc..). Cualquiera de ellos tiene como misión estudiar el comportamiento del sistema sin tener que trabajar con el sistema real.

El modelo no ha de ser una copia fidedigna del sistema, sino recoger aquellos aspectos que, en opinión de su constructor, resulten relevantes. Por ejemplo, para determinadas aplicaciones un modelo de un automóvil podrá considerar solo su masa y medir su velocidad, sin tener en cuenta su tamaño, color , etc... en cambio, en otras ocasiones puede que interese considerar otro tipo de propiedades como el diámetro de las ruedas, amortiguación etc...

• Modelos mentales: son representaciones presentes en nuestro cerebro; tenemos, por ejemplo, una representación mental de nuestro cuerpo que nos permite controlarlo para caminar, saltar, etc.

• Modelos lingüísticos: son representaciones con palabras; este párrafo, por ejemplo intenta explicar con palabras que es el sistema denominado modelo lingüístico.

• Modelos gráficos: en ocasiones empleamos tablas y/o graficas como modelos; los catálogos de productos de ingeniería suelen contener muchos ejemplos de este tipo de modelo.

• Modelos matemáticos: estos modelos son ampliamente usados en áreas como la física, la ingeniería, la economía, etc.; generalmente se trata de ecuaciones que muestra las relaciones existentes entre las variables que afectan un sistema;

• Modelos de software: en ocasiones es posible desarrollar programas de computador que representen a sistemas complejos.

En definitiva, los sistemas dinámicos se caracterizan porque pueden presentar distintos comportamientos según sean las circunstancias en que se producen las interacciones. Por tanto, interesa establecer tanto cuantitativamente como cualitativamente el modo en que cambian los atributos.

En muchos casos, es posible explicar el comportamiento de los sistema a partir de la estructura que presentan las interacciones que los caracterizan, independientemente de la naturaleza de los mismos.

CONCEPTO DE ESTADO, VARIABLES Y PARÁMETROS

• Variables de estado: representan el menor conjunto posible de magnitudes variables en el tiempo que permiten describir el estado (valor de los atributos) de un sistema (Ogata, 1980).

• Parámetros: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema pero que se mantienen fijas a lo largo del tiempo. Son los responsables de las diferencias entre un sistema u otro.

• Variables de entrada: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema y que pueden cambiar como consecuencia de una interacción externa.

• Variables de salida: son magnitudes cuyo conocimiento interesa especificar y cuyo valor es función de las variables de estado y las variables de entrada. En ocasiones las variables de salida pueden coincidir con las variables de estado.

LLENADO DE UN DEPÓSITO:EL CONJUNTO DE VARIABLES DE ESTADO RECIBE EL NOMBRE DE VECTOR ESTADO.

CONCEPTO MATEMÁTICO DE SISTEMA DINÁMICO

El concepto de sistema dinámico tiene su origen en la mecánica clásica, donde se describen la variación de la posición y velocidad de un cuerpo en función de las fuerzas aplicadas. El uso de este concepto se ha generalizado a situaciones donde en lugar de posiciones y velocidades se consideran los atributos del sistema y en vez de fuerzas se tienen en cuentan las relaciones de influencia que representan las interacciones.

Desde un punto de vista matemático, un sistema dinámico es un objeto matemático formado por un espacio de estados y una regla que prescribe como cambia dicho vector en el tiempo (Aracil y Gordillo, 1999).

En general dicha regla se suele expresar de la forma:

Esto implica la definición de un campo vectorial en el espacio de estados. Dado que d/dt x

representa la velocidad con que cambia x en cada punto de ese espacio (realizando un símil con la velocidad de un punto en un espacio) el vector f(x) será tangente en cada punto a la trayectoria que siga el sistema en el espacio de estados.

La ecuación anterior, representa un sistema autónomo, su cuyo comportamiento no está afectado por el exterior. En el caso de que lo esté, esta ecuación se escribiría de la forma:

Donde u(t) representa la actuación del entorno ( variable de entrada). Este tipo de expresiones suelen denominarse modelo de estado del sistema.

EXISTENCIA DE BUCLES DE REALIMENTACIÓN

Definiendo un bucle de realimentación como una cadena cerrada de acciones elementales entre los elementos de un sistema.

La retroalimentación se produce cuando las salidas del sistema o la influencia de las salidas del sistemas en el contexto, vuelven a ingresar al sistema como recursos o información. La retroalimentación permite el control de un sistema y que el mismo tome medidas de corrección en base a la información retroalimentada.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS: DE VARIABLE CONTINUA Y DE EVENTOS DISCRETOS.El análisis de los sistemas dinámicos nos permiten conocer el comportamiento del mismo y evolución en el tiempo. Al construir modelos matemáticos de un sistema dinámico podemos construir modelos artificiales en computo con el fin de variar sus parámetros y predecir diferente comportamiento. El control es la estrategia usada para manipular un sistema dinámico de forma que su comportamiento siga patrones deseados en el tiempo.

DEFINICIONES

• Planta – Es el sistema dinámico que deseamos analizar o modelar.• Proceso – Es una operación natural, progresivamente continua o

desarrollo marcado por una serie de cambios graduales consecutivos de una manera establecida hacia la consecución de un objetivo o resultado particular.

• Sistema – Es la combinación de componentes que actúan juntos en un objetivo o dinámica común.

DEFINICIONES

• Inestabilidad – Se refiere a un estado en los sistemas en donde la energía interna tiene al infinito cuando no hay energía que sea introducida al mismo.

• Perturbación – Es una señal que tiende a afectar de manera adversa la salida del sistema. La perturbación puede ser Interna o Externa al sistema.

Ejemplos de sistemas de control

TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas dinámicos pueden clasificarse de acuerdo a la forma en que sus variables internas están modeladas con respecto al tiempo en:• Sistemas de Variable continua• Sistemas de variable discreta• Sistemas híbridos

SISTEMAS DE VARIABLE CONTINUA

Son aquellos en donde el tiempo se considera ininterrumpido, al menos en el tiempo de la operación. Una variable continua es generalmente creada para ser analógica, lo que significa que puede tener cualquier valor dentro de cierto rango. Ejemplos de estas incluyen fuerza, temperatura, flujo, presión, velocidad y posición. Todas estas variables se consideran continuas pudiendo tener cualquier valor real dentro del rango válido de valores.

SISTEMAS DE VARIABLE DISCRETA

Son aquellos sistemas que solo toman ciertos valores dentro de un rango dado. El tipo mas común son los sistemas con variables discretas del tipo binario, es decir que solo pueden tomar los valores de 0 o 1, ON-OFF, Cerrado o abierto, etc.

Ejemplos de variables discretas son los interruptores límite, motores a pasos, presencia o no de piezas de trabajo, etc.

SISTEMAS HÍBRIDOS

Los sistemas híbridos son una combinación de los sistemas discretos y continuos. Pueden poseer ambos tipos de variables y su estructura puede contener también modelos de funciones matemáticas mezcladas. Estos sistemas surgen de la necesidad de modelar los sistemas mecatrónicos mas complejos de forma que puedan incluir los comportamientos continuos y discretos en un solo modelo.

Ejemplos de esos sistemas pueden ser las máquinas de control numérico, los sistemas de comunicación electrónica, sistemas de transporte, de producción, etc.

SISTEMAS DE CONTROL INDUSTRIAL