analisis de incertidumbre en mf

UNIVERSIDAD DE OVIEDO E. T. S. INGENIEROS INDUSTRIALES DE GIJÓN

MONOGRAFÍAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN MECÁNICA DE FLUIDOS

EDUARDO BLANCO MARIGORTA RAFAEL BALLESTEROS TAJADURA

DEPARTAMENTO DE ENERGÍA

UNIVERSIDAD DE OVIEDO E. T. S. INGENIEROS INDUSTRIALES DE GIJÓN

DEPARTAMENTO DE ENERGÍA

ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE EN MECÁNICA DE FLUIDOS

EDUARDO BLANCO MARIGORTA RAFAEL BALLESTEROS TAJADURA

GIJÓN 1994

ISBN 84-604-9677-5 DEPÓSITO LEGAL AS-880-94 GIJÓN 1994

PRÓLOGO Este trabajo intenta ser una guía introductoria al análisis de incertidumbre para aquellos que deseen dedicarse a la investigación experimental o al desarrollo industrial en Mecánica de Fluidos. En estos campos es preciso asegurarse de hasta que punto lo que se está midiendo se ajusta a la realidad. Para ello es necesario realizar el análisis de la incertidumbre de las medidas tomadas experimentalmente y de su posterior tratamiento. No se pretende hacer un estudio exhaustivo del tema, tan solo indicar los procedimientos más sencillos para llevar a cabo esta tarea e indicar algunas posibles causas y soluciones para los errores más comunes. En la bibliografía se citan una serie de normas y artículos a través de los cuales se puede profundizar en esta materia.

ÍNDICE INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 1 NECESIDAD........................................................................................................... 2 DEFINICIONES ...................................................................................................... 3 FUENTES DE INCERTIDUMBRE ......................................................................... 5 INCERTIDUMBRE DE CALIBRACIÓN.................................................................. 7 INCERTIDUMBRE DE MEDIDA ........................................................................... 10 COMBINACIÓN DE INCERTIDUMBRES............................................................. 11 PROPAGACIÓN A LOS RESULTADOS.............................................................. 11 REPRESENTACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE.................................................. 14 REDUCCIÓN DE LA INCERTIDUMBRE.............................................................. 15 EJEMPLOS............................................................................................................ 16 BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 24

Análisis de incertidumbre en Mecánica de Fluidos 1

INTRODUCCIÓN En primer lugar debe quedar claro que el concepto de incertidumbre que se va a manejar tiene poco que ver con los conceptos filosófico-matemáticos que esta palabra despierta en las mentes de los estadísticos, a pesar de que la estadística será necesaria. En un experimento se intenta conocer cual es la realidad, cuantificada en una serie de valores que se puedan medir con los aparatos disponibles. Los datos obtenidos por medición directa, de forma visual, electrónica, etc. serán posteriormente manipulados y transformados para intentar abarcar esa realidad desde otros puntos de vista. En general, cuando se hable de datos experimentales, medidas, etc. se estará haciendo referencia tanto a los datos originales como a sus transformaciones. En un apartado posterior se verán las relaciones que ligan unos con otros. El análisis de incertidumbre se realiza debido a que los datos obtenidos experimentalmente no se corresponden exactamente con los valores reales. La precisión de la instrumentación, las técnicas de medida y proceso de los datos, y la posible impericia personal son las causas de esta falta de correspondencia. La diferencia entre el valor medido y el real es lo que se conoce como ERROR. Como la magnitud de este error es desconocida, el buen investigador debe intentar estimarla. Esta estimación es lo que se conoce con el nombre de INCERTIDUMBRE. Un análisis de incertidumbre será correcto si consigue englobar el error dentro del valor estimado. Un experimento no podrá ser considerado como bueno si la incertidumbre -correctamente calculada- no está dentro de un rango adecuado. Existen una serie de técnicas para asegurar, en lo posible, que el análisis de incertidumbre esté correctamente realizado. Resumiendo, los conceptos clave para comenzar son: ERROR: Diferencia entre el valor real y el medido. INCERTIDUMBRE: Estimación del posible valor del error en una medida.


NECESIDAD

Se pasa a revisar ahora algunas de las razones y momentos en que se hace necesario un análisis de incertidumbre. En primer lugar, suele ser una exigencia de los diferentes organismos y comités editoriales. Por ejemplo, en el Journal of Fluids Engineering del ASME (American Society of Mechanical Engineers), se puede leer: All papers considered for publication in this journal must contain an

adequate statement of the uncertainty of experimental data. Guidelines for estimation and presentation of uncertainty are available to authors from the journal´s Executive Secretary,...

Desde un punto de vista un poco más altruista, se pueden considerar los casos en que actuando honradamente hace falta este análisis. Someramente se pueden clasificar los posibles experimentos dentro del campo de la Mecánica de Fluidos en cuatro categorías:

a) Pruebas rápidas y visualizaciones (características aproximadas). b) Pruebas de aceptación o de campo (procedimientos standard). c) Investigación (no existe experiencia previa). d) Calibración de instrumentación.

Evidentemente en el primer caso no se requiere analizar el error. De hecho, en una visualización, más que datos se pretenden extraer ideas y tendencias. En las pruebas de aceptación de maquinaria, aunque los procedimientos suelen venir reflejados en las normas, un análisis, al menos implícito, puede ser conveniente. El análisis implícito se refiere a conocer el grado de fiabilidad de la instrumentación utilizada y su adecuación a esas medidas. La misma naturaleza de los dos últimos tipos de experimentos hace que el estudio de los posibles errores sea obligado. Un investigador puede sacar un gran rendimiento al análisis de incertidumbre, incluso antes de entrar en el laboratorio. Constituye una gran herramienta para la planificación de experimentos, la localización de puntos críticos al realizar las medidas, el sistema de tratamiento de datos y el análisis de resultados. En ocasiones puede servir para desechar de mano algún experimento o buscar otras alternativas para su realización.

Considérese, como ejemplo y sin profundizar por ahora en el método, un experimento por el que se quiera medir la pérdida de carga de un elemento de una tubería. La presión antes del elemento es de 150 mmHg. La


presión detrás, de 145 mmHg. Supóngase que se han medido con un manómetro de rango 200 mmHg, que tenga una incertidumbre relativa de 0.5%. La incertidumbre absoluta es alrededor de 1 mmHg. En este caso cada una de las medidas es bastante precisa, pero la pérdida de carga que se obtiene para el elemento, 5 mmHg, tiene una incertidumbre de alrededor de 1.5 mmHg, como se verá más adelante. ¡Un verdadero desastre!. En este experimento es mucho más adecuado un manómetro diferencial de rango más pequeño, aunque su incertidumbre relativa sea mayor. Con un rango de 10 mmHg y una incertidumbre relativa del 1% se obtendría una incertidumbre absoluta para la pérdida de carga de aproximadamente 0.1 mmHg. ¡Quince veces más precisa!

Viéndolo desde otro punto de vista, se puede plantear si hacer un análisis de incertidumbre tiene algún inconveniente. Un análisis de incertidumbre erróneo puede llevar a tomar como buenos unos datos falsos y obcecarse con ellos. Ciertamente esto es posible, pues, como dice el adagio inglés: There is no procedure so foolproof that a really good fool cannot louse it up (no hay procedimiento tan a prueba de tontos que un tonto realmente bueno no lo pueda echar abajo). Pero, suponiendo que el análisis no se va a llevar a cabo in such a foolish way, el único inconveniente estriba en el trabajo necesario. La cuestión cambia a: ¿Realmente vale la pena perder el tiempo de esta manera? La experiencia de muchos equipos de investigación demuestra que, siempre que se realiza un análisis de incertidumbre, se obtiene información útil, nada evidente a primera vista. En ocasiones permite ahorrar tiempo y dinero, otras veces se descubre la necesidad de desarrollar nueva instrumentación o técnicas de medida. En general, para todo investigador, el análisis de incertidumbre es una prueba de su rigor científico, aunque a veces se pueda considerar una prueba demasiado exigente.

DEFINICIONES

La forma de definir y expresar la incertidumbre que se va a exponer no es la única, pero si quizá la más aceptada. Lo que si está generalmente asumido es que un método de expresar la incertidumbre es mejor que ninguno, siempre y cuando se especifique la técnica empleada. Se ha dicho que se llama incertidumbre a la estimación del error. La definición estadística sería: el radio del intervalo que estima el error. Esta estimación tendrá un cierto grado de fiabilidad o probabilidad. Para expresar correctamente la incertidumbre, se debe indicar, pues, la probabilidad de que el valor real esté comprendido entre los límites de incertidumbre. Llamando M a la


medida, U a la incertidumbre y P a la probabilidad, la expresión M ± U (P= 95%) quiere decir que el valor correcto estará comprendido entre los valores: M + U y M - U con una probabilidad del 95%. En inglés se expresa, a veces, la probabilidad en forma de tanteo. Una probabilidad del 95% es equivalente a: odds 20:1, lo cual significa que si se realizan 20 medidas, una de ellas estará fuera del intervalo. Esta probabilidad del 95% es la considerada habitual para los trabajos de investigación, aunque no es una norma fija. Cuanto mayor sea la probabilidad buscada, mayor será el intervalo de incertidumbre.

El error y por tanto la incertidumbre, se puede dividir en dos partes: error sistemático y error de precisión (1). El segundo designa la parte causada por la dispersión propia del sistema de medida. La repetición de medidas genera una distribución -habitualmente normal-, alrededor de un valor promedio. El error de precisión es la diferencia entre el valor de la medida y el promedio de (teóricamente) infinitas medidas. El error sistemático es la diferencia entre el valor real y el valor promedio. En inglés es conocido como Bias (sesgo o tendencia). Una indicación adecuada de la incertidumbre incluirá ambos términos: U : UP (P=95%) US (P=95%)

Figura 1 Tipos de errores de medida.


Se aconseja manejar los dos términos por separado, pero si se desea unirlos, la forma correcta es:

siempre y cuando la probabilidad de ambos términos sea la misma. El error de precisión se puede disminuir a base de realizar más medidas y se puede estimar estadísticamente. El error sistemático es debido a las desviaciones fijas en los instrumentos o métodos. Normalmente es difícil de estimar. Se reduce con la calibración y la utilización de otros instrumentos y formas de comprobación. FUENTES DE INCERTIDUMBRE Sin pretender ser exhaustivos, se expone una lista de las fuentes de incertidumbre más habituales: - Instalación/Ambientales: - Turbulencia y fluctuaciones del flujo. - Desalineaciones.

- Vibraciones. - Efectos térmicos. - Modelo geométrico.

- Instrumentación - Internas.

- Rango. - Calibración.

- Adquisición - Acondicionamiento de señal. - Sistema de grabación. - Ruido electromagnético. - Procesado de datos - Resolución del ordenador. - Ajustes. - Propagación en los resultados. En primer lugar está la incertidumbre propia del fenómeno. La turbulencia se puede considerar una incertidumbre de las variables medias, aunque el concepto es mucho más extenso. A menudo se producen fluctuaciones del flujo o inestabilidades locales y/o momentáneas inevitables en un trabajo experimental (más aún cuando no se trata de modelos sino de casos reales), que provocan la dispersión de las medidas.

2 2P SU = + U U (1)


Otras veces la incertidumbre está generada por la instrumentación, según su aptitud para la medida que se desee realizar. Un aparato puede ser más o menos fiel/sensible a la medida y además su precisión viene limitada también por la menor variación que es capaz de representar. Así, por ejemplo, un termómetro no puede tener más exactitud que un grado centígrado si las divisiones de su escala van de grado en grado. Un aspecto que requiere especial cuidado es que el rango de los aparatos se ajuste a la magnitud a medir. La calibración frecuente de la instrumentación es algo en lo que nunca se insistirá bastante. El sistema de adquisición y el procesado de los datos son otras fuentes de errores. Amplificaciones, filtros, ruido electromagnético, errores de redondeo en los datos tratados con ordenador, ajustes de las calibraciones, etc. son algunos de los retos con los que se enfrenta el investigador intrépido. Considérese el siguiente ejemplo para asentar un poco las ideas: Una válvula limitadora de presión está tarada en 7 bar. Se desea

comprobar su eficacia y para eso se monta en un depósito alimentado con un compresor que puede generar un máximo de 10 bar. Como instrumento de medida se elige un manómetro Bourdon de 0 a 15 bar recién sacado de la caja, con divisiones cada 0.5 bar. Se realiza una prueba y la válvula salta cuando el manómetro marca un poco más de 7 bar. Se puede apreciar que estaba más cerca de 7 que de 7.5, así que como medida se apunta 7 bar. Nuestra experiencia con los manómetros recién sacados de la caja nos dice que su precisión suele ser bastante mayor que su escala, pero que pueden venir con el cero desajustado hasta en una división. Esta medida se puede expresar como:

Presión de disparo = 7 bar ± 0.5 bar (Precisión) 0.5 bar (Sistemático) (P = 95%) Evidentemente, la probabilidad, lo mismo que la incertidumbre del

error sistemático, han sido estimados de forma subjetiva. Aunque este método es poco científico, puede ser suficiente para el ámbito industrial si se realiza por personas con experiencia.

Si se calibra el manómetro y se ajusta el cero con un patrón, se

puede eliminar la incertidumbre sistemática, y comprobar si la precisión es realmente mayor que su escala, así se podría obtener:

Presión de disparo = 7 bar ± 0.5 bar (Precisión) 0 bar (Sistemático) (P = 95%)


En cualquier caso es difícil reducir su incertidumbre de la menor

división de la escala. Se coloca ahora un manómetro capacitivo, que genera una salida

digital con tres decimales. Se ha calibrado, de forma que la incertidumbre sistemática se reduce a menos de 0.002 bar. Al repetir medidas en la calibración, se ha hallado una incertidumbre de precisión de 0.08 bar con una probabilidad del 95%. La medida en el depósito es de 7.238 bar. Esto quiere decir:

Presión de disparo = 7.24 bar ± 0.08 bar (Precisión) 0 bar (Sistemático) (P = 95%) La incertidumbre sistemática se ha considerado despreciable frente

a la de precisión y la medida sólo se ha expresado con dos decimales, pues el tercero no es significativo.

Las consideraciones hechas hasta ahora se refieren únicamente a

una medida. Para comprobar la válvula se repite el experimento tomando 20 medidas con el manómetro capacitivo, y del análisis de estas medidas se obtiene:

Presión de disparo = 7.2 bar ± 0.2 bar (Precisión) 0 bar (Sistemático) (P = 95%) donde 7.2 es la media y 0.2 se halla a partir de la estimación de la varianza

de las medidas y la precisión del manómetro. El error sistemático sigue siendo despreciable pues, en este caso, solo depende del manómetro.

INCERTIDUMBRE DE CALIBRACIÓN

En la calibración se intenta eliminar el error sistemático del aparato que se calibra y determinar su incertidumbre de precisión. El procedimiento de calibración consiste, básicamente, en medir repetidamente una magnitud fija. El valor real de esta magnitud se puede conocer midiéndolo con otro instrumento por algún sistema alternativo, pero hay que asegurarse de que se conozca con una incertidumbre mucho menor que la del aparato que se va a calibrar. Es muy conveniente realizar la calibración con el sistema de medida y adquisición que se va a utilizar posteriormente, para delimitar así la incertidumbre de toda la cadena de medida. (Figura 2)


El tratamiento estadístico es el siguiente: Se han realizado n medidas, representadas como ξi. Habitualmente se puede suponer que su distribución es una normal de media μ y varianza σ desconocidas. La media estará comprendida en el intervalo:

con una probabilidad 1-α. En esta ecuación,

es la media de las medidas y para el cuadrado de la varianza se utiliza el estimador centrado:

tα, por último, es el percentil de probabilidad α de la t de Student con n-1 grados de libertad. Lo que la expresión 2 significa es que la corrección del error sistemático es

Figura 2 Ejemplo de sistema de adquisición

α α

⎡ ⎤μ∈ +⎢ ⎥ξ ξ

⎢ ⎥⎣ ⎦n n

ˆ ˆS S - , t t

n n (2)

ξξ ∑n

ini=1

1=

n (3)

ξ ξ∑n

2i n

i=1

1S = ( - )

n -1 (4)


la diferencia entre el valor real y la media, y la incertidumbre de precisión del aparato es:

para una probabilidad 1-α. Y α se suele tomar como 0.05 para que la probabilidad sea del 95%.

Este procedimiento debe repetirse para distintas magnitudes que cubran todo el rango de medida del aparato (2). La incertidumbre del error sistemático puede eliminarse si se resta el valor medio hallado del valor real. En ocasiones, para mayor comodidad, la respuesta del aparato se ajusta por medio de una fórmula y entonces, el valor real puede diferir, en algunas zonas del rango, del valor ajustado, con lo que habrá que tener en cuenta esta diferencia como una incertidumbre sistemática (4). Es típico de los fabricantes de

instrumentación proporcionar la incertidumbre del aparato como un tanto por ciento del fondo de escala. Se supone que es constante a lo largo de todo el rango. Por ejemplo, un manómetro de 0 a 20 bar, con una incertidumbre del 0.5% del fondo de escala, tiene una incertidumbre de 0.1 bar para cualquier medida. Suponiendo que esto es correcto, se deduce que no se deben utilizar instrumentos para tomar medidas en la parte baja de sus rangos. Si se miden presiones alrededor de 1 bar con el manómetro anterior, la incertidumbre relativa es del 10%.

INCERTIDUMBRE DE MEDIDA

αpS

= U tn

(5)

Figura 3 Incertidumbre de un instrumento a lo largo de su rango.

Figura 4 Ajuste de la respuesta de un instrumento


Una única medida tiene la incertidumbre de la calibración del aparato utilizado. Esta incertidumbre se puede reducir repitiendo la medida, pero solamente si la magnitud que se mide permanece constante. En este caso, suponiendo que en la calibración se han realizado suficientes medidas como para que la estimación de la varianza coincida con la varianza, se tendrá una distribución normal de varianza conocida. Si se realizan m medidas de la misma magnitud, y σ es la varianza conocida por la calibración, el valor real de la magnitud (media de la distribución normal) estará comprendido entre:

con una probabilidad 1-α. En esta ecuación, λα es el percentil de probabilidad α de la distribución normal. Téngase en cuenta que λα coincide con tα cuando el orden de la t de Student tiende a infinito. Esto es lo mismo que decir que, convenientemente realizada la calibración, la incertidumbre de precisión de una medida constante repetida m veces es:

Por supuesto, como valor medido se toma la media de las medidas. Si no se dispone de calibración y la magnitud que se quiere medir permanece constante, la incertidumbre de precisión se puede calcular como si se estuviese realizando la calibración. Sin embargo, no hay forma de determinar la incertidumbre sistemática. Un fenómeno en el que la magnitud que se quiere medir fluctúa, presenta complicaciones añadidas. Asumiendo que estas fluctuaciones forman parte del error, la repetición de medidas permite calcular la incertidumbre de precisión de una forma similar a la calibración -utilizando de nuevo la t de Student-. La incertidumbre así calculada es la combinación de la incertidumbre de calibración del instrumento más la incertidumbre del fenómeno.

α ασ σ⎡ ⎤

μ∈ ξ λ ξ λ⎢ ⎥⎣ ⎦m m

- , + m m

(6)

p (cal )p (m )

U = Um

(7)


COMBINACIÓN DE INCERTIDUMBRES

Gracias a los teoremas estadísticos para la combinación de las varianzas de variables independientes, se puede calcular la incertidumbre de una medida que atraviesa varias fuentes de error con incertidumbres conocidas. Considérese, por ejemplo, una medida en la que se superponen la incertidumbre de calibración con la propia del fenómeno y la de los aparatos de adquisición. Si la probabilidad de las incertidumbres conocidas es la misma, la incertidumbre total será:

y tendrá la misma probabilidad que las incertidumbres que la componen. Si las probabilidades no son iguales, se puede trabajar con las varianzas, que son independientes de la probabilidad, y combinarlas de la misma forma. Es preferible combinar las incertidumbres sistemáticas y de precisión por separado.

PROPAGACIÓN A LOS RESULTADOS

En la mayor parte de los experimentos, las magnitudes medidas se utilizan para calcular otras variables. Los resultados finales tendrán un grado de fiabilidad que depende de la incertidumbre de las medidas y de los cálculos realizados. El proceso de cálculo de la incertidumbre del resultado es lo que se llama propagación. Supóngase un resultado R que va a ser calculado a partir de una serie de variables xi:

Diferenciando,

se observa cual es la influencia de las variaciones de una variable en el resultado.

2 2 2T cal fen adq= + + U U U U (8)

1 2 nR = f ( , ,... )x x x (9)

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂1 2 n

1 2 n

R R RdR = + + ... + dx dx dx

x x x (10)


De acuerdo con Kline & McClintock (1953) y Kline (1985), si R es función de n variables independientes, cada una de ellas distribuida con una desviación típica σi, la desviación típica de R es:

Por lo que se pueden combinar las incertidumbres de cada variable para hallar la incertidumbre del resultado:

Dividiendo todo por el resultado, y como:

se obtiene la incertidumbre de forma adimensional o relativa:

lo cual resulta muy interesante si se quiere apreciar la influencia del proceso de cálculo en la propagación de la incertidumbre. Con esta forma de combinar las incertidumbres correspondientes a cada variable, la probabilidad de las variables se mantiene en el resultado. De nuevo según Kline & McClintock (1953), otra forma posible de combinarlas es:

⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞σ σ σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

R 1 21 2

R R = + +...

x x (11)

⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

1 21 2

R RU(R) = U( ) + U( ) +...x x

x x (12)

∂ ∂∂ ∂

x R lnR =

R x ln x (13)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 21 2

1 1 2 2

U (R) (lnR) U ( ) (lnR) U ( )x x = + +...R (ln ) (ln )x x x x

(14)

∂ ∂∂ ∂1 2

1 2

R RU (R ) = U ( ) + U ( ) +...x x

x x (15)


pero, con esta formulación, la probabilidad de la incertidumbre del resultado es mucho mayor que la de las variables, porque es muy poco probable que todas tengan los valores más desfavorables simultáneamente. Como método práctico, cuando una de las incertidumbres que se combinan es cinco o mas veces más pequeña que la mayor, su influencia en la incertidumbre final es despreciable. Despreciable quiere decir que interviene en menos de un 5%, lo que normalmente es más pequeño que el orden de magnitud con el que se conoce la incertidumbre. Ejemplo Se pretende determinar la densidad del aire a partir de la medida de la presión y de la temperatura, realizadas con un manómetro y un termómetro previamente calibrados. Las medidas e incertidumbres son: Pab = 7 bar ± 0.15 prec(P=0.95) 0 sis T = 350 K ± 0.2 prec(P=0.95) 1 sis La ecuación que se va a utilizar es:

Y la incertidumbre:

ρP

= R T

(16)

∂ρ ∂ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

U( ) = U(P) + U(T)P T

(17)

2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2U(P) P

U( ) = + U(T)R T R T

(18)

ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

rU( ) U(P) U(T)

( ) = = + UP T

(19)


Calculando por separado la incertidumbre de precisión y la sistemática: Precisión:

Sistemática:

Y la incertidumbre total resulta:

REPRESENTACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

En principio, en toda publicación se debe hablar sobre la incertidumbre de los resultados experimentales que se ofrezcan. Además de especificar el procedimiento utilizado para su obtención, se debe presentar su valor junto a los resultados. A menudo, los resultados experimentales se representan gráficamente; en este caso, se puede indicar la incertidumbre en el comentario o en la misma figura. Una forma de hacerlo gráficamente es mediante barras de incertidumbre, para cada punto o para la representación completa (Figura 5). Otra posibilidad consiste en marcar unos márgenes de incertidumbre, tal como se representó en el apartado de calibraciones (Figura 3). También es preferible indicar por separado la incertidumbre sistemática y de precisión, al menos hasta el resultado final. En cualquier caso, si no se utiliza

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

r P0.15 0.2

= + = 0.0214U7 350

(P = 0.95) (20)

ρr S1

( ) = = 0.0028U350

(P = 0.95) (21)

ρ 2 2

r T( ) = (0.0214 + (0.0028 = 0.0215 2%) )U

(P = 0.95) (22)


un método estándar para la combinación de la incertidumbre o para su cálculo, hay que explicar con claridad el sistema.

REDUCCIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Algunas reglas básicas para limitar en lo posible la incertidumbre experimental son las siguientes: - Calibrar con la cadena de medida. - Aprovechar al máximo los rangos de la instrumentación. - Cuidado extremo en la medida de las variables más influyentes. (Estas variables se pueden localizar en el estudio de la propagación a los

resultados. En ocasiones es interesante analizar la reducción de datos con ordenador introduciendo fluctuaciones artificiales).

- Control de los errores sistemáticos: -Calibrar con frecuencia. -Cumplir las especificaciones de las pruebas estándar.

Figura 5 Representación gráfica de la incertidumbre


-Comprobar los resultados a partir de lo que teóricamente se obtiene por otros métodos.

-Medidas con diferente instrumentación.

EJEMPLOS

A continuación se presentan tres ejemplos de aplicación del análisis de incertidumbre que permiten poner en práctica las técnicas mencionadas. Los dos primeros corresponden a la calibración de un transductor de presión y de una placa de orificio para la medida del caudal. En el tercero se aplican los ejemplos anteriores en la obtención de la incertidumbre del rendimiento de una turbina hidráulica.

Ejemplo 1. Calibración de un transductor piezorresistivo

Para la realización de la calibración de un transductor piezorresistivo, se coloca en paralelo con un manómetro en U y ambos conectados a un recipiente en el que se puede fijar la presión. Se pretende calibrar el transductor de forma que proporcione 10 Voltios (V) cuando la presión sea 1000 mm de mercurio (mmHg). Este tipo de transductores tiene una respuesta lineal en todo el rango. Los amplificadores de estos transductores poseen dos controles: el control de cero ("zero"), que permite obtener en la salida del amplificador 0 Voltios cuando, por ejemplo, la presión relativa sea de 0 mmHg; y el control de rango ("span"), que permite fijar el voltaje de salida del amplificador para una presión determinada. De esta forma se fijan los dos puntos que caracterizan la respuesta lineal del transductor. Así, ajustado el cero, y fijada en el recipiente una presión de 1000 mmHg (con la ayuda del manómetro en U), con un voltímetro se registraron 25 medidas, una vez eliminado el error sistemático con el control de rango del amplificador: 9.90 9.95 9.96 10.09 10.04 ... La media de estas n = 25 medidas es ξn

= 10 V 23; el estimador centrado

vale S = 0.1374 24; y el correspondiente percentil tα del 95% de probabilidad vale 2.060. Por tanto, la incertidumbre de precisión de la calibración del transductor vale:

αˆ S 1000 mmHgt = 0.057 V = 0.057 V = 5.7 mmHg

10 Vn


A esta incertidumbre, habría que añadirle la correspondiente a la precisión del manómetro, que sería de un milímetro al estar graduado de milímetro en milímetro. Como es mucho menor que la incertidumbre obtenida anteriormente, no afectará mucho a la incertidumbre total. Por tanto, la incertidumbre de precisión del transductor es de 5.7 mmHg, o expresada en tanto por ciento: 0.57%, que se supondrá constante para todo el rango de medida.

Ejemplo 2. Calibración de una placa orificio

A continuación se describe el procedimiento necesario para realizar la calibración de una placa de orificio. La placa de orificio se coloca en una instalación en la que se puede conocer el caudal circulante. Para cada caudal considerado, se van a realizar 25 medidas de la diferencia de presión entre los lados de la placa mediante un manómetro en U de mercurio. A partir de esos valores se va a realizar un ajuste, de forma que se pueda obtener el caudal como:

con Q en m3/h y Δh en mmHg; considerando que el caudal de diseño de la placa de orificio sea 110 m3/h. A continuación se indican las lecturas del manómetro para cada caudal: Q [m3/h] Δh [mmHg] 10 1.7 1.7 ... 30 15.7 15.9 ... 50 44.4 44.6 ... 70 87.2 87.3 ... 90 143.7 144.2 ... 110 215.3 215.4 ... 130 300.2 300.1 ... A partir de estos valores, para cada caudal se calcula el valor de la depresión media, y la respuesta de la placa se ajusta con una parábola que pase por el origen y por el punto correspondiente al caudal de 110 m3/h, cuya depresión media es de 215.22 mmHg. Entonces, la constante que aparece en la expresión anterior vale k = 7.4981. Con el objeto de obtener la incertidumbre de dicha constante, tanto de precisión como sistemática, se tabulan las siguientes variables, siendo tα el percentil del 95% de probabilidad igual a 2.060:

Q [m3/h] ΔhM [mmHg] S 27 αˆ St

n28 Δhaj |ΔhM - Δhaj|

10 1.77 0.05 0.02 1.78 0.01 30 16.04 0.20 0.08 16.01 0.03

ΔQ = k h


50 44.43 0.16 0.07 44.47 0.04 70 87.14 0.16 0.07 87.16 0.02 90 144.08 0.23 0.09 144.07 0.01 110 215.22 0.19 0.08 215.22 0.00 130 300.42 0.15 0.06 300.60 0.18

donde αˆ St

n29 representa la incertidumbre de precisión de la medida de Δh, y

|ΔhM - Δhaj| su incertidumbre sistemática. La incertidumbre de la constante k se calcula de la siguiente manera:

pues se considera que U(Q) = 0, ya que la placa orificio se está calibrando frente a un caudal conocido, con una incertidumbre muy pequeña, mediante otro dispositivo. Despejando k y derivando respecto a Δh,

se obtiene

ΔΔ 3/2

Q U( h)U(k) =

2 h

32 A continuación se tabula la incertidumbre de k, tanto la de precisión como la sistemática:

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂Δ ∂Δ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2k k k

U (k) = U (Q) + U ( h) = U ( h) Q h h

∂∂Δ ΔΔ 3/2

Q k Qk = ; =

h 2 h h


Q [m3/h] UP(k) US(k) 10 0.042 0.021 30 0.019 0.007 50 0.006 0.003 70 0.003 0.001 90 0.002 0.000 110 0.001 0.000 130 0.001 0.002 Para simplificar, se eligen como incertidumbres de la constante k, para todo el rango de caudal, los máximos valores de cada columna, con lo cual: UP(k) = 0.042 y US(k) = 0.021. Ejemplo 3. Incertidumbre en el cálculo del rendimiento de una turbina hidráulica El rendimiento total de una turbina hidráulica se puede calcular aplicando la siguiente expresión:

siendo: M: par transmitido entre la turbina y el alternador; se determina mediante

un medidor de par instalado entre ambos; ω: número de vueltas a las que gira el rodete; se conoce mediante un

tacómetro; Q: caudal circulante; para su obtención se utiliza una placa orificio,

obteniéndose la diferencia de presión existente en ambos lados de la placa con un transductor;

H: salto disponible en la turbina; se halla a partir de la presión estática medida mediante sendos transductores en la entrada y en la aspiración de la turbina;

Considérese que en un punto de funcionamiento se obtuvieron los siguientes valores de los distintos sensores: - El medidor de par proporcionó un valor de 37.4 N m, sobre un fondo de

escala de 100 N m; - La velocidad de giro fue de 3000 rpm; - El transductor que mide la depresión en la placa de orificio proporcionó

un valor de 0.6 bar sobre un fondo de escala de 2 bar; - El transductor que mide la presión en la entrada de la turbina proporcionó

un valor de 7 bar sobre un fondo de escala de 20 bar;

ωη

ρPar

= g Q H


- El transductor que mide la presión en la aspiración de la turbina proporcionó un valor de 1 bar sobre un fondo de escala de 2 bar.

Según la ecuación (12), la incertidumbre del rendimiento será:

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω ω

η ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ρ ρ ρ ρ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

22 2 2

2 2

Par 1 Par 1 Par U ( ) = U (Par) + U ( ) + U (Q) + U (H)

g Q H g Q H g Q H g Q HQ H

Si se expresa en forma de incertidumbre relativa:

Las incertidumbres de cada una de las medidas se calculan de la siguiente manera: - Par: Según el catálogo del fabricante, el aparato tiene un error relativo del 0.8% respecto del fondo de escala. Después de ajustar el cero y la pendiente del aparato, se considera que la incertidumbre de sistemática es nula. En el punto de trabajo se obtiene un par de 37.4 N m sobre un rango de 100 N m. Por tanto, la incertidumbre de precisión relativa es:

- Tacómetro: Se utiliza como tacómetro un contador de impulsos, con un display de cuatro dígitos. Dada la gran fiabilidad del sistema digital del contador, la incertidumbre del tacómetro es únicamente debida a la resolución del display, con lo que la incertidumbre es de 1:3000, que se puede considerar despreciable.

∂η ∂η ∂η ∂η⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤η ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ω ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

22 2 2

U ( ) = U (Par) + U ( ) + U (Q) + U (H)Par Q H

η ω ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤η ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥η ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

22 2 2

rU ( ) U (Par) U ( ) U (Q) U (H)

( ) = = + + +UPar Q H

r P0.8 100

(Par) = = 0.021U100 37.4


- Caudal: Para la determinación del caudal se emplea la placa de orificio que fue calibrada previamente, en la que la relación entre el caudal y la depresión creada entre antes y después de la placa viene dada por la expresión siguiente:

La depresión es obtenida mediante un transductor. La incertidumbre relativa del transductor, obtenida según el procedimiento descrito previamente, es del 0.1%, y se considera constante para todo el rango. El fondo de escala de este transductor es de 2 bar, y para el punto de máximo rendimiento la depresión medida es 0.6 bar. Por tanto,

Su incertidumbre sistemática, como se mencionó al realizar la calibración, es despreciable. Por consiguiente la incertidumbre del caudal será:

En forma relativa:

Si se supone que la placa de orificio utilizada es la misma que en el ejemplo 2, entonces: UP(k) = 0.042, y US(k) = 0.021. Por tanto:

ΔQ = k h

Δr P2

( h) = 0.001 = 0.003U0.6

( ) ⎛ ⎞Δ Δ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

22 1 k

U (Q) = h U (k) + U ( h)2 h

Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

rU (Q) U (k) 1 U ( h )

(Q) = = + UQ k 2 h

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

22

r P

2

r S

0.042(Q) = + 0. = 0.006U 003

7.4981

0.021 (Q) = = 0.003U

7.4981


- Salto: Para la medida del salto se dispone de dos medidas de presión, una en la entrada (HE) y otra en aspiración (HA). El salto total H es la diferencia entre ambas.

Utilizando de nuevo la ecuación (12), la incertidumbre del salto es:

Para la medida de dichas presiones se utilizan dos transductores piezorresistivos. En la entrada, el rango del transductor piezorresistivo es de 0 a 20 bar, con una incertidumbre de precisión de 0.5% del fondo de escala. En el punto de trabajo el transductor mide 7 bar. En la aspiración, el rango del transductor piezorresistivo es de 0 a 2 bar, con una incertidumbre de precisión de 0.5% del fondo de escala. En el punto de trabajo el transductor mide 1 bar. Por tanto:

La incertidumbre relativa del salto es:

= −E AH H H

⎡ ∂ ⎤ ⎡ ∂ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 22 2

E A E AE A

H HU (H) = U ( ) + U ( ) = U ( + U () )H H H H

H H

2 2

E Ar

E A

U ( +U ( ) )U (H) H H (H) = =UH - H H

2 20.014 + 0.010

EP

AP

r P

20 ( ) = 0.005 = 0.014U H

7

2 ( ) = 0.005 = 0.010U H

1

(H) = = 0.003U7 - 1

r P

r S

(H ) = 0.003U

(H ) 0.U


Por tanto, combinando todo lo anterior, la incertidumbre relativa del rendimiento es:

Como se puede apreciar, la incertidumbre sistemática del rendimiento es debida únicamente a la constante k de la placa de orificio.

η

η

2 2 20.021 + 0.006 + 0.003r P

r S

( ) = = 0.022U

( ) = 0.003U


BIBLIOGRAFÍA "Measurement Uncertainty, Part 1, Instruments and Apparatus"; ANSI-ASME PTC 19.1-1985. "Measurement Uncertainty for Fluid Flow in Closed Conduits"; ANSI-ASME MFC-2M-1983. ABERNETHY R. B.; BENEDICT R. P.; DOWDELL R. B.: "ASME Measurement Uncertainty"; ASME Journal of Fluids Engineering, Jun 1985. EISENHART,C.: "Expression of the Uncertainties of Final Results"; NBS Paper, Jan 1983. KLINE S. J.; McCLINTOCK F.A.: "Describing Uncertainties in Single-Sample Experiments"; Mechanical Engineering, Jan 1953. KLINE S. J.: "The Purposes of Uncertainty Analysis"; ASME Journal of Fluids Engineering, Jun 1985. KU, H.H.; "Expressions of Imprecision Systematic Error and Uncertainty Associated with Reported Value"; NBS Paper, Jan 1983. MOFFAT R. J.: "Contributions to the Theory of Single-Sample Uncertainty Analysis"; ASME Journal of Fluids Engineering, Jun 1982.

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