analisis de datos de vida

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MSMT Foundations: Sesin 1Ingeniera de Confiabilidady Anlisis de Datos de Vida

MSMT MSMT FoundationsFoundations: Sesi: Sesin 1n 1IngenierIngeniera de Confiabilidada de Confiabilidady Any Anlisis de Datos de Vidalisis de Datos de Vida

1992-2005 ReliaSoft Corporation - ALL RIGHTS RESERVED Language Version: Spanish

Verso/Revisin 7.0.0

6/26/2007

1998-2005 ReliaSoft Corporationwww.ReliaSoft.com.br

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Verso: 8.0.0 Language: Portugus

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FoundationsFoundations SeriesSeries

Da 1-2Anlisis de Datos

de VidaAnlisis Weibull

Da 3Intro a

la Reliab.Growth

Dia 4Intro alAnlisis

Cuantitativode Ensayos Acelerados

de Vida

Dia 5Intro al

Anlisis deConfiabilidad,Mantenibilidady Disponibilidad

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Referencias de ApoyoReferencias de ApoyoEstas notas son destinadas a

facilitar el entendimiento del material usado en la presentacin.

La mayora son derivaciones matemticas y otras tienen detalles secundarios, por lo tanto, no son consideradas.

Textbook el estilo de la tapa del material se puede encontrar en referencias tericas de ReliaSoft.

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Referencias Adicionales para esta SecciReferencias Adicionales para esta Seccinn

Este material de referencia fue desarrollado por ReliaSoft LifeData Analysis Reference Este material est includo en el

paquete del software Weibull++. Tambin est disponible on-line en

el sitio www.weibull.com.


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Por que Confiabilidad? Por que Confiabilidad?

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IngenierIngeniera de la Confiabilidada de la ConfiabilidadUna definiciUna definicin formaln formal

La Ingeniera de Confiabilidad entrega herramientas tericas y prcticas que permiten especificar, proyectar, probar y demostrar la probabilidad y la capacidad segn la cual componentes, productos, equipamientos y sistemas desempearn sus funciones, por perodos determinados de tiempo, en ambientes especficos y sin presentar fallas.

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QuQu es Confiabilidad?es Confiabilidad?

Confiabilidad es una de las caractersticas de calidad mas importante para componentes, productos y sistemas complejos.

Es una metodologa cientfica aplicada para conocer el desempeo de vida de productos, equipamientos, plantas o procesos; para asegurar que estos ejecuten su funcin, sin fallar, por un perodo de tiempo en una condicin especfica.

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IngenierIngeniera de Confiabilidada de Confiabilidaduna Definiciuna Definicin Gerencialn Gerencial

Cual es la expectativa de vida de un producto/ equipamiento/sistema ?

Cuantos retornos/fallas son esperados para el prximo ao?

Cuanto costar desarrollar y dar soporte a este producto?

Podemos optimizar los costos involucrados?

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PropPropsito de la Confiabilidadsito de la Confiabilidad

Para que la empresa sea exitosa en el ambiente actual de alta competitividad y complejidad tecnolgica, es ESENCIAL que conozca la Confiabilidad de su producto y que sea capaz de controlarla.

Solamente un nivel ptimo de Confiabilidad llevar a un gasto mnimo en el ciclo de vida del producto y a un costo mnimo de produccin, sin que se comprometa la Confiabilidad y la Calidad de ste.


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Por que la Confiabilidad es Por que la Confiabilidad es Importante?Importante?

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Consumidores Exigen Confiabilidad Consumidores Exigen Confiabilidad

Source: Polk's Manufacturer Loyalty ExceleratorTM

First Half 2000 Model Year

96.6% 59.9% Innovation ofProducts

96.3% 94.0% Reliability

92.9% 92.8% Quality ofProducts

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Por que IngenierPor que Ingeniera de Confiabilidad?a de Confiabilidad?

Una investigacin realizada en los aos 80 mostr que cuando un cliente est satisfecho con un producto, comenta su satisfaccin a 8 personas, mientras que un cliente insatisfecho lo dir a 22 personas.

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Como serComo sera el resultado de esta a el resultado de esta investigaciinvestigacin hoy en dn hoy en da. . . a. . .

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Por que IngenierPor que Ingeniera de Confiabilidad?a de Confiabilidad?

El consumidor de hoy es mas inteligentee informado sobre el producto.

En el futuro, sobrevivirn solamente las empresas que sean capaces de controlar la Confiabilidad de sus productos.

La responsabilidad por un producto no confiable puede ser muy alta.

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LLnea de Montaje de un Utilitarionea de Montaje de un Utilitario un gran fabricante de automviles gana

USD 4.300 de lucro bruto por cada utilitario fabricado.

Cada lnea de montaje produce 60 carros utilitarios por hora, cuando la produccin fluye sin problemas. Por lo tanto, un lucro bruto de USD 260.000 por hora. Si una lnea de montaje para, la empresa deja de

facturar millares de dlares por hora.

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LLnea de Montaje de un Utilitarionea de Montaje de un Utilitario Actualmente las lneas de montaje producen

mucho menos que 75% de su capacidad mxima. El costo por la No Confiabilidad, para cada lnea,

sobrepasa USD 500.000 por turno. Esto excede USD 1,5 millones por da, para tres

turnos por da..

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GarantGaranta de a de RoutersRouters

Un gran proveedor de routers de Internet model la disponibilidad utilizando modelos exponenciales (actualmente tienen un problema grave de mortalidad infantil).Como para modelar los retornos en garanta se

basaron en modelos exponenciales, sus resultados estaban muy optimistas y en la realidad estaban experimentando una disponibilidad muy baja de los routers dentro del perodo de garanta.

Altos costos con reclamos por garanta.

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Ensayo de DurabilidadEnsayo de Durabilidad

una gran empresa de autopiezas redujo la inversin en ensayos de bancos de prueba. Para demostrar sus metas de Confiabilidad ellos

hacen algunas pruebas de Confiabilidad en componentes. Ej: Ellos prueban cilindros de freno en bancos y

los aprueban si el tiempo de prueba acumulado de los tems en prueba pasaron de 1.000.000 km.

Este tipo de ensayo de Confiabilidad: Es una buena estrategia para la empresa?

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Responsabilidad del productoResponsabilidad del producto

Considere el caso Firestone. El problema fue la Confiabilidad en

condiciones extremas de operacin y la interaccin entre los factores peso, temperatura, velocidad y calibrado.

Fue evaluado correctamente el perfil de uso del cliente?

Quin paga por esto y cunto ?

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MantenciMantencinn El costo medio de reparacin de una bomba es de

$8.000 en una industria petroqumica. El Tiempo Medio Hasta la Falla de esta bomba es

de 18 meses. Dado el gran nmero de bombas existentes en la

empresa, los costos de reparacin podran representar millones de dlares.

El conocimiento del Comportamiento de Vida de este componente permiti la implementacin de acciones de mejora que generaron una reduccin de 30% de las fallas.

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Las fallas pueden tener muchos efectos, desde Las fallas pueden tener muchos efectos, desde un desagrado hasta una catun desagrado hasta una catstrofe!strofe!

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Confiabilidad es dinero!Confiabilidad es dinero!

A pesar de que la Confiabilidad es una metodologa Matemtica y Estadstica, su aplicacin en productos y equipamientos tiene impacto directo en el desempeo de las empresas!

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Confiabilidad es dinero! (cont.)Confiabilidad es dinero! (cont.)

En una visin general, todos sabemos que no se puede administrar una empresa sin los datos, informes y pronsticos financieros precisos.

No deberan ser debidamente analizados, los datos de confiabilidad de su empresa y divulgados, dado que la Confiabilidad genera lucro o perjuicio?


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Conceptos de ConfiabilidadConceptos de Confiabilidad

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Lamentablemente la Confiabilidad no se Lamentablemente la Confiabilidad no se compra envasada...compra envasada...

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28

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29

Balance de la ConfiabilidadBalance de la Confiabilidad

La Confiabilidad debe estar balanceada con los otros aspectos de negocio de la empresa, como costos de produccin, ventas, caractersticas del producto y satisfaccin del cliente.

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Quien debe estar involucrado?Quien debe estar involucrado?

Personal de produccin Gerentes y Ejecutivos

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31

Quien debe estar involucrado?Quien debe estar involucrado?en resumen, TODO EL MUNDO.

Concentrando los intereses y los esfuerzos de todos en la organizacin, para que el programa de Confiabilidad sea un xito.

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32

CuCundo se debe aplicar la Confiabilidad?ndo se debe aplicar la Confiabilidad?

Desde el nacimiento hasta la muerte.(Todo el ciclo de vida del producto.)

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33

CuCundo se debe aplicar la Confiabilidad?ndo se debe aplicar la Confiabilidad?

Inicio del Proyecto Pruebas de Confiabilidad (piezas). Fase Intermediaria del Desarrollo Pruebas de

Confiabilidad de los prototipos. Fase Final del Desarrollo Demostracin previa de la

Confiabilidad de las pruebas de desarrollo. Fase de la Produccin Inicial Determinacin de la

variacin de la Confiabilidad debido a los efectos del inicio de produccin.

Fase de Produccin Determinacin de los efectos de los cambios de proyecto y el proceso, en la Confiabilidad.

Ps Venta Determinacin de la Confiabilidad a lo largo de la utilizacin del producto, para subsidiar nuevos proyectos.

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34

IngenierIngeniera de Confiabilidad Xa de Confiabilidad XControl de calidad Control de calidad

La Ingeniera de Confiabilidad estudia el comportamiento de la tasa de falla en el tiempo.

El Control de Calidad estudia Cuantos productos estn fuera de las especificaciones, o presentan defectos en un instante dado en la lnea de produccin.

La Confiabilidad es la calidad en el tiempo.

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35

Costo del producto X ConfiabilidadCosto del producto X Confiabilidad Si un fabricante aumenta la Confiabilidad

de su producto, el (generalmente) aumentar el costo del proyecto y/o produccin de un producto semejante. De cualquier modo, una baja produccin y

costo del proyecto no significa un bajo costo en el producto final.

El costo del producto deber ser determinado no solamente por el costo del producto hasta la puerta de la fbrica, sino tambin incluyendo el costo total del producto durante el tiempo de vida.

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36

Costo del producto X Confiabilidad Costo del producto X Confiabilidad

El costo total del producto es la suma del costo del proyecto, costo de fabricacin y otros costos ps-embarque.

Aumentando la Confiabilidad del producto, usted puede aumentar el costo de su producto, pero reducir el costo en soporte. un costo total mnimo ptimo del producto puede

ser determinado a travs de la definicin de la Confiabilidad ptima para este producto.

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38

Confiabilidades BConfiabilidades Bsicassicas El anlisis de Confiabilidad requiere una buena

comprensin del comportamiento de la tasa de falla del producto. La mayora de los productos comenzarn sus vidas con

alta tasa de falla y despus presentarn una reduccin a partir de un determinado punto.

La tasa de falla entonces se estabiliza y se mantiene constante durante la vida til del producto.

Con el paso del tiempo el producto envejece, se desgasta y la tasa de falla comienza a aumentar rpidamente con el tiempo.

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IlustraciIlustracin n BurnBurn--inin

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MantenciMantencin Preventivan Preventiva

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Cuantificando la ConfiabilidadCuantificando la Confiabilidad

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44

Cuantificando la ConfiabilidadCuantificando la Confiabilidad La probabilidad de que un tem, desempee una

funcin dada, sin fallar por un determinado perodo de tiempo y dentro de ciertas condiciones de uso.Funcin del tiempoFuncin de las condicionesDefinicin precisa del Modo de Falla...

El Control de Calidad tradicional, garantiza que el producto funcionar despus del montaje si estconforme con su especificacin. La Confiabilidad observa el perodo de duracin en que el producto funcionar.

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45

CCmo se calcula la Confiabilidad?mo se calcula la Confiabilidad?

Necesita de Datos Necesita de Modelos Necesita un diagnstico para la eleccin

del modelo apropiado. Necesita de medios para ser comunicada. Grficos Informaciones NumricasCostos

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46

CompaCompaa de Seguros como Ejemploa de Seguros como Ejemplo

Su objetivo es crear una pliza de seguro de vida para hombres chilenos.Usted quiere una pliza que maximice su lucro!

An cuando la mayora de las empresas no son compaas de seguros, ellas tienen la misma responsabilidad dado que subscriben porque todo producto posee un perodo de garanta. A diferencia de un tpico seguro de vida, adems de la responsabilidad financiera (garanta), las empresas tambin temen la legalidad y los riesgos sobre la imagen de la empresa asociada a las fallas.

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47

Ejemplo: CompaEjemplo: Compaa de Seguro a de Seguro

Para alcanzar de forma inteligente su objetivo, usted necesita saber la vida de los hombres chilenos. Usted necesita de datos de mortalidad.Necesita saber como describirlos (un modelo). Los Modelos deben describir adecuadamente la

vida de los hombres chilenos!

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48

Ejemplo: CompaEjemplo: Compaa de Seguros a de Seguros Los siguientes datos fueron obtenidos:

Es suficiente decir que la vida promedio (basada en estos datos) es 71,9 aos de edad? Si el objetivo es entregar un seguro de vida para 20

hombres con 50 aos de edad y otros 20 hombres con 40 aos: Esta media me ayudar en la determinacin de Cuanto cobrar ?

Muestra de datos de mortalidad (edad):

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49

Ejemplo: CompaEjemplo: Compaa de Segurosa de Seguros

Usted necesita mas informacin que solamente la media.Usted necesita de una estimacin de Cuantos

asegurados sobrevivirn en el prximo ao, dado sus edades actuales. Necesita cuantificar:

Como la tasa de mortalidad varia de grupo para grupo, cambiando la faja etria.

El nmero de bitos esperados en cadagrupo por faja etria.

Si estamos analizando productos/equipamientos, la tasa de mortalidad puede ser entendida como tasa de falla.

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50

Ejemplo: CompaEjemplo: Compaa de Seguros a de Seguros

Usted necesita de un modelo que pueda generar los resultados deseados. En la mayora de los casos, ser un modelo

probabilstico entregando informaciones de probabilidad, tales como: La expectativa es que 99,9% de los hombres con

40 aos de edad sobrevivan un ao mas. La expectativa es que 99,3% de los hombres con

50 aos de edad sobrevivan un ao mas. El modelo describir la probabilidad de

sobrevivencia (Confiabilidad).

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ModelosModelos

Estos modelos entregan la estimacin de tasa de falla del producto en funcin del tiempo, ellos estiman la probabilidad de falla (sobrevivir) del producto para una dada edad, o para un dado perodo de tiempo.

Los modelos son representaciones matemticas de los datos, dado por funciones continuas, las que permiten interpolaciones y algunas extrapolaciones.

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52

Modelos Modelos

Estos modelos probabilsticos estn basados en distribuciones estadsticas. las mas utilizadas son denominadas

distribuciones de vida.

, Weibull

, Lognormal

Exponencial

or MTBF

=

t

etR )(

tetR =)(

=

ttR 1)(

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53

Modelos para Datos de VidaModelos para Datos de Vida Primero necesitamos definir el modelo. Nosotros caracterizamos modelos por el

comportamiento de la falla de los mismos. Tasa de falla es la chance de fallar en la prxima y

menor unidad de tiempo, dado que el tem funcionhasta entonces. Tasas de falla pueden ser crecientes, decrecientes,

constantes, en forma de baera o ninguno de los citados anteriormente. Tasa de falla creciente (desgaste, vejez). Tasa de falla decreciente (mortalidad infantil). Curva de la baera (mortalidad infantil seguida de

desgaste).

1

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2

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54

Curva de la Tasa de FallaCurva de la Tasa de Falla

0

0.01

2.00E-3

4.00E-3

6.00E-3

8.00E-3

0 800.00160.00 320.00 480.00 640.00

Failure Rate vs Time Plot

Time, (t)

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R

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07:44 9/19/00RSPSDr.Dave Olwell

Multi-PlotData 1

W-2 MLE - SRM MEDF=0 / S=0

1=1.00, 1=300.00

Data 2


2=0.50, 2=300.00

Data 3


3=2.00, 3=300.00

Data 4


4=3.00, 4=300.00

1

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2

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55

Un conjunto de datos, Cuatro ModelosUn conjunto de datos, Cuatro Modelos

0

0.04

8.00E-3

0.02

0.02

0.03

0 500.00100.00 200.00 300.00 400.00

Failure Rate vs Time Plot

Time, (t)

F

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56

Los Modelos son Construidos a partir de DatosLos Modelos son Construidos a partir de Datos

Bancos de Pruebas Datos de terreno (campo) Bancos de PruebasEnsayo Durante el Desarrollo del Proyecto Ensayo de CalificacinEnsayos de VidaEnsayos acelerados de Vida Cuantitativos Ensayos de Crecimiento de la Confiabilidad

Buenos Datos+ Modelo Apropiado = Buen Resultado

1

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57

Datos de TerrenoDatos de Terreno

Recolectados a partir de centrales telefnicas, reclamos de garantas, inspecciones de tems desarrollados.

Pueden contener Datos sesgados. Reflejan las condiciones actuales de uso

(y abuso). Requiere sistema de colecta y anlisis de

datos: FRACAS / RS-QTMS

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58

PreparaciPreparacin de Datosn de Datos

90% de los esfuerzos!! Obteniendo los datos Calificando los datosEntrada CorrectaRepresentatividadSin Desvos

Tabulando Datos de forma correcta

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59

Ejemplo VehEjemplo Vehculos 4x4culos 4x4 En los aos 60, pruebas en un

vehculo 4x4 decan que el chofer no excedera 80.km/hr.

En la comercializacin la tasa de falla en terreno fue mucho mayor que la prevista.

Futuras evaluaciones con clientes revelaron que, frecuentemente, conductores dirigan modelos 4x4 por sobre los 80.km/hr.

Los ensayos en banco de pruebas fueron rediseados para reflejar esta nueva realidad.

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60

Ejemplo inversoEjemplo inverso Ensayos en bancos de prueba

indicaron que los compresores de refrigeradores eran extremamente confiables.

Sin embargo, los compresores estaban retornando en garanta en gran cantidad.

El reembolso del servicio prestado por los tcnicos de mantencin de los refrigeradores estaba correlacionado con el valor de las partes cambiadas.

La poltica de reembolso fue modificada y posteriormente fue confirmado el bajo nmero de fallas.

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61

Ejemplo: Sistema de InyecciEjemplo: Sistema de Inyeccin de n de CombustibleCombustible

Sistemas de inyeccin de combustible son proyectados para no necesitar de servicio durante las primeras 160.000 km de uso.

Cuando el vehculo va a la primera visita programada a las concesionarias piden hacer ajustes en la inyeccin.

Ningn tem es retornado al fabricante!

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62

Ejemplo Cartuchos para ImpresoraEjemplo Cartuchos para Impresora

Cartuchos para impresora poseen garanta.

Muchos fabricantes poseen poltica libre de retorno. Estimulados por distribuidores.

Algunos cartuchos son retornados vacos y a esto son asociados costos de garanta, an cuando no hayan fallas. Tal tipo de datos deben ser

cuidadosamente analizados para determinar si el origen de la causa est en el proceso o en el producto.


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63


IngenierIngeniera de Confiabilidad y a de Confiabilidad y EstadEstadsticastica

Break Point

1

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64

AnAnlisis de Datos de Vidalisis de Datos de Vida

El Anlisis de Datos de Vida utiliza metodologas estadsticas para construir modelos probabilsticos, a partir de Datos de vida.

Los modelos son utilizados para realizar previsiones precisas.

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65

Estimaciones & PrevisionesEstimaciones & Previsiones

En el Anlisis de Datos de Vida y en la Ingeniera de Confiabilidad todo estbasado en estimaciones.

El valor real de la Confiabilidad de un producto nunca ser conocido. El valor real de la Confiabilidad solo ser

conocido cuando todos los productos ya hayan fallado.

El objetivo de la Ingeniera de Confiabilidad es prevenir con precisin el valor real.

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66

Para Ilustrar...Para Ilustrar... Tenemos una piscina con bolitas negras y rojas.

Calcule el porcentaje de bolitas negras, P.

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67

Tome una muestra de 20 bolasTome una muestra de 20 bolas

8/20 negras 12/20 rojas 40% son negras & 60% son rojas

1

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68

Tome otra muestra de 20 bolasTome otra muestra de 20 bolas

11/20 negras 9/20 rojas 55% son negras & 45% son rojas

1

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69

92/200 - rojas108/200 - negras54% son negras & 46% son rojas

Tome una muestra de 200 bolasTome una muestra de 200 bolas

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70

95/200 - rojas105/200 - negras52.5% son negras & 47.5% son rojas

Tome otra muestra de 200 bolasTome otra muestra de 200 bolas

1

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71

Tipos de Datos de ConfiabilidadTipos de Datos de Confiabilidad

Los tipos de datos afectan el proceso de estimacin de la Confiabilidad.

Es de fundamental importancia la correcta clasificacin del tipo de dato.

X=10 X=15

X30

10

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72

Censurado (Olvidando la Historia)Censurado (Olvidando la Historia)

La mayora de los Datos de Confiabilidad contiene censuras (informacin incompleta).

nuestros modelos y Anlisis deben ser capaces de tratar esos casos!

? ??

?

?

?

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73

Datos Completos

Datos CensuradosCensura a Derecha

Censura en Intervalo

Censura a Izquierda

Datos Completos y Censurados Datos Completos y Censurados

?

?

?

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74

Datos Censurados a DerechaDatos Censurados a Derecha 100 bombas operando por tres meses.

una fallo durante el primer mes. una fallo durante el segundo mes. Dos fallaron en el tercer mes.

Cual es el tiempo medio de falla?

?25.24

)3(2)2(1)1(1=

++

1

9

9

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2

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0

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75

Datos Censurados a DerechaDatos Censurados a Derecha Si usted fabric 100 unidades y tres

retornan en el primer mes, Dos en el mes siguiente, Cual es la media de retorno?

usted puede ignorar las unidades que no retornan?

usted no puede responder esta cuestin sin utilizar un modelo apropiado para este tipo de datos.

?4.15

)2(2)1(3=

+

1

9

9

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76

Datos Censurados a Derecha, SuspensionesDatos Censurados a Derecha, Suspensiones Suspensiones son tems donde los tiempos de

falla solo sern conocidos cuando excedemos ciertos valores de tiempo. Las 95 unidades restantes fueron suspendidas.

Nosotros solo sabemos que el tiempo de falla de ellas es mayor que 2 meses.

Las Suspensiones no agregan tanta informacin como los tiempo de falla exactos.

Las Suspensiones requieren tratamientos estadsticos especiales.

Las Suspensiones no deben ser ignoradas.


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77


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78

Variables AleatoriasVariables Aleatorias En general, la mayora de los problemas en

Ingeniera de Confiabilidad son problemas referentes a cuantificacin de medidas, tales como el tiempo hasta la falla de un componente, o si un componente fall o no. Evaluando un componente para saber si es defectuoso

o no, tendremos solamente dos posibilidades. Se puede denotar con la variable aleatoria X con las posibles salidas (defectuoso o no defectuoso). En este caso, X es una variable aleatoria que solo puede poseer uno de estos valores.

En el caso donde tenemos tiempo hasta la falla, nuestra variable aleatoria X puede poseer el valor de tiempo hasta la falla del producto o componente y su valor va de 0 hasta el infinito (en el caso donde no tenemos el tiempo exacto).

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79

VariVariblesbles Aleatorias DiscretasAleatorias Discretas Si la variable aleatoria contiene solamente

informaciones de valores pr definidos, entonces se denomina variable aleatoria discreta.

Por ejemplo, el resultado del lanzamiento de un dado honesto, (con seis lados), puede ser:1, 2, 3, 4, 5 6.

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80

Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas Si nuestra variable aleatoria puede asumir

cualquier valor en una escala continua, entonces esta se define como una variable aleatoria continua.

Kilmetros hasta la falla, para un neumtico puede tomar cualquier valor a partir de 0 hasta infinito, o 10.000 kilmetros, 17.523 kilmetros, etc.

En esta presentacin, vamos atrabajar casi exclusivamente con variables aleatorias continuas.

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81

FunciFuncin de Densidad de Probabilidad y n de Densidad de Probabilidad y FunciFuncin de Distribucin de Distribucin Acumuladan Acumulada

A partir de la probabilidad y de la estadstica, dada una variable aleatoria continua X, denotamos:

La funcin densidad de probabilidad (distribucin), pdf, como f(x). La funcin distribucin acumulada, cdf, como F(x).

La pdf y la cdf dan una descripcin completa de la distribucin de la probabilidad de la variable aleatoria. ellas describen la probabilidad de esta variable aleatoria.

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82

32.8 148.7 53.9 53.4 28.2 45.6 106.5 65.3 188.0 37.615.1 18.2 85.8 101.4 116.5 96.5 110.6 55.1 104.9 22.222.4 82.3 44.6 5.1 9.2 48.2 130.8 20.6 34.6 57.477.9 38.1 44.9 26.7 67.5 129.2 44.2 94.3 211.3 181.246.7 89.1 93.9 46.9 22.3 52.3 74.2 35.4 58.7 19.628.2 144.7 32.7 8.9 91.5 70.8 35.6 64.0 26.3 161.683.5 30.5 97.3 21.1 88.6 48.8 23.6 38.6 24.1 71.7

124.8 120.1 147.1 72.0 31.2 28.8 178.0 16.6 20.2 21.530.1 82.2 60.3 102.7 82.1 65.4 89.8 41.9 57.0 44.868.9 103.0 41.9 78.1 38.6 35.0 75.7 28.5 53.9 49.4

Definiciones: Definiciones: pdfpdf

Considere un conjunto de Datos representando 100 variables aleatorias continuas, obtenidas de una misma poblacin, como muestra la siguiente tabla:

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83

DefinicionesDefiniciones: : pdfpdf

Supongamos que queremos saber el comportamiento de estos datos. Podramos clasificar los Datos separndolos

por intervalos y visualizar la proporcin de Datos en cada intervalo. Cambiando el tamao del intervalo, podemos

obtener una representacin grfica del comportamiento de los Datos de manera mas refinada.

Una representacin grfica de esta clasificacin es llamada histograma.

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84

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1-25 26-50 51-75 76-100 101-125 126-150 151+

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pdfpdf

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89

Si X es una variable aleatoria continua, entonces la funcin de densidad de probabilidad, pdf de X, es una funcin f(X) tal que, para dos nmeros, a y b con a < b resulta:

Esto es, la probabilidad de X tener un valor en el intervalo [a,b] es el rea de la funcin densidad entre a y b. La probabilidad de X tener un valor menor que a es el rea de 0

hasta a.

Definiciones: Definiciones: pdfpdf

= ba dxxfbXaP )()(f(x)

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analisis de datos de vida

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