ANLISIS 1

Semestre: 5

Crditos: 10

Horas a la semana:

a) teora: 5

b) practica: 0

Requisitos: Calculo 1-4, lgebra Lineal

Objetivo: Introducir al estudiante a los conceptos fundamentales de espacios mtricos, continuidad y convergencia de sucesiones en espacios mtricos, propiedades de funciones montonas y variacin acotada, integrales de Riemann Stieltjes.

TEMARIO:

I. Espacios mtricos. (4 semanas)

1.1. Definicin y ejemplos. Aplicaciones continuas. Isometra.

1.2. Convergencia. Adherencia. Puntos de acumulacin. Conjuntos abiertos y cerrados. Conjuntos perfectos. Conjuntos conexos.

1.3. Espacios mtricos completos. Principio de bolas encajadas. Teorema de Baire. Completud de un espacio mtrico.

1.4. Compacidad en espacios mtricos. Acotacin total. Criterios de compacidad y de compacidad relativa. Teorema de Heine-Borel. Teorema de Bolzano-Weierstrass.

2. Continuidad y convergencia de funciones en espacios mtricos. (4 semanas)

2.1. Funciones continuas. Propiedades globales de las funciones continuas.

a) Preservacin de compacidad y conexidad. b) Teorema del valor medio.

2.2. Principio de aplicaciones contradas y sus aplicaciones. Teorema de punto fijo.

2.3. Convergencia puntual y uniforme.

2.4. Aproximacin. Teorema de Dini. Teorema de Stone-Weierstrass.

2.5. Familias equicontinuas de funciones. Teorema de Arzel-Ascoli.

3. Funciones montonas y de variacin acotada. (3 semanas)

3.1. Semicontinuidad.

3.2. Diferenciabilidad de funciones montonas.

3.3. Funciones de variacin acotada. Relacin con funciones montonas.

3.4. Principio de seleccin de Helly.

3.5. Funciones continuas de variacin acotada.

4. Integral de Riemann - Stieltjes. (5 semanas)

4.1. Integral superior, integral inferior. Definicin de integral de Riemann

- Stieltjes. Criterios de integrabilidad.

4.2. Propiedades de la integral (linealidad, monotona, etc.).

4.3. Integrabilidad de funciones continuas. Integracin por partes y relacin con la derivada (cambio de variable y teorema fundamental de clculo).

4.4. Representacin de Riesz de funcionales en espacios de funciones continuas.

4.5. Convergencia uniforme e integracin.

4.6. Integracin de funciones acotadas.

4.7. Curvas rectificables.

Bibliografa:

1.W. Rudin. Principios de Anlisis Matemtico, Ed. McGraw-Hill, 1980.

2. S. Lang, Introduccin al Anlisis Matemtico, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana,1990.

3. R.G. Bartle. The Elements of Real Analysis, Ed. Wiley

International, 1974.

4. S. Lang, Real Analysis. Ed. Addison-Wesley.

5. Tom M. Apostol. Mathematical Analysis. (A modern approach to Advanced Calculus). Ed. Addison-Wesley Inc. 1965.

6.A.N. Kolmogorov y S.F. Fomin, Introduction to real Analysis.

Dover, 1970.

7.H.L. Royden. Real Analysis, Collier-MacMillan Editors, 1968.

8. N. B. Haaser y J. A. Sullivan, Anlisis Real, Editorial trillas, Mxico, 1978