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CONTROLLI AUTOMATICI I Prof. Francesco BASILE

ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO ATEMPO CONTINUO

Schema generale di controllo in retroazione

Requisiti di un sistema di controllo

Stabilita in condizioni nominali

Margine di guadagno e margine di fase

Analisi della funzione di sensitivitacomplementare

Analisi della funzione di sensitivita

Analisi della funzione di sensitivita del controllo

Sensitivita rispetto a incertezze parametriche

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1


SCHEMA GENERALE DI CONTROLLO INRETROAZIONE

� Schema di controllo in retroazione

� �� : funzione di trasferimento del sistema sotto controllo(strettamente proprio)

�� : funzione di trasferimento del regolatore (anche nonstrettamente proprio)



REQUISITI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO

Stabilita

� Stabilita in condizioni nominali� asintotica stabilita

� Stabilita in condizioni perturbate� �� modello approssimato, variazioni parametriche� stabilita robusta



Prestazioni

� Prestazioni statiche in condizioni nominali� segnali canonici dotati di trasformata di Laplace �� (sca-

lino, rampa)� segnali sinusoidali con componenti armoniche

� Prestazioni dinamiche in condizioni nominali� segnale di riferimento e disturbo: scalini� famiglia di risposte desiderate ( �� , �� , �� )

� moderazione della variabile di controllo (costo dell’azionedi controllo)



Funzioni di sensitivita e limiti alle prestazioni

� Funzione di sensitivita

� �� Funzione di sensitivita complementare

� �� Funzione di sensitivita del controllo

� ��

� ��

� ��

��



� Idealmente

� ��

� �� effetto nullo di � su �

�� mancanza di attenuazione dell’effetto di � su � e � � �� crescente con �� amplifica-

zione componenti alta frequenza di � (in contrasto con ilrequisito di moderazione!)

� �� strettamente propria, �� al piu propria � � �� strettamente propria:

� �� strettamente propria,� �� propria ( �� , ��

!)

� Azione combinata di� �� e � �� mediante scelta opportuna di

�� specifiche tradotte in termini di � ��



STABILITA IN CONDIZIONI NOMINALI

� Sistema retroazionato ai fini dell’analisi di stabilita (stabilitaindipendente dagli ingressi)

� condizione necessaria: � �� non ha autovalori a parte realepositiva o nulla

� Asintotica stabilita: tutte le radici dell’equazione caratteristica

� � � ��

hanno parte reale minore di zero� possibile applicazione del criterio di Routh (di scarsa utilita

nella sintesi di un regolatore)� criterio di Nyquist



Diagramma di Nyquist

� Percorso di Nyquist

� Diagramma di Nyquist = diagramma polare



� Esempio� ��

� diagrammi di Nyquist



Criterio di Nyquist

� Ipotesi� P: numero di poli di � �� a �� N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist di� �� attorno al punto � � (positivi se in senso antiorario,

negativi se in senso orario)

� Condizione necessaria e sufficiente perche il sistema retroazio-nato sia asintoticamente stabile e che

�sia ben definito e risulti� ��

� Dimostrazione�� senza radici in comune

�� zeri di

�� = poli del sistema in anello chiuso

poli di �� = poli di � �� ( � a �� )

� �� : diagramma di Nyquist passa per l’origine delpiano complesso � �� ha uno o piu zeri in �� (dia-gramma di � �� passa per il punto � � : sistema in anellochiuso non asintoticamente stabile!)



� �� non ha zeri in �� contributo di fase di � zeri ( �� = un giro in senso orario)e � poli ( �� = un giro in senso antiorario) di

�� internial percorso

� numero di giri in senso antiorario attorno all’origine � ��

numero di rotazioni di � �� intorno al punto � �� per l’asintotica stabilita (altrimenti � � � poli a�� )




� sistema in anello chiuso: ��

�� , � � � : � �� , � � � � asintotica stabilita

�� , � � � : � � �

,� � � � instabilita

�� , � � � : � �� , � � �

� � � � � as. stab.non definito �

� � �� instab.

�� , � � � : � � �

,� � �

� � � � � instab.non definito �

� � �� as. stab.




� � � �

� diagramma di Nyquist

�� asintotica stabilita ( �� )



� Esempio � ��


� �non definito: ��




� ��


�� , � � � �� asintotica stabilitanon definito �� instabilita

� valutazione di � � ( �� : pulsazione di attraversamento)

��

� � ��

��

: asintotica stabilita, ��

: instabile



Estensioni del criterio di Nyquist

� Guadagno d’anello variabile

��

��

� come sopra, sostituendo al punto � � il punto � � � � e a ��

��



� Sistemi con retroazione positiva

� equazione caratteristica

� � ��

� come sopra sostituendo al punto � � il punto��



� Sistemi in anello aperto asintoticamente stabili�� asintotica stabilita iff

� �� sistema con retroazione (negativa o positiva) con � �� asint-

oticamente stabile (diagramma di Bode del modulo sottol’asse a � dB: � � � ��

�,

� � � asintotica stabilita)

nel caso di �� : � ��

�,

� � � asintoticastabilita

come sopra: � �� , � � � asintotica stabilita



� Esempio

� ��

� sistema retroazionato asintoticamente stabile (al diminuiredi � diagramma si avvicina sempre piu al punto � � )

� come sopra nel caso di � � �(poli reali negativi)



� Sistemi a stabilita condizionata� sistema retroazionato, asintoticamente stabile per un de-

terminato valore di � , diventa instabile al diminuire dellostesso




� ��

�� , � � � � � � � � � asintotica stabilitanon definito � � � � �� instabilita

� valutazione di ��

��

�� : asintotica stabilita, � � �� : instabile



� Sistemi con ritardo di tempo

� �� sfasamento negativo tanto maggiore quanto piu e elevato il

valore del ritardo � � probabile instabilita del sistema inretroazione




� � � �

� diagramma polare

�� , � � � � � : asintotica stabilita

��

��

��

�� : asintotica stabilita, altrimenti instabile



MARGINE DI GUADAGNO E MARGINE DIFASE

� Stabilita robusta = distanza nel piano complesso del diagrammapolare di � �� dal punto � �� esigenza di indicatori sintetici del grado di robustezza (sem-

plici da calcolare dai diagrammi di Bode): margini di stabi-lita

Margine di guadagno

� � �� per � �� con diagramma polare con una sola intersezionedel semiasse reale negativo

� margine di guadagno

��



� calcolo dai diagrammi di Bode



� Sistema retroazionato con guadagno d’anello modificato

� asintotica stabilita per � � � � (grado di robustezza a frontedi possibili incertezze sul guadagno d’anello)


� � � ��



Margine di fase

� � � � per � �� con guadagno positivo e diagramma polarecon una sola intersezione del semiasse reale negativo

� margine di fase ( �� : pulsazione critica)

� � � ��



� calcolo dai diagrammi di Bode



� Sistema retroazionato con ritardo

� asintotica stabilita per � � � � � � �� (grado di robu-stezza a fronte di possibili incertezze sulla fase della fun-zione d’anello)


� � � ��

� ��



� Sistema del secondo ordine, privo di zeri, con guadagno unitario� coppia di poli complessi coniugati, dominanti (nettamente

piu vicini all’asse immaginario rispetto agli altri poli)

� � � ��

� � � ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� � � ��

� � � � � � � � � �

� in maniera approssimata

� � � �

��

� ��



ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITACOMPLEMENTARE

� Prestazioni statiche e dinamiche del sistema (asintoticamentestabile)

� Funzione di sensitivita complementare

� ��

� funzione di trasferimento tra il riferimento � e l’uscita �� funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il di-

sturbo � e l’uscita �� funzione di trasferimento tra il disturbo � e l’errore



Analisi statica

� Funzione di trasferimento d’anello

� ��

��

��

��

� � � �

��

�� Prestazioni statiche� migliori quando � possiede almeno un polo nell’origine

� � �� if � �� then conviene aumentare �

�� : � �� instabile

� if � � � , � �� contiene almeno un’azione derivativa ( � ��in corrispondenza di qualunque � )



Poli e zeri

� Comportamento dinamico

� �� zeri di

� �� = zeri di � �� poli di

� �� = radici del polinomio caratteristico del sistemaretroazionato (luogo delle radici)



Risposta in frequenza

� � � � per � �� , diagramma di Bode di � � � �� attraversa unasola volta l’asse a � dB

� � � ��

� � � ��

� Comportamento da filtro passa-basso con guadagno unitario ebanda passante � pulsazione critica� tutte le componenti di � a pulsazione minore di � � riprodotte

fedelmente in � (anche per le componenti di � !)�� progetto del sistema di controllo: conveniente aumentare�� per poter inseguire variazioni veloci di � (attenzione

componenti di � in alta frequenza!)



ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITA

� Funzione di sensitivita

� ��

� funzione di trasferimento tra il disturbo � e l’uscita �� funzione di trasferimento tra il riferimento � e l’errore � funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo� e l’errore



Analisi statica

� Funzione di trasferimento d’anello in forma fattorizzata

��

� � ��

��

� � ��

��

� � ��

� Prestazioni statiche� migliori quando � possiede almeno un polo nell’origine

� � �� if � �� then conviene aumentare �� if � � � , � �� contiene almeno un’azione derivativa ( � �

in corrispondenza di qualunque � )



� Errore a regime con ingresso canonico al variare del tipo dellafunzione d’anello

� � ��

��

��

� � ��

� � � � � ��

� � � ��

��

� � � � ��

�

� � � � � ��

� � � � � �



Poli e zeri


� �� zeri di � �� = poli di � �� poli di � �� = poli di

� ��





� � � ��

� �

� � � ��

� � � ��

� Comportamento da filtro passa-alto� tutte le componenti di � a pulsazione minore di � � attenuate

in � �� progetto del sistema di controllo: conveniente aumentare � �



ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITADEL CONTROLLO

� Funzione di sensitivita del controllo

� �� funzione di trasferimento tra il riferimento � e la variabile

di controllo �� funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo� e la variabile di controllo �

� funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbo� e la variabile di controllo �



Analisi statica

� Funzione di trasferimento d’anello in forma fattorizzata

��

� ��

� ��

��

� if ��

then ��

�� : � � inversamente proporzio-

nale al guadagno del processo da controllare � buone pre-stazioni statiche solo con valori elevati della variabile dicontrollo



Poli e zeri


� ��

��

��

��

��

��

� ��

��

� zeri di� �� = zeri di �� + poli di ��

� poli di� �� = poli di

� ��





� � � ��

� �

� ��

�� progetto del sistema di controllo: evitare l’impiego di rego-

latori con � �� elevato ad alta frequenza (per limitare lesollecitazioni sulla variabile di controllo)



SENSITIVITA RISPETTO A INCERTEZZEPARAMETRICHE

� Sistema retroazionato affetto da incertezze parametriche

� per piccole variazioni del parametro �

� ��

��

��

��



� sistema in anello chiuso

� ��

� ��

��

��

� ��

� �

� ��

�� Nell’intervallo di pulsazioni in cui

�� , la presenza

della retroazione produce una notevole attenuazione dell’effettodell’incertezza



� Esempio: sistema retroazionato con guadagno d’anello incerto(

�� )

� in anello aperto

� � ��

��

��

� in anello chiuso

��

��

��

��

� ��

��


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