analasisi en ansys de disco de espesor variable

“DISCO DE ESPESOR VARIABLE”

CONTENIDO

Datos Iniciales y Propiedades del Material.........................................................................................2

Análisis Dinámico...............................................................................................................................3

Sección 1........................................................................................................................................3

Sección 2........................................................................................................................................4

Sección 3........................................................................................................................................5

Sección 4........................................................................................................................................6

Sección 5........................................................................................................................................6

Sección 6........................................................................................................................................7

Sección 7........................................................................................................................................8

Sección 8........................................................................................................................................8

Sección 9........................................................................................................................................9

Análisis Estático................................................................................................................................10

Margen de Seguridad.......................................................................................................................14

Conclusión........................................................................................................................................15

1

Objetivo.

Diseñar en Ansys el problema propuesto, así como aplicar todo lo aprendido durante el curso.

Marco Teórico.

Cilindros de pared gruesa

Sea un cilindro sometido a presión externa e interna, Ilustración 1.1, donde se analiza una sección transversal de ancho unitario y lejos de las tapas para despreciar sus efectos. Se toma un elemento diferencial de la sección transversal situado a una distancia “r” del eje longitudinal.

Es caracterizado por esfuerzos específicos del elemento:

1. A lo largo del radio: ESFUERZO RADIAL

σ r=a2 Pi−b

2Pe

b2−a2−a2b2 (Pi−Pe)r2 (b2−a2 )

2. Aquellos situados a lo largo de la circunferencia: ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL O TANGENCIAL.

σ c=a2Pi−b

2Pe

b2−a2+a2b2 (Pi−Pe)r2 (b2−a2 )

2

Ilustración 1.1 cilindro sometido a presión externa e interna. (Imagen tomada de la presentación “MÉTODO APROXIMADO PARA EL ANÁLISIS DE ESFUERZOS EN DISCOS GIRATORIOS DE ESPESOR

VARIABLE, PARA DIFERENTES MATERIALES”.)

Se pueden encontrar algunos casos particulares en los cilindros de pared gruesa:

Cuando solo hay presión interna, es decir, Pe = 0:

σ r=a2∗Pib2−a2

− a2∗b2∗Pir2(b2−a2)

σ r=a2∗Pib2−a2

+ a2∗b2∗Pi

r2(b2−a2)

Cuando solo hay presión externa, es decir, Pi = 0:

σ r=−Peb

2

b2−a2 [1−a2

r2 ]σ c=−Pe b

2

b2−a2 [1+ a2

r2 ]DISCO GIRATORIO DE ESPESOR UNIFORME.

3

Partiendo de las bases anteriores; cuando se tiene un disco que gira alrededor de su eje, debido a la velocidad angular, se producen fuerzas de inercia que originan esfuerzos que toman valores considerables a altas velocidades, Ilustración 1.2.

Ilustración 1.2 Disco giratorio de espesor unitario. (Imagen tomada de la presentación “MÉTODO APROXIMADO PARA EL ANÁLISIS DE ESFUERZOS EN DISCOS GIRATORIOS DE ESPESOR VARIABLE,

PARA DIFERENTES MATERIALES”.)

El método para sus análisis es el mismo que para un cilindro de pared gruesa; la diferencia es que debido a la velocidad angular, aparece una fuerza de inercia centrifuga de magnitud:

F c=γ ω2r2

gdrdθ

Dónde:

γ=peso específico delmaterialω=velocidadangularr=radio hastael puntoconsideradog=aceleracionde la gravedad .

Ahora bien, dado que la ecuación de equilibrio del cilindro de pared gruesa se ve modificada al agregar la fuerza de inercia centrifuga, el proceso de para resolver las ecuaciones es prácticamente el mismo con algunas variaciones, se llega a las ecuaciones del esfuerzo radial y circunferencial específicas del disco giratorio (tomando en cuenta las siguientes consideraciones):

ab=α ; r

b=x ;b∗ω=v

σ r=γ v2 (3+ν )8g [1+α2−x2−(α2x2 ) ](ESFUERZO RADIAL)

σ c=γ v2 (3+ν )8 g [1+α 2− (1+3 ν )

3+νx2

+(α 2x2 )](ESFUERZOCIRCUNFERENCIAL)

4

Cuando se tienen, además, fuerzas de extensión o compresión distribuidas uniformemente en la superficie (Pi) o en la superficie externa (Pe), entonces se superponen los efectos como si fuera un cilindro de pared gruesa bajo presión sumándole el efecto de disco giratorio.

Sea:

σ r=K−Dr2σc=K+ D

r2

Dónde:

K=(a¿¿2∗Pi)−(b2∗Pe)

b2−a2y D=

a2∗b2(Pi−Pe)b2−a2

¿

Superponiendo los esfuerzos del disco giratorio y sustituyendo los valores de α y x :

σ r=K−Dr2

+γ ϕ2 (3+ν )8g [( a2b2 )+1−( a2r2 )−( r2b2 )]

SiC=γ ϕ2 (3+ν )8g

=β1ϕ2=β1b

2ω2

σ r=K+C [( a2b2 )+1]− (Ca2+D )r 2

−β1ω2r2

Sea:

A=K+C [1+( a2b2 )]B=C a2+D

Finalmente, y haciendo lo mismo para el esfuerzo circunferencial o tangencial.

σ r=A−( Br2 )−β1ω2r2(ESFUERZO RADIAL)

σ c=A+( Br2 )−βω2 r2(ESFUERZOCIRCUNFERENCIAL)

Dónde:

β= γ (1+3 ν )8g

β1=γ (3+ν )8g

A y B son constantes que tienen diferentes valores para cada caso particular y emplea la siguiente notación:

5

s=σr+β1ω2 r2t=σ c+β ω

2r2w=1/r2

Sustituyendo las ecuaciones σ r y σ c

s=A−(B∗w )t=A+(B∗w)

Estas son las ecuaciones de una recta, al trazarlas nos queda la Ilustración 1.3:

Ilustración 1.3 Variación de s y t para un disco de espesor constante.

Donde podemos observar que la magnitud “A” es el cruce de la recta con la ordenada y ”B” es la pendiente de la recta. Si conocemos s y t para un punto w1 que cruza en s1 y t1 a las rectas, podemos obtener con facilidad los valores de s2 y t2 de otro punto w2 trazando una vertical que cruce ambas rectas. Las pendientes de ambas rectas son iguales y de sentido contrario.

DISCO GIRATORIO DE ESPESOR VARIABLE

El análisis de discos giratorios de espesor variable es más complicado, por lo que se usará un método aproximado basado en una superposición de discos de espesor uniforme desarrollado por M. Donat (Berlín 1912), Ilustración 1.5.

Los esfuerzos en cada disco se calculan como discos de espesor uniforme con las ecuaciones anteriores; ahora solo hay que considerar y agregar lo que sucede en las paredes adyacentes entre discos donde se producen cambios bruscos de esfuerzos.

6

Ilustración 1. 4 Discos de espesor variable, modelado y zonas críticas.

Ilustración 1.5 Método de superposición para el cálculo de esfuerzos en discos de espesor variable. (Imagen tomada de la presentación “MÉTODO APROXIMADO PARA EL ANÁLISIS DE ESFUERZOS

EN DISCOS GIRATORIOS DE ESPESOR VARIABLE, PARA DIFERENTES MATERIALES”.)

En la unión entre discos debe existir un equilibrio de fuerzas radiales, y suponiendo que los esfuerzos se distribuyen uniformemente según el espesor del disco, tendremos la siguiente ecuación:

σ r y=(σr+∆σ r)( y+∆ y)

Donde “y” y (y + y) representan los espesores de los discos adyacentes y sus correspondientes esfuerzos radiales están representados por σ r y (σ r+∆ σr), respectivamente.

Despejamos de aquí la variación del esfuerzo radial:

7

∆ σr=σ r yy+∆ y

−σ r=−∆ yy+∆ y

σ r

Para obtener la variación del esfuerzo circunferencial, igualamos la deformación unitaria circunferencial de ambos lados de la sección.

De las ecuaciones despejamos du/dr e igualamos para obtener de ahí la deformación u/r:

ur=σc−v∗σ r

E

Igualando para las dos secciones adyacentes:

(σc−νσr )E

=(σc+Δ σc )−ν (σr−Δσ r )

E

∆ σc=ν ∆σr

De esta manera las ecuaciones son:

s = ∆ σ rt = ∆ σc

Finalmente los esfuerzos reales están dados por:

σ ro=(σ r+ ∆s2 )+n(σ ' r+∆ s '2 )σ co=(σc+∆ t2 )+n(σ 'c+∆ t '2 )

Donde; c, r, s y t son los obtenidos mediante el cálculo dinámico, ’c , ’r , s’ y t’ son obtenidos mediante el cálculo estático, respectivamente.

n=σruo −σ ru

σ ' ruFactor de Simpson

Así es como a través de esta teoría comenzamos el cálculo aproximado conociendo el esfuerzo radial en el borde externo del disco. También se suponen conocidos los valores de módulo de Poisson y la densidad del material.

8

Datos Iniciales y Propiedades del Materialω=3000 rpm=314.159 rad

s

σ i=200kgcm2

g=981 cms2

Tabla 1.Propiedades del material del disco giratorio.

σ y E Relación de Poisson

γ

UnidadesMPa( kgcm2 ) MPa( kgcm2 ) - ( kgcm3 )

ALUMINIO 75 (764) 70 (0.705e6)

0.3 2.70e-3

9

Ilustración 1.Número de discos de espesor constante.

Análisis Dinámico.El cálculo se inicia a partir del esfuerzo radial σ i en el borde externo del disco.

Se debe calcular β y β1.

β=γ (1+3ν )8 g

=6.5367E-07 kg ∙ s2

cm4

β1=γ (3+ν)8 g

=1.13532E-06 kg ∙ s2

cm4

Se trazan los discos de espesor constante, que generan las 9 secciones a analizar. Del diagrama se determinan las distancias y ∆ y y los radios r, a y b.

Sección 1.σ i=σr 1=200

kgcm2

s1=z1

σ r1+ (β1ω2r 2)1=σ c1+(β ω2 r2 )1

Se despeja a σ c1.

σ c1=σr1+( β1ω2 r2 )1−( βω2r2 )1=296.2625kgcm2

10

Se de determinan s1 y z1.

s1=σ r1+(β1ω2 r2 )1=426.9046kgcm2

z1=σ c1+(β ω2 r2 )1=426.9046kgcm2

Se calcula el valor de ∆ s1 y ∆ z1.

Para la sección 1 el valor de ∆ y=0 por lo tanto:

∆ s1=∆σ r1=−∆ yy+∆ y

σ r1=0

∆ z1=ν Δs1=0

Se obtienen los valores de s '1 y z ' 1.

s '1=s1+Δs1=426.9046kgcm2

z ' 1=z1+Δ z1=¿426.9046 kgcm2

¿

Sección 2. Con los valores de la sección 1 se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para conocer el valor de las constantes A y B.

s '1=A−Bw1

z ' 1=A−B w1

Conocidos los valores de A y B se terminan s2 y z2.

s2=A−Bw2=426.9046kgcm2

z2=A−Bw2=426.9046kgcm2

Se calculan los esfuerzos σ r2 y σ c2.

σ r2=s2−( β1ω2r2 )2=256.4740kgcm2

11

σ c2= z2−(βω2r 2)2=328.7779kgcm2


Para la sección 2 el valor de ∆ y=−1.5cm por lo tanto:

∆ s2=∆σ r2=−∆ yy+∆ y

σ r2=384.7110kgcm2

∆ z2=ν Δs2=115.4133kgcm2


s '2=s2+Δs2=811.6157kgcm2

z ' 2=z2+Δ z2=542.3180kgcm2

Sección 3.Con los valores de la sección 2 se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para conocer el valor de las constantes A y B.

s '2=A−Bw2

z ' 2=A−B w2


s2=A−Bw3

z2=A−Bw3


σ r3=s3−(β1ω2r 2)3

σ c3=z3−(β ω2 r2 )3


Para la sección 3 el valor de ∆ y=1.5cm por lo tanto:

∆ s3=∆σ r3=−∆ yy+∆ y

σ r3

12

∆ z3=ν Δs3


s '3=s3+Δs3

z ' 3=z3+Δ z3


s '3=A−Bw3

z ' 3=A−B w3


s4=A−Bw4

z4=A−Bw4

Se calculan los esfuerzos σ r4 y σ c 4.

σ r4=s4−( β1ω2r 2)4

σ c 4=z4−(β ω2 r2 )4


Para la sección 4 el valor de ∆ y=2.5cm por lo tanto:

∆ s4=∆σ r 4=−∆ yy+∆ y

σr4

∆ z4=ν Δ s4


s '4=s4+Δs4

z ' 4=z4+Δ z4


s '4=A−B w4

z ' 4=A−Bw4

13


s5=A−Bw5

z5=A−Bw 5


σ r5=s5−(β1ω2r 2)5

σ c5=z5−(β ω2 r2 )5


Para la sección 5 el valor de ∆ y=2cm por lo tanto:

∆ s5=∆σ r5=−∆ yy+∆ y

σ r5

∆ z5=ν Δs5


s '5=s5+Δs5

z ' 5=z5+Δ z5


s '5=A−Bw5

z ' 5=A−B w5


s6=A−Bw6

z6=A−Bw6


σ r6=s6−(β1ω2 r2 )6

σ c6=z6−(β ω2 r2 )6


14


∆ s6=∆σ r6=−∆ yy+∆ y

σ r6

∆ z6=ν Δ s6


s '6=s6+Δ s6

z ' 6=z6+Δ z6


s '6=A−Bw6

z ' 6=A−Bw6


s7=A−Bw7

z7=A−Bw 7


σ r7=s7−(β1ω2 r2)7

σ c7=z7−(β ω2 r2 )7



∆ s7=∆σ r7=−∆ yy+∆ y

σ r7

∆ z7=ν Δs7


s '7=s7+Δ s7

z ' 7=z7+Δ z7

15


s '7=A−Bw7

z ' 7=A−Bw7


s8=A−Bw8

z8=A−Bw8


σ r8=s8−(β1ω2 r2 )8

σ c8=z8−(β ω2 r2 )8



∆ s8=∆σ 8=−∆ yy+∆ y

σ r8

∆ z8=ν Δ s8


s '8=s8+Δ s8

z ' 8=z8+Δ z8


s '8=A−Bw8

z ' 8=A−Bw8


s9=A−Bw9

z9=A−Bw9

16


σ r9=s9−(β1ω2 r2 )9

σ c9=z9−(β ω2 r2 )9



∆ s9=∆σ 89=−∆ yy+∆ y

σ r9=0

∆ z9=ν Δ s9


s '9=s9+Δ s9

z ' 9=z9+Δ z9

Análisis Estático.Para corregir el error existente el análisis dinámico se toma ’r1=0, ¿0y ’c1=

r 1(dinámico )2

σ ' c1=σ i

2=100 kg

cm2

Se de determinan s1 y z1.

s1=σr1+(β1ω2 r2 )1=0+0=0

z1=σ c1+(β ω2 r2 )1=100+0=100kgcm2

Se calcula el valor de ∆ ' s1 y ∆ ' z1.

Para la sección 1 el valor de ∆ y=0 por lo tanto:

∆ ' s1=∆ ' σ r1=−∆ yy+∆ y

σ r1=0

∆ z1=ν Δs1=0


s '1=s1+Δs1=0

17

z ' 1=z1+Δ z1=100kgcm2

Este procedimiento por ser iterativo se repite para las demás secciones como para el caso del análisis dinámico.

18

Tabla 2.Resultados del análisis estático.

Análisis EstáticoSección r [cm] r2 [cm2] W β1·ω2·r2 β·ω2·r2 y Δy ─Δy/(y+Δy) σ'r σ'c s z Δ's Δ'z s' z'

1 45 2025 0.00049383 0 0 2.5 0 0 0 100 0 100 0 0 0 1002 39 1521 0.00065746 0 0 2.5 -1.5 1.5 -16.5680 116.5680 -16.5680 116.5680 -24.8520 -7.4556 -41.4201 109.11243 29 841 0.00118906 0 0 1 1.5 -0.6 -102.2775 169.9698 -102.2775 169.9698 61.3665 18.4099 -40.9110 188.37974 22 484 0.00206612 0 0 2.5 2.5 -0.5 -125.4738 272.9425 -125.4738 272.9425 62.7369 18.8210 -62.7369 291.76365 17 289 0.00346021 0 0 5 2 -0.28571 -182.3348 411.3615 -182.3348 411.3615 52.0956 15.6287 -130.2391 426.99026 13 169 0.00591716 0 0 7 2 -0.22222 -328.0721 624.8232 -328.0721 624.8232 72.9049 21.8714 -255.1672 646.69477 9 81 0.01234568 0 0 9 2 -0.18181 -745.0675 1136.5950 -745.0675 1136.5950 135.4668 40.6400 -609.6007 1177.23508 7 49 0.02040816 0 0 11 2 -0.15384 -1193.0572 1760.6916 -1193.0572 1760.6916 183.5472 55.0641 -1009.5100 1815.75589 5 25 0.04 0 0 13 0 0 -2365.6376 3171.8834 -2365.6376 3171.8834 0 0 -2365.6376 3171.8834

Tabla 3.Resultados del análisis dinámico.

Análisis Dinámico Esfuerzos Reales

Secciónr

[cm]r2

[cm2] W β1·ω2·r2 β·ω2·r2 y Δy ─Δy/(y+Δy) σr σc S z Δs Δz s' z' σR [kg/cm2] σt [kg/cm2]1 45 2025 0.000493 226.9046 130.6420 2.5 0 0 200 296.2625 426.9046 426.9046 0 0 426.9046 426.9046 200 316.03032 39 1521 0.000657 170.4306 98.1267 2.5 -1.5 1.5 256.4740 328.7779 426.9046 426.9046 384.7110 115.4133 811.6157 542.3180 443.0981 408.79053 29 841 0.001189 94.2354 54.2567 1 1.5 -0.6 826.2521 379.1893 920.4876 433.4461 -495.7512 -148.7253 424.7363 284.7207 564.2239 340.24544 22 484 0.002066 54.2330 31.2250 2.5 2.5 -0.5 422.1413 201.8577 476.3743 233.0827 -211.0706 -63.3211 265.3036 169.7615 298.0034 226.01185 17 289 0.003460 32.3829 18.6447 5 2 -0.2857 265.1537 118.8838 297.5367 137.5285 -75.7582 -22.7274 221.7785 114.8010 196.3803 190.38156 13 169 0.005917 18.9367 10.9029 7 2 -0.2222 240.8219 65.9179 259.7586 76.8209 -53.5159 -16.0547 206.2426 60.7661 156.4173 183.56557 9 81 0.012345 9.0761 5.2256 9 2 -0.1818 276.1907 -23.4838 285.2669 -18.2581 -50.2165 -15.0649 235.0504 -33.3231 117.1890 197.67928 7 49 0.020408 5.4905 3.1612 11 2 -0.1538 317.1921 -124.1165 322.6826 -120.9553 -48.7987 -14.6396 273.8838 -135.5949 75.0941 222.05459 5 25 0.04 2.8012 1.6128 13 0 0 467.6324 -333.7576 470.4337 -332.1448 0 0 470.4337 -332.1448 0 293.2511

19

5 10 15 20 25 30 35 40 450

100

200

300

400

500

600Grafica de esfuerzos reales vs radio

Radial (A-luminio)Circunferencial (Aluminio)

Radio [cm]

Esfu

erzo

s [kg

/cm

2]

Gráfica 1.Comparación de los esfuerzos reales a través del radio

Ilustración 2.Distribución de esfuerzos, donde la magnitud de este corresponde al color mostrado en la parte de arriba.

20

21

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

s, z (Dinámico) vs W

S (Aluminio)Z (Aluminio)

W [cm-2]

S, Z

[kg

/cm

2]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

s, z (Estático) vs W

S (Aluminio)z (Aluminio)

W [cm-2]

S, Z

[kg/

cm2]

Gráfica 2.Análisis dinámico

Gráfica 3.Análisis estático

b=45 cm

a=5 cm

Margen de SeguridadMS=

σ y

σ rmax ∙ FS

σ rmax=564.2237kgcm2

FS=1.5

MS=754.5259 kg

cm2

(564.2237 kgcm2 )(1.5)

=−0.096637=−9.6637%

Si se considera un factor de seguridad de 1.5 se observa que el M.S. es negativo por lo que el disco fallaría con este F.S., por lo que se calcula el M.S. para un F.S. de 1.1

FS=1.1

MS=754.5259 kg

cm2

(564.2237 kgcm2 )(1.1)

=0.231822=23.1822%

22

Ilustración 3.Vista en planta de la distribución de esfuerzos, los cuales aparecen en distinto color de acuerdo a su magnitud según la escala de abajo.

Conclusión

Para la realización de este trabajo, fue indispensable aplicar algunas cosas aprendidas durante el curso y así mismo nos lleva a comprender de forma más completa, los esfuerzos dados en discos de espesor variable presentándose como ejemplo los rotores de la turbina de una aeronave que es una de las aplicaciones relevantes que posee entre otras.

Para la solución de ese problema se utiliza un método sencillo iterativo, donde entre mayor sea el número de secciones a analizar, mayor será la precisión en cuanto a los resultados del espesor y esfuerzos obtenidos sin olvidar que su principal desventaja es que resulta en un método de aproximación.

Finalmente tenemos que , observar comportamientos y analizar a detalle el análisis que se lleva a cabo a este tipo de elementos, por lo que finalmente se concluye que este método cumple satisfactoriamente con los objetivos ya que es una herramienta útil; toma en cuenta materiales, dimensiones, parámetros o condiciones de operación y depende de que tan bien detallado sea el proceso realizado, la confiabilidad de los resultados obtenidos.

Al igual es importante mencionar que con ayuda de ANSYS podemos hacer un estudio más completo por las simulaciones a las que podemos someter nuestro diseño y observar algunas zonas críticas.

23

analasisi en ansys de disco de espesor variable

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