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Dispense diAnalisi Matematica I

Antonio Greco

Dipartimento di Matematica e Informatica

via Ospedale 72, 09124 Cagliari

14 febbraio 2010

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Indice generale

PremesseBibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Obiettivi del corso . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Piano delle lezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Riepilogo degli argomenti svolti . . . . . . . . . . 19Come impostare lo studio della disciplina . . . . . 23Come formulare una domanda . . . . . . . . . . . 25Modalita desame . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Nozioni preliminari

In breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Esercizi sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Esercizi sulla circonferenza . . . . . . . . . . . . . 30

Sviluppo di (a + b)n

Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . 32Esercizi sui coefficienti binomiali (1) . . . . . . . 34Esercizi sui coefficienti binomiali (2) . . . . . . . 35

Il concetto di limite e la continuitaIl concetto di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Definizioni di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 37La continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Il calcolo dei l imiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Esercizi sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Esercizi assortiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Il calcolo differenzialeTangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Esercizi sulla retta tangente . . . . . . . . . . . . 56

Esercizi sulle derivate (1) . . . . . . . . . . . . . . 57

Il numero di Nepero: e . . . . . . . . . . . . . . . 61Derivate di ex e log x . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Caduta di un grave . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Altre derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Esercizi sul simbolo . . . . . . . . . . . . . . . 77Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Esercizi sulla monotonia . . . . . . . . . . . . . . 79

Esercizi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Esercizi di ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . 86

Esercizi sui teoremi di Lagrange e Cauchy . . . . 87

Convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Studio del grafico di una funzione . . . . . . . . . 90

Esercizi sulla convessita . . . . . . . . . . . . . . 92

Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Esercizi sulla formula di Taylor (1) . . . . . . . . 101

Esercizi sulla formula di Taylor (2) . . . . . . . . 102




1 2

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Serie numericheSerie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Esercizi sulle serie numeriche (1) . . . . . . . . . 111Esercizi sulle serie numeriche (2) . . . . . . . . . 113Esercizi sulle serie numeriche (3) . . . . . . . . . 114

Il calcolo integraleIntegrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Esercizi sullintegrale indefinito (1) . . . . . . . . 126Esercizi sullintegrale indefinito (2) . . . . . . . . 128Esercizi sullintegrale definito . . . . . . . . . . . 130Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . 132Integrali generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . 135Esercizi sugli integrali generalizzati . . . . . . . . 137

AppendiciCirconferenza osculatrice . . . . . . . . . . . . . . 140Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Domande fatte alle prove orali . . . . . . . . . . . 143Riforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Sul numero chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Proposta di gestione del debito formativo . . . . . 153

Indice analitico 157

3 4

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Analisi Matematica Iprof. Antonio Greco

Bibliografia Bibliografia

Le lezioni seguono lordine del libro [BPS] appresso ci-tato. Gli studenti possono utilizzare altri libri: la seguenteselezione ha un valore puramente indicativo.

Libri di teoria

[Am]1 L. Amerio, Analisi Matematica, vol. 1. UTET.

[Ap]2 T. M. Apostol, Calcolo, vol. 1. Boringhieri.

[B]3 M. Bramanti, PreCalculus. Esculapio.

[BPS]4 M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Ma-

tematica 1. Zanichelli.

[C]2 R. Courant, Differential and integral calculus. Inter-science/Wiley.

Libri di esercizi

[Br]5 M. Bramanti, Esercizi di calcolo infinitesimale e al-gebra lineare. Esculapio.

[MS]5 P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Mate-matica, vol. I, parte prima e parte seconda. Liguori.

1Classico testo italiano.2Classico testo di fama internazionale.3Tratta alcuni prerequisiti.4Moderno testo italiano.5I libri di esercizi richiedono luso di un testo di teoria.

Dispense del corso

Le dispense del corso possono essere scaricate in formatopdf dal sito internet del corso di laurea in Fisica, o essererichieste in forma cartacea al docente per fotocopiarle.

Enciclopedie accessibili tramite internet

[W] http://it.wikipedia.org/wiki/Portale:Matematica

Esposizioni divulgative

[CR] R. Courant, H. Robbins, Che cose la Matematica?Boringhieri.

Storia della matematica

[Bo] C. B. Boyer, Storia della matematica. Mondadori.

[K] M. Kline, Storia del pensiero matematico, voll. I e II.Einaudi.

5 6

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Obiettivi Obiettivi

0) Selezionare gli studenti. Tale obiettivo e impro-

priamente trasferito agli esami del primo anno dallas-senza di unaccurata selezione allatto delliscrizione.Lampiezza e la profondita del programma fanno sche buona parte degli studenti ammessi a frequentareil corso non riesca a superare lesame finale.1

1) Acquisire meccanismi di calcolo. I procedimentidi calcolo riguardanti limiti, derivate, integrali e se-rie sono ampiamente utilizzati nella Fisica, e devononecessariamente essere conosciuti da tutti gli studentiche vogliano proseguire gli studi.

2) Motivare razionalmente le proprie affermazio-ni. I procedimenti di calcolo possiedono motivazionirazionali che possono facoltativamente essere prese inconsiderazione dagli studenti interessati, anche al finedi poter modificare i procedimenti stessi.

In pratica, ogni studente deve: a) valutare tempestivamen-te se dispone dellattitudine e della determinazione neces-sarie per superare la funzione selettiva del corso; b) tro-vare un equilibrio personale fra due opposti: prendere per

buono senza discutere tutto quello che il professore dice(sconsigliabile); diventare egli stesso un professore nel girodi un anno (improbabile).

1Ad esempio, dei 62 iscritti nellanno accademico 2007/08, solo 37hanno superato lesame di Analisi Matematica I entro il 9 febbraio2009 (17 Fisica Generale I).

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoPiano delle lezioni Piano delle lezioni

Le lezioni seguono lordine del libro [BPS] citato apag. 5, salvo per il fatto che gli integrali vengono trattatiprima delle serie. Per le lezioni sulla retta, sulle funzionitrigonometriche e sulle disequazioni si puo consultare [B].

Lez. Argomenti [BPS]1 Il simbolo di appartenenza pag. 2

Il simbolo come abbreviazione diper ogni pag. 3

Il simbolo come abbreviazione diesiste almeno un/uno/una pag. 3

Gli insiemi N, Z, Q, R pag. 5N Z Q R pag. 6

2 Lequazione della retta nel pianocartesiano in forma esplicita vedi [B]

3 Sommatorie pagg. 1314Somma di una progressione

geometrica pag. 154 Fattoriale pagg. 1516

Formula di Newton pag. 16Formula per la somma dei primi n

interi positivi pag. 175 Estremo superiore pagg. 2122

Completezza di R pag. 22, R4

7 8

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Lez. Argomenti [BPS]6 Valore assoluto pag. 23, (4.1)

Disuguaglianza triangolare pag. 23, (4.3)Intervalli pag. 24

7 Radicali, potenze, logaritmi pagg. 25278 Principio di induzione pag. 32

Disuguaglianza di Bernoulli pag. 33Dimostrazione della formula

di Newton pag. 339 Il concetto di funzione pag. 49

Dominio e codominio pag. 51Grafico pag. 52Funzioni limitate pag. 53Funzioni pari pag. 54, (2.1)Funzioni dispari pag. 54, (2.2)Funzioni monotone pag. 55

Funzioni periodiche pag. 55Funzioni potenza pag. 56Grafici delle funzioni potenza pag. 6061

10 Funzioni esponenziali elogaritmiche pagg. 6162

11 Funzioni trigonome-triche e loro grafici pagg. 6364

Principali formule di trigono-metria vedi [B]

12 Operazioni sui grafici pagg. 7074

Funzioni definite a tratti pag. 74

Lez. Argomenti [BPS]13 Funzioni composte pag. 75

Funzioni inverse pag. 77Grafico di f1 pag. 79Funzioni trigonometriche in

verse e loro grafici pagg. 8081

14 Disequazioni algebriche diprimo e di secondo grado vedi [B]

Disequazioni irrazionali vedi [B]Disequazioni esponenziali e

logaritmiche vedi [B]15 Successioni pagg. 8788

Lavverbio definitivamente perle successioni pag. 89

Successioni convergenti pag. 89Limite di una successione pag. 90

Successioni divergenti pag. 91Successioni irregolari pag. 92Infinitesimi ed infiniti pag. 92

limn+

1

n= 0+ pag. 93

Successioni monotone pagg. 9395lim

n+qn pag. 96

9 10

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Lez. Argomenti [BPS]16 Algebra dei limiti per le

successioni pag. 96Teorema della permanenza

del segno per le succes-sioni pag. 97

Teorema del confronto pag. 98lim

n+n pag. 98

limn+

n5/2 3n + 7n3 +

n 3n2 pag. 99

limn+

sen n

npag. 99

Aritmetizzazione parzialedi per le successioni pagg. 99100

Forme indeterminate pag. 100lim

n

+

(

n + 1

n

1 ) pag. 100

limn+

abnn pag. 100

17 Il numero di Nepero pagg. 101102

lim|an|+

1 +

1

an

an= e pagg. 103 e 110,

vedi anche questedispense a pag. 63

Lez. Argomenti [BPS]18 Confronto fra infinitesimi ed in-

finiti pagg. 103104

limn+

log n

n; limn+

n

anpag. 105

Criterio del rapporto per le suc-

cessioni pag. 106

limn+

bn

n!pag. 107

limn+

2n3 + 4n + 1

5(n + 1)3pag. 107

19 Definizione successionale di limi-te di una funzione pag. 111

Unicita del limite pag. 111lim

xex pag. 112

Asintoto orizzontale pag. 112

Asintoto obliquo pag. 11420 Limite destro e limite sinistro pag. 115

limx0+

1

x; limx0

1

x; limx0

1

xpag. 115

Asintoto verticale pag. 116limx0

sen x pag. 116

Continuita pag. 117Non esistenza del limite pag. 118

21 Intorni pag. 119Lavverbio definitivamente per

le funzioni pag. 119Definizione topologica di limite pagg. 119120

limx+

x; limx+

ex;

limx0+

log x; limx(

2)

tg x pag. 120

11 12

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Lez. Argomenti [BPS]22 Teorema del confronto pag. 121

Teorema della permanenzadel segno per le funzioni pag. 122

Algebra dei limiti per lefunzioni pag. 122

Aritmetizzazione parzialedi per le funzioni pag. 122

23 Algebra delle funzioni continue pag. 123Continuita delle funzioni ele-

mentari pag. 123Cambio di variabile nel limite pag. 124Continuita della funz. composta pag. 125Limiti di polinomi pag. 126Limiti di funzioni razionali pag. 126

24 limx0

sin x

x

pag. 128

limx0

1 cos xx2

pag. 129

lim|x|+

1 +

1

x

xpag. 129

limy0

log(1 + y)

ypag. 130

limx0

ex 1x

pag. 130

Il simbolo di equi-valenza asintotica pag. 130

Stime asintotiche e grafici pagg. 13213325 Teorema degli zeri delle fun-

zioni continue pag. 136Teorema di Weierstrass pag. 138

Lez. Argomenti [BPS]26 Definizione della derivata pag. 152

Interpretazione geometrica del-la derivata pag. 152

Equazione della retta tangente pag. 152, (2.1)Derivata seconda pag. 153

Derivata ennesima pag. 15327 Derivate di funzioni elementari:

c, x2, sen x, cos x, ex, log x pagg. 15415528 Punti angolosi pagg. 157158

Flesso a tangente verticale pag. 158Cuspide pag. 159La derivabilita implica la

continuita pag. 15929 Algebra delle derivate pag. 161

Derivata di una funzione in-

versa pag. 167Derivate di arctg y, arcsen y,arccos y pag. 169

30 Massimo assoluto, minimoassoluto pag. 172

Massimo relativo, minimorelativo pag. 172

Legame tra punti di estremolocale e punti stazionari pagg. 173174

13 14

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Lez. Argomenti [BPS]31 Teorema di Lagrange pagg. 174175

Test di monotonia pagg. 176177Caratterizzazione delle fun-

zioni a derivata nulla pag. 177Ricerca di massimi e mi-

nimi pag. 178Ricerca di massimi e mi-

nimi senza luso del cal-colo differenziale v. queste dispense

alle pagg. 84 e 8632 Regola di de lHopital pag. 187

limx+

x

expag. 188

limx+

log x

xpag. 189

Precauzioni per luso dellaregola di de lHopital pag. 190

33 Funzioni convesse e funzio-ni concave Def. 4.7, pag. 197

Convessita e derivate pag. 198Convessita e rette tangenti pag. 199Punti di flesso pag. 200

34 Studio del grafico di unafunzione pagg. 202203

35 Il differenziale pag. 208

Il simbolo o (o piccolo) pag. 209

Lez. Argomenti [BPS]36 Formula di Mac Laurin con il

resto di Peano pagg. 214216Formula di Taylor con il resto di

Peano pag. 216Sviluppo di Mac Laurin delle

funzioni ex, sen x, cos x,log(1 + x) pagg. 216217

Formula di Taylor con il resto diLagrange pagg. 219220

37 Definizione dellintegrale di Rie-mann pag. 259

Interpretazione geometrica del-lintegrale pag. 260

Integrabilita delle funzioni con-tinue pag. 262

Integrabilita delle funzionimonotone e limitate pag. 26238 Linearita dellintegrale pagg. 263264

Additivita dellintegrale pagg. 263264Positivita dellintegrale pagg. 264265Monotonia dellintegrale pagg. 264265

39 Primitiva di una funzione pag. 266Relazione fra due primitive

su di uno stesso intervallo pag. 267Teorema fondamentale del

calcolo integrale pagg. 26726840 Integrale indefinito pag. 269

Integrali immediati pag. 26941 Integrazione per sostituzione pag. 270

Simmetrie pagg. 271272Valori assoluti pagg. 272273

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Lez. Argomenti [BPS]42 Integrazione di funzioni razio-

nali con il denominatore digrado 1 o 2 pagg. 273275

43 Integrazione per parti pagg. 277278Integrazione delle funzioni tri-

gonometriche pagg. 281283Integrazione della fun-

zione

a2 x2 pag. 28544 Integrazione di funzioni

non limitate pagg. 296297Criterio del confronto pag. 298Integrazione su intervalli illimi-

tati pagg. 300302Criterio del confronto pag. 303

45 Definizione di serie convergen-

te pag. 231Definizione di serie divergente pag. 231Definizione di serie inde-

terminata pag. 231Definizione di somma di

una serie pag. 23146 Serie geometrica pag. 231

Serie armonica pagg. 232 e 302

Lez. Argomenti [BPS]47 Condizione necessaria affinche

una serie converga pag. 232Le serie a termini non negativi

non sono indeterminate pag. 233Criterio del confronto pagg. 233-234

Criterio del rapporto pagg. 236Convergenza assoluta pag. 239La convergenza assoluta impli-

ca la convergenza semplice pag. 23948 Serie esponenziale pag. 246

Serie di Mac Laurin delle fun-zioni sen x e cos x pag. 247

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Analisi Matematica Ianno accademico 2005/06

Riepilogo degliargomenti svolti

prof. Antonio Greco

Completezza di R e numero di Nepero. Una for-mulazione della proprieta di completezza dellinsieme deinumeri reali. Una definizione del numero di Nepero.

Coefficienti binomiali. Espressione dink

. Sviluppo di

(a + b)n (formula di Newton). Fattoriale.

Limiti e continuita. Idea intuitiva di limite. Definizionedi limite, con particolare riguardo ai seguenti due casi:

limx+ f(x) = +, limx+ f(x) = 0.Dimostrazione delle seguenti uguaglianze:

limx0

sen x

x= 1 lim

x01 cos x

x2=

1

2

limx0

log(1 + x)

x= 1 lim

x0ex 1

x= 1

limy+

log y

y= 0, lim

z

0+

z log z= 0 ( > 0)

limx+

ex

x= +.

Alcune proprieta dei limiti, e in particolare: il limite del-la somma di due funzioni e uguale alla somma dei limiti(purche esistano finiti); uso del teorema del confronto.

Definizione di funzione continua in un punto. Esempidi funzioni continue. La somma di due funzioni continuee una funzione continua. Enunciato del teorema di Weier-strass sui massimi e i minimi delle funzioni continue.

Concetto di infinitesimo di ordine superiore. Uso delsimbolo o (o piccolo).

Calcolo differenziale. Definizione della derivata. Dimo-strazione della derivabilita delle funzioni sen x, cos x, ex,log x, x con R.Regole di derivazione:

1) della somma e della differenza;2) del prodotto;3) delle funzione composta;4) della funzione inversa.

Dimostrazione della validita delle regole 1, 2, 4.

Esempi di funzioni non derivabili in qualche punto: lafunzione |x| (valore assoluto di x) per x = 0; la funzione [x](parte intera di x) per x Z; la legge oraria di un grave,soggetto ad un campo gravitazionale uniforme, che subi-sce un urto con il suolo perfettamente elastico e di duratanulla.

Il concetto di tangenza. Equazione della retta tangenteal grafico di una funzione derivabile in un punto assegnato.

Il differenziale: definizione. Significato di approssima-zioni del tipo sen per vicino a zero.

Studio del grafico di una funzione. Stretta monotoniae convessita: definizioni; legame con il segno della derivataprima e, rispettivamente, della derivata seconda.

Massimo e minimo assoluto: definizione. Annullamen-to della derivata nei punti di massimo interni, ed in quellidi minimo interni: teorema di Fermat.

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Teoremi classici del calcolo differenziale: teorema diRolle, teorema di Lagrange, teorema di Cauchy, regola dide lHopital. Formula di Taylor con il resto di Lagrange.Formula di Taylor con il resto di Peano.

Calcolo integrale. Definizione di primitiva di una fun-zione. Integrale indefinito. Due primitive su di uno stessointervallo differiscono per una costante. Linearita dellin-tegrale indefinito. Regola di integrazione per parti. Regoladi integrazione per sostituzione.

Integrale definito di una funzione continua su di un in-tervallo chiuso e limitato: definizione. Calcolo di integralieseguito applicando direttamente la definizione. Teoremafondamentale del calcolo integrale e suo uso per il calcolodi alcuni integrali. Integrali generalizzati: definizioni edesempi.

Successioni e serie. Espressione della somma dei primin numeri naturali mediante un polinomio di secondo gra-do nella variabile n. Espressione della somma delle primen potenze consecutive di un numero reale x.

Somma di una serie: definizione. Somma di una seriegeometrica di ragione x (1, 1). La serie armonica edivergente.

Serie di Taylor: definizione. Serie di Mac Laurin dellefunzioni sen x, cos x, ex, log(1 + x). Dimostrazione dellaconvergenza delle suddette serie di Mac Laurin alle rispet-tive funzioni generatrici per particolari valori della varia-bile x.

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Come studiare Come studiare

0) Rispettare le proprie inclinazioni. Cercare, in-

nanzitutto, un campo di studi o unattivita lavorativache ci permetta di esprimere il nostro talento naturale,e che ci possa dare delle soddisfazioni personali.

1) Studiare molto. La conquista di una laurea in Fi-sica richiede un impegno molto piu grande di quellonecessario per ottenere un diploma.

2) Essere critici. Non prendere per buono tutto quelloche il docente dice: passarlo al vaglio della propriaragione, cercare conferme o smentite sui libri, parlarnecon altre persone.

3) Usare almeno un libro. Non limitarsi agli appuntidi lezione e al materiale fornito dal professore.

4) Sfruttare il docente. Discutere con il professore do-po la lezione. Richiedere colloqui per appuntamento.Scrivere a [email protected]

5) Frequentare assiduamente le lezioni.

Indicazioni particolari per chi frequenta

1) Studiare regolarmente tra una lezione e laltra:non aspettare la fine del corso, non aspettare di tro-varsi a ridosso dellesame.

2) Intervenire durante la lezione per chiedere chiari-menti o esprimere le proprie impressioni.

3) Partecipare alle esercitazioni in classe e provarea svolgere da soli gli esercizi. Se necessario, chiedereaiuto al professore.

Errori da non commettere

Arrendersi di fronte agli esercizi e rinunciare a svolgerli:meglio chiedere chiarimenti al docente e/o ai tutor.

Cosa fare prima dellesame finale

1) Leggere queste dispense e svolgere il 90% degli eserciziin esse inclusi.

2) Scegliere un libro di teoria, che sia fra quelli citati apagina 5 di queste dispense oppure no non importa.Prendere il riepilogo degli argomenti svolti a lezione,

a pagina 19 di queste dispense, e per ogni argomentodel riepilogo guardare come lo tratta il libro.

3) Provare a rispondere alle domande gia rivolte agli altristudenti in sede di esame orale.1

4) Assicurarsi di non poter essere messi in difficolta dadomande che siano semplici variazioni di quelle giarivolte ad altri studenti.

Ulteriori indicazioni

Ulteriori indicazioni si possono trovare nella dispensa Co-me si studia la matematica allindirizzo http://riemann.unica.it/antoniog/download/didattica/metodo.html

1Una raccolta di domande rivolte agli studenti in sede di esame sitrova in appendice a queste dispense.

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Saper chiedere Saper chiedere

Indicazioni pratiche

1. Aprite la domanda con uno degli appositi terminidella lingua italiana: ad esempio Come...? Quale...?Perche. . . ? o similari.

2. In alternativa, chiedete conferma di una vostra af-fermazione: E vero che...? E corretto dire che. . . ?E giusto dire che. . . ?

3. Possibilmente, motivate la domanda: Nel corso diFisica abbiamo incontrato lintegrale. . . la deriva-

ta. . . la serie. . . dopodiche formulate la domanda comespiegato sopra.

Gli errori da non commettere

1. Girare intorno al problema. Siate diretti.2. Complicare la domanda. Esempio: se voglio sa-

pere come si integra

e2x+1 dx, non devo chiedere comesi integra

ef(x) dx, dove f(x) e una generica funzione?

(realmente accaduto)3. Giustificarsi, scusarsi della domanda: sa, vengo

dal Classico/dalla Ragioneria. . . , la volta scorsa ero as-sente..., io non so ragionare...

4. Attribuire al professore o ad un suo collaga loriginedella domanda, come se fosse una colpa: Lei aveva det-to che..., Il professore di Fisica ha detto che..., Ascuola mi e stato insegnato che. . .


Modalita desame Modalita desame

Verifiche

A differenza degli anni accademici precedenti, nellan-no accademico 2009/10 non e previsto lo svolgimento diverifiche intermedie per i seguenti motivi.

1) La facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturaliha deliberato che le ore di lavoro necessarie per svol-gere un insegnamento sono solo quelle dedicate allelezioni e agli esami, non quelle dedicate alla prepara-zione e alla correzione delle verifiche (cfr. verbale del23/04/2009 - criteri concorsualita - art. XIII).

2) Il consiglio di classe del corso di laurea in Fisica ha fis-sato il numero programmato a 75 unita (11/02/2009)sebbene i candidati siano, di norma, meno di 75. Inol-tre, coloro che rientrano in tale numero ma hanno undebito formativo devono sostenere per primo lesamedi Analisi Matematica I. Quindi le verifiche darebberoquei giudizi negativi che dovrebbero essere dati, inve-ce, prima dellammissione a frequentare il corso.

Esame finale

Lesame consiste in una prova orale. Non e previstauna prova scritta, ma, al momento dellesame, lo studentedeve conoscere tutto il programma e saper anche risolveredegli esercizi dello stesso livello di difficolta di quelli asse-gnati durante il corso.

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In breve In breve

Zero non e positivo. Si chiamano positivi i numeri realimaggiori di zero. Dunque, lo zero non e positivo.

Il fatto che lo zero non sia p ositivo e in accordo conla regola dei segni: il prodotto di due numeri concordi nelsegno e positivo; il prodotto di due numeri discordi e nega-tivo.

Invece, se consideriamo positivo lo zero, allora il pro-dotto di un particolare numero positivo (lo zero) per unqualunque numero negativo e positivo (perche e uguale azero), contraddicendo la regola dei segni.

Numeri reali. Una fra le varie definizioni di numero realee la seguente: un numero reale e fatto con un segno, dellecifre, eventualmente una virgola, e delle cifre decimali chepossono anche essere infinite.

Sul logaritmo. Ricordiamo che ea+b = ea eb, e che ea = xse e solo se a = log x. Posto x = ea e y = eb, possiamoscrivere:

ea+b = xy.

Ma allora, riguardando a + b come ununica quantita, e xypure, si riconosce che a+b = log xy. Dunque log x+log y =

log xy.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi sulla retta Esercizi

1) Trovare lequazione della retta di coefficiente angola-re 2 che interseca lasse x nel punto di ascissa 1.

2) Disegnare le rette di equazione x = 3, x = 0, x = 6,y = 2, y = 0, y = 105, y = 2 x, y = x, y = x 1.

3) Trovare le coordinate dei punti di intersezione tra laretta di equazione y = 3 x/2 e gli assi cartesiani.

4) Calcolare il rapporto f(x)f(x0)xx0 (detto rapporto incre-

mentale) ponendo f(x) = 6x + 3, x = 106, x0 = 37.5) Trovare il coefficiente angolare della retta r passante

per i punti di coordinate (1, 7) e (2, 6).

6) Tovare lordinata del punto di intersezione della ret-ta r dellesercizio precedente con lasse y.

7) Determinare due costanti a e b tali che luguaglianza3x2 = ax + b sussista per ogni x reale. 2 Non esistonodue costanti aventi tale proprieta. 2 Esistono infinite

possibili scelte di a e b. 2 Esiste ununica soluzionedel problema, che e a = b =

8) Indicato con P il punto di coordinate (0, 4) e con Q ilpunto di coordinate (3, 0), trovare le coordinate (x, y)di un punto R, diverso dallorigine, in modo tale che

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il triangolo P QR sia simile al triangolo P QO. 2 Que-sto problema non ha soluzione. 2 Una soluzione delproblema e: x = , y = e ne esistono anchealtre. 2 Questo problema ha ununica soluzione, chee: x = , y =


Esercizi sulla circonf. Esercizi

1) Trovare la distanza del punto di coordinate (3, 4) dal-lorigine (suggerimento: si puo usare il teorema di Pi-tagora).

2) Stabilire se il punto di coordinate (1, 2) appartiene alcerchio centrato nellorigine e di raggio 3.

3) Disegnare il luogo dei punti del piano cartesiano le cuicoordinate (x, y) soddisfano lequazione x2 + y2 = 4.

4) Indicata con la circonferenza centrata nellorigine edi raggio 1, determinare le equazioni delle rette tan-genti a nei punti di coordinate (0, 1), (1, 0), (1/

2,

1/

2), (1/2, 3/2).

5) Consideriamo un numero x tale che 1 < x < 1.Determinare un numero reale y tale che il punto dicoordinate (x, y) appartenga alla circonferenza del-lesercizio precedente. 2 Questo problema non ha so-luzione. 2 Questo problema ha ununica soluzione,

che e y = 2 Questo problema ha esattamentedue soluzioni, che sono y1 = e y2 =

6) Consideriamo un esagono regolare di lato = 17.353.Calcolare il rapporto tra il perimetro dellesagono e ilraggio del cerchio cicoscritto.

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7) Consideriamo due poligoni regolari aventi 367 lati cia-scuno. Supponiamo che i raggi dei rispettivi cerchicircoscritti siano r1 = 22 e r2 = 41. Indicati con p1e p2 i perimetri dei due poligoni, calcolare la differenza

p1/r1 p2/r2.


Coefficienti binomiali Il simbolonk

Si dicono coefficienti binomiali i coefficienti, indicati

con nk, che figurano nella seguente espressione della po-tenza n-esima del binomio a + b (formula di Newton):

(a + b)n =n

k=0

n

k

ank bk, (1)

dove n e un intero positivo arbitrario.

Esempio 1. Quadrato di un binomio. Partendo dal-luguaglianza (a + b)2 = (a + b) (a + b), e applicando laproprieta distributiva, si trova (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.

Dunque la (1) e verificata nel caso n = 2 con i seguenticoefficienti: 2

0

= 1,

2

1

= 2,

2

2

= 1.

Espressione dei coefficienti binomiali. Per esprime-re i coefficienti binomiali nel caso generale, procediamo inmodo analogo. Cominciamo con losservare che

(a + b)n = (a + b) . . . (a + b)

n volte. (2)

Applicando la proprieta distributiva, si ottengono 2n termi-ni, ciascuno dei quali e il prodotto di n lettere, che possonoessere a o b, ciascuna delle quali, a sua volta, proviene dauno degli n fattori (a + b) che figurano sopra. Pertanto, iltermine generico si puo scrivere come 1 . . . n, dove ognilettera i, per i = 1, . . . , n, e una a o una b.

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Alcuni dei termini suddetti si possono sommare tra lo-ro: a tal fine, occorre e basta che contengano uno stessonumero di lettere b : il coefficiente

nk

e il numero di quei

termini che contengono k volte la lettera b. Per contarli,procediamo come segue. Per k = 0 si ha un unico termine,e cioe an. Di conseguenza,

n0 = 1.Se, invece, k > 1, immaginiamo per un attimo di nu-

merare le k lettere b allinterno del termine 1 . . . n,ed indicarle con b1, . . . , bk. La b1 puo provenire, indiffe-rentemente, da uno qualunque degli n fattori (a + b) chefigurano nella (2). La b2 puo provenire (indifferentemen-te?) da uno qualunque degli n 1 fattori (a + b) diversida quello di prima, e cos via. Infine, la bk puo provenireda uno qualunque degli n k + 1 fattori (a + b) diversi daiprecedenti. I termini che contengono k volte la lettera bsarebbero dunque, in base a questo ragionamento,

n (n 1) . . . (n k + 1). (3)Cos facendo, tuttavia, abbiamo contato k! volte ciascuntermine: per esempio, il termine

b b a . . . a n2 volte

,

che compare una sola volta quando si effettua il prodottoal secondo membro della (2), e stato contato due volte:una prima volta quando abbiamo preso b1 dal primo fat-tore (a + b) e b2 dal secondo, ed una seconda volta quando

abbiamo preso b1 dal secondo e b2 dal primo.Lespressione (3) va corretta dividendola per il nume-

ro delle permutazioni delle k lettere b, che e k!. Si trovadunque

n

k

=

n (n 1) . . . (n k + 1)k!

per k = 1, . . . , n .

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi coeff. bin. 1 Esercizi

Definiamo i coefficienti binomiali nk come quei numeri in-teri tali che, qualunque siano i numeri reali a, b e linteropositivo n, valga la seguente uguaglianza:

(a + b)n =n

k=0

n

k

ak bnk. (4)

1) Trovare tre numeri

20

,

21

e

22

che soddisfano la (4)

con n = 2.

2) Consideriamo tre oggetti distinti a1, a2 e a3. Scrivere

per esteso tutte le permutazioni dellinsieme { a1, a2,a3 }.

3) Scrivere per esteso tutte le combinazioni che si posso-no ottenere prendendo due elementi a piacere (diversifra loro) dallinsieme precedente.

4) Verificare chen2

= n (n 1)/2. Suggerimento: con-

frontare la (4) con la seguente uguaglianza:

(a + b)n = (a + b)

. . .

(a + b) n volte .

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Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi coeff. bin. 2 Esercizi

1) Verificare luguaglianzan

k=0

nk ank bk = n

k=0

nk ak

bnk. Suggerimento: sviluppare (x + y)n con la for-mula di Newton, e poi prendere x e y uguali a...

2) Verificare luguaglianzank

=

nnk

, dove n e un in-

tero positivo e k un intero appartenente allintervallo[0, n]. Suggerimento: sfruttare lesercizio precedente,usando come indice di somma la variabile h = n k.

3) Determinare due numeri reali m e q tali che (1+ x)100

mx + q, per x vicino a 0.4) Determinare tre numeri reali a0, a1, a2 tali che (1 +

x)100 = a0 + a1 x + a2 x2 + o(x2), per x vicino a 0.

5) Svolgere il prodotto (a + b)3 usando la proprieta di-stributiva, ma non quella commutativa. Fra gli 8 ter-mini cos ottenuti, contare quelli che contengono esat-tamente due b.

6) Immaginiamo di svolgere il prodotto (a + b)100 usandola proprieta distributiva, ma non quella commutativa.Fra i 2100 termini che si otterrebbero, stabilire quantisono quelli che contengono esattamente due b. Comesi potrebbe procedere per scriverli per esteso?

7) E possibile trovare dei coefficienti cn,k, diversi dank

,

tali che (a + b)n =n

k=0 cn,k ank bk ?

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIl concetto di limite Lidea di limite

Mini-test. Prima di procedere con lo studio dei limiti,verificate la vostra preparazione rispondendo a questa do-manda. Indichiamo con x e t due variabili reali, e con [t] ilpiu grande intero non superiore a t. Calcolare i seguentilimiti:

limx0

|x|x

, limx0+

x1/ log x,

limx+

1x

, lim

x+sen x

x,

limx+1

3 x3 + 4 x5

x7

5 + 2 x7 .

Che cosa i limiti non sono. I limiti non sono, di nor-ma, delle sostituzioni. La sostituzione, o valutazione di unafunzione in un punto, consiste in quanto segue: data unafunzione f(x), ed un punto x0 nel dominio di f, il sostitui-re x0 al posto di x ed ottenere f(x0) si chiama valutazionedi f in x0. La valutazione differisce, in generale, dal limitedi f(x) per x x0. Ma allora, il limite che cose?Lidea intuitiva di limite. Il limite di f(x) per x x0e, se esiste, un numero reale al quale il valore di f(x) siavvicina (o diventa uguale) quando x si avvicina (ma senzadiventare uguale) a x0. Inoltre, il limite e + quando ilvalore di f tende a diventare grandissimo, ed e quandoil valore assoluto di f(x) tende a diventare grandissimo, ef(x) e negativo.

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Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoDefinizioni di limite Definiz. di limite

In pratica, lidea intuitiva di limite, e le propriet a dei

limiti di cui parleremo piu avanti, sono sufficienti per molteapplicazioni. Per applicazioni piu sofisticate, e anche persoddisfare lesigenza di rigore della teoria, si utilizza la de-

finizione di limite. Essa si puo dare in diversi modi, alcunidei quali equivalenti fra loro, altri piu o meno generali. Atitolo indicativo, se ne riporta una qui di seguito. Questadefinizione si articola in numerosi casi.

Limite per x che tende ad un numero reale, dadestra. Consideriamo una funzione f: (a, b) R, ed unnumero reale . Indichiamo con x una variabile reale ap-partenente allintervallo (a, b). Se, per ogni > 0, esisteun > 0 tale che per ogni x < a + risulta |f(x) | < ,si dice che f(x) tende ad per x che tende ad a da destra,e si scrive

limxa+

f(x) = .

Se, per ogni M R, esiste un > 0 tale che per ognix < a + risulta f(x) > M, si dice che f(x) tende a piuinfinito per x che tende ad a da destra, e si scrive

limxa+

f(x) = +

.

Se, per ogni M R, esiste un > 0 tale che per ognix < a + risulta f(x) < M, si dice che f(x) tende a menoinfinito per x che tende ad a da destra, e si scrive

limxa+

f(x) = .

Limite per x che tende ad un numero reale, da si-nistra. Se, per ogni > 0, esiste un > 0 tale che perogni x > b risulta |f(x) | < , si dice che f(x) tendead per x che tende a b da sinistra, e si scrive

limx

b

f(x) = .

Se, per ogni M R, esiste un > 0 tale che per ognix > b risulta f(x) > M, si dice che f(x) tende a piuinfinito per x che tende a b da sinistra, e si scrive

limxb

f(x) = +.

Se, per ogni M R esiste un > 0 tale che per ogni x >b risulta f(x) < M, si dice che f(x) tende a menoinfinito per x che tende a b da sinistra, e si scrive

limxb

f(x) = .

Limite per x che tende ad un numero reale. Se lafunzione f e definita sullinsieme (a, b)(b, c), e se, in basealle definizioni precedenti, esistono (finiti o infiniti) i limitilimxb

f(x) e limxb+

f(x) e sono uguali fra loro, allora, indicato

con L il loro comune valore, si dice che f(x) tende a L perx che tende a b, e si scrive

limxb f(x) = L.

Limite per x che tende a +. Consideriamo ora unafunzione f definita sullintervallo (a, +), e indichiamocon x una variabile reale. Se, per ogni > 0, esiste unx0 > a tale che per ogni x (x0, +) risulta |f(x) | a tale che per ognix (x0, +) risulta f(x) > M, si dice che f(x) tende a

piu infinito per x che tende a piu infinito, e si scrivelim

x+f(x) = +.

Se, per ogni M R, esiste un x0 > a tale che per ognix (x0, +) risulta f(x) < M, si dice che f(x) tende ameno infinito per x che tende a piu infinito, e si scrive

limx+

f(x) = .

Limite per x che tende a . Consideriamo una fun-zione f definita sullintervallo (

, b), e indichiamo anco-

ra con x una variabile reale. Se, per ogni > 0, esiste unx0 < b tale che per ogni x (, x0) risulta |f(x)| < ,si dice che f(x) tende ad per x che tende a meno infinito,e si scrive

limx

f(x) = .

Se, per ogni M R, esiste un x0 < b tale che per ognix (, x0) risulta f(x) > M, si dice che f(x) tende apiu infinito per x che tende a meno infinito, e si scrive

limx

f(x) = +

.

Se, per ogni M R, esiste un x0 < b tale che per ognix (, x0) risulta f(x) < M, si dice che f(x) tende ameno infinito per x che tende a meno infinito, e si scrive

limx

f(x) = .

Limite di una successione. Consideriamo, infine, unasuccessione i cui termini indicheremo con an, dove n e unavariabile intera positiva. Se, per ogni > 0, esiste un n0 N tale che per ogni n > n0 risulta |an | < , si dice chean tende ad , e si scrive

limn+ an = .

Se, per ogni M R, esiste un n0 N tale che per ognin > n0 risulta an > M, si dice che an tende a piu infinito,e si scrive

limn+

an = +.Se, per ogni M R, esiste un n0 N tale che per ogni n >n0 risulta an < M, si dice che an tende a meno infinito, esi scrive

limx+

f(x) =

.

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La continuita La continuita

La continuita e una notevole proprieta di alcune fun-

zioni, tra le quali quelle di uso piu comune, che consiste inquanto segue.

Definizione (continuita) Data una funzione f: (a, b) R, e considerato un punto x0 (a, b), la funzione f si dicecontinua in x0 se esiste il limite di f(x) per x x0, e serisulta:

limxx0

f(x) = f(x0).

In parole povere, f e continua in x0 se il passaggio allimite per x

x0 da lo stesso risultato della sostituzione

x = x0. La continuita delle funzioni di uso piu comunee responsabile, per cos dire, della confusione tra limite esostituzione. Un esempio di funzione discontinua in unpunto si trova a pagina 65.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIl calcolo dei limiti Calcolo di limiti

Lo studio di un limite puo essere impossibile da portare

a termine, anche a tutti i matematici del mondo. Per mo-tivi didattici, nel corso di Analisi I si incontrano perlopiulimiti che possono essere calcolati combinando fra loro al-cune tecniche, che a loro volta si possono riassumere comesegue.

1. Innanzitutto, usando la definizione di limite, si stabi-liscono dei limiti particolari, o limiti notevoli. Ad esempio,con considerazioni geometriche basate sulla definizione disen x, si trova che | sen x| |x| per ogni x R, e si con-clude che lim

x0sen x = 0.

2. Si utilizzano le cosiddette proprieta dei limiti, detteanche teoremi sui limiti. Solitamente, si tratta di proprietaaccettabili sul piano intuitivo, e trattate come tali in que-ste dispense. Una rassegna ampia e rigorosa delle principaliproprieta si puo trovare sui testi di Analisi esistenti.

A titolo di esempio, verifichiamo che il prodotto di unafunzione limitata f per una g che tende a zero, tende azero. Si tratta di una proprieta un po meno evidente dialtre, ma molto utile in pratica. Per dimostrarla, osservia-

mo che essendo f limitata, risulta |f(x)| < C per ogni xe per unopportuna costante C > 0. Preso arbitrariamen-te un > 0, per ipotesi esiste > 0 tale che per ognix < a + (se parliamo di limite per x a+), ovvero perogni x > b (se parliamo di limite per x b), oppureper ogni x > x0 (se parliamo di limite per x +), o

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infine per ogni x < x0 (se parliamo di limite per x ),si ha |g(x)| < . Ma allora |f(x) g(x)| < C . Siccome earbitrario, scrivere o C nella definizione di limite e lostesso, dunque tale definizione e soddisfatta e la proprietae dimostrata.

3. Il terzo ingrediente p er il calcolo dei limiti e un insie-

me di artifici, di espedienti atti a calcolare limiti di partico-lari funzioni. A titolo di esempio, consideriamo il limite delrapporto tra due polinomi, per x +. Supponiamo chei due polinomi abbiano lo stesso grado n > 0. Dividendonumeratore e denominatore per xn si trova:

limx+

nk=0

ak xk

nk=0

bk xk= lim

x+

an +n1k=0

ak xkn

bn +n1k=0

bk xkn.

Quello appena descritto e un artificio adatto al nostroparticolare problema. A questo punto, poiche per ognik = 0, . . . , n 1, risulta limx+ xkn = 0 (limite notevo-le, ingrediente del tipo 1), ed usando le proprieta dei limiti(ingredienti del tipo 2), si trova:

limx+

nk=0

ak xk

nk=0

bk xk=

anbn

.

In modo analogo si puo affrontare il caso in cui il grado delnumeratore e diverso da quello del denominatore.

Laritmetica degli infiniti. Espressioni come 1+ = 0 e+ + = + rappresentano in modo sintetico alcuneproprieta dei limiti. Servono, cioe, per richiamare efficace-mente tali proprieta.

Ad esempio, la prima espressione sta a significare chedata una funzione f che tende a+, la funzione1/f ten-de a zero. Per completezza, dimostriamo che questo e verousando la definizione di limite. Consideriamo un numeroreale positivo arbitrario. Definiamo il numero M ponen-do M = 1/. Per la definizione di limite, esiste > 0

tale che per ogni x < a + (se parliamo di limite perx a+), ovvero per ogni x > b (se parliamo di limi-te per x b), oppure per ogni x > x0 (se parliamo dilimite per x +), o infine per ogni x < x0 (se parlia-mo di limite per x ), si ha f(x) > M. Dunque,per ragioni algebriche, si ha anche |1/f(x)| < 1/M = .Usando ancora la definizione di limite, concludiamo che1/f(x) 0.Le forme indeterminate. Si e soliti dire che + euna forma indeterminata, come pure 0/0, ++

, 0

(+

),

1+, 00. Spieghiamo cosa si intende con questo genere diaffermazioni, facendo riferimento alla forma indetermina-ta 00.

Laffermazione secondo la quale 00 e una forma indeter-minata significa che esistono quattro funzioni, che indiche-remo con f1, f2, g1, g2, di cui f1 e f2 positive, che tendonotutte e quattro a zero e sono tali che il limite di fg11 ediverso dal limite di fg22 .

Quali sono le funzioni la cui esistenza e stata appenaasserita? Esse si possono scegliere in diversi modi, uno

dei quali e il seguente: prendiamo per dominio lintervallo(0, 1), e per ogni x (0, 1) poniamo

f1(x) = 0, f2(x) = x,

g1(x) = g2(x) =1

log x.

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Per ragioni algebriche, per ogni x (0, 1) si ha (f1(x))g1(x)= 0 e (f2(x))

g2(x) = e (il numero di Nepero, v. pag. 61).Dalla definizione di limite discende che fg11 0 e fg22 eper x 0+, dunque i due limiti sono diversi, come volevasidimostrare.

In parole povere, dire che 00 e una forma indeterminata

significa dire che il solo fatto che due funzioni f e g tenda-no a zero (con f positiva) non e sufficiente a determinareil limite di fg. Infatti, come abbiamo appena visto, talelimite dipende da quale particolare f e quale particolare gsi considera.

Osservazione. Talvolta si utilizza luguaglianza 00 = 1.Ad esempio, un generico p olinomio e stato rappresentato apagina 43 nella forma

nk=0 ak x

k. Il termine noto del poli-nomio e quello che corrisponde a k = 0, e cioe a0 x

0. Que-sta rappresentazione risulta corretta, anche per x = 0, se

si conviene che 00 = 1. Questuguaglianza non contraddi-ce quanto abbiamo appena visto sulle forme indeterminateperche, quando scriviamo 00 = 1, stiamo denotando con 0il numero 0, come di consueto, e stiamo dando significatoallelevamento a potenza 00. Invece, quando diciamo che00 e una forma indeterminata, stiamo usando le due cifre 0non per rappresentare lo zero, ma per abbreviare la fraseil cui significato e stato spiegato nel paragrafo precedente.

Conclusione. A questo punto possiamo ritornare ai pa-ragrafi precedenti ed apprezzare meglio la forza dei teore-

mi sui limiti: quando, ad esempio, diciamo che 1+ = 0,intendiamo che il solo fatto che f tenda a + basta aconcludere che 1/f 0, indipendentemente da quale siala particolare f che stiamo considerando.


Esercizi sui limiti Esercizi

1) Calcolare i primi tre termini delle seguenti successioni:

an =1

nbn =

(1)nn

cn =2n

n + 1

2) Stabilire se le successioni dellesercizio 1 sono mono-tone.

3) Stabilire se le successioni dellesercizio 1 ammettonolimite. In caso affermativo, determinarlo.

4) Posto dn =

2n

n , calcolare il limite limn+dn+1

dn

5) Ammettiamo per assurdo che il limite di dn per n + sia un numero reale > 0. Calcolare sotto questaipotesi il limite dellesercizio precedente.

6) Verificare che la successione dei dn dellesercizio 4 emonotona, e calcolare il limite lim

n+dn

7) Indicata con [x] la parte intera di x, e cioe i l piu gran-de intero non superiore a x, disegnare il grafico della

funzione y = [x].

8) Stabilire per quali valori positivi della variabile x ri-

sulta2x

x 2

[x]

[x] + 1e calcolare il limite lim

x+2x

x

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Esercizi assortiti Esercizi

1) Scrivere il valore dei seguenti limiti: limx3+(2x 6) =limt0

sen t = ; limt+

2

t= ; lim

t0+1 cos2 t

sen2 t=

limt

2

cos t tg t

sen t= ; lim

x+ex = ;

limx

ex =

2) Scrivere linsieme di tutti i numeri reali t tali chesen t < t:

3) Scrivere linsieme di tutti i numeri reali t tali che

sen t > t:

4) Scrivere linsieme di tutti i numeri reali t tali che| sen t | < |t|:

5) Disegnare il grafico della funzione f(x) =

1 x2 .6) Indicato con x0 un numero reale positivo e minore

di 1, segnare sul grafico della funzione f dellesercizioprecedente il punto Q di ascissa x0.

7) Trovare lequazione della retta r passante per il pun-

to Q dellesercizio precedente e per il punto P = (0, 1).

8) Indicato con m(x0) il coefficiente angolare della retta rdellesercizio precedente, scrivere il valore del seguentelimite: lim

x00+m(x0) =


Tangenza Tangenza

Laffermazione secondo la quale due linee sono tangen-

ti quando hanno un solo punto in comune non e vera, ingenerale. Per rendersene conto basta considerare qualchesemplice esempio.

Esempio 2. Linee non tangenti. Gli assi cartesianihanno in comune solo un punto, ma non sono tangenti.

Esempio 3. Una tangente alla sinusoide. Consideria-mo il grafico della funzione y = sen x, e la retta di equazio-ne y = 1. In questo esempio le due linee hanno in comuneinfiniti punti, anziche uno solo, pero sono tangenti!

Il criterio dellunicita del punto di intersezione, per sta-bilire la condizione di tangenza, e valido in casi particolari,come quando si considerano una retta ed una circonferen-za. In questo caso e utilizzabile anche un altro criterio:si ha tangenza tra una retta ed una circonferenza (com-planari) quando esse hanno almeno un punto in comune,e la circonferenza giace in uno dei due semipiani in cui ilpiano risulta diviso dalla retta. Anche questo criterio none applicabile a tutte le curve, come mostrano i seguenti

esempi.Esempio 4. Una tangente alla cubica. Il grafico dellafunzione y = x3 e tangente nellorigine allasse x, pur nongiacendo interamente in nessuno dei due semipiani in cuilasse x divide il piano cartesiano.

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Esempio 5. Linee non tangenti. Il grafico di y = |x| elasse delle x soddisfano il criterio suddetto, ma non sonotangenti fra loro.

Cerchiamo di precisare meglio, dunque, il concetto ditangenza. Data una funzione f:R R, il cui grafico passiper lorigine, se vogliamo stabilire se esso e tangente al-

lasse x in tale punto, dobbiamo accertarci che il rapportof(x)/x tenda a zero per x 0.

Intuitivamente questo significa che, vicino al punto ditangenza, lo scarto tra il grafico di f e lasse delle x (scar-to che e rappresentato dalla quantita f(x)) e molto piupiccolo dello scarto tra x e lascissa del punto di tangenza(scarto che e uguale a x perche, in questo caso particolare,lascissa del punto di tangenza e 0).

Piu in generale, fissato un punto x0 R, indichiamocon (x0

, x0 +) linsieme

{x

R : x0

< x < x0 +

},

e cioe lintervallo di estremi x0 , x0 + . Il simbolo ela lettera epsilon dellalfabeto greco, tradizionalmente usa-ta in questo tipo di considerazioni. Consideriamo, inoltre,una funzione f: (x0 , x0 + ) R ed una retta r pas-sante per il punto del grafico di f di ascissa x0. Dovendopassare per tale punto, la retta r ha equazione

y(x) = m (x x0) + f(x0). (5)

Il criterio di tangenza e il seguente: il grafico di f etangente alla retta r nel punto di ascissa x0 se e solo se

limxx0

f(x) y(x)x x0 = 0. (6)


La derivata La derivata

Il criterio di tangenza espresso dalla (6) richiede, per

poter essere applicato, la conoscenza dellequazione dellaretta tangente. Ma come procedere per determinare il pa-rametro m che figura in tale equazione?

Consideriamo, come in precedenza, una funzione f:(x0 , x0 + ) R ed una retta r di equazione (5). Uti-lizzando tale equazione si verifica la seguente uguaglianza:

f(x) y(x)x x0 =

f(x) f(x0)x x0 m.

Ne segue che condizione necessaria e sufficiente affinche lafunzionef ammetta, nel punto di ascissax

0, una retta tan-

gente di equazione (5), e che esista e sia finito il seguentelimite:

limxx0

f(x) f(x0)x x0 . (7)

La frazione che figura nella formula (7) si chiama rapportoincrementale.

Definizione della derivata. Se il limite (7) esiste finito,si dice che la funzione f e derivabile nel punto di ascissa x0.Il valore del limite (7) si chiama derivata di f in x0 e siindica con f(x0) o con

df

dx(x0).

Interpretazione geometrica della derivata. Lequa-zione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascis-sa x0 e data dalla (5), ove si ponga m = f

(x0).

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Il calcolo differenziale. La determinazione delle deri-vate di alcune funzioni di uso comune si esegue conside-rando il loro rapporto incrementale e studiandone il limitemediante appositi artifici (vedi i due esempi seguenti, glielenchi di esercizi n. 2 e 3, ed i testi di Analisi esistenti).La derivata di molte altre funzioni, definite a partire dalle

precedenti, si puo determinare utilizzando apposite regoledi derivazione, che riducono il problema della derivazioneallapplicazione di un algoritmo: il calcolo differenziale.

Esempio 6. Derivata della funzione f(x) = mx. Laderivata della funzione f(x) = mx, dove m e un parametroreale, si trova direttamente ed e f(x) = m per ogni x R.Infatti, per ogni x0 R ed ogni x = x0 si ha:

mx mx0x

x0

= m,

e passando al limite per x x0 si trova (mx) = m, comevolevasi dimostrare.

Esempio 7. Derivata della funzione f(x) = 1/x. Lafunzione f(x) = 1/x e derivabile per ogni x = 0, e si ha:(1/x) = 1/x2. Basta infatti considerare un punto ar-bitrario x0 = 0, ed un x = x0, con x = 0, ed osservareche

1

x 1

x0

x x0=

1

x x0 1

x20.

La conclusione segue dalla definizione della derivata.

Regola di derivazione del prodotto. Tornando alleregole di derivazione, una regola importante e la regola diderivazione del prodotto: se le funzioni f e g sono derivabili

in un intervallo (a, b), allora anche il prodotto f(x) g(x) ederivabile in (a, b) e si ha:

(f(x) g(x)) = f(x) g(x) + f(x) g(x). (8)

Una possibile dimostrazione di questa regola si ricava con-siderando il rapporto incrementale della funzione prodotto

f(x) g(x) in un punto arbitrario x0 (a, b), rapporto chee il seguente:

f(x) g(x) f(x0) g(x0)x x0 . (9)

Esso puo anche essere riscritto in questo modo:

=f(x) f(x0)

x x0 g(x0) + f(x)g(x) g(x0)

x x0 .

Il limite della precedente espressione per x

x0 si trova

ricordando che f e g sono derivabili per ipotesi, e sapendoche la derivabilita implica la continuita, e percio f(x) f(x0). In definitiva, tale limite vale

f(x0) g(x0) + f(x0) g(x0), (10)

come volevasi dimostrare. Unaltra possibile dimostrazio-ne si basa sul fatto che, se una funzione f(x) e derivabilein un punto x0, allora vale la seguente uguaglianza:

f(x) = f(x0) (x x0) + f(x0) + o(x x0), (11)dove con o(x x0) si indica la funzione

f(x) f(x0) f(x0) (x x0), (12)e la notazione o(x x0), che si legge o piccolo di x x0,esprime il fatto che che il rapporto tra la (12) e x x0

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tende a zero quando x tende a x0. Si dice, brevemente, chela funzione (12) e infinitesima di ordine superiore rispettoa xx0. Essendo, per ipotesi, derivabile anche g, abbiamo

g(x) = g(x0) (x x0) + g(x0) + o(x x0), (13)dove questa volta il termine o(x

x0) indica la funzione

g(x) g(x0) g(x0) (x x0).Il simbolo o. Il fatto che lo stesso simbolo o denoti duefunzioni diverse e uneccezione alla regola secondo la qualenon si possono indicare con lo stesso simbolo due quan-tita diverse. Anzi, una qualunque funzione h(x) tale chelimxx0 h(x)/(x x0) = 0 puo legittimamente indicarsicome o(x x0). Tale eccezione rende particolarmente co-modo luso del simbolo o, come si vede nel seguito delladimostrazione.

Per proseguire con la dimostrazione della regola di de-rivazione del prodotto, moltiplichiamo termine a terminela (11) e la (13). Troviamo:

f(x) g(x) = (f(x0) (x x0) + f(x0) + o(x x0))(g(x0) (x x0) + g(x0) + o(x x0)).

Dobbiamo ora svolgere il prodotto fra le due espressioni alsecondo membro, che hanno tre termini ciascuna: si ottieneuna somma algebrica di ben nove termini. Luso del sim-bolo o(x

x

0), che puo denotare funzioni diverse, purche

infinitesime di ordine superiore rispetto a xx0, semplificanotevolmente lespressione finale: possiamo infatti scrivere

=

f(x0) g(x0) + f(x0) g(x0)

(x x0) + f(x0) g(x0)+ o(x x0).

Sostituendo lespressione precedente al posto di f(x) g(x)nella (9), e facendo tendere x a x0, si riottiene la (10), edanche questa seconda dimostrazione e conclusa.

Regola di derivazione della funzione composta. Unaaltra importante regola di derivazione e la regola di deri-vazione della funzione composta: se la funzione g: (a, b)

(c, d) e derivabile nellintervallo (a, b), e se la funzionef: (c, d) R e derivabile nellintervallo (c, d), allora lafunzione composta h(x) = f(g(x)) e derivabile per ognix (a, b) e la sua derivata e la seguente:

(f(g(x))) = f(g(x)) g(x) (14)

Con la notazione di Leibniz, posto y = g(x), la (14) assumela seguente forma, particolarmente espressiva:

dh

dx =df

dy

dy

dx .

Esempio 8. Derivata della funzione h(x) = e2x. Co-me semplice applicazione, cerchiamo la derivata della fun-zione h(x) = e2x. Ponendo y(x) = g(x) = 2x e f(y) = ey,possiamo scrivere e2x = f(g(x)). Sapendo che

df

dy= ey;

dy

dx= 2,

si trova (e2x) = 2 e2x.

Regola di derivazione del reciproco. Unaltra regoladi derivazione di uso frequente e la regola di derivazionedel reciproco di una funzione, che possiamo semplicemen-te ricavare dalle considerazioni precedenti, con il seguenteragionamento. Consideriamo una funzione g: (a, b) R

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che sia derivabile in tutto lintervallo (a, b) e diversa da ze-ro. Allora, posto f(y) = 1/y, possiamo scrivere: 1/g(x) =f(g(x)). Sapendo che f(y) = 1/y2 (esempio 7), ed usan-do la regola di derivazione delle funzioni composte (14), sitrova:

1

g(x)

= (f(g(x))) =

g(x)

g2

(x)

.

Regola di derivazione del rapporto. Infine, vogliamostudiare la derivata del rapporto f(x)/g(x), supponendoche f e g siano derivabili in un certo intervallo (a, b), cong diversa da zero. Si ha:

f(x)

g(x)= f(x)

1

g(x)

Dunque, usando la regola di derivazione del prodotto e

quella del reciproco, troviamo:f(x)

g(x)

=

f(x)

1

g(x)

= f(x)1

g(x) f(x) g

(x)g2(x)

=f(x) g(x) f(x) g(x)

g2(x).


Eserc. retta tangente Esercizi

1) Verificare che la retta r, di equazione y(x) = 1, etangente al grafico della funzione f(x) =

1 x2 nel

punto di ascissa x0 = 0. A tal fine, studiare il rapporto(f(x) y(x))/(x x0) per x che tende a x0.

2) Determinare la retta tangente al grafico della funzionef, data nellesercizio precedente, nel punto di ascissax0 = 1/

2 .

3) Dire se esiste la retta tangente al grafico della funzio-ne y =

|x

|nel punto di ascissa x0 = 2, ed in caso

affermativo determinarne lequazione.

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Eserc. sulle derivate 1 Esercizi

1) Trovare due funzioni g e h, ambedue infinitesime perx 0, tali che

limx0

g(x)

h(x)= +.

2) Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili per ognix R, ed in caso affermativo determinare la loro de-rivata.

f0(x) = sen x, f1(x) = cos x, f2(x) = x2,

f3(x) = x3, f4(x) = xn, n = 1, 2, . . . ,

f5(x) = |x|.

3) Determinare lequazione delle rette tangenti al graficodella funzione f(x) = sen x rispettivamente nel puntodi ascissa x0 = /3 e nel punto di ascissa x1 = 1.

4) Che valore vi aspettate che abbia il seguente limite?

limx

0

1 cos x

x2

Svolgimento. 1) Possiamo prendere g(x) = sen x eh(x) = x |x|, e sfruttare il fatto che

limx0

1

|x| = +.

2) Dobbiamo studiare il rapporto incrementale

sen x sen x0x x0

per x 0. Posto x = x x0, possiamo riscriverlo nellaforma

sen(x + x0) sen x0x .E noto (formula di addizione) che sen(x + x0) = sen x

cos x0 + cos x sen x0, e percio si ha:

sen(x + x0) sen x0x

=sen x

xcos x0 +

cos x 1x

sen x0.

Sapendo che (sen x)/x 1 e (cos x1)/x 0 per x 0, si deduce che lespressione precedente ammette limitefinito per x

0, e che tale limite vale cos x0. Dunque la

funzione f0(x) = sen x e derivabile per ogni x reale, e lasua derivata e f0(x) = cos x.

Poiche cos x = sen(x + /2), anche questa funzionee derivabile per ogni x reale, e si ha (cos x) = (sen(x +/2)) = cos(x + /2) = sen x.

Per quanto riguarda la funzione f4(x), che comprendecome casi particolari f2(x) e f3(x), dobbiamo esaminare ilrapporto incrementale

xn xn0x

x0

.

Se n = 1 allora il rapporto qui sopra vale 1 per ogni x = x0,ed e indefinito per x = x0 come tutti i rapporti incremen-tali. Esso tende percio ad 1 quando x x0. In conclu-sione, la funzione y(x) = x e derivabile per ogni x reale,e la sua derivata e la funzione costante 1. Per studiare

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il caso n 2, p ossiamo procedere come segue. Poiche ilnumeratore e un polinomio nella variabile x, che si annul-la per x = x0, esso e divisibile per x x0. Infatti, si haxn xn0 = (x x0)(xn1 + x0 xn2 + . . . + xn20 x + xn10 ).Pertanto, il rapporto suddetto e uguale a xn1 + x0 xn2 +. . . + xn20 x + x

n10 per x = x0. Esso ammette limite finito

per x x0, e tale limite vale xn

1

0 + . . . + xn

1

0 . Poi-che gli addendi sono n, possiamo scrivere semplicementen xn10 . In conclusione, f4(x) e derivabile (rispetto alla x)per ogni x reale ed ogni n = 1, 2, . . . e la sua derivata e(xn) = n xn1.

Il rapporto incrementale di f5 e:

|x| |x0|x x0 .

Per x0 = 0 esso diventa |x|/x. Ma

|x|x

= 1, se x > 0,

1, se x < 0.Dunque |x| non e derivabile per x = 0. Se, invece, x0 > 0,allora

|x| |x0|x x0 = 1 per x (0, x0) (x0, +),

dunque il limite del rapporto incrementale esiste, e finitoe vale 1. Pertanto (|x|) = 1 per ogni x > 0. Ragionandoanalogamente, si trova che (

|x

|) =

1 per ogni x < 0.

3) Per linterpretazione geometrica della derivata, lequa-zione della retta tangente nel punto di ascissa x0 si trovaponendo m = f(x0) nella (5), ed e dunque

y(x) =1

2

x

3

+

3

2.

Lequazione della retta tangente nel punto di ascissa x1 sitrova in modo analogo, ed e

y(x) = (cos1) (x 1) + sen 1,

il che richiama lattenzione sulla necessita di un metodo dicalcolo per le funzioni sen x e cos x per valori arbitrari di x.

4) Scrivendo x = x/2 + x/2, ed usando una formula trigo-nometrica di addizione, si trova 1 cos x = 2 sen2(x/2).Percio

1 cos xx2

=1

2

sen(x/2)

x/2

2.

Sapendo che (sen t)/t 1 per t 0, ce da aspettarsi che

limx0

1 cos xx2

=1

2.

In effetti, questo risultato si puo dimostrare (rigorosamen-te) usando la definizione di limite e le proprieta del pas-saggio al limite.

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Il numero e Il numero e

Una delle diverse (ma equivalenti) definizioni del nu-

mero di Nepero e (detto allestero numero di Eulero) e laseguente:

Definizione del numero di Nepero.

e = limn+

1 +

1

n

n. (15)

Affinche la definizione sia b en p osta, occorre sapere che lasuccessione che figura nella (15) ammette limite. Questodiscende dal fatto che essa e monotona (strettamente cre-

scente) e limitata, e da una notevole proprieta dellinsiemedei numeri reali, detta completezza:

Proprieta di completezza di R. Ogni successione mo-notona e limitata ammette limite finito.

La dimostrazione della monotonia della successione (1 +1/n)n, ed una discussione della proprieta di completezza,si possono trovare su vari testi di Analisi esistenti.

Osserviamo che anche altri numeri, di uso piu comunedi e, si definiscono come limiti di successioni, come mostrail seguente esempio.

Esempio 9. Una definizione mediante un limite.Per definire

2, si puo considerare lintervallo (a0, b0) =

(1, 2), al quale

2 deve (se esiste) appartenere, e lo si sud-divide a meta tramite il punto c0 = (a0 + b0)/2 = 1,5.Verificato che c20 > 2 (il che non richiede di calcolare radici

quadrate, ma solo di fare una moltiplicazione), consideria-mo lintervallo (a1, b1) = (a0, c0) e suddividiamolo di nuovoa meta tramite il punto c1 = (a1 + b1)/2 = 1,25. Stavoltatroviamo c21 < 2 e percio andiamo a considerare lintervallo(a2, b2) = (c1, b1). Procedendo in tal modo si definisconodue successioni monotone e limitate (an)nN e (bn)nN, che

per la completezza di R ammettono limite. Anzi, ammet-tono lo stesso limite perche bn an = 2n 0. Indicatoper il momento con tale limite, resta da verificare che2 = 2. A tal fine, cominciamo con losservare che, per lamonotonia di an e bn, si ha an < < bn per ogni n. Dun-que, elevando al quadrato i tre termini di questa catena didisuguaglianze (termini che sono positivi) troviamo

a2n < 2 < b2n (16)

Daltra parte, anche le successioni a2n e b2n sono monotone e

limitate, ed ammettono uno stesso limite perche b2n a

2n =

(an + bn)(an bn) 0. Poiche, per costruzione, si ha a2n 1,ed osserviamo che

1 +1

kk

=

k

k 1k

=

1 +

1

k 1k

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Ponendo m = k 1 si trova, infine,

=

1 +

1

m

m+1 e,

Dunque

limn1 + 1n n

= e.

Si puo anche verificare che

limx+

1 +

1

x

x= e, (17)

dove x varia nellinsieme dei numeri reali. Cio non e deltutto immediato, come mostra il seguente esempio.

Esempio 10. Confronto tra senn e senx. Consi-deriamo la successione sen n. Si ha che sen n

0 per

n + perche tale successione e identicamente nulla. In-vece, la funzione sen x non ammette limite per x +.

Per dimostrare la (17), osserviamo che per ogni x Rsi ha [x] x < [x] + 1, dove [x] denota la parte intera dix. Dunque per ogni x 1, come pure per ogni x < 1, siha

1 +1

[x] + 1

[x] 0,

0, se x 0.

2) Poiche la funzione esponenziale e inversa di quella lo-garitmica, si trova che lequazione della tangente e y(x) =x + 1. In particolare, si dimostra che

limx0

ex 1x

= 1. (19)

Basta infatti sostituire t = ex e si trova

ex 1x

=t 1log t

.

Quando x tende a zero, t tende ad 1 per la continuita dellafunzione esponenziale. Dunque, il limite del primo mem-bro, per x 0 puo essere determinato facendo tendere tad 1 nel secondo membro. Ma questo e stato gia fatto nel-lesercizio precedente, ove si e visto che tale limite vale 1.Da qui segue la (19).

3) Seguendo la definizione della derivata, consideriamo ilrapporto incrementale della funzione f(x) = ex in un pun-to arbitrario x0. Si ha:

ex ex0x x0 = e

x0exx0 1

x x0 .

Con la sostituzione x = x x0, siamo condotti a conside-rare la seguente espressione:

ex0ex

1x

.

Richiamando la (19), e poiche x tende a 0 quando x ten-de a x0, concludiamo che lespressione suddetta ammettelimite finito per x x0, e che tale limite vale ex0. Dunquela funzione f(x) = ex e derivabile per ogni x reale, e si ha(ex) = ex.

4) La funzione f(x) = log x non e definita per x 0 (nelcampo reale), dunque la risposta allesercizio e semplice-mente: no, f non e derivabile in R perche non e nemmenodefinita in tutto questo insieme. Al di la della risposta al-lesercizio, e tuttavia importante conoscere la derivata dilog x per x > 0. Per trovarla, possiamo procedere in varimodi. Vediamone due.

Procedimento A. Seguendo la definizione della deriva-ta, consideriamo il rapporto incrementale della funzionef(x) = log x in un punto x0 > 0. Sfruttando le proprietadei logaritmi, e con la sostituzione x = x x0, troviamo:log x log x0

x x0 = log

1+x x0

x0

1xx0 = log

1+

x

x0

1x

.

Ora, ponendo x/x0 = 1/t, lespressione precedente si puo

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riscrivere come segue:

= log

1 +

1

t

t 1x0. (20)

Quando x tende a x0, la variabile x = x x0 tende a 0, ed

il valore assoluto|t|

tende a +

. Sapendo che la funzioneelevamento a potenza g(x) = x1/x0 e continua, deduciamoche largomento del logaritmo tende a e1/x0. Sapendo che lafunzione log x e continua, deduciamo che tutta lespressio-ne (20) tende a log(e1/x0) = 1/x0. Dunque (log x)

= 1/x.Procedimento B. Con la sostituzione y = log x, e indi-

cando con y0 la quantita y0 = log x0, si trova:

log x log x0x x0 =

y y0ey ey0 .

Quando x tende a x0, la variabile y = log x tende a y0 perla continuita della funzione logaritmica. Il secondo mem-bro tende, per quanto visto in precedenza, a ey0. Dunque(log x) = 1/x.

5) Dobbiamo verificare che limx0 ex = e0. Consideria-mo, per incominciare, il caso x > 0. Poniamo n = [1/x](la parte intera di 1/x). Per la monotonia della funzioneesponenziale, e poiche n 1/x, si ha 1 < ex e1/n perx 1. Resta da dimostrare che e1/n 1 per n +.Per la monotonia della funzione esponenziale, e1/n e una

successione strettamente decrescente. Poiche 1 < e1/n

eper ogni n 1, la successione e1/n e l imitata. Per la com-pletezza di R, esiste R tale che limn+ e1/n = .Poiche 1 < e1/n per ogni n, si ha 1. Poiche < e1/nper ogni n, si ha n < e per ogni n. Dunque = 1 e lafunzione esponenziale e continua da destra. Per studiare

il caso x < 0, poniamo x = y con y > 0. Per quantoappena visto, si trova che ex = 1/ey 1 quando x tendea 0, e l esercizio e concluso.

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Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoCaduta di un grave Esercizi

Studiamo la caduta di un punto materiale, libero di

muoversi lungo lasse verticale y, soggetto alla sola forzapeso, posto inizialmente ad unaltezza y0 > 0 dal suolo, elasciato cadere allistante t0 = 0 con velocita iniziale nulla.Supponiamo costante laccelerazione di gravita, e suppo-niamo inoltre che lurto con il suolo (posto a quota y = 0)sia perfettamente elastico e di durata nulla.

1) Determinare listante t1 in cui il grave tocca terra perla prima volta.

2) Determinare la legge oraria del moto y = f(t) per t

(0, t1).3) Verificare che la funzione f1(t) = f(t 2t1) soddisfa

lequazione differenziale f1 = g.4) Verificare che la massima altezza raggiunta da un pun-

to materiale che si muova lungo lasse y con la leggeoraria y = f1(t) e la stessa del punto il cui moto edescritto dalla legge y(t) = f(t).

5) Disegnare il grafico della funzione

t

y0, se t < 0;

f(t), se 0 t < t1;f(2 t1 t), se t1 t < 2 t1;f1(t), se 2 t1 t < 3 t1.

Svolgimento. 1-2) Durante la caduta, la posizione y(t) edata da f(t) = y0 12 g t2. Lurto col suolo avviene alli-stante t1 tale che y0 12 g t21 = 0, e cioe t1 =

2 y0/g .

3) Si ha f1(t) = y0 12 g (t 2 t1)2, quindi f1(t) =g (t 2 t1), e f1 = g.

4) Osserviamo che f(t) e data dalla differenza tra la

costante y0 e la quantita non negativa12 g t

2

, dunque il suovalore massimo e y0 (e viene raggiunto per t = 0). Perlo stesso motivo, il massimo di f1(t) e ancora y0 (e vieneraggiunto per t = 2 t1).

5) Questo e il grafico richiesto:

-

6

y0

0 t1 2 t1 3 t1

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Altre derivate Esercizi

1) Dire se la funzione f(x) = x

, dove e un parametroreale, e derivabile per ogni x > 0, ed in caso affer-mativo trovarne la derivata. Suggerimento: scriverex = e logx ed usare la regola di derivazione dellefunzioni composte.

2) Trovare la derivata della funzione f(x) =

x .

3) Regola di derivazione della funzione inversa. Suppo-niamo che f e g siano due funzioni derivabili legatedalla relazione

f(g(x)) = x per ogni x (a, b). (21)Esprimere g usando f. Suggerimento: derivarela (21) usando la regola di derivazione della funzionecomposta.

4) Supponendo che la funzione g(x) = arcsen x sia deri-vabile per x (1, 1) (come in effetti e), trovarne laderivata usando il risultato dellesercizio precedente.

5) Tracciare il grafico della seguente funzione:

h(x) = 1 x2, se x (1, 1);

0, se x R \ (1, 1).6) Per ogni x R, dire se la funzione h definita sopra e

derivabile, ed in caso affermativo trovarne la derivata.

Svolgimento. 1) Posto g(x) = log x e f(y) = ey, la fun-zione x si puo scrivere come segue: x = f(g(x)). Usandola regola di derivazione delle funzioni composte, si trova:(x) = e logx 1x = x

1x = x1.

2) Dallesercizio precedente, e siccome

x = x1/2, sideduce che (

x ) = 12 x

1/2 = 12x

, per x > 0. Resta

da studiare leventuale derivabilita nel punto x0 = 0. Ilrapporto incrementale in tale punto e:

x

x=

1x

+ per x 0+,

dunque la funzione

x non e derivabile per x = 0.3) Derivando la (12) si trova: f(g(x)) g(x) = 1, quindi

g(x) =1

f(g(x)). (22)

4) Posto f(y) = sen y, si ha f(g(x)) = x per x (1, 1). Usando la (13), si trova:

(arcsen x) =1

cos g(x)=

1

cos arcsen x=

11 x2

5) Questo e il grafico della funzione h:

-

6y

1 0 1 x6) Per x (1, 1), risulta h(x) = 1 x2, dun-

que h e derivabile e si ha h(x) = 2x. Inoltre, per

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x (, 1) (1, +) risulta h(x) = 0, dunque h ederivabile e si ha h(x) = 0. Restano da studiare i puntix0 = 1 e x1 = 1. Il rapporto incrementale di h in x1 e:

h(x)

x 1

Per ogni x > x1, tale rapporto e nullo perche h(x) e nulla.Quindi, e nullo anche il limite del rapporto incrementaleper x x+1 . Invece, se x (1, 1), si ha:

h(x)

x 1 =1 x2x 1 = (1 + x) xx1

2.

Poiche il limite destro e quello sinistro del rapporto incre-mentale sono diversi tra loro, la funzione h non e derivabilenel punto x1 = 1. Alla stessa conclusione si perviene ra-

gionando in modo analogo nel punto x0 = 1.



1) Dire in quali punti le seguenti funzioni sono deriva-bili, e scrivere le loro derivate:

x , x2, x3, 1/x,

sen x, cos x, tg x,

1 x , 1 x2 , sen2 x, cos2 x,sen x2, cos x2, e

12x2, e2x3, sen(2x +1), 3

x , arcsen x,

arccos x, arctg x, log x.

2) Trovare (se esiste) lequazione della retta tangente algrafico delle suddette funzioni nel punto di ascissa 0.

3) Trovare (se esiste) la retta tangente ad un quadratoin uno dei quattro vertici.

4) Indicato con |x| il valore assoluto di x, e cioe la quan-tita

|x| =

x, se x 0,x, se x < 0,

stabilire se i limiti limx0+

|x|x

e limx0

|x|x

sono uguali fra

loro o no.

5) Studiando il limite del rapporto incrementale, stabilirese le funzioni f(x) =

|x

|e g(x) = x

|x

|sono derivabili

per x = 0, ed in caso affermativo determinare lequa-zione della retta tangente.

6) Se moltiplico tra loro due funzioni che non sono deri-vabili, il prodotto sara derivabile?

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1) A. Scrivere la definizione della derivata. B. Dopo aver-la scritta, confrontare tale definizione con quella ri-portata su di un testo e/o sugli appunti di lezione, erilevare le eventuali differenze.

2) [BPS, pag. 160] Utilizzando la definizione della deriva-ta, determinare il comportamento delle seguenti fun-zioni vicino allorigine (tangente orizzontale, cuspide,flesso a tangente verticale.. . ): x1/3; x4/3; x2/3; x5/3;x1/2; x3/2.

3) [BPS, pag. 160] Posto f(x) = x log x, e g(x) = e1/xper x > 0, prolungare le funzioni f e g per continuitain x = 0, e calcolarne le derivate destre in tale punto.

4) Stabilire se le funzioni f(t) = arccos cos t

e g(t) =sen t

| sen t| sono periodiche.

5) Tracciare il grafico della funzione f dellesercizio pre-cedente. Suggerimento: sfruttare la definizione diarccos x per semplificare lespressione di f.

6) Tracciare il grafico della funzione g dellesercizio 4.Suggerimento: sfruttare la definizione di |x| per sem-plificare lespressione di g.


Il differenziale Il differenziale

Dalla definizione della derivata, e tenendo conto del

significato del simbolo o (o piccolo), deduciamo che unafunzione f e derivabile in un punto x0 se e solo se esiste unnumero reale m tale che

f(x) f(x0) = m (x x0) + o(x x0). (23)Consideriamo dunque una funzione f, derivabile in unpunto x0, e indichiamo con y(x) la funzione il cui gra-fico e la retta tangente al grafico di f in x0: y(x) =m (x x0) + f(x0), dove m = f(x0). Poiche vale lu-guaglianza y(x0) = f(x0), lincremento y(x) y(x0) si puoscrivere come segue: y(x) y(x0) = m (x x0). Percio, la(23) diventa:

f(x) f(x0) = y(x) y(x0) + o(x x0).Questa formula dice che lincremento di f e uguale allince-mento di y piu un infinitesimo di ordine superiore rispettoa x x0. Lincremento di y si chiama differenziale di f, esi indica con df. Piu precisamente, si pone:

dfx0(x x0) = y(x) y(x0).

In tal modo, la (23) diventa:f(x) f(x0) = dfx0(x x0) + o(x x0),

che esprime il fatto che lincremento di f e uguale al diffe-renziale di f piu un infinitesimo di ordine superiore rispettoa x x0.

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Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. sul simbolo Esercizi

Conveniamo di scrivere f(x)

g(x) per x vicino a x0 se

limxx0

f(x) g(x)x x0 = 0.

1) Determinare due numeri reali m e q tali che sen x mx + q per x vicino a 0.

2) Ripetere lesercizio precedente sostituendo al posto disen x le seguenti funzioni:

cos x

log(1 + x) (logaritmo naturale di 1 + x)

ex1 + x

3) Dire se e corretto scrivere: cos x 1 x2/2 per x vi-cino a 0.

4) Supponiamo di avere tre funzioni f, g e h, e di sapereche f(x) g(x) e g(x) h(x) per x vicino ad uncerto x0. Possiamo dedurne che f(x) h(x)?

5) Posto f(x) = sen x e g(x) = x + 106

/x, calcolia-mo f(x) e g(x) per x = 1,00, x = 0,10, x = 0,01,arrotondando il risultato alla seconda cifra decimale.Osservando i risultati ottenuti, possiamo concludereche sen x x e g(x) x per x vicino a zero?


Monotonia Monotonia

Definizione (funzione strettamente crescente). Una

funzione f: (a, b) R si dice strettamente crescente se perogni x1, x2 (a, b), tali che x1 < x2, risulta f(x1) < f(x2).Esempio 12. La funzione y = x2 e strettamente crescentesullintervallo (0, +).

Osservando la definizione, concludiamo che una fun-zione f: (a, b) R non e strettamente crescente quandoesistono almeno due valori x1, x2 (a, b) tali che x1 < x2e f(x1) f(x2).Esempio 13. La funzione y = x2 non e strettamente cre-

scente sullintervallo (, +).La proprieta di monotonia (crescenza o decrescenza)

di una funzione e legata al segno della derivata prima. Inparticolare, si ha:

Legame tra monotonia e derivata. Se una funzionef: (a, b) R e derivabile in (a, b), e se f(x) > 0 per ognix (a, b) allora f e strettamente crescente.

La proprieta di stretta crescenza di una funzione nonsi deve identificare con la positivita della derivata prima,

come mostra il seguente esempio:

Esempio 14. La funzione f(x) = 2x + |x| e strettamentecrescente sullintervallo (, +), e non e derivabile perx = 0.

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Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. su monotonia Esercizi

La parte positiva e la parte negativa di x si indicano con

x+ e x, e sono definite come segue:

x+ =

x, se x 0;0, se x < 0,

x =

0, se x 0;x, se x < 0.

1) Disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

x+, |x| x, x3, x, x+ + x, x+ x.2) Stabilire quali, tra le funzioni precedenti, sono deriva-

bili nei punti di ascissa x = 0 e x = 1.

3) Determinare lequazione della retta tangente al graficodella funzione y = x3 nel punto di ascissa x = 0.

4) a. Determinare il piu grande intervallo aperto conte-nente lorigine e tale che la funzione f1(x) = sen xsia strettamente crescente in tale intervallo. b. De-terminare il piu grande intervallo aperto contenentelorigine e tale che f1(x) > 0 in tale intervallo.

5) Ripetere lesercizio precedente, se possibile, usando alposto di f1(x) le seguenti funzioni: |x| x, x3, cos x,tg x, ex, log(1 + x) (logaritmo naturale di 1 + x).

6) Dico che se una funzione f: (a, b) R e derivabi-le e strettamente crescente nellintervallo (a, b), alloraf(x) > 0 per ogni x (a, b): dimostrare o confutarequesta affermazione.


Eserc. base Esercizi

1) Trovare tutti i numeri reali che differiscono da /2 perun multiplo di .

2) Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: y = tg(arc-tg x), y = arctg(tg x), y = elog x, y = log ex.

3) Tracciare il grafico della funzione y = arctg x.

4) Trovare il differenziale delle seguenti funzioni nel pun-to x0 = 0: y =

1 x2 , y = sen x, y = cos x, y = ex,

y = log(1 + x).

5) Consideriamo una funzione f avente per dominio unintervallo (a, b) e a valori reali. Consideriamo, inoltre,un punto x0 (a, b). Dimostrare che f e derivabilein x0 se e solo se esiste un polinomio di primo gradoy(x) = mx + q tale che f(x) = y(x) + o(x x0) perx x0.

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Ottimizzazione Ottimizzazione

I problemi di ottimizzazione consistono nel trovare il

piu piccolo (o il piu grande) valore possibile per una datafunzione, detta funzione obiettivo. Essi sono importantiper il significato che la funzione obiettivo ha, di volta involta, e corrispondono alla volonta di tovare la miglioresoluzione possibile ad un dato problema.

Esempio 15. Un problema isoperimetrico. Conside-riamo un generico cilindro circolare retto, ed indichiamocon r il raggio di base e con h laltezza. Ci proponiamodi determinare r e h in modo tale che la superficie totaledel cilindro sia la piu piccola possibile, fermo restando il

volume.

Tale problema si puo interpretare come la ricerca delledimensioni ottimali da dare ad un contenitore (il cilindro)in modo tale da rendere minima la quantita di materia-le necessaria per costruirlo (proporzionale alla superficie)lasciandone inalterata la capacita.

Soluzione. Assegnato il valore del volume V, il raggio r elaltezza h sono legati dalla relazione r2 h = V. Dunquepossiamo esprimere h in funzione di r, come segue: h(r) =

V/( r

2

). La superficie totale del cilindro A e data da

A(r) = 2 r2 + 2 r h(r) = 2 r2 +2 V

r.

Conoscendo landamento delle funzioni 2 r2 e 2 V /r, pos-siamo gia avere un idea dellaspetto del grafico della fun-

zione A(r). Per maggiore precisione, usando il calcolo dif-ferenziale, troviamo:

A(r) = 4 r 2 Vr2

.

Studiamo il segno della derivata prima, perche esso e lega-

to alla monotonia della funzione A(r). La disuguaglianza4 r 2 V /r2 > 0 equivale a r3 > V/(2 ), ovvero r > r0,dove r0 e dato da

r0 =3

V

2 .

Per il legame che sussiste fra il segno della derivata primae la monotonia della funzione, possiamo concludere cheA(r) e strettamente crescente nellintervallo (r0, +), estrettamente decrescente nellintervallo (0, r0) (A(r) non edefinita per r 0). Dunque il piu piccolo valore di A(r)e quello assunto per r = r0. In corrispondenza, si tro-va h(r0) =

3

4 V/ e A(r0) = 332 V2 . Si noti che

2 r0 = h(r0).

Avendo in mente almeno lesempio precedente, passia-mo a considerare la definizione di minimo di una funzione,che vale molto piu in generale:

Definizione (minimo assoluto di una funzione). Da-to un insieme arbitrario X, consideriamo una funzionef: X R. Se esiste un x0 X tale che

f(x0) f(x) per ogni x Xallora: si dice che f ammette minimo assoluto in X, ilpunto x0 si dice punto di minimo assoluto per f in X, e siscrive

minxX

f(x) = f(x0).

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La definizione di massimo e del tutto analoga:

Definizione (massimo assoluto di una funzione).Dato un insieme arbitrario X, consideriamo una funzionef: X R. Se esiste un x0 X tale che

f(x0) f(x) per ogni x X

allora: si dice che f ammette massimo assoluto in X, ilpunto x0 si dice punto di massimo assoluto per f in X, esi scrive

maxxX

f(x) = f(x0).

Un classico teorema, attribuito al giurista Pierre deFermat, afferma che se X e un intervallo sulla retta reale,e se f e derivabile ed assume il minimo in un punto x0interno a tale intervallo, allora la sua derivata deve annul-larsi:

Teorema 1. (Fermat). Se f: (x0 , x0 + ) R haun minimo assoluto o un massimo assoluto in x0, e sef ederivabile in x0, allora f(x0) = 0.

Dimostrazione. Per lipotesi di derivabilita di f, e poichex0 e un punto interno al dominio di f, si ha:

limxx+0

f(x) f(x0)x x0 = f

(x0) = limxx0

f(x) f(x0)x x0 .

Nel caso in cui x0 e un punto di minimo assoluto, il rap-porto incrementale al primo membro e maggiore o uguale

a 0. Per il teorema della permanenza del segno, ne segueche f(x0) 0. Ragionando in modo analogo sul rapportoincrementale allultimo membro, si trova che f(x0) 0.Dunque f(x0) = 0, come volevasi dimostrare. La conclu-sione segue in modo simile nel caso in cui x0 e un punto dimassimo assoluto.

Limportanza e la notorieta del teorema di Fermat nonsono ragioni sufficienti per identificare il concetto di mas-simo o quello di minimo con quello di punto critico, cioe dipunto dove si annulla la derivata prima. Puo infatti avve-nire che la derivata non esista in un punto di minimo (odi massimo), come mostra il seguente esempio.

Esempio 16. La funzione y = |x| ha minimo assolu

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