vectores en r2 - 1
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Matem ticas Iá
1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Puntos en el plano. Coordenadas
Un sistema de referencia en el plano está formado por dos rectas: OX (llamada eje de abcisas) y OY (llamada eje de ordenadas) que se cortan en un punto O (llamado
origen de coordenadas)
X
Y
O 1
1
• P
p1
p2(p1, p2) Cada punto del plano queda unívocamente
determinado por sus coordenadas
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Matem ticas Iá
1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Primera componente Segunda componente
R2 = { ( x , y ) / x ∈ R, y ∈ R}
(x, y) = (x’, y’) ⇔ x = x' y = y'
El conjunto R2
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Suma de pares: (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)
Producto de un número por un par: k(x, y) = (kx, ky)
Operaciones en R2
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
11
5
52
63
• A
• B
• C
• Paso de A a B: 5 derecha, 2 arriba
• Paso de B a C: 6 derecha, 3 arriba
• Para pasar de B a C directamente: (5, 2) + (6, 3) = (11, 5)
Sentido de la suma de pares
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Vector fijo:Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el
origen al extremo.
AOrigenOrigen
B ExtremoExtremo→AB
Vectores fijos en el plano
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Se representa |→AB|
A
B→AB
M duloó
El módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB]
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Todos estos vectorestienen la misma dirección.
Direcci nó
Dirección de un vector fijo: es la dirección de la recta que pasa por A y B
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Sentido
Estos vectorestienen la misma dirección y
sentido contrario.
Sentido de un vector fijo es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos desde A a B
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Los vectores en el plano
Vectores equipolentes
Dos vectores fijos son equipolentes si y sólo si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
Dado un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que forman un vector libre. Al conjunto de los vectores libres del plano se le llama V2.
• El vector fijo →AB es un representante del vector libre [
→AB]
• El vector fijo →CD es un representante del vector libre [
→CD]
A
BC
D
Los vectores libres del plano
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
→u
→v
→v
→u +
→u
→v
• O
Suma de vectores libres
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
→u
→v
→v
→u +
→u
→v
• O
Otra forma de sumar vectores libres: regla del paralelogramo
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
–2→u3
→u
→u
→u
→u
→u
–→u
–→u
Producto de un n mero real por un vectorú
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3 .→a
2 .→b
Combinaci n lineal de vectoresó
• Dados dos vectores →a y →b , una combinación lineal de estos dos vectores es
cualquier expresión de la forma m . →a + n . →b en donde m y n son números reales.• El resultado de una combinación lineal de vectores es otro vector:
m . →a + n . →b = →u
→b
→a
3 . a + 2 . b→ →
•
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x .→a
y .→b
Coordenadas de un vector libre
• Si →a y →b son dos vectores del plano V2 linealmente independientes , entonces
cualquier otro vector →u se puede expresar como combinación lineal de dichosvectores. Además dicha combinación lineal es única.
• Se dice entonces que B = {→a , →b } es base de V2.
→b
→a
•
u = x . a + y . b→ →→
Se dice que x e y son las coordenadas de→u respecto de la base B = {→a , →b }. Se
escribe →u = (x, y).
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
y→j
x→i
→a
x→i + y→j
X
Y
O→i
→j
B ={→i ,→j } es la base
canónica de V2
=→a
(x, y) son las coordenadas de →a en
la base B
Base can nica de Vó 2. Coordenadas de un vector libre
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→u . →v = |
→u | . |→v | cos
∧(→u ,→v )
∧→u ,
→v
→u
→v
→v'
∧→u ,
→v
→u
→v
→u'
→u . →v = |
→u | . |
→v' | →
u . →v = |
→v | . |
→u' |
Producto escalar de dos vectores
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|→u | = + →u . →u = x2 + y2
|→u | = x2 + y2
→i
→u
X
Y
O
→j
x
y
M dulo de un vectoró
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
cos ∧
(→u ,→v ) = →u . →v
|→u | . |→v | =
xx' + yy'x2 + y2 x'2 + y'2∧→
u ,→v
→u
→v
ngulo de dos vectoresÁ
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
y→j
x→i
→a
X
Y
O→i
→j
-→u
→u
→u = ( xx2 + y2 ,
y x2 + y2) –→u = (–
xx2 + y2 , –
y x2 + y2)
Vectores unitarios
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1 BACHILLERATOº5Vectores en el plano
→a
Vectores perpendiculares. Bases ortonormales
→a ⊥ →b ⇔ →a . →b = 0
→a
→b
90º
→a
→b
270ºVectores perpendiculares
Vectores unitarios →u es unitario si y sólo si |→u |=1
1
|→a | →a
-1
|→a | →a
Vectores unitarios de la misma dirección que uno dado:
Base ortonormal: formada por vectores perpendiculares dos a dos y unitarios
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