En el espacio de tres dimensiones en el que vivimos, podemos construir un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se llama Origen.

El Sistema de coordenadas rectangulares utilizado en vectores espaciales es el siguiente:

Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. El eje x y el eje y determinan el plano xy, el eje x y el eje z determinan el plano xz, y el eje z y el eje ydeterminan el plano yz.

Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. El octante en el que las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina primer octante. No hay un acuerdo para denominar a los otros siete octantes.

Así como en el plano existen dos vectores unitarios i y j, en el espacio tenemos tres vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y , y z, cuyos módulos son iguales a la unidad, y los simbolizamos con i, j, y k, como en la siguiente figura .

Definimos los vectores unitarios i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)

Entonces, por lo anterior, cualquier vector se puede expresar en la forma

El vector unitario se caracteriza por que su longitud es la unidad y se define por la siguiente relación:

Al obtener el unitario de cualquier vector estamos extrayendo dos características principales que son la dirección y sentido

La expresión del vector unitario es:

Cosenos Directores:

El modulo del vector unitario es:

Coordenadas Rectangulares:

En función de sus vectores base:

Coordenadas Polares:

Coordenadas Geográficas:

Para sumar o restar vectores en el espacio se debe conocer previamente las componentes de los vectores a lo largo de cada eje; seguido, se adiciona o restan algebraicamente sus componentes

Sean los vectores A=i-2j+3k y B=2i+3j-5k determinar A + B

A=i-2j+3k B=2i+3j-5k A + B=3i+j-2k

Cuyo modulo es

Asociativa.- Si se suman primero dos vectores y luego se suma un tercero, su resultante no cambia.

C+ (A +B ) = (B+C ) + A Conmutativa.- El orden de los vectores no altera su

resultante.A+B = B+A

Elemento neutro.- Si se suma un vector con un vector nulo, su resultado es el mismo vector.

A+O = A Elemento opuesto.- La suma de un vector con su

vector negativo. Su resultado es nulo (cero). A+(-A)= 0

El producto de un escalar n por un vector A nos da como resultado un nuevo vector B=nA; en donde el modulo es nveces la longitud del vector A y cuya direccion y sentido conincide con la del vector A si n>0, y es opuesta a la de A si n<0. Si n=0, la longitud es igual cero y el vector se convierte en nulo.

Conmutativa : nA= An

Asociativa: n(mA)= (nm)A

Distributiva Escalar: (m+n)A= mA+nA

Distributiva Vectorial: n(A+B)= nA+nB

Si los vectores están en el espacio, su producto escalar se define de la misma forma que en el plano:

A•B= ABcosθ

Donde θ, es el ángulo formado por los vectores, cuando parten de un mismo origen

Conmutativa : A•B= B•A

Asociativa: n(A•B)= (n A)•B

Distributiva: C• (A+B)= C• A+ C• B

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo: A≠0⇒ A•A>0

1.Cuando dos vectores son paralelos “”

2. Cuando dos vectores son perpendiculares “⊥”

3. Cuando multiplicamos escalarmente los vectores unitarios, obtenemos:

Es decir:

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

=⋅=⋅

=⋅=⋅

=⋅=⋅

ikki

jkkj

ijji

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii

4. Sean los siguientes vectores:

El resultado es un escalar (NO VECTOR)

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=

BAC

⋅=

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx ++⋅++=

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaC

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkbajjbaiibaC zzyyxx ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

zzyyxx bababaC ⋅+⋅+⋅=

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de A a B. Su módulo es igual a:

AxB = ABsenθ

i

jk

X

=

( + )

i

jk

X

=

( - )

Sean los vectores:

Derterminar:

kjiB

kjiA

ˆ4ˆ2ˆ1

ˆ3ˆ1ˆ2

++=

++=

BAC

×=

)ˆˆ(6)ˆˆ(3

)ˆˆ(4)ˆˆ(1)ˆˆ(8)ˆˆ(4

)ˆ4ˆ2ˆ1()ˆ3ˆ1ˆ2(

jkik

kjijkijiC

kjikjiBAC

×+×+

+×+×+×+×=

++×++=×=

)ˆ(6ˆ3ˆ4)ˆ(1)ˆ(8ˆ4 ijikjkC −+++−+−+=

iC ˆ2−=

j5− k3+