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AT 1
UDESC2016/1
MATEMÁTICA
01) Resposta: A
Comentário
A circunferência λ1 está na forma geral:
A circunferência λ2 está na forma reduzida:
Resolvendo o sistema entre as equações λ1 e λ2, encontramos os pontos de intersecção P1 e P2:
(eixo radical E.R.)
O eixo radical y = 2x é a reta que passa por P1 e P2.
Substituindo y = 2x em uma das circunferências, temos:
Temos, então, os pontos de intersecção: P1 (0, 0) e P2 85
165
,
.
Área do quadrilátero formado por P1, C1, P2, C2:
R1 . R2 = 4 . 2 = 8 → S = R1 . R2
2 3
UDESC2016/1
02) Resposta: D
Comentário
tg 60 = x
x = 20 3
cos 30 = y
= 20 3
o
o
20
32
30
⇒
⇒ ⇒ =x
yy
Área = 1
20 3 . 30 . sen 30o
2.
Área = 150 3
03) Resposta: D
Comentário
Para x ∈ [–1, 1], temos:x1 ≠ x2 → y1 ≠ y2 → injetoraeCD(f) = Im(f) → sobrejetora
Logo, bijetora.
04) Resposta: C
Comentário
|log3 3x)| ≤ 1 ⇒ –1 ≤ log3 3x ≤ 1
Portanto:C.E. (3x > 0 → x > 0)
log3 3x ≥ –1log3 3x ≥ log3 3
–1
313
19
x
x
≥
≥
log3 3x ≤ 1
log3 3x ≤ log3 3
3x ≤ 3
x ≤ 1
Conclusão:
S =
19
, 1
2 3
UDESC2016/1
05) Resposta: C
Comentário
• C + 41 + 40 = 141 → C = 60• 141 – 103 = A – 40 → A = 78• 78 + B + 70 = 217 → B = 69
Logo, (A, B, C) → (78, 69, 60) → PA decrescente
06) Resposta: D
Comentário
tg x – 2 . sen x (2x) = 0 em x ∈ [0, 2π]sen xcos x
. 2 . sen x . cos x = 0
sen x . cos x
. cos
−
−
2
14 x
1) sen x = 0
ou
2) cos x
. cos x = 0
=
−
0
14
1) sen x = 0
2) 1
414
12
cos x . cos x 4 cos x = 1 cos x =
cos x =
2 2 − → →
→ ±
Logo: M = 0 + + 2 + + 2
+ 4
+ 5
= 7
π ππ π π π
π
π
3 3 3 32
•
cosM
− =
−cos cos cos ( )22
2497M
ππ
π
= –1 – (–1)2 = –1 – 1 = –2
4 5
UDESC2016/1
07) Resposta: E
Comentário
1
77 0
7 7
3
3 2
42 1
4 1 2
x
xx
x x x
− ≥
≥
−−
− − +
x + 1
. (7 )
. 7
2
( ) ( ) .. (2 1x− )
–x . (x3 – 4) ≥ 1 + (x2 + 2) . (2x – 1)
Logo, organizando as operações:
x4 + 2x3 – x2 – 2x ≤ 0
Fatorando, temos:
x (x – 1)(x + 1)(x + 2) ≤ 0
Raízes: {0, 1, –1, 2}
Estudos dos sinais:
08) Resposta: A
Comentário
Lado do hexágono maior: L = 6 cmLado do hexágono menor: = 3 cm
Seja O o centro das circunferências.A medida OA é o raio do círculo menor n = 3 OB é a altura do triângulo equilátero de L = 6
H H= ⇒ ⇒ = 3
26 3
23 3 cm
No triângulo ABC temos:
x
x
x
x
x x
2 2 2
2
2
2
3 3 3 3
9 27 18 3 9
45 18 3
9 5 2 3
9 5 2 3 3
= + −
= + − +
= −
= −
= − → =
( )
( )
( ) (( )5 2 3−
Área lateral . (12 retângulos de altura 10 cm e base x)
A
A
= −
= −
12 . 10 . 3
360
5 2 3
5 2 3
4 5
UDESC2016/1
09) Resposta: A
Comentário
A
x
x
x x
x x=−
− − −1 2
2 1
1 2
2 23 2 det A = x
P(x) = x . (x3 – 2x2 + x – 2)x1 = 0 x3 – 2x2 + x – 2 = 0
x2 + 1 = 0x2 = –1x = ±iDuas raízes reais: x = 0 e x = 2Duas raízes imaginárias: x = i e x = –i
10) Resposta: B
Comentário
Seja x =
log x = log
log x = log (7 . 5)
log x =
35
35
18
8
8
18
. (log 7 + log 5)
log x = . (0,845 + 0,699)
log x = 0,1
18
993
Pela tabela: x = 1,56
11) Resposta: A
Comentário
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0
a = 1 x + x + x = Logo, b =
x . x . x =
1 2 3
1 2 3
−= −
−=
bad
a
1 1
1
.
55 15 Logo, d = − .
P(x) = x3 – x2 + cx – 15 = 0
Pelo teorema do resto: P x( ) x + 2
7
P(–2) = 7
(–2)3 – (–2)2 + c(–2) – 15 = 0
–8 – 4 – 2c – 15 = 7
–34 = 2c
c = –17
P(x) = x3 – x2 – 17x – 15. Dividindo-se por g(x) = x + 2.
Q(x) = x2 – 3x – 11
6 7
UDESC2016/1
12) Resposta: B
Comentário
• Por proporção (regra de três):
GRADO GRAUS
x
o400
3503
360
3
→
→
∴ 400 . x =
350 . 360 x = 1005o
• sen x = sen (105o) = sen (60 + 45 )
= sen 60 . cos 45 + sen 45 . cos 60
=
o o
o o o o
33 .
2 +
2 .
1 =
6 +
2
= 2 + 6
2 2 2 2 4 4
4
13) Resposta: D
Comentário
• Temos 6 vereadores de situação (SIT.)
7 vereadores de opossição (OP.)
• Formando comissões com 2 vereadores de situação e 3 de oposição:
SIT SIT OP OP OP
C C
. 62
77 = 525 maneiras ou comissões
• Comissões com 3 vereadores de situação e 2 de oposição:
OPSIT SIT SIT
C
. 63 CC7
2 = 420 comissões
OP
• Comissões com líderes, 1 vereador de situação e 2 de oposição:
LÍDER SIT LÍDER OP
1 .
SIT OP OP
1 . C . C = 75 comissões5 61 2
• Comissões com líderes, 2 vereadores de situação e 1 de oposição:
LÍDER SIT LÍDER OP
1 .
SIT SIT OP
1 . C . C = 60 comissões5 62 1
Logo, total: 525 + 420 – 75 – 60 = 810.
6 7
UDESC2016/1
14) Resposta: B
Comentário
Da leitura do texto, chega-se ao quadro:
SEXO FEM.60% de 500 = 300
OLHOS CLAROS30% de 500 = 150
LOIROS45% de 500 = 225
SEXO MASC.40% de 500 = 200
OLHOS ESCUROS70% de 500 = 350
MORENOS55% de 500 = 275
Das informações sobre as intersecções dos conjuntos, chega-se ao seguinte diagrama em árvore:
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