transformée de laplace gpa535. (c) r. aissaoui1. objectifs du cours revoir les nombres complexes et...
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 1
Transformée de Laplace
0
( ) ( ) stL f t f t e dt
GPA535. (C) R. AISSAOUI 2
Objectifs du cours
• Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler
• Revoir la transformée de Laplace• Détermination de la fonction de transfert • Décomposition de la réponse en fractions
partielles• Introduction à la modélisation
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IntroductionPour effectuer l’analyse et la synthèse d’un système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs d’entrée et ses grandeurs de sorties. L’ensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système.
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IntroductionLa mise en équations d’un système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent.
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Introduction• des lois de la mécanique pour les mouvements des corps
solides en translations et/ou en rotation• des lois de l’électricité pour les circuits électriques (Les
systèmes à composants passifs et actifs) • des lois magnétiques (moteur à courant continu,…)• des lois de l’écoulement des fluides la thermodynamique…
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Mécanique (Loi de Newton)• En translation : somme des forces agissant sur un corps =
accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps
• En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment d’inertie par rapport au centre de gravité
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Loi de l’électricité (loi de Kirchhoff)
• Somme des tensions dans une maille est nulle
• Somme des courants traversant un nœud est nulle
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Il s’agit de trouver un formalisme qui permet de relier l’entrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers d’un système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade.
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SYSTÈME LINÉAIRE INVARIANT DANS LE TEMPS (S.L.I.T.)
1
1 01
1
1 01
( ) ( )( )
( ) ( )( )
n n
n nn n
m m
m mm m
d c t d c ta a a c t
dt dt
d r t d r tb b b r t
dt dt
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Transformée de Laplace• C’est une méthode opérationnelle pour la résolution des
équations différentielles. • Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous
forme de fonctions algébriques à variable complexe. • L’intégration et la dérivation peuvent être remplacées par une
opération algébrique dans le plan complexe. • La transformée de Laplace permet l’utilisation de techniques
graphiques pour prédire la performance d’un système sans résoudre le système.
• La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent.
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Transformée de Laplace
( 0)( 0) 0; 0
d x tx t
d t
Résolution des équations différentielles qui régissent les S.L.I.T. Exemple :
2 ( ) ( )2 5 ( ) 3 sin (5 )
d x t d x tx t t
d t d t
22( ) ( )
2 ( ) 5 td x t d x tx t e t
d t d t
( 0)( 0) 2; 1
d x tx t
d t
Conditions initiales nulles
Conditions initiales
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Variable complexe et fonction complexe
Variable complexe. Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante:
Complexe conjugué
Complexes j
2
,
1j
s j
Représentation géométriques des nombres complexes
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Im
2 2
(cos sin )
(cos sin )
s j OM j
s j
On définit alors:
Module de s
Phase de s
1 10; tan ; 0; tan ;
2 2s OM
arg( )s s
Re0
M
s +
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Opérations dans l’ensemble des complexes
Addition:
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
s s s j j
s j
Multiplication:1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2
1 2
( )( )
( ) ( )
s s s j j
s j
s s s
s s s
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Division de 2 nombres complexes
1 1 1 1 1 2 2 1 22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 21
2
( )( )
( )( )
s j j j s s
s j j j s
s ss
s
2
2s
1
2
11 2
2
s
s
ss s
s
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Exemples: déterminer le module et l’argument des complexes suivants
( 2.5 3 )( 0.5 4 )
4 3
2 5
4 3
2
j j
j
j
j
j
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Fonctions TI - Matlab
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THÉORÈME D’EULER
Le développement en série de puissance des fonctions circulaires sinus et cosinus s’écrivent:
2 4 6
cos 12! 4! 6!
θ θ θ
3 5 7
sin3! 5! 7!
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THÉORÈME D’EULER
2 3( ) ( )cos sin 1 ( )
2! 3!
j jj j
Or on sait que la fonction ex se développe par
Alors le théorème d’Euler:
cos sin jj e
2 3
12! 3!
x x xe x
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cos sin jj e cos sin jj e
Alors
1cos ( )
21
sin ( )2
j j
j j
e e
e ej
THÉORÈME D’EULER
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2 2( )(cos( ) sin( )) js j s e
s s
Tout nombre complexe peut s’écrire sous une forme exponentielle
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
s j j
s j
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VARIABLE COMPLEXE – FONCTION COMPLEXE (suite)
Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et s’écrit:
( ) x yF s F jF Où Fx et Fy sont des quantités réelles.
2 2x yAmplitude Module (F F )
1y xPhase Angle tan (F F )
x yConjuguée de F(s) F jF
+
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EXEMPLE DE FONCTION COMPLEXE
1
F(s)s 1
2
K(s 2)(s 10)F(s)
s(s 1)(s 5)(s 15)
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Exemple - TI
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Exemple - TI
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TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe
Et L désigne l’opérateur de la T.L. alors:
0
[ ( )] ( ) ( ) stL f t F s f t e dt
Condition d’existence = convergence de l’intégrale
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TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE
Le processus inverse est définit:
1 1( ( )) ( ) ( )
2
c jst
c j
L F s f t F s e dsj
Où c est l’abscisse de convergence et choisit plus grand que toute les valeurs singulières (pôles) de F(s). Le chemin de l’intégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON N’UTILISERA PAS CETTE FORME
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SIGNAUX DE COMMANDE (Tableau 1.1 p.19)
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TRANSFORMÉE DE LAPLACE (Tableau 2.1p. 41)
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2 2cos
( )at s a
e ts a
TRANSFORMÉE DE LAPLACE
2 2sin
( )ate t
s a
Fonction sinus amortie
Fonction cosinus amortie
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Propriétés de la transformée de Laplace
• Linéarité (items 2 et 3)• Décalage fréquentiel (item 4)• Décalage temporel (item 5)• Modification d’échelle (item 6)• Dérivation (items 7, 8 et 9)• Intégration (item 10)• Théorème de la valeur finale (item 11)• Théorème de la valeur initiale (item 12)
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Propriétés des transformée de Laplace
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Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques.
Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière.
Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue.
La transformée de Laplace sert à :
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FONCTION DE TRANSFERT
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Étape à suivre pour déterminer la réponse d’un système
1. Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties.
2. Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff)
3. Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s))
4. Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/ R(s)5. Déterminer la réponse à partir de C(s)6. C(s) = N(s) / D(s) 7. Décomposer en fraction partielle 8. Identifier les composants et leurs transformée de Laplace
inverse (Tables)
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Décomposition en fraction partielle d’une fonction complexe
• Les racines du dénominateur et distincts• Les racines du dénominateur sont réelles et multiples• Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires
pures
Racines réelles distinctes
21
( 1 1)2
( 1 2) ( 1 2)
KK
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1 22( )
( 1)( 2) ( 1) ( 2)
K KF s
s s s s
Pour déterminer K1
21
( 1)2
( 2) ( 2)
s KK
s s
On donne à s la valeur qui annule le terme de K2 (s+1=0) donc s =-1
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Racines réelles distinctes
2 2 2( )
( 1)( 2) ( 1) ( 2)F s
s s s s
La décomposition nous permet de retrouver grâce au tableau 2.1 la réponse temporelle f(t)
2( ) (2 2 ) ( )t tf t e e u t
Racines réelles distinctes
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1 2
1 2
1 2
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
n
n
n
m
m
N s N sF s
D s s p s p s p
KK KF s
s p s p s p
s pK
1 2
( )
( )( ) ( )m
N s
s p s p s p |
( ) ms p
ns p
Exemple
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2( )
( 1)( 2)F s
s s s
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Réponse
1 2 2( )
( 1) ( 2)F s
s s s
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Racines réelles multiples et distinctes
1 2
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )...( )rn
N s N sF s
D s s p s p s p
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1 2
1 2 11
1 1 1 2
1 1
2 11 1 2 1 3 1 1
11 1
2
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )...( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
1
(
rn
r rr r
n
n
r
rr
rrnr
n
i
N s N sF s
D s s p s p s p
K K K KF s
s p s p s p s p
K
s p
F s s p F s
F s K K s p K s p K s p
K s pK s p
s p s p
Ki
1
111
( )| 1,
1)!
i
s pi
d F si r
ds
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Racines complexes
2
1( )
2 17F s
s s
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Exemple 1 racines multiples (TI)
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Exemple 1 (TI)
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Racine complexe
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Ça ne fonctionne pas ?
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Utilisation de s_ à la place de s
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La réponse
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La réponse temporelle
(4 ) (4 )( ) ( ) 0.5 0.5i t i tf t u t ie ie
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Quelle est la forme de f(t)?
4 4
4
4
4
4
( ) ( ) 0.5 0.5
( ) ( ) 0.5
( ) ( ) 0.5
( ) ( )2
( ) ( ) sin( )
t it t it
t it it
t it it
it it
t
t
f t u t ie e ie e
f t u t ie e e
if t u t ie e e
i
e ef t u t e
i
f t u t e t
Sinusoide amortie
Exemple-2
• 1
• 2
• 3
• 4
2 3
1 1 1 1
27( 3) 27 9 3s s s s
2 2 3
1 1 1 1
27( 3) 27 9 3s s s s
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3
1( )
( 3)G s
s s
2
1 1 1 1
27( 3) 27 9 ( 1)s s s s
2 2 3
1 1 1 1
27( 3) 27 9 3s s s s
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Exemple -3
• Soit l’équation différentielle suivante :
• Déterminer la réponse C(s) dans le domaine de Laplace en fonction de R(s) (conditions initiales nulles)
2
22 ( ) 14 ( ) 32 ( ) ( )d dc t c t c t r t
dt dt
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Exemple -3
• Déterminer la valeur de la réponse c(t) à l’instant t tend vers l’infini en supposant que l’entrée r(t) est une fonction échelon de valeur 4
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