teorema gauss - afiefdiaspambudi.staff.telkomuniversity.ac.id · medan listrik oleh silinder...

1

Teorema Gauss

Garis Gaya Listrik

Konsep fluks

Teorema Gauss

Penggunaan Teorema Gauss

Medan oleh muatan titik

Medan oleh kawat panjang tak berhingga

Medan listrik oleh plat luas tak berhingga

Medan listrik oleh bola isolator dan konduktor

Medan listrik oleh silinder isolator dan konduktor

Muatan induksi

2

Garis gaya listrik

Garis gaya listrik digunakan untuk

menggambarkan medan listrik

Arah medan listrik menyinggung garis gaya

Rapat garis gaya kuat medan listrik

P

EP

Q

EQ

3

Garis gaya oleh sebuah muatan titik

Oleh muatan titik positip

+

4

Garis Gaya oleh muatan negatip

Sebuah muatan negatip

-

5

Garis gaya akibat dipol

Muatan positip dan negatip (dipol)

+ -

6

Fluks Listrik

Definisi: banyaknya garis gaya listrik yang menembus suatupermukaan

Untuk permukaan dA yang tegak lurus dengan arah medan, jumlah garis gaya yang menembus permukaan itu adalah

Total garis gaya yang

menembus permukaan A

EdAd

dA

EAEAdAE

EdAd

A

AA

7

Fluks untuk sembarang permukaan

Untuk sembarang permukaan dA dengan arah

tidak tegak lurus medan

AdEd

dA

S

S

AdE

d

Fluks total untuk

permukaan SE

S

8

Contoh soal

Sebuah medan listrik dinyatakan dalam persamaan .

Tentukan fluks yang menembus permukaan

a. b.

c. d.

d. e.

Solusi

Karena medan homogen di seluruh permukaan yang

ditinjau, maka fluks dapat dituliskan dalam bentuk

jiE ˆ4ˆ2

iS ˆ10 jS ˆ10

kS ˆ10

kS ˆ10

jS ˆ10

iS ˆ10

SEAdES

9

Solusi contoh soal

a.

b.

c.

d.

e.

f.

0ˆ10)ˆ4ˆ2( kjiAE

0ˆ10)ˆ4ˆ2( kjiAE

40ˆ10)ˆ4ˆ2( jjiAE

40ˆ10)ˆ4ˆ2( jjiAE

20ˆ10)ˆ4ˆ2( ijiAE

20ˆ10)ˆ4ˆ2( ijiAE

10

Fluks,muatan Q,permukaan terbuka S

Fluks yang keluar dari

permukaan S

1n̂E

S

S

ndSE 1ˆ

dS

11

Permukaan tertutup, muatan Q diluar

1n̂ dA

1̂n

2n̂

2n̂

3n̂

3n̂

12

Perhitungan fluks Q diluar permukaan

Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik

Fluks total pada kubus mempunyai nilai:

0

0000

)ˆ(ˆ

)ˆ(ˆ

)ˆ(ˆ

11

33

22

11

SS

SS

SS

S

ndAEndAE

ndAEndAE

ndAEndAE

AdE

13

Permukaan tertutup, Q di dalam

2n̂

2n̂

1n̂ dA

1̂n

3n̂

3n̂

14

Perhitungan fluks Q di dalam

Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik

Fluks total pada kubus mempunyai nilai:

0

)ˆ(ˆ

)ˆ(ˆ

)ˆ(ˆ

332211

33

22

11

SS

SS

SS

S

ndAEndAE

ndAEndAE

ndAEndAE

AdE

15

Hukum Gauss

Besar fluks atau garis gaya listrik yang keluar dari suatu permukaan tertutup tergantung muatan yang dilingkupi oleh luasan tertutup tersebut

Prinsip untuk menggunakan teorema Gauss dengan mudah Pilih permukaan yang medan listrik di permukaan

tersebut homogen

Tentukan muatan yang dilingkupi permukaan tersebut

Tentukan arah medan terhadap arah normal permukaan.

0

qSdE

16

Permukaan Gauss Berbentuk Bola

Untuk muatan titik dan bola

dAE

Medan dipermukaan

bola homogen.

Arah medan radial,

searah dengan normal

permukaan bola

17

Permukaan Gauss Berbentuk Silinder

Kawat dan silinder panjang tak berhingga

Medan homogen di seluruh permukaan selimut silnder. Arah medan radial searah dengan normal permukaaan selimut silinder

dA E

EdA

18

Permukaan Gauss Berbentuk Silinder/Balok

Plat tipis luas tak berhingga

E

E

Medan homogen

pada tutup balok,

arah sama dengan

normal tutup balok

19

Medan akibat sebuah muatan titik

dAE

0

2

0

2

0

0

0

4

4

r

qE

qrE

qdAE

qEdA

qAdE

20

Konduktor

Di dalam konduktor, muatan bebas bergerak

Jika diberi muatan tambahan dari luar muncul medan listrik muatan bergerak menghasilkan arus internal terjadi distribusi ulang muatan tambahan dari luar hingga tercapai keseimbangan elektrostatis medan listrik di dalam konduktor menjadi nol menurut hukum Gauss berarti muatan di dalam konduktor nol,muatan tambahan dari luar tersebar di permukaan konduktor

Waktu yang diperlukan untuk mencapai keseimbangan elektrostatis sangat cepat

21

isolator

Di dalam isolator muatan tidak bebas bergerak

Muatan tambahan dari luar akan terdistribusi

merata dalam isolator

22

Bola konduktor pejal positip

Tinjau suatu bola konduktor pejal dengan jari-jari

R dan muatan Q

dAE •Muatan hanya tersebar

di permukaan bola saja

•Medan listrik di dalam

bola (r<R) nol

•Medan di luar bola dapat

dicari dengan cara berikut:

23

Medan listrik di luar bola konduktor

Buat permukaan Gauss berbentuk bola dengan

jari-jari r >R

Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss

adalah Q

Hukum Gauss untuk kasus bola konduktor

pejal:

2

00

2

00

44

r

QE

QrE

QdSE

qSdE

24

Bola isolator pejal

Isolator: muatan tersebar merata di seluruh

volum isolator

Di dalam bola

QR

rQ

R

rq

3

3

3

34

3

34

R

r

QR

rE

QR

rrE

QR

rSdE

qSdE

30

30

32

30

3

0

4

4

25

Bola isolator pejal (2)

Medan di luar

2

0

0

2

0

0

4

4

r

QE

QrE

QdSE

QSdE

Rr

q=Q

26

Medan listrik pada bola isolator berongga

QRR

Rrq

3

1343

234

3

1343

34

R1

R2

r

2

0

3

1

3

2

3

1

3

0

3

1343

234

3

1343

34

0

4

1

r

Q

RR

RrE

QRR

RrdSE

qSdE

27

Bola bermuatan negatip

Pada prinsipnya sama dengan bola bermuatan positip

hanya arah medan listriknya masuk menuju pusat bola

E

dA

2

0

0

2

0

0

4

4

180cos

r

QE

QrE

QEdS

QSdE

28

Dua bola, jenis muatan beda

Sebuah bola tipis jari-jari a bermuatan 2Q. Di

dalam bola tipis diletakkan bola pejal konduktor

berjari-jari b dan bermuatan –3Q.

b

a

Medan untuk daerah r<a

ditentukan dengan cara

yang sama dengan contoh

di slide sebelumnya

29

2

00

2

00

44

180cos

r

QE

QrE

QEdS

qSdE

Medan untuk r>a

•Dibuat permukaan Gauss berbentuk bola dengan jari-

jari r>a

•Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss:

q=2Q+(-3Q)=-Q

•Medan akibat muatan -Q

30

Medan listrik akibat kawat lurus

Permukaan Gauss berbentuk silinder,

Untuk muatan positip arah medan listrik radial keluar dari

pusat silinder

Untuk muatan negatip arah medan listrik radial masuk

menuju pusat silinderdA

E

31

Medan akibat kawat tak berhingga

rlE

EdSEdSEdS

SdESdESdESdE

tutupungsetutup

tutupungsetutup

2

90cos0cos90cos lub

lub

Fluks medan listrik yang menembus permukaan silinder

Jika panjang kawat L, muatan total Q, maka muatan yang

dilingkupi oleh silinder:

llL

Qq

32

Hukum Gauss untuk kawat sangat panjang

Penentuan medan listrik

r

rL

QE

lL

QrlE

qSdE

0

0

0

0

2

2

2

33

Contoh soal untuk kawat panjang (1)

Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada

titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan

rapat muatan =10 mC/m seperti pada gambar.

Solusi :

oooorE

025,0

4

1,0

)2,0(2

10.10

2

3

A

B

N/C

34

Contoh soal untuk kawat panjang (2)

Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada

titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan

rapat muatan =-10 mC/m seperti pada gambar.

Solusi :

oooorE

025,0

4

1,0

)2,0(2

10.10

2

3

A

B

N/C

35

Medan listrik karena dua kawat sejajar

Dua buah kawat pajang tak berhingga diberi muatan

masing-masing dengan rapat muatan dan -2 . Jarak

kedua kawat a. Tentukan medan listrik pada titik P yang

berjarak b dari kawat -2 .

EEEtotal

2

-2

ba P

E-2 E

)(2

2

)(2

2

00

2

bab

EEEtotal

36

Medan listrik akibat kawat berbentuk silinder

Misalkan silinder konduktor berjari-jari R ,

panjangnya L, dan bermuatan Q.

Permukaan Gauss berbentuk silinder dengan jari-

jari r dan panjang L seperti kawat panjang tak

berhingga

Untuk muatan positip, medan listrik berarah radial

meninggalkan sumbu pusat silinder

Untuk muatan negatip, medan listrik berarah

radial menuju sumbu pusat silinder

37

Permukaan Gauss pada silinder

Muatan positip

EdA

0

0

0

0cos

qdAE

qEdA

qAdE

38

Permukaan Gauss pada silinder

Muatan negatip

EdA

0

0

0

180cos

qdAE

qEdA

qAdE

39

Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

Di dalam konduktor

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss =0 karena

pada konduktor muatan hanya tersebar di permukaan

konduktor saja. Dengan demikian, medan listrik di

dalam konduktor E=0

40

Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

Di luar konduktor

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss

QLRLR

QVq 2

2

41

Medan akibat silinder konduktor

Medan listrik di luar silinder konduktor

Lr

QE

QrLE

QdAE

qAdE

0

0

0

0

2

2

42

Medan listrik akibat silinder isolator pejal

Di dalam isolator

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss

QR

rQ

LR

Lrq

2

2

2

2

43

Silinder isolator pejal

Medan listrik di dalam isolator (r<R)

QLR

rE

QR

rrLE

QR

rdAE

qAdE

2

0

2

0

2

2

0

2

0

2

2

44

Silinder isolator pejal (2)

Medan di luar silinder (r>R)

Lr

QE

QrLE

QdAE

qAdE

0

0

0

0

2

2

45

Silinder Isolator Berongga

Jari-jari dalam silinder a, jari-jari luar b, muatan Q, dan panjang silinder L

Untuk r<a, E=0, karena q=0

46

Silinder isolator berongga (2)

Untuk r>b, semua muatan terlingkupi oleh permukaan

Gauss ( q=Q), sehingga medan di luar silinder adalah:

Untuk a<r<b, dibuat permukaan Gauss berbentuk

silinder dengan jari-jari a<r<b dan panjang L

Muatan yang dilingkupi

Qab

arLaLr

LaLb

QVq Gausssilinder

)(

)(22

2222

22

Lr

QE

02

47

Bola isolator berongga

Lrab

QarE

ab

QarrLE

ab

QardAE

qAdE

)(2

)(

)(

)(2

)(

)(

22

0

22

22

0

22

22

0

22

0

Medan listrik untuk a<r<b

48

Dua silinder dengan muatan berbeda

Silinder pejal isolator berjari-jari a, panjang c, dan

bermuatan 3Q berada dalam suatu silinder berongga

yang jari-jari dalamnya b, jari-jari luarnya d, panjangnya c,

dan bermuatan –Q.

Di dalam isolator (r<a)

Qa

rQ

ca

crq 33

2

2

2

2

0

22

0

2

0

22

2

332

3)/(

ca

QrE

a

QrrcE

QarSdE

49

000 2

222

2

rc

QE

QrcE

QSdE

Di antara isolator dan konduktor (a<r<b)

Di dalam konduktor (b<r<d): E=0

Di luar konduktor (r>d)

000 2

332

3

rc

QE

QrcE

QSdE

50

Medan listrik Di Sekitar Plat Tipis (1)

Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas

E

E

SSA

Qq

A

S

51

Perhitungan medan listrik akibat plat tipis (1)

0

0

0

2

2

E

SSE

qAdE

ES

ESES

SdESdESdESdE tutupungsetutup

2

0

lub

52

Medan listrik Di Sekitar Plat Tipis (2)

Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas -

E

E

SSA

Qq

A

S

53

Perhitungan medan listrik akibat plat tipis(2)

0

0

0

2

)2(

E

SSE

qAdE

ES

ESES

SdESdESdESdE tutupungsetutup

2

0

lub

54

Medan listrik akibat dua plat tipis

Dua plat tipis luas tak berhingga masing-masing

mempunyai rapat muatan dan - . Medan listrik di

sekitar plat tersebut dapat dianalisis seperti gambar di

bawah ini

02

EE

-

E1 E2 E3

0)()ˆ(

)()ˆ(

0)()ˆ(

3

0

2

1

iEiEE

iEiEE

iEiEE

55

Medan akibat 3 plat tipis

Tiga buah plat tipis masing-masing bermuatan , -, dan

2. Medan di sekitar plat bisa dicari dengan cara berikut

- 2

x=2 x=4 x=7

2EEEEtotal

56

Medan listrik akibat 3 plat tipis (2)

i

iii

iEiEiExE

ˆ2

ˆ2

2ˆ2

ˆ2

)ˆ()ˆ()ˆ()2(

0

000

2

i

iii

iEiEiExE

ˆ2

4

ˆ2

2ˆ2

ˆ2

)ˆ()ˆ()ˆ()42(

0

000

2

i

iii

iEiEiExE

ˆ2

2

ˆ2

2ˆ2

ˆ2

)ˆ()ˆ()ˆ()74(

0

000

2

i

iii

iEiEiExE

ˆ2

2

ˆ2

2ˆ2

ˆ2

)ˆ()ˆ()ˆ()7(

0

000

2

57

Muatan induksi

Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik

eksternal

Di dalam tipis logam: E+E´=0

0'

2 00

ii

logam netral

- +

-

-

-

+

+

+E E E’

2'

-´ ´

58

’

Logam ditanahkan

Bagian yang terhubung dengan tanah akan

bermuatan netral

-

-

-

-

E

E’

E

E’

1 2 3 4

Etotal=E+E’ '