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Tema 04: Análisis Estadístico de unaserie temporal estacionaria
Análisis estadístico de series económicas
Xavier BarberDepartamento de Estadística, Matemáticas e Informática
Centro de Investigación OperativaUniversitas Miguel Hernández de Elche
21/Mar/2019
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 1 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Análisis Estadístico de una serietemporal
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 2 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Análisis de una seriePara analizar y modelar una serie es necesarioidentificar la estructura que la genera, es decir, cómoinfluyen las observaciones del pasado en las futurasHerrramientas:
Función de autocorrelación Simple (ACF).Función de autocorrelación Parcial (PACF).
Los modelos lineales de las series temporales sepueden considerar como un método sofisticado deextrapolación de series temporales.
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 3 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Función de Autocorrelación SimpleUtilizando los momentos centrales de orden 1 y orden 2 ,se define la función de autocovarianzas:
Media : µY = E[Yt]
Varianza : σ2Y = V ar[Yt] = E[(Yt − µY )2]
Autocov. de orden k : γk = Cov(Yt, Yt+k) = E[(Yt−µY )(Yt+k−µY )]
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 4 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Por lo tanto podremos definir la Autocorrelaciónsimple de orden k como
ρk = Cov(Yt, Yt+k)V ar[Yt]1/2V ar[Yt+k]1/2 = γk
γ0
Cumpliéndose que para k=0, ρ0=1ρk puede depender de k pero no va depender de losmomentos concretos a los que se refieran loscomponentes de Yt.
Suele decirse que la ACF representa la DURACIÓNy la INTENSIDAD de la MEMORIA del porceso Yt.
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Análisis Estadístico de una serie temporal
Función de Autocorrelación ParcialLa Autocorrelación Parcial de orden k de un procesoYt estacionario se representa con el símbolo φkk y sedefine como el parámetro φkk en la regresión:
Yt = φk1Yt−1 + . . .+ φkkYt−k + Ut
donde Yt−i = Yt−i − µY (i = 0, 1, . . . , k) y Ut son loserrores iid.Esta regresión se puede reescribir como:
Yt = φk0 + φk1Yt−1 + . . .+ φkkYt−k + Ut
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Análisis Estadístico de una serie temporal
ACF y PACFEn la práctica es imposible calcular de estimar la ACF yla PACF en una serie, por lo que se selecciona unamuestra de ésta y se realizar la estimación.
Las ACF proporcionan información sobre cómo unaobservación influye en las siguientes.Las PACF proporcionan la relación directaexisitente entre observaciones separadas por kretardos.
acf(x, lag.max = NULL,type = c("correlation", "covariance", "partial"),plot = TRUE, na.action = na.fail, demean = TRUE, ...)
pacf(x, lag.max, plot, na.action, ...)Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 7 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
ACF y PACFEs de resaltar que en este enfoque de modelizaciónde las series temporales se requiere que la variableobjeto del estudio sea estacionaria (en media y envarianza).
Con el fin de sistematizar la exposición se va aestudiar en primer lugar los modelos autorregresivos(AR), en segundo lugar los modelos de mediasmóviles (MA) y, por último los modelos mixtosautorregresivos y de medias móviles (ARMA).
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Análisis Estadístico de una serie temporal
PACFEn este contexto, además, se entiende por invertirun proceso la transformación de un modelo AR ensu modelo MA equivalente. La generalización deeste concepto permite transformar un modelo MAen su modelo AR equivalente
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Análisis Estadístico de una serie temporal
Modelos Autorrgresivos (AR)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación autoregresiva (AR) de orden p , y sedenota por AR(p), si es susceptible de ser modelizada através de la ecuación:
Yt = µ+ φ1Yt−1 + . . .+ φpYt−p + εt
donde Yt, Yt−1, Yt−2 son son variables aleatorias concebidas comorealizaciones de un proceso estocástico en los momentos del tiempot, t− 1, t− 2, . . . que se caracterizan por E[Yt] = E[Yt−1] = . . .,µ, φ1, . . . , φp junto con la varianza del proceso σ2
ε son los parámetrosque definen el modelo.
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 10 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Modelos de Medias Móviles (MA)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación de medias móviles (MA) de orden q , y sedenota por MA(q) , si es susceptible de ser modelizada através de la ecuación:
Yt = µ+ εt + θ1εt−1 + . . .+ θqεt−q
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 11 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Modelos de Medias Móviles (MA)
Yt = µ+ εt + θ1εt−1 + . . .+ θqεt−q
donde Yt es una variable aleatoria concebida comorealizaciones de un porceso estocástico en los momentosde tiempo t, que se caracteriza porE[Yt] = E[Yt−1] = . . ., µ, θ1, . . . , θq junto con la varianzadel proceso son los parámetros que define el modelo (quedeben ser estimados). εt es un porceso constituido porv.a. iid.
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 12 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Modelos Autoregressivos y de MediasMóviles (ARMA)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación autorregresiva y de medias móviles deorden p, q respectivamente, y se denota porARMA(p, q), si es susceptible de ser modelizada através de la ecuación:
Yt = µ+φ1Yt−1 + . . .+φpYt−p + εt + θ1εt−1 + . . .+ θqεt−q
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 13 / 47
Análisis Estadístico de una serie temporal
Modelos Autoregressivos y de MediasMóviles (ARMA)
Yt = µ+φ1Yt−1 + . . .+φpYt−p + εt + θ1εt−1 + . . .+ θqεt−q
donde Yt es una variable aleatoria concebida comorealizaciones de un porceso estocástico en los momentosde tiempo t, que s ecaracteriza porE[Yt] = E[Yt−1] = . . ., µ, φ1, . . . , φp, θ1, . . . , θq junto conla varianza del proceso son los parámetros que define elmodelo (que dene ser estimados). εt es un porcesoconstituido por v.a. iid.
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 14 / 47
Modelos y Correlogramas
Modelos y Correlogramas
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 15 / 47
Modelos y Correlogramas
AR(1)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación autoregresiva de primer orden,AR(1), sipuede modelizarse a través de la ecuación:
Yt = µ+ φ1Yt−1 + εt
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 16 / 47
Modelos y Correlogramas
AR(1)
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 17 / 47
Modelos y Correlogramas
AR(2)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación autoregresiva (AR) de segundo orden, y sedenota por AR(2), si es susceptible de ser modelizada através de la ecuación:
Yt = µ+ φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + εt
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 18 / 47
Modelos y Correlogramas
AR(2)
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 19 / 47
Modelos y Correlogramas
MA(1)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación a través de medias móviles (MA) deprimer orden, y se denota por MA(1), si es susceptiblede ser modelizada a través de la ecuación:
Yt = µ+ εt + θ1 ∗ εt−1
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 20 / 47
Modelos y Correlogramas
MA(1)
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 21 / 47
Modelos y Correlogramas
MA(2)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación a través de medias móviles (MA) desegundo orden, y se denota por MA(2), si es susceptiblede ser modelizada a través de la ecuación:
Yt = µ+ εt + θ1 ∗ εt−1 + θ2 ∗ εt−2
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 22 / 47
Modelos y Correlogramas
MA(2)
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 23 / 47
Modelos y Correlogramas
ARMA(1,1)Se dice que una serie temporal Yt admite unarepresentación autoregresiva y de medias móviles deprimer orden, y se denota por ARMA(1, 1), si essusceptible de ser modelizada a través de la ecuación:
Yt = φ1Yt−1 + εt + θ1 ∗ εt−1
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 24 / 47
Modelos y Correlogramas
ARMA (1,1)
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 25 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) yARMA(p,q)
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 26 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
AR(1) φ1 = 0.9
x <- arima.sim( list("ar"=c(-0.99)),n=200)
Time
x
0 50 100 150 200
−6
−4
−2
02
46
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 27 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 20 40 60 80 100
−0.
4−
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 28 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 29 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
AR(1) φ1 = −0.9
Time
x
0 50 100 150 200
−10
−5
05
10
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 30 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 5 10 15 20
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 31 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
−1.
0−
0.8
−0.
6−
0.4
−0.
20.
0
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 32 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
AR(2): “ar”=c(0.5,0.45)
Time
x
0 50 100 150 200
−2
02
4
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 33 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 20 40 60 80 100
−0.
20.
00.
20.
40.
60.
81.
0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 34 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 35 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
MA(1): “ma”=0.9
x <- arima.sim( list("ma"=c(0.9)),n=200)
Time
x
0 50 100 150 200
−3
−2
−1
01
23
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 36 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 37 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
−0.
4−
0.2
0.0
0.2
0.4
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 38 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
MA(2): “ma”=c(0.9, -0.5)
Time
x
0 50 100 150 200
−2
−1
01
23
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 39 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 20 40 60 80 100
−0.
20.
00.
20.
40.
60.
81.
0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 40 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
−0.
2−
0.1
0.0
0.1
0.2
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 41 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
ARMA(1,1): “ar”=c(0.99) ,“ma”=c(0.9)
x <- arima.sim( list("ar"=c(0.99) ,"ma"=c(0.9)),n=200)
Time
x
0 50 100 150 200
−20
−10
010
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 42 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 20 40 60 80 100
−0.
4−
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 43 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
−0.
50.
00.
51.
0
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 44 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
ARMA(1,1): “ar”=c(0.99) ,“ma”=c(-0.5)
Time
x
0 50 100 150 200
−2
02
4
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 45 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
0 20 40 60 80 100
−0.
20.
00.
20.
40.
60.
81.
0
Lag
AC
FSeries x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 46 / 47
EJEMPLOS DE AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)
5 10 15 20
−0.
3−
0.2
−0.
10.
00.
10.
2
Lag
Par
tial A
CF
Series x
Xavier Barber (@umh1465) Modelos ARMA(p,q) 21/Mar/2019 47 / 47
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