tehted vektoritega

Tehted Tehted vektoritegavektoritega

Interneti abi pluss Siimu common Interneti abi pluss Siimu common sense.sense.

Vektori mõisteVektori mõiste• Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga,

nimetatakse nimetatakse skalaarseteks suurusteksskalaarseteks suurusteks

• Suurust, mille täielikuks määramiseks on Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse nimetatakse vektoriaalseks suuruseksvektoriaalseks suuruseks

VektorVektor

• Vektoriks nimetatakse suunatud Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõikusirglõiku– sellist sirglõiku iseloomustavad sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund siht, suund

ja pikkus:ja pikkus:

– sihtsiht näitab, kuidas vektor asetseb näitab, kuidas vektor asetseb

– suundsuund näitab, kummale poole on vektor näitab, kummale poole on vektor sihil suunatudsihil suunatud

– pikkuspikkus on vektori arvväärtuseks on vektori arvväärtuseks

Vektorite tähistamisest Vektorite tähistamisest

A

B

B

A

a

a

b

ABL

BA

K

LK

Vektorite võrdsusVektorite võrdsus• Vektorid on samasihilised, kui nad on Vektorid on samasihilised, kui nad on

paralleelsedparalleelsed– samasihilisi vektoreid nimetatakse samasihilisi vektoreid nimetatakse

kollineaarsetekskollineaarseteks

• Samasihilised vektorid on kas Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalisedsamasuunalised või vastassuunalised

• Vektorid on Vektorid on võrdsedvõrdsed, kui nad on , kui nad on samasihilised, samasuunalised ja samasihilised, samasuunalised ja ühepikkusedühepikkused

aa

b

b

c

cb

ba

A

B

a aAB

A

Vektorite liigitusVektorite liigitus• sseotud vektoreotud vektor

– vektori määramiseks on vaja lisaks sihile, vektori määramiseks on vaja lisaks sihile, suunale ja pikkusele veel rakenduspunktisuunale ja pikkusele veel rakenduspunkti

• llibisev vektoribisev vektor– vektor, mille rakenduspunkti võib vektori vektor, mille rakenduspunkti võib vektori

mõjusirgel vabalt validamõjusirgel vabalt valida

• vvabavektorabavektor– vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis

vabalt validavabalt valida

Vektori koordinaadid Vektori koordinaadid

A(x1;y1)

B(x2;y2)

Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis

AB = (x2 – x1; y2 – y1).

y

x

a

)3;4(a

Vektori pikkusVektori pikkus

v

Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus

| v | = 22 ba

NullvektorNullvektor

• Vektorit Vektorit OO = (0; 0) nimetatakse = (0; 0) nimetatakse nullvektoriksnullvektoriks– nullvektori pikkus on võrdne nulliganullvektori pikkus on võrdne nulliga– nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt

ühtivadühtivad– nullvektori siht ja suund ei ole määratudnullvektori siht ja suund ei ole määratud

Vektorite liitmineVektorite liitmine• Vektorite summa koordinaadid saame, kui Vektorite summa koordinaadid saame, kui

liidame nende vektorite vastavad liidame nende vektorite vastavad koordinaadidkoordinaadid

);(

);();(

dbcavuw

dcvbau

y

x

b

a

ba

)4;4(

)1;3(

)3;1(

ba

b

a

• Et liita kahte vektorit, selleks Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega teise algusega – Summavektor ühendab esimese vektori Summavektor ühendab esimese vektori

algust teise lõpuga algust teise lõpuga

VastandvektorVastandvektor

Ovv

bav

bav

);(

);(

Vektorite lahutamineVektorite lahutamine• Vektori lahutamine tähendab selle vektori Vektori lahutamine tähendab selle vektori

vastandvektori liitmistvastandvektori liitmist

);(

);();()(

dbca

dcbauvuv

);();( dcubavKui

y

x

a

b

ba

)2;3(

)1;4(

)4;1(

ba

b

a

• Selleks et lahutada ühest vektorist teine Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. nad lähtuksid ühisest alguspunktist. – Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori

lõpp-punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. lõpp-punkti.

Vektori korrutamine arvugaVektori korrutamine arvuga

• KuiKui vv == ((mm;;nn)) jaja kk on reaalarvon reaalarv, , siissiis kkvv == ((kkmm;;kknn))

• kk >> 00

• kk << 00

• kk = = ––11

• kk == 00

Vektorite skalaarkorrutisVektorite skalaarkorrutisu u ·· v v = = uu ·· vv ·· coscos

u

v

u

v

u v

.

u

v u v

u · v = 0

=90°

=180°

cos 0° = 1

cos 180° = –1

u · v = a · c + b · d

Vektorite kollineaarsus ja Vektorite kollineaarsus ja skalaarkorrutis koordinaatide skalaarkorrutis koordinaatide abilabil

KuiKui u u = ( = (aa;;bb) ) jaja vv = ( = (cc;;dd)), siis, siis– kollineaarsuskollineaarsus

– skalaarkorrutisskalaarkorrutis

d

b

c

a