2. hulgateooria elementeeredi/dimat2010/dimat10l02.pdf · 2010. 2. 16. · 2.2. tehted hulkadega 3...

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad

Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võimevaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada. Aluseks võtamejärgneva kirjelduse.

Hulk on eristatavate objektide ehk hulga elementide kogum vaadelduna ühe ter-vikuna. Siinjuures räägitakse, et hulk sisaldab oma elemente aga ka, et elementkuulub hulka.

Hulga sellise kirjelduse andis esimesena 1895. aastal saksa matemaatik G. CantorSeeon nn naiivne hulgateooria ja sellega kaasnevad paradoksid. Loogiliselt rangemon nn aksiomaatiline hulgateooria, aga me sellega ei tutvu.

Hulki tähistatakse harilikult suurte tähtedega A, B, C, . . ., aga elemente väikestetähtedega a, b, c, . . ., x, y, . . . ning elemendi hulka kuulumist väljendatakse sümboliga”∈” ning mittekuulumist sümboliga ”/∈”. Näiteks, a ∈ B (vastavalt a /∈ B).

Hulka saab esitada mitmel erineval viisil.

1) Kõigi elementide loeteluna seejuures need paigutatakse looksulgudesse { }. Näi-teks, eesti keele vokaalide hulk on

{a, e, i, o, u, õ, ä, ö, ü} .

2) Loeteluna, milles osa elemente on asendatud sümboliga ”. . .” . Näiteks, posi-tiivsete täisarvude, mis on väiksemad kui 1000, hulk on

{1, 2, 3, . . . , 999}.

3) Elementide loeteluna, mida ühelt või mõlemalt poolt jätkatakse (teadaolevaeeskirja kohaselt) piiramatult, märkides seda sümboliga ”. . .” . Näiteks, natu-raalarvude hulk on

{0, 1, 2, 3, . . . }.

4) Moodustamise eeskirja kaudu kujul {x | tingimus } (või {x : tingimus }).Näiteks,

{x : x on täisarv ja väiksem kui 15 }.

5) Ühe (või mitme) antud elemendi ja elementide tuletamise nn rekurrentsevalemi (vt osa 7.1) kaudu. Näiteks, geomeetrilise jada elementide hulk

{a0, a1, . . . , an, . . . : an = an−1g}.

6) Teadaolevate hulkadega teostatud hulgateoreetiliste ja kardinaalsete tehete kaudu(vt osa 2.2).

Väga palju vajatakse mitmesuguseid arvudest koosnevaid hulki. Tuletame meeldetähtsamad nendest kusjuures kasutame järgnevaid tüüpilisi tähistusi:

2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad 2

naturaalarvude hulk N = { 0, 1, 2, . . . };

positiivsete täisarvude hulk Z+ = { 1, 2, 3, . . . };

täisarvude hulk Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . };

ratsionaalarvude hulk Q = { q : q = mn, m ∈ Z, n ∈ Z+ };

reaalarvude hulk R;

kompleksarvude hulk C = { z : z = x + iy, x, y ∈ R, i2 = −1 }.

Hulga elementideks võivad olla ka (juba teadaolevad) hulgad. Näiteks,{{a}, {b}, {a, b}}.

Definitsioon 2.1. Öeldakse, et hulk A on hulga B alamhulk (ehk osahulk) jakirjutatakse A ⊆ B, kui hulga A iga element on ka hulga B element. Kui siinjuuresleidub vähemalt üks hulga B element, mis ei kuulu hulka A, siis öeldakse, et A onpärisalamhulk ja kirjutatakse A ⊂ B. Öeldakse, et hulgad A ja B on võrdsed jakirjutatakse A = B, kui neil on samad elemendid.

Näiteks, hulgad { a, b, c }, { c, a, b }, { a, b, b, c, c, c } on võrdsed. Kui hakkameeristama elementide järjestust ning nende arvu, siis pole enam tegemist hulgateoo-riaga, vaid teise matemaatika valdkonnaga – kombinatoorikaga (vt peatükk 6).

Hulkade sisaldumise ja võrdumise põhiomadused on järgmised: mistahes hulkade A,B ja C korral kehtivad

1) A ⊆ A; (refleksiivsus)

2) Kui A ⊆ B ja B ⊆ A, siis A = B; (antisümmeetria)

3) Kui A ⊆ B ja B ⊆ C, siis A ⊆ C. (transitiivsus)

Näide 2.1. Arvuhulgad on üksteise alamhulgad N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi nimetatakse tühjaks hulgaks ja teda tähista-takse ∅. Leidub täpselt üks tühi hulk ja ta on iga hulga alamhulk: ∅ ⊆ A mistaheshulga A korral.

Hulga H alamhulkade hulgaks ehk hulga H Boole’i astmeks nimetatakse hulka,mille elementideks on antud hulga H kõik alamhulgad, ja seda tähistatakse tüüpiliseltsümboliga P(H) (sageli ka 2H) seega

P(H) = {A | A ⊆ H} .

Näide 2.2. Hulga A = {0, 1, 2} alamhulkade hulk on

P(A) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Näide 2.3. Tühjal hulgal ∅ on täpselt üks alamhulk – tema ise – s.o P (∅) = {∅}.Kui moodustame selle hulga alamhulkade hulga, siis selles on juba kaks elementi:

P ({∅}) = {∅, {∅}}.

Pole võimalik moodustada kõigi hulkade hulka, sest see peaks olema iseenda ele-mendiks. Vajadusel räägitakse kõigi (teatud tüüpi) hulkade kogumist ehk klassist.

2.2. Tehted hulkadega 3

2.2. Tehted hulkadega

Hulkadega teostatavad tehted jaotatakse nn hulgateoreetilisteks ja kardinaalseteks.Hulgateoreetilised tehted on sellised operatsioonid, mille korral ei tule kasutuseleuusi elemente (antud hulkadega võrreldes). Järgnevas vaatlemegi hulgateoreetilisitehteid.

Definitsioon 2.2. Hulkade A ja B lõikeks ehk ühisosaks A ∩ B nimetataksehulka, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad mõlemasse antud hulka s.o

A ∩ B = {x : x ∈ A ja x ∈ B} .

Kui A ∩ B = ∅, siis nimetatakse hulki A ja B mittelõikuvateks ehk ühisosatahulkadeks. Lõikumise teine piirjuht on sisaldumine, sealhulgas ka võrdumine.

Hulkadega tehete illustreerimiseks kasutatakse nn Venni diagramme, millel hulkikujutatakse tasandil paiknevate kinniste piirkondadena, tüüpiliselt ringidena. Joonisel2.1 osas a) on kujutatud hulga A sisaldumine hulgas B, osas b) on hulkade A jaB lõige kujutatud viirutatud piirkonnana ning osa c) piltlikustab hulkade A ja Bmittelõikumist.

a)

½¼¾»

A

&%'$

B

b)

&%'$

A

&%'$

B

c)

&%'$

A

&%'$

B

Joonis 2.1: Kahe hulga sisaldumine, lõikumine ja mittelõikumine

Lause 2.1. Hulkade lõike tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, B jaC korral kehtivad1) A ∩ B = B ∩ A; (kommutatiivsus)2) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ; (assotsiatiivsus)3) A ∩ A = A. (idempotentsus)

Tõestus. Otse definitsioonide põhjal saab selles veenduda. Lugejal läbi teha!

Hulkade lõike assotsiatiivsuse omadust illustreerime joonisel 2.2, kus a) osas onvasakpoolne hulk topelt viirutatud ja b) osas on parempoolne hulk topelt viirutatud.Vertikaalselt on viirutatud hulk A ∩ B ja horisontaalselt on viirutatud hulk B ∩ C.

a)

&%'$

A

&%'$

B

&%'$

C

¡¡¡¡¡¡

b)

&%'$

A

&%'$

B

&%'$

C

¡¡¡¡¡¡

Joonis 2.2: Hulkade lõike assotsiatiivsus

Definitsioon 2.3. Hulkade A ja B ühendiks A ∪ B nimetatakse hulka, miskoosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad ühte või mõlemasse antud hulka (ühiseid


elemente võetakse üks kord) s.oA ∪ B = {x : x ∈ A või x ∈ B} .

Joonisel 2.3 on hulkade A ∪ B ühend viirutatud.

&%'$

A

&%'$

B

Joonis 2.3: Ühend A ∪ B

Lause 2.2. Hulkade ühendi tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, Bja C korral kehtivad1) A ∪ B = B ∪ A; (kommutatiivsus)2) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ; (assotsiatiivsus)3) A ∪ A = A. (idempotentsus).

Tõestus. Otse definitsioonide põhjal saab selles veenduda. Lugejal läbi teha!

Need kaks hulgateoreetilist tehet on omavahel seotud ja seda väljendame lauses 2.3.

Lause 2.3. Hulkade lõike ja ühendi tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkadeA, B ja C korral kehtivad1) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ; (distributiivsus)2) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; (distributiivsus)3) A ∪ (A ∩ B) = A; A ∩ (A ∪ B) = A. (neelduvus).

Tõestus. Tõestame esimese võrduse, veedudes selles, et temas vasakul poolel olevhulk sisaldub paremal poolel olevas hulgas ning samuti vastupidi. Olgu x ∈ A ∩(B ∪ C). Siis hulkade lõike definitsiooni kohaselt x ∈ A ja x ∈ B ∪ C. Ühendidefinitsioonile vastavalt on meil x ∈ A ja kas x ∈ B või x ∈ C. Siit saame, et kasx ∈ A ja x ∈ B või x ∈ A ja x ∈ C. Lõike definitsioonist tulenevalt on nüüd kasx ∈ A∩B või x ∈ A∩C. Lõpuks ühendi definitsiooni alusel x ∈ (A ∩ B)∪ (A ∩ C) .Sellega oleme põhjendanud sisaldumise A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .

Kuna kõik tõestamisel kasutatud arutlused on läbi viidavad pöördses järjekorras (lõ-pust algusesse), siis leiab aset ka vastupidine sisaldumine A ∩ (B ∪ C) ⊇ (A ∩ B) ∪(A ∩ C) . Nendest sisaldumistest saamegi tõestatava võrduse. Lugejal teised tõestusedläbi teha!

Joonise 2.4 a) ja 2.4 b) viirutatud piirkonnad illustreerivad vastavalt distributiivsuseesimesele ja teisele võrdusele vastavat hulka.

a)

&%'$

A

&%'$

B

&%'$

C

¡¡¡¡¡

¡¡¡

¡¡¡

b)

&%'$

A

&%'$

B

&%'$

C

Joonis 2.4: Hulgad A ∩ (B ∪ C) ja A ∪ (B ∩ C)

Definitsioon 2.4. Hulkade A ja B vaheks A \ B nimetatakse hulka, mis koosnebkõigist hulga A elementidest, mis ei kuulu hulka B, s.o (vt joonist 2.5 a))


A \ B = {x : x ∈ A ja x /∈ B} .

Lause 2.4. Hulkade vahe tehtel on järgmised omadused: mistahes hulkade A, B jaC korral kehtivad1) A ∪ (B \ A) = A ∪ B ;2) A \ (B ∩ A) = A \ B ;3) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)4) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).

Tõestus. Otse definitsioonide põhjal. Lugejal soovitame läbi teha!

Definitsioon 2.5. Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks A△B nimetataksehulka, mis koosneb kummagi hulga elementidest, mis ei kuulu teise hulka, s.o

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {x : x ∈ A ja x /∈ B ; või x ∈ B ja x /∈ B } .

a)

&%'$

A

&%'$

B

b)

&%'$

A

&%'$

B

Joonis 2.5: Hulkade vahe A \ B ja sümmeetriline vahe A △ B

Sageli on otstarbekas vaadelda üht erilist hulka U , mis sisaldab alamhulkadena kõikvaatluse all olevad hulgad. Niisugust hulka nimetatakse universaalseks hulgaks jatähistatakse U . Juhime tähelepanu asjaolule, et universaalne hulk pole absoluutnemõiste, vaid sõltub oluliselt kontekstist ning tuleb igal konkreetsel juhul eelnevaltmääratleda. näiteks tegeldes mingi hulga A alamhulkadega, siis on loomulik võttaU = A.

Olgu järgnevas fikseeritud mingi universaalne hulk U , mida diagrammil kujutameristkülikuna ning hulki selle sees paiknevate ringidena.

Definitsioon 2.6. Hulga A täiendiks (universaalse hulga U suhtes) AUnimetatakse universaalse hulga U ja antud hulga vahet, s.o

AU = U \ A = {x : x ∈ U ja x /∈ A} .

Kuna harilikult on kontekstist aru saada, mida mõeldakse universaalse hulga all, siiskirjutatakse lihtsalt A.

Lause 2.5. Hulga täiendi moodustamise tehtel on järgmised omadused: mistaheshulkade A ja B korral

1) A ∩ A = ∅; A ∪ A = U ; A = A;2) A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B. (de Morgani seadused).

Tõestus. Otse definitsioonide põhjal. Lugejal läbi teha!

Joonis 2.6 illustreerib täiendhulki: viirutatud on a) osas hulk A ja b) osas hulkA ∪ B.


a)

"!#Ã

A

¡¡¡¡¡¡¡

¡¡

¡

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¡¡

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡¡

¡¡¡¡

¡¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

b)

"!#Ã

A "!#Ã

B

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¡¡¡¡¡¡¡

¡¡

¡

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡¡¡¡

¡¡¡¡

¡¡¡

¡¡

¡

¡¡¡¡¡¡¡¡

Joonis 2.6: Hulgad A ja A ∪ B

Näide 2.4 Kui A = {a, b, c} ja B = {a, c, d, e} , siis A ∩ B = {a, c} , A ∪ B ={a, b, c, d, e} , A \ B = {b} , B \ A = {d, e} ja A △ B = {b, d, e} .

Järgnevas käsitleme kardinaalseid tehteid hulkadega.

Kardinaalseteks teheteks hulkadega loetakse selliseid operatsioone, mille korraltekib uusi elemente, mis polnud üheski esialgses hulgas olemas. Põhilised kardi-naalsed tehted on (otse)korrutis, Boole’i aste, kardinaalne aste ja sõnade hulk.

Definitsioon 2.7. Hulkade A ja B (otse)korrutiseks (ehk kartesiuse kor-rutiseks A × B nimetatakse kõigi järjestatud paaride (a, b), kus a ∈ A ja b ∈ B,hulka, s.t

A × B = {(a, b) | a ∈ A ja b ∈ B}.

Sõna ”järjestatud” tähendab siin asjaolu, et kaht paari loetakse võrdseks siis jaainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t

(a, b) = (c, d)def⇔ a = c ja b = d.

Otsekorrutist A × A nimetatakse ka hulga A (otse)ruuduks ja tähistatakse A2.

R õhutame, et hulkade otsekorrutamine pole kommutatiivne, s.o kui A 6= B, siisA × B 6= B × A.

Näide 2.5 Kui A = {a, b, c, d, e, f, g, h} ja B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , siis otsekor-rutist A × B = {(a, 1), . . . , (h, 8)} võib vaadelda kui malelaua ruudustikku (maleskirjutatakse lühemalt a1, . . . , h8).

Lause 2.6. Hulga otsekorrutamine on seotud teiste tehtega vastavalt järgmistelevalemitele: mistahes hulkade A ja B korral1) A × ∅ = ∅; ∅ × A = ∅;2) (A ∩ B) × C = A × C ∩ B × C;3) (A ∪ B) × C = A × C ∪ B × C;3) (A \ B) × C = A × C \ B × C.

Tõestus. Tõestame näiteks võrduse 2). Otsekorrutise tähenduse kohaselt on (x, y) ∈(A ∩ B) × C, siis x ∈ A ∩ B ja y ∈ C. Lõike definitsiooni kohaselt x ∈ A, x ∈ Bja y ∈ C. Sellest otsekorrutise definitsiooni alusel saame, et (x, y) ∈ A × C ja(x, y) ∈ B×C. Nüüd taas l oike definitsioonist saame, et (x, y) ∈ (A×C)∩ (B×C).Kuna arutelu on teostatav ka vastupidises järjekorras, siis võrdus 2) kehtib. Lugejalülejäänud tõestused läbi teha!

Joonisel 2.7 on tõusvalt viirutatud hulk A × C, langevalt viirutatud hulk B × C ja


nende lõige ehk (A ∩ B) × C on viirutatud topelt ja kogu viirutatud piirkond on(A ∪ B) × C.

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡¡¡¡

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@

@@@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@

@@@

Joonis 2.7: Hulgad A × C, B × C, (A ∩ B) × C ja (A ∪ B) × C

Definitsioon 2.8. Tähistus (a1, . . . , an) tähendab n-järjendit s.t n elemendi jär-jestatud hulka. Sõna ”järjestatud” all peetakse siin silmas asjaolu, et kaht n-järjendit(a1, . . . , an) ja (b1, . . . , bn) loetakse võrdseks siis ja ainult siis, kui nende vastavadelemendid on võrdsed, s.t

(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) siis ja ainult siis, kui a1 = b1, . . . , an = bn.

Hulkade A1, . . . , An otsekorrutiseks ehk kartesiuse korrutiseks A1 × . . . × Annimetatakse hulka kõigist n-järjenditest, mille elemendid on vastavatest hulkadest,

A1 × . . . × An = {(a1, . . . , an) : a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An} .

Erijuhul võivad kõik korrutatavad hulgad olla võrdsed, siis saame hulga otseastmeAn mõiste, mille täpse defineerimise jätame lugejale.

Juhime tähelepanu asjaolule, et otsekorrutise (n ≥ 2) elementideks on uued elemen-did, mitte esialgselt antud hulkade elemendid.

Hulga H alamhulkade hulga ehk Boole’i astme moodustamine on (ühekohaline)kardinaalne tehe.

Definitsioon 2.9. Kardinaalseks astmeks AB nimetatakse hulka kõigist funkt-sioonidest (vt osa 2.7), mis kujutavad hulga B hulka A, s.o

AB = {f : B → A} .

Juhime tähelepanu sellele, et kardinaalse astme (vt osa 2.1) tehte tulemus sõltub kaantud hulkade järjekorrast ehk hulgad AB ja BA on erinevad, kui A 6= B.

Definitsioon 2.10. Sõnade hulgaks tähestikus A nimetatakse hulka kõigistsõnadest s.o hulka

W (A) =⋃

n∈N

An.

Siin me ei kirjuta järjendites elementide vahele komasid vaid kirjutame tähed kõrvuti.

Näide 2.6 Tähestiku A = {a, b} sõnade hulka kuuluvad

a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, . . .

2.3. Seosed 8

2.3. Seosed

Definitsioon 2.11. Seoseks (ehk vastavuseks) hulkade A ja B vahel nime-tatakse otsekorrutise A × B iga alamhulka.

Teisiti öeldes seos hulkade A ja B vahel on järjestatud paaride, kus esimene elementon hulgast A ja teine element on hulgast B, hulk ρ ⊂ A×B. Paari (a, b) ∈ ρ ⊂ A×Bkorral öeldakse, et elemendid a ja b on seoses ρ või tähistatakse a ρ b (öeldes sellekohta, et element a on seoses ρ elemendiga b). Elementide a ja b seosesse ρmittekuulumist tähistatakse (a, b) ∈ ρ ja seoses ρ mitteolemist tähistatakse kaa ρ b.

Seoseid tähistame kas kreeka tähtedega või suurte ladina tähtedega. Täpsem oleksrääkida binaarsest seosest, sest n-aarseks seoseks hulkade A1, . . . , An vahelnimetatakse otsekorrutise A1 × . . . × An iga alamhulka.

Näide 2.7. Olgu A üliõpilaste hulk ja B ühe semestri õppeainete hulka. Olgu Khulk kõigist sellistest paaridest (a, b), et üliõpilane a on õppeaine b kuulaja.

Näide 2.8. Olgu A = {1; 2; 3}, B = {a; b; c; d} ja R = {(1, a); (1, b); (2, d); (3, b)}.

Binaarsete seoste graafilisi kujutamisviise on mitmeid. Joonisel 2.8 on toodud mõnednendest näites 2.8 antud seose korral.a)

ss

ss

1 2 3

d

c

b

a

b)

sss

ssss

»»»»:

XXXXz

@@

@@R

´´

´́3

1

2

3

a

b

c

d

c)

1

2

3

a b c d

× ×

×

×

Joonis 2.8: Näite 2.8 seose R kolm kujutamisviisi

Definitsioon 2.12. Binaarseks seoseks (ehk vastavusesks) hulgal A nimetatakseseost hulkade A ja A vahel s.o alamhulka otseruudus A2. Võrdsusseoseks nimetatakseseost △ = {(a, a) | a ∈ A} ja universaalseoseks nimetatakse seost U = A2.

Näide 2.9. Olgu C = {1; 2; 3; 4} ja S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 4); (3, 1); (3, 2)}.

Ühe hulga elementide vahelist seost kujutatkse ka nn orienteeritud graafina (vt osa6) järgmiselt: hulga elemente kujutatakse punktidena ning seoses olevate elemen-tide paari korral joonistatakse suunatud joon esimese elemendi juurest teise juurde.Iseendaga seoses oleva elemendi juurde joonistatakse ringikene. Joonisel 2.9 on ku-jutatud näite 2.9 seos S.

2.3. Seosed 9

1

3

2

4

ss

sss

±°²¯ ±°²¯

?

-

?

6

¡¡

¡¡¡µ

Joonis 2.9: Näite 2.9 seose S illustratsioon

Näide 2.10. Naturaalarvude hulgal N vaatleme seost, mis koosneb kõigist paaridest(m,n), mille korral arv m on arvu n jagaja (tähistades seda nii: m | n). Seda seostJ = {(m,n) : m,n ∈ N, m | n} nimetame jaguvusseoseks.

Kirjeldame nüüd seoste olulisemaid omadusi.

Definitsioon 2.13. Binaarset seost ρ hulgal A nimetatakse:

refleksiivseks, kui iga element on iseendaga seoses, s.o iga a ∈ A korral

(a, a) ∈ ρ ;

antirefleksiivseks, kui ükski element ei ole endaga seoses s.o iga a ∈ A korral

(a, a) /∈ ρ ;

sümmeetriliseks, kui elemendid on vastastikku seoses, s.o iga a, b ∈ A korral

(a, b) ∈ ρ toob kaasa (b, a) ∈ ρ;

asümmeetriliseks, kui elemendid tohivad olla seoses vaid ühes järjestuses, s.o igaa, b ∈ A korral (a, b) ∈ ρ toob kaasa (b, a) /∈ ρ;

antisümmeetriliseks, kui iga a, b ∈ A korral

(a, b) ∈ ρ ja (b, a) ∈ ρ vaid siis, kui a = b ;

transitiivseks, kui iga a, b, c ∈ R korral

(a, b) ∈ ρ ja (b, c) ∈ ρ toovad kaasa (a, c) ∈ ρ .

Näide 2.11. Näites 2.9 toodud seos S pole refleksiivne, sest joonisel 2.9 polekõiki ringikesi ega ole ka antirefleksiivne, sest kaks ringikest siiski on. Seos S polesümmeetriline, sest joonisel 2.9 leidub nooli, millel vastandnoolt pole ega ole kaantisümmeetriline, sest üks vastastikuste noolte paar leidub. Samuti puudub seoselS transitiivsuse omadus, sest punktist 1 saab punkti 2 kaudu piki nooli liikudapunkti 4, kuid otsenool punktide 1 ja 4 vahel puudub.

Näide 2.12. Vaatleme täisarvude hulgal Z järgmisi seoseid:R1 = {(a, b) | a ≤ b}; R2 = {(a, b) | a > b};R3 = {(a, b) | a = b}; R4 = {(a, b) | a = b või a = −b};R5 = {(a, b) | b = a + 1}; R6 = {(a, b) | a + b < 3}.

Nendest seostest R1, R2 ja R4 on refleksiivsed, R3 ja R5 on antirefleksiivsed, kuidseosel R6 pole kumbagi nendest omadustest. Mistahes seos saab olla kas refleksiivne,antirefleksiivne või vahepealne.

2.3. Seosed 10

Sümmeetrilised on seosed R3, R4 ja R6, antisümmeetrilised on seosed R1 ja R3 ningseos R2 on asümmeetriline. Nägime, et võrdsusseos R3 on korraga nii sümmeetrilinekui ka antisümmeetriline. Palju seoseid on ka sümmeetria seisukohalt vahepealsed.

Eeltoodud seostest R1, R2, R3 ja R4 on transitiivsed, aga R5 ja R6 ei ole transitiivsed.

Juhime tähelepanu veel sellele, et seose asümmeetrilisus toob kaasa antirefleksiiv-suse, aga sümmeetrilisus välistab antirefleksiivsuse.

Tehted seostega

Me saame samade hulkade vahel olevate seostega teha hulgateoreetilisi tehteid.

Definitsioon 2.14. Olgu antud seosed ρ, σ ⊂ A × B . Defineerime nendegatehted järgmiselt (vrd osa 2.2):

ühendiks nimetatakse seost ρ ∪ σ;

lõikeks nimetatakse seost ρ ∩ σ;

vaheks nimetatakse seost ρ\σ;

sümmeetriliseks vaheks nimetatakse seost ρ ⊕ σ = ρ∆σ;

täiendiks nimetatakse seost ρ = (A × B) \ ρ;

pöördseoseks nimetatakse seost ρ−1, mille korral

(a, b) ∈ ρ−1 siis ja ainult siis, kui (b, a) ∈ ρ.

Definitsioon 2.15. Kui ρ on seos hulkade A ja B vahel ja σ on seos hulkadeB ja C vahel, siis korrutiseks nimetatakse seost ρ ◦ σ ⊂ A × C, mis koosnebsellistest järjestatud paaridest (a, c), et leidub element b ∈ B, mille korral (a, b) ∈ ρja (b, c) ∈ σ.

Näide 2.13. Võtame seose T = {(a, 1); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (c, 2); (d, 2); (d, 4)} janäite 2.8 seose R. Korrutise R ◦ T leidmine on kujutatud joonisel 2.10. Korrutisekson seos S ⊂ A × C . Kui lugeda, et S ⊂ C2, siis on teda kujutatud ka joonisel 2.9.

sss

ssss

ssss

»»»»:

XXXXz

@@

@@R

´´

´́3

-S

SS

SSw

©©©©*

-

HHHHj¶¶

¶¶¶7

-

R

1

2

3

a

b

c

d

T1

2

3

4

sss

ssss

-XXXXXXXXzQ

QQ

QQ

QQQs

-Q

QQ

QQ

QQQs

´´

´´

´´

´́3

³³³³

³³³³1

S1

2

3

1

2

3

4

Joonis 2.10: Näite 2.8 seose R ja seose T korrutiseks R ◦ T on seos S

Definitsioon 2.16. Olgu ρ seos hulgal A. Tema n-endaks astmeks nimetatakseseost ρn, mis defineeritakse induktiivselt valemiga:

ρ1 = ρ ja ρn+1 = ρn ◦ ρ (n = 1, 2, 3, . . .) .

Lause 2.7. Seos ρ hulgal A on sümmeetriline parajasti siis, kui ρ−1 = ρ, ning ontransitiivne parajasti siis, kui ρn ⊂ ρ iga n = 2, 3, . . . korral.

2.3. Seosed 11

Tõestus. Veendume otseselt omadusi ja defintsioone kontrollides.

Lause 2.8. Olgu A, B, C ja D mittetühjad hulgad ning ρ ⊂ A × B, σ ⊂ B × Cja τ ⊂ C × D olgu suvalised seosed, siis kehtivad võrdused:

(ρ ◦ σ)−1 = σ−1 ◦ ρ−1,

(ρ ◦ σ) ◦ τ = ρ ◦ (σ ◦ τ).

Tõestus. Veendume otseselt omadusi ja defintsioone kontrollides.

Seoste maatriksesitus

Olgu A = {a1, . . . , an} ja B = {b1, . . . , bm} ning ρ ⊂ A × B. Seame seosele ρvastavusse maatriksi

MR = [mij], kus mij =

{

1, kui (ai, bj) ∈ ρ,0, kui (ai, bj) /∈ ρ.

Näide 2.14. Olgu A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3} ning ρ ⊂ A×B koosnegu sellistestpaaridest (a, b), et a < b. Siis

MR =

[

0 1 10 0 1

]

.

Maatriksite abil esitatud seose omadused on kergesti kindlaks tehtavad.

Lause 2.9. Hulgal A, milles on n elementi, defineeritud seosele ρ vastav maatriksolgu Mρ. Seos ρ on:refleksiivne parajasti siis, kui ta maatriksi Mρ peadiagonaali kõik elemendid

mii = 1, i = 1, . . . , n;

antirefleksiivne parajasti siis, kui ta maatriksi Mρ peadiagonaali kõik elemendid

mii = 0, i = 1, . . . , n;

sümmeetriline parajasti siis, kui ta maatriks Mρ on sümmeetriline s.t

mij = mji, i, j = 1, . . . , n;

antisümmeetriline parajasti siis, kui ta maatriksil on omadus:

mij = mji = 1 toob kaasa i = j,

asümmeetriline parajasti siis, kui ta maatriksil on omadus

mij = 1 toob kaasa mji = 0, kui i 6= j.

2.4. Ekvivalentsiseosd ja klassijaotused 12

Lause 2.10. Olgu ρ1, ρ2 ⊂ A2 ja nendele vastavad maatriksid olgu Mρ1 ja Mρ2.

Siis1

Mρ1∪ ρ2 = Mρ1 ∨ Mρ2 , Mρ1∩ ρ2 = Mρ1 ∧ MR2 ,

Mρ1◦ ρ2 = Mρ1 ⊙ Mρ2 , Mρn = (Mρ)(n) .

2.4. Ekvivalentsiseosed ja klassijaotused

Selles osa on vaatluse all üks kahest põhilisest seose liigist. Kogu osas olgu A suvalinemittetühi hulk.

Definitsioon 2.17. Seost ρ hulgal A nimetatakse ekvivalentsiseoseks (ehklühidalt ekvivalentsiks), kui ta rahuldab nn ekvivalentsi postulaate s.t tal onjärgmised kolm omadust:1) refleksiivsus (s.o iga x ∈ A korral x ρ x ),2) sümmeetria (s.o iga x, y ∈ A korral, kui x ρ y, siis ka y ρ x ),3) transitiivsus (s.o iga x, y, z ∈ A korral, kui x ρ y ja y ρ x, siis ka x ρ z ).

Suvalisel hulgal A võrdsusseos ∆A ja universaalne seos A2 on ekvivalentsiseosed.

Näide 2.15. Kui lugeda, et iga sirge on iseendaga parallelne, siis parallelsuse seos‖ on ekvivalents tasandi kõigi sirgete hulgal.

Näide 2.16. Naturaalarvude hulgal N kongruents mooduli m (m ∈ N) järgi onekvivalentsiseos. Teatavasti nimetatakse arve a ja b kongruentseks mooduli m järgija kirjutatakse a ≡ b (mod m), kui vahe a − b jagub arvuga m .

Olgu ρ ekvivalentsiseos hulgal A ja a ∈ A olgu suvaline. Alamhulka

[ a]ρ = {x ∈ A | x ρ a}

hulga A kõigist elementidest, mis on seoses ρ elemendiga a, nimetatakse ekvivalentsi-klassiks seose ρ järgi esindajaga a. Ekvivalentsiklasside hulk on teatud oma-dustega. Seepärast toome sisse järgmise mõiste.

Definitsioon 2.18. Öeldakse, et hulgal A on antud klassijaotus K = {Ki, i ∈I}, kui ∅ 6= Ki ⊆ A iga i ∈ I korral, rahuldavad kaht järgmist nõuet:1) iga kaks erinevat alamhulka on mittelõikuvad, s.t iga i, j ∈ I korral tingimusest

Ki 6= Kj järeldub, et Ki ∩ Kj = ∅;2) hulga A iga element kuulub mingisse antud alamhulka ehk hulk A võrdub nende

ühendiga, s.t

A =⋃

i∈I

Ki. (1)

Hulki Ki, i ∈ I nimetatakse selle klassijaotuse K klassideks.

1Järgnevates valemites kasutatavad sümbolid tähistavad loogika tehteid (vt osa 2):∨ – annab väärtuseks 1, kui vähemalt üks on 1;∧ – annab väärtuseks 1, kui mõlemad on 1;⊙ – tähistab maatriksite korrutamist, milles liitmise tehte asemel rakendatakse tehet ∨.

2.4. Ekvivalentsiseosd ja klassijaotused 13

Igal hulgal on olemas nn triviaalsed klassijaotused: iga element on omaette klasssja kogu hulk on ainus klass. Meenutame, et alati on olemas ka kaks ekvivalentsi:võrdsusseoes ja universaalne seos. Veendume, et on olemas üks-ühene vastavus (vtosa 2.7) antud hulga kõigi klassijaotuste hulga ja selle hulga kõigi ekvivalentsidehulga vahel. Nimelt tõestame järgmise väite.

Lause 2.11. Olgu ρ suvaline ekvivalentsiseos hulgal A. Siis ekvivalentsiklassidesüsteem {[ a]ρ , a ∈ A} on klassijaotus hulgal A.Vastupidi, kui K = {Ki, i ∈ I} on klassijaotus hulgal A, siis seos ρK, kus

a ρK b ⇔ ∃i ∈ I (a, b ∈ Ki), (2)

on ekvivalentsiseos hulgal A.

Tõestus. Olgu ρ suvaline ekvivalentsiseos hulgal A.

Näitame, et alamhulkade süsteem {[ a]ρ , a ∈ A} on klassijaotus hulgal A. Tänurefleksiivsusele iga element a kuulub endaga esindatud klassi, s.o a ∈ [ a]ρ. Seetõttuhulk A sisaldub ekvivalentsiklasside ühendis, s.t A ⊆

⋃

a∈A [ a]ρ. Kuna mistahesalamhulkade ühend sisaldub vaadeldavas hulgas, siis

⋃

a∈A [ a]ρ ⊆ A. Seega kehtibvõrdus A =

⋃

a∈A [ a]ρ.

Põhjendame nüüd, et lõikuvad ekvivalentsiklassid on võrdsed. Olgu

c ∈ [ a]ρ⋂

[ b]ρ .

Siis cρa ja cρb, aga sümmeetria tõttu ka aρc (ja cρb) ning transitiivsuse kohaselttoob see kaasa aρb. Olgu x suvaline element alamhulgast [ a]ρ. Taas transitiivsuseabil saame, et xρb ehk x ∈ [ b]ρ ning [ a]ρ ⊆ [ b]ρ. Analoogiliselt on tõestatav,et [ b]ρ ⊆ [ a]ρ. Seega [ a]ρ = [ b]ρ. Lõikuvate ekvivalentsiklasside võrdumine onsamaväärne sellega, et erinevad ekvivalentsiklassid ei lõiku.

Vastupidi, olgu meile antud klassijaotus K = {Ki, i ∈ I} hulgal A. Tarvis onnäidata, et valemiga (2) määratud seos ρKb on ekvivalents.

Mistahes kaks elementi on seoses ρK parajasti siis, kui nad kuuluvad mingisse samasseklassi. Kuna kehtib võrdus (1), siis iga element kuulub mingisse klassi ja seetõttuseos ρK on refleksiivne.

Olgu nüüd a, b ∈ A ja a ρK b, siis leidub selline i ∈ I, et a, b ∈ Ki. Aga see toobkaasa ka b ρK a ja seose ρK sümmeetria.

Olgu eeldatud, et a, b, c ∈ A on sellised, et a ρK b ja b ρK c. Valemi (2) kohaseltleiduvad i, j ∈ I selliselt, et a, b ∈ Ki ja b, c ∈ Kj. Kuna b ∈ Ki ∩ Kj, siisklassijaotuse definitsiooni esimese tingimuse kohaselt Ki = Kj. Järelikult, a, c ∈ Kija a ρK c . Seega on seos ρK ka transitiivne. Kokkuvõttes oleme tõestaud, et ρK onekvivalentsiseos.

Räägitakse, et ekvivalentsiseose ekivalentsiklassidest koosnev klassijaotus on temalevastav klassijaotus, ning, et valemiga (2) defineeritud ekvivalentsiseos vastab klas-sijaotusele K = {Ki, i ∈ I} .

Vaheltult lause 2.11 sõnastuse alusel on selge, et kui lähtume suvalisest ekvivalent-susseosest ρ ja võtame temale vastava klassijaotuse ning omakorda sellele vastava

2.5. Järjestusseosed 14

ekvivalentsi, siis saame tagasi seose ρ. Samuti vastupidi, kui lähtume suvalisestklassijaotusest hulgal A, võtame temale vastava ekvivalentsiseose ning moodustamesellele vastava klassijaotuse, siis jõuame tagasi esialgse klassijaotuse juurde. Seegalauses 2.11 on konstrueeritud üks-ühene vastavus fikseeritud hulgal A leiduvate ek-vivalentsiseoste hulga ja hulga A kõigi klassjaotuste hulga vahel. Lõplikul hulgal Aleiduvate ekvivalentsiseoste arvu käsitletakse hiljem kombinatoorika osas.

Definitsioon 2.19. Olgu ρ ekvivalentsiseos hulgal A. Hulka, mille elementidekson seosele ρ vastava klassijaotuse kõik klassid, nimetatakse hulga A faktorhulgaksekvivalentsiseose ρ järgi ja tähistatakse A/ρ .

Näide 2.17. Näites 2.16 vaadeldi kongruentsi mooduli m järgi naturaalarvudehulgal N . Võtame m = 5 ja tähistame seda seost sümboliga ≡5 . Siis faktorhulkN / ≡5 koosneb naturaalarvude hulga N viiest alamhulgast: K1 = {1, 6, 11, . . .},K2 = {2, 7, 12, . . .}, K3 = {3, 7, 13, . . .}, K4 = {4, 9, 14, . . .} ja K5 = {5, 10, 15, . . .}.

2.5. Järjestusseosed

Definitsioon 2.20. Binaarset seost ρ hulgal A nimetatakse (mitterangeks)järjestusseoseks (lühidalt järjestuseks), kui ta on refleksiivne, antisümmeetrilineja transitiivne, s.t tal on järgmised omadused:

1) iga x ∈ A korral xρx ;

2) iga x, y ∈ A korral xρy ja yρx toovad kaasa x = y ;

3) iga x, y, z ∈ A korral xρy ja yρz toovad kaasa xρz .

Hulka A, millel on defineeritud järjestusseos nimetatakse järjestatud hulgaks.(Täpsem oleks rääkida osaliselt järjestatud hulgast ja mitterangest järjestusest.)Kui kehtib xρy, siis elementi x nimetatakse eelnevaks elemendile y ning elementiy nimetatakse järgnevaks elemendile a. Kui vaadeldav järjestusseos rahuldab veelnn lineaarsuse omadust:

4) iga x, y ∈ A korral kas x = y või xρy või yρx ,

siis öeldakse, et hulk A on (seosega ρ) lineaarselt järjestatud hulk ehk ahel. Kuijärjestusseose ρ korral elementide a ja b jaoks kehtib kas aρb või bρa, siis nimetatakseelemente a ja b on võrreldavateks. Lineaarselt järjestatud hulgas iga kaks erinevatelementi on võrreldavad.

Näide 2.18. Järjestusseose ehk järjestuse näiteid:1) võrratuse seos ≤ reaalarvude hulgal R ;2) hulkade sisaldumise seose ⊆ antud hulga A kõigi alamhulkade hulgal P(A) ;3) sõnade leksikograafilise võrdlemise seos antud tähestiku A kõigi sõnade hulgalW (A) ;4) jagajaks olemise seos | naturaalarvude hulgal N .

Toodud näites esimene ja kolmas on lineaarsed järjestused, aga teine ja neljas onosalised järjestused. Tõepoolest, vähemalt kahe elemendiga a, b hulga A korral leidu-vad alamhulgad, mis kumbki ei sisaldu teises (näiteks, {a} ja {b}). Naturaalarvudehulgas leidub arve, mis kumgki ei ole teise jagajaks (näiteks, 5 ja 7).


Lõplikke järjestatud hulki on mugav kujutada eriliste diagrammide abil nii nagutegime seda mistahes seoste korral. Järjestusseoste korral tehakse saadud jooniselihtsustamiseks teatud kokkulepped. Murdnooled loetakse noolteks ja vastavad ot-senooled jäetakse ära. Ka refleksiivsusele vastavad silmused jäetakse ära. Lõpuksjäetakse ära veel ka nooled, kuid jälgitakse, et joonisel iga element asuks madalamalkõigist temale järgnevatest elementidest. Selliselt lihtsustatud joonist järjestusseoselenimetatakse tema Hasse diagrammiks.

Näide 2.19. Olgu hulgal A = {a; b; c; d} antud järjestusseosJ = {(a, a); (b, b); (c, a); (c, b); (d, a); (d, b)} .

a

c

b

d

sss

s±°²¯ ±°²¯@

@@I¡

¡¡µ

¢¢¢¢¢̧

AA

AA

AAK

6

a

c

b

d

sss

s@

@@¡

¡¡

Joonis 2.11: Seose J nooldiagramm ja Hasse diagramm

Tüüpiliselt tähistatakse (mitteranget) järjestusseost sümboliga ≤ ning järjestatudhulka paarina (P,≤). Kasutatakse ka teisi arvude võrdlemisseoste analooge. Antudjärjestatud hulga elementide x ja y korral:x < y tähistab, et x ≤ y ja x 6= y;x ≥ y aga tähistab seda, et y ≤ x;x > y tähistab, et x ≥ y ja x 6= y.

Minimaalsed ja maksimaalsed elemendid. Vähim ja suurim element

Definitsioon 2.21. Olgu (P,≤) järjestatud hulk ja A olgu hulga P mingi alamhulk.Elementi a0 ∈ A nimetatakse alamhulga A minimaalseks (maksimaalseks) el-emendiks, kui sellest, et x ≤ ao (vastavalt ao ≤ x) ja x ∈ A, järeldub, et x = a0.Elementi a0 ∈ A nimetatakse alamhulga A vähimaks (suurimaks) elemendiks,kui ao ≤ x (vastavalt x ≤ ao) iga elemendi x ∈ A korral.

Seega alamhulga minimaalsed (maksimaalsed) on need elemendid, millest väiksemat(vastavalt suuremat) selles alamhulgas ei leidu. Alamhulga vähim (suurim) elementon selle alamhulga kõigi elementidega võrreldav ning on nendest väiksem või võrdne(vastavalt suurem või võrdne).

Näide 2.20. Hulgal H = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} olgu antud järjestusseos| (jagajaks olemine). Vaatleme alamhulki A = {2; 4; 6; 8} ja B = {2; 3; 6; 12} .Element 2 on alamhulga A ainus minimaalne element ning ühtlasi ka vähim element.Elemendid 6 ja 8 on alamhulga A maksimaalsed elemendid, kuid suurimat elementiei leidu. Element 12 on alamhulga B ainus maksimaalne element ning ühtlasi kasuurim element. Elemendid 2 ja 3 on alamhulga B minimaalsed elemendid, kuidvähimat elementi ei leidu.


1

2 3

4 6

8 12

24

@@

¡¡

¡¡

@@

©©©©

¡¡

@@

@@

2

4 6

8

maksimaalne

maksimaalne

vähimminimaalne

¡¡

@@

2 3

6

12

minimaalne minimaalne

maksimaalnesuurim

¡¡

@@

Joonis 2.12: Diagramm ning alamhulkade A ja B suurimad, vähimad, min. jamaks. elemendid

Lause 2.12. Olgu A alamhulk järjestatud hulgas (P,≤) . Siis kehtivad väited:1) alamhulgas A leidub ülimalt üks vähim (suurim) element;2) kui alamhulgas A leidub vähim (suurim) element a0, siis a0 on alamhulga A ainusminimaalne (maksimaalne) element.

Tõestus. Kui oletaks kahe vähima (suurima) elemendi olemasolu, siis need oleksvastastikku (mõlemas järjekorras) võrreldavad ja seega, antisümmetria tõttu võrd-sed.

Olgu a0 vähim (suurim) element ja b minimaalne (maksimaalne) element alamhulgasA. Siis definitsiooni kohaselt a0 ≤ b. Kui oletada, et a0 6= b, siis oleme saanudvastuolu elemendi b minimaalsusega. Seega a0 = b.

Osaliselt järjestatud hulga alamhulgas võib olla kuitahes palju minimaalseid ele-mente, kuid minimaalsed elemendid võivad ka hoopiski puududa.

Näide 2.21. Vaatleme naturaalarvude hulgal N jagajaks olemise seost | jaalamhulka A = N \ {1}. Siin minimaalseteks elementideks on kõik algarvud jaainult need. Algarve on aga lõpmatult palju.2

Näide 2.22. Vaatleme täisarvude hulgal Z harilikku võrdlemisseost ≤ ja alamhulkA koosnegu kõigist negatiivsetest arvudest. Siis alamhulgas A ei leidu vähimatelementi, sest suvalise −n ∈ A korral leidub talle eelnev kuna −(n + 1) ∈ A .

Lause 2.13. Lineaarselt järjestatud hulga (X ≤) minimaalne element on ühtlasika vähim element ja maksimaalne element on ühtlasi ka suurim element.

Tõestus. Olgu x0 lineaarselt järjestatud hulga (X ≤) minimaalne element. Näitame,et x0 ≤ x iga x ∈ X korral. Oletame, et leidub x1 ∈ X, mille korral x0 ≤ x1 eikehti. Järjestuse lineaarsuse tõttu peab siis x1 ≤ x0 ning siinjuures x1 6= x0 . Kuidsee oleks vastuolus elemendi x0 minimaalsusega. Maksimaalse elemendi suurimaksolemine tõestatakse analoogiliselt. (Lugejal soovitav läbi teha!)

Definitsioon 2.22. Järjestatud hulka nimetatakse täielikult järjestatuks, kuitema igal mittetühjal alamhulgal on olemas vähim element.

Näiteks on naturaalarvude hulk N hariliku järjestuse suhtes täielikult järjestatudhulka, aga täisarvude hulk Z hariliku järjestuse suhtes ei ole täielikult järjestatudhulk.

2Kui p1 < p1 < . . . < pn, kus n > 1, on algarvud, siis arv p1 ∗ . . . ∗ pn + 1 kas ise on algarv võitema vähim jagaja on algarv, mis on suurem kui pn .


Me võtame teadmiseks järgmise väite.

Teoreem (minimaalsusest ja induktiivsusest). Mistahes osaliselt järjestatudhulga (P,≤) korral on järgmised kolm tingimust samaväärsed:1) (Minimaalsuse tingimus) Hulga P mistahes mittetühjas alamhulgas on olemasminimaalne element.2) (Induktiivsuse tingimus) Kui hulga P kõikidel minimaalsetel elementidel on mingiomadus E, ja kui suvalise elemendi a ∈ P korral sellest, et omadus E on igal ele-mendil x < a, x ∈ P , järeldub, et ka elemendil a on omadus E, siis on omadus Eigal hulga P elemendil.3) (Mittekasvavate jadade stabiliseerumise tingimus) Hulga P elementide suvalisemittekasvava jada

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . .

korral leidub selline indeks N , et aN = aN+1 = aN+2 = . . . .

Tõestust soovitame lugeda M.Kilbi ja U.Nummerti raamatust Hulgateooria elemen-did.

Tõkked ja rajad

Definitsioon 2.23. Olgu (P,≤) järjestatud hulk ja X olgu hulga P mingi alamhulk.Elementi m ∈ P nimetatakse alamhulga A alumiseks tõkkeks (ülemisekstõkkeks), kui m ≤ x (vastavalt x ≤ m) ja x ∈ X korral. Suurimat (vähimat)elementi alamhulga X kõigi alumiste tõkete (ülemiste tõkete) hulgas nimetataksealamhulga X alumiseks rajaks (ülemiseks rajaks). Alamhulga X alumistraja tähistatakse sümboliga inf X ja ülemist raja — supX.

Seega alumine tõke (ülemine tõke) on vaadeldava alamhulga kõikide elementidegavõrreldav ja on nendest väiksem (vastavalt suurem) või võrdne. Alumine tõke(ka alumine raja) ega ülemine tõke (sealhulgas ülemine raja) ei tarvitse kuuludaalamhulka, mille tõkkeks nad on. Olemasolu korral on alumine raja ja ülemine rajaüheselt määratud.

Näites 2.20 vaadeldud järjestatud hulga (H, |) alamhulga C = {4; 6} alumistekstõketeks on 1 ja 2 ning ülemisteks tõketeks on 12 ja 24. Siinjuures inf C = 2 ningsup C = 12.

Märgime, et jagajaks olemise seose | korral alamhulga alumisteks tõketeks on sellealamhulga kõigi elementide ühistegurid ning ülemisteks tõketeks on selle alamhulgakõigi elementide need ühiskordsed, mis kuuluvad hulka H. Samal ajal alumiseksrajaks on selle alamhulga kõigi elementide suurim ühistegur ning ülemiseks rajakson selle alamhulga kõigi elementide vähim ühiskordne.

Järgnevas teoreemis esitatud väiteid kasutatakse matemaatikas laialdaselt, põhiliseltvajatakse neid fundamentaalsete teoreemide tõetamisel.

Teoreem (Zorni lemma ja Zermelo teoreeem). Järgmised väited on samaväärsed:1) (Valikuaksioom) Olgu A mittetühi hulk ja P(A) tema kõigi alamhulkade hulk. Siis

2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid 18

Leidub kujutus f : P(A) → A nii, et mistahes mittetühja alamhulga X ∈ P(A) kor-ral f(X) ∈ X (s.t. kujutus f ”‘valib”’ igast alamhulgast ühe elemendi).2) (Zorni lemma) Kui osaliselt järjestatud hulga igal ahelal leidub ülemine tõke, siisselles hulgas leidub maksimaalne element.3) (Zermelo teoreem) Mistahes mittetühja hulka on võimalik täielikult järjestada.

Tõestust soovitame lugeda M.Kilbi ja U.Nummerti raamatust Hulgateooria elemen-did.

Lisaks lineaarsele ja täielikule järjestusele leiab laia kasutamist veel üks järjestuseliik nn võreline järjestus.

Definitsioon 2.24. Osaliselt järjestatud hulka (P,≤) nimetatakse võreks, kuitema igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub nii alumine raja kui ka ülemine raja.

Näites 2.20 vaadeldud järjestatud hulk (H, |) on võre. Ahel on ka võre: Tema igakahe elemendi korral väiksem on nendest koosneva hulga alumiseks ja suurem onülemiseks rajaks.

Kui lisame hulgale H elemendi 18, siis uus hulk H1 on osaliselt järjestatud seose| suhtes, kuid pole võre, sest alamhulgal {8; 18} puudub ülemine raja (mõlemastelemendist alates pole võimalik piki murdjooni ülesse liikudes jõuda ühe ja samaelemendini).

1

2 3

4 6

8 12 18

24

@@

¡¡

¡¡

@@

¡¡

©©©©

¡¡

@@

@@

{a}{b}{c}

{a}{b; c} {b}{a; c} {a;b}{c}

{a;b; c}©©©©©

HHHHH

HHHH

H

©©©©

©

Joonis 2.13: Mittevõre (H1, |) ja hulga {a; b; c} tükelduste võre

2.6. Kujutused, funktsioonid, teisendused ja operatsioonid

Definitsioon 2.25. Olgu X ja Y hulgad. Kui on antud eeskiri f, mis seabhulga X igale elemendile vastavusse hulga Y kindala elemendi, siis öeldakse, et ondefineeritud funktsioon f, ja kirjutatakse

f : X → Y ehk Xf→ Y.

Kui elemendile x ∈ X seatakse vastavusse y ∈ Y, siis kasutatakse kirjutist y = f(x)või y = fx või f : x 7−→ y. Hulka X nimetatakse funktsiooni f lähtehulgaksja hulka Y nimetatakse sihthulgaks. Elementi y nimetatakse elemendi x ku-jutiseks, elementi x nimetatakse elemendi y originaaliks. Funktsiooni asemelräägitakse ka operaatorist või kujutusest. Kujutust f : X −→ X nimetataksehulga X teisenduseks.


Koolimatemaatikast on tuntud lineaarne funktsioon y = ax + b (a 6= 0), ruutfunkt-sioon y = ax2 + bx + c(a 6= 0), trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x.Kõik need on näited funktsioonist f : R → R.

Näide 2.23. Funktsioon põrand ⌊x⌋ : R −→ N seab reaalarvule vastavussesuurima temast väiksema või võrdse täisarvu, aga funktsioon lagi ⌈x⌉ : R −→ Nseab reaalarvule vastavusse vähima temast suurema või võrdse täisarvu, s.t

⌊x⌋ = m, kui m ≤ x < m + 1 , ⌈x⌉ = m, kui m − 1 < x ≤ m .

Näide 2.24. Reaalarvuliste liikmetega jada a1, . . . , an, . . . on vaadeldav funkt-sioonina A : N → R.

Näide 2.25. Samasus- ehk identsusteisendus I : X → X on funktsioon, mishulga X igale elemendile seab vastavusse tema enda, s.o I(x) = x.

Näide 2.26. Konstantne funktsioon seab igale x ∈ X vastavusse ühe ja samaelemendi c ∈ Y.

Näide 2.27. Olgu X = {1; 2; . . . , n}. Vaatleme funktsioone s : X → X, millekorral ühelgi arvudest pole mitut originaali, s.t ei ole olukorda, et s(i) = s(j), kuidi 6= j. See nõue toob kaasa fakti, et hulga X igal elemendil on funktsiooniga solemas täpselt üks originaal. Taolisi funktsioone nimetatakse substitutsioonideksn elemendist ja esitatakse harilikult tabelina

s =

(

1 2 . . . nk1 k2 . . . kn

)

.

Näiteks kujutame seostele sarnaselt nooldiagrammina substitutsiooni

(

1 2 3 42 4 3 1

)

sss

sss

s s-

PPPPPPPPqQQ

QQ

QQ

QQs¡¡

¡¡

¡¡

¡¡µ

S1

2

3

4

1

2

3

4

Joonis 2.14: Substitutsiooni nooldiagramm

Definitsioon 2.26. Hulga A ⊂ X kujutiseks nimetatakse hulka

f(A) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ A} .

Hulga B ⊂ Y (täielikuks) originaaliks nimetatakse hulka

f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} .

Hulkade kujutistel on järgmised põhilised omadused:1) f(∅) = ∅;


2) kui A1 ⊂ A2, siis f(A1) ⊂ f(A2);3) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2);4) f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).

Märkus. Omadused 3) ja 4) kehtivad suvalise arvu hulkade ühendi ja ühisosakorral.

Hulkade originaalidel on järgmised põhilised omadused:1) f−1(∅) = ∅; f−1(Y ) = X;2) kui B1 ⊂ B2, siis f

−1(B1) ⊂ f(B2);3) f−1(B1 ∪ B2) = f

−1(B1) ∪ f−1(B2);

4) f−1(B1 ∩ B2) = f−1(B1) ∩ f

−1(B2);5) f−1(Y \ B) = X \ f−1(B).

Märkus. Omadused 3) ja 4) kehtivad suvalise arvu hulkade ühendi ja ühisosakorral.

Funktsioone f1 : X1 −→ Y1 ja f2 : X2 −→ Y2 nimetatakse võrdseks, kui X1 = X2,Y1 = Y2 ja f1(x) = f2(x) iga x ∈ X1(= X2) korral.

Injektiivsed ja sürjektiivsed funktsioonid

Definitsioon 2.27. Funktsiooni f : X → Y nimetatakse injektiivseks ehk üks-üheseks, kui iga paari x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 korral f(x1) 6= f(x2) (s.t, et erinevadelemendid kujutuvad erinevateks elementideks).

See on samaväärne sellega, et kujutiste võrdumisest järeldub originaalide võrdumines.t kui f(x1) = f(x2), siis x1 = x2. Veel tähendab see seda, et igal elemendil hul-gast Y on ülimalt üks originaal. Piltlikult tähendab injektiivsus järgmisel jooniselkujutatud olukorra puudumist.

sss

s

sss s´

´´

´´

´´́3

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡µ

1

2

3

4

1

2

3

4

Joonis 2.15: Injektiivsuse mittekehtivuse illustratsioon

Näiteks lineaarfunktsioon on injektiivne, kuid ruutfunktsioon ei ole. Funktsioonsin : R → R ei ole injektiivne, kuid sin :

[

−κ2, κ

2

]

→ R on injektiivne.

Definitsioon 2.28. Funktsiooni f : X → Y nimetatakse sürjektiivseks ehkpealekujutuseks, kui f(X) = Y ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub originaal.

Näiteks lineaarfunktsioon on sürjektiivne, kuid ruutfunktsioon y = x2 ei ole sürjek-tiivne, sest originaal leidub vaid mittenegatiivsetel arvudel. Funktsioon sin : R → Rei ole sürjektiivne, kuid sin : R → [−1, 1] on sürjektiivne.

Definitsioon 2.29. Funktsiooni f : X → Y nimetatakse bijektiivseks ehk


üksüheseks vastavuseks, kui ta on nii injektiivne kui ka sürjektiivne ehk igalelemendil hulgast Y leidub täpselt üks originaal.

Näiteks, sin :[

−κ2, κ

2

]

→ [−1, 1] ja samasteisendus on bijektiivsed funktsioonid.

Märkus. Kasutatakse ka lühemaid nimetusi injektsioon, sürjektsioon ja bijek-tsioon.

Pöördfunktsioon ja liitfunktsioon

Kui funktsioon f : X → Y on bijektsioon, siis saab defineerida pöördfunktsioonif−1 : Y → X, mis igale elemendile y ∈ Y seab vastavusse tema originaali x ∈ Xfunktsiooniga f teisendamisel, s.t

f−1(y) = x ⇐⇒ y = f(x).

Kui f : X → Y ei ole bijektiivne, siis niimoodi defineerides me ei saa funktsiooni(kui f ei ole sürjektiivne, siis leidub y ∈ Y, millel pole originaali, aga kui f ei oleinjektiivne, siis leidub y ∈ Y, millel on vähemalt kaks originaali). Samaväärsedon väljendid ”funktsioon f : X → Y on bijektsioon”, ”eksisteerib pöördfunktsioonf−1 : Y → X”, ”funktsioon f : X → Y on pööratav”.

Lause 2.14. Kui funktsioon f : X → Y on pööratav, siis ka pöördfunktsioonf−1 : Y → X on pööratav ning (f−1)

−1= f .

Definitsioon 2.30. Funktsioonide f : X → Y ja g : Y → Z korrutiseksehk kompositsiooniks ehk liitfunktsiooni moodustamiseks nimetatakse funk-tsiooni gf : X → Z, mis määratakse valemiga

(gf)(x) = g(f(x)), x ∈ X.

Seega funktsioonide korrutamine on nende järjest teostamine. Juhime tähelepanuasjaolule, et funktsioonide korrutamine on võimalik vaid siis, kui teise teguri lähtehulkon sama kui esimese sihthulk.

Lause 2.15. Kui f : X → Y ja g : Y → Z on pööratavad, siis on pööratav kagf : X → Z ning (gf)−1 = f−1g−1.

Hulga karakteristlik funktsioon

Olgu X universaalne hulk.

Definitsioon 2.31. Hulga A ⊂ X karakteristlikuks funktsiooniks nimetataksefunktsiooni

χA : X → {0, 1} , kus χA(x) =

{

1, kui x ∈ A,0, kui x /∈ A.

2.7. Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad 22

Igale alamhulgale A ⊂ X tõesti vastab üks funktsioon χ : X → {0, 1} ning eri-nevatele alamhulkadele vastavad erinevad funktsioonid. Vastupidi, ka iga funktsioon

χ : X → {0, 1}

määrab üheselt alamhulga A = {x ∈ X : χ(x) = 1}.

Kõigi hulgast X hulka Y toimivate funktsioonide hulka {f : X → Y } tähistatakseY X . Sellega kooskõlas kirjutatakse {χ : X → {0, 1}} = {0, 1}X = 2X , kus 2 :={0, 1} . Karakteristlike funktsioonide hulga ja alamhulkade hulga vahelise bijekt-siooni tõttu on ka hulga X kõigi alamhulkade hulga tähistuseks kasutusel

P(X) = {A : A ⊂ X} = 2X .

Hulga P(X) jaoks on kasutusel ka nimetus hulga X potentshulk.

Hulga karakteristliku funktsiooni põhiomadused on järgmised:

1) χA(x)χA(x) ≡ χA(x);

2) χA∩B(x) ≡ χA(x)χB(x) ≡ min {χA(x), χB(x)} ;

3) χA∪B(x) ≡ χA(x) + χB(x) − χA(x)χB(x) ≡ max {χA(x), χB(x)} ;

4) χA\B(x) ≡ χA(x) − χA(x)χB(x);

5) χ∅(x) ≡ 0, χX(x) ≡ 1, χA(x) ≡ χX\A(x) ≡ 1 − χA(x);

6) χA×B((x, y)) ≡ χA(x)χB(y).

Näide 2.28. Tõestame võrduse (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) arvutadesmõlema poole jaoks karakteristliku funktsiooni. Vasaku poole korral on

χ(A∪B)∩C = χA∪BχC = (χA(x) + χB(x) − χA(x)χB(x)) χC =

= χA(x)χC + χB(x)χC − χA(x)χB(x)χC

ning parema poole jaoks on

χ(A∩C)∪(B∩C) = χA∩C(x) + χB∩C(x) − χA∩C(x)χB∩C(x) =

= χA(x)χC + χB(x)χC − χA(x)χC .χB(x)χC =

= χA(x)χC + χB(x)χC − χA(x)χB(x)χC ,

sest χCχC = χC . Näeme, et χ(A∪B)∩C = χ(A∩C)∪(B∩C), järelikult hulgad on võrdsed.

2.7. Hulga võimsus. Loenduvad ja mitteloenduvad hulgad

Juhime tähelepanu asjaolule, et käesolevas osas loeme, et 0 ei kuulu naturaalarvudehulka.

Definitsioon 2.32. Ütleme,et hulgad A ja B on ühe ja sama võimsusega(lühemalt on võrdvõimsad) ehk on ekvivalentsed, kui leidub bijektsioon f :A → B (s.t nende hulkade vahel saab korraldada üksühese vastavuse).


Asjaolu, et hulgad A ja B on sama võimsusega, tähistatakse |A| = |B| või (A ∼ Bvõi A ≃ B).

Kuigi me ei saa rääkida kõikide hulkade hulgast, siiski on hulkade ekvivalentsuseltüüpilised omadused:

1) A ∼ A;

2) kui A ∼ B, siis ka B ∼ A;

3) kui A ∼ B ja B ∼ C, siis ka A ∼ C.

Tõepoolest, samasusteisendus 1A : A → A on bijektsioon ja seetõttu A ∼ A jaomadus 1) kehtib.

Kui A ∼ B, siis leidub bijektsioon f : A → B. Selle pöördfunktsioon f−1 : B → Aeksisteerib ning on samuti bijektsioon (eelnenud osa (lause 2.14) kohaselt). SeegaB ∼ A ja omadus 2) kehtib.

Olgu A ∼ B ja B ∼ C siis leiduvad bijektsioonid f : A → B ja g : B → C. Eel-mise osa lausele 2.15 vastavalt on nende korrutis gf : A → C samuti bijektsioon.Järelikult A ∼ C ja omadus 3) kehtib.

Meenutage, et hulka A nimetatakse lõplikuks, kui ta kas on tühi või tema elemen-tide arv on väljendatav mingi naturaalarvuga n (s.o saab korraldada üks-ühese vas-tavuse hulga A ja hulga {1; 2; . . . ; n} vahel ehk leidub esitus A = {a1, a2, . . . , an}).

Lause 2.16. Lõpliku hulga A igas pärisalamhulgas on vähem elemente kui hulgasA.

Tõestus. Tõestame väite induktsiooniga hulga A elementide arvu n järgi. Selleks,et üldse pärisalamhulki oleks ei saa hulk A olla tühi. Seega n > 0. Kui n = 1, siisainus pärisalamhulk on ∅, mille elemente on 0 ja see arv on väiksem kui 1. Seega oninduktsiooni baas (n = 1 näol) olemas.

Püstitame induktiivse hüpoteesi, et kõigi naturaalarvude, mis ei ületa arvu n, (n ≥1) jaoks väide kehtib. Vaatleme nüüd hulka A, milles on n+1 elementi, ja selle mingitpärisalamhulka B 6= ∅. Võtame hulgast B ühe elemendi välja. Saame hulga B′, mison pärisalamhulk hulgas A′, mis on saadud hulgast A sama elemendi väljajätmiseteel. Hulgas A′ on n elementi ja induktsiooni eelduse kohaselt on |B′| < n = |A′|.Seetõttu B = |B′| + 1 < n + 1 = |A| ja induktsiooni samm on teostatud. Seegaväide kehtib kõigi lõplike hulkade kohta.

Erinevalt lõplikust hulgast võib lõpmatu hulk olla ekvivalentne oma mingi päris-alamhulgaga.

Näide 2.29. Täisarvude hulk Z ja naturaalarvude hulk N on sama võimsusega,sest funktsioon

f : Z → N ; f(a) =

{

2a + 2, kui a ≥ 0 ;−2a − 1, kui a < 0 .

on bijektsioon (siinjuures on arvestatud, et 0 ∈ N). Tõepoolest, selle funktsioonipöördfunktsioon on

f−1 =

{

n2, kui n on paaris,

−n−12

, kui n on paaritu.


Populaarselt võib selle kohta öelda, et täisarve on sama palju kui naturaalarve.Samuti on paarisarve sama palju kui naturaalarve, sest

f : N → 2N, n 7→ 2n ja f−1 : 2N → N, n 7→n

2

on teineteise pöördfunktsioonid.

Näide 2.30. Reaalarvude paaride hulk R2 ja kompleksarvude hulk C on samavõimsusega, sest mõlemaid saab seada üks-ühesesse vastavusse tasandi kõigi punk-tide hulgaga. Otseselt saab selle vastavuse korraldada funktsiooniga

f : R2 → C : (a, b) 7→ a + bi (a, b ∈ R) .

Näide 2.31. Mistahes kaks reaalarvude lõiku [a, b] ja [c, d] (aga ka vahemikku(a, b) ja (c, d) ), kus a < b ja c < d, on sama võimsusega, sest lineaarne funktsioon

f(x) =(d − c)x + bc − ad

b − a= c +

d − c

b − ax, x ∈ [a, b] (x ∈ (a, b) )

on bijektsioon.

Näide 2.32. Vahemik(

−π2, π

2

)

ja arvsirge R on sama võimsusega, sest funktsioon

tan :(

−π

2,π

2

)

→ R

on bijektsioon.

Järeldus. Mistahes vahemik (a, b), kus a < b, ja arvsirge R on sama võimsusega.

Definitsioon 2.33. Hulka nimetatakse loenduvaks, kui ta on võrdvõimas natu-raalarvude hulgaga N.

Seega loenduvad on parajasti need hulgad A, mida saab esitada kujul

A = {a1, a2, . . . , an, . . .}.

Me võime öelda, et hulk on loenduv, kui me saame moodustada tema kõigist elemen-tidest jada (s.t saame tema elemendid ”nummerdada” naturaalarvudega). Hulgaloenduvuse põhjendamiseks me nii just toimimegi.

Lause 2.17. Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduva alamhulga.

Tõestus. Olgu A suvaline lõpmatu hulk (seega ta pole lõplik, sealhulgas A 6= ∅).Seetõttu leidub temas elemente ja võtame vabalt elemendi a1 ∈ A. Kindlasti {a1} 6=A, sest võrduse korral oleks hulk A lõplik. Võtame elemendi a2 ∈ A \ {a1}. Hulk{a1, a2} ⊂ A ning võrdus ei kehti, sest siis oleks hulk A lõplik. Seetõttu saame võttaelemendi a3 ∈ A \ {a1, a2}.

Olgu nüüd n > 1 suvaline naturaalarv. Teeme induktsiooni oletuse, et me olememehulgast A juba välja valinud elemendid a1, . . ., an. Siis {a1, . . . , an} ⊂ A ningvõrdus ei kehti, sest siis oleks hulk A lõplik. Nii saame valida elemendi an+1 ∈A \ {a1, . . . , an}, kusjuures taas {a1, . . . , an+1} 6= A, sest võrduse korral oleks hulkA lõplik. Sellega on indutsiooni samm teostatud ja seetõttu oleme saanud leonduvaalamhulga


{a1, a2, . . . , an, . . .} = {an | n ∈ N}.

Järelikult loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Siit tuleneb ka selline fakt,et hulk on lõpmatu parajasti siis, kui tal on olemas loenduv alamhulk.

Järeldus. Loenduva hulga iga alamhulk on lõplik või loenduv.

Hulkade loenduvuse käitumist hulkadega teostatavate tehete korral väljendavad fak-tid on koondatud järgmisse lausesse.

Lause 2.18. 1) Lõpliku ja loenduva hulga ühend on loenduv.2) Loenduva hulga paarikaupa ühiososata lõplike hulkade ühend on loenduv.3) Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv.4) Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv.5) Kahe loenduva hulga otsekorruts on loenduv.

Tõestus. 1): Olgu antud loenduv hulk A = {a1, a2, . . . , an, . . .} ja lõplik hulkB = {b1, b2, . . . , bm}. Moodustame vahe C = B \ A = {c1, c2, . . . , ck} (jätamehulgast B alles need elemendid, mis ei kuulu hulka A). Loomulikult on k ≤ m jaA ∩ C = ∅ ning A ∪ B = A ∪ C = {c1, . . . , ck, a1, a2, . . . , an, . . .}. Sellega on ühendiA ∪ B kõik elemendid järjestatud jadaks ning hulk A ∪ B on loenduv.

2): Olgu hulgad Ai, i ∈ N mittetühjad lõplikud ja paarikaupa ühiste elementideta,näiteks,

Ai = {ai1, ai2, . . . , aini}, i ∈ N.

Siis nende ühend ∪i∈NAi on loenduv, sest selle elemendid saab järjestatada jadaks

{a11, . . . , a1n1 , a21, . . . , a2n2 , . . . , am1, . . . , amnm , . . .}.

3): Näitame kõigepealt, et kahe loenduva hulga ühend on loenduv. Vaatleme

loenduvaid hulki A = {a1, a2, . . . , an, . . .} ja B = {b1, b2, . . . , bn, . . .}. Kui vaheC = B \ A on lõplik, siis A ∪ B = A ∪ C on loenduv (nagu nägime osas 1):). Kuiaga C on lõpmatu, s.t C = {c1, c2, . . . , cn, . . .}, siis saame hulga A ∪ B = A ∪ Ckirjutada jadana

{a1, c1, a2, c2, . . . , an, cn, . . .}.

Olgu nüüd hulgad A1, . . ., An+1 loenduvad ning teada (induktsiooni oletuse ko-haselt), et ühend A1∪. . .∪An on loenduv. Siis ühendi moodustamise assotsiatiivsusetõttu on

A1 ∪ . . . ∪ An+1 = (A1 ∪ . . . ∪ An) ∪ An+1

ning osutub kahe loenduva hulga ühendina ka ise loenduvaks.

4): Veendume, et loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. Olguantud (paarikaupa ühisosata) loenduvad hulgad

Ai = {ai1, ai2, . . . , ain, . . .}, i ∈ N.

Kirjutame nende ühendi elemendid järgmise (kahes suunas piiramatult jätkuva)tabelina:

a11, a12, a13, a14, . . .


a21, a22, a23, a24, . . .a31, a32, a33, a34, . . .a41, a42, a43, a44, . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selle tabeli diagonaalideks nimetame ühesuguse indeksite summaga elementide kogu-mit. Koostame jada nii, et järjest suurendame indeksite summat, sama summagaelemendid on kõrvuti ning on järjestatud esimese indeksi järgi (kasvavalt). On selge,et kõik diagonaalid on lõplikud ning diagonaale on loenduv hulk. Me saame jada

a11, a12, a21, a13, a22, a31, a14, a23, a32, a41, . . . ,

mis põhjendabki sellise ühendi loenduvuse.

5): Eelmise osa tõestusest saame idee, et loenduvate hulkade

A = {a1, a2, . . . , an, . . .} ja B = {b1, b2, . . . , bn, . . .}

otsekorrutisse A × B kuuluvate paaride jada moodustamiseks. Tõepoolest, saamemoodustada A × B loenduvust põhjendava jada

{(a1, b1); (a1, b2); (a2, b1); (a1, b3); (a2, b2); (a3, b1); . . .} .

Järeldus. Ratsionaalarvude hulk Q on loenduv.

Tõestus. Vaatleme ratsionaalarve kui naturaalarvuliste nimetajatega murde. Fik-seeritud nimetajaga ratsionaalarve on lõplik arv. Seetõttu on hulk Q vaadeldavloenduva hulga lõplike hulkade ühendina ning seega on ta loenduv.

Põhjendame nüüd, et leidub naturaalarvude hulgast suurema võimsusega ehk mit-teloenduvaid hulki.

Lause 2.19. Kõigi reaalarvude hulk R on mitteloenduv.

Tõestus. Kasutame seda, et iga reaalarv on esitatav lõpmatu kümnendmurruna.Oletame väite vastaselt, et hulk R on loenduv. Siis on loenduv ka poollõik [0, 1),s.t saame moodustada selle kõiki reaalarve sisaldava jada, mida kujutame järgmisetabelina:0, a1, a2, a3, a4, . . .0, b1, b2, b3, b4, . . .0, c1, c2, c3, c4, . . .0, d1, d2, d3, d4, . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tabeli esimese reas on esimene arv, teises teine jne. Moodustame nüüd lõpmatukümnendmurru

0, x1, x2, x3, x4, . . .

nii, etx1 6= a1 , x2 6= b2 , x3 6= c3 , . . . ,

s.o uue kümnendmurru n. kümnendkoht erineb olemasoleva jada n. elemendi n.kümnendkohast. Seega uus kümnendmurd ei saa asuda meie jadas. Nii jõudsime


vastuoluni eeldusega, et see jada sisaldab poollõigu [0, 1) kõik reaalarvud. Järelikultjuba poollõik [0, 1) on mitteloenduv, siis ka kogu reaalarvude hulk R on mitteloen-duv.

Definitsioon 2.34. Hulka nimetatakse kontiinumi võimsusega hulgaks, kuital on reaalarvude hulgaga R sama võimsus.

Nüüd püstitub loomulik küsimus: kas on ka kontiinumist suurema võimsusega hulki?Öeldakse, et hulga A võimsus on väiksem hulga B võimsusest ja kirjutatakse|A| < |B|, kui leidub selline injektsioon f : A → B, mis ei ole pealekujutus.

Jaatava vastuse viimasele küsimusele annab järgnev

Lause 2.20 (Cantori teoreem). Mittetühja hulga A võimsus on väiksem temakõigi alamhulkade hulga P(A) võimsusest.

Tõestus. Defineerime kujutuse f : A → P(A) valemiga f(a) = {a} iga a ∈ A jaoks.Selline f on injektiivne ja seetõttu |A| ≤ |P(A)|. Oletame, et leidub bijektsioong : A → P(A). Näitame, et sellest tuleneb vastuolu. Moodustame alamhulga

X = {x ∈ A | x /∈ g(x)}.

Loomulikult X ∈ P(A) ja kuna g on pealekujutus, siis peab leiduma a ∈ A, nii etg(a) = X. Uurime elemendi a kuulumist. Kui a ∈ X, siis a /∈ g(a) = X. Seegajõudsime vastuoluni. Seega a /∈ X. Viimase valemi kohaselt, a ∈ g(a) = X ja jällegitekkis vastuolu.

Cantori teoreemist järeldub, et ei ole olemas kõikide hulkade hulka ehk sellist kogu-mit ei saa vaadelda hulgana. Tõpoolest, selline ”hulk” peaks sisaldama alamhulganaka oma kõikide alamhulkade hulka, mis pole Cantori teoreemi kohaselt võimalik.

Osutub, et loenduva hulga kõigi alamhulkade hulk on kontiinumi võimsusega (v.tlauset 2.21).

Püüame aga eelnevalt, käesolevas osas käsitletule toetudes, vastata küsimusele: ”mison hulga võimsus?”

Me nägime, et saame rääkida üheelemendiliste hulkade klassist, kaheelemendilistehulkade klassist, üldisemalt n-elemendiliste hulkade klassist (siinjuures n ∈ N),loenduvate hulkade klassist, jne. Siit tekib võimalus määratleda hulga võimsusjärgmiselt: Hulga A võimuseks nimetatakse tema omadust olla bijektiivses vas-

tavuses kõigi hulkadega mingist hulkade klassist. Hulga võimsuseks loetakse kakõigi temaga ekvivalentsete hulkade klassi. Hulga A võimsust tähistatakse |A|, aga

ka A või või cardA. Hulkade võimsusi loetakse uuteks objektideks ja nimetataksekardinaalarvudeks.

Kui A = {a1, . . . , an}, siis kirjutame A = n ning ∅ = 0. Loenduva hulga võimsusttähistatakse ℵ0 (loetakse ”alef-null”), siinjuures teame, et n < ℵ0 iga n ∈ N korral.Kontiinumi võimsust tähistatakse ℵ1 (loetakse ”alef-üks”) ja me teame, et ℵ0 < ℵ1.Kontiinumiks loetakse vahel ka arvsirget, eelkõige järgmise väite tõttu.

Lause 2.21. Hulk P(N) on kontiinumi võimsusega.

Tõestus. Vaatleme taas reaalarvu kui lõpmatut kümnendmurdu . . . , a1, a2, a3, a4, . . .


ja seda omakorda loeme piirväärtuseks jadale

. . . , a1 ; . . . , a1, a2 ; . . . , a1, a2, a3 , . . . , a1, a2, a3, a4, . . . .

Teatavasti saame naturaalarvud kirja panna ka kahendsüsteemis ja see toob kaasaeelnenud jada esituse kahendsüsteemis ning selle piirväärtuseks oleva reaalarvu esi-tuse lõpmatu kahendmurruna kujul

. . . , b1, b2, b3, b4, . . . , kus b1, b2, . . . ∈ {0, 1} .

Sellest esitusest saame, et kõigi reaalarvude hulk poollõigul [0, 1) on ekvivalentnekõikvõimalike nullidest ja ühtedest koostatud jadade hulgaga

J = {(j1, j2, . . . , jn, . . .) | jn ∈ {0, 1}, n ∈ N} .

Hulk P(N) on omakorda ekvivalentne selliste jadade hulgaga J . Meil tarvitsebvaadelda kujutust

f : P(N) → J : X 7→ (j1, j2, . . . , jn, . . .),

kus iga X ⊂ N, n ∈ N korral jn = 1, kui n ∈ X ja jn = 0, kui n /∈ X. Lihtne kontrollnäitab, et f on bijektiivne kujutus. Seetõttu hulgad P(N) ja J on ekvivalentsed.Kuna iga vahemik, aga ka poollõik [0, 1) on ekvivalentne arvsirgega R. Siis olemesaanud, et P(N) ja R on ekvivalentsed.

Märkus. Hulga võimsuse mõiste võttis kasutusele hulgateooria rajaja saksa matemaatikGeorg Cantor 1878. aastal. Samal ajal püstitas ta ka nn kontiinumhüpoteesi: ”eileidu hulka H, mille võimsus oleks suurem loenduva hulga võimsusest ℵ0 ja väiksemkontiimumi võimsusest ℵ1”.

Aastal 1940 näitas Kurt Gödel, et harilikele hulgateooria aksioomidele valikuak-sioomi (v.t osa 2.6) ja kontiinumhüpoteesi lisamisega saadakse mittevasturääkivaksioomide süsteem. Aga aastal 1963 USA matemaatika Paul Cohen näitas, etsamadele aksioomidele lisadades nii valikuaksioomi eituse kui ka kontiinumhüpoteesieituse saadakse samuti mittevastuääkiv aksioomide süsteem. Lihtsustatult võiböelda, et saab vaadelda kahesugust hulgateooriat: üht, milles kontiinumhüpoteeskehtib (pole vahepealseid võimsusi ℵ0 < ℵ1 vahel), ja teist, milles kehtib konti-inumhüpoteesi eitus (ehk leiduvad vahepealsed võimsused ℵ0 < . . . < ℵ1).

2. hulgateooria elementeeredi/dimat2010/dimat10l02.pdf · 2010. 2. 16. · 2.2. tehted hulkadega 3...

Documents