statisztika 1. - mateking.hu · statisztika 1. kÉpletgyŰjtemÉny alapfogalmak egy ismérv...
Post on 03-Sep-2019
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
STATISZTIKA 1.
KÉPLETGYŰJTEMÉNY
alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés
két ismérv szerinti elemzés
standardizálás
indexszámítás
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
2
1. ALAPFOGALMAK
1.1.Ismérvek típusai TERÜLETI, IDŐBELI, MINŐSÉGI, MENNYISÉGI.
1.2.Viszonyszámok
B
AV
MINŐSÉGI Nominális (névleges) A sokaság elemeit valamilyen tulajdonságok szerinti csoportokba soroljuk, de a csoportok közt nincs semmiféle rangsor példák: az áldozatok halálának oka a terroristák nemzetisége
Ordinális (sorrendi) A csoportok között már felállítható sorrendiség példák: a hotelek besorolása (** *** **** *****)
a vizsgázók jegyei (1, 2, 3, 4, 5 ) MENNYISÉGI
Intervallum A sokaság elemeit itt már valamilyen mértékegység szerint osztályozzuk, de csak a „mennyivel több?” kérdésre
tudunk válaszolni, a „hányszoros?”-ra nem példák: hőmérséklet (tegnap -5 fok volt, ma 0 fok, hányszor melegebb van?)
Arány Itt is mértékegység szerinti az osztályozás, de a „hányszoros?” kérdésre is tudunk válaszolni (mindig 0-tól kezdünk mérni) példák: életkor testmagasság
SÚLYOZOTT SZÁMTANI ÁTLAG:
A súlyok B1 B2 stb.
21
2211
BB
BVBVV
több tagra
i
ii
B
BVV
SÚLYOZOTT HARMONIKUS ÁTLAG:
A súlyok A1 A2 stb.
2
2
1
1
21
V
A
V
A
AAV
több tagra
i
i
i
V
A
AV
MÉRTANI ÁTLAG:
21 VVV több tagra n
n
iVV 1
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
3
2. EGY ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS
2.1. Adatok
20
23 alsó kvartilis=23,5
24
24
24 medián=24,5
25
27
30 felső kvartilis=31,5
31
32
módusz=24
átlag: 26X
Szórás a teljes
populációra
N
XX i
2
A teljes populációból
vett n elemű
minta szórása
1
2
n
XXs i
10
...24262426232620262222
9
...24262426232620262222
S
2.2. Adatsorok
OSZTÁLYKÖZÖK
Osztályközép: ix
GYAKORISÁG
if
KUMULÁLT GYAKORISÁG
if
RELATÍV GYAKORISÁG
ig
KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG
ig
ÉRTÉKÖSSZEG
iS
RELATÍV ÉRT.ÖSSZ.
iZ
0-9 51 x 200 200 200/2000 200/2000 5∙200 5∙200/S
10-19 152 x 400 600 400/2000 600/2000 15∙400 15∙400/S
20-29 253 x 500 Me 1100 500/2000 1100/2000 25∙500 25∙500/S
30-39 354 x 600 Mo 1700 600/2000 1700/2000 35∙600 35∙600/S
40-49 455 x 300 2000 300/2000 2000/2000 45∙300 45∙300/S
2000 Nf i SSi
Becsült átlag
ii
ii gXN
fXX
272000
...400152005
X
Becsült medián
me
me
me
hf
fN
meMe1
2
me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa,
meh a mediánt tartalmazó osztályköz hossza
20500
6002
2000
20
Me
Becsült módusz
mohkk
kmoMo
21
1
mo a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa
11 momo ffk 12 momo ffk
20300100
10030
Mo
Becsült szórás a teljes populációra Relatív szórás
iiii gxX
N
fxX 22
X
V
2000
...400152720052722
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
4
2.3. A Lorenz-görbe
Azt fejezi ki, hogy a gyakoriság egy adott százalékához az összérték hány százaléka
tartozik. Az x tengelyen tehát a kumulált relatív gyakoriságot, míg az y tengelyen a
kumulált relatív értékösszeget mérjük.
N
VZHI i
122
2.4. Alakmutatók
Pearson-féle mérőszámok
MeYP
3
MoXA
F-mutatók
19
191,0
DMeMeD
DMeMeDF
13
1325,0
QMeMeQ
QMeMeQF
iZ
ig
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
5
3. KÉT ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS
3.1. Mindkét ismérv minőségi: ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT
1C 2C …
jC … Total
1R 11f 12f … jf1 …
1f
2R 21f 22f … jf2 …
2f
… … … … … …
iR 1if 2if … ijf …
if
… … … … … …
Total 1f 2f
jf N
N
fff
ji
ij
ij
ijij
f
ff2
2
Cramer-féle asszociációs együttható
)1();1(min
2
crNC
Csuprov-féle asszociációs együttható
11
2
crN
Yule-féle asszociációs együttható
21122211
21122211
ffff
ffffY
1C 2C …
jC … Total
1R 11f 12f … jf1 …
1f
2R 21f 22f … jf2 …
2f
… … … … … …
iR 1if 2if … ijf …
if
… … … … … …
Total 1f 2f
jf N
1C 2C Total
1R 11f 12f 1f
2R 21f 22f 2f
Total 1f 2f N
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
6
3.2. Az egyik ismérv minőségi, a másik mennyiségi:
VEGYES KAPCSOLAT
MENNYI-
SÉGI
MINŐSÉGI ÖSSZ.
1C 2C …
1R 1X 11f 12f …
2R 2X 21f 22f …
… … … … …
iR iX 1if 2if …
ÖSSZ. 1N 2N jN N
OSZTÁLYKÖZEPEK
MENNYI-
SÉGI
MINŐSÉGI ÖSSZ.
1C
1C 2C …
1R 1X 11f 12f … 11f
2R 2X 21f 22f … 21f
… … … … … …
iR iX 1if 2if … 1if
ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.
1N
MENNYI-
SÉGI
MINŐSÉGI ÖSSZ.
1C
1C 2C …
1R 1X 11f 12f … 11f
2R 2X 21f 22f … 21f
… … … … … …
iR iX 1if 2if … 1if
ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.
1N
Részátlag
jj N
i j
iijN
i j
ij
jN
Xf
N
XY
11
Rész-szórás
jj N
i
jiij
j
N
i
jij
j
j XXfN
XXN 1
2
1
2 11
Belső szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek át-
lagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól:
M
j
jj
M
j
N
i
jijB NN
XXN
j
1
2
1 1
2 11
Belső eltérés-négyzetösszeg SSB (sum of squares belső)
M
j
N
i
jij
j
XXSSB1 1
2
Főátlag
jj N
i
i
M
j
ij
M
j
N
i
ij XfN
XN
Y1 11 1
11
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
7
222
KB SSKSSBSST
A relatív hibacsökkenés, vagyis a PRE kiszámolására
a következő képlet van forgalomban:
2
2
2
2
2
2
22
1 HSST
SSK
SST
SSBSSTPRE KBB
Ha PRE=0 akkor a két ismérv független
Ha PRE=1 akkor a két ismérv közt függvényszerű kapcsolat van.
Ha pedig PRE értéke valahol nulla és egy között van, akkor a kapcsolat nem független és
nem is függvényszerű, tehát sztochasztikus.
Amikor a két ismérv független
0PRE 0SSK 02 K 22
B
Amikor a két ismérv kapcsolata függvényszerű
1PRE 0SSB 02 B 22 K
MENNYI-
SÉGI
MINŐSÉGI ÖSSZ.
1C
1C 2C
1R 1X 11f 12f … 11f
2R 2X 21f 22f … 21f
… … … … … …
iR iX 1if 2if … 1if
ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.
1N
MENNYI-
SÉGI
MINŐSÉGI ÖSSZ.
1C
1C 2C
1R 1X 11f 12f … 11f
2R 2X 21f 22f … 21f
… … … … … …
iR iX 1if 2if … 1if
ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.
1N
Külső szórás azt adja meg, hogy a részátlagok
átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól:
M
j
jjK XXNN 1
21
Külső eltérés-négyzetösszeg SSK (sum of squares külső)
M
j
jj XXNSSK1
2
Teljes szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek átlago-
san mennyivel térnek el a főátlagtól:
M
j
N
i
ij
j
XXN 1 1
21
Teljes eltérés-négyzetösszeg SST (sum of squares teljes)
M
j
N
i
ij
j
XXSST1 1
2
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
8
3.3. Mindkét ismérv mennyiségi: KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT
22 XXXd
22 YYYd
YYXXdYdX
Lineáris korrelációs együttható
YdXd
dYdXr
22
Kovariancia
N
dYdXYXC
),(
A regressziós egyenes egyenlete:
XY 10ˆˆˆ ahol
Xd
dYdX21̂ és XY 10
ˆˆ
X-nek az Y-ra vonatkozó determinációs hányadosa
)(
)(2
22
X
XK
YX
Y-nak az X-re vonatkozó determinációs hányadosa
)(
)(2
22
Y
YK
XY
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
9
4. STANDARDIZÁLÁS
4.1.A különbségfelbontás EGYIK IZÉ MÁSIK IZÉ
0A
0B
0
00
B
AV
1A
1B
1
11
B
AV
01 VVk
ÖSSZ:
0A
0B
0
0
0B
AV
1A
1B
1
1
1B
AV
01 VVK
FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE
01 VVK
RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG (részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)
STD
STD
STD
STD
STD
STD
STD
STD
B
kB
B
VVB
B
VB
B
VBVVK
)( 0101
01
ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG (összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb
1B volt akkor most 0V ha pedig 0B volt, most 1V )
0
0
1
1
01B
VB
B
VBVVK
STDSTD
4.2. A hányadosfelbontás EGYIK IZÉ MÁSIK IZÉ
0A
0B
0
00
B
AV
1A
1B
1
11
B
AV
0
1
V
Vi
ÖSSZ:
0A
0B
0
0
0B
AV
1A
1B
1
1
1B
AV
0
1
V
VI
FŐÁTLAG INDEX
0
1
V
VI
RÉSZHATÁS INDEX
(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában 1B )
i
A
A
VB
VB
B
VB
B
VB
V
VI
1
1
01
11
1
01
1
11
0
1 :
ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX
(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért 0V )
0
00
1
01
0
1 :B
VB
B
VB
V
VI
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
10
5. INDEXEK
5.1. Egyedi ár- volumen- és értékindexek
0
1
p
pi p
0
1
q
qiq qpv ii
qp
qpi
00
11
5.2. Ár- és volumenindexek
Ár
P
Volumen
q
Bázis
időszaki
0
Árindex Laspeyres
/bázisidőszak szerinti/
0
00
q
qI p
0
1
p
p
Volumenindex Laspeyres
/bázisidőszak szerinti/
0
1
q
q
0
00
p
pI q
Tárgy
időszaki
1
Árindex Paasche
/tárgyidőszak szerinti/
1
11
q
qI p
0
1
p
p
Volumenindex Paasche
/tárgyidőszak szerinti/
0
1
q
q
1
11
p
pI q
5.3. A Fischer-féle árindex és volumenindex:
10
pp
F
p III 10
F
q III
5.4. Az értékindex:
F
q
F
ppqqpv IIIIIIqp
qpI
0101
00
11 amiből
0
1
0
1
q
q
p
p
I
I
I
I
5.5. Az indexek átlagformái
5.6. Vásárlóerő-paritás
AB
AAA
qp
qpBAPPP )/(
BB
BAB
qp
qpBAPPP )/(
)/()/()/( BAPPPBAPPPBAPPP BAF
0
0
01
01
00
000
v
iv
i
qp
qp
qp
iqpI
p
p
p
p
0
0
10
10
00
000
v
iv
i
qp
qp
qp
iqpI
q
q
q
q
pp
p
p
i
v
v
i
qp
qp
qp
iqpI
1
1
11
11
10
101
q
q
i
v
v
i
qp
qp
qp
iqpI
1
1
11
11
01
011
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
11
6. IDŐSOROK
6.1.Állapotidősor és tartamidősor
ÁLLAPOTIDŐSOR
TARTAMIDŐSOR
Változás
mértéke 11
1
n
yy
n
dd nt
11
1
n
yy
n
dd nt
Változás
üteme 1
1
1
2
nn
n
n
t
ty
yll 1
1
1
2
nn
n
n
t
ty
yll
Átlag
1
2...
22
1
n
yy
y
y
n
k n
yyyy n
...21
6.2. Mozgóátlagok
Ha a tagok száma páratlan:
12
......ˆ 11
k
yyyyyy kttttkt
t
Ha pedig a tagok száma páros
k
yyyy
y
y
ktttt
kt
t2
2......
2ˆ11
6.3. Lineáris és exponenciális trend
Lineáris trend
ty 10ˆ
Lineáris trend normálegyenletei
n
t
n
t
t tny1
10
1
n
t
n
t
n
t
t ttyt1
2
1
1
0
1
Exponenciális trend
ty 10ˆ
10 lnlnˆln ty
© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY
info@mateking.hu
12
6.4. Szezonális eltérés lineáris trend esetén
pn
yy
s
pn
i
ijij
j/
ˆ/
1
6.5. Korrigált szezonális eltérés
lineáris trend esetén
sss jj
6.6. Szezonindex exponenciális trend esetén
pn
y
y
s
pn
i ij
ij
j/
ˆ
/
1
6.7. Korrigált szezonindex exponenciális trend esetén
s
ss
j
j
ÉVEK=i
SZEZONOK=j (szezonfajták száma p)
j=1 j=2 j=3 …
i=1 11
y 21
y 31
y 41
y
i=2 12
y 22
y 32
y 42
y
i=3 13
y 23
y 33
y 43
y
… 14
y 24
y 34
y 44
y
top related