statisztika 1. - mateking.hu · statisztika 1. kÉpletgyŰjtemÉny alapfogalmak egy ismérv...

STATISZTIKA 1.

KÉPLETGYŰJTEMÉNY

alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés

két ismérv szerinti elemzés

standardizálás

indexszámítás

© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY

[email protected]

2

1. ALAPFOGALMAK

1.1.Ismérvek típusai TERÜLETI, IDŐBELI, MINŐSÉGI, MENNYISÉGI.

1.2.Viszonyszámok

B

AV

MINŐSÉGI Nominális (névleges) A sokaság elemeit valamilyen tulajdonságok szerinti csoportokba soroljuk, de a csoportok közt nincs semmiféle rangsor példák: az áldozatok halálának oka a terroristák nemzetisége

Ordinális (sorrendi) A csoportok között már felállítható sorrendiség példák: a hotelek besorolása (** *** **** *****)

a vizsgázók jegyei (1, 2, 3, 4, 5 ) MENNYISÉGI

Intervallum A sokaság elemeit itt már valamilyen mértékegység szerint osztályozzuk, de csak a „mennyivel több?” kérdésre

tudunk válaszolni, a „hányszoros?”-ra nem példák: hőmérséklet (tegnap -5 fok volt, ma 0 fok, hányszor melegebb van?)

Arány Itt is mértékegység szerinti az osztályozás, de a „hányszoros?” kérdésre is tudunk válaszolni (mindig 0-tól kezdünk mérni) példák: életkor testmagasság

SÚLYOZOTT SZÁMTANI ÁTLAG:

A súlyok B1 B2 stb.

21

2211

BB

BVBVV

több tagra

i

ii

B

BVV

SÚLYOZOTT HARMONIKUS ÁTLAG:

A súlyok A1 A2 stb.

2

2

1

1

21

V

A

V

A

AAV

több tagra

i

i

i

V

A

AV

MÉRTANI ÁTLAG:

21 VVV több tagra n

n

iVV 1


[email protected]

3

2. EGY ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS

2.1. Adatok

20

23 alsó kvartilis=23,5

24

24

24 medián=24,5

25

27

30 felső kvartilis=31,5

31

32

módusz=24

átlag: 26X

Szórás a teljes

populációra

N

XX i

2

A teljes populációból

vett n elemű

minta szórása

1

2

n

XXs i

10

...24262426232620262222

9

...24262426232620262222

S

2.2. Adatsorok

OSZTÁLYKÖZÖK

Osztályközép: ix

GYAKORISÁG

if

KUMULÁLT GYAKORISÁG

if

RELATÍV GYAKORISÁG

ig

KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG

ig

ÉRTÉKÖSSZEG

iS

RELATÍV ÉRT.ÖSSZ.

iZ

0-9 51 x 200 200 200/2000 200/2000 5∙200 5∙200/S

10-19 152 x 400 600 400/2000 600/2000 15∙400 15∙400/S

20-29 253 x 500 Me 1100 500/2000 1100/2000 25∙500 25∙500/S

30-39 354 x 600 Mo 1700 600/2000 1700/2000 35∙600 35∙600/S

40-49 455 x 300 2000 300/2000 2000/2000 45∙300 45∙300/S

2000 Nf i SSi

Becsült átlag

ii

ii gXN

fXX

272000

...400152005

X

Becsült medián

me

me

me

hf

fN

meMe1

2

me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa,

meh a mediánt tartalmazó osztályköz hossza

20500

6002

2000

20

Me

Becsült módusz

mohkk

kmoMo

21

1

mo a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa

11 momo ffk 12 momo ffk

20300100

10030

Mo

Becsült szórás a teljes populációra Relatív szórás

iiii gxX

N

fxX 22

X

V

2000

...400152720052722


[email protected]

4

2.3. A Lorenz-görbe

Azt fejezi ki, hogy a gyakoriság egy adott százalékához az összérték hány százaléka

tartozik. Az x tengelyen tehát a kumulált relatív gyakoriságot, míg az y tengelyen a

kumulált relatív értékösszeget mérjük.

N

VZHI i

122

2.4. Alakmutatók

Pearson-féle mérőszámok

MeYP

3

MoXA

F-mutatók

19

191,0

DMeMeD

DMeMeDF

13

1325,0

QMeMeQ

QMeMeQF

iZ

ig


[email protected]

5

3. KÉT ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS

3.1. Mindkét ismérv minőségi: ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT

1C 2C …

jC … Total

1R 11f 12f … jf1 …

1f

2R 21f 22f … jf2 …

2f

… … … … … …

iR 1if 2if … ijf …

if

… … … … … …

Total 1f 2f

jf N

N

fff

ji

ij

ij

ijij

f

ff2

2

Cramer-féle asszociációs együttható

)1();1(min

2

crNC

Csuprov-féle asszociációs együttható

11

2

crN

Yule-féle asszociációs együttható

21122211

21122211

ffff

ffffY

1C 2C …

jC … Total

1R 11f 12f … jf1 …

1f

2R 21f 22f … jf2 …

2f

… … … … … …

iR 1if 2if … ijf …

if

… … … … … …

Total 1f 2f

jf N

1C 2C Total

1R 11f 12f 1f

2R 21f 22f 2f

Total 1f 2f N


[email protected]

6

3.2. Az egyik ismérv minőségi, a másik mennyiségi:

VEGYES KAPCSOLAT

MENNYI-

SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C 2C …

1R 1X 11f 12f …

2R 2X 21f 22f …

… … … … …

iR iX 1if 2if …

ÖSSZ. 1N 2N jN N

OSZTÁLYKÖZEPEK

MENNYI-

SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C

1C 2C …

1R 1X 11f 12f … 11f

2R 2X 21f 22f … 21f

… … … … … …

iR iX 1if 2if … 1if

ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.

1N

MENNYI-

SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C

1C 2C …

1R 1X 11f 12f … 11f

2R 2X 21f 22f … 21f

… … … … … …


ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.

1N

Részátlag

jj N

i j

iijN

i j

ij

jN

Xf

N

XY

11

Rész-szórás

jj N

i

jiij

j

N

i

jij

j

j XXfN

XXN 1

2

1

2 11

Belső szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek át-

lagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól:

M

j

jj

M

j

N

i

jijB NN

XXN

j

1

2

1 1

2 11

Belső eltérés-négyzetösszeg SSB (sum of squares belső)

M

j

N

i

jij

j

XXSSB1 1

2

Főátlag

jj N

i

i

M

j

ij

M

j

N

i

ij XfN

XN

Y1 11 1

11


[email protected]

7

222

KB SSKSSBSST

A relatív hibacsökkenés, vagyis a PRE kiszámolására

a következő képlet van forgalomban:

2

2

2

2

2

2

22

1 HSST

SSK

SST

SSBSSTPRE KBB

Ha PRE=0 akkor a két ismérv független

Ha PRE=1 akkor a két ismérv közt függvényszerű kapcsolat van.

Ha pedig PRE értéke valahol nulla és egy között van, akkor a kapcsolat nem független és

nem is függvényszerű, tehát sztochasztikus.

Amikor a két ismérv független

0PRE 0SSK 02 K 22

B

Amikor a két ismérv kapcsolata függvényszerű

1PRE 0SSB 02 B 22 K

MENNYI-

SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C

1C 2C

1R 1X 11f 12f … 11f

2R 2X 21f 22f … 21f

… … … … … …


ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.

1N

MENNYI-

SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C

1C 2C

1R 1X 11f 12f … 11f

2R 2X 21f 22f … 21f

… … … … … …


ÖSSZ. 1N 2N ÖSSZ.

1N

Külső szórás azt adja meg, hogy a részátlagok

átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól:

M

j

jjK XXNN 1

21

Külső eltérés-négyzetösszeg SSK (sum of squares külső)

M

j

jj XXNSSK1

2

Teljes szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek átlago-

san mennyivel térnek el a főátlagtól:

M

j

N

i

ij

j

XXN 1 1

21

Teljes eltérés-négyzetösszeg SST (sum of squares teljes)

M

j

N

i

ij

j

XXSST1 1

2


[email protected]

8

3.3. Mindkét ismérv mennyiségi: KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT

22 XXXd

22 YYYd

YYXXdYdX

Lineáris korrelációs együttható

YdXd

dYdXr

22

Kovariancia

N

dYdXYXC

),(

A regressziós egyenes egyenlete:

XY 10ˆˆˆ ahol

Xd

dYdX21̂ és XY 10

ˆˆ

X-nek az Y-ra vonatkozó determinációs hányadosa

)(

)(2

22

X

XK

YX

Y-nak az X-re vonatkozó determinációs hányadosa

)(

)(2

22

Y

YK

XY


[email protected]

9

4. STANDARDIZÁLÁS

4.1.A különbségfelbontás EGYIK IZÉ MÁSIK IZÉ

0A

0B

0

00

B

AV

1A

1B

1

11

B

AV

01 VVk

ÖSSZ:

0A

0B

0

0

0B

AV

1A

1B

1

1

1B

AV

01 VVK

FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE

01 VVK

RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG (részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)

STD

STD

STD

STD

STD

STD

STD

STD

B

kB

B

VVB

B

VB

B

VBVVK

)( 0101

01

ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG (összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb

1B volt akkor most 0V ha pedig 0B volt, most 1V )

0

0

1

1

01B

VB

B

VBVVK

STDSTD

4.2. A hányadosfelbontás EGYIK IZÉ MÁSIK IZÉ

0A

0B

0

00

B

AV

1A

1B

1

11

B

AV

0

1

V

Vi

ÖSSZ:

0A

0B

0

0

0B

AV

1A

1B

1

1

1B

AV

0

1

V

VI

FŐÁTLAG INDEX

0

1

V

VI

RÉSZHATÁS INDEX

(részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában 1B )

i

A

A

VB

VB

B

VB

B

VB

V

VI

1

1

01

11

1

01

1

11

0

1 :

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX

(összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért 0V )

0

00

1

01

0

1 :B

VB

B

VB

V

VI


[email protected]

10

5. INDEXEK

5.1. Egyedi ár- volumen- és értékindexek

0

1

p

pi p

0

1

q

qiq qpv ii

qp

qpi

00

11

5.2. Ár- és volumenindexek

Ár

P

Volumen

q

Bázis

időszaki

0

Árindex Laspeyres

/bázisidőszak szerinti/

0

00

q

qI p

0

1

p

p

Volumenindex Laspeyres

/bázisidőszak szerinti/

0

1

q

q

0

00

p

pI q

Tárgy

időszaki

1

Árindex Paasche

/tárgyidőszak szerinti/

1

11

q

qI p

0

1

p

p

Volumenindex Paasche

/tárgyidőszak szerinti/

0

1

q

q

1

11

p

pI q

5.3. A Fischer-féle árindex és volumenindex:

10

pp

F

p III 10

qq

F

q III

5.4. Az értékindex:

F

q

F

ppqqpv IIIIIIqp

qpI

0101

00

11 amiből

0

1

0

1

q

q

p

p

I

I

I

I

5.5. Az indexek átlagformái

5.6. Vásárlóerő-paritás

AB

AAA

qp

qpBAPPP )/(

BB

BAB

qp

qpBAPPP )/(

)/()/()/( BAPPPBAPPPBAPPP BAF

0

0

01

01

00

000

v

iv

i

qp

qp

qp

iqpI

p

p

p

p

0

0

10

10

00

000

v

iv

i

qp

qp

qp

iqpI

q

q

q

q

pp

p

p

i

v

v

i

qp

qp

qp

iqpI

1

1

11

11

10

101

qq

q

q

i

v

v

i

qp

qp

qp

iqpI

1

1

11

11

01

011


[email protected]

11

6. IDŐSOROK

6.1.Állapotidősor és tartamidősor

ÁLLAPOTIDŐSOR

TARTAMIDŐSOR

Változás

mértéke 11

1

n

yy

n

dd nt

11

1

n

yy

n

dd nt

Változás

üteme 1

1

1

2

nn

n

n

t

ty

yll 1

1

1

2

nn

n

n

t

ty

yll

Átlag

1

2...

22

1

n

yy

y

y

n

k n

yyyy n

...21

6.2. Mozgóátlagok

Ha a tagok száma páratlan:

12

......ˆ 11

k

yyyyyy kttttkt

t

Ha pedig a tagok száma páros

k

yyyy

y

y

ktttt

kt

t2

2......

2ˆ11

6.3. Lineáris és exponenciális trend

Lineáris trend

ty 10ˆ

Lineáris trend normálegyenletei

n

t

n

t

t tny1

10

1

n

t

n

t

n

t

t ttyt1

2

1

1

0

1

Exponenciális trend

ty 10ˆ

10 lnlnˆln ty


[email protected]

12

6.4. Szezonális eltérés lineáris trend esetén

pn

yy

s

pn

i

ijij

j/

ˆ/

1

6.5. Korrigált szezonális eltérés

lineáris trend esetén

sss jj

6.6. Szezonindex exponenciális trend esetén

pn

y

y

s

pn

i ij

ij

j/

ˆ

/

1

6.7. Korrigált szezonindex exponenciális trend esetén

s

ss

j

j

ÉVEK=i

SZEZONOK=j (szezonfajták száma p)

j=1 j=2 j=3 …

i=1 11

y 21

y 31

y 41

y

i=2 12

y 22

y 32

y 42

y

i=3 13

y 23

y 33

y 43

y

… 14

y 24

y 34

y 44

y

statisztika 1. - mateking.hu · statisztika 1. kÉpletgyŰjtemÉny alapfogalmak egy ismérv...

Documents