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Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 5
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Kontexte / unverbindliche Beispielaufgaben
Arithmetik / Algebra
Die SuS stellen natürliche Zahlen als Ziffernfolge, in der
Stellenwerttafel und auf dem Zahlenstrahl dar
lesen und schreiben große Zahlen in Wortform, ordnen, vergleichen und runden Zahlen
führen mit natürlichen Zahlen die Grundrechen-arten schriftlich und im Kopf aus
messen und schätzen Größen
können Anzahlen auf systematische Weise bestimmen
führen einfache Umrechnungen von Größen-angaben (Längen, Gewichten, Zeitdauern) in andere Einheiten durch
können Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten darstellen
verwenden die Fachterminologie
erweitern ihre Zahlbereichskenntnisse auf ganze Zahlen (Zahlengerade)
führen mit ganzen Zahlen die Grundrechenarten schriftlich und im Kopf aus
wenden ihre Kenntnisse der Rechengesetze an, um mehrgliedrige Terme zu berechnen
nutzen Rechenvorteile
führen Überschlagsrechnungen aus (auch zur Probe als Ergebniskontrolle)
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe,
Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen
Problemlösen
geben inner- und außermathematische Problem-stellungen in eigenen Worten wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen
finden in einfachen Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen
ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen
nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren zum Lösen von anschaulichen Alltagsproblemen
wenden Problemlösestrategien an ( „Überprüfen durch Probieren“, „Beispiele finden“)
deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung
übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Terme, Figuren, Dia-gramme) und umgekehrt
Themen (Lambacher Schweizer 5)
Natürliche Zahlen
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Ganze Zahlen
Aufgaben (Lambacher Schweizer 5)
S. 105 Nr. 3
„Umrechnen Stunden in Minuten“ (Anhang 5.1) S. 105 Nr. 8
„Einkauf“ (Anhang 5.2) S. 110 Nr. 12
„Überschlag“ (Anhang 5.3) S. 204 Nr. 2, S. 207 Nr. 7
„Rechenbäume“ (Anhang 5.4) S. 205 Nr. 5, 6
„Hier fehlen Klammern“ (Anhang 5.5) S. 211 Nr. 5, S. 206 Nr. 14
„Vorfahrtsregeln“ (Anhang 5.6)
Geometrie
Die SuS
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren
Themen (Lambacher Schweizer 5)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 5
verwenden die Grundbegriffe Punkt, Gerade,
Strecke, Seite, Diagonale, Abstand, Radius, parallel, orthogonal, achsensymmetrisch und punktsymmetrisch zur Beschreibung ebener Figuren
prüfen Eigenschaften der Parallelität und Orthogonalität mit dem Geo-Dreieck
benennen und charakterisieren grundlegende ebene Figuren: Rechteck, Quadrat, Parallelo-gramm, Raute, Trapez, Kreis, Dreieck und identifizieren sie
zeichnen grundlegende ebene Figuren: parallele und orthogonale Geraden, achsensymmetrische und punktsymmetrische ebene Figuren, Rechtecke, Quadrate, Parallelogramme und Kreise im zwei-dimensionalen Koordinaten-systems
können einfache ebene Figuren zeichnerisch spiegeln
benennen und charakterisieren die Grundkörper: Quader, Würfel und identifizieren sie
skizzieren Schrägbilder von Quadern
prüfen und entwerfen Netze von Würfeln und Quadern und stellen die Körper her
schätzen und bestimmen Flächeninhalte von Rechtecken, Parallelogrammen, Dreiecken und daraus zusammengesetzten Figuren sowie deren Umfang
schätzen und bestimmen Volumina und Oberflächen von Quadern und Würfeln im Sachzusammenhang
stellen sie in geeigneten Einheiten dar und wandeln die Einheiten entsprechend um
setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (Produkt und Rechtecksfläche, Quadrat und Rechteck, Quadrat und Würfel, Rechteck und Quader)
sprechen über eigene Lösungswege, finden und korrigieren Fehler
nutzen verschiedene Arten des Begründens intuitiv: Beschreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegungen
präsentieren Ideen und Lösungen in kurzen Beiträgen und können Beispiele oder Gegen-beispiele anbringen
Werkzeuge
nutzen Geodreieck und Zirkel
nutzen Präsentationsmedien (Folie, Plakat, Tafel)
dokumentieren ihre Arbeit / ihre Lernergebnisse im Merksatzheft
nutzen das Merksatzheft und das Schulbuch zum Nachschlagen
Symmetrie
Flächen
Körper
Aufgaben (Lambacher Schweizer 5)
S. 68 Nr. 1 „Fünfeckspiegelung“ (Anhang 5.7) S. 66 Nr. 5 „Punktspiegelung“ (Anhang 5.8) S. 69 Nr. 9 „Symmetrieachsen“ (Anhang 5.9) S. 68 Nr. 10 „Strecken“ (Anhang 5.10) S. 139 Nr. 3 „Dreiecke und Parallelogramme“
(Anhang 5.11) S. 126 Nr. 18, 19 „Flächeninhalte umrechnen”
(Anhang 5.12) S. 172 Nr. 9 „Neues Zimmer“ (Anhang 5.13) S. 167 Nr. 7 „Streichhölzer“ (Anhang 5.14) S. 169 Nr. 17 „Schornsteine“ (Anhang 5.15) S. 168 Nr. 12 „Quader“ (S.168 Nr.12, Anhang
5.16)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 5
Fördern/Fordern:
Die Hauptfächer M, D, E erhalten eine Stunde zusätzlich, um die SuS gezielt zu fördern und / oder zu fordern. Diese Plus-Stunden werden im
Stundenplan auch als solche aufgeführt, da sie Ergänzungen des Fachunterrichts sind, in denen die Fachlehrkräfte im Sinne einer inneren
Differenzierung bei der Sicherung und Vertiefung des Stoffes helfen. Dort werden auch fachspezifische Methoden und selbstständiges Arbeiten
vermittelt.
Stochastik
Die SuS lesen und interpretieren statistische Tabellen und
Diagramme
erheben Daten und fassen sie als Ur- bzw. Strichliste zusammen
erstellen Häufigkeitstabellen
veranschaulichen Häufigkeiten in Säulen- diagrammen
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren geben Informationen aus einfachen
mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild und Tabelle) wieder
arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team, sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege, Ergebnisse und Darstellungen, finden Fehler, erklären und korrigieren
präsentieren Ergebnisse
Modellieren übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in
mathematische Modelle
überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation
ordnen einem mathematischen Modell (Dia-gramm) eine passende Realsituation zu
Themen (Lambacher Schweizer 5)
Natürliche Zahlen (Zählen und Darstellen)
Aufgaben (Lambacher Schweizer 5)
S. 14 Nr. 1
„So alt können Tiere werden“ (Anhang 5.17) S. 25 Nr. 24
„Streit vor dem Abendessen“ (Anhang 5.18)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 6
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Kontexte / unverbindliche Beispielaufgaben
Arithmetik /Algebra
Die SuS stellen endliche (positive und negative)
Dezimalzahlen an der Zahlengerade dar, runden sie und führen Grundrechenarten aus
stellen Brüche auf verschiedene Weise dar (auch gemischte Schreibweise), ordnen und vergleichen sie, deuten sie als Größen, Verhältnisse und Anteile und führen Grundrechenarten aus
nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns von Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung
können Bruchzahlen der Größe nach ordnen
bestimmen Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begrün-
dens (Beschreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegungen, Angeben von Beispie-len oder Gegenbeispielen)
sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege, Ergebnisse und Darstellungen, finden, erklären und korrigieren Fehler
erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und Fachbegriffen
wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen und Größen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, Techniken des Überschlagens und die Probe als Rechenkontrolle
arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team
Themen (Lambacher Schweizer 6)
Rationale Zahlen
Addition und Subtraktion
Multiplikation und Division
Lösungsstrategien entwickeln
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 6
wenden Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9 und 10 an
deuten Dezimalzahlen und Prozentzahlen als andere Darstellungsform der Brüche
führen Umwandlungen zwischen Dezimal-, Bruch- und Prozentzahlen durch
führen die Grundrechenarten mit rationalen Zahlen aus
ordnen, vergleichen und runden Dezimalbrüche
wenden arithmetische Kenntnisse von Zahlen und Größen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, die Techniken des Überschlagens und die Probe als Rechenkontrolle
stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten dar
Problemlösen
wenden die Problemlösestrategien „Beispiele finden" und „Überprüfen durch Probieren"
ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen
nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschaulichen Alltagsproblemen
deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung
geben inner- und außermathematische Problem-stellungen in eigenen Worten wieder
Modellieren
übersetzen Situationen aus Sachaufgaben (Terme, Figuren, Diagramme)
überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation
ordnen einem mathematischen Modell (Dia-gramm) eine passende Realsituation zu
Aufgaben (Leitidee Zahl)
„U-Bahn-Station“ (Anhang 6.1)
(Brüche, Prozente, Verhältnisse) „Zahlenmauer“ (Anhang 6.2)
(Addition von Brüchen, Prozentzahlen, Dezimalzahlen)
„Balkenwaage“ (Anhang 6.3) (Problemlösen, Addition von Brüchen)
„Geschickter Rechner“ (Anhang 6.4) (geschicktes Rechnen mit Dezimalzahlen, Brüchen)
„Auf dem Bau“ (Anhang 6.5) (Prozentrechnung)
Kompetenztest 1 Mathematik, Klasse 5 / 6, S. 16 / 17 (Klett-Verlag)
Lambacher Schweizer 6, Arbeitsheft, Training 1 S. 22, Training 2 S. 46f, Training 3 S.61ff
Lambacher Schweizer 6, S. 50 Nr. 20 (kgV / ggT)
Geometrie / Algebra
Die SuS
schätzen und bestimmen Winkel, klassifizieren sie und können sie zeichnen
zeichnen grundlegende ebene Figuren (Kreise) und benennen besondere Kreislinien und Kreisteile
zeichnen Kreisfiguren
wenden Grundkenntnisse der Geometrie in Sachzusammenhängen an
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe,
Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und Fachbegriffen
setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (Länge, Fläche, Umfang und Volumen)
Werkzeuge
nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen und genauen Zeichnen
dokumentieren ihre Arbeit und Lernprozesse in einem Merksatzheft
nutzen Präsentationsmedien (Folie, Plakat, Tafel)
Themen (Lambacher Schweizer 6)
Winkel und Kreis
Aufgaben (Leitidee Raum und Form)
„Rettungshubschrauber“ (Anhang 6.6)
(Abstand, Länge, Winkel) „Kirchenfenster“ (Anhang 6.7)
(Werkzeuge, Zeichnen) Kompetenztest 1 Mathematik, Klasse 5 / 6
S. 28 / 29 (Klett-Verlag)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 6
Funktionen
Die SuS
lesen Informationen aus Tabellen und Diagrammen in einfachen Sachzusammen-hängen ab
stellen Beziehungen zwischen Zahlen/Größen in Tabellen und Diagrammen dar
erkennen Muster in Beziehungen
nutzen gängige Maßstabsverhältnisse
Die SuS
Modellieren ordnen einem mathematischen Modell (Figur)
eine passende Realsituation zu
Themen (Lambacher Schweizer 6)
Beziehungen zwischen Zahlen und Größen
Aufgaben (Leitidee funktionaler Zusammenhang)
Kompetenztest 1 Mathematik, Klasse 5 / 6 S.
34 / 35 (Klett-Verlag)
Stochastik
Die SuS erheben Daten und fassen sie in Ur- und
Strichlisten zusammen
stellen Häufigkeitstabellen zusammen und veranschaulichen diese mithilfe von Säulen- und Kreisdiagrammen
bestimmen absolute und relative Häufigkeiten, arithmetische Mittel und Median
lesen und interpretieren statistische Dar-stellungen
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren geben Informationen aus einfachen mathematik-
haltigen Darstellungen (Text, Bild und Tabelle) mit eigenen Worten wieder
nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begründens (Beschreiben und Beobachten, Plausibilitätsüberlegungen, Angeben von Beispielen und Gegenbeispielen)
arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team
präsentieren Ergebnisse
Modellieren übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in
mathematische Modelle
überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation
ordnen einem mathematischen Modell (Dia-gramm) eine passende Realsituation zu
Werkzeuge
nutzen mathematische Werkzeuge (Taschen-rechner, Tabellenkalkulation)
Themen (Lambacher Schweizer 6)
Daten erfassen, darstellen und interpretieren
Aufgaben (Leitidee Daten und Zufall)
„Sauer macht lustig“ (Anhang 6.8)
(Mittelwert, Boxplot) „Fauler Statistiker“ (Anhang 6.9)
(Argumentieren, Kreisdiagramm, Boxplot) Kompetenztest 1 Mathematik, Klasse 5 / 6
S. 40 / 41 (Klett-Verlag)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 6
Kompetenzaufgaben
6.1 Kompetenzaufgabe „U-Bahn“ Lisa hat am Samstagvormittag eine Umfrage an der U-Bahn-Station gemacht. Sie hat insgesamt 50 Personen gefragt, mit welchen Verkehrsmitteln sie zur Arbeit fahren. 25 Personen benutzen ihr Auto, 5 fahren mit dem Fahrrad, 15 fahren mit öffentlichen Verkehrsmitteln und 5 gehen immer zu Fuß.
a) Bestimme die jeweiligen Anteile als Bruch. b) Wie ist das Verhältnis „Personen, die mit dem Auto fahren“ zu den übrigen? Gib auch als
Bruch und in Prozentangabe an. c) Weniger als 30% der befragten Personen fahren weder mit dem Auto noch mit öffentlichen
Verkehrsmitteln. Stimmt das? Begründe. d) Sie ermittelt folgendes Verhältnis: 5:1:1:3. Erkläre. e) Bestimme das Verhältnis „Personen, die öffentliche Verkehrsmittel benutzen“ zu denen, die
auf andere Art zur Arbeit kommen. Gib auch als Bruch und in Prozent an. f) Gib das Verhältnis „Fußgänger und Fahrradfahrer“ zu denen an, die anders zur Arbeit
kommen. g) Formuliere als Bruch, in Prozent und als Verhältnis: Wie viele der befragten Personen ver-
halten sich durch die Art, wie sie zur Arbeit gelangen, umweltbewusst?
6.2 Kompetenzaufgabe „Zahlenmauer“
a) Zeichne die Zahlenmauer in Dein Heft. Beschrifte die Steine anschließend so, dass in je-dem Stein die Summe der Brüche der Steine steht, auf dem der Stein liegt.
b) Vergleiche anschließend mit Deinem Partner eure Zahlenmauern. In welchen Bereichen stimmen die Zahlen überein? In welchen unterscheiden sie sich?
6.3 Kompetenzaufgabe „Balkenwaage“
Die Schachteln neben der Waage sollen so verteilt werden, dass die Waage im Gleichgewicht ist. Wie viele Möglichkeiten findest Du?
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 6
6.4 Kompetenzaufgabe „Geschickte Rechner“ Berechne möglichst geschickt!
6.5 Kompetenzaufgabe „Auf dem Bau“
Eine Betonmischung enthält 1
5 Zement,
2
5 Sand,
2
7 Kies, der Rest ist Wasser.
a) Wie viel kg Zement, Sand und Kies benötigt man für 1
32
t Beton?
b) Wie viel Liter Wasser gehören in die Mischung?
6.6 Kompetenzaufgabe „Rettungshubschrauber“
In Stuttgart ist ein Rettungshubschrauber stationiert, der im Umkreis von 60 km alle Notfälle anfliegen kann.
a) Welche größeren Orte liegen im Einsatzgebiet des Helikopters? b) Der Hubschrauber fliegt von Stuttgart nach Kirchheim und dann weiter nach Tübingen. Um
welchen Winkel muss der Hubschrauber über Kirchheim drehen? c) In welche Himmelsrichtung muss der Hubschrauber starten, wenn sein Einsatzgebiet in
Reutlingen bzw. Ludwigsburg liegt?
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 6
d) Der Helikopter startet in Stuttgart und fliegt 50 km Richtung Norden. Nach einer Drehung um 60° Richtung Osten werden 18 Flugkilometer absolviert. Dann wird um 50° in gleicher Richtung gedreht und ungefähr 20 km geflogen. Wo befindet sich der Hubschrauber?
e) Gib eine eigene Flugroute an, die dein Partner auf der Karte verfolgen kann.
6.7 Kompetenzaufgabe „Kirchenfenster“
In Kirchen und alten Klöstern findet man speziell gestaltete Fenster, in denen Kreise und Kreisfiguren zu finden sind. Nach der Anzahl der inneren Kreise nennt man diese Dreipass, Vierpass und Sechspass.
a) Zeichne die Grundfiguren in Dein Heft. b) Entwirf mit den Grundfiguren ein eigenes Kirchenfenster.
6.8 Kompetenzaufgabe „Sauer macht lustig“ Italienische und argentinische Zitronen werden in Beuteln zum gleichen Preis angeboten. Ein Käufer legt einige Beutel auf die Waage: Sorte A: 526g; 554g; 516g; 500 g; 526g; 516g; 516g; 510 g; 544g; 534g. Sorte B: 528g; 532g; 502g; 420g; 510 g; 540 g; 492 g; 492 g; 572 g; 522 g; 522 g; 516 g; 520 g; 518 g; 496 g; 524 g; 530 g.
a) Bei welcher Sorte bekommt man im Mittel mehr Zitronen fürs Geld? Wie viel mehr? b) Zeichne zu den Gewichten je einen Boxplot. Und gib dann an, welche Sorte zu welchem
Etikett gehört. Kommentiere deine Überlegungen. 6.9 Kompetenzaufgabe „Fauler Statistiker“ Ein Statistiker sollte im Auftrag einer Zeitschrift untersuchen, wie viel Taschengeld 12-Jährige monatlich bekommen. Er hat sich kaum Arbeit gemacht und nur sehr wenige Kinder befragt.
a) Welches der Diagramme wird er vermutlich nutzen, um den kleinen Stichprobenumfang (also seine „Faulheit") zu vertuschen? Warum?
b) Könnte er seinen mangelnden Fleiß auch durch einen Boxplot vertuschen? Zeichne!
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 7
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Kontexte / unverbindliche Beispielaufgaben
Funktionen
Die SuS
Prozente / Zinsen berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grund-
wert in Realsituationen (auch Zinsrechnung)
Zuordnungen interpretieren Graphen von Zuordnungen und
Terme linearer funktionaler Zusammenhänge
stellen Zuordnungen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Graphen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen
identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen
wenden die Eigenschaften von proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer Problem-stellungen an
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graph), strukturieren und bewerten sie
ziehen Informationen aus einfachen authen-tischen Texten (z. B. Zeitungsberichten) und ma-thematischen Darstellungen, analysieren und beurteilen die Aussagen
geben Ober- und Unterbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an (z. B. Proportionalität)
setzen Begriffe und Verfahren miteinander in Beziehung (z. B. Gleichungen und Graphen)
Problemlösen
nutzen verschiedene Darstellungsformen (z. B. Tabellen, Skizzen, Gleichungen)
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und stellen Vermutungen auf
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen, Überschlagsrech-nungen oder Skizzen
Modellieren
übersetzen einfache Realsituationen in mathe-matische Modelle (Zuordnungen, Gleichungen)
ordnen einem mathematischen Modell (Tabelle, Graph, Gleichung) eine passende Realsituation zu
Werkzeuge
nutzen den Taschenrechner
Aufgaben (Lambacher Schweizer 7)
Prozente / Zinsen
S. 25 Nr. 5 (unterjährige Zinsen) S. 27 Nr. 1 (Zinseszinsen, Wachstumsfaktor) S. 27 Nr. 4 (Wachstumsfaktor, Anlagedauer) S. 29 Nr. 4 (Zerlegen in Teilprobleme) S. 31 Nr. 13 (Mehrwertsteuer, Skonto) S. 33 Nr. 7
(Texte lesen, interpretieren, Stellung nehmen) S. 33 Nr. 8
(Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz, Raten, Zinseszins)
Zuordnungen
S. 74 Nr. 3 (Argumentieren, Graphen zeichnen) S. 75 Nr. 9 (Beschreiben, Analysieren) S. 78 Nr. 4
(Zuordnung aufstellen, Graphen zeichnen, Stellung nehmen)
S. 84 Nr. 11 (Argumentieren, Dreisatz) S. 89 Nr. 7 (antiproportionale Zuordnung) S. 93 Nr. 7 (lineare Zuordnung) S. 95 Nr. 11 (Aufstellen linearer Zuordnungen) S, 96 Nr. 16
(proportionale Zuordnung, Steigung, Ausgleichs-gerade, Modellieren)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 7
tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mithilfe einer Tabellenkalkulation dar
Stochastik
Die SuS planen Datenerhebungen, führen sie durch und
nutzen zur Erfassung auch eine Tabellen-kalkulation
benutzen relative Häufigkeiten von langen Versuchsreihen zur Schätzung von Wahr-scheinlichkeiten
bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Laplace-Regel
verwenden ein- oder zweistufige Zufallsver-suche zur Darstellung zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen
veranschaulichen ein- und zweistufige Zufalls-experimente mithilfe von Baumdiagrammen
nutzen Median, Spannweite und Quartile zur Darstellung von Häufigkeitsverteilungen als Boxplots
interpretieren Spannweite und Quartile in statistischen Darstellungen
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graph) strukturieren und bewerten sie
Problemlösen
planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zah-len und Figuren und stellen Vermutungen auf
Modellieren
übersetzen einfache Realsituationen in mathe-matische Modelle (Zufallsversuche)
Werkzeuge
nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellen-kalkulation) zum Erkunden und Lösen mathe-matischer Probleme
nutzen den Taschenrechner
Aufgaben (Lambacher Schweizer 7)
S. 48 Nr. 1
(absolute / relative Häufigkeiten, Schätzungen) S. 52 Nr. 5 (Laplace, Summenregel) S. 53 Nr. 11
(Baumdiagramme mit / ohne Zurücklegen, Pfadregel)
S. 57 Nr. 6 (Schätzen, Simulieren, Boxplot) S. 61 Nr. 6 (Simulation, Erwartungswert)
Arithmetik / Algebra
Die SuS
stellen Terme auf, fassen sie zusammen, multi-plizieren sie aus und faktorisieren sie mit einem einfachen Faktor
lösen lineare Gleichungen und lineare Glei-chungssysteme mit zwei Variablen sowohl durch
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graph)
erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren (Rechenverfahren, Algorithmen) mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen
Aufgaben (Lambacher Schweizer 7)
Terme / Gleichungen
S. 111 Nr. 6 (Aufstellen von Termen, Argumentieren)
S. 117 Nr. 2 (Faktorisieren) S. 118 Nr. 8
(Argumentieren, Distributiv- / Kommutativgesetz)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 7
Probieren als auch algebraisch und graphisch und nutzen die Probe als Rechenkontrolle
verwenden ihre Kenntnisse über lineare Gleichungen und linearer Gleichungssysteme zur Lösung inner- und außermathematischer Probleme
vergleichen und bewerten Lösungswege und Darstellungen
präsentieren Lösungswege und Problembear-beitungen in kurzen, vorbereiteten Vorträgen und Beiträgen
setzen Begriffe und Verfahren miteinander in Beziehung (z. B. Gleichungen und Graphen, Gleichungssysteme und Graphen)
Problemlösen
planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zah-len und Figuren und stellen Vermutungen auf
nutzen Algorithmen zum Lösen mathematischer Standardaufgaben und bewerten ihre Praktikabilität
überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungswege
nutzen verschiedene Darstellungsformen (z. B. Graphen, Skizzen, Gleichungen) zur Problem-lösung
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen, Überschlagsrech-nungen oder Skizzen
überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit
Modellieren
übersetzen einfache Realsituationen in mathe-matische Modelle (Gleichungen, Gleichungs-systeme
S. 123 Nr. 10 (Aufstellen / Lösen von Gleichungen, Rechengesetze)
S. 127 Nr. 4 (Aufstellen / Lösen von Gleichungen, Modellieren, Problemlösen)
S. 129 Nr. 12 (Aufstellen / Lösen von Gleichungen, Modellieren, Problemlösen)
S. 133 Nr. 10 (Gleichungen mit keiner / einer Lösung, allgemeingültige Gleichungen)
Systeme lineare Gleichungen
S. 190 Erkundung 4 (algebraische / graphische Lösung von Gleichungssystemen, Argumentieren, Problemlösen)
S. 194 Nr. 7 (Aufstellen / Lösen linearer Gleichungssysteme)
S. 199 Nr. 4 (Einsetzungs- / Gleichsetzungsverfahren, Argumentieren)
S. 202 Nr. 4 (Additionsverfahren, Argumentieren) S. 202 Nr. 7
(Aufstellen von Geradengleichungen, Schnittpunkt von Geraden)
S. 205 Nr. 6 (Aufstellen / Lösen linearer Gleichungssysteme, Informationen aus Texten nutzen)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 7
Geometrie
Die SuS
zeichnen Dreiecke aus gegeben Winkel- und Seitenmaßen
erfassen und begründen Eigenschaften von Figuren mithilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen oder der Kongruenz
begründen Eigenschaften von Figuren mithilfe des Satzes des Thales
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen (Text, Bild)
erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren (Konstruktionen, Algorithmen) mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen
Problemlösen
nutzen Algorithmen zur Lösung mathematischer Standardaufgaben
planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
wenden die Problemlösestrategie „Zurückführen auf Bekanntes“ (Konstruktion von Hilfslinien)
Werkzeuge
nutzen mathematische Werkzeuge (Geometrie-software) zum Erkunden und Lösen mathe-matischer Probleme (Mittelsenkrechte, Winkel- und Seitenhalbierende, Höhe)
nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen und genauen Zeichnen
Aufgaben (Lambacher Schweizer 7)
S. 152 Nr. 1 (Argumentieren, Kongruenzsätze) S. 153 Nr. 4
(Konstruktion von Dreiecken, sss, wsw, sws) S. 154 Nr. 10 (Argumentieren, Ssw) S. 155 Nr. 18 (Basiswinkelsatz) S. 159 Nr. 9
(Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende) S. 161 Nr. 6
(Konstruktion von Umkreis / Inkreis, Geogebra) S. 162 Nr. 8 (GeoGebra, Umkreis, Inkreis) S. 165 Nr. 4
(Scheitel- / Neben- / Stufen- / Wechselwinkel, Argumentieren)
S. 170 Nr. 11 (Innenwinkelsumme, Basiswinkel, Winkel-halbierende etc., Argumentieren)
S. 177 Nr. 9 (Tangenten an Kreise) S. 180 Nr. 21
(Satz des Thales, Winkelbeziehungen, Argumentieren)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 8
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Kontexte / unverbindliche Beispielaufgaben
Arithmetik / Algebra
Die SuS ordnen und vergleichen rationale und irrationale
Zahlen
wenden das Radizieren als Umkehren des Potenzierens an; sie berechnen und überschla-gen Quadratwurzeln einfacher Zahlen im Kopf
fassen Terme zusammen, multiplizieren sie aus und faktorisieren sie mit einem einfachen Faktor
unterscheiden rationale und irrationale Zahlen
o fakultativ: formen Terme mit Quadratwurzeln um
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen
Verfahren (Rechenverfahren, Algorithmen) mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen
nutzen mathematisches Wissen für Begründun-gen, auch in mehrschrittigen Argumentationen
Problemlösen
untersuchen Beziehungen bei Zahlen und stellen Vermutungen auf
nutzen verschiedene Darstellungsformen zur Problemlösung
überprüfen und bewerten Lösungen durch Überschlagsrechnung
Werkzeuge
nutzen den Taschenrechner
Aufgaben (Lambacher Schweizer 8, alt)
S. 14 Nr. 4
(rationale / irrationale Zahlen, Argumentieren) S. 19 Nr. 15
(Irrationalität von √2, indirekter Beweis) S. 27 Nr. 8 a)
(absoluter / relativer Fehler, Argumentieren) S. 30 Nr. 14 (Quadratwurzeln, Diagonalen)
Geometrie / Algebra
Die SuS fassen Terme zusammen, multiplizieren sie aus
und faktorisieren sie mit einem einfachen Faktor
übertragen Vereinfachungs- und Umformungs-strategien zu Termen und Gleichungen auf die Flächen- und Volumenberechnungen zu regel-mäßigen Flächen und Körpern
nutzen binomische Formeln als Rechenstrategie und verwenden sie im Sachzusammenhang der zusammengesetzten Flächen
bestimmen den Flächeninhalt und Umfang von
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen, strukturieren und bewerten sie
erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren (Rechenverfahren, Algorithmen) mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen
vergleichen und bewerten Lösungswege und Argumentationen
präsentieren Lösungswege und Problem-bearbeitungen
geben Unter- und Oberbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an
Kontext Untersuchung und Vergleich von Flächen und Volumina bei uns Zuhause
Aufgaben (Lambacher Schweizer 8, alt)
S. 38 Erkundung 1, Forschungsauftrag 1, 2
(Argumentieren, Distributivgesetz, Verein-fachen von Termen)
S. 39 Erkundung 2 (Zeichnen, Zerlegen in Teilprobleme, Flächen-inhalte von Vielecken)
S. 39 Erkundung 3 (Ermittlung von π, Excel) S. 54 Nr. 2 (Trapez, Argumentieren) S. 58 Nr. 6 (Zerlegen in Teilprobleme)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 8
Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen
schätzen und bestimmen Umfang und Flächen-inhalt von zusammengesetzten Figuren, Kreisen und Kreisteilen
benennen und charakterisieren Prismen und Zylinder und identifizieren sie in ihrer Umwelt
schätzen und bestimmen Oberflächen und Volumina von Prismen und Zylindern
Problemlösen
untersuchen Muster und Beziehungen bei Figuren und stellen Vermutungen auf
planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
nutzen verschiedene Darstellungsformen (Skizzen) zur Lösung eines Problems
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Überschlagsrechnungen
wenden die Problemlösestrategie „Zurückführen auf Bekanntes“ an
zerlegen Probleme in Teilprobleme
Modellieren übersetzen einfache Realsituationen in mathe-
matische Modelle (Gleichungen)
Werkzeuge nutzen den Taschenrechner
nutzen eine Formelsammlung
S. 65 Nr. 5 (Kreis, Kreisteile, Zerlegen in Teilprobleme, Zurückführen auf Bekanntes)
S. 70 Nr. 10 (Prisma / Zylinder, Oberfläche / Volumen, Zerlegen in Teilprobleme, Zurückführen auf Bekanntes)
S. 72 Nr. 11 (Oberfläche / Volumen von Zylindern, Aufstellen von Termen, Argumentieren, Auflösen von Gleichungen nach bestimmten Variablen)
Stochastik
Die SuS
veranschaulichen ein- und mehrstufige Zufallsexperimente mit Hilfe von Baum-diagrammen (teilweisen Baumdiagrammen)
verwenden ein- und mehrstufige Zufalls-experimente zur Darstellung zufälliger Erschei-nungen in alltäglichen Situationen
bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei mehrstu-figen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Diagramm), strukturieren und bewerten sie
erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren (Rechenverfahren, Algorithmen) mit geeigneten Worten und geeigneten Fach-begriffen
Problemlösen
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch
Aufgaben (Lambacher Schweizer 8, alt)
S. 82 Nr. 4 (Baumdiagramm, Gegenereignis) S. 86 Nr. 1 (teilweises Baumdiagramm) S. 91 Nr. 8 (Binomialverteilung, Argumentieren) S. 93 Nr. 9 (Baumdiagramm, Pfadregel)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 8
bestimmen Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen, die aus mehreren Ergebnissen bestehen, mit der Summenregel
nutzen das Gegenereignis zur Lösung mathematischer Probleme
nutzen Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung von Chancen und Risiken und zur Schätzung von Häufigkeiten
bestimmen die Binomialverteilung zu binomial-verteilten Zufallsgrößen
nutzen das pascalsche Dreieck zur Bestimmung der Binomialkoeffizienten
analysieren grafische statistische Darstellungen kritisch und erkennen Manipulationen
Plausibilitätsüberlegungen
überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit
Zerlegen Probleme in Teilprobleme
Modellieren übersetzen einfache Realsituationen in mathe-
matische Modelle (Zufallsversuche)
ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
Werkzeuge
nutzen den Taschenrechner
nutzen Schulbücher und das Internet (online-Lexika) zur Informationsbeschaffung
Funktionen
Die SuS
stellen lineare und quadratische Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Graphen und in Termen dar, wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen ihre Vor- und Nachteile
interpretieren Graphen von Zuordnungen und die Terme linearer Zusammenhänge
deuten die Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung und nutzen dies in Anwendungssituationen
wenden lineare und quadratische Funktionen zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an
bestimmen die Funktionsgleichung quadratischer
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren ziehen Informationen aus mathematikhaltigen
Darstellungen, analysieren, strukturieren und bewerten sie
erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren (Rechenverfahren, Algorithmen) mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen
vergleichen und bewerten verschiedene Lösungswege und Darstellungen für eine Realsituation
setzen Begriffe und Verfahren miteinander in Beziehung (Gleichungen und Graphen, Gleichungssysteme und Graphen)
Problemlösen
nutzen Algorithmen zum Lösen mathematischer Standardaufgaben und bewerten ihre
Aufgaben (Lambacher Schweizer 8, alt)
S. 122 Nr. 12
(Scheitelpunkt, Lösen quadratischer Gleichungen)
S. 127 Nr. 9 (Aufstellen quadratischer Gleichungen in Normalform, Problemlösen)
S. 131 Nr. 7 (Aufstellen von quadratischen Gleichungen, Modellieren, GeoGebra)
S. 134 Nr. 6 (lineare Funktionen, Zweipunkteform, quadratische Funktionen, Argumentieren)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik - Klasse 8
Funktionen mithilfe linearer Gleichungssysteme (insbesondere mit dem Additionsverfahren)
Praktikabilität
nutzen verschiedene Darstellungsformen zur Problemlösung
können Funktionsgleichungen sinnvoll verändern (Normalform, Scheitelpunktsform) und hierbei den Einfluss der Parameter deuten
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen oder Skizzen
überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit
Modellieren
übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle und können sie durch Parabelgleichungen oder lineare Gleichungen ausdrücken
überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell
ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
Werkzeuge
nutzen mathematische Werkzeuge (Funktionen-plotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme
nutzen den Taschenrechner
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik – Klasse 9
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Kontexte / unverbindliche Beispielaufgaben
Funktionen / Algebra
Die SuS
Weiterführung aus der Jahrgangsstufe 8:
lösen quadratische Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und der pq-Formel
o fakultativ: Satz von Vieta, abc-Formel
verwenden ihre Kenntnisse über quadratische Gleichungen zum Lösen inner- und außer-mathematischer Probleme
wenden lineare und quadratische Funktionen zur Lösung außer– und innermathematischer Problemstellungen an
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren überprüfen und bewerten individuelle Problem-
lösestrategien
erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen
Problemlösen
vergleichen Lösungswege und Problemlöse-strategien und bewerten sie
Modellieren
übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle (Tabelle, Graphen, Terme)
vergleichen und bewerten verschiedene mathe-matische Modelle für eine Realsituation
finden zu einem mathematischen Modell passende Realsituationen
Werkzeuge
nutzen mathematische Werkzeuge (Funktionen-plotter) zum Erkunden und Lösen mathe-matischer Probleme
wählen ein geeignetes Werkzeug (Taschen-rechner, Funktionenplotter) aus und nutzen es
Aufgaben (Lambacher Schweizer 9)
S. 21 Nr. 11, S. 31 Nr. 13
(Aufstellung von Funktionsgleichungen Scheitelpunkt- / Normalform)
S. 34 Nr. 4 (Optimierungsproblem) S. 37 Nr. 3
(Nullstellen, Scheitelpunkt, GeoGebra)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik – Klasse 9
Geometrie
Die SuS
Ähnlichkeit / Zentrische Streckung / Strahlensätze
vergrößern und verkleinern einfache Figuren maßstabsgetreu
beschreiben und begründen Ähnlichkeits-beziehungen geometrischer Objekte und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen
verwenden die Strahlensätze zur Lösung geometrischer Probleme
Figuren und Körper
benennen und charakterisieren Körper (Kegel, Pyramiden, Kugeln) und identifizieren sie in ihrer Umwelt
skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Zylindern, Pyramiden und Kegeln und stellen die Körper her
schätzen und bestimmen Oberflächen und Volumina von Pyramiden, Kegeln und Kugeln
berechnen geometrische Größen und verwenden dazu den Satz des Pythagoras, den Höhen- und den Kathetensatz und die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck und begründen Eigenschaften von Figuren mithilfe des Satzes des Thales
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren nutzen mathematisches Wissen und mathe-
matische Symbole für Begründungen und Argumentationsketten
überprüfen und bewerten Problemlösestrategien
Problemlösen zerlegen Probleme in Teilprobleme
vergleichen Lösungswege und Problemlöse-strategien und bewerten sie
wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“ an
Modellieren
übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle
Werkzeuge
wählen ein geeignetes Werkzeug („Bleistift und Papier“, Taschenrechner, Geometriesoftware) aus und nutzen es
benutzen die Formelsammlung
Aufgaben (Lambacher Schweizer 9)
S. 46 Nr. 2 (Ähnlichkeit) S. 54 Nr. 9 (Zentrische Streckung mit GeoGebra) S. 57 Nr. 8 (Ähnlichkeit, Argumentieren) S. 62 Nr. 12-14 (1., 2., erweiterter Strahlensatz)
o fakultativ: S. 63 Nr. 5, S. 64 Nr. 9, 10 S. 77 Nr. 11, 15 (Satz des Pythagoras) S. 78 Nr. 21 (Längenberechnung) S. 81,Nr. 6 (Höhen-, Kathetensatz) S. 85 Nr. 11 (Pythagoras in Körpern) S. 97 Nr. 6 (Vorwärts-, Rückwärtsrechnen) S. 101 Nr. 13
(Pythagoras in Körpern, Volumina, Oberflächen)
Arithmetik / Algebra
Die SuS
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren erläutern mathematische Zusammenhänge und
Aufgaben (Lambacher Schweizer 9)
S. 113 Nr. 19 (Zehnerpotenzen)
Städtisches Lindengymnasium - Schulinternes Curriculum Mathematik – Klasse 9
lesen und schreiben Zahlen in wissen-schaftlicher und in Zehnerpotenz-Schreibweise und erläutern die Potenzschreibweise mit ganzzahligen Exponenten
vereinfachen Terme mit Potenzen mithilfe der Potenzgesetze
o fakultativ: lösen einfache Potenzgleichungen
Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen
Problemlösen
vergleichen Lösungswege und Problemlöse-strategien und bewerten sie
Werkzeuge
nutzen den Taschenrechner
S. 123 Nr. 6 (exponentielles Wachstum)
Funktionen
Die SuS wenden exponentielle Funktionen zur Lösung
außer- und innermathematischer Problemstel-lungen aus dem Bereich Zinseszins an
stellen die Sinusfunktion mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Graphen und in Termen dar
verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung einfacher periodischer Vorgänge
Die SuS
Argumentieren / Kommunizieren erläutern mathematische Zusammenhänge und
Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen
nutzen mathematisches Wissen und mathe-matische Symbole für Begründungen und Argumentationsketten
überprüfen und bewerten Problemlösestrategien
Problemlösen zerlegen Probleme in Teilprobleme
vergleichen Lösungswege und Problemlöse-strategien und bewerten sie
Modellieren
übersetzen einfache Realsituationen in mathe-matische Modelle
finden zu einem mathematischen Modell passende Realsituationen
Werkzeuge
wählen ein geeignetes Werkzeug (Taschen-rechner, Funktionenplotter) aus und nutzen es
wählen geeignete Medien für die Dokumentation
Aufgaben (Lambacher Schweizer 9)
S. 143 Nr. 5 (Zinseszinsen) S. 145 Nr. 9 (Zinseszinsen) S. 161 Nr. 9 (Sinus, Kosinus, Tangens) S. 166 Nr. 10 (Problemlösen) S. 167 Nr. 14
(außermathematische Probleme lösen) S. 177 Nr. 5 (periodische Vorgänge) S. 180 Nr. 10
(Berechnungen an Dreiecken, periodische Vorgänge)
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