sÉries infinitas definição -...
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MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2
SÉRIES INFINITAS
A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele frequentemente integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e integrava cada termo da série. Muitas das funções que surgem em física, matemática e química são definidas como somas de séries. Definição: Uma série infinita (ou simplesmente uma série) é uma expressão que representa uma soma de números de uma sequência infinita, da forma:
ou
onde: - cada número é um termo da série ( ); - é o n-ésimo termo ou termo geral da série. Sequência de somas parciais de uma série: Definição: (i) A k-ésima soma parcial da série é: (ii) A sequência de somas parciais da série é: Logo: Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: n-ésima soma parcial: Exemplo 1: Série infinita: 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + ... =
Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: Sequência de somas parciais
2
Exemplo 2: Série infinita: Os cinco primeiros termos da série infinita:
são os seguintes: Primeira soma parcial:
Segunda soma parcial:
Terceira soma parcial:
Quarta soma parcial:
Quinta soma parcial:
A sequência de somas parciais parece se aproximar de 2 como um limite; por exemplo, a 25o soma parcial é:
.
Não é difícil verificar que a sequência de somas parciais realmente converte para o limite 2. Parece natural definir a "soma" da série como sendo 2 e escrever:
Série convergente: Definição: Uma série é convergente (ou converge) se a sua sequência de somas parciais converge:
para algum número real S O limite S é a soma da série :
Série divergente: Definição: Uma série é divergente (ou diverge) se a sua sequência de somas parciais diverge. Uma série divergente não tem soma. Exemplo 3: Dada a série:
a) Ache
3
b) Ache
Obs: A série
é chamada de Série Telescópica.
Por meio de frações parciais:
A n-ésima soma parcial da série:
+ ....+
+
Reagrupando, vemos que todos os termos, exceto o primeiro e o último, cancelam-se. Logo,
c) Mostre que a série converge e ache a sua soma:
Assim, a série converge e tem por soma 1.
De acordo com a definição anterior de convergência:
Exemplo 4: Dada a série:
a) Ache
b) Ache
c) Mostre que a série diverge
Como a sequência de somas parciais oscila entre 1 e 0, segue-se que NÃO EXISTE,
logo, a série diverge.
4
Série Harmônica
Definição: A série harmônica é a série divergente:
Demonstração:
Similarmente:
Em geral,
Isso mostra que quando e assim é divergente. Logo, a série harmônica diverge.
Teorema 1 - Teorema da Série Geométrica
Definição: seja a série geométrica
(i) Converge e tem por soma:
se .
(ii) Diverge se .
Demonstração: Se , . A série diverge pois não existe. Se , A sequência de somas parciais oscila entre a e 0 e a série diverge. Se ,
(1) e
(2) Subtraindo (1) e (2), temos
Dividindo por ,
Consequentemente,
=
De acordo com a propriedade (8) dos limites (vide material de sequências),
(i) se
. Assim,
e a série converge.
(ii) se
não existe, consequentemente,
não existe e a série diverge.
5
Exemplo 3: Dada a série geométrica:
Prove que a série converge e ache a sua soma. Solução: Da série geométrica: . Do teorema da série geométrica, como a série converge e tem por soma:
Assim,
Isso justifica a notação decimal periódica
Exemplo 4: Prove que a série geométrica converge e ache a sua soma:
A série geométrica converge com e
, pois
Do Teorema 1:
.
Teorema 2 - Termo de ordem
Se uma série é convergente, seu termo de ordem , , tem por limite 0 quando tende a infinito:
Demonstração: n-ésimo termo da série: Se é a soma da série então sabemos que e também . Assim,
MAS se , a série NÃO NECESSARIAMENTE converge! (Exemplo, a série harmônica). Teorema 3 - Termo de (i) Se então a Série é Divergente. (ii) Se : Verificar se a série é Convergente ou Divergente.
Exemplo 5: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Diverge.
Exemplo 6: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Converge ou Diverge? Verificar!
6
Exemplo 7: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Converge ou Diverge? Verificar!
Exemplo 8: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Diverge.
Teorema 4- Convergência ou Divergência de duas séries Se são séries tais que para todo , onde é um inteiro positivo, então ambas
as séries convergem ou divergem. e Teorema 5- Convergência ou Divergência de duas séries com dois índices iniciais diferentes Para qualquer inteiro positivo , as séries:
e
São ambas convergentes ou divergentes. Obs: a série se obtém de
suprimindo-se os primeiros termos.
Exemplo 9: Mostre que a série abaixo converge:
Solução: Observa-se que esta série é obtida pela supressão dos dois primeiros termos da série telescópica (do Exemplo 3) que é convergente. De acordo com o Teorema 5, a série dada converge!
Para verificar, usar frações parciais:
logo,
e
Teorema 6- Operações de séries Se e são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: (i) converge e tem por soma A + B. (ii) converge e tem por soma cA, para todo número real c. (iii) converge e tem por soma A-B. Se diverge, então também diverge, para todo .
7
Exemplo 10: Mostre que a série abaixo converge e ache a sua soma.
Solução: já vimos que a série telescópica converge e ter por soma 1.
De acordo com o Teorema 6 (ii), e
A série
. Converge.
A série geométrica
+...... com e
, com |r|<1
converge com soma
.
Assim, de acordo com o Teorema 6, a série converge com soma .
Teorema 7- Série convergente e série divergente Se é convergente e é divergente então é divergente.
Exemplo 11: Estabeleça a convergência ou divergência da série:
Solução:
série geométrica convergente.
série harmônica divergente.
Assim, é divergente.
8
Lista de Exercícios: 1- Use o método do Exemplo 3 para encontrar: a) b) c) A soma da série, se for convergente.
1.
2.
3.
(obs:
)
Respostas:
1. a)
b)
c) Converge para .
2. a)
b)
c) Converge para 1/2.
3. a) b) c) Diverge . 2- Use o Teorema 1 (Teorema da Série geométrica) para determinar se a série converge ou diverge; se convergir, ache a sua soma.
1.
2.
3.
4.
5.
Respostas:
1. Converge para 4. 2. Converge para
3. Converge para . 4. Diverge. 5. Diverge.
3- Use o Teorema 1 (Teorema da Série geométrica) para encontrar todos os valores de para os quais a série é convergente e ache a soma da série. 1.
2.
Respostas:
1.
. 2.
.
9
4- Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa. Obs.: a barra indica que os algarismos se repetem indefinidamente. 1. 2. Respostas:
1.
2.
5. De acordo com os Teoremas 6 e 7, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Se
convergir, ache a sua soma.
1.
(Converge)
2.
(Converge)
(Diverge)
4.
(Diverge)
6. Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma
investigação adicional.
a.
b.
c.
d.
7. Use séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série converge
(determinar a sua soma) ou diverge.
a.
Converge para
b. Converge para
c.
Converge para
d.
Converge para
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Séries Infinitas de termos positivos Se todos os termos de uma série infinita são positivos, então a sequência de somas parciais deve ser crescente (monótona). Assim, a série infinita é convergente se a sequência de somas parciais tiver limitante superior, já que possui limitante inferior e é monótona. Existem teoremas específicos para este tipo de série. Teorema 8: Teorema das séries infinitas de termos positivos Se é uma série de termos positivos, , e se existe um número (limitante superior) tal que:
, a série converge e tem uma soma . Caso contrário, a série diverge. Para saber se a série de termos positivos converge ou não, determinar se a sequência de somas parciais é cotada: se para algum , a série converge e se , a série diverge. Série Hiperharmônica (ou série-p):
onde é um número real positivo. Se , temos a série harmônica. Teorema 9: Teorema das séries hiperharmônicas
A série-p
(i) Converge se ; (ii) Diverge se . Exemplos:
série-p Valor de p Conclusão
Converge (i)
Diverge (ii)
Converge (i)
Teste da Integral O teste da integral é um dos teoremas mais importantes para verificar a convergência ou divergência de séries infinitas de termos positivos. O teorema está baseado na teoria de integrais impróprias. O teorema geralmente é muito eficiente desde que as hipóteses exigidas pelo teorema sejam cumpridas. Teorema 10: Teste da Integral Sejam uma série, e a função obtida substituindo-se por .
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Se é positiva, contínua e decrescente para todo real , A série
(i) Converge se
converge;
(ii) Diverge se
diverge.
Obs: fazer
. Deve-se integrar e tomar um limite.
Exemplo 1: Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge. Solução:
Substituindo por :
. Como é positiva e contínua, provar que também é decrescente
para poder aplicar o teste da integral. a) Verificar se a série é decrescente:
b) Aplicar o teste da integral:
Logo, pelo Teste da Integral (ii), a série Diverge.
Exemplo 2: Determine se a série infinita
converge ou diverge.
se , f é positiva e contínua, mas será que é decrescente?
a) Verificar se a série é decrescente: . f é decrescente em
.
b) Aplicar o teste da integral:
Obs: Regra da substituição. Fazer , Assim,
Logo, a Série converge (Teste da Integral (i)) quem é S?
O número
é o VALOR da integral imprópria e NÃO A SOMA DA SÉRIE!
Teorema 11: Teste da Comparação Sejam e séries de termos positivos. (i) Se converge e para todo inteiro positivo , então converge. (ii) Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge.
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Obs: para se usar o Teste da Comparação, é preciso escolher primeiramente uma série adequada e depois provar que ou que . As séries mais usadas para comparação são as séries: harmônica, hiperharmônica e geométrica. Exemplo: Determine se cada série converge ou diverge pelo Teste da comparação.
a.
,
Como
é uma série geométrica convergente, pelo teste de comparação, a série dada também
é convergente.
b.
Como a série
diverge (série-p, com ), a série dada também diverge (desprezando-se o
primeiro termo).
Se ,
-->
De acordo com o teste de comparação, a série diverge. Teorema 12: Teste da Comparação com limite Sejam e séries de termos positivos.
Se
, ambas as séries convergem ou divergem.
Obs: Se o limite é ou , ainda é possível determinar se a série converge ou diverge pelo teste da comparação. Dado um como proceder na escolha de ? - Conservar os termos de maior magnitude e substituir as constantes por 1: Exemplos (para se escolher o :
-->
-->
-->
-->
-->
-->
13
Exemplo: Determine se as séries convergem ou divergem:
a.
(termo de ordem n de uma série-p divergente, com
).
Teste do limite de comparação:
.
Como e diverge, também diverge.
b.
Desprezando-se os termos de menor magnitude no numerador e no denominador:
,
( Série geométrica convergente).
Teste do limite de comparação:
Como e converge, também converge.
c.
Verificamos que
( série-p convergente, com
)
Teste do limite de comparação: verificamos que
.
Como e converge, também converge. Exercícios: 1- (a) Mostrar que a função f determinada pelo n-ésimo termo da série verifica a hipótese do teste da integral (função f deve ser positiva, contínua e decrescente). (b) Usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge (é dado o valor da integral imprópria, quando existe).
a.
R: (a)
Função decrescente
(b) A série converge. Valor da integral imprópria:
. (obs: aplicar a Regra da substituição na
resolução da integral, fazendo e )
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b.
R: (a)
Função decrescente .
(b) A série diverge.
c.
R: (a) Função decrescente .
(b) A série converge. Valor da integral imprópria:
. (obs: aplicar a Regra da substituição na
resolução da integral, fazendo e ).
d.
R: (a)
Função decrescente .
(b) A série diverge. 2- Usar o teste da Comparação para ver se a série converge ou diverge.
a.
R: Converge
b.
R: Converge
c.
R: Converge
3- Usar o teste da comparação com limite para ver se a série converge ou diverge.
a.
R: Diverge
b.
R: Converge
c.
R: Converge
d.
R: Converge
e.
R: Diverge
4- Determine se a série converge ou diverge (usar o teste da comparação ou o teste da comparação
com limite).
a.
R: Diverge
b.
R: Converge
c.
R: Diverge
d.
R: Diverge
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e.
R: Diverge
f.
R: Converge
g.
R: Converge
Observações sobre o teste da Integral
Para se efetuar o teste da Integral, os termos devem ser decrescentes e devemos saber integrar .
E o que aplicar para resolver séries fatoriais e outras expressões complicadas? Vejamos agora os
testes da razão e da raiz.
Teorema 13 - Teste da razão
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Exemplos: Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da razão.
a.
R:
. Como , a série é convergente (i).
b.
R:
. Como , a série é divergente (ii).
c.
R:
*
.
Como , a série é divergente.
Obs: Definição da série exponencial natural:
.
Exemplos para quando
=1
d.
Sugestão: determinar a convergência pelo teste limite da comparação com
(série p).
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e.
Sugestão: determinar a divergência pelo teste limite da comparação com
(série p).
f.
Sugestão: determinar a divergência pelo teste da integral.
Exercícios. Determinar
e use o teste da razão para verificar se a série converge, diverge ou
se o teste é inconclusivo.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Respostas: a.1/2 (Converge). b. Diverge. c.0 (Converge) d.Inconclusivo. e.Diverge. f.2/7 (Converge). Teorema 14 - Teste da raiz
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Exemplos: Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da raiz.
a.
. Como , a série converge.
b.
. Como , a série converge.
Exercícios. Determinar
e use o teste da raiz para verificar se a série converge, diverge ou
se o teste é inconclusivo.
a.
b.
c.
Respostas: a. Diverge. b. (Converge) c. (Converge) Séries alternadas Definição: Séries infinitas cujos termos trocam de sinal. Teorema 15 - Teste para séries alternadas A série alternada
é convergente se verificam-se as seguintes condições: (i) (série decrescente) e (ii)
.
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Exemplo: Determine se a série alternada converge ou diverge:
R: Para demonstrar (i): mostrar que
é decrescente para .
. Assim, , ou seja, .
Outra forma para demonstrar: para todo positivo, ,
Para demonstrar (ii):
.
Logo, a série alternada converge. Exercícios: Aplique o teorema das séries alternadas para determinar se a série alternada converge
ou diverge (verifique as duas condições).
a.
b.
c.
R: a. Diverge (ii) b.Converge c. Diverge.
Séries Absolutamente Convergentes Definição: uma série é absolutamente convergente se a série: ... é convergente.
Exemplo: prove que a série alternada
é absolutamente convergente:
Solução: Tomar o valor absoluto de cada termo:
Verifica-se que é uma série-p convergente, logo, a série alternada dada é absolutamente convergente. Exemplo: prove que a série harmônica alternada NÃO é absolutamente convergente.
Série harmônica alternada:
Mostre que a série é: (a) Convergente (b) NÃO absolutamente convergente. (a) Teorema das séries alternadas:
(i)
.
(ii)
.
(b) Série harmônica divergente:
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Série Condicionalmente convergente: Definição: Uma série é condicionalmente convergente se se é convergente mas é divergente. Exemplo: série harmônica alternada. Teorema 16 - Convergência absoluta Se a série é absolutamente convergente, então é convergente. A convergência absoluta implica em convergência MAS a convergência não implica em convergência absoluta!
Exemplo: Seja a série:
onde os sinais dos termos
variam de dois em dois e
. Determine se a série converge ou diverge.
Solução: a série não é alternada e nem geométrica, e também não é uma série de termos positivos!!! Assim, não dá para aplicar nenhum dos testes vistos.
MAS se formos verificar a série de valores absolutos, temos:
que configura uma série geométrica com . . Convergente. Logo, como a série é absolutamente convergente, ela também é uma série convergente (Teorema 16). Uma série arbitrária pode ser classificada em apenas um dos tipos: (i) Absolutamente convergente (ii) Condicionalmente convergente (iii) Divergente Teorema 17 -Teste da razão para convergência absoluta: Seja uma série de termos não-nulos, e supor:
.
(i) Se , a série é absolutamente convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Pois a série pode ser de um dos três tipos mencionados anteriormente. Exercício: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a)
Solução pelo Teste da Razão:
(i) Série absolutamente convergente.
b)
Série condicionalmente convergente (ex: Teste limite de comparação)
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c)
Série absolutamente convergente (ex: Teste da comparação)
d)
Série divergente (ex: Teste das séries alternadas)
e)
Série condicionalmente convergente (ex: Teste de comparação)
f)
Série absolutamente convergente (ex: Teste limite de comparação)
g)
Série absolutamente convergente (ex: Teste da razão)
h)
Série divergente (ex: Teste das séries alternadas)
i)
Série condicionalmente convergente (ex: Teste limite de comparação).
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Apêndice - Resumo dos teoremas: Teorema 1 - Teorema da Série Geométrica Definição: seja a série geométrica
(i) Converge e tem por soma:
se .
(ii) Diverge se . Teorema 2 - Termo de ordem Se uma série é convergente, seu termo de ordem , , tem por limite 0 quando tende a
infinito:
Teorema 3 - Termo de (i) Se então a Série é Divergente. (ii) Se : Verificar se a série é Convergente ou Divergente. Teorema 4- Convergência ou Divergência de duas séries Se são séries tais que para todo , onde é um inteiro positivo, então ambas
as séries convergem ou divergem. e Teorema 5- Convergência ou Divergência de duas séries com dois índices iniciais diferentes Para qualquer inteiro positivo , as séries:
e
são ambas convergentes ou divergentes. Obs: a série se obtém de
suprimindo-se os primeiros termos.
Teorema 6- Operações de séries Se e são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: (i) converge e tem por soma A + B. (ii) converge e tem por soma cA, para todo número real c. (iii) converge e tem por soma A-B. Se diverge, então também diverge, para todo . Teorema 7- Série convergente e série divergente Se é convergente e é divergente então é divergente.
Teorema 8: Teorema das séries infinitas de termos positivos Se é uma série de termos positivos, , e se existe um número (limitante superior) tal que: , a série converge e tem uma soma . Caso contrário, a série diverge. Teorema 9: Teorema das séries hiperharmônicas
A série-p
(i) Converge se ; (ii) Diverge se .
Teorema 10: Teste da Integral Sejam uma série, e a função obtida substituindo-se por . Se é positiva, contínua e decrescente para todo real ,
A série (i) Converge se
converge; (ii) Diverge se
diverge.
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Obs: fazer
. Deve-se integrar e tomar um limite.
Teorema 11: Teste da Comparação Sejam e séries de termos positivos. (i) Se converge e para todo inteiro positivo , então converge. (ii) Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge. Teorema 12: Teste da Comparação com limite Sejam e séries de termos positivos.
Se
, ambas as séries convergem ou divergem.
Obs: Se o limite é ou , ainda é possível determinar se a série converge ou diverge pelo teste da comparação. Teorema 13 - Teste da razão
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Teorema 14 - Teste da raiz
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Teorema 15 - Teste para séries alternadas A série alternada
é convergente se verificam-se as seguintes condições: (i) (série decrescente) (ii)
.
Teorema 16 - Convergência absoluta Se a série é absolutamente convergente, então é convergente. Teorema 17 -Teste da razão para convergência absoluta:
Seja uma série de termos não-nulos, e supor:
.
(i) Se , a série é absolutamente convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Pois a série pode ser de um dos três tipos mencionados anteriormente.
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Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart.
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