sÉries infinitas definição -...
TRANSCRIPT
1
MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2
SÉRIES INFINITAS
A importância de sequências infinitas e séries em cálculo surge da ideia de Newton de representar funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, para encontrar áreas ele frequentemente integrava uma função expressando-a primeiro como uma série e integrava cada termo da série. Muitas das funções que surgem em física, matemática e química são definidas como somas de séries. Definição: Uma série infinita (ou simplesmente uma série) é uma expressão que representa uma soma de números de uma sequência infinita, da forma:
ou
onde: - cada número é um termo da série ( ); - é o n-ésimo termo ou termo geral da série. Sequência de somas parciais de uma série: Definição: (i) A k-ésima soma parcial da série é: (ii) A sequência de somas parciais da série é: Logo: Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: n-ésima soma parcial: Exemplo 1: Série infinita: 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + ... =
Primeira soma parcial: Segunda soma parcial: Terceira soma parcial: Quarta soma parcial: Sequência de somas parciais
2
Exemplo 2: Série infinita: Os cinco primeiros termos da série infinita:
são os seguintes: Primeira soma parcial:
Segunda soma parcial:
Terceira soma parcial:
Quarta soma parcial:
Quinta soma parcial:
A sequência de somas parciais parece se aproximar de 2 como um limite; por exemplo, a 25o soma parcial é:
.
Não é difícil verificar que a sequência de somas parciais realmente converte para o limite 2. Parece natural definir a "soma" da série como sendo 2 e escrever:
Série convergente: Definição: Uma série é convergente (ou converge) se a sua sequência de somas parciais converge:
para algum número real S O limite S é a soma da série :
Série divergente: Definição: Uma série é divergente (ou diverge) se a sua sequência de somas parciais diverge. Uma série divergente não tem soma. Exemplo 3: Dada a série:
a) Ache
3
b) Ache
Obs: A série
é chamada de Série Telescópica.
Por meio de frações parciais:
A n-ésima soma parcial da série:
+ ....+
+
Reagrupando, vemos que todos os termos, exceto o primeiro e o último, cancelam-se. Logo,
c) Mostre que a série converge e ache a sua soma:
Assim, a série converge e tem por soma 1.
De acordo com a definição anterior de convergência:
Exemplo 4: Dada a série:
a) Ache
b) Ache
c) Mostre que a série diverge
Como a sequência de somas parciais oscila entre 1 e 0, segue-se que NÃO EXISTE,
logo, a série diverge.
4
Série Harmônica
Definição: A série harmônica é a série divergente:
Demonstração:
Similarmente:
Em geral,
Isso mostra que quando e assim é divergente. Logo, a série harmônica diverge.
Teorema 1 - Teorema da Série Geométrica
Definição: seja a série geométrica
(i) Converge e tem por soma:
se .
(ii) Diverge se .
Demonstração: Se , . A série diverge pois não existe. Se , A sequência de somas parciais oscila entre a e 0 e a série diverge. Se ,
(1) e
(2) Subtraindo (1) e (2), temos
Dividindo por ,
Consequentemente,
=
De acordo com a propriedade (8) dos limites (vide material de sequências),
(i) se
. Assim,
e a série converge.
(ii) se
não existe, consequentemente,
não existe e a série diverge.
5
Exemplo 3: Dada a série geométrica:
Prove que a série converge e ache a sua soma. Solução: Da série geométrica: . Do teorema da série geométrica, como a série converge e tem por soma:
Assim,
Isso justifica a notação decimal periódica
Exemplo 4: Prove que a série geométrica converge e ache a sua soma:
A série geométrica converge com e
, pois
Do Teorema 1:
.
Teorema 2 - Termo de ordem
Se uma série é convergente, seu termo de ordem , , tem por limite 0 quando tende a infinito:
Demonstração: n-ésimo termo da série: Se é a soma da série então sabemos que e também . Assim,
MAS se , a série NÃO NECESSARIAMENTE converge! (Exemplo, a série harmônica). Teorema 3 - Termo de (i) Se então a Série é Divergente. (ii) Se : Verificar se a série é Convergente ou Divergente.
Exemplo 5: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Diverge.
Exemplo 6: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Converge ou Diverge? Verificar!
6
Exemplo 7: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Converge ou Diverge? Verificar!
Exemplo 8: Série
Teste do n-ésimo termo:
A série Diverge.
Teorema 4- Convergência ou Divergência de duas séries Se são séries tais que para todo , onde é um inteiro positivo, então ambas
as séries convergem ou divergem. e Teorema 5- Convergência ou Divergência de duas séries com dois índices iniciais diferentes Para qualquer inteiro positivo , as séries:
e
São ambas convergentes ou divergentes. Obs: a série se obtém de
suprimindo-se os primeiros termos.
Exemplo 9: Mostre que a série abaixo converge:
Solução: Observa-se que esta série é obtida pela supressão dos dois primeiros termos da série telescópica (do Exemplo 3) que é convergente. De acordo com o Teorema 5, a série dada converge!
Para verificar, usar frações parciais:
logo,
e
Teorema 6- Operações de séries Se e são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: (i) converge e tem por soma A + B. (ii) converge e tem por soma cA, para todo número real c. (iii) converge e tem por soma A-B. Se diverge, então também diverge, para todo .
7
Exemplo 10: Mostre que a série abaixo converge e ache a sua soma.
Solução: já vimos que a série telescópica converge e ter por soma 1.
De acordo com o Teorema 6 (ii), e
A série
. Converge.
A série geométrica
+...... com e
, com |r|<1
converge com soma
.
Assim, de acordo com o Teorema 6, a série converge com soma .
Teorema 7- Série convergente e série divergente Se é convergente e é divergente então é divergente.
Exemplo 11: Estabeleça a convergência ou divergência da série:
Solução:
série geométrica convergente.
série harmônica divergente.
Assim, é divergente.
8
Lista de Exercícios: 1- Use o método do Exemplo 3 para encontrar: a) b) c) A soma da série, se for convergente.
1.
2.
3.
(obs:
)
Respostas:
1. a)
b)
c) Converge para .
2. a)
b)
c) Converge para 1/2.
3. a) b) c) Diverge . 2- Use o Teorema 1 (Teorema da Série geométrica) para determinar se a série converge ou diverge; se convergir, ache a sua soma.
1.
2.
3.
4.
5.
Respostas:
1. Converge para 4. 2. Converge para
3. Converge para . 4. Diverge. 5. Diverge.
3- Use o Teorema 1 (Teorema da Série geométrica) para encontrar todos os valores de para os quais a série é convergente e ache a soma da série. 1.
2.
Respostas:
1.
. 2.
.
9
4- Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa. Obs.: a barra indica que os algarismos se repetem indefinidamente. 1. 2. Respostas:
1.
2.
5. De acordo com os Teoremas 6 e 7, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Se
convergir, ache a sua soma.
1.
(Converge)
2.
(Converge)
(Diverge)
4.
(Diverge)
6. Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma
investigação adicional.
a.
b.
c.
d.
7. Use séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série converge
(determinar a sua soma) ou diverge.
a.
Converge para
b. Converge para
c.
Converge para
d.
Converge para
10
Séries Infinitas de termos positivos Se todos os termos de uma série infinita são positivos, então a sequência de somas parciais deve ser crescente (monótona). Assim, a série infinita é convergente se a sequência de somas parciais tiver limitante superior, já que possui limitante inferior e é monótona. Existem teoremas específicos para este tipo de série. Teorema 8: Teorema das séries infinitas de termos positivos Se é uma série de termos positivos, , e se existe um número (limitante superior) tal que:
, a série converge e tem uma soma . Caso contrário, a série diverge. Para saber se a série de termos positivos converge ou não, determinar se a sequência de somas parciais é cotada: se para algum , a série converge e se , a série diverge. Série Hiperharmônica (ou série-p):
onde é um número real positivo. Se , temos a série harmônica. Teorema 9: Teorema das séries hiperharmônicas
A série-p
(i) Converge se ; (ii) Diverge se . Exemplos:
série-p Valor de p Conclusão
Converge (i)
Diverge (ii)
Converge (i)
Teste da Integral O teste da integral é um dos teoremas mais importantes para verificar a convergência ou divergência de séries infinitas de termos positivos. O teorema está baseado na teoria de integrais impróprias. O teorema geralmente é muito eficiente desde que as hipóteses exigidas pelo teorema sejam cumpridas. Teorema 10: Teste da Integral Sejam uma série, e a função obtida substituindo-se por .
11
Se é positiva, contínua e decrescente para todo real , A série
(i) Converge se
converge;
(ii) Diverge se
diverge.
Obs: fazer
. Deve-se integrar e tomar um limite.
Exemplo 1: Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica diverge. Solução:
Substituindo por :
. Como é positiva e contínua, provar que também é decrescente
para poder aplicar o teste da integral. a) Verificar se a série é decrescente:
b) Aplicar o teste da integral:
Logo, pelo Teste da Integral (ii), a série Diverge.
Exemplo 2: Determine se a série infinita
converge ou diverge.
se , f é positiva e contínua, mas será que é decrescente?
a) Verificar se a série é decrescente: . f é decrescente em
.
b) Aplicar o teste da integral:
Obs: Regra da substituição. Fazer , Assim,
Logo, a Série converge (Teste da Integral (i)) quem é S?
O número
é o VALOR da integral imprópria e NÃO A SOMA DA SÉRIE!
Teorema 11: Teste da Comparação Sejam e séries de termos positivos. (i) Se converge e para todo inteiro positivo , então converge. (ii) Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge.
12
Obs: para se usar o Teste da Comparação, é preciso escolher primeiramente uma série adequada e depois provar que ou que . As séries mais usadas para comparação são as séries: harmônica, hiperharmônica e geométrica. Exemplo: Determine se cada série converge ou diverge pelo Teste da comparação.
a.
,
Como
é uma série geométrica convergente, pelo teste de comparação, a série dada também
é convergente.
b.
Como a série
diverge (série-p, com ), a série dada também diverge (desprezando-se o
primeiro termo).
Se ,
-->
De acordo com o teste de comparação, a série diverge. Teorema 12: Teste da Comparação com limite Sejam e séries de termos positivos.
Se
, ambas as séries convergem ou divergem.
Obs: Se o limite é ou , ainda é possível determinar se a série converge ou diverge pelo teste da comparação. Dado um como proceder na escolha de ? - Conservar os termos de maior magnitude e substituir as constantes por 1: Exemplos (para se escolher o :
-->
-->
-->
-->
-->
-->
13
Exemplo: Determine se as séries convergem ou divergem:
a.
(termo de ordem n de uma série-p divergente, com
).
Teste do limite de comparação:
.
Como e diverge, também diverge.
b.
Desprezando-se os termos de menor magnitude no numerador e no denominador:
,
( Série geométrica convergente).
Teste do limite de comparação:
Como e converge, também converge.
c.
Verificamos que
( série-p convergente, com
)
Teste do limite de comparação: verificamos que
.
Como e converge, também converge. Exercícios: 1- (a) Mostrar que a função f determinada pelo n-ésimo termo da série verifica a hipótese do teste da integral (função f deve ser positiva, contínua e decrescente). (b) Usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge (é dado o valor da integral imprópria, quando existe).
a.
R: (a)
Função decrescente
(b) A série converge. Valor da integral imprópria:
. (obs: aplicar a Regra da substituição na
resolução da integral, fazendo e )
14
b.
R: (a)
Função decrescente .
(b) A série diverge.
c.
R: (a) Função decrescente .
(b) A série converge. Valor da integral imprópria:
. (obs: aplicar a Regra da substituição na
resolução da integral, fazendo e ).
d.
R: (a)
Função decrescente .
(b) A série diverge. 2- Usar o teste da Comparação para ver se a série converge ou diverge.
a.
R: Converge
b.
R: Converge
c.
R: Converge
3- Usar o teste da comparação com limite para ver se a série converge ou diverge.
a.
R: Diverge
b.
R: Converge
c.
R: Converge
d.
R: Converge
e.
R: Diverge
4- Determine se a série converge ou diverge (usar o teste da comparação ou o teste da comparação
com limite).
a.
R: Diverge
b.
R: Converge
c.
R: Diverge
d.
R: Diverge
15
e.
R: Diverge
f.
R: Converge
g.
R: Converge
Observações sobre o teste da Integral
Para se efetuar o teste da Integral, os termos devem ser decrescentes e devemos saber integrar .
E o que aplicar para resolver séries fatoriais e outras expressões complicadas? Vejamos agora os
testes da razão e da raiz.
Teorema 13 - Teste da razão
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Exemplos: Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da razão.
a.
R:
. Como , a série é convergente (i).
b.
R:
. Como , a série é divergente (ii).
c.
R:
*
.
Como , a série é divergente.
Obs: Definição da série exponencial natural:
.
Exemplos para quando
=1
d.
Sugestão: determinar a convergência pelo teste limite da comparação com
(série p).
16
e.
Sugestão: determinar a divergência pelo teste limite da comparação com
(série p).
f.
Sugestão: determinar a divergência pelo teste da integral.
Exercícios. Determinar
e use o teste da razão para verificar se a série converge, diverge ou
se o teste é inconclusivo.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Respostas: a.1/2 (Converge). b. Diverge. c.0 (Converge) d.Inconclusivo. e.Diverge. f.2/7 (Converge). Teorema 14 - Teste da raiz
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Exemplos: Determine se a série é convergente ou divergente pelo teste da raiz.
a.
. Como , a série converge.
b.
. Como , a série converge.
Exercícios. Determinar
e use o teste da raiz para verificar se a série converge, diverge ou
se o teste é inconclusivo.
a.
b.
c.
Respostas: a. Diverge. b. (Converge) c. (Converge) Séries alternadas Definição: Séries infinitas cujos termos trocam de sinal. Teorema 15 - Teste para séries alternadas A série alternada
é convergente se verificam-se as seguintes condições: (i) (série decrescente) e (ii)
.
17
Exemplo: Determine se a série alternada converge ou diverge:
R: Para demonstrar (i): mostrar que
é decrescente para .
. Assim, , ou seja, .
Outra forma para demonstrar: para todo positivo, ,
Para demonstrar (ii):
.
Logo, a série alternada converge. Exercícios: Aplique o teorema das séries alternadas para determinar se a série alternada converge
ou diverge (verifique as duas condições).
a.
b.
c.
R: a. Diverge (ii) b.Converge c. Diverge.
Séries Absolutamente Convergentes Definição: uma série é absolutamente convergente se a série: ... é convergente.
Exemplo: prove que a série alternada
é absolutamente convergente:
Solução: Tomar o valor absoluto de cada termo:
Verifica-se que é uma série-p convergente, logo, a série alternada dada é absolutamente convergente. Exemplo: prove que a série harmônica alternada NÃO é absolutamente convergente.
Série harmônica alternada:
Mostre que a série é: (a) Convergente (b) NÃO absolutamente convergente. (a) Teorema das séries alternadas:
(i)
.
(ii)
.
(b) Série harmônica divergente:
18
Série Condicionalmente convergente: Definição: Uma série é condicionalmente convergente se se é convergente mas é divergente. Exemplo: série harmônica alternada. Teorema 16 - Convergência absoluta Se a série é absolutamente convergente, então é convergente. A convergência absoluta implica em convergência MAS a convergência não implica em convergência absoluta!
Exemplo: Seja a série:
onde os sinais dos termos
variam de dois em dois e
. Determine se a série converge ou diverge.
Solução: a série não é alternada e nem geométrica, e também não é uma série de termos positivos!!! Assim, não dá para aplicar nenhum dos testes vistos.
MAS se formos verificar a série de valores absolutos, temos:
que configura uma série geométrica com . . Convergente. Logo, como a série é absolutamente convergente, ela também é uma série convergente (Teorema 16). Uma série arbitrária pode ser classificada em apenas um dos tipos: (i) Absolutamente convergente (ii) Condicionalmente convergente (iii) Divergente Teorema 17 -Teste da razão para convergência absoluta: Seja uma série de termos não-nulos, e supor:
.
(i) Se , a série é absolutamente convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Pois a série pode ser de um dos três tipos mencionados anteriormente. Exercício: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a)
Solução pelo Teste da Razão:
(i) Série absolutamente convergente.
b)
Série condicionalmente convergente (ex: Teste limite de comparação)
19
c)
Série absolutamente convergente (ex: Teste da comparação)
d)
Série divergente (ex: Teste das séries alternadas)
e)
Série condicionalmente convergente (ex: Teste de comparação)
f)
Série absolutamente convergente (ex: Teste limite de comparação)
g)
Série absolutamente convergente (ex: Teste da razão)
h)
Série divergente (ex: Teste das séries alternadas)
i)
Série condicionalmente convergente (ex: Teste limite de comparação).
20
Apêndice - Resumo dos teoremas: Teorema 1 - Teorema da Série Geométrica Definição: seja a série geométrica
(i) Converge e tem por soma:
se .
(ii) Diverge se . Teorema 2 - Termo de ordem Se uma série é convergente, seu termo de ordem , , tem por limite 0 quando tende a
infinito:
Teorema 3 - Termo de (i) Se então a Série é Divergente. (ii) Se : Verificar se a série é Convergente ou Divergente. Teorema 4- Convergência ou Divergência de duas séries Se são séries tais que para todo , onde é um inteiro positivo, então ambas
as séries convergem ou divergem. e Teorema 5- Convergência ou Divergência de duas séries com dois índices iniciais diferentes Para qualquer inteiro positivo , as séries:
e
são ambas convergentes ou divergentes. Obs: a série se obtém de
suprimindo-se os primeiros termos.
Teorema 6- Operações de séries Se e são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: (i) converge e tem por soma A + B. (ii) converge e tem por soma cA, para todo número real c. (iii) converge e tem por soma A-B. Se diverge, então também diverge, para todo . Teorema 7- Série convergente e série divergente Se é convergente e é divergente então é divergente.
Teorema 8: Teorema das séries infinitas de termos positivos Se é uma série de termos positivos, , e se existe um número (limitante superior) tal que: , a série converge e tem uma soma . Caso contrário, a série diverge. Teorema 9: Teorema das séries hiperharmônicas
A série-p
(i) Converge se ; (ii) Diverge se .
Teorema 10: Teste da Integral Sejam uma série, e a função obtida substituindo-se por . Se é positiva, contínua e decrescente para todo real ,
A série (i) Converge se
converge; (ii) Diverge se
diverge.
21
Obs: fazer
. Deve-se integrar e tomar um limite.
Teorema 11: Teste da Comparação Sejam e séries de termos positivos. (i) Se converge e para todo inteiro positivo , então converge. (ii) Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge. Teorema 12: Teste da Comparação com limite Sejam e séries de termos positivos.
Se
, ambas as séries convergem ou divergem.
Obs: Se o limite é ou , ainda é possível determinar se a série converge ou diverge pelo teste da comparação. Teorema 13 - Teste da razão
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Teorema 14 - Teste da raiz
Seja uma série de termos positivos e supor
.
(i) Se , a série é convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Teorema 15 - Teste para séries alternadas A série alternada
é convergente se verificam-se as seguintes condições: (i) (série decrescente) (ii)
.
Teorema 16 - Convergência absoluta Se a série é absolutamente convergente, então é convergente. Teorema 17 -Teste da razão para convergência absoluta:
Seja uma série de termos não-nulos, e supor:
.
(i) Se , a série é absolutamente convergente.
(ii) Se ou
, a série é divergente.
(iii) Se , verificar por outro método. Pois a série pode ser de um dos três tipos mencionados anteriormente.
22
Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart.