riset operasi

RISET OPERASI

PROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEKS

PERTEMUAN 3

Metode Simpleks

Masalah program linier yang memuat 3 peubah atau lebih dan tidak dapat disusutkan menjadi masalah dengan 2 peubah diselesaikan dengan metode simpleks.

Model Dasar PL (1) Maksimumkan atau minimumkan:

Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn (1) Memenuhi kendala-kendala:

a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn atau b1 (2)

a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn atau b2

.

.am1x1 + am2x2 + …. + amnxn atau bm

dan xj 0 untuk j = 1,2,…,n. (3)

Model Dasar PL (2) Maksimumkan atau minimumkan:

Z = (1)

Memenuhi kendala-kendala: atau (2)

dan xj 0 untuk j = 1,2,…,n. (3)

n

jijij bxa

1

n

jijij bxa

1

n

jjj xc

1

Bentuk Soal PL (1) Kendala yang berbentuk pertidaksamaan

dapat diubah menjadi persamaan sbb: 2x1 – x2 + 3x3 ≤ 8 dapat diganti

2x1 – x2 + 3x3 + t = 8, dengan t≥0 2x1 – x2 + 3x3 ≥ 8 dapat diganti

2x1 – x2 + 3x3 – t = 8, dengan t≥0

Catt: Ruas kanan harus positif. Jika negatif, maka harus dipositifkan, dengan cara mengalikan dengan -1.

Bentuk Soal PL (2) Secara umum:

Pada ruas kiri disisipkan si≥0, sehingga dipenuhi

bentuk kanonik

Pada ruas kiri disisipkan ti ≥0, sehingga dipenuhi atau

n

jijij bxa

1

n

jiijij bsxa

1

n

jijij bxa

1

i

n

jijij tbxa

1

n

jiijij btxa

1

Bentuk Soal PL (3)

Sesuai dengan peranannya, si dan ti disebut peubah pengetat (slack variable) karena perannya adalah untuk membuat ruas yang semula longgar menjadi ketat, sehingga sama nilai dengan ruas yang lainnya

Bentuk Soal PL (4) Ex: Diketahui model PL sbb

2x1 – x2 + 3x3 ≤ 8

x1 + x2 – x3 ≥ 10

3x1 – x3 = 7

x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2, x3 disebut peubah asli Susunan ini diubah menjadi:

2x1 – x2 + 3x3 + s1 = 8

x1 + x2 – x3 – s2 = 10 bentuk kanonik

3x1 – x3 = 7

x1, x2, x3, s1, s2 ≥ 0 s1, s2 disebut peubah pengetat

Bentuk Soal PL (5) Untuk menyesuaikan dengan bentuk

kendala yang baru, fungsi sasaran juga berubah.

Fungsi sasaran semula

menjadi:

n

jjj xcZ

1

)...(0... 122111

pnnnn

pn

jjj xxxcxcxcxcZ

Contoh

Ubah menjadi bentuk kanonik3u + 5v + w ≥ 20u – 5v + 2w ≤ 50u + v + w = -25u, v, w ≥ 0meminimumkan f = 100 – 3u + v + 5w

Penyelesaian

Bentuk kanonik:3u + 5v + w – s1 = 20

u – 5v + 2w + s2 = 50

–u – v – w = 25u, v, w, s1, s2 ≥ 0

meminimumkanf = 100 – 3u + v + 5w + 0s1 + 0s2

Langkah-langkah Simpleks (1) Dari bentuk kanonik yang didapat,

dibentuk bentuk siap simpleks. Bentuk siap simpleks untuk

pertidaksamaan ≤ sama dengan bentuk kanoniknya.

Bentuk siap simpleks untuk pertidaksamaan ≥, harus ditambah dengan peubah semu (artificial variable) dibahas nanti

Langkah-langkah Simpleks (2)1. Buat tabel, dalam pembuatan tabel simpleks

yang perlu dicatat adalah : xj peubah-peubah lengkap aij koefisien-koefisien pada PL bi suku tetap (syarat: tak negatif) cj koefisien ongkos pada peubah lengkap xi peubah yang menjadi basis dalam tabel

(variabel tambahan yang positif) ci koefisien ongkos milik peubah basis xi

zj jumlahan hasil kali ci dengan kolom aij

Z jumlahan hasil kali ci dengan bi

zj – cj selisih zj dengan cj

Tabel simpleks

Langkah-langkah Simpleks (3)2. Lakukan perbaikan tabel, dengan ketentuan :

Untuk maksimum : Zj – Cj 0 Untuk minimum : Zj – Cj 0

3. Jika ketentuan pada langkah ke-2 belum terpenuhi, kerjakan proses berikut ini :

Dari nilai Zj – Cj pilih nilai Zj – Cj < 0 yang paling kecil (untuk pola maksimum) atau pilih nilai Zj – Cj > 0 yang paling besar (untuk pola minimum).

Hitung nilai Ri, diperoleh dari bi dibagi aik dari kolom Zj – Cj terpilih (Catatan : untuk nilai bi atau aik yang 0, tidak dihitung nilai Ri-nya)

Dari nilai Ri, pilih nilai Ri yang paling kecil Perpotongan antara kolom Zj – Cj dengan baris Ri,

menjadi nilai basis.

PL dengan Pola Maksimum

Bentuk Soal PL (6) Jadi bentuk soal PL yang baru:

Mencari xj, j=1,2,…,n

yang memenuhi , i=1,2,…,m

xj≥0

dan memaksimumkan (atau meminimumkan)

n

jijij bxa

1

n

jjj xcZ

1