résoudre des problèmes en mathématiques aux cycles 2 et 3 · prendre un gabarit de la longueur...

Résoudre des problèmes en

mathématiques aux cycles 2 et 3

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Stage du 12 au 14 décembre 2012

Collège International (IC) Beyrouth

Philippe CORBET - CPAIEN

Enseigner la

résolution de

problèmes

connaissances

capacités

attitudes

Attentes des

programmes

Types de

problèmes

et niveaux

de

résolution

Capacités des élèves

à développer

Mettre en œuvre

une démarcheProgrammer

des activités

Différencier

Evaluer

Le rôle

de l’oral

La mise en

commun

les problèmes dans les

programmes

Documents officiels disponibles sont sur le site de l’Inspection

− http://www.aefe-proche-orient.net/inspection/

Rubrique « Ressources pédagogiques »

Sous-rubrique « Socle, programmes, livrets »

Le socle commun

• La maîtrise des principaux éléments de

mathématiques s’acquiert et s’exerce

essentiellement par la résolution de

problèmes (…).

• L’élève doit être capable de saisir

quand une situation de la vie courante

se prête à un traitement mathématique,

l’analyser (…) puis s’engager dans un

raisonnement ou un calcul en vue de

sa résolution.

Les programmes 2008

•.Cycle 2

•.Cycle 3

L’apprentissage des mathématiques

développe l’imagination, la rigueur

et la précision ainsi que le goût du

raisonnement

La pratique des mathématiques

développe le goût de la recherche et

du raisonnement, l’imagination et

les capacités d’abstraction, la

rigueur et la précision.

•.Cycle 2

•.Cycle 3

La résolution de problèmes fait

l’objet d’un apprentissage

progressif et contribue à

construire le sens des opérations.

Du CE2 au CM2, dans les quatre

domaines du programme, l’élève

(…) continue d’apprendre à résoudre

des problèmes.

•.Cycle 2

•.Cycle 3

De premiers automatismes

s’installent. L’acquisition des

mécanismes en mathématiques est

toujours associée à une

intelligence de leur signification.

L’acquisition des mécanismes en

mathématiques est toujours associée

à une intelligence de leur

signification. La maîtrise des

principaux éléments mathématiques

aide à agir dans la vie quotidienne.

Cycle 2

La résolution de problèmes n’est

pas un domaine à part, mais fait

partie des quatre domaines.

Cycle 3 : La résolution de

problèmes n’est pas un

domaine à part, mais fait

partie des quatre domaines.

• Résoudre des problèmes• de dénombrement

• Relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication

• Géométriques

• De longueur et de masse

• Organiser les informations d’un énoncé

Cycle 2

• Résoudre des problèmes• Relevant des quatre opérations

• De reproduction et de construction

• Dont la résolution implique des conversions

• Mettant en jeu une situation de proportionnalité

Cycle 3

Les progressions annuelles

dans les programmes 2008

CP CE1

Résoudre des problèmes simples à

une opération.

Résoudre des problèmes relevant

de l’addition, de la soustraction et

de la multiplication.

CE2 CM1 CM2

Résoudre des

problèmes relevant

des quatre opérations

Résoudre des

problèmes engageant

une démarche à une

ou plusieurs étapes.

Résoudre des

problèmes de plus en

plus complexes

Progression

« Nombres et calcul »

Dans les évaluations nationales 2012CE1 CM2

Progression « Géométrie »

CP CE1Reproduire des figures géométriques

simples à l’aide d’instruments ou de

techniques : règle, quadrillage, papier

calque.

Utiliser des instruments pour réaliser

des tracés : règle, équerre ou gabarit

de l’angle droit.

CE2 CM1 CM2• Reproduire des figures

(sur papier uni,

quadrillé ou pointé), à

partir d’un modèle.

• Construire un carré ou

un rectangle de

dimensions données.

• Compléter une figure

par symétrie axiale.

• Tracer une figure

simple à partir d’un

programme de

construction ou en

suivant des consignes.

• Tracer une figure (sur

papier uni, quadrillé ou

pointé), à partir d’un

programme de

construction ou d’un

dessin à main levée

(avec des indications

relatives aux propriétés

et aux dimensions).

CE1 CM2Dans les évaluations nationales 2012

Grandeurs et mesures

CP CE1Résoudre des problèmes de vie

courante.

Résoudre des problèmes de longueur

et de masse.

CE2 CM1 CM2• Résoudre des

problèmes dont la

résolution implique les

grandeurs ci-dessus

• Résoudre des

problèmes dont la

résolution implique

éventuellement des conversions.

• Résoudre des

problèmes dont la

résolution implique des

conversions.

• Résoudre des

problèmes dont la

résolution implique

simultanément des

unités différentes de mesure

CE1 CM2Dans les évaluations nationales 2012

Organisation et gestion des données

CP CE1• Lire ou compléter un tableau dans

des situations concrètes simples.

• Utiliser un tableau, un graphique

• Organiser les informations d’un

énoncé.

CE2 CM1 CM2• Savoir organiser

les données d’un

problème en vue

de sa résolution.

• Interpréter un

tableau ou un

graphique

• Résoudre des problèmes

relevant de la proportionnalité et

notamment des problèmes

relatifs aux pourcentages, aux

échelles, aux vitesses moyennes

ou aux conversions d’unité, en

utilisant des procédures variées

(dont la “règle de trois”).

Dans les évaluations nationales 2012CE1 CM2

Pour conclure

Apprendre par la

résolution de problèmes

Situations-problèmes

de découverte

Problèmes d'application

Problèmes de

réinvestis-sement

Démarche d’enseignement

Caractéristiques Rôles de l’enseignant

Progression

Difficultés des élèves

Apprendre la résolution de problèmes

comprendre l'énoncé

Trouver une procédure

Exécuter la procédure

Communiquer sa réponse

Caractéristiques du type de texte

La langue des énoncésSe représenter l’énoncé

Solution personnelle

Solution experte

Automatismes

À l’oral

À l’écrit

Fonctions des problèmes dans

l’enseignement des mathématiques:

l’apprentissage par la résolution de problèmes

26

La démarche d’apprentissage

Démarche d’apprentissage

Les étapes de la démarche d’apprentissage d’une nouvelle

connaissance mathématique dans différents manuels.

Euro Maths – CP Cap Maths CE1Pour comprendre

les maths CE2

La tribu des

maths

Activités

préparatoires

occasionnelles

(jeux)

Découverte

Résolution de

problème en

équipe

Je cherche:

activité collective

de découverte

(problème)

Recherche: une

situation à

résoudre pour

trouver une

démarche

Guide ens. :

Conseils et

commentaires

Guide ens.: Mise

en commun,

synthèse

Mémo: points

importants à

retenir et réinvestir

Une question pour

échanger avec la

classe (synthèse)

Exercices

d’application

Entraînement sur

fichierJe m’entraîne Entraînement

Les problèmes au cœur de la

démarche

Problème N°1: Lequel est le plus long?

Proposer des comparaisons d’objets qu’il est

possible de superposer ou de mettre en coïncidence

pour savoir lequel est le plus long.

Le concept d’unité de mesure de longueur au CP

(R. Charnay)

Problème N°2: Inviter les élèves à comparer des objets

qui ne peuvent pas être rapprochés les uns des autres.

Prendre un gabarit de la longueur de chaque objet à l’aide d’une

ficelle ou d’une longue bande et les mettre en coïncidence.

Les problèmes au cœur de la

démarche (R. Charnay)

Problème N°3: Même problème mais en n’autorisant

cette fois que l’utilisation d’une bande beaucoup plus

courte que chacun des objets.

Nouvelle solution possible : reporter cette bande sur chaque

objet et déterminer combien de reports sont nécessaires.

Problème N°4 : Peut-on imaginer un moyen pour éviter

le report fastidieux de la bande-unité ?

La solution résidera dans la fabrication d’un outil du type :

L’idée viendra sans doute de numéroter la bande. Le premier

instrument de mesure vient ainsi d’être réalisé.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Les problèmes au cœur de la

démarche (R. Charnay)

L’élève ne dispose pas seulement de la " technique

du mesurage à l’aide double-décimètre ".

Il a également compris sa structure en unités

reportées et son usage (machine à dénombrer les

reports d’unités, donc à mesurer).

Les problèmes au cœur de la

démarche (R. Charnay)

­ Les échanges entre élèves (confrontations,

argumentations) sont primordiaux

­ La synthèse de l’enseignant est nécessaire pour

mettre en évidence ce qu’il faut retenir

­ Les moments d’entraînement suffisant sont

nécessaire pour automatiser l’usage des

connaissances

Les problèmes au cœur de la

démarche (R. Charnay)

La démarche d’enseignement

Caractéristiques

Situation de

départ

Situation-problème présentée à l’oral ou à l’écrit­ à partir d’objets concrets (pions, cartes…)­ d’un énoncé­ d’une situation vécue par les élèves

Recherche­ temps de recherche individuelle­ temps de recherche en groupe (de 2 à 4)

Mise en

commun

­ Ecoute et comparaison des procédures des différents groupes

­ Analyse des procédures erronées­ Validation des procédures efficaces

Caractéristique

Synthèse

­ Réalisation d’une affiche de référence

comportant :

Les différentes procédures personnelles valides

La procédure experte

Phase

d’entraînement

­ D’abord des problèmes d’application qui

appartiennent à la même « catégorie » que celui

de la situation-problème

­ Puis des problèmes de réinvestissement dans

différents contextes

Phase de

transfert

­ Résolution de problèmes complexes faisant appel

à plusieurs connaissances et capacités étudiées

auparavant

La démarche d’enseignement

Trois types de problèmes

au cours de la démarche

PROBLEMES POUR APPRENDRE

Situations-problèmes

de découverte

Problèmes

d’application directe

Problèmes de

réinvestissement

Problèmes dont la résolution vise la

construction d’une nouvelle connaissance

Problèmes destinés à s’entrainer à maîtriser

le sens d’une connaissance nouvelle

Problèmes ayant pour but le réinvestissementd’une ou de plusieurs

connaissances dans des contextes différents de

ceux déjà abordés

Les trois types de problèmes au

cours de la démarche

Euro Math – CP

Les trois types de problèmes au

cours de la démarche

Cap Maths CE1

Pour comprendre les mathématiques CE2

Les trois types de problèmes au

cours de la démarche

Deux niveaux de résolution des problèmes:

la procédure personnelle

et la procédure experte

Procédure personnelle

et procédure experte (R. Charnay)

Hier, il faisait très beau. Au départ de 11h, le bateau était complet.

Combien y avait-il d’enfants?

Procédures personnelles

Utiliser ses

connaissances pour

imaginer une procédure

quand on ne dispose

pas en mémoire d’une

procédure experte pour

cette catégorie de

problème…

Procédure personnelle

et procédure experte

Procédures expertes

Utiliser une procédure

connue que l’on sait

adaptée à la situation du

problème.

Fonctions des problèmes dans

l’enseignement des mathématiques:

l’apprentissage de la résolution de problèmes

Analyse de productions d’élèves

Evaluations

nationales CE1

Evaluations

nationales CE1

Evaluations

nationales CM2

Evaluations

nationales CM2

Causes d’erreurs détectées

­ Contrat didactique erroné:

­ « Résoudre un problème, c’est faire n’importe quel calcul avec les

nombres de l’énoncé »

­ Non compréhension de l’énoncé

­ Erreur dans le choix de la procédure de résolution

­ non reconnaissance d’une situation de transformation additive ou

de proportionnalité

­ Erreur dans l’exécution de la procédure

­ Erreur de dénombrement dans un schéma

­ Non communication de la réponse

Capacités mises en œuvre pour

résoudre un problème (IREM)

Communiquer la réponse

Exécuter la procédure

Rechercher une procédure

Comprendre l’énoncé

Rechercher une procédure ?

Rechercher une procédure?(R. Charnay – analyse des évaluations de 6e)

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances

dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a.Combien y a-t-il de pages complètes?

b.Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète?

Il y a …… pages complètes. 54% réussite

Il y a …… photos sur la page incomplète. 57% réussite

Xavier range les 50 photos

de ses dernières vacances

dans un classeur.

Chaque page contient 6

photos.

a.Combien y a-t-il de pages

complètes?

b.Combien y a-t-il de photos

sur la page incomplète?

Il y a …… pages complètes.

54%

Il y a …… photos sur la page

incomplète. 57%

Procédures possibles

1. Schématisation des pages et photos• Dénombrement CP

2. Addition de 6 en 6 • Addition CE1

3. Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication CE2

4. Division par 6• Division CM1

Rechercher une procédure?(R. Charnay – analyse des évaluations de 6e)

Comment se fait-il que des élèves qui disposent de

connaissances permettant de résoudre un problème…

• ne pensent pas…

• n’osent pas…

…les utiliser pour répondre à la question?

On observe généralement des calcul erronés (50-6 = 44 / 50x6 = 300).

PISA confirme ces observations:

élèves + pour les problèmes d’application

Élèves à la peine pour résoudre des exercices nécessitant initiative

fort taux de non-réponse

Rechercher une procédure?(R. Charnay – analyse des évaluations de 6e)

Charnay: Il faut donc rendre nos élèves…

­ experts dans la résolution de certains problèmes

pour lesquels il reconnaît rapidement le traitement

approprié ;

­ capables d’initiative pour d’autres problèmes,

capables d’imaginer des résolutions originales, de

les tester, de traiter la situation proposée de manière

personnelle, originale.

Rechercher une procédure

Résoudre un problème

Communiquer la réponse

Exécuter la procédure

Rechercher une procédure

Comprendre l’énoncé Trouver

facilement la

solution experte

Imaginer une

solution

personnelle

Un autre type de problème pour

apprendre à chercher une

procédure personnelle

Les problèmes pour chercher

PROBLEMES POUR APPRENDREPROBLEMES POUR

CHERCHER

Situations-

problèmes de

découverte

Problèmes

d’application

directe

Problèmes de

réinvestissementProblèmes ouverts

Problèmes dont la résolution vise la

construction d’une nouvelle

connaissance

Problèmes destinés à s’entrainer à

maîtriser le sens d’une connaissance

nouvelle

Problèmes ayant pour but le

réinvestissementd’une ou de

plusieurs connaissances

dans des contextes différents de ceux

déjà abordés

Problème centré sur le

développement des capacités à chercher : en

général, les élèves ne connaissent pas la solution experte

Les problèmes pour chercher

Au cycle 2

Les problèmes pour chercher

Au cycle 3

Bibliographie J1

− Le socle commun de connaissances et de compétences –

Ministère de l’éducation nationale – 2006

− Programmes 2008 – BOHS N°3 du 19 juin 2008

− Le nombre au cycle 2 – Ressource pour faire la classe – MEN

− Le nombre au cycle 3 – Ressource pour faire la classe – MEN

− TFM – Télé Formation Mathématique (http://www.uvp5.univ-

paris5.fr/TFM/)