problemas de matemáticas para el ingreso a la...
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Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las TunasUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas
PROBLEMAS DE MATEMÁTICASPARA EL INGRESO A LAEDUCACIÓN SUPERIOR
Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; ArsenioCelorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez
PÁGINA LEGAL
374.852-Riq-P
Riquenes Rodríguez, Milagros
Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez … [et al.]. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-959-16-1956-3. -- 77 pág.
1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.
2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto
Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, (torri@reduniv.edu.cu)Depósito Legal: 9789591619563
Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio CelorrioSánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012
La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas.
Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cubae-mail: torri@reduniv.edu.cu En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos
TABLA DE CONTENIDO
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones linealesEcuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadráticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadráticas
2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.Método de adición algebraica.Método de Sustitución.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales
3. TrigonometríaÁngulos y medición de ángulosFórmulas de reducciónFunción PeriódicaGráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades∈ ∈Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonométricasDemostración de identidades trigonométricasEcuaciones trigonométricasEjercicios
PRÓLOGO DE LOS AUTORES
El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos:
• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales.
• Sistema de ecuaciones lineales y
• Trigonometría.El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.
Los autores, junio 2012
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales
Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y Salvador Ochoa Rodríguez
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
3
Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incógnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los números reales. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Las ecuaciones de la forma 0=+ bax (con a y b números reales 0 ≠a ) se denominan lineales
en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx −
=
Ejemplos. Resolver las ecuaciones:
3212
1313 )
)2(5)24(32 )85
43
21
31 )
234 )
−+
=−+
+−=−+−−
+=−
=−
xx
xxd
xxxxc
xxb
xa
Soluciones:
45
432
234 )
=
+=
=−
x
x
xa
=→=
=
=−=−
=
45
2
2353454
:Prueba
SMDMI
MD
MI
65
43
21
31 ) +=− xxb
En este caso, la ecuación no está expresada en la forma 0bax =+ ( con 0 a ≠ ) , debe reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:
• Agrupar todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho (MD):
21
65
43
31
+=− xx
• Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los números: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 ==MCM
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
4
• Multiplicar toda la ecuación por MCM
( )12 /.21
65
43
31
+=− xx
61094 +=− xx
• Reducir en cada miembro, los términos semejantes 165 =− x Despejar la variable x
5
16−=x
Comprobación o prueba:
3047
301532
21
1516
21
516
31: −=
−−=−−=−
−MI
3047
302572
512
65
516
43: 6
5 −=+−
=+−
=+
−MD
Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor 5
16−=x y el conjunto
solución es
−=
516S .
Análogamente se resuelven los demás ejemplos. )2(5)24(32 c) +−=−+−+ xxxx
144
342522252432
==
+=++−−=+−−+
x x
--xxx-x xxxx
{ }1=S
Nota: La prueba queda para el estudiante.
3212
1313 )
−+
=−+
xx
xxd
Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 0=+ bax (con 0≠a ) . El común denominador de la ecuación es: ( )( )3213 −− xx
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
5
41-
8)(: / 2831326296
1326329613)(12()32)(13(
)32)(13(3212
1313
3212
1313
22
22
=
−=−+−=−+−+−
−+−=−+−−+=−+
−−⋅−+
=−+
−+
=−+
x
xxxxxxx
xxxxxx ) xxxx
xx /xx
xx
xx
xx
Nota: Comprobar la solución obtenida. Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a se denominan cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula:
,2
42
2,1 aacbbx −±−
= donde acbD 42 −= es el discriminante.
reales. soluciones tienenoecuación La 0 Sí iguales. reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí
.diferentes reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí
→<→=→>
DDD
Cuando el trinomio cbxax ++2 tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:
065 ) 2 =+− xxa
15)3( ) −=− yyyb
xxx
xx
xxc)
22
212
2
2
−
−=
−−
++
0106 ) 2 =+− zzd
043 ) 24 =−− xxe
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
6
Solución:
)6 ,5 ,1( ;065 ) 2 =−===+− cbaxxa ;
0
06)3(5)3( 3 para Prueba
2 ó ,32
15)1(2
)6)(1(4)5()5(
21
21
2
2,1
MDMIMDMIx
xx
x
==
=+−==
==
±=
−−±−−=
{ }2;3 MI 0MD
06)2(5)2(MI 2 para Prueba 22
=→==
=+−==
SMD
x
Observe que el trinomio 65 ) 2 +− xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( = x - x - , 02 = x - ó 03 =−x : 2=x ó 3=x
De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no existir la descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula.
15)3( ) −=− yyyb
En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en la forma 02 =++ cbxax
yyyyy
0180153
2
2
=+−
=+−−
Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1=a , 8−=b y 1=c
154 ó ,154
21528
2608
)1(2)1)(1(4)8()8(
21
2
2,1
−=+=
±=
±=
−−±−−=
xx
x
Compruebe los resultados obtenidos.
{ }154 ; 154 −+=S
xxx
xx
xxc
22
212) 2
2
−−
=−−
++
Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
7
multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a
( )
( )
02 024
2)1( 2)-2)((
MCM.2)-( /.22
212
22
212
2
222
2
2
2
=−−
=+−−+−
−=−++
→−−
=−−
++
−−
=−−
++
xxxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xx
xxx
xx
xx
2 ó 10)2)(1(=−=
=−+xx
xx
Nota: El valor 2=x no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación.
{ } 1-S
31
31
321
2111
121:1 para Prueba
==
−=
−=+−=−−−−
+−+−
=−=
MDMI
MD
MIx
Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces extrañas.
{ } φ==<−=−−=−=
=−===+−
S ó Sy reales soluciones tienenoecuación la 0410142642 ntediscrimina el Como
10 6 1( 01062 )
))(()(acbD
)c,b,azzd
4 10)4)(1(
043204)2(32)2(
2 sea o ,por 2 dosustituyen
02 forma la a dadaecuación la reduzcamos 04234 )
=−==−+
=−−
=−−
=
=++=−−
yóyyyyy
xx
yx,yx
cbxaxxxe
genera no que lopor , Ren imposible es 1 igualdad La 4y 1:obtiene se ecuación laen doSustituyen
222
2
−==−=
=
xxxyx
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
8
{ }.2;2raíces. estas para prueba la Realice
2 :cumple se 4 igualdad laEn dada.ecuación la parasolución 2
−=
±==
S
xx
Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Ecuaciones con radicales. Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces extrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 34 =+x b) 1353 =+ x
c) xxx 21152 =+++ d) 11 =++ xx
e) 5416 =++ x f) 14244 =++− xx
g) x
xx+
=++242 h) ( ) 3 14353 2/1 =−+− xx
i) 1423 +=−−+ xxx j) 27411 xxx −−=−
k) 22 8
22
2
−= xx
x
l) )xlog()xlog(xlog 272 422 ++ =⋅
Solución:
a) 34 =+x
Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos miembros.
( ) ( )2234 =+x
94 =+x 49 −=x 5=x
Comprobación:
MDMIMDMI
==
==+=3
3945
S = { 5 }
b) 1353 =+ x
En este caso para racionalizar la ecuación aislemos
Comprobación:
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
9
primeramente el radical.
( )4)2(
cuadradoalElevando25
313
22
==
=
−=
xx
x
x
( )
{ }4
1313253453
===
=+=+=
SMDMI
MDMI
c)
[ ] [ ]
( )
30033093015144
144151215
1215
2115
2
22
22
222
2
2
===−=−
=−−−+−
+−=++
−=++
−=++
=+++
xx
xxxx
xxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
( ) ( )( )
( ) ( )( )
{ }33632
61512511353
30002
21111050
0
2
2
=∈⇒=∴==
=+=+=+++=
=∉⇒≠
==
=+=+++=
=
SSMDMIMD
MI
xParaSMDMI
MDMI
xParaónComprobaci
d) 11 =++ xx
[ ] [ ]
( ) ( )
0cuadradoal
nuevamenteElevando0
0
radicalel Aislando211
211
cuadradoalElevando11
radicalun Aislando 11
22
22
=
=
=
=−
−−++−=+
−=+
−=+
x
x
x
xxxxxx
xx
xx
{ }0
1;1010
onComprobaci
==
==++=
SMDMI
MDMI
e) 5416 =++ x
544 =++ x
1454 =−=+x
( ) ( )2214 =+x
14 =+x 341 −=−=x
{ }3
55144316
:ónComprobaci
−===
=+=+−+=
SMDMI
MDMI
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
10
f) 14244 =++− xx
[ ] [ ]2424281964
24144
2414422
+++−=−
+−=−
+−=−
xxx
xx
xx
{ }40 ; 14
148664362440440
:ónComprobaci
===
=+=+=++−=
SMDMIMDMI
( )
[ ]
402464
2464 248
248
28:/2428224
2428241964
22
==−
+=+=
+=
−+−=−
+−=−−−−
xxx
x
x
x
xxx
g) xx
xx +⋅+
=++ 2/242
[ ] ( )[ ]( )( )
[ ] ( )
3/2 6/4
046 0442
442 22
242
422
422
22
22
222
2
2
2
===−=−+−+
+−=+
−=+
−−=+
=+++
=+++
xx
xxxxx
xxxxxxx
xxx
xxx
xxx
h) ( ) 32
1
14353 =−+− xx
[ ] ( )
539143
914353
314353 222/1
−−=−
=−+−
=
−+−
xx
x
xx
( )
( )
{ }32
62
6222232
322
3224
384
3224
63
6333323
32332332322
323832322
:ónComprobaci
/SMDMI
:
///MD
///
////MI
==
==
==
==+
=
==
====+
+=++=
( ) ( )( )( )( )
{ }10
339 45
1625
141035103
:ónComprobaci
2/1
2/1
2/1
===
==+=
+=
−+−=
SMDMI
MD
MI
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
11
[ ] [ ]
( )18:/531890
53185381143
53531881143
539 143 22
−−−=−
−−=+−−−
−+−−=−
−−=−
x
xxx
xxx
xx
[ ] [ ] 22 53 5
535
−=
−=
x
x
103/30
3305325
===
−=
xx
xx
i) ( ) ( )221423
1423
+=−−+
+=−−+
xxx
xxx
142623 2 +=−+−+−+ xxxxx
[ ]606
66
6
2:/262
121462
22
22
2
2
2
2
=⇒=−=−+
=−+−
=−+−
=−+−
−−+=−+−
xxxxxxxx
xxx
xxx
xxxx
( ) ( )( )
{ }
ecuaciónladeextraña raízunaes6quedecimoscasoesteEn
ó 525164:
1232636:
:ónComprobaci
===→≠
==+
=−=−−+
xSSMDMI
MD
MI
φ
j) 27411 xxx −−=−
[ ]2
22 7411
−−=− xxx
22
22
74121
74121
xxxx
xxxx
−−=−+−
−−=+−
( ) ( )2742 xxxx −−=−
2742 xx −−=−
( )
SMDMI
MD
MIx
∈⇒==
=−−
=−=
01
107401:
101:0paraPrueba
ónComprobaci
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
12
[ ] [ ]
( )
2/1012004
012404807444
7444742
2
22
22
222
=⇒=−=⇒=
=−=−
=+−+−
−=+−
−−=−
xxxx
xxxx
xxxxxx
xx
( )
( )( )
{ }2/1;02/1
2/14/1
4/312/32/11
4/742/11
2/1742/11:
2/12/11:2/1paraPrueba
2
=∈=⇒=
==
−=−=
−−=
−−
=−=
SSxMDMI
MD
MIx
k) 22 8
22
2
−= xx
x. En este caso se trata de una ecuación exponencial, la cual debe estar expresada
mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias.
( ) ( )
( )( ) { }3 ;2S 32
032
065 ;0632 ;23222 ;822 2222322
2
22
=→
==
=−−
=+−=+−−−=−⇒== −−−
xx
xx
xxxxxxxxxxxxx
x
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
{ }1S 2244
22222
1 Para
definidas no sexpresioneson 2-log ,1-log ,4-log porque S4 :ón Comprobaci
1 4
014043
4472 ;2722log72log
base. misma laen expresados ,logaritmos loscon soperacione las de spropiedade lasaplican se
soluciónsu paray alogarítmicEcuación 2log272loglog22
:obtenemos potencias con soperacione las de spropiedade las Aplicando 422 l)
9log3log23log)21log(
9log9log0)712log(1log
2
2222
)2log(2)72log(log
)2log()72log(log
=∴
=====
=⋅=⋅=
→=
∉−=
=−=
=−+→=−+
++=++=+→+=+
→+=++=
=⋅
+
+
+++
++
MDMIMD
MI
x
x
xx
xxxx
xxxxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
13
Ejercicios. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) )3(4)1(8)94(44 −+−=−+ xxx b) 22
=+x
x
c) [ ] 66)94(7352 =−−− yyy d) ( ) ( )zzz −+=−− 136312
e) 105.03.07.0 +=− xx f) ( ) ( ) 437315 +=+−+ xxx
g) )122(311)23(7)5(3 −+=−−− xxx h) 4)32)(3()12)(1( −++=++ xxxx
i) 5.1)6()1)(1( 2 =+−−+ xxx j) )21)(21()4()5(1 22 xxxx −+=+−−−
k) 222 )2()1()5.2(2 −++=− xxx l) ( ) ( )
21
222
22 −=
−−− xxx
m) yy214
523
−=− n)
25
53
78
−=−
+− xx
o) 6
4214
4 −−=
+ xx p) 5144
52470
3750
,,x,x,
=+
−−
q) 18
19
456
53 xxx−=
+−
+ r) 121
314
611
432)1(3 ++
−=+
−−− xxxx
2. Halla el conjunto solución: a) 122)9( −=+ xxx b) 1)5(39)3)(2( 2 −−=+−+ xxxx
c) 0)23
)(21( =++
xx d) 2)25(2 2 −=+ xx
e) 2)4(125)2(4 −−=−+ xxx f) 12)2(2)2( 2 ++=+ xxx
g) )32(315 2xx −= h) 203553 2 −=−−− )x()x(
i) 2)52()53(2 +−=+ xxx j) )1(6)1()1(9 222 −=++− aaa
k) 27)2(20)12)(53()45( 2 +−=−+−− xxxxx l) 595932 2 −=+−− )t()t(
m) 04)12(5)12( 2 =++−+ xx n) )2)(3()5(319 2 +−−−=+ tttt
o) 21
222
22 −=
−−− x)x()x( p) ( )( ) 12
11)1(5
+=−+
− xxx
x
3. Para qué valores de x ∈ R se satisfacen las siguientes igualdades. a) 332 =−x b) 465 =+x
c) 32 −=−x d) 065 =−−x
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
14
e) 51232 =++ x f) 010275 =+−− xx
g) 02713 =−−+ xx h) 08522 =−−− xx
i) 42 =−+ xx j) 11 −=−− xx
k) 4164 −+= xx l) xxx 21152 =+++
m) 012 =+− xx n) 6=+ xx
ñ) 04284 =−−+ xx o) ( ) 102:3212 −−=− xxx
p)
7217−
=+−x
xx q) 6
121 +=+
++ xx
x
r) 13 =−+ xx s) 3129 2 =−−− xxx
t) 27411 xxx −−=− u) ( ) ( ) 2/12/1 721 −+=+ xx
4. Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:
a) xx 21)7( =++ d) 15 =++ xx b) 1)4(2 +=+ xx c) 13)7(2 +=−+ xx
e) 337 2 =++ x
f) 472
2−=
−
− xx
x
5. Calcula los ceros de la función 115)( −−−= xxxh 6. Resuelve la ecuación: 32252 −=−+ xxx
7. Halla el conjunto solución de la ecuación 1162 2 +=++ xxx 8. Sean las funciones: ( ) 4133 2 +−= xxxf y ( ) 4−= xxh Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h.
9. Resuelve la ecuación: 1312
52
2=
−+
−+
+x
x
xx
xx
10. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: 2x13)x(f −−= y 33x 3)x(g −+= . Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas
son menores que las soluciones de la ecuación )x75,0(xx3 52713 −+=+
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
15
11. Halla los valores de x que satisfacen la ecuación: ( ) 539 14
21
39
=− +
++
xlogxlog
12. Resuelve la ecuación: ( ) 04921316 7
23 =−−+ logxxlog x
13. Sea: 1+x = f(x) . Halla todos los valores de t para los que se cumple: ( ) ( ) ( )412 −=−− tftftf .
14. Resuelve la ecuación: 3 4311 x-log ) = x++ ( log
15. Sean las funciones: ( ) xcossenxxf232 −= y ( ) 43 −= xxg . Determina los valores de x para
los cuales se cumple que ( ) ( )4gxf = . 16. Resuelve la ecuación: ( ) ( )13log1113log 1k
21k
2 −+=− −−
17. Sean las funciones: ( ) xlogxxlogxf −+= 72 24 y ( ) 216 += xlogxg . Determina los valores de x
para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 18. Resuelve la ecuación: 1 = x-16+4x
19. Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación: 2=− aax
20. Resuelve: 61
131 =+
++x
x
21. Sea la función definida por ( )103.3log)( 2 +−= xx Axf .
a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0. b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satisfacen la ecuación f(x) = 0.
22. Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación: 26
)3²2(²)2(
2719.3
−−−−
=
xxx
23. Sean las funciones 2x
1x23x)1x()x(f+
+++−= y g(x)=x . Encuentra los valores reales de
x para los cuales se cumple la ecuación f(x )= g(x).
24. Dadas las funciones f y g definidas por x46)x(f −= y 3x²x3³x)x(g ++−= . Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0
25. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones )3tlog(102t)t(f ++−= y 3t21)²1t()t(g ++−−= . Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t)
26. Dada la función f de ecuación )12(log)( += xxf a . a) Si el punto de coordenadas )3 ; 62( pertenece al gráfico de f , determinar el valor de a y escribe la ecuación de f .
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
16
b) Si
−+=
351log)(
251 xx
xg , halle todos los valores reales de x para los cuales se cumple
que )()( xgxf = . Inecuaciones Lineales. En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones. Las inecuaciones de la forma 0<+ bax ó 0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ se denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. La inecuación lineal está expresada en sentido estrito si es de la forma 0<+ bax ó 0>+ bax y en sentido amplio si es de la forma 0≤+ bax ó 0 ≥+ bax . Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución.
6245 ) +>+ xxa
4321) >−− xb
10)6(2)1)(52)( +−≤−+ xxxxc Solución: En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y reducir todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo y los términos numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma 0<+ bax ó
0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ y posteriormente despejar la variable x.
>∈=→>
>−>−+>+
32
32
3:23 4625
6245 a)
x:RxSx
/xxx
xx
2143
4321
+>−
>−−
x
x)b
23
31
29
3293
−<
−⋅<
−>−
x
)(x
)(:/x
-∝ 32 +∝
-∝ -23 +∝
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
17
-∝ (+) x1 (-) x2 (+)
1062152 +−≤−+ )x(x)x)(x)(c
{ }11 1515
01515 051012232
1012253222
22
≤∈=≤
≤
≤−≤−−+−+
+−≤−+
x:RxSx
x
xxxxx
xxxx
Inecuaciones Cuadráticas. Toda inecuación de la forma:
)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 ≠≥++>++≤++<++
se denomina inecuación cuadrática. El trinomio cbxax ++2 es el miembro izquierdo de la inecuación (MI) y 0 es el miembro derecho (MD). Resolver una de estas inecuaciones es determinar para qué valores de x ( )Rx∈ cbxaxy ++= 2 con cb,a y números reales y 0≠a (función cuadrática) es positiva ( )0>y , no negativa ( )0≥y , negativa ( )0<y o no positiva ( )0≤y . Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente: Los ceros de la función cuadrática determinan (si los tiene) varios intervalos en R (rayo numérico) y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados. a) Sí 0 >a y 21 xx < . En este caso la gráfica de la
función cbxaxy ++= 2 con cyb,a números reales y 0≠a es una parábola (Fig.1) que abre hacia arriba siendo
x1 y x2 las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax , que son los ceros de la función
cbxaxy ++= 2 (abscisas de los interceptos de la parábola con el eje de las x) , los intervalos determinados son ( ) ( ) ( )+∞∞− ;y ;,; 2211 xxxx y los signos constante de la función cuadrática son los mostrados en la siguiente figura , tomados de la Fig.1
-∝ 1 +∝
1x 2x ∞++ +
- x
y
O
Fig.1
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
18
-∝ (+) x1 (+) +∝
b) Sí en a) cambiamos solamente el signo del factor a (Fig. 2), entonces cada signo se cambia por su
opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados son −+− , , , dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico.
c) Si 0 >a (Fig.3) y 21 xx = . En este caso los ceros de la función cuadrática son iguales, por tanto. los intervalos determinados son ( )1x;∞− y ( )+∞;x1 y los signos constante de la función son (+) y (+) como se muestra en la figura siguiente:
e) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces no tiene solución la inecuación porque en la función 2 cbxaxy ++= con 0≠a ,
.Rx,y ∈∀> 0 f) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )+ es todo R porque en la función
2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀> 0 g) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución para la inecuación porque en la función
2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 h) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )− es todo R porque en la función
02 =++= cbxaxy con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el sentido de la desigualdad. Nota: Por lo expuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la misma no tiene ceros, se puede concluir (*):
Fig.2
1x 2x ∞+
- - +
∞−
y
x
-∝ (-) x1 (+) x2 (-)
1x ∞−
+ x
y
O
Fig.3
+
∞+
∞−
x
y
O
Fig.5
∞+
Fig.4
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
19
• Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0>MI ó 0<a y 0<MI ) la solución de la inecuación es todo el conjunto de los números reales (R).
• Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0<MI ó 0<a y 0>MI ) la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como { }=S ó φ=S
Ejemplos. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución.
35)3() +≥+ xxxa
xxxb 10 8)3(4 ) 2 <−+ )3(23 )6()2(3 ) −<−−− xxxxc
)7 )2( ) xxxd +−>+ Solución: En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento: Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma:
)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 >≥++>++≤++<++ .Igualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores obtenidos los denotaremos como 1x y 2x Situar a 1x y a 2x en el rayo numérico Como 0>a el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma: +−+ ,, (Fig.1) si 1x y 2x son soluciones reales diferentes ó ++ , (Fig.3) si 1x y 2x son soluciones reales iguales. Para el caso de que no existan los valores reales 1x y 2x no es necesario determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según (*). Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la desigualdad. Los límites de los intervalos (al menos uno) solo se incluyen en la solución si la desigualdad es en sentido amplio (≥ ó ≤ )
{ }3 ó 1: ≥−≤∈= xxRxS ó ( ] [ )∞+∪−∞−∈∈= ;31 ;x:RxS
6 ,9 ,2 0692 0 692
(2) : / 0 12184 0 108124
10 8)3(4 )
2
2
2
2
2
=−===+−
<+−
<+−
<−−+
<−+
cbaxxxx
xxxxx
xxxb
Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.
3 ó 1 son trinomio del ceros los ,031
032
0353
353
2 1
2
2
=−=≥−+≥+−
≥+−+
+≥+
xx)x)(x(
xx
xxx
x)x(x)a
-∝ (+) -1 (-) 3 (+)
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
20
+−∈
+
<<−
∈=
−=
+=
±≈
±=
−±=
−±=
4
339, 4
339 xó 4
339 4
339
4
339 ó4
339
47459
4339
448819
22624819
21
21
x:RxS
xx
.)(
))((x ,
φ=<−
<−−<+−
<+−
<+−+−−
−<+−−
−<−−−
Sxxx
xxxx
xxxxxxxxxxxxc
0 )5(
0 )5)(5( 0 2510
(3) : / 0 75303 0 69236636923 663
)3(23 )6()2(3 )
2
2
2
2
2
La función ( )25−= xy es no negativa para toda Rx∈ , luego la inecuación no tiene solución.
0 73 0 72
7 2 )7( )2( )d
2
2
2
>++
>+++
−−>+
+−>+
xxxxx
xxxxxx
Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula:
0 1928971434
7 3 ,1 07322
2
<−=−=−=−=
====++
))(()(acbD
c,baxx
El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, (coeficiente de 2x ) con el signo de la inecuación dada (>), la solución es todos los números reales
S = R. Ejercicios. 1. Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) 2125 ≥−x
b) x.x. 802623 −>−
c) 3553 +−<+− )x(x)x(x d) )x()x(x 3233242 ++>++− e) x)x( 392721 >−− f) x)x()x( 164335 <−−−
-∝ +∝ 4
339− 4
339++ - +
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
21
g) 10552
+−≤−+ x)x(x h) 4123223 2 +
−<+ xxxx
i) 274
651
312
+<−+− xxx j) 1
103
23
43
>
+−−
xxx
k) ).x(x).x()x)(x( 10105074 2 −+≥−−+−
l) 1645154
6123
31
−+>
−−− )x(x(x
2. Hallar los valores de x ∈ R que satisfacen las siguientes inecuaciones: a) 02142 >−− xx b) 06113 2 ≤+− xx c) 0212 ≥−+ )x)(x( d) 042 ≤−x
e) 041 2 ≤− x f) 17134 2 >− xx
g) 0144 2 ≤+− xx h) 2591355 22 −−+≥−+ x)x()x)(x(
i) 321
21 22
>
−−
+ xx
j) 22 222 )x()x)(x(x −≥−++
k) 2417354 222 +>−+−−+ x)x()x()x(l) 2
23 44
22 >
−− xx
m) 2
241
41
+<
−+ xxx
n) 222 1010 x)x.()x.( −≥−−+
ñ) 21
8522
6123
>−+
−− )x)(x(x
o)
51212214 ≤+−−−− )x)(x()x)(x( p) 0)(x 561 >−>−− )x(x)x(x
q) )x(x 5321 2 +<
r) 051<
+−
xx s) 142
<−+
xxx
3. Sean x
y Cxxxx , B
xxxxA 1
3522
9652
2
23
2
23=
−+
−=
−
+−−=
a) Para qué valores de x, el numerador de A y B es no negativo b) Para qué valores de x, el denominador de A es negativo c) Si B es positivo, ¿qué valores toma x? d) Para qué valores de x, C es positivo.
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
22
4. Dada la función definida por: 9449
2
2
−
+=
x
x)x(p . Determina para qué valores de x los puntos
correspondientes al gráfico de “p” están por debajo del eje “X”.
5. Sea 4
432
23
−
+−=
x
xx)x(A . Determina el conjunto de números reales no negativos para los
cuales .)x(A 0≤
6. Sean: x+
+x-x-xA = 8
123 y
114-x
B = . Halla el mayor número entero negativo x para el cual
se cumple 0≤⋅BA .
7. Dada la función 4
4852
23
−
+++=
x
xxx)x(f . determina los valores reales de x para los cuales
se cumple que 0≥)x(f .
8. Resuelve la siguiente inecuación: 23
723
33 555
2 +−− +≥
xx)x( logloglog
9. Dadas 33 2 +−= kxx)x(f , 42 −= x)x(g y x)x(h −=1 a) Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes. b) Calcula los ceros de f para k = 7. ( 6313 ,≈ ) c) Determina los valores de x que satisfacen la inecuación g(x) < h(x). 10. Dadas las expresiones: 28336 22 −−=−= xxByxA .Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones.
11. Resuelve la inecuación 2094
15 2 +−
≤−
−− xx
xxx
x .
12. Dadas la funciones )3x(log)x(f 2 −= y 4xlog)x(g 5,0= . Halla los valores de x para los
cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g.
13. Sean las expresiones 125
543
23
+
−+=
m
mmmA y
2520433
23
2
++−
−=
mmm
mB .
a) Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que 3m
BA
−= .
b) Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que:
32
342 −+≥ mm
BA
14. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: ( ) 523 ++= xxf ,
( ) xxg 34= y ( )52
21 +
=
x
xh . Calcula los valores reales para los cuales se cumple que
( ) ( )xhxg ≥ .
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
23
15. Se tiene la expresión ( )54
+−
=x
xxA .
a) Resuelve la ecuación ( ) xxA 164 = (x ∈ R) . b) Determina para quévalores reales de la variable x se cumple que ( ) xxA ≥ .
16. Sean ( )552
+−
=xx
xf y ( )3
1−
=x
xg . Determina para qué valores de x se cumple:
( ) ( )xgxf 33 ≥ .
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
24
BIBLIOGRAFÍA
1. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.-
Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.
2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.
Ciudad de la Habana. 1995.
3. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial
Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial
Pueblo y Educación 1989.
5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,
Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,
6. 1991. —152p.
7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior
2. Sistema de ecuaciones linealesMilagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y
Salvador Ochoa Rodríguez
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
3
SISTEMA DE ECUACIONES.
Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Llamaremos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (o variables) a todo conjunto de ecuaciones de la forma:
mentesimultanea nulos no 2y 2y reales números 2y 2 ,2con 222
mentesimultanea nulos no 1 1y reales números 1y 1 ,1con 1y 11bacbacybxa
byacbacbxa
=+
=+
Conjunto solución: La representación gráfica de una función lineal de la forma nmxy += con nm y números reales, es una recta del plano. Transformando algebraicamente en la ecuación
nmxy += podemos generalizar que toda recta del plano está dada por la ecuación cbyax =+ con
y ba números reales no simultáneamente nulos, por lo que obtener el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, significa geométricamente, determinar el punto de intersección entre ambas rectas lo que permite conocer la posición de las mismas (secantes ó paralelas coincidentes ó disjuntas).
Caso I: y 21 rr son secantes (se cortan en un punto) Fig.1
En este caso el conjunto solución del sistema, está formado por las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas y el sistema es determinado (solución única); )} ;{(S 11 yx=
Caso II: rr 21 y (Fig. 2) son paralelas coincidentes.
Aquí el conjunto solución en infinito ya que la intersección de ambas rectas es la propia recta r1 ó r2 que contienen infinitos puntos. En este caso el sistema es indeterminado; . S ó S 21 rr ==
O x
y
r1
r2
Fig. 1
O x
y
r1
r2
Fig. 2
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
4
Caso III: rr 21 y (Fig. 3) son paralelas disjuntas.
En este caso el conjunto solución es vacío ya que dichas rectas no se interceptan; { }=S ó φS = y el sistema es imposible o incompatible.
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones o demostrar que carece de ellas. A continuación mostraremos dos métodos para resolver estos sistemas.
Método de adición algebraica.
Método de sustitución.
Método de adición algebraica.
Para resolver un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas se elimina una de las incógnitas y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra, esta eliminación de una de las incógnitas puede lograrse sumando o restando las ecuaciones dadas después de haberlas multiplicado en casos necesarios por números convenientes.
Una vez hallado el valor de una de las incógnitas se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema la cual se resuelve respecto a la otra incógnita.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
34197a)
x - y y x
==+
12
42b) -y x - x - y
==
523 532c)
y x y x
=+=+
9611 2383 d)
-y x y x
=+=+
1416162131e)
- y / x - / y / x - /
==
Solución:
a) En este sistema para eliminar la variable y con sumar ambas ecuaciones es suficiente.
34 2)197 1
x - y y x )
==+
2211 =x
2=x
Sustituyendo en 1)
5 197(2)
y y
==+ { }5) ; (2S =
O x
y
r1
r2
Fig. 3
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
5
Comprobación:
Se sustituye los valores obtenidos, en las ecuaciones originales para verificar que las mismas satisfacen ambas ecuaciones.
MD 3 5 - 4(2): MI 2)ecuación En MD. 19 5 7(2): MI 1)ecuación En ====+
1242
-y x - x - y b)
==
En este ejemplo para eliminar la variable x ó y es necesario multiplicar por -2 la ecuación (2) para eliminar la variable x o la ecuación (1) para eliminar la variable y. Eliminemos y, multiplicando la ecuación (1) por (-2)
1222421
-y x -) ).(/ x - y )
=−=
12 824
-y x - y x
=−=+−
3
93=
−=−xx
Sustituyendo en )2( :
123 −=− y
224
231
=−−
=−
−−=y
{ });(S 2 3=
52325321
y x ) y x ) c)
=+=+
En este caso para eliminar x ó y es necesario multiplicar ambas ecuaciones por el número que al sumar estas se anule una de las incógnitas.
Si se desea eliminar x se multiplica la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por (-2). Si se desea eliminar y se multiplica la ecuación (1) por (-2) y la ecuación (2) por 3. Eliminando x
).(/ y x ) ).(/ y x ) 25232
35321−=+
=+
1046
1596 −=−−
=+yxyx
1 55
==
yy
Sustituyendo en la ecuación (1):
5)1(32 =+x
122
235
==−
=x
{ });(S 1 1=
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
6
En general cuando se resuelve un sistema de la forma:
221
1112
1) cy bx ) a
cy bx a=+
=+
Por el método "Adición Algebraica" (método de reducción) es necesario conocer el factor por el que hay que multiplicar cada una de las ecuaciones y para ello se puede utilizar el siguiente procedimiento:
1ro.- Hállese el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los coeficientes de la incógnita que desea eliminar.
2do.- Divídase este MCM por el coeficiente de la incógnita a eliminar en la primera ecuación y el cociente dará el valor absoluto del factor que se debe usar para multiplicar esta ecuación.
3ro.- Análogamente se determina el valor absoluto del factor que se utiliza en la segunda ecuación.
4to.- El signo de cada factor dependerá del signo de los coeficientes de la incógnita a eliminar.
9611 2383
-y x y x d)
=+=+
Eliminemos y :
3 . 2 6 2 8
¿? : 6y 8 de MCM3
==
(2)ecuación lar multiplica debe se que elpor factor del absolutovalor 4 6 : 24(1)ecuación lar multiplica debe se que elpor factor del absolutovalor 3 8 : 24
24 3 . 2 6)y 8 de( MCM 3
→=→=
==
4)} , {(-3 S
4 3832 35105
328 10535
9238 362444238969249
23833 496112(1)ecuación laen doSustituyen 32383(1)
=
======
+==+ =+−=
= + )−( )( / −= + =+
y -x : y : -x
y -x
y -y x y -y x - -
yyx) ( ) / (- y x
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
7
141
61 (2)
621
31 (1) e)
- y x -
y x -
=
=
Este sistema es de coeficientes fraccionarios por lo que se hace muy difícil la reducción de una variable. Es necesario que eliminemos las fracciones multiplicando cada ecuación por el MCM de sus denominadores.
Imposible 480 :obtiene se ecuaciones ambas restando1232
3632
(12)141
61 (2)
(6)621
31 (1)
12 es 1y 4 , 6 de MCM : (2)ecuación En 6 es 1y 2 , 3 de MCM : (1)ecuación En
→===
=
=
-y x -
y x -
/ - y x -
/ y x -
Del resultado anterior se infiere que el sistema no tiene solución o sea
} { S = y esto significa geométricamente que las rectas dadas por dichas ecuaciones son paralelas disjuntas.
Método de Sustitución.
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, resultando una ecuación de una incógnita que se resuelve por el método de solución de ecuaciones lineales. Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas por sustitución se encuentra el valor de la otra.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas:
203 632
y x y x - a)
=+=
54 )9()6(14)3()2(
=+=
y - x x - y - x - - y y -b) x
a) ( )
( ) 20326 321
y x y x -
=+=
Despejar x en la ecuación (1). Puede despejarse cualquier de las dos incógnitas en cualquier ecuación.
3) 236 yx +
=
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
8
Sustituyendo en la ecuación (2): 20236 3 =+
+ yy
2./20236 3 =+
+ yy
( ) 402363 =++ yy
402918 =++ yy
401118 =+ y
→==−
= 21122
111840y Sustituyendo en 3) ( ) 6
212
2236
==+
=x
{(6,2)} S =
( ) ( )( ) ( ) 5496
1432 y - x x - y - x - - yy -x b)
=+=
En este caso debe calcularse primeramente las operaciones indicadas hasta transformar este sistema en un sistema de la forma:
221
111 cy bx a cy bx a
=+=+
1823 35469 549 6 :)2( Enecuación
14321432 : (1)ecuación En
-y x ) /:(-yx - - x y - xy -yx -
yx -y x - yx xy -
=+=→=
−=+−→=+
Obteniéndose el sistema:
1823(2)
1432 (1) -y x
-y x -=+
=+ Para resolver el mismo debe procederse como en el ejemplo anterior:
Despejar y en ecuación (1):
32143 xy) +−
=
Sustituyendo en la ecuación (2):
183
214 23 - x x =
+−
+
183
21423 - x x =
+−
+ /.3
544289 -x x =+− 26285413 −=+= -x
21326
−=−
=x
Sustituyendo en (3):
6318
32214
−=−
=−+−
=)(y
{(-2,-6)} S =
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
9
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas
z y -x - z y x -y - z x
14245 11432423 a)
==++=+
631223325b)
- y - z -z y - x - z y x
===++
20
1610 c)
=+=+=+
s r r t t s
2323
4321
5132 d)
−=−+
=+−−
=−+
zyx
zyx
zyx
Los sistemas a resolver, son sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y para resolverlos se elimina una incógnita entre dos ecuaciones y luego se elige otro par de ecuaciones y se elimina de nuevo la misma incógnita. Resulta así un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelven de la manera ya estudiada. Los valores obtenidos para estas dos incógnitas se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones del sistema original.
Es decir, se reduce el sistema dado a uno de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y después a una ecuación lineal en una incógnita. Se puede utilizar, según sea más cómodo, el método de sustitución o el de reducción.
Solución:
z yx - z y x -y - z x
14245 (3)11432(2)423(1) a)
=−=++=+
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos z
-y x
z y x -z y - x
z y x / -z y x
51114 4)
11432164812
114322)(4)4231)
=+
=++=+
=++=−+
Tomemos las ecuaciones (1) y (3) y eliminemos z
228 5)
14245 8246
14245 )3(-2)423 1)
=
=−=+
=−=−+
y-x-
z y x - z y x - -
z yx - / -z y x
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
10
Con las ecuaciones (4) y (5) formemos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
3 (-101) :303
303101
30811214 5 1114
(14)22 8(5)5 1114(4)
- y y
y -
y x -- -y x
/ y -x -y x
===
==+
=−=+
Sustituyendo en ecuación (5)
212422
2238
x )) : (- ( x
) (- - x -
=−=
=
Sustituyendo en ecuación (1):
4(-1) :4
4(-3) 2 (2) 3
z - z
- - z
===+
4)} 3,- , {(2 S
MD 14 2(4)(-3) 4 - 5(2) : MI : (3)ecuación En MD 11 4(4) (-3) 3 2(2) : MI : (2)ecuación En
MD4- 4 (-3) 2 3(2) : MI : (1)ecuación En :ón Comprobaci
=
==−==++
==+
63)31323)2325)1)
−=−−=−−
=++
zyzyxzyxb
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
11
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y convenientemente eliminemos x:
Con las ecuaciones (3) y (4) formamos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
1- y que lopor , (-44) : 44 y 44 44y -
10- 9z -17y - 54 9z 27y -
10- 9z -17y - 4)(-9) /.6- z -3y 3)
===
==+
==
Sustituyendo en (3) para hallar a z
3 z /(-1)3- z-
3 6- z- 6- z - 3- 6- z - (-1) 3
==
+===
Sustituyendo en ecuación (1)
3)} 1,- , {(22
133(3)2 (-1)5
S x
- x x
====++
20(3) 16(2)10 (1) c)
=+=+=+
s r r t t s
Ordenemos el sistema dado en la forma r, s y t:
20 (3)16 (2) 10(1) c)
=+=+=+
s r t r t s
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos convenientemente t:
t r t s
16 (2))1.(/10(1)
=+−=+
16
10=+
−=−−trts
6 4 =− sr)
10917 4)
1323 96153
1323 (2)(-3)325(1)
-z y - -
-z y - x - -z y - x - -
-z y - x - /. z y x
=
==
==++
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
12
Con las ecuaciones (3) y (4) formemos el sistema de dos con dos:
132262
6420 (3)
r / : r
r ) -s ( s r
===+=+
Sustituyendo en ecuación (3):
7 20 13
==+
ss
Sustituyendo en ecuación (1)
} 3) 7; (13; { S
3710
107
=
===+
t - t
t
Observe que el conjunto solución está expresado en el mismo orden de las variables ts,r y
2323
4321
5132 d)
−=−+
=+−−
=−+
zyx
zyx
zyx
En este caso las variables se encuentran en los denominadores, para facilitar la solución recomendamos el siguiente cambio de variables:
Cz
By
Ax
===1y1;1
Sustituyendo en el sistema original se obtiene el sistema:
2323A (3)432 (2)532A (1)
−=−+=+−−=−+
CBCBACB
Sumemos ecuación (1) y (2) y eliminemos la variable A:
(2)./432 (2)532A (1)
=+−−=−+
CBACB
8642532A
=+−−=−+
CBACB
135 (4) =+ C-B
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
13
Sumemos ecuación (1) y (3) y eliminemos la variable A:
)2.(/2323A (3))3.(/532A (1)−−=−+
=−+CBCB
464615396
=+−−=−+
CBACBA
1935 )5( =+ CB
Tomemos las ecuaciones (4) y (5) y eliminemos la variable B
5./135 )4( =+ C-B
1935 )5( =+ CB
65255 =+ CB-
1935 =+ CB
8428 =C
32884
==C
Sustituyendo en ecuación (4): 21151313)3(5 =
−−
=→=+ B-B
Sustituyendo en ecuación (1): 12
3553)2(32A =−
=→=−+ A
Para hallar los valores de x; y e z se sustituye en las ecuaciones del cambio de variables.
1 111
==→=
x /x /x A
21 121
/ y /y /y B
==→=
31
131
z
/z /z C
=
=→=
Se comprueba en el sistema original.
En ecuación (1)
5362
311
213
12 MI MD==−+=−+=
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
14
Análogamente se comprueba en las restantes ecuaciones.
=
21
211 ;;S
Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas:
( )
x - y
y x 03 2)83 1)a) 22
=+=++
x y y x
=
=2
2
2 2)4 1) b)
( ) 122)
11) c)22
22
y x-
y x
=+
=+
Estos sistemas son cuadráticos ya que contienen al menos una ecuación de segundo grado por lo que es conveniente aplicar el método de sustitución.
Solución:
( )
x - y
y x 03 2)831) a) 22
=+=++
En este caso, donde existe una ecuación lineal y una cuadrática, se despeja una variable en la ecuación lineal y se sustituye en la cuadrática resultando una ecuación cuadrática, cuyas soluciones se sustituyen en la lineal para hallar el conjunto solución del sistema.
Despejando x en ecuación (2) :
32 y - ) x =
Sustituyendo en (1)
( )
4 82
833
2
2
22
y y
y y -
=
=
=++
24ó24 −=−=== yy
Sustituyendo en (3)
- - -x -Si y - - x Si y 532 2
1322==→===→=
Comprobación : ( ) MD8 4 4 22 3) (-1 : MI
(1)ecuación En 2 y e 1- x Para
2 ==+=++
==
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
15
MD0 3 2 1 - : MI(2)ecuación En
==+−
En ecuación (1)
} 2)- (-5, 2), (-1, { S MD 0 3 (-2) - ) (-5 : MI
(2)ecuación En MD8 4 4 (-2) 3) (-5 : MI
2- e 5- Para2 2
===+
==+=++
== yx
x y y x
=
=2
2
22)41) b)
En este ejemplo ambas ecuaciones son cuadráticas por lo que se despeja la variable lineal en cualquier ecuación, obteniéndose la ecuación (3), se sustituye en el otra ecuación, se resuelve la ecuación resultante, obteniéndose así los valores de una variable, y con estos se sustituye en la ecuación (3) para obtener los valores de la otra variable.
En el ejemplo, la variable x en la ecuación (2) está despejada. 22y x = , con esto sustituimos en ecuación (1):
( )
1 0 01ó04
0 14 044
4)(2y
3
3
4
22
y y - y y
- yy y - y
y
====
=
=
=
} 1) (2, 0), (0, { S2100
==→==→=
x Si y x Si y
( ) 122)
11) c)22
22
y x-
y x
=+
=+
En este caso todas las incógnitas que intervienen en el sistema son cuadráticas por lo que hay que utilizar el método de reducción o sustitución.
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
16
x x
x -
y x - x- - y -x
y ) (x - ) ) /(- y x )
1 (-4) : (-4)
044
1441
12 211 1
22
22
22
22
===+
=++
=
=+
=+
Sustituyendo en ecuación (1):
( ){ } ; S y
y y
010 0 1(1)
2
22
=→==
=+
Realice la comprobación.
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
17
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales.
Seguidamente estudiaremos la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. El planteamiento de los mismos requiere saber expresar en lenguaje algebraico las condiciones que en lenguaje común contiene el enunciado del problema como mostraremos en los ejemplos siguientes:
Un número x
Un número aumentado en 2 x + 2
Un número disminuido en 3 x - 3
El duplo de un número 2x
El triplo de un número 3x
La mitad de un número x/2 ó ½ x
El cuadrado de un número x2
El duplo de un número aumentado en 5 2x + 5
La edad de una persona hace cuatro años x - 4
La edad de una persona dentro de 5 años x + 5
Dos números enteros consecutivos n y n+1
Un número par 2n
Un número impar 2n + 1
Si las cifras de un número natural es d y las cifras de las unidades es u n = 10d+u Ej: 54 = 10(5) + 4
Si una persona camina x km por hora, el número de kms que camina en t horas (a un paso uniforme)
x. t
El número de centavos que hay en x pesos y en y pesetas 100x + 20y
Toda situación en la que se persigue la determinación de uno o varios números desconocidos mediante la relación (o relaciones) que existen entre ellos y otros conocidos, se dice que es un problema.
Los números y las relaciones conocidas constituyen los datos del problema. Los números cuya determinación se pide son las incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
18
A continuación mostraremos con algunos ejemplos la técnica de la resolución de los problemas por medio de ecuaciones (resolución algebraica).
Ejemplos.
Resolver los siguientes problemas:
a) La suma de dos números es igual a 52. La diferencia entre el triplo de uno y el quíntuplo del otro es igual a 100. ¿Cuáles son los números?
b) La suma de las edades de un matrimonio y de su hijo es 84 años. La quinta parte de la edad del hijo es igual a la diferencia entre las edades del padre y la madre. La suma de las edades de la madre y el hijo es igual a cuatro tercios de la edad del padre. ¿Cuáles son sus edades?
c) Cuáles son las longitudes de los lados de un triángulo si cada dos lados suman 9 cms, 12 cms y 13 cms.
Algunos aspectos a tener en cuenta en la solución de los problemas:
1) Representación (según el enunciado, escoger las variables a utilizar).
2) Planteo (formación de las ecuaciones).
3) Resolución (aplicación de los métodos estudiados para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas).
4) Interpretación de los resultados obtenidos y con esto dar la respuesta.
a) 1er número → x
2do número → y
7 8568
10053 15633
10053 2))3(./52 1)
=−=−
=−−=−−
=−=+
y ) /:(-y
yx yx
yx- y x
Sustituyendo en la ecuación 1):
527 =+x
45752 =−=x
R/ El primer número es 45 y el segundo es 7.
b) Edad del padre ------ x
Edad de la madre --- y
Edad del hijo ------ z
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
19
( )
( )3/3
4)3
5/5
)2
84)1
⋅=+
⋅−=
=++
xzy
yxzzyx
0334)3055)284)1
=++−=++−=++
zyxzyx
zyx
48 5) 21035 4)(7) :33677 (2) :420610
0334 055336444 420555
03343) 0552)(4)841)(5)841)
(3)y (1)ecuación En (2)y (1)ecuación En
=+=+=+=+
=++−=++−=++=++
=++−=++−=++=++
zy zy / z y / z y
z y x z y x z y x z y x
z y x z y x / . z y x / . z y x
36 33 841533 662
(1)en doSustituyen1443315 21035
3348(-3)485)4833 210354)
(5)en doSustituyen (5)y (4)ecuación Con
===++=
=−==+
==+=+=+
x y x y
-z y - z z y
- z / . z y z z y
R/ La edad del padre es: 36 años
La edad de la madre: 33 años
La edad del hijo es: 15 años
c) Los lados del triángulo.
------- zL ------- yL------- xL
321
13 3)12 2)9 1)
=+=+=+
zxzyyx
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
20
En ecuación (1) y (2) En ecuación (3) y (4)
834)
2:1612162 9
3 4)122)13 3) 1)(91)
==+−
==+=−=−−
=+−=+=+−=+
z zx
z z y z yx
zx zyzx /.y x
4 5 95138 (1)en doSustituyen (3)en doSustituyen
y x y x
===+=+
R/ Las longitudes de los lados son 5cms; 4cms y 8 cms respectivamente.
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
21
Ejercicios:
1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones. ( I ) 3x + y = 2 ( II ) 2x + 3y =5
Halle su conjunto solución. Represente gráficamente la función definida por la ecuación (I).
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
( )( ) ( )
z y x - y x y-x -x - z y - x - z x - y -
y - x z y x z y-x
525 523 2040320 7210 1545 50 20215 III) 526 II) 5234 )I
=+=+====+=++=+
3222
3IV)
=+=+=++
zy zx-y
zy x
532 212 V)
=++=+=++
zy x-z y- x z yx
3. Resuelva y compruebe:
5461
32
21
44
=+
=−
=+
zy
zx
yx
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a. 75
=+−=−
yxyx
b. 42 =+ yx
53 =+ yx
c. 14=+ yx
73 −=− yx
d. 136 =− yx 43 =− yx
e. 723 =− yx
3734 =+ yx
f. 2x + 9y = 3 4x + 3y = 80
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
22
g. 1834
361110−=+
=+−yxyx
h. 265 −=− yx
8083 =+ yx
i. 171513 =+ yx
27107 =+− yx
j. 5812 =+ yx
1885 =− yx
k. 33209 =+ yx
21158 =+ yx l.
113 0326−=+
=++)yx()y(x
m. 254
41
21
351
31
,yx
yx
=+
=+ n.
343
923
+=
−=
xy
yx
o. 4
525
=−
=+
yx
yx p.
14
1632
=+
=+
yx
yx
q. 50
3
1079
=+
=+
yx
yx
r. ( )
( )21
21
431
+−=+
−=−
yxyx
xyx
s. 743
211
=−
++
=−
−+
yxyx
yxyx
t. 526
29
24534
,yx
,yx
=−
=+
u.
9515
−=−−=+−=++
zyxzyxzyx
v.
5257210
426
=+−=−−
=++
zyxzyx
zyx
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
23
w.
x)z(xzyx
zyx
=−++=−
−=−
12354
16643
x.
0636
13263
3322
=+−
=−+
=−+
zyx
zyx
zyx
y.
( )
( )
( ) 52
52
521
=+
+
=+
+
=++
yxz
zxy
zyx
z.
4
122
xy
yx
=
=
aa. 0 212
=−=+
xyyx
bb. 01
12 2
=+−+=
xyxy
cc. ( ) ( )1
281 2
=−−=−
xyxy
dd.
21
14
22
xy
yx
=+
=+
Problemas: 1. La suma de dos números es 48. La diferencia entre el duplo del mayor y el triplo del menor es 6. ¿Cuáles son los números?
2. Si la mitad del número se resta del mayor de dos números, el resultado es 36. Halla los números, si difieren en 35.
3. La diferencia de dos números racionales es 5/8. El duplo del mayor menos el triplo del menor es igual a uno. ¿Cuáles son los números?
4. La suma del triplo de un número con el cuádruplo de otro es 85. La suma de la tercera parte del primero y la quinta parte del segundo es 7. ¿Cuales son los números?
5. Para fabricar una pieza entre dos obreros se necesitan 48 minutos. Si la diferencia entre los tiempos empleados entre ambos es de 8 minutos. ¿Qué tiempo empleó cada uno en la fabricación de la pieza?
6. Entre dos terminales marítimas se embarcan 2 000 t de azúcar por hora, si una de ellas embarca las 2/3 partes de lo que embarca la otra. ¿Cuántas toneladas de azúcar embarca cada una de las terminales por hora?
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
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7. En una tabla gimnástica, los 196 alumnos participantes forman 6 círculos y 4 estrellas. Para formar un círculo y una estrella se necesitan 40 alumnos. ¿Con cuántos alumnos se forma un círculo y con cuántos una estrella?
8. La diferencia entre el duplo de las horas voluntarias realizadas por Mario y el triplo de las horas realizadas por Alexis es de 12 h, y la mitad del número de horas voluntarias de Mario excede en 13h a la tercera parte de las de Alexis. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario realizó cada uno?
9. En el décimo grado de un preuniversitario, seis veces el número de varones es igual a cinco veces el número de hembras, y la mitad del número de varones excede en 10 a la tercera parte del número de hembras. ¿Cuántas hembras y cuántos varones hay en el grado?
10. En un aula de 38 alumnos, la cuarta parte de los aprobados excede en 2 a la cantidad de alumnos suspensos. ¿Cuántos alumnos aprobados y cuántos suspensos hay en el aula?
11. En un preuniversitario, la cuarta parte de los alumnos que practican pelota, sumados con la tercera parte de los que practican natación es igual a 20. Si se divide el triplo del número de los que juegan pelota entre el número de los que practican natación, el cociente es 4. ¿Cuántos alumnos practican cada deporte?
12. A una obra en construcción se le envían en el mes 80 cargas con un total de 488 t de materiales. Algunos camiones cargan 5 t y los restantes 7 t. ¿Cuántas cargas de cada tipo se han enviado?
13. La suma de tres números es 19. El triplo del menor más el duplo del mediano menos el mayor es igual a 18. El menor más el mediano excede en tres unidades al mayor. Halla los números.
14. Un melón, una piña y un aguacate cuestan $ 2.60; dos melones y tres piñas cuestan $5.60; dos piñas y tres aguacates cuestan $2.90. ¿Cuánto vale cada fruta?
15. El número de horas voluntarias realizadas por Norma, Caridad y Moraima suman 100. Entre Norma y Caridad han realizado los mismos números de horas que Moraima, y cuatro veces las horas realizadas por Norma e igual al número de horas realizadas por Moraima y Caridad. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario han realizado cada una?
16. La suma de las edades de Fermín, Leopoldo y Jorge es de 75 años. La suma de las edades de Fermín y Leopoldo es de 45 años y el duplo de la edad de Jorge excede en 15 años a la suma de las edades de Fermín y Leopoldo. ¿Qué edad tiene cada uno, si Fermín es 5 años menor que Leopoldo?
17. En un kiosco se venden 3 clases de revistas a $0.15, $0.20 y $0.25 respectivamente. En un día se vendieron 255 revistas por un valor de $52.50. Si el triplo de las que se venden a $0.15 es igual al duplo de las que se venden a $0.25. ¿Cuántas revistas de cada tipo se han vendido?
18. En un triángulo cualquiera la suma de las amplitudes del ángulo mediano y del ángulo menor excede en 36º al ángulo mayor y la suma de los ángulos mayor y mediano es igual al triplo del ángulo menor. ¿Cuántos grados mide cada uno?
19. En un número de 3 cifras, la suma de ellas es 14, la suma del triplo de las cifras de las centenas con las cifras de las unidades es igual a las cifras de las decenas. Si al números se le suman 99, el nuevo número tiene las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número?
20. En un número de 3 cifras, la suma de ellas es 15, la suma de las cifras de las centenas y de las decenas es igual al cuádruplo de las cifras de las unidades, y si al número se le resta 18, se intercambian las cifras de las unidades y de las decenas. ¿Cuál es el número?
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
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21. Un campesino tiene en su casa ovejas y gallinas. En total se tienen 56 patas y 17 cabezas. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas tiene?
22. La entrada a un espectáculo cuesta 80 centavos los mayores y 50 centavos los menores. Una noche entraron al espectáculo 320 personas y habiendo todas pagado la entrada, se recaudó por este concepto 220 pesos. ¿Cuántos mayores y cuántos menores entraron esa noche?
23. Un caballo y un mulo caminaban juntos, llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su penosa carga a lo que el mulo le dijo: ¿De qué te quejas? Si yo tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía. ¿Diga cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?
24. Un tren de carga con 38 vagones transporta 730 toneladas de minerales. Algunos vagones cargan 15t de mineral; los demás, transportan 20t. ¿Cuántos vagones de cada tipo hay?
25. Los tres ángulos interiores de un triángulo están en la razón.76
65 y . Calcula la amplitud de cada
uno.
26. En un grupo de estudiantes del 7mo grado de una ESBU, hay 35 estudiantes. Si el cuádruple de la cantidad de hembras excede en 20 a la cantidad de varones, ¿cuántas hembras y cuántos varones tiene el grupo?
27. La entrada a una piscina cuesta $5.00 por 3 mayores y 4 menores. ¿Cuánto paga cada uno, si un domingo entraron 31 mayores y 20 niños y se recaudó por este concepto $41.00?
28. En una fábrica de calzado solo se elaboran zapatos para niños y mujeres. Si 3 pares de zapatos de niños y 2 pares de mujeres cuestan $140.00 y en una jornada se vendieron 20 pares de niños y 40 pares de mujeres y se recaudaron $2000.00. ¿Cuánto cuesta un par de zapato de niño y uno de mujer?
29. Una parcela de autoconsumo de un CDR de nuestra provincia tiene forma rectangular. Si uno de
los lados es menor en m3 que el otro y el área del terreno es 228m . Calcula la longitud que tiene la cerca que rodea dicha parcela.
30. Entre Juan, Daniel y Pedro sembraron 36 árboles frutales. Entre Juan y Daniel sembraron 22, entre Daniel y Pedro sembraron 23 y entre Pedro y Juan sembraron 27. ¿Cuántos árboles frutales sembró cada uno?
31. En un ómnibus articulado viajan 96 personas. El número de mujeres es el triplo del número de niños y la cantidad de hombres es igual a la suma de la cantidad de mujeres y niños. ¿Cuántos niños viajan en el ómnibus?
32. El denominador de una fracción supera en 3 unidades al numerador. Si a cada término de la misma se le adicionan 2 unidades se obtiene la fracción ⅔. ¿Cuál es la fracción inicial?
33. El promedio de las notas de Miguel, un estudiante de Pre Universitario, en las asignaturas: Español, Inglés y Geografía es 88 puntos. Si hubiera obtenido 100 puntos en Español, el promedio sería 92 pero si en lugar de obtener 100 en Español lo hubiera obtenido en Geografía sería 94 el promedio. ¿Qué promedio hubiera obtenido si los 100 puntos los hubiera obtenido en Inglés?
34. Dos fábricas producen el mismo tipo de piezas. José trabaja en una de ellas y Pablo en la otra. Entre ellos tiene lugar el siguiente diálogo:
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
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José: Si mi fábrica lograse aumentar su producción diaria en 19 piezas, entonces produciría cada día el doble de lo que tu fábrica produce diariamente.
Pablo: ¿Tú conoces la producción diaria del país?
José: Sí, es de 87 piezas.
Pablo: Pues si tu fábrica produjese diariamente 2 piezas menos, entonces el cuadrado de esa producción sumado con lo que el país produce diariamente sería 8 veces lo que nuestras dos fábricas juntas producen al día en estos momentos.
¿Cuántas piezas producen diariamente cada fábrica?
35. Las tres cifras de un número suman 13. Si del número se resta 270 se obtiene otro número de tres cifras en el cual resultan intercambiadas la cifra de las centenas y de las decenas, pero se conserva la cifra de las unidades. El número de dos cifras formado por la cifra de las decenas y la de las unidades del número original es igual a 6 veces la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número?
36. En un mercado agropecuario hay dos cajas que contienen en total 90 Kg. de frijoles. Si de la caja más pesada se sacase el 10 % del contenido y se echase en la otra entonces ambas tendrían la misma cantidad. ¿cuántos Kg. de frijoles contiene cada caja?
37. Dos fábricas debían producir entre ambas 360 piezas de repuesto, según sus respectivos planes de producción. La primera de ellas cumplió su plan al 112% y la segunda al 110% y entre las dos produjeron 400 piezas de repuesto.
a) ¿Cuál era el plan de producción de cada fábrica?
b) ¿Cuántas piezas de repuesto produjeron cada fábrica?
38. En un taller de piezas de repuesto había en total 120 piezas de dos tipos. Una empresa adquirió la mitad de las piezas del tipo I y tres cuartos de las piezas del tipo II. Si lo que quedó es el 40% de las piezas que había inicialmente, calcula cuántas piezas de cada tipo había al principio.
39. Un número de cuatro cifras es mayor que 1000 pero menor que 2000.La cifra de las unidades es igual a la cifra de las decenas disminuida en 2. La cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades aumentada en 2. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las centenas es igual a la cifra de las unidades aumentada en 11. ¿Cuál es el número?
40. Dos grupos de estudiantes, en una jornada de trabajo voluntario, están recogiendo tomates. Al inicio de la jornada se le entregó a cada uno cierta cantidad de cajas vacías. La tercera parte de las cajas entregadas al grupo B excede en 4 a la cuarta parte de las entregadas al grupo A. Al terminar la sesión de campo, entre los dos grupos lograron llenar todas las cajas pero el grupo A, llenó 30 cajas menos que las que le habían sido entregadas y la cantidad de cajas que logró llenar el grupo B excede en dos al duplo de los que llenó el grupo A. ¿Cuántas cajas vacías se entregaron al inicio de la jornada a cada grupo?
41. En un Instituto Pre Universitario Vocacional en Ciencias Exactas hay 400 varones más que hembras. Se decidió trasladar para otro centro de este mismo tipo al 70% de los varones y al 20% de las hembras, quedando en el centro inicial, 100 hembras más que varones. ¿Cuántas hembras y cuántos varones se quedaron?
42. En un recipiente hay 10 Kg. de mezcla de alcohol y agua. Se añade cierta cantidad de agua de forma que la cantidad de alcohol representa el 30% del total. Se añade otra cantidad igual de agua y
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
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entonces el alcohol representa el 20% del total. ¿Cuánta agua se añadió en total y qué cantidad de alcohol hay?
43. En una granja estatal tenían sembrados 480 ha más de papas que de cereales. Después de haber recolectado el 80% del cultivo de papas y el 25% del de cereales quedaron en el campo 300 ha más de cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas de cada uno de los cultivos habían sembrados en la granja?
44. Alejandro hizo dos llamadas de larga distancia desde Ciudad de la Habana, una a Santiago de Cuba y la otra a Matanzas. La operadora al final le informa que habló en cada ocasión más de tres minutos y que en total estuvo conversando 15 minutos por lo que debe pagar $7,40. Más tarde, Alejandro consultó la siguiente tabla para saber lo que le cobraron por cada llamada:
Desde Ciudad de la Habana a los siguientes territorios. Tres minutos Minuto adicional
Pinar del Río, Isla de la Juventud, Matanzas 1.00 0.25
Las Tunas, Holguín, Granma, Santiago de Cuba, Guantánamo 2.40 0.60
¿Cuántos minutos estuvo hablando Alejandro con cada provincia?
¿Cuánto pagó por cada llamada?
45. Una empresa de la industria electrónica produce teclados y pantallas para calculadoras gráficas en dos plantas: en la A y en la B. En la planta A se fabrican 14 teclados y 9 pantallas por hora y en cada jornada de 8 horas se desechan como promedio 2 teclados y 2 pantallas. En la planta B, de más moderna tecnología, se producen 55 teclados y 55 pantallas por hora. ¿Cuántas jornadas de 8 horas debe trabajar cada planta para que conjuntamente produzcan 1210 teclados y 1090 pantallas?
46. En una UBPC se plantaron 2 caballerías más de papas que de boniatos. Después de una semana de trabajo en la recolección, los trabajadores de la UBPC verificaron que aun quedaba por recoger el 21% de la plantación de papas y el 75% de la de boniatos, lo que implicaba que faltaba por recoger 3,9 caballerías más de boniatos que de papas. ¿Cuántas caballerías de cada cultivo se habían plantado?
47. Entre dos Institutos Preuniversitarios en el Campo había a principios de curso 62 alumnos de duodécimo grado que manifestaron interés por estudiar carreras pedagógicas. A mediados de curso, el número de interesados en el IPUEC 1 se incrementó en un 20%, y en el IPUEC 2, en un 25%, de modo que entre ambos centros hay ahora 76 alumnos que desean estudiar una carrera pedagógica. ¿Cuántos alumnos de grado 12 aspiran en estos momentos a una carrera pedagógica en cada escuela?
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
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48. En un grupo de duodécimo grado todos sus alumnos eligieron en la primera opción una carrera de los grupos de humanidades, ciencias técnicas o ciencias naturales, comportándose las cifras de este modo:
El 20% de la matrícula optó por carreras de humanidades, las 43 partes del resto de los alumnos
prefirieron carreras técnicas, mientras que 8 alumnos optaron por ciencias naturales.
a) Halla la matrícula del grupo.
b) ¿Cuántos alumnos optaron por las carreras técnicas en la primera opción?
49. En el pasado campeonato nacional de pelota en nuestro país, después que cada equipo había celebrado la misma cantidad de juegos, los jugadores A y B habían conectado la mayor cantidad de jonrones, en ese orden. El triplo de los jonrones conectados por B era superior en 16 al duplo de los conectados por A. Si el cuadrado de los jonrones conectados por B lo dividimos por los conectados por A, el cociente es 20 y el resto es 16. ¿Cuántos jonrones conectó cada jugador?
50. Dos camiones distribuyeron cierta cantidad de materiales, de modo que cada uno transportó la mitad. El primer camión realizó 17 viajes, transportando siempre el máximo de su capacidad, excepto en el último viaje que solo utilizó el 50% de su capacidad. El segundo camión dio un viaje más y en cada viaje transportó una tonelada menos que la capacidad máxima del primer camión. ¿Cuántas toneladas de materiales transportaron entre los dos camiones?
51. En una cooperativa de producción agropecuaria se sembraron 40,5 hectáreas más de ajos que de
cebolla. Al terminar la recolección de las 53 partes de las hectáreas de ajo y el 30% de las hectáreas de
cebolla se concluyó que se había recolectado un total de 97,2 hectáreas ¿Cuántas hectáreas de ajo y de cebollas fueron sembrada en la cooperativa?
52. En febrero una casa de vivienda consumió en el mes, durante el período nocturno el doble de la electricidad que consumió durante el período diurno. Medidas internas aplicadas en ese núcleo familiar hicieron que en marzo, durante el período nocturno, el consumo eléctrico del mes disminuyera en un 25% y durante el período diurno se ahorra un 20%, lo que hizo que el consumo eléctrico de la vivienda este mes fuese de 184Kwh ¿En qué tanto por ciento disminuyó el consumo de energía de un mes a otro, una vez aplicadas las medidas?
53. En un Instituto Preuniversitario en el Campo participaron en el curso anterior todos sus alumnos en la Brigadas Estudiantiles de Trabajo. Si la cantidad de hembras participantes excedió en 70 al 40% de la cantidad de varones, y la razón entre la cantidad de hembras y varones es 3 : 4. ¿En cuánto supera la cantidad de varones a la cantidad de hembras?
54. En los Concursos Nacionales de Matemática, Física, Química e Informática las provincias que obtuvieron los tres primeros lugares, en ese orden, fueron Ciudad de la Habana con 105 puntos, Las Tunas con 74 puntos y Villa Clara con 65 puntos. En Matemática y Física la provincia ganadora resultó ser Ciudad de la Habana con 34 puntos en cada una de estas asignaturas; en matemática, Villa Clara logró 15 puntos y Las Tunas 5, pero en Física Las Tunas alcanzó 32 puntos y Villa Clara , 3 puntos. En Informática la provincia ganadora fue Villa Clara con 4 puntos más que Las Tunas y esta 4 puntos más que Ciudad de la Habana. Si el total de puntos de estas tres provincias en Informática fue de 57 puntos, determina cuántos puntos obtuvo cada una de estas tres provincias en Informática y Química
55. Dos brigadas de estudiantes de un IPUEC se propusieron recoger conjuntamente en un día 280 cajas de tomates. Después de terminar la jornada de la mañana, la brigada 1 había recogido las dos
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quintas de lo que se propuso y la brigada 2 el 60%, quedando por recoger entre las dos 142 cajas ¿Cuántas cajas de tomates le faltaban por recoger a cada brigada en la jornada de la tarde para completar el total de cajas que se propusieron?
56. En los meses de agosto y septiembre del año pasado, nuestro país fue azotado por los huracanes Gustav y Ike. Debido a las afectaciones provocadas se decidió, por parte de la dirección del país, asignar materiales de la construcción en las zonas más afectadas como parte del programa para la recuperación. En un Consejo Popular de la provincia La Habana se asignaron 3t más de cemento que de arena. Al transcurrir una semana, se determinó que aún faltaban por descargar el 20% de la cantidad de toneladas de cemento y el 70% de la cantidad de toneladas de arena lo cual equivale a que se tendrán que entregar 6,9t más de arena que de cemento.¿Cuántas toneladas de cada material se entregaron?
57. En días pasados se realizó una convocatoria para participar en un trabajo voluntario en la agricultura. Tanto el sábado como el domingo, el 60% del total de participantes eran hombres. Se sabe que el sábado participaron 25 hombres más que mujeres. Si el domingo participaron 10 mujeres menos que el sábado. ¿Cuántas personas más participaron el sábado que el domingo?
58. Tres trabajadores sociales Maria, Luís y José visitaron cierto número de viviendas durante dos jornadas de trabajo con la finalidad de actualizar el cobro de los efectos electrodomésticos entregado como parte de los proyectos de la Revolución. Como resultado del trabajo realizado en la primera jornada se sabe que fueron visitadas por los tres un total de 100 viviendas, y que Maria visitó 5 casa menos que las que visitó Luís, sin embargo en la segunda jornada con respecto a la primera, la cantidad de viviendas visitada por Luís disminuyó en un 10%, mientras que José aumentó en 5 la cantidad de viviendas visitadas. Si en esta última jornada se visitaron por ellos dos el 77% del total de las viviendas visitadas durante la primera jornada, ¿Cuántas viviendas visitó Luís y cuántas Losé en esta última jornada?
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
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BIBLIOGRAFÍA 1. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.-
Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.
2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.
Ciudad de la Habana. 1995.
3. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial
Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial
Pueblo y Educación 1989.
5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,
Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,
6. 1991. —152p.
7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior
3. TrigonometríaMilagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y
Salvador Ochoa Rodríguez
Trigonometría
3
Ángulos y medición de ángulos. Un ángulo orientado es un par ordenado )(h, k de rayos
kh y de origen común. En lo sucesivo supondremos que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo, que es el sentido contrario a las manecillas del reloj (Fig. 1)
BOA)h,k(AOB)k,h(
∠→∠→
0 → Vértice del ángulo Medidas de ángulos. Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado, estas medidas pertenecen a los sistemas circular y sexagesimal de medidas de ángulos respectivamente. Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma:
ººarcº180
α→α→π
↔ º180º
ºarc π=
αα ;
π=
αα o180
arcº ó
º180ººarc α
=πα , donde arc °α es la
medida en radianes del ángulo α y °α la medida en grados del ángulo α . Ejemplos a) Convertir 30º en radianes.
b) Convertir 4
3π en grados.
Solución:
a) 6180
30
30
180 πππ==→
→
→o
o
o
o .xx
b) ( ) oo
oo
1354
3 18043180
43
180===→
→
→
π
π
ππ .
xx
En conclusión, para convertir del sistema sexagesimal al circular y viceversa se utiliza
la relación
α→α→π
ººarcº180
como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte
del circular al sexagesimal, puede hacerse sustituyendo π por 1800 y se calculan las
operaciones indicadas, es decir: ( ) oo
1354
18034
3=⇔
π
k
h
B
A
Fig. 1
O
Trigonometría
4
Ejemplos.
a) Para llevar 45º al sistema circular: 4180
45
45
180 πππ==→
→
→o
o
o
o .xx
b) Para llevar 6
5π al sistema sexagesimal:
⇔ 6
5π ( ) 00
1506
1805=
Ampliación del concepto de ángulo. Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta rotación se le asocia la medida °+ 360α , la medida °+ 360 2 .α en la segunda vuelta y la medida °+ 360 .nα con Zn ∈ en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de °360 se les llama coterminales. Ejemplos
Los ángulos 1820º y 2540º son coterminales porque 360º . 2 720º 1820º - 2540º ==
Los ángulos 461ºy 1582º no son coterminales porque 1121º 461º - 1582º = no es divisible por 360º
1050º-y 30º son coterminales porque 360º . 3 1080º )(-1050º - 30º ==
3
4y
310 ππ son coterminales porque ππππ 2
36
34 -
310
==
2. Determinemos a qué ángulo )( °≤≤° 3600 αα es coterminal cada uno de los siguientes ángulos. a) 1725º
b) 3
20π
c) -1820º Soluciones: a) αº) n (º += 3601725
Para hallar los valores de n y de α , realizamos la división 360º : 1725º donde el cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir:
285º 360º . 4 1725º += R/ 1725º es coterminal con 285º ya que 285y 4 == αn 0
Trigonometría
5
b) En este caso, expresamos el ángulo en el sistema sexagesimal y posteriormente apliquemos el procedimiento anterior.
b) ( )°=
°⇔ 1200
318020
320π
°+°=° 12036031200 .
32 ó 120con coterminal es
320 ππ
°/R
Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté expresado en el mismo sistema (sexagesimal o circular) que el ángulo dado. c) 20º.- )5(-360º 1820º- =
R/ 20º. -con coterminal es 1820º-
Los ángulos 270ºy 180º ,90º ,0º )2
3y ,2
(0, πππ se denominan ángulos axiales.
Los ángulos: 60ºy 45º ,30º
3y
4 ,
6πππ
se denominan ángulos notables. Definición de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante de un ángulo cualquiera. En la enseñanza media se dan las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo α como relación de los lados de un triángulo rectángulo. (Fig. 2).
hipotenusaadyacentecateto:cos
hipotenusaopuestocateto:sen
cbα
caα
=
=
opuetocatetoadyacentecateto:cot
adyacentecatetoopuestocateto:tan
abα
baα
=
=
a
Aα
c β
δ
bC
Fig. 2
B
Trigonometría
6
Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo )( °≤≤° 900 αα , no se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como
,120º ,90º ,0º : etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de manera que ellas correspondan a cualquier ángulo. Sea r) C(O, una circunferencia de centro “O” en el origen de coordenadas y radio r, tomemos un ángulo central x de la misma y un punto P de la circunferencia de coordenadas v).(u, (Fig.3)
El triángulo OPQ rectángulo en POQ∠ , siendo
r OP v u, PQ OQ === y , se cumple:
rv
rPQx ==sen
ru
rOQx ==cos
xx
rurv
uv
OQPQx
cossentan ====
xx
rvru
vu
PQOQx
sencoscot ====
A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones trigonométricas: Definición. La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales sen x) (x; con
Rx ∈ y se denota por x. f ( x ) x y sen ósen ==
Definición. La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales
R x x x ∈con)cos;( y se denota por x.y cos=
y
Fig. 3
P (u;v)
x O Q x
Trigonometría
7
Definición. La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales
)tan;( x x con Rx ∈ ; Zkπ)k(x ∈+≠ ,2
12 y se denota por .tan xy =
Definición. La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales )cot; ( xx con Rx ∈ ; Zkkπx ∈≠ , y se denota por .cot xy =
De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante:
xxy
cos1sec == con Zk)k(x ∈+≠ ,
212 π
xxy
sen1csc == con Zk ∈≠ ,kx π .
TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES (N) Y AXIALES (A).
0º (A) 30º (N) 45º (N) 60º (N) 90º (A) 180º (A) 270º (A)
0 6π
4π
3π
2π π
23π
sen x 0 1 / 2 2 / 2 3 / 2 1 0 -1
cos x 1 3 / 2 2 / 2 1 / 2 0 -1 0
tan x 0 3 / 3 1 3 - 0 -
cot x - 3 1 3 / 3 0 - 0
sec x 1 2 3 / 3 2 2 - -1 -
csc x - 2 2 2 3 / 3 1 - -1
Todo ángulo α y sus coterminales °+ 360.nα con Z∈n , tienen el mismo valor para cada función trigonométrica. El círculo trigonométrico ( ur 1= ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. 4). Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto cuadrante (IVC).
Trigonometría
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Si 900 º x º << → x ∈ I C
Si º x º 18090 << → x ∈ II C
Si º x 270180 <<o → x ∈ III C
Si 360º 270º << x → x ∈ IV C
Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante.
I II III IV
sen x + + - -
cos x + - - +
tan x + - + -
cot x + - + -
sec x + - - +
csc x + + - -
Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de reducción.
Reducir un ángulo x al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el signo con respecto a las funciones del ángulo. 1. -αxx °=→∈ 180Cuadrante II Si ó α πx −=
α = sen)180(sen º - α
( ) αº - α − = cos180cos
( ) α − = tan180tan º - α
α − = α cot) - (180ºcot
α − = α sec) - (180ºsec
α = α csc) - (180º csc
y
Fig. 4
O x
IC II C
IIIC IVC
Trigonometría
9
2. α+°=→∈ 180Cuadrante III Si xx ó α πx += ( ) α αº − = + sen 180sen
( ) α αº − =+ cos 180cos
( ) α αº tan180tan = +
( ) α αº = + cot180cot
( ) α αº − = + sec180sec
( ) α αº − = + csc 180csc
3. αxSi x −°=→∈ 360Cuadrante IV ó αx α π x −=−= ó 2 ( ) ααº − = − sen360sen
( ) α αº = − cos360cos
( ) ααº tan360tan − = −
( ) ααº − = − cot360cot
( ) α αº = − sec360sec
( ) α αº − = − csc360csc
Ejemplos. Calcular:
a) º 120cos c) )45(cos °− e) °300ens
b) º 225tan d) 3
4sen π f) 6/cos.2/3sen4/5cos.
6/11cos3/5sen
πππ
ππ
Solución: Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo x que no está en el primer cuadrante (x ∉ I C), se debe conocer:
En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α.
Qué signo tiene la función en el cuadrante dado. º 120cos a)
II 120º∈ C, porque °<°<° 18012090 0120cos <∴ º α - 180º 120º =
°=
°−°=60
120180αα
Trigonometría
10
Como II 120º∈ C, y para todo ángulo del segundo cuadrante se cumple: α − = α cos) - cos(180º º -º 60cos120cos = , 1/2- 120º cos =
°225tan a)
C III 225º∈ 0 225º tan >∴ 45º tan 225º tan = α 180º 225º += , 180 − 225° =α , °= 45 α 1 225º tan =
a) °300sen -α º °=°→∈ 360300CIV300 y 0300sen <° °−°= 300360α , °= 60α º -º 60sen300sen =
23 - = 300ºsen
)(-45º cos b)
0)(-45º cos Cuadrante IV45 >∴∈°− y por la forma en que está expresado el ángulo tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula -αx =
°==
45 - 45º-
αα
22 )45( cos = )45(- cos = ºº
34 sen b) π
034 senC III240
31.180. 4 es
34
<∴∈°=°ππ
αππ+=
34
33
343
4 πππππα =−
=−=
23
3sen
34sen −=−=
ππ
f) 6/cos.2/3sen4/5cos.
6/11cos3/5sen
πππ
ππ
( ) IV3003
18053
5∈== o
oπ Cuadrante (Aquí el seno es negativo)
23
3sen
35en −=−=
ππs
Observa que si el ángulo esta expresado en el
sistema circular en la forma n
kπdonde k y n
son números enteros diferentes de cero,
entonces nπα =
Trigonometría
11
Cuadrante IV3306
11∈°⇔
π (Aquí el coseno es positivo), 23
6cos
611cos =
π=
π
Cuadrante III2254
5∈°⇔
π (Aquí el coseno es negativo), 22
4cos
45cos −=
π−=
π
π
−=π axial ánguloun es
23 1
23sen
π
=π notable ánguloun es
6
23
6cos
Sustituyendo en la expresión original se tiene:
6/cos.2/3sen4/5cos.
6/11cos3/5sen
πππ
ππ
Función Periódica. Una función f (x)y = se llama periódica si existe un número 0k ≠
R)( k ∈ tal que para todo R)( k ∈ se cumple:
. f (x) k ) f (x =+
- Al número k se le denomina período de la función. - El menor intervalo de valores positivos de x que corresponde a un ciclo completo de la función, se le llama período principal de la función. - Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen período principal π2 y las funciones tangente y cotangente π . Gráfico de la Función [ ]π, x y 20 ensen= (Fig. 5) y sus propiedades fundamentales
x 0 2π
π
23π
2π
sen x 0 1 0 -1 0
4/62/3.2/2.12/3.1
2/2.2/32/3
−=−=−
−−=
y
Fig. 5
π/2 π x
2π 3π/2
1
-1 0
Trigonometría
12
Algunas propiedades Dominio de la función Rxf ∈ :) (Dom
Imagen de la función 1 1- : ) (Im ≤≤ yf
Período principal π 2 : (PP)
,x,Zkk: ππ 20 para ;Ceros ≤≤∈ 2} 1, {0, k = y los ceros en su período principal son: { }ππ 2, 0,
Monotonía:
Creciente para πππ 22
3 ó 2
0 <<<< xx
Decreciente para 2
32
ππ<< x
Valores de las abscisas de los extremos: En 2
π=x tiene un punto de máximo
1 ;
2π y en
23 π
=x tiene un punto de mínimo
1- ;
23π .
Funciones de la forma sen bx a y = con RbR a ∈∈ y y sus propiedades
Para representar gráficamente este tipo de función es necesario conocer: El conjunto imagen, ceros y valores de las abscisas de los extremos así como período principal. Imagen: ay-a ≤≤
Los ceros en el dominio de la función se obtienen resolviendo la ecuación: πkbx = , con Zk ∈ y con valores tales que fx Dom∈ .
Las abscisas de los puntos extremos se obtienen resolviendo la ecuación
( )2
12 π+= kbx , con Zk ∈ , es decir, los ceros y las abscisas de los puntos de extremos
se obtienen con la expresión b
k2π , si k es un número par se obtiene un cero y si k es
impar se obtiene la abscisa de un punto de extremo. Para los extremos debe tenerse en cuenta lo siguiente:
El primer extremo a la derecha es máximo si el signo del producto de a por bxsen es mayor que cero o mínimo si el producto es menor que cero y los restantes extremos alternan.
Período principal:bπ2
Trigonometría
13
Ejemplos Representar gráficamente las siguientes funciones. a) [ ]π,x y 20en 2sen3=
b) [ ]π, x y 30en 2
sen2=
c) π≤≤−= 3x0en 3sen 5,2 x y
d) [ ]π x y 2 ,2en 3
sen π−=
Solución:
a) [ ]π,x y 20en 2sen3= → a = 3 y b = 2 (Fig. 6)
Imagen: 3 3- ≤≤ y
Ceros:4πkx = Para 8} 6, 4, 2, {0,k = →Ceros:
ππππ 2,
23,,
2,0
Nota: obsérvese que los valores de k dependen del dominio de la función, en este caso
π20 ≤≤ x . Cada cero se obtiene sustituyendo en la expresión 4πk por cada uno de los
valores de k
Abscisas de los extremos: 4πkx = para k:{ }7 5 3 1 ,,,
Min. Max. Min. Max.
47 ,
45 ,
43 ,
4:
↓↓↓↓
ππππ
b) [ ]π, x y 30en 2
sen2= → a = 2; b = 1/2
(Fig.7) Imagen: ] 2 2,- [
Ceros: ( ) πππ kkb
kx ===2
122 con { }2 0,:k
Ceros:{ }π2 0,
Abscisa de los extremos:
π/2 π 2π
x
y
Fig. 6
-3
3
3π/2 0
π/2 3π/2 2π
x 3π
Fig. 7
y
0 π
2
-2
Trigonometría
14
( ) πππ kkb
kx ===2
122 con { }3 ,1:k
{ }mín):3 ,máx: ππ
( ) 22
2 ==ππ senf
( )2 ;Max π→
( ) 22
323 −==ππ senf
( )2 ;3Min −π→
c) π≤≤−= 3x0con 3sen 5,2 x y
→ a = -2.5 y b =3 (Fig .8) Imagen: [ ]2,5 ;5,2− ,
( ) 6322πππ kk
bkx === con
{ }18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 ,,,,,,,,,:k
Ceros:
πππππππππ 3,
38,
37,2,
35,
34,,
32,
3,0
Abscisas de los extremos:
( ) 6322πππ kk
bkx === con
{ }17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,,,,,,,,:k
617,
25,
613,
611,
23,
67,
65,
2,
6πππππππππ
d) [ ]π x y 2 ,2en 3
sen π−=
→ 31 by 1 a ==
(Fig. 9) Imagen: 1] [-1,
π/2 7π/6
3π/2 13π/6
y
3π
π/6
11π/6
5π/2
17π/6 x
Fig 1.8
-2,5
2,5
π/2 7π/6
3π/2 13π/6
y
3π
π/6
11π/6
5π/2
17π/6 x
Fig. 8
-2,5
2,5
0 5π/6
Fig. 9
y
- 3π/2
3π/2
-1
0
1
x
Trigonometría
15
Ceros: 2
3
32
3122
ππππ kkkb
k==
=
con { }0:k
Abscisas de los extremos: 2
3
32
3122
ππππ kkkb
k==
= con { }1 1,:k −
:
−
23;
23 ππ
En este caso, en los límites del dominio de la función la misma no posee valor extremo, ni se hace cero por lo que es necesario que se evalúe la función para los valores límites:
0.86 - 23- =
3sen - = )
32-(sen = ) (-2 =
πππf
0.86 23 =
3sen = )
32(sen = ) (2 =
πππf
1. Dado los siguientes datos, obtenga la ecuación de la función bxsen a y =
a) Imagen: 3,2 2,3- ≤≤ y
PP: π3 b) Imagen: 7,0 0,7- ≤≤ y
PP: 3
5π
Solución: a) Como la imagen está dada por 3,23,2 2,3- =→≤≤ ay
bπ
=2PP por esto se tiene
bππ 23 =
32 ,
32
== bbππ
x32sen 2,3 y =
b) Como 7,0 0,7- ≤≤ y → a = 0.7
352 ππ
=b
Trigonometría
16
56
=b
x 56sen 0.7 y =
Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente. b) cos x y = (Fig.10)
x cos x
0 1
π /2 0
π -1
3π /2 0
2π 1
Algunas propiedades
Rx ∈ :f Dom Im f: 1 1- ≤≤ y
Período principal: π2 Monotonía: Creciente )2,( ππ Decreciente ),0( π
Ceros:
∈+=∈ ZkkxRx :
2)12(/ π
c) x y tan= (Fig. 11)
23
2-en :
2)12( πππ
<<
∈+≠ xZkkx
x -π / 4 0 π / 4
tanx -1 0 1
x
y
Fig. 10
π/2 π 3π/2 2π
-1
1 0
y
π/2 -π/2
Fig. 11
x0
Trigonometría
17
El gráfico de la función se obtiene en
los intervalos )2
3,2
();2
,2
( ππππ−
y así sucesivamente, es decir, es periódica en Zk ∈ ;kπ ; y su período principal esπ .
Domf: ZkkxR ∈+≠∈ :2
)12(/x π
Im f: R∈y
Monotonía: Creciente en los intervalos de la forma
Zk,)k(x)k( ∈+<<−2
122
12 ππ
d) { } πx -π ZkkπxRx x, y <<∈≠∈= para ,:cot (Fig. 12)
Propiedades Dom f: { }ZkkxRx ∈π≠∈ ,:
Im f: Ry∈
Período principal: π Monotonía: Decreciente en los intervalos de la forma: Zkkxk ∈+<<− ,)12()12( ππ
Ceros: Zkk ∈+ ,2
)12( π
Algunas identidades trigonométricas. En esta sección daremos al estudiante algunas identidades trigonométricas, tan importantes, que recomendamos memoricen.
1) x x 1cossen 22 =+
2) Zkkxxxx ∈
π+≠= :
2)12(con
cossentan ,
3) Zkkxxxx ∈π≠= ;con
sencoscot
4) 1cscsen x x . = 5) 1seccos x x . = 6) 1cot.tan =xx
7) xx 22 tansec1 =+
y
π/2 -π/2 π -π
Fig. 12
x
0
Trigonometría
18
8) xx 22 cotcsc1 =+ 9) x x . x cossen22sen =
10) x x- x 22 sencos2cos =
11) x)(x x - x 2cos121sensen212cos 22 −=→=
12) x) (x x - x 2cos121cos1cos22cos 22 +=→=
Ejemplos.
1. Sea 0x un ángulo del intervalo ππ≤≤ x
2
Existe exactamente un valor 0x en este intervalo para el que se cumple:
32 sen 0 =x . Calculemos 000 coty tan, cos xxx
Solución:
1cossen 02
02 x x =+
132cos
2
02 x =
+
941cos 0
2 −= x
95cos 0
2 = x como 0x ∈ II cuadrante se cumple: cos 0 0 <x
35
95cos 0 −=−= x
252/3.3/5
3/23/5
sencos
cot
552
5.55.2
52
53.3
23/5
3/2cos
tan
0
00
0
00
−=−=−
==
−=−
=−=−=−
==
xxx
xxsenx
Demostración de identidades trigonométricas. En la trigonometría se tropieza frecuentemente con dos expresiones de diferentes aspectos, pero, para todos los valores admisibles de los ángulos, adquieren iguales valores numéricos. Estas dos expresiones se llaman idénticas y la igualdad entre ellas se llama identidad trigonométrica. Para comprobar que la igualdad dada es una identidad
Trigonometría
19
trigonométrica no existen reglas de validez general que lo permitan, no obstante, recomendamos que se tenga en cuenta: 1. Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mayor posibilidad para transformarlo en el otro, sino trabaje en ambos miembros por separado para luego concluir que son iguales. 2. Si es posible, utilice la descomposición factorial y la simplificación. 3. Si no encuentra un camino propicio para empezar las transformaciones, reduce todas las funciones trigonométricas a senos y cosenos. 4. Tenga en cuenta que todas las transformaciones efectuadas sean válidas en el dominio de la identidad. Ejemplos. Demuestre las siguientes identidades para los valores admisibles de la variable.
a) 2cos(sen)cos(sen 22 x) x - x x =++
b) 1)cot1(sen 22 =α+α
c) x
xx2cos1
2sentan+
=
Soluciones:
( ) ( ) MD211cossencossen
coscos.sen2sencoscos.sen2sena)MI2222
2222
==+=+++=
+−+++=
xxxx
xxxxxxxx
( ) MD1sen
1.sencsc.sencot1enMIb) 222222 ==
αα=αα=α+α= s
( )
( )( )( ) ( )
( ) MItancoscos.sen2
2cos.sen2
211
cossen42cos1cos.en2
2sen2cos12sen
2cos12cos12cos12senMDc)
22
222
====−−
=
−=
−=
−+−
=
xxxsen
xxxsen
xxxsen
xxxxxs
xxx
xxxx
Otra vía de solución:
MItancossen
1cos21cos.sen2
2cos12sen
2 ===−+
=+
xxx
xxx
xx
Ecuaciones trigonométricas. Una ecuación se llama trigonométrica si ella contiene la incógnita (o variable) sólo bajo los signos de las funciones trigonométricas y se satisfacen para algunos de los valores admisibles de la variable.
Trigonometría
20
Ejemplos
a) 1sen x = 01tan b) =−x 1cosc)sen2 =+ xx
No es ecuación trigonométrica: x x 2sen =+ ya que la incógnita x se encuentra no solo bajo el signo seno. Resolver una ecuación trigonométrica significa hallar todos los ángulos que satisfacen dicha ecuación, es decir que reducen la ecuación a una proposición verdadera después de la sustitución de la incógnita. Para resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta los siguientes pasos:
Expresar todas las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación con el mismo argumento aplicando identidades. Expresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Resolver la ecuación, haciendo transformaciones algebraicas considerando como
incógnita la función trigonométrica en que quedó expresada la ecuación (factorizando o de cualquier otra forma). Determinar los valores de la incógnita que satisfacen las ecuaciones
transformadas. Ejemplos
a) x x = π20 ;23sen ≤≤
b) x - 01cos2 2 =
c) 0sen2cos3 2 =α−α d) 0cos2sen t t - = Solución:
a) x ; x = π≤≤ 2023sen
En este caso no hay que hacer ninguna transformación porque la función sen x está despejada. Para hallar los valores de x , se debe analizar en qué cuadrantes está situado el ángulo x teniendo en cuenta el signo de la función, como en este caso sen x es positivo , se cumple que x pertenece al primer cuadrante (IC) o x pertenece al segundo cuadrante (IIC)
I C: →= αx α es un ángulo del primer cuadrante cuyo seno es 23 ∴ °= 60α .
º x 60 :C I =
Trigonometría
21
º - α x 180 :C II = 12060180 º º º - x ==
{ }
ππ
=°°=3
2;3
ó 120 ;60 SS
b) 01cos 2 2 x - =
21cos2 x =
21cos ó
21cos x = - x =
Racionalizando en ambos casos se tiene:
ºα = x = - x = 4522cos ó
22cos →
22cos x = → IVC ó IC ∈∈ xx
I °== 45 :C αx °=°== 31545360360 :IVC º - º - α x
Cxx x III ó IIC 22 - =cos ∈∈→
°=°−°== 13545180180 :C II º - α x 0
°=°+=+= 22545180180 :C III º αº x Como todo ángulo y sus coterminales tienen el mismo valor para cada función trigonométrica, al dar el conjunto solución se debe tener en cuenta. Si el dominio de la variable no está restringido a cada solución se le debe sumar πk2 ó ko360 con Zk ∈ .
{ } Zkkkkk ∈ 360° + 315° ,360° + 225° ,360° + 135° °+°= ,,36045 S . Observe que la diferencia entre cada solución y su consecutiva es de 90º por lo que la solución anterior se puede simplificar expresándose en la forma siguiente:
{ } Zkk ∈
+°⋅+°= kcon
24 ó 9045 S ππ
0sen2cos3 c) 2 =α−α
En este ejemplo para expresar la ecuación en función de una sola función trigonométrica, es necesario sustituir a α2sen .
0)cos1(2cos3 2 =−− α α
0cos22cos3 2 =+− α α
Trigonometría
22
0cos32cos2 2 =α+−α
02cos3cos2 2 =−α+α
↓ ↓
°=°°=α°=α
∈α∈αα
<α<→−=α=α
=+α=−α=+α−α
α=α−αα
α
30060-360 :C IV60 : C I
C IV ó C I que tienese positivo, es cos como
1cos1- que ya imposible2cos 21 cos
02cos 01cos20)2)(cos1cos2(
cos3coscos42 cos1- 2cos
( ){ }
circular SistemaZk ,23
5 ;23
lsexagesima SistemaZk ,360 300 );360 60(
→
∈++=
→∈°+°°+°=
ππππ kkS
kkS
d) 0cos2sen t t - = En este ejemplo debe transformarse la ecuación de forma tal que en la misma se utilice el mismo argumento para cada función.
0)1sen2(cos0coscossen2
==
t - t t t- t
∈+++=
===∈+=
===
==
∈∈→==
==
Zk πkkππkππS
πππ-π-α tZ ; kπk t
πα t π t
π α π t
CC ó t t t t
t - t
;2
)12( ;26
5 ;26
65
6:C II
2)12(
6:IC
23
6
2
III21sen 0cos
01sen2 ó 0cos
Trigonometría
23
Ejercicios Ejercicio # 1 1) Determine si los pares de ángulos siguientes son coterminales o no. a) 2652º y 1572º b) 1370º y 5204º c) 3280º y 320º d) 270º y -90º 2) Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes:
°⋅°°⋅°
°+⋅
°+
°⋅
30sen cos45sen0tan60cot
066
csc
45cos4
sec
60cot6
cos
π- d)
sen πsenπc)
πb)
πa)
°⋅°
°+⋅
°⋅
°+
°−+°⋅
°
⋅°
270sen60csc
60sec3
cotcos
60sec332
3sen-6
tan60cotcos
45sec3
tan30cos3
sen
60sec3
tan270sen
ππh)
ππ - πg)
ππ f)
π
e)
3) Si 6π
=a , π=b , 2π
=c , 2
3π=d , e=45º y
3π
=f . Halla el valor numérico de las
expresiones siguientes:
a. dcba
sencotcossen
2
2
−+
b. ba
dcbsec.tan2
cos5csc7sen5 +−
c. e
a.fcot
cossenaf
tansec
d. fa
c.fcsccossencot
+
e. a.
dafbsec33
sentancotcos −−+
Trigonometría
24
4) Probar que:
a ) 0180sen .6
cos.3
cot3 22 =ππ o
b) 2360cot23cot
30sen3tan /ºπ/
º.π/=
+
c) αα.απ cotcsc2
sen =
−
d) 1
2sec
cotsen 2
22 =
−
+xπ
xx
e) αα
αα
αse
α2cos
sec2
coscot
n 2
cos=
−
••
−
ππ
5) Halla:
a) 4
7cot π b) o315csc c) 3
2cot π
d) 3
4cos π e) 6
11sen π
6) Calcula el valor numérico de las restantes funciones trigonométricas del ángulo x:
a) 31cos =x y 0sen <x
b) 43tan =x y 0csc >x
c) 135sen −=x y 0cos <x
d) 25tan =x y 0sec >x
e) 41sen =x y 0cot <x
7) Halle el valor numérico de las expresiones siguientes:
a) 65seccos
32csc35tan45cotπ/.π
π/.π/.π/
b) 6/cos.2/3sen4/5cos.
6/11cos3/5sen
πππ
ππ
c) 4/3tan.3/4sen
4/sec.6/7cos.6/5cscππ
πππ
Trigonometría
25
d) 3/5sec2/sen6/11cos.
4/3tan3/2cos
π−ππ
ππ
8.-Prueba que:
a) 32/3sen.3/5cot
0cos.6/5csc.6/11sen−=
ππππ
b) 3/16º150cot2º30secº210sen4 22 =++
c) 36/7csc4/5sen4/13cos 22 =π−π+π
d) 06/5sec2/sen
4/7tan.2/cos.3/2csc=
π−ππππ
e) 2
31)º120cot(2
cos)º120cot( −=
−π+−
f) 4/33/sec.4/cot
2/3sen.6/cos.2/sen−=
πππππ
9.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes con los valores dados para a:
a. 6/ ;)sec(
)cot()2/cos(cosπ=α
α+πα−πα−πα
b. 3/;)2(sen)2/(sen
4/cot)cos(π=α
α−πα−ππ+α+π
c. 4/;cot)2/(sensen)2/tan(cos
π=ααα−πα
α−πα
d. 6/);csc(.)2cot(tan
)2/(sen)2/cos(π=αα+π
α−παα−πα−π
10.- Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) xy sen 5,4= ππ 22 ≤≤− x
b) xy 3sen= ππ 22 ≤≤− x
c) xy 2sen 5,2= ππ 2≤≤− x
d) xy 3sen 5,0= ππ 2≤≤− x
Trigonometría
26
e) 2
sen 4 xy = π50 ≤≤ x
11.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables.
i. ( ) α−=α−α 2sen1cossen 2
ii. ( )222 cos.cotcoscot xxxx +=
iii. ( )( )xxxxxxs cos.sen1cossencosen 33 −+=+
iv. xx 2cos2
2cos1=
+
v. α=α
α− tan2sen
2cos1
vi. yy
yy 22
2cot
cos1sen2cos
=−
+
vii. ( ) ( ) ( )( )senxsenxxsenx 21211tan1 22 +−=−−
viii. ( ) 21coscos
1cos22cos=
+++
xxxx
8) Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 0sen2en 2 =+ xxs
b. 01cos3cos2 2 =++ xx c. 2 cos2 x + sen x = 2 d. 2 sen2 x + 3cos x = 0
e. sen2 α - 2cos α + 1/4 = 0
f. 0cos3sen2 2 =+ xx
g. cos 2x – senx = 0
h. 3cos x – 2 sen2 x = 0 i. cot x . sen 2x = cos x j. 2 sen2 2x + 4 sen x. cos x =0 k. Sen4 x – cos 4 x=1 l. Cos 2x + cos x = -1 m. 4sen2 x + sen2 2x = 3 n. (1 + cos x) [1/(sen x) - 1 ] = 0
9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 ≤ x ≤ 2π a. 3 sen2 x = cos2 x
b. 2 3 cos2 x = sen x
c. 3(1 + cos x) = sen 2x. tan x d. cos 2x + 5cos x = 2
Trigonometría
27
e. cos 2x + 3sen2 x – cos2 x = 5sen x – 2 f. sen2 2x – sen 2x = 2
g. π20 para 0cos212cos 2 ≤≤=+− xxsenxx
h. 1)cos(
2222 =
++−
xsenxxsensenxxsen
10) Si cos x = 31 y x pertenece al primer cuadrante, hallar: sen x; tan x; sen 2x y
cos 2x
11) Si sen x = 43 y x es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos x y sen 2x
12) Si x = 3
2π . Calcule sen 2x. tan 2x
13) Si 4
5tan −=x ; 53cos −=x y ππ ≤≤ x2 ; Hallar senx, cos2x, y sen2x
14) Halle el valor de o2cos225 4
7tan +π
15) Halle los valores de x, que satisfagan la ecuación 33tan3 =x
16) Sea π≤≤2π
= 23 , 31cos xx
a) Determine el valor de sen x. b) Determine el valor de cot x. 17) Compruebe que para los valores admisibles de x, se cumple que :
2)(sen).(sen
)tan().cos().2
cos(2−=
−π+π
−π+π−π
xx
xxx
18) Pruebe que: 2
23
4sen
6cos.
3cot
6cos
4sen.
3tan
=π
ππ
+π
ππ
19) Calcule.
47tan
90cos150sen )π
+ oo
a b)
4π
+
π+
π−
9tan1560cot
35tan
23cos225sen 2
o
o
Trigonometría
28
20) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: I ) 2sen2x + 5cos x = 4 en el intervalo [0; 2π ]
II) 2sen2x - 5cos x + 1 = 0
III) IV)
sen2x - cosx = 0
xxxxsen cos32coscot22 =−
21) Hallar los valores de x; π20 << x que son soluciones de la ecuación: sen2x - 5senx - cos2x - 2 = 0. Dar la respuesta en grados sexagesimales.
22) Para qué valores de x, las funciones xg(x)xxf seny 2cos)( == alcanzan el mismo valor.
23) Sean las funciones: xsenxxf
2cos32)( −= y g(x) =3x-4 . Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4). 24) Sea la ecuación: 01)1(24 2 =++− xsenkxsen con °≤≤° 900 x
a) Halla las soluciones de esta ecuación para 23=k .
b) ¿Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución? 25) Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:
( )( ) 25cos722coslog cos =++−− xxsenxxsenx
26) Sean: ( ) xxsenxf tan2213−= y ( ) senxxg += 1
a) Calcula
4πf
b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que ( ) ( )xgxf =
27) Halla la abscisa x (0 < x < π/2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones dadas por las ecuaciones: xxgyxxf cos3)(cos2
910)( +=+=
28) Dada la igualdad xAx
xA cot2sen
2cos2
=+
a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable x.
b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida.
Trigonometría
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BIBLIOGRAFÍA
Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.- Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial Pueblo y Educación 1989.
Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición, 1991. —152p.
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