priČa o tetivnom Četverokutu

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

Stipe Vidak

Prirodoslovno-matematički fakultetMatematički odjel

Sveučilište u Zagrebu

6. svibnja 2015.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Sadržaj

1 ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?

2 TEOREMI

3 ODABRANI ZADACI

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (županijsko 1996, 1. razred)

U ravnini su dane dvije kružnice k1 i k2 na koje su povučene dvijeunutarnje zajedničke tangente u, u′ i dvije vanjske v, v ′. Dokaži dasjecišta tangenata u∩v, u∩v ′, u′∩v, u′∩v ′ leže na jednoj kružnici.

Hm, kako to riješiti...?

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (županijsko 1996, 1. razred)

U ravnini su dane dvije kružnice k1 i k2 na koje su povučene dvijeunutarnje zajedničke tangente u, u′ i dvije vanjske v, v ′. Dokaži dasjecišta tangenata u∩v, u∩v ′, u′∩v, u′∩v ′ leže na jednoj kružnici.

Hm, kako to riješiti...?

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

DefinicijaTetivni četverokut je četverokut kojemu se može opisati kružnica.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

DefinicijaTetivni četverokut je četverokut kojemu se može opisati kružnica.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Sadržaj

1 ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?

2 TEOREMI

3 ODABRANI ZADACI

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Teorem

Četverokut ABCD s kutevima α, β, γ, δ je tetivan ako i samo akovrijedi α+γ=β+δ= 180◦.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Teorem

Četverokut ABCD je tetivan ako i samo ako je mjera unutarnjegkuta kod vrha A jednaka mjeri vanjskog kuta kod vrha C.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Teorem (Tales)

Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Teorem (o obodnom i središnjem kutu)

Središnji kut kružnice dvostruko je veći od pripadnog obodnog kuta(α= 2β).

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

TeoremSvi obodni kutovi nad istom tetivom kružnice imaju istu mjeru.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Teorem (potencija točke na kružnicu)

Pravci p, q i t prolaze točkom T koja se nalazi izvan kružnice k.Ako je p∩k = {A,B}, q∩k = {C ,D} i t∩k = {E }, onda vrijedi|TA| · |TB | = |TC | · |TD| = |TE |2.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Sadržaj

1 ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?

2 TEOREMI

3 ODABRANI ZADACI

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (županijsko 1996, 1. razred)

U ravnini su dane dvije kružnice k1 i k2 na koje su povučene dvijeunutarnje zajedničke tangente u, u′ i dvije vanjske v, v ′. Dokaži dasjecišta tangenata u∩v, u∩v ′, u′∩v, u′∩v ′ leže na jednoj kružnici.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (državno 2014, 1. razred)

Dužina AB je promjer kružnice sa središtem O. Na kružnici je danatočka C takva da je OC okomito na AB. Na kraćem luku ÙBCodabrana je točka P. Pravci CP i AB sijeku se u točki Q, a točkaR je sjecište pravca AP i okomice kroz Q na pravac AB.Dokaži da je |BQ| = |QR |.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

BA

C

O

P

Q

R

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (državno 2010, 2. razred)

Upisana kružnica dodiruje stranice AB i AC trokuta ABC utočkama M i N. Neka je P sjecište pravca MN i simetrale kuta^ABC. Dokaži da je BP ⊥CP.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

A B

C

I

M

N

K

P

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (državno 2014, 2. razred)

Neka su p i q dva paralelna pravca. Kružnica k dodiruje pravac p utočki A i siječe pravac q u različitim točkama B i C. Neka je Ttočka na pravcu p i neka dužine TB i TC sijeku kraći luk �ACredom u točkama K i L, različitima od B i C .Dokaži da pravac KL prolazi polovištem dužine AT .

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

p

q

k

A

B C

T

K

L

P

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

Zadatak (državno 2015, 1. razred)

Kružnice k1 i k2 sijeku se u točkama A i B. Pravac l siječe kružnicuk1 u točkama C i E , a kružnicu k2 u točkama D i F tako da setočka D nalazi između C i E , a točka E između D i F . Pravci CA iBF sijeku se u točki G , a pravci DA i BE u točki H.Dokaži da je CF ∥HG.

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

G

k1k2

l

A

B

C

DE

F

H

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU

ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI

ODABRANI ZADACI

HVALA VAM NA PAŽNJI!

Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU