praticandomatemtica 9 2 por folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 1/197
P R
A T I C A
N D O
Á L V A R O A N D R I N I
M A R I A J O S É V A S C O N C E L L O S M
a t e m á t i c a
C o l e ç ã o P R A T
I C A N D O
M
A T E M Á T I C A
9 E D I Ç Ã O R E N O V A D A
M A T E M Á T I C A
M A N U A L D O P R O F E S S O R
P R A
T I C A N
D O
Á L V A R O A N D R I N
I
M A R I A J O S É V A S
C O N C E L L O S M
a t e m
á t i c a
C o l e ç ã o P R A T I C A N D O
M A T E M Á T I C
A
9 E D I Ç Ã O R E N O V A D A
M A T E M Á T I C A
Á L V A R O A N D R I N I
L i c e n c i a d o e m M a t e m á t i c a .
P ó s - g r a d u a d o e m Á l g e b r a L i n e a r
e E q u a ç õ e s D i f e r e n c i a i s .
F o i p r o f e s s o r e f e t i v o d e M a t e m á t i c a d a r e d e e s t a d u a l d u r a n t e t r i n t a a n o s .
A u t o r d e d i v e r s o s l i v r o s d i d á t i c o s .
M A R I A J O S É V A S C
O N C E L L O S
L i c e n c i a d a e m M a t e m á t i c a .
C o o r d e n a d o r a e p r o f e s s o r a d e M a t e m á t i c a e m e s c o l a d a r e d e p a r t i c u l a r .
C o a u t o r a d e c o l e ç ã o d e M a t e m á t i c a p a r a o E n s i n o M é d i o .
M A N U A L D O P
R O F E S S O R
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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4
P R A T I C A N D O
M A T E M Á T I C A
“ N ã o h á r a m
o d a M a t e m á t i c a ,
p o r a b s t r a t o
q u e s e j a , q u e n ã o
p o s s a u m d i a v i r a s e r a p l i c a d o
a o s f e n ô m e n o s d o m u n d o r e a l . ”
L o b a c h e v s k y
A g r a d e c e
m o s a o p r o f e s s o r
E d u a r d o
W a g n e r p e l o s c o m e n t á r i o s
e s u g e s t õ
e s q u e c o n t r i b u í r a m
p a r a a m e l h o r i a d e s t e t r a b a l h o .
F e r n a n d o F a v o r e t t o U n i d a d e 1
P o
t e n c i a ç ã o
e r a
d i c i a ç ã o
1 . R e v e n d o a p o
t e n c i a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 . P r o p r i e d a d e s
d a s p o t ê n c i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
3 . R e v e n d o a r a d i c i a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
4 . E x p o e n t e s r a c i o n a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
5 . P r o p r i e d a d e s
d o s r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
6 . S i m p l i f i c a ç ã o
d e r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
7 . A d i ç ã o e s u b t r a ç ã o d e r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . 2 8
8 . C á l c u l o s c o m
r a d i c a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
9 . R a c i o n a l i z a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
S U
M Á R I O
S U
M Á R I O
U n i d a d e 2
E q u a ç õ e s
d o
2 o
g r a u
1 . E q u a ç õ e s . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
2 . R e s o l v e n d o e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . . . . . . . . 4 3
3 . F o r m a g e r a l d
e u m a e q u a ç ã o
d o 2 o g r a u . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
4 . T r i n ô m i o s q u a d r a d o s p e r f e i t o s
e e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
5 . F ó r m u l a g e r a l d e r e s o l u ç ã o d a
e q u a ç ã o d o 2
o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
6 . R e s o l v e n d o p
r o b l e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
7 . S o m a e p r o d u t o d a s r a í z e s d e
u m a e q u a ç ã o
d o 2 o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2
8 . E q u a ç õ e s f r a c i o n á r i a s q u e r e c a e m e m
e q u a ç ã o d o 2
o g r a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
9 . E q u a ç õ e s b i q u a d r a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1
1 0 . E q u a ç õ e s i r r a c i o n a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
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8
n f a t o r e
s i g u a i s a a
V e j a e x e m p l o s d e c á l c u l o s d e p o t ê n c i a s :
• 1 , 5
2 1 , 5
1 , 5 2 , 2 5
• 8 0 1
• ( 2 ) 5 (
2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 2
• ( 2 , 6 ) 0 1
•
3 7 2
3 7
3 7
9 4 9
• 4 3
1 4 3
1 6 4
•
7 9 – 2
9 7
2
8 1 4 9
•
1 5 – 3
( 5 ) 3
1 2 5
Q u a n d o a b a s e
é u m
n ú m e r o n e g a t i v o , é
n e c e s s á r i o e s c r e v ê - l a
e n t r e p a r ê n t e
s e s .
S e m p a r ê n t e s e s , o
s i n a l d e n e g a t i v o s e r á
a p l i c a d o a o r e s u l t a d o
d a p o t e n c i a ç ã o .
V o c ê j á t r a b a
l h o u n o s a n o s a n t e r i o r e s c o m a p o t e n c i a ç ã o e s u a s p r o p r i e d a d e s . V a m o s r e c o r d a r ?
D e f i n i ç õ
e s
C o n s i d e r a n d
o q u e a b a s e é u m n ú m e r o r e a l a e o e x p o e n t e é u m n ú m e r o n a t u r a l n , t e m o s :
a n a a a
a …
a p a r a n 1
a 1 a ; e , p a
r a a 0 :
a 0 1
a n
1 a n
1 a n
O s m a t e m á t i c o s t i v e r a m
v á r i a s r a z õ e s p a r a i n t r o d u z i r
e s s a s d e f i n i ç õ e s . P o r e x e m p l o , a m a n u t e n ç ã o d e p a d r õ e s :
O s e x p o e n t e s d i m i n u e m s e m p r e u m a u n i d a d e .
O q u o c i e n t e e n t r e
o s v a l o r e s s u c e s s i v o s d a s p o t ê n c i a s
é c o n s t a n t e e i g u a l a 3 .
V e j a :
1
7 9
2
1 4
9 8 1
1
8 1
4 9
8 1
4 9
A t e n ç ã o !
3 4
3 3
3 2
3 1
3 0
3 1
3 2
3 3
3 4
8 1
2 7
9
3
1
1 3
1 9
1 2 7
1 8 1
: 3
: 3
: 3
: 3
: 3
: 3
: 3
: 3
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
P O T E N C I A Ç Ã O
E
R A D I C I A Ç Ã O
9
E x
e r c í c i o s
Q u a l q u e r n ú m e r o
n a t u r a l 0 .
5
C a l c u l e .
a ) 2 8
3
b ) 7 4
9 2
c ) 1 0 1
0 0 0 0 4
d ) 0 0
e ) ( 2 ) 3
2 5
f ) ( 2 ) 6
4 6
g ) ( 2 )
1 2 8 7
h ) ( 3 ) 9
2
i ) ( 3 )
2 7 3
j ) ( 1 0 )
1 0 0 0 0 0 5
1
N u m d e p ó s i t o h á 1 0
c a i x a s , c a d a c a i x a
c o n t é m 1 0 p a c o t e s e c a d
a p a c o t e c o n t é m 1 0
p a r a f u s o s . Q u a n t o s p a r a f u s o s h á n o t o t a l ?
1 0 3 1
0 0 0
3
Q u a l é o n ú m e r o m a i o r : 2 2 2 o u 2 2 2 ? 2 2 2
2
Q u a l é o e x p o e n t e ?
4
C o m p l e t e , n o c a d e r n o , a t a b e l a q u e t r a t a d a
á r e a e d o p e r í m e t r o d e 5 q
u a d r a d o s d i f e r e n t e s .
a ) ( 7 ) 2 4
9
b ) 7 2
4 9
O s r e s u l t a d o s s ã o i g u a i s o u d i f e r e n t e s ? P o r q u ê ?
7
U m g a t o c o m e 4 r a t o s p o r d i a . Q u a n t o s r a -
t o s 4 g a t o s c o m e m
e m 4 d i a s ? 6 4 r a t o s
• 4 3 6
4
6
C a l c u l e .
a ) ( 3 ) 4 8
1
b ) 3 4 8 1
c ) 5 3
1 2 5
d ) ( 5 ) 3
1 2 5
e ) ( 1 , 4 ) 2 1 , 9 6
f ) 1 , 4
2
1 , 9 6
8
Q u a l é o v a l o r
d e a ? R e s p o n d a n o c a d e r n o .
9
T r a d u z a p a r a a l i n g u a g e m m a t e m á t i c a :
a ) o q u a d r a d o d e
5 ; 5 2
b ) o d o b r o d o q u a d r a d o d e 5 ; 2 5 2
c ) o c u b o d e 5 ; 5 3
d ) o t r i p l o d o c u b
o d e 5 . 3 · 5 3
a ) a 5 1
1
b ) a 6 0
0
c ) a 3 8
2
d ) a 2 2
5 5 o u ( 5 )
e ) a 4 1
6 2 o u ( 2 )
f ) a 2
9 ( C u i d a d o ! ) N ã o h á .
D i f e r e n t e s . N o i t e m a , o
( – 7 ) e s t á e l e v a d o a o e x p o e n t e 2 , e n q u a n t o n o
i t e m b , o 7 e s t á e l e v a d o
a o e x p o e n t e 2 e o r e s u l t a d o t e m s i n a l n e g a t i v o .
L a d o
3 7
1 , 5
1 2
x
Á r e a
9
P e r í m e t r o
1 4
2 , 2 5
4 9
1 2
2 8
6
2
4 x x 2
1 0 0 0
p a r a f u s o s
A t e n ç ã o !
E m a
l g u n s i t e n s p o d e
h a v e r d u a s r e s p o s t a s .
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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1 2
U s a n d o e s s a f o r m a
d e r e p r e s e n t a ç ã o , u m a p
e s s o a
q u e n ã o f a l e o n o s s o i d i o m a
, m a s q u e
c o n h e ç a M a t e m á t i c a , s a b
e r á q u e
l i s t a m o s a s p r o p r i e d a
d e s
d a s p o t ê n c i a s !
2 7
3
9
3
3
3
1
2 7 3
3
2 4 3
3
8 1
3
2 7
3
9
3
3
3
1
2 4 3
3 5
A p l i c a n d o
a s p r o p r i e d a d e s d a s
p o t ê n c i a s , e c o n o m i z a m o s
c á l c u l o s e t e m p o !
P o d e m o s
u s a r l e t r a s p a r a g e n e r a l i z a r a s p r o p r i e d a d e s
q u e a c a b a m o s d e r e v e r .
A s b a s e s s ã o n ú m e r o s r e a i s a e b d i f e r e n t e s d e z e r o , e
o s e x p o e n t e s , n ú m e r o s i n t e i r o s m e n .
A g o r a , v o
l t a n d o à n o s s a e x p r e s s ã o . . .
V a m o s v e
r m a i s u m e x e m p l o .
T o m e m o s
a e x p r e s s ã o
2 4 3 3 8
2 7 4
.
S e r i a b a s t a n t e t r a b a l h o s o c a l c u l a r a s p o t ê n c i a s i n d i c a
d a s . N o e n t a n t o , p o d e m o s s i m p l i f i c a r
a e x p r e s s ã o .
P r i m e i r o f a t o r a m o s 2 4 3 e 2 7 :
V o l t a n d o
à e x p r e s s ã o i n i c i a l :
2 4 3 3 8
2 7 4
3 5
3 8
( 3 3 ) 4
3 5 + 8
3 3
4
3
1 3
3 1 2
3 1 3 – 1 2 3
1
3
E n t ã o , 2
4 3 3 8
2 7 4
3 .
a m a
n a
m + n
a m a
n a
m – n
( a m ) n a
m · n
( a b ) m a
m
b m
( a b
) m a
m
b m
F i c o u m a i s f á c i l !
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
P O T E N C I A Ç Ã O
E
R A D I C I A Ç Ã O
1 3
E x
e r c í c i o s
a ) ( 8 3 ) 2 =
8 5
b ) 6 7 :
6 – 5 =
6 2
c ) ( 5 + 3 ) 2 =
5 2 +
3 2
d )
= 1 0 – 1
1 0 4
1 0 5
E E E C
2
4 0 0 :
2 3 9 7
A –
I
B –
I V
C –
I I
D –
I I I
1 6
O d e s e n h o a b a i x o r e p
r e s e n t a o c r u z a m e n -
t o d e l i n h a s h o r i z o n t a i s c o m l i n h a s v e r t i c a i s .
Q u a n t o s p o n t o s h a v e r i a
s e t i v é s s e m o s 1 8 l i -
n h a s h o r i z o n t a i s e 1 8 v e r t i c a i s ? 3 2 4 p o n t o s
1 7
T r a n s f o r m e n u m a ú n i c a p o t ê n c i a :
a ) 5 7
5 2 5
9
b ) a a 4
a a 6
c ) 7 7 3 4 9 7 6
d
) 7 1 0 :
7 4 7
6
e
) 3 2 :
3 5 3
7
f ) 1 0 6 :
1 0 3 : 1 0 1 0 2
1 8
C e r t o o u e r r a d o ? A n o
t e a r e s p o s t a n o c a -
d e r n o .
1 9
N o c h a v e i r o r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a , s ã o
g u a r d a d a s a s c h a v e s d e
u m e s t a c i o n a m e n t o .
E m c a d a g a n c h o s ã o c o l o c a d a s 5 c h a v e s . N o
t o t a l , q u a n t a s c h a v e s p o d e
m s e r g u a r d a d a s ?
2 0
C a l c u l e m e n t a l m e n t e o v a l o r d e : 2 3 8
2 1
R e l a c i o n e , n o
c a d e r n o , a s e x p r e s s õ e s q u e
t ê m o m e s m o v a l o
r .
A 7
7 7 7
B (
7 2 ) 4
C
( 5 2 ) 2
D
5 2 5 4
I 7
3
7
I I 5
5 5 5
I I I ( 5
2 ) 3
4 9 4
2 2
S i m p l i f i q u e .
a )
( 7 2 ) 3
( 7 3 ) 2
1
b )
( 3 5 2 ) 3
( 3 2
5 ) 2
3 1
5 4
2 3
C a l c u l e m e n t a l m e n t e o p r o b l e m a . 3 7 :
3 5 3
2
2 4
Q u a n t o é :
a ) o d o b r o d e 2 1 0
? 2 2 1 0 2
1 1
b ) o q u á d r u p l o d e 2 1 0 ? 4 2 1 0 2
1 2
c ) o q u a d r a d o d e
2 1 0 ? ( 2 1 0 ) 2 2
2 0
d ) o c u b o d e 2 1 0 ?
( 2 1 0 ) 3 2
3 0 I V
1 2 5 c h a v e s
• 5 3
1 2 5
E m u m
a c a i x a h á 3 7 l
á p i s . Q u a n -
t o s p a
c o t e s , c o m
3 5
l á p i s e m
c a d a u
m , v o u c o n s e g u i r e m b a l a r ?
( A n o t e
o r e s u l t a d o n o c a d e r n o . )
9 p a c o t e s
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 9/197
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 10/197
1 8 4
. E x p o
e n
t e s r a c i o n a
i s
A t é a g o r a t r a b a l h a m o s c o m p o t ê n c i a s c u j o s e x p o e n t e s e r a m n ú m e r o s i n t e i r o s .
E s e o e x p o e
n t e f o r u m n ú m e r o r a c i o n a l ?
P o r e x e m p l o
, q u a l é o s i g n i f i c a d o d e 7
1 2 ? E d e 2 , 8
3 4 ? E 1 6
0 , 2 5 ?
O s e x p o e n t e
s r a c i o n a i s r e l a c i o n a m a p o t e n c i a ç ã o e a r a d
i c i a ç ã o d a s e g u i n t e m a n e i r a :
S e a é u m n ú m e r o p o s i t i v o e m e n s ã o n ú m e r o s n a t u r a i s d i f e r e n t e s d e z e r o , e n t ã o :
a m n n
a m
n a m a
m n
V e j a n u m e x
e m p l o p o r q u e t o m a m o s b a s e p o s i t i v a :
( 2 ) 3 4 4
( 2 ) 3
C o m o ( 2 ) 3
é u m n ú m e r o n e g a t i v o , e s s a r a i z n ã o é u m n ú m e r o r e a l .
A s p o t ê n c i a s d e b a s e p o s i t i v a e
e x p o e n t e r a c i o n a l p o d e m s e r e s c r i t a s n a
f o r m a d e r a d i c a l , e o s r a d i c a i s p o d e m
s e r
e s c r i t o s n a f o r m a d e p o t ê n c i a c o m
e x p o e n t e r a c i o n a l .
E x e m p l o s :
A s p r o p r i e d a
d e s d a s p o t ê n c i a s c o n t i n u a m v a l e n d o p a r a o
s e x p o e n t e s r a c i o n a i s .
O f a t o d e p o t ê n c i a s c o m e
x p o e n t e s r a c i o n a i s p o d e r
e m s e r e s c r i t a s c o m o r a í z e s t a m b é m
t e m s u a s r a z õ
e s . D e n t r o d a i d e i a d e m a n t e r p a d r õ e s . . .
O s v a l o r e s d o s e x p o e n t e s d i m i n u e m s e m p r e
1 2 . D o m e s m
o m o d o c o m o o c o r r e p a r a o s e x p o e n t e s
n a t u r a i s , o s q u
o c i e n t e s e n t r e d o i s v a l o r e s s u c e s s i v o s d e p o t ê n c i a s d e v e m s e r c o n s t a n t e s :
4 x
x 1 x
2 4 x
4
C o m o
x 4
1 2 , t e m o s 4
1 2
4 .
4 1
4 1 2
4 0
4
x ?
1
• 7
1 2 2
7 1
7
• 2 , 8
3 4 4 2
, 8 3
• 1 6 0 , 2 5 1 6
1 4 4
1 6 1 4
1 6
•
5 5
1 2
• 3 4 2 4
2 3
• 5 2 7 2
7 5
L á p i s M á g i c o
P O T E N C I A Ç Ã O
E
R A D I C I A Ç Ã O
1 9
1 a
p r o p r i e d a d e
S e m f a z e r c á l c u l o s , M á r c i o e s c r e v e u e m s e u c a d e r n o :
5 .
P r o p r i e d a
d e s
d o s r a
d i c a i s
V e j a c o m o e s c r e v e m o s a f o r m a g e r a l d e s s a p r o p r i e d a d e :
P a r a c a l c u l a r
4
6 2 5 ,
R o g é r i o
f a t o r o u 6 2 5 :
P a r a d e s c o b r i r a m e d i d a d o
l a d o d o q u a d r a d o d e á r e a
5 7 6 c m 2 , P a t r í c i a f e z :
6 2 5
5
1 2 5
5
2 5
5
5
5
1
D e p o i s f e z :
4 6 2 5 4
5 4
5 6 2 5 5 4
C u i d a d o c o m a b a s e n
e g a t i v a d o r a d i c a n d o !
V e j a u m e x e m p l o d o q
u e o c o r r e s e a b a s e f o r n e g a t i v a e o í n d i c e
f o r p a r :
( 3 ) 2
9 3
N e s s e c a s o , ( 3 ) 2
3 .
E s s a p r o p r i e d a d e p o d e
s e r ú t i l n o c á l c u l o d e r a í z e s .
V e j a :
A c o m p a n h e :
•
5 2 5
2 2 5
1 5
• 3
7 3 7
3 3 7
1 7
• 6
3 6 3
6 6 3
1 3
S e a é u m n ú m e r o p o s i t i v o e n é u m n ú m e r o n a t u r a l d i f e r e n t e d e z e r o ,
n
a n a .
E l e v o à q u i n t a
p o t ê n c i a e e x t r a i o
a r a i z q u i n t a : s ã o
o p e r a ç õ e s i n v e r s a s !
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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2 4
E x e r c í c i o s
4 7
E s c r e v a s o b
a f o r m a d e u m a ú n i c a r a i z .
4 8
L e i a o e x e r c í c i o q u e R e n a t o d e v e r e s p o n d e r :
R e s p o n d a v o c ê
t a m b é m . 8 1
•
x 3
5 0
C a l c u l e , i n d i c a n d o o r e s u l t a d o s e m r a d i c a l .
F a ç a o s c á l c u l o s
e r e s p o n d a e m
s e u c a d e r n o .
5 1
A f i g u r a é c o n s t i t u í d a p o r d u a s p a r t e s r e -
t a n g u l a r e s ( m e d i d a s e m c m ) .
a ) Q u a l é a á r e a d o r e t â n g u l o a z u l ? 4 c m 2
b ) Q u a l é a á r e a d o r e t â n g u l o v e r d e ? 6 c m 2
5 2
C a l c
u l e , u s a n d o a s p r o p r i e d a d e s d o s r a d i -
c a i s a r i t m é t i c o s .
5 3
A f i g u r a m o s t r a u m r e t â n g u l o e n o s e u i n -
t e r i o r u m
q u a d r a d o .
Q u
a l é a á r e a
d a p a r t e h a c h u r a d a
d
a f i g u r a ?
4 5
5 4
É v e
r d a d e q u e
6 4 1 6
6 4 1 6
=
? S i m .
4 9
C e r t o o u e r r a d o ? R e s p o n d a e m s e u c a d e r n o .
a )
5 4 3
5 1 2
b )
2 3 5
2 1 5
c )
3 2
4 3
3 2
1 2
d )
5
5 8
a )
2 1
3
7
=
⋅
C
b )
4 0
4
1 0
3
3
3
=
⋅
C
c )
2
5
1 0
3
⋅
=
E
d )
2
3 5
3 0
⋅
⋅
=
C
a )
3
1 2
⋅
6
b )
2
4
3
3 ⋅
2
c )
8
4
5
5 ⋅
2
d )
1 1
1 1
⋅
1 1
e )
2
5 0
⋅
1 0
f )
8
0 5 ,
⋅
2
g )
0 1
1 0
, ⋅
1
h )
0 5
5
1 0
, ⋅
⋅
5
a )
1 0
2
(
)
1 0
b )
8 3
2
(
)
4
c )
7 3
6
(
)
4 9
d )
3 2
4
(
)
8 1
A r a
i z q u a d r a d a
d a
r a i z
q u a d
r a d a
d e u m n ú m e r o
é i g u a l a
3 . Q u a l é e s s e
n ú m e r o ?
8
2
4 , 5
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n D A E
P O T E N C I A Ç Ã O
E
R A D I C I A Ç Ã O
2 5
P a r a f a z e r a h i g i e n e p e s s o a l , c o z i n h a r ,
l i m p a r a c a s a , l a v a r a
r o u p a e t c . , c a d a
p e s s o a c o n s o m e e m m
é d i a 2 0 0 l i t r o s d e
á g u a p o r d i a .
U m r e s e r v a t ó r i o c o m
o e s s e s e r i a c a p a z
d e a b a s t e c e r u m g r u p o d
e 5 0 0 p e s s o a s p o r
a p r o x i m a d a m e n t e q u a n t o s d i a s ?
L e m b r e - s e d e q u e 1 m
3 1
0 0 0 L .
A p r o x i m a d a m e n t e 1 7 d i a s .
6 .
S i m p
l i f i c a ç ã o
d e r a
d i c a i s
U m r e s e r v a t ó r i o e m f o
r m a d e c u b o d e v e c o m p o r t a r 1 7 2 8 m 3 d e á g u a . Q u a l d e v e s e r a m e d i d a
d e s u a a r e s t a ?
V a m o s d e s c o b r i r ?
O v o l u m e d o c u b o é :
V a
3 .
C o m o V 1
7 2 8 m 3 , t e m o s a 3
1 7 2 8 .
E n t ã o , a
1 7 2 8
3
.
P o d e m o s d e t e r m i n a r e
s s a r a i z p o r t e n t a t i v a s . T a m b é m p o d e m o s u s a r a s p r o p r i e d a d e s d o s r a d i c a i s
p a r a d e t e r m i n á - l a :
1 7 2 8
2
8 6 4
2
4 3 2
2
2 1 6
2
1 0 8
2
5 4
2
2 7
3
9
3
3
3
1
1 7 2 8 2
6
3 3
1 7 2 8
2
3
2
3
2
2
3
3
6
3
3
6
3
3
3
3
3
3
3
3 3
3
2
2
3
1 2
L o g o , a a r e s t a d e v e m e d i r 1 2 m e t r o s .
A s p r o p r i e d a d e s d o s r a d i c a i s p e r m i t i r a m s i m
p l i f i c a r e c a l c u l a r a r a i z q u e
r e s o
l v i a o p r o b l e m a .
C o n f i r a c a l c u l a n d o s e 1 2 3 = 1 7 2 8 .
• F a t o r a m o s 1 7 2 8
a
a
a
V i c e n t e C o s t a
D A E
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4 2
E x e r c í c i o s
G r a u d e
u m a e q u a ç ã o
A e q u a ç ã o 2
x 4
8 x
7
0 , q u e a c a b a m o s d e r e s o l v e r , é u m a e q u a ç ã o d o 1 o g r a u , p o i s o
m a i o r e x p o e n t e
d e x é 1 .
A s e q u a ç õ e s
p o d e m s e r c l a s s i f i c a d a s d e a c o r d o c o m o v a
l o r d o m a i o r e x p o e n t e d a i n c ó g n i t a .
N a s e q u a ç õ e
s d o 2 o g r a u , o v a l o r d o m a i o r e x p o e n t e d a i n c ó g n i t a é 2 .
5 y 2 7
y 0
9 x 2 2
5
x 2 2
x 4
3
8 1
0 a a
2 4
a 2 3
a
1
N o q u a d r o h á o i t o e q u a ç õ e s c o m u m a i n -
c ó g n i t a .
R e s p o n d a n o c a
d e r n o .
a ) Q u a i s s ã o e q
u a ç õ e s d o 1 o g r a u ? 2 , 5 e 8
b ) Q u a i s s ã o e q
u a ç õ e s d o 2 o g r a u ? 1 , 4 e 6
c ) Q u a i s s ã o e q
u a ç õ e s d o 3 o g r a u ? 3
d ) Q u a i s s ã o e q
u a ç õ e s d o 4 o g r a u ? 7
2
S e r á a e q u a ç ã o x ² + 3 x = x + 6 + x ² d o
2 o g r a u ? N ã o . A e q
u a ç ã o é d o 1 o g r a u .
3
C o n s i d e r e a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u .
a ) 3 é s o
l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? N ã o .
b ) 2 é s o
l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? S i m .
c ) – 2 é s o l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? N ã o .
d ) – 5 é s o l u ç ã o d e s s a e q u a ç ã o ? S i m .
x ² + 3 x – 1 0 = 0
4
P a r a
a e x p r e s s ã o a b a i x o , e x i s t e m d o i s n ú -
m e r o s r e
a i s q u e p o d e m s e r c o l o c a d o s n o l u g a r
d e
. Q
u a i s s ã o e l e s ? 2 e – 4
(
+ 1 ) ² = 9
S ã o e x e m p
l o s d e e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u .
1 )
x 2 –
5 x
+ 6 = 0
2 ) 2 x –
7 = 0
3 ) x
3 –
x 2 =
1 0
4 ) 6 x
2 –
x =
0
5 ) 3 x +
4 = 2 0
6 ) 4 x
2 –
2 = 3 4
7 ) 2 x
4 –
8
= 0
8 ) 9 x +
6 = 7 x +
4
R e s
o l v a
“ d e c a
b e ç a ” !
H á e q u a ç õ e s d o 3 o g r a u , 4 o g r a u , 5 o g r a u e t c .
P o r e x e m p l o
, o v a l o r d o m a i o r e x p o e n t e d a i n c ó g n i t a x n a
e q u a ç ã o 8 x x
2 2
x 4 0
é 4 . E n t ã o ,
e s s a e q u a ç ã o é
d o 4 o g r a u .
A t é a g o r a r e
s o l v e m o s s o m e n t e e q u a ç õ e s d o 1 o g r a u .
N e s t a u n i d a d e , r e s o l v e r e m o s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u .
I l u s t r a C a r t o o n
H é l i o S e n a t o r e
E Q U A Ç Õ E S
D O
2 o
G R A U
4 3
1 . R e s o l v e r a e q u a ç ã o x ²
= 4 9 é a m e s m a c o i s a
q u e c a l c u l a r
4 9 ? N ã o ,
p o r q u e x ² = 4 9
x = 7 o u
x = – 7 ; e
4 9 = 7 .
2 . C a l c u l e , m e n t a l m e n t e , o s v a l o r e s d e x .
a ) x ² + 1 = 1 0 3 ; – 3
b ) x ² + 3 = 1 9 4 ; – 4
c ) x ² – 1 = 4 8 7 ; – 7
d ) 3 x ² = 7 5 5 ; – 5
e ) x 2 4 =
9 6 ; – 6
k l l
k l l
E s s a e q u a ç ã o
t e m d u a s s o l u ç õ e s !
I s s o n ã o a c o n t e c i a n a s
e q u a ç õ e s d o
1 o g r a u !
2 .
R e s o
l v e n
d o e q u a ç õ e s
d o
2 o g r a u
V o c ê j á s a b e r e s o l v e r a l g u m a s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . A c o m p a n h e .
1 . L e i a a p e r g u n t a d a p r o f e s s o r a :
Q u a l é o n
ú m e r
o q u e
e l e v a d o a o q u a d r a d o
r e s u l t a e m n o
v e ?
P a r a r e p r e s e n t a r e s s a
s i t u a ç ã o p o d e m o s c h a m a r o n ú m e r o d e s c o n
h e c i d o d e x e e s c r e v e r u m a
e q u a ç ã o :
x 2 9
H á d o i s n ú m e r o s q u e e l e v a d o s a o q u a d r a d o r e s u l t a m e m n o v e : 3 e
3 .
I n d i c a m o s a s s i m :
x
k l 9
x
3
3 e 3 s ã o a s s o l u ç õ e s d a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u x 2 9 .
U s a n d o o u t r a n o m e n c
l a t u r a b a s t a n t e c o m u m : 3 e 3 s ã o a s r a í z e
s d e s s a e q u a ç ã o .
E x p l i q u e s u a
r e s p o s t a .
• P r i m
e i r o p e n s e :
Q u a
n t o v a l e x ² ?
• E m s
e g u i d a :
Q u a
n t o v a l e x ?
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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4 4
2 . N u m t e r r e
n o q u a d r a d o f o i c o n s t r u í d a u m a c a s a q u e o c u p a a
á r e a d e u m r e t â
n g u l o d e m e d i d a s 8 m p o r 1 0 m . N a p l a n t a ,
a m e -
d i d a d o l a d o d o
t e r r e n o e s t á i l e g í v e l , m a s s a b e - s e q u e a á r e
a l i v r e
( A t e r r e n o – A
c a s a
) é
d e 3 2 0 m 2 .
Q u a n t o m e d
e o l a d o d o t e r r e n o ?
A á r e a d a c a
s a é A
c a s a 8 1 0 8
0 m 2
O t e r r e n o é
q u a d r a d o . R e p r e s e n t a n d o p o r x a m e d i d a d o s e u
l a d o :
A t e r r e n o x
2
C o m o A t e r r e n o A c a s a 3
2 0 m 2 , t e
m o s :
x 2 8
0 3
2 0
x 2 3
2 0 8
0
x 2 4
0 0
x
4 0 0
x
2 0
A s o l u ç ã o
2 0 n ã o s e r v e , p o i s a m e d i d a d o l a d o d e u m t e r r e n o n ã o p o d e s e r n e g a t i v a .
E n t ã o , o l a d o d o t e r r e n o m e d e 2 0 m .
E x i s t e m
l e i s m u n i c i p a i s q u e r e g u l a m e n t a m a o c u p a ç ã o d o s t e r r e n o s , p r i n c i p a l -
m e n t e o s r e s e r v a d o s a l o t e a m e n t o s e c o n d o m í n i o s . P o r
e x e m p l o , a á r e a c o n s t r u í d a
d e v e r á o c u p a r n o m á x i m o c e r t a p o r c e n t a g e m d a á r e a t o t a l d o t e r r e n o .
N o p r o b
l e m a , a c a s a c o n s t r u í d a o c u p a q u e p o r c e n t a g e m d a á r e a t o t a l d o t e r r e n o ?
A á r e a t o t a l d o t e r r e n o é A 2
0 2 4
0 0 m 2
P a r a r e s p o n d e r à p e r g u n t a , p r e c i s a m o s d e s c o b r i r q u
e p o r c e n t a g e m 8 0 r e p r e s e n t a e m
4 0 0 . C o m p
a r a n d o 8 0 e 4 0 0 p o r m e i o d e u m a r a z ã o :
8 0 4 0 0
2 0 1 0 0 2
0 %
A c a s a o c u p a 2 0 % d a á r e a t o t a l d o t e r r e n o .
3 . E x i s t e u m
n ú m e r o r e a l q u e e l e v a d o a o q u a d r a d o e s o m
a d o a 1 6 r e s u l t a e m z e r o ?
N ã o h á n ú m
e r o r e a l n e s s a s c o n d i ç õ e s . V e j a p o r q u e :
N ú m e r o d e s c o n h e c i d o : x .
E l e v a m o s x a
o q u a d r a d o , s o m a m o s 1 6 e i g u a l a m o s a z e r o , o b t e n d o u m a e q u a ç ã o :
x 2 1
6 0
P a r a q u e t e n
h a m o s x 2 1
6 0
é p r e c i s o t e r x 2
1 6 , m
a s n ã o e x i s t e n ú m e r o r e a l q u e e l e v a d o
a o q u a d r a d o r e
s u l t e e m u m n ú m e r o n e g a t i v o .
A e q u a ç ã o x 2
1
6 0 n ã o t e m s o l u ç ã o , o u n ã o t e m r a í z e s , n o c o n j u n t o d o s n ú m e r o s r e a i s , ® .
10 m
8 m
D A E
E Q U A Ç Õ E S
D O
2 o
G R A U
4 5
4 . V e j a o u t r a s i t u a ç ã o :
Q u a n d o é q u e u m
p r o d u t o é i g u a l a z e r o ?
Q u a n d o p e l o
m e n o s u m d o s
f a t o r e s é i g u a
l
a z e r o .
P e n s e i e m u m n ú m e r o .
E l e v e i - o a o q u a d r a d o e
s o m e i a o p r ó p r i o n ú m e r o .
O b t i v e o t r i p l o
d o n ú m e r o i n i c i a l . E m
q u e n ú m e r o p e n s e i ?
E n t ã o , v a m o s u s a r o u t r o c a m i n h o !
N a e q u a ç ã o x 2 x 3
x , p o d e m o s s u b t r a i r 3 x d e
a m b o s o s m e m b r o s :
x 2 x 3
x 0
x 2 2
x 0
E m s e g u i d a f a t o r a m o s x 2 2
x , c o l o c a n d o x e m e
v i d ê n c i a :
x ( x
2 ) 0
x 2 =
3 x – x
x 2 =
2 x
x = ±
M l l 2 x
O p a !
A s s i m n ã o d á
p a r a a c h a r x .
A e q u a ç ã o c o r r e s p o n d e n t e
a o p r o b l e m a é x 2 +
x =
3 x . V o u
r e s o l v e r d o m o d o c o m o f i z e m o s
n a s e q u a ç õ e s a n
t e r i o r e s . . .
x 2 + x = 3 x
É a l e i d o
a n u l a m e n t o d o p r o d u t o :
S e a
b
0 , e n t ã o
a
0 o u b
0 .
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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5 4 5
. F ó r m
u l a g e r a
l d e r e s o l u
ç ã o
d a e q u a ç ã o
d o 2
o g
r a u
2 a x
b
2 a x
4 a 2 x 2
2 a b x
b
2 a b x
b 2
x
b
2 a
O c o e f i c i e n t e a p o d e
n ã o s e r u m n ú m e r o
q u a d r a d o p e r f e i t o .
P o r i s s o v a m o s
m u l t i p l i c a r o s
d o i s m e m b r o s d a
e q u a ç ã o p o r 4 a .
N e s s a f ó r m u l a , p r e c i s a m o s e x t r a i r a r a i z q u a d r a d a d e .
S e o v a l o r
d e d e l t a f o r u m n ú m e r o n e g a t i v o , n ã o s e
r á u m n ú m e r o r e a l , e a e q u a ç ã o n ã o
t e r á s o l u ç ã o
n o c o n j u n t o ® .
S e 0 ,
0 , e x
b
2 a
f i c a x
b
2 a e a e
q u a ç ã o t e r á s o m e n t e u m a s o l u ç ã o .
S e o v a l o r d e d e l t a f o r u m n ú m e r o p o s i t i v o , a í a e q u a ç ã o t e r á d u a s s o l u ç õ e s r e a i s .
a x 2 b
x c
0
4 a 2 x 2 4
a b x 4
a c 0
O b s e r v e a f i g u r a . O t e r c e i r o t e r m o d o t r i n ô m i o d e v e s e r b 2 .
V a m o s s o m a
r b 2 a a m b o s o s m e m b r o s d a e q u a ç ã o :
4 a 2 x 2 4
a b x 4
a c b
2 b
2
P a r a q u e n o
p r i m e i r o m e m b r o d a e q u a ç ã o f i q u e s o m e n t e o
t r i n ô m i o q u a d r
a d o p e r f e i t o , v a m o s s u b t r a i r 4 a c d e a m b o s o s
m e m b r o s :
4 a 2 x 2 4
a b x b
2 b
2 4
a c
F a t o r a n d o o
t r i n ô m i o q u a d r a d o p e r f e i t o , o b t e m o s :
@ 2 a x b
# 2
b 2 4
a c
A e x p r e s s ã o
b 2 4
a c s e r á r e p r e s e n t a d a p e l a l e t r a g r e g a
( d e l t a ) .
F a z e n d o
b
2 4
a c n a e q u a ç ã o a c i m a , t e m o s :
@ 2 a x b
# 2
S u p o n d o
0 v e m :
2 a x b
S u b t r a i n d o b d e a m b o s o s m e m b r o s d a
e q u a ç ã o :
2 a x
b
e , f i n a l m e n t e , d i v i d i n d o a m b o s o s m e m b r o s p o r 2 a p a r a e n c o n t r a r x :
H á u m a f ó r m
u l a q u e p e r m i t e r e s o l v e r e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u . V a m o s o b t ê - l a a p a r t i r d o m é t o d o
d e c o m p l e t a r q u a d r a d o s .
P a r t i r e m o s d
a e q u a ç ã o g e n é r i c a a x 2 b
x c 0 , c o m
a 0 .
N o s s o o b j e t i v o é o b t e r u m t r i n ô m i o q u a d r a d o p e r f e i t o n o p r i m e i r o m e m b r o d a e q u a ç ã o .
L á p i s M á g i c o
D A E
E Q U A Ç Õ E S
D O
2 o
G R A U
5 5
V a m o s r e s o l v e r e q u a ç õ e s a p l i c a n d o e s s a f ó r m u l a ?
1 . x 2 3
x 1
0 0
a 1
b 3
c 1
0
b
2 4
a c
3
2 4 1
@ 1 0 #
9
4
0 4
9
A g o r a a p l i c a m o s a f ó r m u l a p a r a d e t e r m i n a r o s v a l o r e s d e x :
x
x
L o g o , – 5 e 2 s ã o a s s o l u ç õ e s , o u a s r a í z e s , d a e q u a ç ã o x 2 3 x – 1 0 0 .
2 . 6 x 2 x 1 0
a 6
b 2 4
a c
b 1
1 2 4 6 ( 1 )
c
1
1 2
4 2
5
x
x
L o g o ,
e
s
ã o a s r a í z e s d a e q u a ç ã o 6 x 2 x 1 0 .
3 . 2 x 2 4
x 3 0
a 2
b
4
c 3
b
2 4
a c
(
4 ) 2 4 2 3
1
6 2
4
8
A e q u a ç ã o 2 x 2 4
x 3 0 n ã o t e m r a í z e s r e a i s .
I d e n t i fi c a m o s o s c o e fi c i e n t e s e o t e r m o
i n d e p e n d e n t e n a e q u a ç ã o .
C a l c u l a m o s o v a l o r d e .
b M
2 a
3 7
2
F a z
e n d o a v e r i f i c a ç ã o :
( 5 ) 2 3 ( 5 ) 1
0
2 5 1
5 1
0 0 e
2 2
3 2 1
0 4
6 1
0 0
b M
2 a
1 5
1 2
1 2
1 3
A t e n ç ã o ! N e s t e c a s o
M n ã o é
u m n ú m e r o r e a l .
3 7
2
4 2
x 1
2
3 7
2
1 0
2
x 2
5
1 5
1 2
4 1 2
1 3
x 1
1 5
1 2
6 1 2
1 2
x 2
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 29/197
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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6 2 7
. S o m
a e p r o
d u
t o d a s r a í z e s
d e u m a
e q u a ç ã o
d o
2 o
g r a u
E s c r e v e m o s d u a s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u e s u a s r a í z e s :
• x 2 5
x 6 0
t e m c o m o r a í z e s x 1 2 e x 2 3
a 1 ; b
5 e c 6
O b s e r v e q u
e :
x 1 x 2 2
3 5 e
x 1 x 2 2 3 6
• x 2 2
x 3 0
t e m c o m o r a í z e s x 1
3 e x 2 1
a 1 ; b
2 e c
3
O b s e r v e q u
e :
x 1
x 2
3 1
2 e
x 1
x 2
3 1
3
F a z e n d o e s s a a t i v i d a d e ,
v o c ê p e r c e b e r á q u e a s o m a d a s r a í z e s
e o p r o d u t o d a s r a í z e s t ê m a l g u m a
r e l a ç ã o c o m o s v a l o r e s d e a , b e c .
V a m o s d e s c o b r i r q u a l é e s s a r e l a ç ã o ?
A c o m p a n h e !
P e l a f ó r m u l a
g e r a l , a s r a í z e s d e u m a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u
s ã o :
x 1
b
M
2 a
e x 2
b M
2 a
. E n t ã o ,
• x 1 x 2
b M
2 a
b M
2 a
2 b 2 a
• x 1 x 2
b M
2 a
b M
2 a
( b M
)
( b
M
)
4 a 2
( b ) 2 ( M ) 2
4 a 2
C o m o
b
2 4
a c , t e m o s :
x 1 x 2
b 2 (
b 2 4
a c )
4 a 2
b 2 b
2 4
a c
4 a 2
4 a c 4 a 2
F i n a l m e n t e : x 1 x 2
c a
C o p i e e c o
m p l e t e a t a b e l a , e n c o n t r a n d o p r i m e i r o a s r a í z e s
x 1 e x 2 d e c a d a e q u a ç ã o .
s e a n u l a m
5 3 4
– 2
– 5 1
3
– 2
5
– 1 0
– 1 5 4
F i n a l m e n t e : x 1 x 2
b a
b a b 2
4 a 2
E q
u a ç ã o
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 2 3
x
1 0
0
a
1 ; b
3 e c
1 0
x 2 2
x
1 5
0
a
1 ; b
2 e c
1 5
x 2 5
x
4
0
a
1 ; b
5 e c 4
L á p i s M á g i c o
E Q U A Ç Õ E S
D O
2 o
G R A U
6 3
1 . Q u a i s s ã o a s r a í z e s
d a e q u a ç ã o x 2 4
x 3 0
?
C o m o a 1 , t e m o s q u e S 4 e P 3 .
P r o c u r a m o s d o i s n ú m e r o s q u e s o m a d o s r e s u l t a m e m 4 e m u l t i p l i c a
d o s r e s u l t a m e m 3 .
O s n ú m e r o s s ã o 1 e 3 , p o i s 1 3 4 e 1 3 3 .
D e s c o b r i m o s m e n t a l m
e n t e q u e a s r a í z e s d a e q u a ç ã o x 2 4
x 3 0 s ã o 1 e 3 .
2 . Q u a i s s ã o a s r a í z e s
d a e q u a ç ã o
2 x 2 1
0 x 0
?
a 2 ; b
1 0 e c 0
S
b a
1 0 2
5
P
c a 0
S o m a 5 e p r o d u t o
z e r o . . . J á s e i : a s r a í z e s
s ã o 0 e
5 . 2
e 3 , é c l a r o !
A s r a í z e s d a e q u a ç ã o s ã o
x 1 = 2 e x 2 = 3 .
Q u a i s s ã o o s n ú m e r o s c u j a
s o m a é 5 e o p r o d u t o é 6 ?
S e t i v e r m o s a = 1 , a
e q u a ç ã o p o d e s e r
e s c r i t a c o m o x 2 S x
P 0 .
E s s a s r e l a ç õ e s p o d e m
n o s a j u d a r a r e s o l v e r a l g u m a s e q u a ç õ e s d o 2
o g r a u m e n t a l m e n t e .
V e j a m a i s e x e m p l o s a s e g u i r .
C h a m a n d o d e S a s o m a e d e P o p r o d u t o d a s r a í z e s d e u m a e q u
a ç ã o d o 2 o g r a u q u e t e n h a
r a í z e s r e a i s , t e m o s :
e
N a e q u a ç ã o x 2 5
x
6 0 , t e m o s a 1 .
E n t ã o :
S 5
P 6
S b a
P c a
F i q u e a t e n t o !
N e m s e m p r e é f á c i l d
e s c o b r i r a s r a í z e s m e n t a l m e n t e . P o r e x e m p l o , n a
e q u a ç ã o 2 x 2 5
x 3 0
t e r í a m o s d e d e s c o b r i r n ú m e r o s c u j a s o m a é 5 2 e c u j o p r o d u t o é 3 2
. A í f i c a m a i s f á c i l a p l i c a r a
f ó r m u l a g e r a l p a r a r e s o l v e r a e q u a ç ã o .
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7 2
V e j a m a i s u m
e x e m p l o d e r e s o l u ç ã o d e s s e t i p o d e e q u a ç ã o .
R e s o l v e r e m o
s a e q u a ç ã o x 4 3
x 2 4 0 s u b s t i t u i n d o x
2 p o r y :
y 2 3
y 4
0
9
1 6
2
5
y 3
5 2
y 1 4
y 2
1
C o m o x 2 y , t e m o s :
A g o r a d e v e m
o s v e r i f i c a r s e a s o l u ç ã o e n c o n t r a d a s a t i s f a z a e q u a ç ã o o r i g i n a l , p o i s n e m s e m p r e
i s s o a c o n t e c e .
S u b s t i t u i n d o
x p o r 3 :
x 1 2
3 1 2
4 2
2 2
( i g u a l d a d e v e r d a d e i r a )
1 0
. E q u
a ç õ e s
i r r a c i o n a
i s
V a m o s r e s o l v e r a e q u a ç ã o
x 1 2 .
E l e v a r e m o s o s d o i s m e m b r o s d a e q u a ç ã o a o q u a d r a d o :
[ x 1
] 2 2
2
x 1 4
x 4 1
x 3
N ã o h á n ú m e r o r e a l q u e e l e v a d o a o
q u a d r a d o r e s u l t e e m u m n ú m e r o
n e g a t i v o .
V e r i f i c a d o : 3 é a r a i z d a e q u a ç ã o .
P a r a y
4 :
x 2 4
x
2
P a r a y
1 :
x 2
1
E n t ã o , a e q u
a ç ã o t e m c o m o s o l u ç õ e s 2 e 2 .
E q u a ç õ e s q u e t ê m
i n c ó g n i t a n o r a d i c a n d o s ã o
c h a m a d a s d e e q u a ç õ e s
i r r a c i o n a i s .
I n c ó g n i t a n o
r a d i c a n d o . . . A i n d a n ã o
t í n h a m o s v i s t o e q u a ç õ e s
d e s s e t i p o .
H é l i o S e n a t o r e
E Q U A Ç Õ E S
D O
2 o
G R A U
7 3
A c o m p a n h e m a i s e x e m
p l o s d e r e s o l u ç ã o d e e q u a ç õ e s i r r a c i o n a i s .
1 .
2 x 5 4
3 .
S o m a r e m o s 4 a a m b o s o s m e m b r o s d a e q u a ç ã o :
2 x 5 1
N o p r i m e i r o m e m b r o d a e q u a ç ã o , f i c a m o s s o m e n t e c o m o r a d i c a l . A g o r a e l e v a m o s a m b o s o s
m e m b r o s a o q u a d r a d o :
[ 2 x 5
] 2 1
2
2 x 5 1
2 x 1
5
2 x 6
x 3
É p r e c i s o v e r i f i c a r s e x
3 s a t i s f a z a e q u a ç ã o i n i c i a l :
2 x 5 4
3 ; p
a r a x 3
f i c a :
2 3 5 4 3
6 5 4
3
1 4
3
1 4
3
3
3 ( i g u a l d a d e v e r d a d e i r a )
2 .
x 1
x 5
.
( x 1
) 2 [
x 5 ]
2
x 2 2
x 1 x
5
x 2 2
x 1 x 5 0
x 2 3
x 4 0
( 3
) 2 4 1
( 4 )
9
1
6 2
5
x
3 5 2
C o n c l u í m
o s q u e x 3
é s o l u ç ã o
d a e q u a ç ã o .
x 1
3 5 2
4
x 2
3 5 2
1
x 1
x 5
• P a r a x 4 :
4 1
4
5
3
9
3 3
( V e r d a d
e i r o ! )
• P a r a x 1 :
1 1
1 5
2
4
2 2
( F
a l s o ! )
V o l t a m o s à e q u a ç ã o o
r i g i n a l p a r a v e r i f i c a r a s s o l u ç õ e s :
C o n s i d e r a m o s s o m e n t e a s o l u ç ã o x 4 .
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8 2
C o m u m a ú l t i m a i n f o r m a ç ã o d e f i n i m o s a l o c a l i z a ç ã o : s e g
u i n d o p e l a e s t r a d a d a c i d a d e B p a r a a
c i d a d e A , o p o s
t o e s t á a 4 0 k m d a c i d a d e B .
E s e a c r e s c e n t a r m o s u m a
i n f o r m a ç ã o :
o p o s t o e s t á a
4 0 k m d a c i d a d e B ?
M e l h o r o u , m a s t e m o s d u a s
l o c a l i z a ç õ e s p o s s í v e i s p a r a
o p o s t o .
B
A
2 0 k m
E S T R A D A
4 0 k m
4 0 k m
•
•
?
?
B
A
2 0 k m
E S T R A D A
4 0 k m
•
R e p a r e q u e ,
a l é m d a d i s t â n c i a , p r e c i s a m o s i n f o r m a r a d i r
e ç ã o e o s e n t i d o .
O b s e r v e , n e s t a i l u s t r a ç ã o , q u e a s p e s s o a s
c a m i n h a m n a
m e s m a d i r e ç ã o , m a s e m s e n -
t i d o s o p o s t o s .
N a s l i n h a s p r e t a s d e s t a f i g u r a ,
q u a n t a s d i r e ç õ e s e q u a n t o s s e n t i d o s
p o d e m
o s i d e n t i f i c a r ? D u a s d i r e ç õ e s e q u a t r o s e n t i d o s . L á p i s M á g i c o
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
D A E
S I S T E M A
C A R T E S I A N O
8 3
J a i r é u m t
é c n i c o d e t r á f e g o e m o n i t o r a o t r â n -
s i t o d e u m a c i d a d e p o r m e i o d e c â m e r a s i n s t a l a -
d a s e m d
i v e r s o s p o n t o s
. U m a d a s c â m e r a s m o s -
t r o u u m a c i d e n t e s e m v í t i m a s , c o m o v o c ê v ê n a
i l u s t r a ç ã o a o l a d o . U m a v i a t u r a p o l i c i a l t r a f e g a n a
R u a M a r g a r i d a . Q u e i n f o
r m a ç õ e s J a i r d e v e p a s s a r
p o r r á d i o p a r a q u e a v i a t u r a l o c a l i z e r a p i d a m e n t e
o l o c a l d o a c i d e n t e ?
P a r a c o p i a r e s t e l o g o t i p o , L ú c i o q u a d r i c u l o u o d e s e -
n h o o r i g i n a l , m a r c o u a l g u n s
p o n t o s e n u m e r o u a s l i n h a s
h o r i z o n t a i s e v e r t i c a i s .
N u m a f o l h a d e p a p e l q u a d r i c u l a d o e l e l o c a l i z o u o s
p o n t o s e r e p r o d u z i u o l o g
o t i p o .
P o n t o A : 2 h o r i z o n t a l e 8 v e r t i c a l .
P o n t o B : 6 h o r i z o n t a l e 8 v e r t i c a l . . .
A s
s i m f i c a m a i s f á c i l !
0 •
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D E
F
G
H I
J
V i r a r à e s q u e r d a n a R u a S e m e n t e e
à e s q u e r d a n o v a m e n t e n a A v . d o S o l .
0 •
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
J
C
I
D
H
E
G
F
0 •
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
•
•
A
C
• B
1 . N u m a f o l h a d e p a p e l q u a d r i c u l a d o , r e p r o d u z a o l o g o t i p o
l o c a l i z a n d o o s p o n t o s
c o m o L ú c i o f e z .
2 . Q u a l d o s p o n t o s m a r c
a d o s n o q u a d r i c u l a d o a o l a d o c o r r e s -
p o n d e à z e r o n a h o r i z
o n t a l e 2 n a v e r t i c a l ? C
H é l i o S e n a t o r e
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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8 4 2
. S i s t e
m a c a r t e s i a n o
E m M a t e m á t i c a h á u m s i s t e m a q u e p e r m i t e l o c a l i z a r p o n
t o s n o p l a n o .
T r a ç a m o s d u a s r e t a s n u m é r i c a s p e r p e n d i -
c u l a r e s q u e s e
i n t e r s e c t a m
n o p o n t o q u e r e -
p r e s e n t a o z e r o
d e c a d a u m a d e l a s . E l a s s e r ã o
c h a m a d a s d e e i x o s .
R e p a r e q u e
a s s e t a s i n d i c a m
o s e n t i d o
c r e s c e n t e d o s n
ú m e r o s q u e s e u s p o n t o s r e p r e -
s e n t a m .
L o c a l i z a m o s
o p o n t o P n o p l a n o :
• 3 n o e i x o x
;
• 4 n o e i x o y
.
A l o c a l i z a ç ã o
d e P é d a d a p e l o p a r o r d e n a d o ( 3 ; 4 ) o n d e 3 e
4 s ã o a s c o o r d e n a d a s d o p o n t o P : 3 é a
a b s c i s s a e 4 é a o r d e n a d a .
E s t a b e l e c e u - s e q u e o p r i m e i r o e l e m e n t o d o p a r s e m p r e s e r á a a b s c i s s a e o s e g u n d o e l e m e n t o ,
a o r d e n a d a d o p o n t o .
( 3 ; 4 ) é o p a
r o r d e n a d o q u e r e p r e s e n t a o p o n t o P n o p l a n o .
E s c r e v e m o s P ( 3 ; 4 ) .
F o r n e c e m o s
o s p a r e s o r d e n a d o s q u e r e p r e s e n t a m o s p o n
t o s A , B e C .
• E i x o h o r i z o
n t a l : é o e i x o d a s a b s c i s s a s ,
o u e i x o x .
• E i x o v e r t i c a l : é o e i x o d a s o r d e n a d a s ,
o u e i x o y .
E s c r e v a
e m s e u c a d e r n o o s p a r e s
o r d e n a d o s
q u e r e p r e s e n t a m o s p o n t o s
D e E , F e G .
D ( 0 ; 2 ) ; E ( 3 ; 3 ) ; F ( 4 ; 2 ) ; e G ( 1 , 7 5 ; 1 , 5 )
A ( 1 ; 2 )
B ( 3 ; 3 )
C ( 4 ; 0 )
( 1 ; 2 ) s ã o a s
c o o r d e n a d a s d e A .
4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
x
y
5 4
3 2 1
1 2
3
4
P
H é l i o S e n a t o r e
4
3 2 1 1
2
3
4 0 1 2 3 4 y
1
2
3
4
x
D
G
F
E
B
C
A
I l u s t r a ç õ e s : D A E
S I S T E M A
C A R T E S I A N O
8 5
E x
e r c í c i o s
1
( S a r e s p ) O b s e r v e a f i g
u r a a b a i x o . E m q u a l
p o s i ç ã o e s t á a r o d a d a f r e
n t e d o c a r r o ?
a ) C 1
b ) D 3
c ) C 3
d ) D 2
2
O b s e r v e a p l a n t a d e u m a s a l a d e a u l a . N e l a ,
h á c a r t e i r a s i n d i v i d u a i s d
i s p o s t a s e m l i n h a s e
c o l u n a s .
a ) Q u a l é a p o s i ç ã o ( c o l u n
a ; l i n h a ) d a c a r t e i r a A ?
b ) Q u a l é a p o s i ç ã o ( c o l u n
a ; l i n h a ) d a c a r t e i r a B ?
( 2 ; 3 )
( 3 ; 2 )
3
D ê a s c o o r d e n a d a s d e c a d a p o n t o d o p l a -
n o c a r t e s i a n o .
A
C y
B
K
L
x
J
I
H
G F
D
E
A ( 5 ; 5 )
B ( 3 ; 2 )
C ( 0 ; 7 )
D ( – 4 ; 3 )
E ( – 7 ; 2 )
F ( – 5 ; 0 )
G
( – 6 ; – 3 )
H
( – 3 ; – 4 )
I
( 0 ; – 6 )
J ( 2 ; – 3 )
K ( 5 ; – 2 )
L ( 8 ; 0 )
4
U s e u m a f o l h a
d e p a p e l q u a d r i c u l a d o e r e -
p r e s e n t e , n o p l a n o c a r t e s i a n o , o s p o n t o s :
5
I n d i q u e q u a l d o s p o n t o s A , B , C , D , E , F
e G , a b a i x o , v e r i f i c a c a d a u m a d a s s e g u i n t e s
a f i r m a ç õ e s : D
E
0
F
B
C
G
A
y
x
a ) A a b s c i s s a é i g u
a l à o r d e n a d a . A
b ) A o r d e n a d a é n
e g a t i v a . D , F
c ) A a b s c i s s a é m e
t a d e d a o r d e n a d a . D
d ) A a b s c i s s a é o d o b r o d a o r d e n a d a . B
e ) A o r d e n a d a é n u l a . E
f ) A a b s c i s s a é n u l a . G
a ) A ( 2 ; 4 )
b ) B 5 ; 7 2
c ) C ( 3 ; 1 )
d ) D
1 2 ; 6
e ) E ( – 2 ; – 7 )
f ) F 0 ;
5 2
6
O s p o n t o s A ( 5 ; 6 ) ; B ( 6 ; 5 ) ; C ( 5 ; 6 ) ; e
D ( 5 ; 6 ) f o r a m m
a r c a d o s n u m s i s t e m a d e c o -
o r d e n a d a s c a r t e s
i a n a s . Q u a l d o s s e g u i n t e s
s e g m e n t o s d e r e t a é p a r a l e l o a o e i x o x ?
a ) A B
b ) C D
c ) B C
d ) A D
4 3 2 1
A
B C
D
E
x
x
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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9 4
a ) 6
b ) 8
c ) 9
d ) 1 2
x 2 0
( C e e t e s p s - S P ) O p a r o r d e n a d o d e n ú m e r o s
q u e r e p r e s e n t a a r e p r e s a é :
y
Z o o l ó g i c o
E s c o l a
I g r e j a
R e s e r v a t ó r i o d e
á g u a t r a t a d a
x
R e p r e s a
1
3
4
2
1
2
5 4 3
3 2 1 1
2
3
4
a ) ( 5 ; 3 )
b ) ( 3 ; 4 )
c ) ( 5 ; 3 )
d ) ( 4 ; 3 )
x
2 1
D o i s p o n t o s s i m é t r i c o s e m r e l a ç ã o a o e i x o
d a s a b s c i s s a s s ã
o :
a ) A e C
b ) A e D
c ) C e F
d ) C e D
x y
x
C D
2
4
1
3
5
E
F
B
A
2 2
A á r e a d o t r i â n g u l o A B C d a f i g u r a a b a i x o é :
2 3
( S a e
b - M E C ) N u m t a b u l e i r o d e x a -
d r e z , j o g a m o s c o m v á r i a s p e ç a s q u e s e
m o v i m e
n t a m d e m a n e i r a s d i f e r e n t e s . O c a v a l o
s e m o v e
p a r a q u a l q u e r c a s a q u e p o s s a a l c a n -
ç a r c o m
m o v i m e n t o s n a f o r m a d e “ L ” , d e t r ê s
c a s a s . N
a f i g u r a a b a i x o , o s p o n t o s m a r c a d o s
r e p r e s e n
t a m a s c a s a s q u e o c a v a l o p o d e a l c a n -
ç a r , e s t a
n d o n a c a s a D 4 .
D e n t r e a s c a s a s q u e o c a v a l o p o d e r á a l c a n ç a r ,
p a r t i n d o
d a c a s a F 5 e f a z e n d o u m a ú n i c a j o -
g a d a , e s
t ã o :
a ) G 3 o
u D 6
b ) H 5 o
u F 3
c ) H 7 o u D 7
d ) D 3 o u D 7
x 2
4
( V u n
e s p ) A á r e a d a f i g u r a é :
a ) 2 0 c m 2
b ) 2 1 c m 2
c ) 2 2 c m 2
d ) 2 3 c m 2
x
7 0
1
6 5 4 3 2 1
c m
c m
2
3
4
5
6
7
8
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
A B
C
U n i d a d e
d e m e d i d a
F U N Ç Õ E S
9 5
U N I D A D E 4
U N I D A D E
F u n ç õ e
s
1 .
C o n c e
i t o
d e
f u n ç ã o
A q u a n t i d a d e d e c o m b
u s t í v e l c o n s u m i d a p o r u m
a u t o m ó v e l é f u n ç ã o d a d
i s t â n c i a q u e e l e p e r c o r r e .
N e s s a a f i r m a ç ã o e e m
o u t r a s p r e s e n t e s e m n o s -
s o d i a a d i a , u s a m o s a e x p r e s s ã o “ é f u n ç ã o d e ”
p a r a m o s t r a r q u e a q u a n t i d a d e d e c o m b u s t í v e l
d e p e n d e d o n ú m e r o d e q u i l ô m e t r o s r o d a d o s p e l o
a u t o m ó v e l .
M a s o q u e é f u n ç ã o ?
J á p e r c e b e m o s a l i g a ç ã o
e n t r e a p a l a v r a f u n ç ã o e
a r e l a ç ã o d e i n t e r d e p e n -
d ê n c i a e n t r e o s v a l o r e s d e g r a n d e z a s .
V a m o s d e s c o b r i r m a i s ?
S a n d r a F a n z e r e s
E u d i g o 4 .
V a m o s l á !
V a m o s f a z e r u m a b r i n c a d e i r a :
e u d i g o u m n ú m e r o , v o c ê s
c a l c u l a m o d o b r o
d e l e ,
s o m a m 3 e d i z e m o r e s u l t a d o !
N ó s r e s p o n d e m o s 1 1 .
2 4 3 1
1
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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1 0 2
2 .
A s f u
n ç õ e s e s u a s a p
l i c a
ç õ e s
P o r q u e a p r e
n d e r f u n ç õ e s ?
N a c i ê n c i a e n a s m a i s v a r i a d a s a t i v i d a d e s h u m a n a s , a s f u n ç õ e s s ã o u s a d a s p a r a d e s c r e v e r e e s t u d a r
a r e l a ç ã o e n t r e g r a n d e z a s .
O g a s t o c o m c o m b u s t í v e l é f u n ç ã o d o n ú m e r o d e l i t r o s c o l o c a d o s n o t a n q u e d o a u t o m
ó v e l .
A d o s e d e r e m é d i o d a d a a u m a c r i a n ç a , m u i t a s v e z e s , é f u n ç ã o d a
m a s s a d a c r i a n ç a .
O j u
r o p a g o p o r u m e m p r é s t i m o é c a l c u l a d o e m f u n ç ã o d a
q u a
n t i a e m p r e s t a d a .
O p r e ç o d e u m a l i g a ç ã o t e l e f ô n i c a i n t e r u r b a n a
f r e q
u e n t e m e n t e é f u n ç ã o d o t e m p o d e c o n v e r s a ç ã o .
R o n C h a p p l e S t u d i o s / D r e a m s t i m e . c o m
D a n W i l t o n / i S t o c k p h o t o . c o m A n s e l m o j r A l e x a n d r e T o k i t a k a / P u l s a r I m a g e n s
F U N Ç Õ E S
1 0 3
x e y s ã o a s v a r i á v e i s d a f u n ç ã o .
O f u n c i o n á r i o d i g i t a n a b a l a n ç a o
p r e ç o d o k g d e c a r n e ( R $ 6 , 0 0 ) .
N o a ç o u g u e …
A b a l a n ç a c a l c u l a a u t o m a t i c a m e n t e
6
x e a p r e s e n t a n o v i s o r o v a l o r a
p a g a r . É o v a l o r d e y .
C o l o c a a c a r n e s o b r e o p r a t o d a
b a l a n ç a q u e r e g i s t r a a m a s s a ( é o
v a l o r d e x ) .
A s f u n ç õ e s t ê m a p l i c a ç õ e s n a s s i t u a ç õ e s d o c o t i d i a n o e d o t r a b a l h o . A c o m p a n h e .
1 . N o a ç o u g u e , o q u i l o g r a m a d e d e t e r m i n a d o t i p o d e c a r n e
c u s t a R $ 6 , 0 0 . O p r e ç o a
p a g a r y é f u n ç ã o d a q u a n t i d a d e d e
c a r n e c o m p r a d a x . V e j a a
t a b e l a :
C a r n e ( k g )
P r e ç o ( R
$ )
x
y
1
6 1 6
2
6 2 1 2
3
6 3 1 8
4
6 4 2 4
A c a d a v a l o r d e x c o r r e s -
p o n d e u m ú n i c o v a l o r d e y .
A l e i d e f o r m a ç ã o d e s s a
f u n ç ã o é y 6
x .
A l e i d e f o r m a ç ã o d a
f u n ç ã o e s t a b e l e c e a r e l a ç ã o m a t e m á -
t i c a e n t r e x e y .
V a m o s a p l i c á - l a p a r a r
e s p o n d e r a a l g u m a s q u e s t õ e s .
• U m a p e s s o a c o m p r o
u 1 , 8 k g d e c a r n e . Q u a n t o p a g o u ?
C o m o y 6
x , p a r a x 1 , 8 t e m o s :
y 6 1 , 8 1
0 , 8 0
A p e s s o a p a g o u R $ 1 0
, 8 0 p o r 1 , 8 k g d e c a r n e .
• C o m R $ 4 , 8 0 , q u a n t o d e c a r n e é p o s s í v e l c o m p r a r ?
A g o r a t e m o s y 4 , 8 0
4 , 8 0 6 x
x
4 , 8 0 6
0 , 8
C o m R $ 4 , 8 0 é p o s s í v e l c o m p r a r 0 , 8 k g d e c a r n e .
O b s e r v e q u e , n e s s e e x
e m p l o d e f u n ç ã o , x n ã o p o d e a s s u m i r
v a l o r e s n e g a t i v o s , p o i s u m
a m e d i d a d e m a s s a n u n c a é n e g a t i v a .
0 , 8 k g 8
0 0 g ,
p o i s 1 k g 1
0 0 0 g
R e s p o n d a u s a n d o c
á l c u l o m e n t a l : q u a n t o s e p a g a p o r
2 , 5 k g d e s s a c a r n e ? R $ 1 5 , 0 0
F e r n a n d o F a v o r e t t o F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o
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1 1 6 C
o m o s e r á o g r á f i c o d a f u n ç ã o d a d a p o r y
3 x 1
?
M o n t a m o s u
m a t a b e l a a t r i b u i n d o a l g u n s v a l o r e s p a r a x , c a l c u l a m o s o s v a l o r e s d e y p o r m e i o d a l e i
d e f o r m a ç ã o d a
f u n ç ã o e r e p r e s e n t a m o s n o s i s t e m a c a r t e s i a n o
o s p a r e s o r d e n a d o s ( x ; y ) o b t i d o s .
O s p o n t o s o b t i d o s e s t ã o a l i n h a d o s .
Q u a n t o m a i s p a r e s o r d e n a d o s d a f u n ç ã o r e p r e s e n t a r -
m o s , m a i s p o n t
o s a l i n h a d o s o b t e r e m o s .
S ã o i n f i n i t o s
p a r e s o r d e n a d o s , p o i s x p o d e s e r q u a l q u e r
n ú m e r o r e a l .
O g r á f i c o d e
s s a f u n ç ã o é u m a r e t a .
0 1
1
1
2
2
3
3
4
5
1
2
3
4
5
x
3 5 6
y
7 4 2
x
y
3 x
1
( x ; y )
3
1 0
( 3 ; 1 0 )
2
7
( 2 ; 7 )
1
4
( 1 ; 4 )
0
1
( 0 ; 1 )
1
2
( 1 ; 2 )
2
5
( 2 ; 5 )
3
8
( 3 ; 8 ) S
e r á q u e t o d a
f u n ç ã o t e m c o m o
g r á f i c o u m a r e t a ?
A r e s p o s t a é
n ã o . V a m o s m o n t a r u m a t a b e l a c o m a l g u n s
v a l o r e s d e x e d e y p a r a a f u n ç ã o d a d a
p o r y = x 2 +
2 x 1 e r e p r e s e n t a r o s p a r e s o r d e n a d o s ( x ; y ) n
o s i s t e m a c a r t e s i a n o .
x
y
x 2
2
x 1
( x ; y )
4
7
( 4 ; 7 )
3
2
( 3 ; 2 )
2
1
( 2 ; 1 )
1
2
( 1 ; 2 )
0
1
( 0 ; 1 )
1
2
( 1 ; 2 )
2
7
( 2 ; 7 )
V a m o s a t r i b u
i r m a i s v a l o r e s a x n a t a b e l a , o b t e n d o o u t r o s p
a r e s o r d e n a d o s ( x ; y ) d a f u n ç ã o . R e p r e -
s e n t a n d o m a i s p o n t o s n o s i s t e m a c a r t e s i a n o n o s a p r o x i m a r e m
o s m a i s d a f o r m a f i n a l d o s e u g r á f i c o .
O s p o n t o s n ã o e s t ã o a l i n h a d o s , p o r t a n t o n ã o d e t e r m i -
n a m u m a r e t a .
N e s s a f u n ç ã o , x p o d e s e r q u a l q u e r n ú m e r o r e a l . P o d e -
m o s f a z e r x 0 , 5 ; x 1
2 4 ; x
3 5 e t c .
0 1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
1
2
3
4
x
3 4 5 6 7 8 9 1 0
y
2
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
F U N Ç Õ E S
1 1 7
P o d e m o s p r o s s e g u i r a t
r i b u i n d o v a l o r e s a x e l o c a l i z a n d o
a i n d a m a i s p a r e s o r d e n a d o s . T o d o s o s p o n t o s q u e r e p r e s e n -
t a m o s p a r e s o r d e n a d o s d
e s s a f u n ç ã o f o r m a m s e u g r á f i c o .
O g r á f i c o d e s s a f u n ç ã o é
u m a c u r v a c h a m a d a p a r á b o l a ,
c u j a f o r m a v o c ê v ê a b a i x o .
O b s e r v e q u e a p a r á b o l a p o s s u i u m e i x o d e s i m e t r i a .
O p o n t o d a p a r á b o l a q u e p e r t e n c e a o e i x o d e s i m e t r i a
r e c e b e o n o m e d e v é r t i c e ( V ) d a p a r á b o l a .
N o g r á f i c o d e s s a f u n ç ã o
o v é r t i c e t e m c o o r d e n a d a s
( 1 ; 2 ) . A p a r á b o l a q u e
t r a ç a m o s t e m
c o n c a v i d a d e
v o l t a d a p a r a c i m a ( e l a é “ a b e r t a p a r a c i m a ” ) . N o e n t a n t o ,
h á f u n ç õ e s c u j o g r á f i c o é u m
a p a r á b o l a c o m c o n c a v i d a d e
v o l t a d a p a r a b a i x o .
7 6 5 4 3 2 1 0 1
2
3
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
y
0 1
1
1
2
2
3
3
4
5
2
3
4
5
x
V
v é r t i c e d a
p a r á b o l a
e i x o d e s i m e t r i a
d a p a r á b o l a
3 5 6
y
7 4 2
1
x
y x
2 2 x
1
( x ; y )
3 , 5
4 , 2 5
( 3 , 5 ; 4 , 2 5 )
2 , 5
0 , 2 5
( 2 , 5 ; 0 , 2 5 )
1 , 5
1 , 7 5
( 1 , 5 ; 1 , 7 5 )
0 , 5
1 , 7 5
( 0 , 5 ; 1 , 7 5 )
0 , 5
0 , 2 5
( 0 , 5 ; 0 , 2 5 )
1 , 5
4 , 2 5
( 1 , 5 ; 4 , 2 5 )
E c o m o e u v o u s a b e r
s e o g r á f i c o d e u m a
f u n ç ã o s e r á u m a r e t a
o u u m a p a r á b o l a ?
O b s e r v a n d o a l e i d e
f o r m a ç
ã o d a f u n ç ã o . L e i a
o q u a d r o a s e g u i r .
I l u s t r a ç õ e s : D A E
L á p i s M á g i c o
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1 3 2
8 5
( C e s g r a n r i o )
O g r á -
f i c o a o l a d o a p r e s e n t a
o p r e ç o d e c u
s t o d e
d e t e r m i n a d o t i p o d e
b i s c o i t o p r o d u z i d o p o r
u m a p e q u e n a f á b r i c a ,
e m f u n ç ã o d a q u a n t i -
d a d e p r o d u z i d a
.
S e o p r e ç o f i n a l d e c a d a p a c o t e é e q u i v a l e n t e
a 8 5 d o p r e ç o d
e c u s t o , u m p a c o t e d e 0 , 5 k g é
v e n d i d o , e m r e a i s , p o r :
a ) 0 , 9 0
c ) 1 , 3 6
b ) 1 , 2 0
d ) 1 , 4 4
x
• 0 , 5 k g 0 , 9 0
• 8 5 0 , 9 0 1 , 4 4
8 6
( C e e t e p s - S P
) N u m a s a l a r e t a n g u l a r d e u m
l a b o r a t ó r i o , a p a r t e c o l o r i d a d a f i g u r a s e r á d e s -
t i n a d a à p e s q u i s a d e c l o n a g e m . A á r e a c o l o r i -
d a y , e m f u n ç ã o
d e x , é d a d a p o r :
a ) y 1
2 x x 2
c ) y 9
6 x x
2
b ) y 8
x x 2
d ) y 2
0 x x
2
x
8 7
( S a r e s p ) O g r á f i c o q u e m e l h o r r e p r e s e n t a a
f u n ç ã o d e f i n i d a p o r y
x 2 é : A l t e r n a t i v a c .
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
A C
B D
8 8
( C e e
t e p s - S P ) U m p r o j é t i l é a t i r a d o
d o p o n t o 0 , c o m o m o s t r a a f i g u r a , e
d e s c r e v e u m a p a r á b o l a c u j a f u n ç ã o é
y 2
x 2 8
0 x , s e n d o x e y d a d o s e m
m e t r o s . O a l c a n c e d e s s e p r o j é t i l é :
a ) 4 0 m
c ) 8 0 m
b ) 6 0 m
d ) 1 0 0 m
x
x
y
0
a l c a n c e
• y (
1 2 8 ) (
1 2 x
) ( 8 x
)
1 , 0 2 , 0
0
k g
3 , 6 0
1 , 8 0
P r e ç o ( R $ )
D e l f i m M a r t i n s / P u l s a r I m a g e n s
• 2 x 2 8
0 x 0
x 1 0
x 2 4
0
x
x
1 2 m
8 m
I l u s t r a ç õ e s : D A E
N O Ç Õ E S
D E
P R O B A B I L I D A D E
1 3 3
N o ç õ e s
d e
p r o
b a b
i l i d a
d e
1 .
Q u a
l é a
c h a n c e
?
C o m s u a s e c o n o m i a s ,
R o g é r i o e C é s a r c o m p r a r a m u m a b i c i c l e t a e m s o c i e d a d e .
C o m b i n a r a m q u e a b i c i c l e t a f i c a r i a u m a s e m a n a c o m c a d a u m .
R o g é r i o l a n ç o u o d a d o e o b t e v e 5 .
C é s a r a i n d a n ã o l a n ç o u o d a d o . Q u a l d e l e s v o c ê a c h a q u e t e m m
a i s c h a n c e s d e f i c a r c o m a
b i c i c l e t a n a p r i m e i r a s e m a n a ?
S e r á q u e h á c o m o e x p
r e s s a r m a t e m a t i c a m e n t e q u e a s c h a n c e s d e
R o g é r i o g a n h a r s ã o m a i o r e s
n e s s a s i t u a ç ã o ?
R o g é r i o , c l a r o ! C é s a r s ó g a n h a
s e o b t i v e r 6 n o d a d o . S e d e r 5 ,
e m p a t a ; s e d e r 4 , 3 , 2 o u 1 , o
R o g é r i o g a n h a .
C o m q u e m a b i c i c l e t a
f i c a r á n a p r i m e i r a
s e m a n a ?
V a m o s j o g a r u m d a d o .
A b i c i c l e t a f i c a r á c o m
q u e m t i r a r o m a i o r
n ú m e r o .
U N I D A D E 5
U N I D A D E
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
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1 5 6
A s r a z õ e s
s ã o i g u a i s .
S e g m e n
t o s p r o p o r c i o n a i s
O b s e r v e a s m
e d i d a s d o s s e g m e n t o s A x B x e C x D x .
A
B
2 c m
Q u a l s e r i a a
r a z ã o e n t r e a m e d i d a d e A x B x e a d e C x D x ?
C
D
4 c m
D i v i d i n d o 2 p o r 4 o b t e m o s a r a z ã o 2 : 4 , o u
2 4 , o u , s i m p
l i f i c a n d o ,
1 2 .
O c o m p r i m e n t o d e C x D x é o d o b r o d o c o m p r i m e n t o d e A x B x . O s c o m p r i m e n t o s e s t ã o n a r a z ã o 1 p a r a 2 .
M e ç a c o m r é g u a o c o m p r i m e n t o d e E x F x e d e G x H x .
E
F
C a l c u l e a r a z ã o
E F G H .
2 , 5 5
1 2
G
H
O b s e r v e q u e
A B e E F t ê m m e d i d a s d i f e r e n t e s . C D e G H t a m b é m .
N o e n t a n t o ,
A B C D
E F G H
1 2 .
D i r e m o s q u e
A x B x e C x D x s ã o p r o p o r c i o n a i s a E F e G H .
D e f o r m a g e
r a l , o s s e g m e n t o s A B e C D s ã o p r o p o r c i o n a i s a o s s e g m e n t o s E F e G H s e s e u s c o m -
p r i m e n t o s d e t e r m i n a m , n e s s a o r d e m , u m a p r o p o r ç ã o :
A B C D
E F G H .
M e ç a o s s e g m e n t o s t r a ç a d o s c o m u m a r é g u a e r e s p o n d a n o
c a d e r n o a s q u e s t õ e s a s e g u i r .
1 . Q u a i s s e g m e n t o s t ê m m e d i d a s n a r a z ã o :
a ) 1 p a r a 3
? E F e A B
b ) 2 3 ? C D e
A B
2 . O s s e g m
e n t o s A B e G H s ã o p r o p o r c i o n a i s a q u a i s s e g m e n t o s ? E s c r e v a a p r o p o r ç ã o .
A B
G H
C D
E F
2 1
C
D
E
F
G
H
A
B
C o n fi r a s u a s r e s p o s t a s
c o m s e u s c o l e g a s
e o p r o f e s s o r .
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 5 7
N a M a t e m á t i c a
é a s s i m : c o n s t r u í m o s n o v o s
c o n h e c i m e n t o s a p a r t i r d e c o n h e c i m e n t o s
a n t e r i o r e s .
H é l i o S e n a t o r e
1 a
p r o p r i e d a d e
C h a m a m o s d e f e i x e d
e p a r a l e l a s o c o n j u n t o d e t r ê s o u m a i s r e t a
s p a r a l e l a s e m u m p l a n o .
U m a r e t a d o m e s m o p
l a n o q u e c o r t a e s s a s p a r a l e l a s é u m a t r a n s v e
r s a l a o f e i x e , e o f e i x e d e t e r -
m i n a s e g m e n t o s s o b r e a t r a n s v e r s a l .
D e s e n h a m o s a o l a d o u m f e i x e d e p a r a l e l a s
c o r t a d o p e l a t r a n s v e r s a l t e p e l a t r a n s v e r s a l r .
F i c a r a m d e t e r m i n a d o s
o s s e g m e n t o s A B
e B C s o b r e t e D E e E F s o
b r e r .
V a m o s m o s t r a r q u e s e A B B
C , e n t ã o
D E E
F .
P a r a i s s o , u t i l i z a r e m o s
c o n h e c i m e n t o s s o -
b r e c o n g r u ê n c i a d e t r i â n g u l o s e p r o p r i e d a d e s
d o s p a r a l e l o g r a m o s .
2 .
T e o r e m a
d e
T a l e s
N a i l u s t r a ç ã o a o l a d o
, p e r c e b e m o s
q u e a s a v e n i d a s d a s R o s a s , d a s M a r g a r i -
d a s e d o s L í r i o s s ã o p a r a l e l a s .
A s r u a s d o s P i n h e i r o s e
d o s E u c a l i p t o s
s ã o t r a n s v e r s a i s a e s s a s a v e n i d a s .
S e r á q u e p o d e m o s , c o m a s i n f o r m a -
ç õ e s d e s t a i l u s t r a ç ã o , d e t e r m i n a r a d i s t â n -
c i a e n t r e M a r c o s e D é b o r a
?
A r e s p o s t a é s i m .
V a m o s d e s c o b r i r c o m o
?
A
t
r
a a / / b / / c
b c
D
B
E
C
F
H é l i o S e n a t o r e
P M A 9
0 0 1
A v . d
a s R o s a s
2 0 0 m
4 0 0 m
4 1 5 m
A v . d a
s M a r g a r i d a s
R u a d o s P i n h e i r o s
R u a d o s E
u c a l i p t o s
A
v . d o s L í r i o s
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 80/197
1 5 8 T r
a ç a m o s o s
s e g m e n t o s
t D G u / / t e
t E H u / / t ,
o b t e n d o o s p a r a l e l o g r a m o s A B G D e B C H E .
O s l a d o s o p o
s t o s d e u m p a r a l e l o g r a m o
s ã o c o n g r u e n t e
s , e n t ã o :
A B D
G e B C E
H .
C o m o A B
B C , v e m q u e D G E
H .
A g o r a o b s e r v e o s t r i â n g u l o s D G E e E H F .
D G E H
( m o s t r a m o s a c i m a ) ( L )
x y
( â n g
u l o s c o r r e s p o n d e n t e s ) ( A )
z w
( â n
g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s ) ( A )
u p
( p e
l a s o m a d a s m e d i d a s d o s
â n g u l o s i n t e r n o s d e u m t r i â n g u l o )
P e l o c a s o A L A o s t r i â n g u l o s s ã o c o n g r u e n t e s . E n t ã o , D E E F c o m o q u e r í a m o s m o s t r a r .
P o d e m o s e n u n c i a r a p r o p r i e d a d e :
S e u m f e i x e d e p a r a l e l a s d e t e r m i n a s e g m e n t o s c o n g r u e n t e s s o b r e u m a t r a n s v e r s a l , e n t ã o
d e t e r m i n a s e
g m e n t o s c o n g r u e n t e s s o b r e q u a l q u e r o u t r a t r a n s v e r s a l .
2 a
p r o p r i e d a d e : t e o r e m a d e T a l e s
N a f i g u r a a o
l a d o , o f e i x e d e p a r a l e l a s
d e t e r m i n o u s e g
m e n t o s s o b r e a s t r a n s v e r -
s a i s , m a s A B B
C .
S e r á q u e h á u m a r e l a ç ã o e n t r e o s
s e g m e n t o s d e t e
r m i n a d o s n a s d u a s t r a n s -
v e r s a i s ? A c o m p
a n h e :
S u p o n h a m o s q u e e x i s t e u m a u n i d a d e
d e m e d i d a u t a l q u e A B 2
u e B C 3
u ,
c o m o v e m o s n a
f i g u r a .
N e s s e c a s o ,
A B B C 2
u 3 u
2 3 .
T r a ç a m o s r e t a s p a r a l e l a s à r e t a a , p a s s a n d o p e l o s p o n t o s e
m q u e o s s e g m e n t o s f i c a r a m d i v i d i d o s .
O b s e r v e q u e D E
2
v e E F 3
v .
D E E F
2 v 3 v
2 3
A B B C D
E E F
2 3
C o n c l u í m o s q
u e A
x B x e B
x C x s ã o p r o p o r c i o n a i s a D
x E x e E
x F x e p o d e m o s e n u n c i a r o f a m o s o t e o r e m a d e T a l e s :
A
t
r
a a / / b / / c
b
y w
x z
c
D
B
E
C
F
G
H
A
t
r
a a / / b / / c
b c
D
u
v
v v
v
u
2 u
2 v
3 u
3 v
u u u B
E
C
F
N a d e m o n s t r a ç ã o q u e f i z e m o s , c o n s i d e r a m o s q u e e x i s t e u m a u n i d a d e u
q u e c a b e u m n ú m e r o i n t e i r o d e v e z e s n o s s e g m e n t o s A
x B x e B
x C x . Q u a n d o
i s s o n ã o a c o n t e c e r , a d e m o n s t r a ç ã
o f i c a m u i t o c o m p l i c a d a p a r a v o c ê
p o r e n q u a n t o , m a s f i q u e c e r t o d e q
u e o t e o r e m a d e T a l e s v a l e t a m b é m
n e s s e s c a s o s .
U m f e i x e d e p a r a l e l a s d e t e r m i n a , s o b r e t r a n s v e r s a i s , s e
g m e n t o s q u e s ã o p r o p o r c i o n a i s .
v u
p
I l u s t r a ç õ e s : D A E
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 5 9
A p a r t i r d o t e o r e m a , p
o d e m o s e s c r e v e r o u -
t r a s p r o p o r ç õ e s , c o m o :
A C
A B D
F D E
A C B C D
F E F
A B D E B
C E F
V o c ê d e v e e s t a r
p e n s a n d o : e a d i s t â n c i a e n t r e
D é b o r a e M a r c o s ?
A
t
r
a
a
/ / b
/ / c
b c
D
B
E
C
F
V a m o s v o l t a r a o p r o b l e m a .
T r a ç a m o s u m
m o d e l o m a t e m á t i c o p a r a a
s i t u a ç ã o .
C o m o a s a v e n i d a s s ã o p a r a l e l a s , e a s r u a s ,
t r a n s v e r s a i s a e l a s , a p l i c a r e m o s o t e o r e m a d e
T a l e s :
2 0 0
4 0 0
x 4 1 5
o u , s i m p l i f i c a n d o ,
1 2
x 4 1 5
2 x 4
1 5
x 2
0 7 , 5
A M a r c o s d i s t a 2 0 7 , 5
m d o D é b o r a s e s e g u i r m o s p e l a R u a d o s E u c
a l i p t o s .
r / / s / / t
D é b o r a M
a r c o s
2 0 0 m
4 0 0 m
4 1 5 m
r s
t
x
I l u s t r a ç õ e s : D A E
H é l i o S e n a t o r e
P M A 9
0 0 1
A v . d a s R o s a s
2 0 0 m
4 0 0 m
4 1 5 m
A v . d a s M a r g a r i d a s
R u a d o s P i n h e i r o s
R u a d o s E
u c a l i p t o s
A v . d o s
L í r i o s
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 81/197
A c o m p a n h e
m a i s d o i s e x e m p l o s d e a p l i c a ç ã o d o t e o r e m a d e T a l e s .
1 . V a m o s d e
t e r m i n a r x n a f i g u r a , s a b e n d o q u e a / / b / / c .
A s m e d i d a s d o s s e g m e n t o s c o r r e s p o n d e n t e s d e t e r m i n a d
o s n a s t r a n s v e r s a i s s ã o p r o p o r c i o n a i s .
x x 3
4 x 8
x ( x 8
) 4
( x 3
)
x 2 8
x 4
x 1
2
x 2 4
x 1
2 0
R e c a í m o s n u
m a e q u a ç ã o d o 2 o g r a u . V a m o s r e s o l v ê - l a .
1
6 4
8 6
4
x 1
4 8
2
2
x
4 8 2
x 2
4 8
2
6
C o m o x é u m
a m e d i d a d e c o m p r i m e n t o , s ó c o n s i d e r a r e m
o s a s o l u ç ã o p o s i t i v a , o u s e j a , x 2 .
2 . U m t e r r e n
o f o i d i v i d i d o e m l o t e s c o m f r e n t e s p a r a
a R u a 1 e p a r a a R u a 2 , c o m o v o c ê v ê n a r e p r e s e n t a ç ã o
a o l a d o . A s l a t e r a i s d o s t e r r e n o s s ã o p a r a l e l a s .
C o m a s i n f o r m a ç õ e s d o d e s e n h o , v a m o s c a l c u l a r a s m e -
d i d a s d a s f r e n t e s d o s l o t e s q u e d ã o p a r a a R u a 2 a p l i c a n d o
o t e o r e m a d e T a
l e s .
4 5
1 0 5
4 x o
u
9 2 5
4 x
4 5
2 0 5
4 z
9 x 1
0 8
9 4 5
4 z
x 1
2
9 z 2
1 6
4 5
1 5 5
4 y o
u
3 1 5
4 y
z 2
4
3 y 5
4
y 1
8
P o r t a n t o , a s
m e d i d a s d a s f r e n t e s p a r a a R u a 2 s ã o : l o t e A
: 1 2 m ; l o t e B : 1 8 m ; l o t e C : 2 4 m .
O t e o r e m a d e T a l e s n o s a j u d a
a r e s o l v e r p r o b l e m a s !
1 6 0
L o t e A
L o t e B
2 0 m
1 5 m
5 4
m 4 5 m
R u a 1
R u a 2
1 0 m
L o t e C z
y
x
4
3
x
8
x
b c a
d
e
x
L á p i s M á g i c o I l u s t r a C a r t o o n D A E
E x
e r c í c i o s
2 8 m
x
2 0 m
2 5 m
y 4 0 m
R u a
A
R u a B
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 6 1
1
C a l c u l e x , s a b e n d o q u
e a / / b / / c .
a )
b )
B C 5
0 c m
C E 6
0 c m
C D 7
5 c m
A B / / D E
Q u a l é a d i s t â n c i a e n t r e a s b o l a s A e C ? 4 0 c m
r
s
a
4
2 2
7 b c
x
3 1
x a
6 4
1 , 8
b
c
d e
x
x 2 , 7
6 x
4 1 , 8
x 9
2 x 2
3 x 1
4 7
4
C a l c u l e x , s a b
e n d o q u e a / / b / / c .
a )
b )
2
A p l a n t a a b a i x o m o s t r a
a s m e d i d a s d e t r ê s l o -
t e s q u e t ê m f r e n t e p a r a a R
u a A e p a r a a R u a B .
A s d i v i s a s l a t e r a i s s ã o p e r p
e n d i c u l a r e s à R u a A .
Q u a i s s ã o a s m e d i d a s d e x e
y i n d i c a d a s n a f i g u r a ?
y 5
6
2 5 4 0
3 5 y
x 3
5
2 0 2 5
2 8 x
3
N a f i g u r a e s t á r e p r e s e n t a d a u m a m e s a d e
b i l h a r c o m c i n c o b o l a s : A
, B , C , D e E .
5
E s t a p l a n t a m o s t r a d o i s t e r r e n o s . A s d i v i s a s
l a t e r a i s s ã o p e r p e n
d i c u l a r e s à r u a . Q u a i s s ã o a s
m e d i d a s d a s f r e n t e
s d o s t e r r e n o s q u e d ã o p a r a a
a v e n i d a , s a b e n d o - s e q u e a f r e n t e t o t a l p a r a e s s a
a v e n i d a é d e 9 0 m
e t r o s ? 6
3
6 d
a b c
x
e
x 4
6 x x
3 6 6 1 0
8
d
a b c
x
e
x 4 , 8
1 0 6 6
8 x x
3 0 m
4 5 m
R u a
A v e n i d a
x
y
L o t e 1 : 3 6 m e t r o s
L o t e 2 : 5 4 m e t r o s
x y 9
0
x y
3 0 4 5
x 3
6 e y 5
4
A C 6 0
5 0 7 5
A C 4
0
L o t e 2 : 3 5 m
L o t e 3 : 5 6 m
C
A
B
D
E
I I
I I
I
I
I I I
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 82/197
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 83/197
1 6 4 A
a m p l i a ç ã o
f i c o u p e r f e i t a p o r q u e e l e d o b r o u a s m e d i d a s d o s s e g m e n t o s e c o n s e r v o u a s m e d i d a s
d o s â n g u l o s . O b s e r v e ! A f i g u r a m a n t e v e e x a t a m e n t e a m e s m a f o r m a , s ó a u m e n t o u d e t a m a n h o .
A o c o n s e r v a r a s m e d i d a s d o s â n g u l o s c o n s e r v a m o s a f o r m
a d a f i g u r a , e a m u l t i p l i c a ç ã o d e t o d o s
o s c o m p r i m e n t o s p o r u m m e s m o n ú m e r o g a r a n t e a p r o p o r c i o n a l i d a d e e n t r e o s c o m p r i m e n t o s .
A s f i g u r a s d e s e n h a d a s p o r L u c i a n o s ã o f i g u r a s s e m e l h a
n t e s .
D o i s c í r c u l o s
, p o r e x e m p l o , s e r ã o s e m p r e s e m e l h a n t e s .
M u l t i p l i c a n d
o o d i â m e t r o p o r u m n ú m e r o q u a l q u e r o b t e m o s u m c í r c u l o s e m e l h a n t e a o d a d o .
4 5 °
4 5 °
1 3 5 °
1 3 5 °
4 .
S e m e
l h a n ç a
U s a n d o p a p e l q u a d r i c u l a d o , L u c i a n o a m p l i o u o d i s t i n t i v o
d o s e u t i m e d e f u t e b o l .
d i â m e t r o 2
d i â m e t r o 0 ,
5
d i â m e t r o
D u a s f i g u r a s s ã o s e m e l h a n t e s q u a n d o t o d o s o s c o m p r i m e n t o s d e u m a d e l a s s ã o i g u a i s a o s d a
o u t r a , m u l t i p l i c
a d o s p o r u m n ú m e r o c o n s t a n t e . S e h á â n g u l o s ,
o s â n g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s d e d u a s
f i g u r a s s e m e l h a n t e s d e v e m s e r c o n g r u e n t e s .
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 6 5
S e m e l h a n ç a d e p o l í g o n o s
D o i s p o l í g o n o s s ã o s e m e l h a n t e s s e e x i s t e u m a c o r r e s p o n d ê n c i a e n t r e o s v é r t i c e s d e m a n e i r a
q u e o s â n g u l o s c o r r e s p o
n d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s e o s l a d o s c o r r e s p o
n d e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .
O b s e r v e o s p e n t á g o n o
s
I e
I I .
P o d e m o s e s t a b e l e c e r u m a c o r r e s p o n d ê n c i a e n t r e o s v é r t i c e s , p o i s :
• o s â n g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s ;
B A
B F B B
B G B C
B H B D
B I
B E B J
• o s l a d o s c o r r e s p o n d e
n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .
A B F G B
C G H
C D H I
D E I J E
A J F
A B F G 4
, 8 2 , 4
2
B C
G H
3 1 , 5
2
C D H
I 3
, 2 1 , 6
2
D E I J
3 1 , 5
2
E A J F 4
, 8 2 , 4
2
P o r t a n t o , o s p e n t á g o n o s
I e
I I s
ã o s e m e l h a n t e s . A r a z ã o c o n s t a n t e é a r a z ã o d e s e m e -
l h a n ç a . N e s s e c a s o a r a z
ã o d e s e m e l h a n ç a é 2 . O p e n t á g o n o f o i r e d
u z i d o n a r a z ã o d e 2 p a r a 1 .
A d e f i n i ç ã o d e p o l í g o
n o s s e m e l h a n t e s é c o m p a t í v e l c o m a d e f i n i ç
ã o d e f i g u r a s s e m e l h a n t e s .
O b s e r v e q u e o s â n g u l o s s ã o m a n t i d o s e o s c o m p r i m e n t o s s ã o t o d o s m
u l t i p l i c a d o s p o r u m m e s m o
n ú m e r o c o n s t a n t e . N e s s e e x e m p l o , t o d o s o s c o m p r i m e n t o s f o r a m d i v i d i d o s p o r 2 , o q u e e q u i v a l e
a m u l t i p l i c a r p o r 0 , 5 .
A s r a z õ e s s ã o t o d a s
i g u a i s a 2 . I A
D
C
E
B
8 0 o
1 2 0 o
1 2 0 o
1 1 0 o
1 1 0 o
4 , 8 c m
4 , 8 c m
3 c m
3 c m
3 , 2 c m F
I
H
J
G
8 0 o
1 2 0 o
1 2 0 o 1 1 0 o
1 1 0 o
2 , 4 c m
2 , 4 c m
1 , 5 c m
1 , 5 c m
1 , 6 c m
I I
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 84/197
1 6 6
B C
B F
B B
B B E
B A
B D
O s t r i â n g u l o
s A B C e D E F s ã o s e m e l h a n t e s , o u s e j a , A B
C ~ D E F , p o i s o s â n g u l o s c o r r e s p o n -
d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s :
S í m b o l o
d e s e m e l h a n ç a
H á u m s í m b o l o p a r a i n d i c a r s e m e l h a n ç a : ~
N o c a s o d o s
p e n t á g o n o s
I e
I I , e s c r e v e m o s A B C D
E ~ F G H I J ( o p e n t á g o n o A B C D E é s e -
m e l h a n t e a o p e
n t á g o n o F G H I J ) .
V e j a m a i s u m
e x e m p l o :
4 c m
1 , 5 c m
2 , 5 c m
3 c m
1 4 0 º
1 1 0 º
7 0 º
1 1 0 º
7 0 º
1 4 0 º
4 0 º
4 0 º
2 , 5 c m
5 c m
2 c m
4 c m
A 1 0 5 º
4 5 º
3 0 º
4 5 º
1 0 5
º
3 0 º
3 , 0 c m
1 , 6 c m
2 , 2 c m
B
2 , 4 c m
4 , 5
c m
E
3 , 3
c m
D
F
C
O l h e o s p a r a l e l o g r a m o s
q u e e u t r a c e i . D o b r e i a s m e d i d a s
d o s l a d o s , m a s m u d e i o s â n g u l o s .
O s p o l í g o n o s n ã o s ã o s e m e l h a n t e s !
É p r e c i s o v e r i f i c a r a s d u a s c o n d i ç õ e s p a r a a s e m e l h a n ç a .
V e j a o s r e t â
n g u l o s q u e t r a ç a m o s : o s â n g u l o s
c o r r e s p o n d e n t e
s s ã o c o n g r u e n t e s , m a s a s m e d i d a s
d o s l a d o s n ã o s ã
o p r o p o r c i o n a i s . L o g o , o s r e t â n g u l o s
n ã o s ã o s e m e l h
a n t e s .
e a s m e d i d a s d o s l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s .
A B D E 2
, 2 3 , 3
2 3
B C E
F
3 4 , 5
2 3
C A F D 1
, 6 2 , 4
2 3
A r a z ã o e n t r e a s m e d i d a s d o s
l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s é c o n s t a n t e .
A r a z ã o d e s e m e l h a n ç a é
2 3 .
I s s o s i g n i f i c a q u e o t r i â n g u l o A B C f o i a m p l i a d o n a r a z ã o 2 p a r a 3 .
I l u s t r a ç õ e s : D A E
L á p i s M á g i c o
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 6 7
E x
e r c í c i o s
7
Q u a l é a a m p l i a ç ã o d
a f i g u r a A ? A f i g u r a B .
8
O b s e r v e o s p o l í g o n o s r e p r e s e n t a d o s a b a i x o .
9
Q u a l d o s s e g u i n t e s p r o c e s s o s n ã o p e r m i t e
c o n s t r u i r u m a f i g u r a s e m e l h a n t e a o u t r a ?
F i g u r a s s e m
e l h a n t e s
C o n g r
u e n t e s
A m p l i a ç ã o
R e d u ç
ã o
x L e i a o t e x t o d a l o u s a .
1 0
S í l v i a a m p l i o u u m a f o t o g r a f i a d e s e u s d o i s
f i l h o s p a r a c o l o c a
r n u m p o r t a - r e t r a t o s .
6
U t i l i z e p a p e l q u a d r i c u l a d o p a r a a m p l i a r
p a r a o d o b r o a f i g u r a d a d
a .
Q u a i s s ã o o s p a r e s d e
f i g u r a s c o m a m e s m a
f o r m a ? A e G ; B e D ; C e H ; E e F .
a ) A f o t o c ó p i a .
b ) A f o t o c ó p i a a m
p l i a d a .
c ) A f o t o c ó p i a r e d
u z i d a .
d ) O s e s p e l h o s p l a n o s .
e ) O s e s p e l h o s e s f é r i c o s .
f ) A m p l i a ç ã o o u
r e d u ç ã o d e u m a f i g u r a p o r
c o n t a g e m d e q
u a d r a d i n h o s .
A f o t o g r a f i a o r i g
i n a l e r a u m r e t â n g u l o c o m
1 4 c m × 8 c m e S í l v i a p e d i u u m a a m p l i a ç ã o
d e 5 0 % . Q u a i s
s ã o a s d i m e n s õ e s d a f o t o
a m p l i a d a ? 2 1 c m ×
1 2 c m
D i g i t a l V i s i o n
A
C
H
G
F
E
D
A
C
B
E
D
B
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 86/197
1 7 0
E
A
B
D
C
8
x
2
3
4
y
U s a n d o a p r o p o r c i o n a l i d a d e d a s m e d i d a s d o s l a d o s c o r r e s
p o n d e n t e s , p o d e m o s d e t e r m i n a r x e y .
O b s e r v e n a
f i g u r a u m a n o t a ç ã o b a s t a n t e c o m u m
p a r a i n d i c a r a c o n g r u ê n c i a d o s â n g u l o s
c o r r e s p o n d e n t e s .
A C
B B
E D
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
T e m o s q u e :
A B E C B D
C o n s t r u a
e m s e u c a d e r n o p a r e s d e t r i â n g u l o s q u e t e n h a m
l a d o s c o m m e d i d a s r e s p e c t i v a m e n t e
p r o p o r c i o n a i s
. P o r e x e m p l o , u m t r i â n g u l o c o m l a d o s d e m e d i d a
s 4 c m , 3 c m e
2 c m e o u t r o c o m l a d o s
d e m e d i d a s 8
c m , 6 c m e
4 c m .
R e s p o n d a :
1 . O s â n g u
l o s c o r r e s p o n d e n t e s s ã o c o n g r u e n t e s ? S i m .
2 . V o c ê c o n s t r u i u p a r e s d e t r i â n g u l o s s e m e l h a n t e s ? S i m .
3 . D o i s t r i â n g u l o s q u e a p r e s e n t a m l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s p r o p o r c i o n a i s s ã o s e m e l h a n t e s ? S i m .
L e m b r e - s e d a i m p o r
t â n c i a d a
o r d e m d o s v é r t i c e s !
C o n s t r u í u m t r i â n g u l o A B C , s e n d o
A B 4 c m ; Â 5
0 ˚ e B ̂ 3
0 ˚ . C o n s t r u a e m
s e u c a d e r n o u m t r i â n g u l o s e m e l h a n t e a e
s t e .
P o r e x e m p l o , D E F , s e n d o D E 8 c m ;
B D 5
0 º e B E 3
0 º .
A
B
C
4 c m
3 0 º
5 0 º
x 8
2 4
4 x 1
6
x 4
3 y
2 4
2 y 1
2
y
6
I l u s t r a ç õ e s : D A E
H é l i o S e n a t o r e
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 7 1
N e s t e e x e m p l o , v a m o s d e s c o b r i r a m e d i d a d e A
x D x .
C o m o D
x E x e B
x C x s ã o p a r a l e l o s , t e m o s q u e :
• o s â n g u l o s d e m e d i d a s d e b s ã o c o n g r u e n t e s , p o i s s ã o c o r r e s p o n d e n t e s .
• o s â n g u l o s d e m e d i d a s e e c s ã o c o n g r u e n t e s , p o i s s ã o c o r r e s p o n d e n t e s .
A i n d a p o d e m o s a c r e s c e n t a r q u e o â n g u l o d e m e d i d a a é c o m u m a
o s d o i s t r i â n g u l o s .
O s t r i â n g u l o s A B C e A
D E s ã o s e m e l h a n t e s . C o n s e q u e n t e m e n t e , o s l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s t ê m
m e d i d a s p r o p o r c i o n a i s .
A B A D B
C D E
R e p r e s e n t a n d o A D p o
r x e s u b s t i t u i n d o a s m e d i d a s c o n h e c i d a s n a
p r o p o r ç ã o a c i m a , t e m o s :
x 2 x
5 3
5 x 3
( x 2
)
5 x 3
x 6
2 x 6
x 3
N ã o , v o c ê v a i v e r q u e é f á c i l ! P a r t i r e m o s
d a i n f o r m a ç ã o d e q u e o s e g m e n t o D E é
p a r a l e l o a o s e g m e n t o B C .
I h ! C o m p l i c o u !
V a m o s e x a m i n a r o s â n
g u l o s d o s t r i â n g u l o s A B C e A D E .
Q u a n d o t r a ç a m o s u m s e g m e n t o p a r a l e l o a u m d o s l a d o s d e u m
t r i â n g u l o , o b t e m o s u m t r i â n g u l o s e m e l h a
n t e a o p r i m e i r o . E s s a p r o -
p r i e d a d e v a l e p a r a q u a l q u e r t r i â n g u l o .
A
B
C
H
D
E
G
F
D a n i e l d e s e n h o u u m h e x á g o n o A B C D E F e t r a ç o u G H p a r a l e l o
a E D . O b s e r v o u q u e f i c o u
d e t e r m i n a d o o u t r o h e x á g o n o : A B C H G F .
P e n s e e r e s p o n d a j u
s t i f i c a n d o : o s d o i s h e x á g o n o s s ã o s e -
m e l h a n t e s ? N ã o . O s l a d o s c o
r r e s p o n d e n t e s n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s .
A
B
C
D
E
3 5 a
x d
e
b
c
2
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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1 7 2
E x e r c í c i o s
2 1
N a f i g u r a , t e m o s D E / / B C .
4
3
5
6
x
y
x 3
6 e y 1
2
3 0
1 5
2 4 y
x 1 8
A
x
C 1 0
1 5
1 8
D
E
B
R
S
U
V
T
2 1
5
1 5 x
x 1
2
1 8 1 5
x 1 0
x 8
x 4 x
1 2 6
1 2
y 2
4
1 2 6
1 2
y 1 6
P 1
2 2
4 1
8 5
4
P 8
1
6 1
2 3
6
P 4
2
4 6
1
6 5
0
x 1
0
y 8
x 5
6 3
y 4
6 3
1 7
D e t e r m i n e x e y , s a b e n d o q u e o s t r i â n g u -
l o s s ã o s e m e l h a
n t e s .
1 8
O e s q u a d r o q u e a p r o f e s s o r a u s a n o q u a d r o é
u m a a m p l i a ç ã o d
o e s q u a d r o d a V e r a n a r a z ã o 3 .
a ) D e t e r m i n e a
m e d i d a d o s t r ê s â n g u l o s d o e s -
q u a d r o d a p r o f e s s o r a . 9 0 o , 6 0 o e
3 0 o
b ) D e t e r m i n e a m e d i d a d o s t r ê s l a d o s d o e s q u a -
d r o d a p r o f e s
s o r a . 2 8 , 5 c m , 4 8 c m e 5 5 , 8 c m
c ) D e t e r m i n e a m e d i d a d o s t r ê s l a d o s d e u m e s -
q u a d r o s e m e l h a n t e a o d a V e r a e m q u e a r a z ã o
s e j a 3 2 .
1 9
D e t e r m i n e x e y , s a b e n d o q u e o s t r i â n g u -
l o s s ã o s e m e l h a n t e s .
2 0
S e o s â n g u l o s c o m
“ m a r c a s i g u a i s ” s ã o
c o n g r u e
n t e s , d e t e r m i n e x .
a )
b )
a ) Q u a l
é o v a l o r d e x ?
b ) Q u a l
é o v a l o r d e y ?
c ) Q u a l
é o p e r í m e t r o d o A B C ?
d ) Q u a l
é o p e r í m e t r o d o A D E ?
e ) Q u a l é o p e r í m e t r o d o t r a p é z i o D B C E ?
x 7
2 1 x
1 5 5
1 4 , 2 5
c m , 2 4 c m e 2 7 , 9 c m
3 0
x
1 5
1 8 y 2 4
B
3 0 °
A C 6 0 °
9 , 5 c m
1 8 , 6
c m
1 6 c m
x
D
4 B
1 2
6
y
A
1 6
E
C
O b s e r v a ç ã o : a s f i g
u r a s n ã o r e s p e i t a m a s m e d i d a s u t i l i z a d a s .
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e I l u s t r a ç õ e s : D A E
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 7 3
E s s e s t r i â n g u l o s s ã o s e
m e l h a n t e s , p o i s :
B Q 9 0 º ( o p o s t e e o b a s t ã o s ã o p e r p e n d i c u l a r e s a o s o l o ) ;
C R ( o s r a i o s d o S o l s ã o p a r a l e l o s ) .
A g o r a é s ó u s a r a p r o
p o r c i o n a l i d a d e e n t r e a s m e d i d a s d o s
l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s d o
s d o i s t r i â n g u l o s :
x 1
3 , 2 0 , 8
0 , 8 x 3 , 2
x
3 , 2 0 , 8
x 4
V a m o s u s a r a s e m e l h a n ç a
d e t r i â n g u l o s p a r a c a l c u l a r a
a
l t u r a a p r o x i m a d a d o m a s t r o
d a b a n d e i r a ?
C o n s i d e r a
n d o o s r a i o s d o S o l
a p r o x i m a d a m e
n t e p a r a l e l o s , p o d e m o s
i m a g i n a r d o i s t r i â n g u l o s q u e r e p r e s e n t a m
m a t e m a t i c a
m e n t e e s s a s i t u a ç ã o .
É i s s o , p e s s o a l ! O p o s t e t e m
a l t u r a a p r o x i m a d a d e 4 m .
6 .
A p
l i c a n d
o a s e m e
l h a n ç a
d e t r i â n g u
l o s
1 . O p r o f e s s o r J o r g e f i x o u
u m b a s t ã o d e m a d e i r a c o m 1 m e t r o d e c o m
p r i m e n t o a o l a d o d o m a s t r o
d a B a n d e i r a N a c i o n a l q u e
f i c a n o p á t i o d a e s c o l a . V e j a a i l u s t r a ç ã o :
E m s e g u i d a , o p r o f e s s o r p e d i u a o s a l u n o s q u e m e d i s s e m o c o m p r i m e n t o d a s o m b r a d o m a s t r o
e d a s o m b r a d o b a s t ã o .
3 , 2 m
s o m b r a
d o m a s t r o
0 , 8 m
s o m b r a
d o b a s t ã o
1 m
A B x
1 m
3 , 2 m
0 , 8 m
C
Q P
R
ˆ
ˆ ˆ
ˆ L á p i s M á g i c o
L á p i s M á g i c o
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 88/197
1 7 4 S
e o s t r i â n g u
l o s s ã o s e m e l h a n t e s , a s m e d i d a s d o s l a d o s c
o r r e s p o n d e n t e s s ã o p r o p o r c i o n a i s :
1 8 1 2
h 3
1 2 h 5
4
h 5
4 1 2 9 2
4 , 5
A c o l u n a t e m 4 , 5 m d e a l t u r a .
2 . N u m
t e r r e n o
e m
d e c l i v e f o i c o n s t r u í d a u m a
r a m p a p l a n a , e
u m a p l a t a f o r m a é s u s t e n t a d a
p o r d u a s c o l u n
a s p a r a l e l a s , c o m o v o c ê v ê n a
i l u s t r a ç ã o a o l a d o .
A p l i c a n d o a
s e m e l h a n ç a d e t r i â n g u l o s , é p o s -
s í v e l c a l c u l a r a m
e d i d a h d a a l t u r a d a c o l u n a , q u e
f i c o u f a l t a n d o n
o d e s e n h o .
P r i m e i r o , a p r
e s e n t a m o s o m o d e l o m a t e m á t i c o
p a r a a s i t u a ç ã o :
B r i n c a n
d o c o m s
o m b r a s
M a r i a n a t e m
1 , 4 0 m
d e a l t u r a . E l a m e d i u o
c o m p r i m e n
t o d a s u a s o m b r a c o m o v e m o s n a i l u s -
t r a ç ã o .
C a l c u l e
o c o m p r i m e n t o d a s o m b r a d e a l g u n s
d o s a m i g o s d e l a n o m e s m o d i a e à m e s m a h o r a .
N o m e
M a r c o s
A d r i a n a
R a f a e l
A l t u r a
1 , 6 0 m
1 , 4 8 m
1 , 5 6 m
J u n t e a l g u n s a m i g o s e b r i n q u e m c o m a s s o m -
b r a s , c o m o
a M a r i a n a !
1 , 7 5 m
1 , 4 0 m
2 m
1 , 8 5 m
1 , 9 5 m
Q u a n d o t r a ç a m o s u m a p a r a l e l a a u m d o s l a d o s d e u m t r i â n g u l o , o b t e m o s u m t r i â n g u l o s e m e l h a n t e
a o o r i g i n a l . É i s s
o o q u e o c o r r e n e s s a s i t u a ç ã o : a s c o l u n a s s ã o
p a r a l e l a s , o u s e j a , B
x C x é p a r a l e l o a D
x E x .
T e m o s e n t ã o
A B C ~
A D E .
r a m p a
1 2 m
1 8 m
3 m
h
3 m
h B C
A
1 8 m
1 2 m
E D
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
T E O R E M A
D E
T A L E S
E
S E M
E L H A N Ç A
D E
T R I Â N G U L O S
1 7 5
E x
e r c í c i o s
3 0 0 m e t r o s 1
, 2 0 m
x 2 x
4 1 , 5 0
1 0 0 4 0 0
7 5 x
x 3
0 0
2 2
O s c o m p r i m e n t o s d o s
l a d o s d e u m t r i â n g u -
l o s ã o 3 c m , 4 c m e 5 c m
. C a l c u l e o s c o m p r i -
m e n t o s d o s l a d o s d e u m t r i â n g u l o s e m e l h a n t e
c u j o p e r í m e t r o é 1 8 c m . 4 , 5 c m ; 6 c m e 7 , 5 c m
2 3
Q u a l é a a l t u r a d a á r v o r e , d e a c o r d o c o m a
f i g u r a ? 2 2 , 5 m
4 3 0
3 x
2 4
U m e d i f í c i o p r o j e t a u
m a s o m b r a d e 1 0 m
a o m e s m o t e m p o q u e u m
p o s t e d e 1 2 m p r o -
j e t a u m a s o m b r a d e 4 m . Q u a l é a a l t u r a d o
e d i f í c i o , s a b e n d o q u e o e
d i f í c i o e o p o s t e s ã o
p e r p e n d i c u l a r e s a o s o l o ? 2 4 m
x 1 2
8 4
2 5
C e r t a n o i t e , u m a m o ç a d e 1 , 5 0 m d e a l t u r a
e s t a v a a 2 m d e d i s t â n c i a d e u m p o s t e v e r t i c a l
d e 4 m d e a l t u r a c o m u m a l u z n o t o p o . Q u a l é o
c o m p r i m e n t o d a s o m b r a d a m o ç a n o c h ã o ?
2 6
( C e f e t - R S ) D o i s t o p ó g r a f o s , a o m e d i r e m a
l a r g u r a d e u m r i o , o b t i v e r a m a s m e d i d a s m o s -
t r a d a s n o d e s e n h o
a b a i x o .
2 7
Q u a l é a a l t u r a d e u m a e s t á t u a q u e p r o j e t a
u m a s o m b r a d e 6
m , s a b e n d o - s e q u e s e u p e -
d e s t a l d e 1 , 5 m p
r o j e t a u m a s o m b r a d e 2 m ?
R e s o l v a e m s e u c a d e r n o .
4 , 5 m
Q u a l é a m e d i d a d a l a r g u r a d o r i o ?
x 1 , 5
6 2
1 , 5 2
4 m
1 2 m
8 m
x
7 5 m
4 0 0 m
1 0 0 m
4 m
1 , 5 0 m
2 m
x
3 0 m
4 m
3 m
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
1 , 5 m
x
2 m
6 m
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 89/197
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 91/197
E x e r c í c i o s
1 8 0
A u t o a v a l i a ç ã o
A n o t e , e m
s e u c a d e r n o , o n ú m e r o d o e x e r c í c i o
e a l e t r a c o r r e s p o n d e n t e à r e s p o s t a c o r r e t a .
5 1
( S a r e s p ) D o i s t e r r e n o s r e t a n g u l a r e s s ã o s e -
m e l h a n t e s , e a r a z ã o d e s e m e l h a n ç a é 2 5 . S e o
t e r r e n o
m a i o r t e m 5 0 m d e f r e n t e e 1 5 0 m d e
c o m p r i m
e n t o , q u a i s s ã o a s d i m e n s õ e s d o t e r -
r e n o m e
n o r ?
a ) 2 5 m
e 7 5 m
b ) 2 0 m
e 6 0 m
c ) 2 5 m
e 3 0 m
d ) 5 m e 1 5 m
4 7
O v a l o r d e x n a f i g u r a a b a i x o é :
a ) 2 8
b ) 2 9 , 5
c ) 3 3 , 8
d ) 3 6 , 5
5 2
( S a r
e s p ) T r ê s t e r r e n o s t ê m f r e n t e s p a r a a
r u a A e
f u n d o s p a r a a r u a B , c o m o n a f i g u r a .
A s d i v i s a s l a t e r a i s s ã o p e r p e n d i c u l a r e s à r u a A .
S a b e n d o - s e q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s f u n -
d o s d e s s e s t e r r e n o s é 1 8 0 m , q u a l a m e d i d a d o
f u n d o d
e c a d a t e r r e n o ?
x
1 3 x
1 0 2 6
x x
R u a
5 0 m
1 5 0 m
5 0
2
0
1 5 0
6
0
2 5 2 5
x
y
x
R u a B
R u a A
2 0 m
3 0 m
4 0 m
x 1 8 0
4 0 9 0
y 1 8 0
3 0 9 0
z 1 8 0
2 0 9 0
1 3
1 0
2 6
x
4 8
( E T F - S P ) D o i s l o t e s e s t ã o r e p r e s e n t a d o s n a f i -
g u r a a b a i x o . C a l c u l a r a s m e d i d a s d e f r e n t e p a r a a
r u a R d e c a d a u m
d o s t e r r e n o s , r e s p e c t i v a m e n t e .
a ) 1 5 m e 2 6 m
c ) 2 2 m e 3 3 m
b ) 2 1 m e 3 2 m
d ) 2 3 m e 3 4 m
4 9
A s o m b r a d
e u m a á r v o r e m e d e 4 , 5 m .
À
m e s m a h o r a , a s o m b r a d e u m b a s t ã o d e 0 , 6 m ,
m a n t i d o n a v e r
t i c a l , m e d e 0 , 4 m . A a l t u r a d a
á r v o r e é :
a ) 3 m
c ) 4 , 8 m
b ) 5 m
d ) 6 , 7 5 m
5 0
( F u v
e s t - S P ) A s o m b r a d e u m p o s t e v e r t i c a l ,
p r o j e t a d
a p e l o S o l s o b r e u m c h ã o p l a n o , m e d e
1 2 m . N
e s s e m e s m o i n s t a n t e , a s o m b r a d e u m
b a s t ã o v
e r t i c a l d e 1 m d e a l t u r a m e d e 0 , 6 m .
A a l t u r a
d o p o s t e é :
x 1
1 2 0 , 6
x 2
0
a ) 1 2 m
c ) 7 2 m
b ) 2 0 m
d ) 7 , 2 m
x x
r / / s / / t
x 0 , 6
4 , 5 0 , 4
x 6 , 7 5
s t r
2 0 3 0
x x 1
1
x
x
1 1
2 0 m
R u a
R
R u a P
3 0 m
a ) 6 0 m
, 9 0 m , 3 0 m
c ) 7 0 m , 5 0 m , 6 0 m
b ) 6 5 m
, 6 5 m , 5 0 m
d ) 8 0 m , 6 0 m , 4 0 m
4 , 5 m
0 , 4
m
0 , 6 m
1 2 m
0 , 6 m
1 m
O b s e r v a ç ã o : n a s a t i v i d a d e s 4 9 e 5 0 , a s m e d i d a s n ã o s ã o
p r o p o r c i o n a i s a o s v a l o r e s i n d i c a d o s .
x
x
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
R E L A Ç Õ E S
M É T R I C A S
N O S
T R I Â N G U L O S
R E T Â N G U L O S
1 8 1
U N I D A D E 7
U N I D A D E
F e r n a n d o F a v o r e t t o
R e
l a ç õ e s m
é t r i c a s
n o s
t r i â n g u
l o s r e
t â n g u
l o s
1 .
O t e o r e m
a d e
P i t á g o r a s
O b s e r v e o e s p a ç o a o s e u r e d o r . I d e n t i f i q u e â n g u l o s r e t o s n o s o b j e t o s e c o n s t r u ç õ e s .
O s â n g u l o s r e t o s t ê m i m p o r t â n c i a f u n d a m e n t a l , n ã o é ?
D e s d e m u i t o c e d o e m
s u a h i s t ó r i a , a h u m a n i d a d e u t i l i z a â n g u l o s
r e t o s p a r a d e m a r c a r t e r r a s ,
c o n s t r u i r c a s a s , t e m p l o s e t c .
H o j e c o n s t r u í m o s â n g u l o s r e t o s d e v á r i a s f o r m a s :
A n s e l m o J r
H é l i o S e n a t o r e
D A E
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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1 8 6 3
. U m a p o r t e i r a d e f a z e n d a t e r á a f o r m a d e r e t â n g u l o . P
a r a d a r r i g i d e z à e s t r u t u r a , u m a b a r r a
d e m a d e i r a s e r á c o l o c a d a n a d i a g o n a l d o r e t â n g u l o , c o m o v
o c ê v ê n o p r o j e t o d o c a r p i n t e i r o .
C o m a s m e d i d a s d a d a s , p o d e m o s c a l c u l a r o c o m p r i m e n t o d a b a r r a u s a n d o o t e o r e m a d e P i t á g o r a s :
a ?
b 2 m
c 1 , 5 m
a 2 2
2 1 , 5
2
a 2 4
2 , 2 5 6 , 2 5
a
6 , 2 5
a 2 , 5 m
a
1 c m
2 c m
a 2
1 2 1
2
a 2
2
a
2 c m a
1 c m
1 c m a
1 c m
2 c m
A b a r r a d e v e
t e r 2 , 5 m d e c o m p r i m e n t o .
4 . V o c ê s a b e
q u e
2 é u m n ú m e r o i r r a c i o n a l : t e m i n f i n i t
a s c a s a s d e c i m a i s e n ã o a p r e s e n t a p e -
r í o d o . D i a n t e d i s s o , c o m o c o n s t r u i r u m s e g m e n t o d e r e t a d e m e d i d a
2 c m ?
O t e o r e m a d
e P i t á g o r a s n o s a j u d a n e s s a t a r e f a :
T r a ç a m o s u m
t r i â n g u l o r e t â n g u l o e m q u e a m b o s o s c a t e t o s m e d e m 1 c m .
A h i p o t e n u s a d e s s e t r i â n g u l o m e d e
2 c m .
N a r e t a n u m
é r i c a . . .
. . . a p l i c a n d o
e s s a i d e i a , l o c a l i z a m o s , c o m a u x í l i o
d o c o m p a s s o , o p o n t o q u e r e p r e s e n t a o n ú m e r o
i r r a c i o n a l 2 .
1
0
1 1
2
P a r a t r a ç a r u m s e g m
e n t o d e m e d i d a
3 c m , t r a n s p o r t a m o s
c o m c o m p a s s o o s e g m
e n t o d e m e d i d a
2 c m , c o n s t r u í m o s
o t r i â n g u l o r e t â n g u l o c u j o s c a t e t o s m e d e m
2 c m e 1 c m . A
h i p o t e n u s a d e s s e t r i â n
g u l o m e d e
3 c m .
a 2 1 2
(
2 ) 2
a 2 3
a 3
c m
C o m b a s e
n o s e x e m p l o s a c i m a , d e t e r m i n e e m s e u c a d e r n o u
m s e g m e n t o d e m e d i d a
5 c m .
a 2 1
2 2
2
a 2 5
a
5 c m
2
2
2 m
a ?
1 , 5 m
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
R E L A Ç Õ E S
M É T R I C A S
N O S
T R I Â N G U L O S
R E T Â N G U L O S
1 8 7
E x
e r c í c i o s
1
C a l c u l e o v a l o r d e x n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .
a ) x 1
0
c
) x
3
3 x
x 1 2
9
4 x
2 0
b ) x 1
5
d
) x
4
x
4 5
2
A f i g u r a m o s t r a u m e d i f í c i o q u e t e m 1 5 m
d e a l t u r a . Q u a l é o c o m p r i m e n t o d a e s c a d a q u e
e s t á e n c o s t a d a n a p a r t e s u
p e r i o r d o p r é d i o ? 1 7 m
d 2 8
2 1
5 2
d 1
7
3
C a l c u l e o v a l o r d e x n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .
a ) x
5
b
) x 3
x
4
C a l c u l e o v a l o r
d e x n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .
a ) x
3
b ) x
5
x
2 x
x 5
6
x 3
5
U m a p e s s o a p e r c o r r e a t r a j e t ó r i a d e A a t é C ,
p a s s a n d o p o r B . Q u a l f o i a d i s t â n c i a p e r c o r r i d a ?
5 . ( A B ) 2 3
0 2 4
0 2
A B 5
0
( B C ) 2 6
0 2 8
0 2
B C 1
0 0
E n t ã o : 5 0 1
0 0 1
5 0
1 5 0 m
6
A f i g u r a m o s t r a u m a a n t e n a r e t r a n s m i s s o r a
d e r á d i o d e 7 2 m
d e a l t u r a . E l a é s u s t e n t a d a
p o r 3 c a b o s d e a ç o q u e l i g a m o t o p o d a a n t e n a
a o s o l o , e m p o n t o
s q u e e s t ã o a 3 0 m d o p é d a
a n t e n a . Q u a l é a
q u a n t i d a d e a p r o x i m a d a d e
c a b o , e m m e t r o s ,
q u e s e r á g a s t a p a r a s u s t e n t a r
a a n t e n a ? 2 3 4 m
a 2 7
2 2 3
0 2
a 7
8
3 7 8 2
3 4
2
3
3 3
8 m
6
8 x
3 0 m
3 0
m 3 0
m
4 0 m
8 0 m
3 0 m
6 0 m
6
x
5 3
B
A
C
I l u s t r a ç õ e s : D A E
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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1 9 2
H á o u t r a s r e l a ç õ e s
e n t r e m e d i d a s n o s
t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .
N ã o d á p a r a c a l c u l a r p e l o
t e o r e m a d e P i t á g o r a s !
V a m o s d e s c o b r i - l a s e
d e p o i s v o l t a r e m o s a o
p r o b l e m a !
3 .
R e l a ç õ e s m
é t r i c a s n o s t r i â n g u
l o s
r e t â n g u
l o s
N e s s a e s t r u t u r a d e t e l h a d o
f e i t a c o m
b a r r a s d e f e r r o , q u a l
d e v e s e r a m e d i d a
d e x ?
P o d e m o s d e s c o b r i r a p l i c a n d o o t e o r e m a d e P i t á g o r a s .
h i p o t e n u s a :
4
c a t e t o s : 3 , 2
e x
4 2 x
2 3 , 2
2
1 6 x
2 1
0 , 2 4
x 2 5 , 7 6
x
5 , 7 6
x 2 , 4
A b a r r a m e d
e 2 , 4 m .
B a r r a s d e r e f o r ç o s e r ã o c o l o c a d a s n a e s t r u t u r a . Q u a l d e v e s e r a m e d i d a d e s s a s b a r r a s ?
3 , 2 m
3 , 2 m
y
y
4 m
4
m
2 2 4 e 3 2 9
5 , 7 6 e s t á e n t r e 2 e 3
.
C o m o o ú l t i m o a l g a r i s m o d e 5 , 7 6 é 6 , e x p e r i m e n t a m o s 2 , 4 .
D e f a t o , 2 , 4
2 5 , 7 6 .
V o c ê t a m b é m p o d e u s
a r c a l c u l a d o r a : d i g i t e 5 , 7 6
4 m 3 ,
2 m
3 , 2 m
x
4 m
3 , 2 m 4
m
x
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
R E L A Ç Õ E S
M É T R I C A S
N O S
T R I Â N G U L O S
R E T Â N G U L O S
1 9 3
T r a ç a m o s a a l t u r a A H
r e l a t i v a à h i p o t e n u s a d o t r i â n g u l o
r e t â n g u l o A B C . S u a m e d
i d a é h . R e p a r e q u e A H d e t e r m i n a
d o i s s e g m e n t o s s o b r e a
h i p o t e n u s a . E l e s r e c e b e m
n o m e s
e s p e c i a i s :
C H : p r o j e ç ã o d o c a t e t o A C s o b r e a h i p o t e n u s a .
M e d i d a : m
B H : p r o j e ç ã o d o c a t e t o A B s o b r e a h i p o t e n u s a .
M e d i d a : n
V i s u a l i z e o s t r ê s t r i â n g
u l o s q u e a p a r e c e m n e s t a f i g u r a :
V a m o s c o m p a r a r o s t r i â n g u l o s A B C e H B A . P a r a f a c i l i t a r , c o l o c a m
o s o â n g u l o r e t o n a m e s m a
p o s i ç ã o :
A H ( a m b o s s ã o â n g u l o s r e t o s )
B é â n g u l o c o m u m a o
s d o i s t r i â n g u l o s .
O s t r i â n g u l o s a p r e s e n t a m d o i s â n g u l o s c o r r e s p o n d e n t e s c o n g r u e n
t e s . O t e r c e i r o , a u t o m a t i c a -
m e n t e , t a m b é m s e r á . O s t r i â n g u l o s s ã o s e m e l h a n t e s , o u s e j a , a s m e d i d a s d o s l a d o s c o r r e s p o n d e n t e s
s ã o p r o p o r c i o n a i s .
P o d e m o s e s c r e v e r :
a c
c n
M u
l t i p l i c a n d o o s t e r m o s d a p r o p o r ç ã o e m c r u z :
c 2 a n
B B
B
A H
C
B
m
n
b
c
a
h A
C
B
b
c
a
n
A H
B
c
h
A H
C
m b
h
A H
C
B
m
n
b
c
a
h A
C
B
b
c
a
H
A
B
h
n
c
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 98/197
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 99/197
1 9 6
E x e r c í c i o s
c
b
1 8 m
3 2 m
b )
a )
x 2 9 2 5
x 1
5
5 x 3 4
x 2 , 4
x 2 9 5
x 3
5
2 1
C a l c u l e o v a l o r d e x n o s t r i â n g u l o s r e t â n g u l o s .
c )
d )
2 2
( S a r e s p ) O c a r t a z r e t a n g u l a r d a f i g u r a f o i p r e -
s o à p a r e d e c o m
a u x í l i o d e u m f i o , c o n f o r m e
i n d i c a d o . Q u a l
é o c o m p r i m e n t o d o f i o ? 5 2 c m
c 2 1
0 2 2
4 2
c 2 6
7 6
c 2
6
• 2 2 6 5
2
2 3
( S a r e s p ) U m a p r a ç a t e m a f o r m a d e u m t r i â n -
g u l o r e t â n g u l o , c o m u m a v i a d e p a s s a g e m p e l o
g r a m a d o , q u e v a i d e u m v é r t i c e d o â n g u l o r e t o
a t é a c a l ç a d a m a i o r , c o m o i l u s t r a d o p e l a f i g u r a
a b a i x o .
S a b e n d o q u e e s t a v i a d i v i d e o c o n t o r n o m a i o r
d o g r a m
a d o e m d o i s p e d a ç o s , u m d e 3 2 m e
o u t r o d e 1 8 m , q u a n t o m e d e , e m m e t r o s , o
c o n t o r n o b ? 4 0 m
2 4
N a f i g u r a a b a i x o , a d i s t â n c i a d a c a s a à e s -
t r a d a é 1 , 2 k m .
a ) Q u a l é a m e n o r d i s t â n c i a d a á r v o r e à c a i x a -
- d ’ á g
u a ? 2 , 5 k m
b ) Q u a l é a m e n o r d i s t â n c i a d a c a s a à á r v o r e ?
c ) Q u a l é a m e n o r d i s t â n c i a d a c a s a à c a i x a -
- d ’ á g
u a ? 2 k m
1 , 5 k m
1 , 2
2 x 1 , 6
x 0 , 9
• 0 , 9 1 , 6 2 , 5
d 2 1 , 2
2 1 , 6
2
d 2
• h 2 1
8 3 2
h 2
4
• b 2 2
4 2 3
2 2 o u b 2 3
2 5 0 1
6 0 0
b 4
0
b 4
0
x 2 4 1 6
x 8
d 2 1 ,
2 2 0 , 9
2
d 1 , 5
2 5
x
9
9
x 5
5 x
3
4
x
4
1 6
1 , 6
k m
1 , 2 k m
1 0 c m
4 8 c m
i s ó s c e l e s P o r f a
v o r , f a ç a
s i l ê n c i o !
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
R E L A Ç Õ E S
M É T R I C A S
N O S
T R I Â N G U L O S
R E T Â N G U L O S
1 9 7
R e v i s a n d o
d 2 (
1 , 2 ) 2 (
1 , 6 ) 2
d 2
h 2 1
5 2 2
0 2
h 2 2
2 5 4
0 0
h 2 6
2 5
h 2
5
P 2
0 1
5 1
5 2
5 1
5
P 9
0
x 2 3
2 (
0 , 4 ) 2
x 3 ,
0 3 ( a p r o x . )
4 0 c m
6 m
x
2 5
U m
f a z e n d e i r o q u e r
c o l o c a r u m a t á b u a
e m d i a g o n a l n a s u a p o r t e i r a . Q u a l é o c o m p r i -
m e n t o d e s s a t á b u a , s e a f o
l h a d a p o r t e i r a m e d e
1 , 2 m p o r 1 , 6 m ? 2 m
2 6
Q u a l é o p e r í m e t r o d a f i g u r a ? 9 0 c m
2 7
Q u a l é a a l t u r a d o f u n
i l
r e p r e s e n t a d o p e l a f i g u r a ?
1 7 c m
x 2 9
2 1
5 2
x 1
2
1
2 5 1
7
2 8
C a l c u l e o c o m p r i m e n t o x n e s t a e s t r u t u r a d e
t e l h a d o , q u e t e m a f o r m a d e t r i â n g u l o i s ó s c e l e s .
3 , 0 3 m ( a p r o x . )
2 9
D e t e r m i n e o
v a l o r d o s e l e m e n t o s d e s c o -
n h e c i d o s :
a ) x 4
b )
3 0
O b s e r v e a f i g u r a a b a i x o . 1
0 8 1
8
( C E ) 2 1
5 2 1
2 2 C
E =
3 6 9
U m c a r r o a z u l p a r t e d a c i d a d e A p a r a a c i d a d e
C , p a s s a n d o p o r B . U m c a r r o v e r m e l h o p a r t e
d a c i d a d e E i g u a l m e n t e p a r a a c i d a d e C , m a s
c o m o t r a j e t o d i r e
t o . C o n s i d e r e q u e o s c a r r o s
s e d e s l o c a m à m
e s m a v e l o c i d a d e . Q u a l d o s
c a r r o s c h e g a r á p r i m e i r o à c i d a d e C ?
x 3
C B 8
3 6 9 > 1 8
O b s e r v a ç ã o : a s m e d i d a s n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s a o s v a l o r e s i n d i c a d o s .
2 0 c m
1 5 c m 1 5
c m 5 c m
1 5 c m
A
x O
B
6
x
2 1 3
x
x 2
x 1
9 c m
1 , 6 m
1 , 2 m
d = ?
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
4 k m
1 5 k m
6 k m
1 0 k m
B
D
E
A
C
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 100/197
1 9 8
E x e r c í c i o s
h 2 (
1 , 2 0 ) 2 (
3 , 2 0 ) 2
• h 2 , 9 7
3 1
U m a e s c a d a t e m 3 , 2 0 m d e a l t u r a q u a n d o
e s t á f e c h a d a . Q u a l é a a l t u r a d a e s c a d a a b e r t a ,
s a b e n d o - s e q u e
a d i s t â n c i a m á x i m a e n t r e o s
s e u s p é s é d e 2 , 4 0 m ? 2 , 9 7 m ( a p r o x . )
3 2
D e t e r m i n e a m e d i d a d o a p ó t e m a e a m e -
d i d a d o l a d o d e
u m h e x á g o n o r e g u l a r i n s c r i t o
n u m a c i r c u n f e r ê n c i a d e r a i o i g u a l a 4 3 c m .
L a d o : 4 3 c m e a p ó t e m a : 6 c m .
2
2
2
4 3
2
4 3
a
• a 6
r a i o
a p ó t e m a
l a d o
A p ó t e m a d
e u m p o l í g o n o r e g u l a r é o
s e g m e n t o c u j o s e x t r e m o s s ã o o c e n t r o d o
p o l í g o n o e o p o n t o m é d i o d e u m l a d o .
3 3
O b s e r v e a t a b e l a d e P i t á g o r a s .
Q u a l é a s o m a d e t o d o s o s n ú m e r o s d a v i g é s i -
m a l i n h a ? 2 4 0
6 0 8
0 1
0 0 2
4 0
3 4
( S a r e s p ) N a f i g u r a a b a i x o t ê m - s e o s q u a -
d r a d o s Q
1 e Q 2 .
x 2 1
2 2
1 5 2
x 9
T
9 1 2 2
5
4
Q u a l é a á r e a d o t r i â n g u l o T , e m m e t r o s q u a -
d r a d o s ?
5 4 m 2
3 5
A c h á c a r a d e  n g e l a t e m a f o r m a d e u m
t r i â n g u l o r e t â n g u l o e a s d i m e n s õ e s i n d i c a d a s
n a f i g u r a . Q u a l é a d i s t â n c i a e n t r e o p o r t ã o e o
p o ç o ? 4 8 0 m
1 0 0 0 h 6
0 0 8 0 0
h 4
8 0
6 0
2 8
x
x 4
5
y 5
3
7 5
3 6
O b s e r v e o p a p a g a i o d e p a p e l e c a l c u l e x e y .
( u n i d a d e
: c m ) 4 5 c m ; 5 3 c m
y
3 6 9 1 2 …
4 8 1 2 1 6 …
5 1 0 1 5 2 0 …
3 , 2 0 m
2 , 4 0 m
8 0 0 m
6 0 0 m
T
1 5 m
Q 2
1 2 m
Q 1
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
R E L A Ç Õ E S
M É T R I C A S
N O S
T R I Â N G U L O S
R E T Â N G U L O S
1 9 9
E x
e r c í c i o s
3 7
A p r a t e l e i r a d a s e c r e t á r i a e s t á p e r p e n d i c u -
l a r a o m ó v e l ? J u s t i f i q u e a
r e s p o s t a .
N ã o ,
p o r q u e 3 5 2 2
2 2 2
8 2 .
3 8
D a d a a t a b e l a , l o c a l i z e n o p l a n o c a r t e s i a -
n o , e m f u n ç ã o d e x e y , o s p o n t o s d a d o s ( A , B ,
C e D ) . U n i n d o o s p o n t o s e n
c o n t r a d o s , o b t é m - s e
u m a f i g u r a g e o m é t r i c a . Q u a l é o p e r í m e t r o
d e s s a f i g u r a ? 8 2
x
y
A
2
0
B
0
2
C
2
0
D
0
2
3 9
O b s e r v e a f i g u r a e r e s
p o n d a :
a ) Q u a l é o p e r í m e t r o d a
f i g u r a ? 2 8 c m
b ) Q u a l é a d i s t â n c i a e m l i n h a r e t a d o p o n t o A
a o p o n t o B ? 1 0 c m
4 0
C o n s i d e r e a f i g u r a a b a i x o , o n d e A B C D e
E C G F s ã o q u a d r a d o s .
a ) Q u a n t o m e d e o s e g m e n t o E G ?
b ) Q u a l é a á r e a d o t r i â n g u l o E C G ? 1 8 c m 2
c ) Q u a l é a á r e a d o q u a d r i l á t e r o H B G E ? 6 6 c m 2
d ) C o m o s e c h a m
a o q u a d r i l á t e r o H B G E ?
T r a p é z i o r e t â n g u l o .
4 1
( C e f e t - S P ) N u
m a e m b a l a g e m
c ú b i c a d e
5 0 c m
d e a r e s t a , f o i e n c a i x a d a u m a p l a c a
p l a n a d e p a p e l ã o
p a r a s e p a r a r s e u i n t e r i o r e m
d u a s p a r t e s i g u a i s
, c o m o m o s t r a a f i g u r a .
P a r a t a n t o , g a s t o u
- s e , e m p a p e l ã o , a p r o x i m a -
d a m e n t e :
a ) 0 , 2 0 m 2
b ) 0 , 2 5 m 2
c ) 0 , 3 0 m 2
d ) 0 , 3 5 m 2
x
d 2 5
0 2
5
0 2
d 2 5
0 0
0
d 7 0
A 0 , 7 0
0 , 5 0
A 0 , 3 5
8 c m
6 c m
P 6
8
6
8 2
8
s o m a d a s b a s e s d e
t o d o s o s d e g r a u s
s o m a d a s a l t u r a
s d e
t o d o s o s d e g r a u s
B
A x
y
6 2 c m
R e s p o n d a
n o c a d e r n o .
A B
C
H
G
D E
F
2 c m
6 c m
2 8 c m
2 2 c m
3 5
c m
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 101/197
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 102/197
2 0 2
5 3
( U f l a - M G ) Q
u a l d e v e s e r a a l t i t u d e d o b a -
l ã o p a r a q u e s u
a d i s t â n c i a d o t o p o d o p r é d i o
s e j a d e 1 0 k m ?
x 2 8
2 1
0 2
x 6
6 0 0 0 2
0 0 6
2 0 0
a ) 6 k m
b ) 6 2 0 0 m
c ) 5 k m
d ) 1 1 2 0 0 m
x 5
4
N a f i g u r a a b
a i x o e s t á r e p r e s e n t a d a u m a p a r -
t e d e u m m a p a g e o g r á f i c o d e u m a r e g i ã o p l a n a .
A e B s ã o p o n t o s d e s s a r e g i ã o . Q u a l d a s s e g u i n -
t e s m e d i d a s m a i s s e
a p r o x i m a d o v a l o r
d a d i s t â n c i a e n t r e o s
p o n t o s A e B ?
a ) 3 0 0 m
b ) 5 0 0 m
c ) 4 0 0 m
d ) 6 0 0 m
x 5
5
( S a r e s p ) U m
m o t o r i s t a v a i d a c i d a d e A a t é
a c i d a d e E , p a s s a n d o p e l a c i d a d e B , c o n f o r m e
m o s t r a a f i g u r a .
E l e p e r c o r r e u :
a ) 4 1 k m
b ) 1 5 k m
c ) 9 k m
d ) 3 6 k m
x
h 2 1 6
9
h 1 2
( A B ) 2 1
6 2 1
2 2 o u ( A B ) 2 2
5 1 6
A B 2
0
P 2 0
1
6 3
6
5 6
( U F R
G S - R S ) O l a m p i ã o r e p r e s e n t a d o n a f i g u -
r a e s t á s u s p e n s o p o r d u a s c o r d a s p e r p e n d i c u l a r e s
p r e s a s a o t e t o . S a b e n d o - s e q u e e s s a s c o r d a s m e -
d e m 1 2 e 6 5 , a d i s t â n c i a d o l a m p i ã o a o t e t o é :
a ) 1 , 6 9
b ) 1 , 3
c )
1 2
d )
6 1 3
x x 2
1 2 2
6 5 2
1 3 1 0 h
1 2
6 5
h
6 1 3
x 1
3 1 0
5 7
( P u c
c a m p - S P ) P a r a f a z e r o e n c a n a m e n t o d e
u m a r e s i d ê n c i a , d e v e - s e l i g a r p o r u m c a n o o s
p o n t o s A
e B , d i s t a n t e s 6 m e n t r e s i . C o m o h á
u m a c o n s t r u ç ã o n o m e i o d e s s e p e r c u r s o , r e s o l -
v e u - s e l i g a r A a C e C a B , c o m o m o s t r a a f i g u r a
a o l a d o
. A q u a n t i d a d e
m í n i m a
d e m e t r o s d e
c a n o n e c e s s á r i a p a r a f a -
z e r e s s e
e n c a n a m e n t o é :
a ) 3 2
b ) 6
c ) 6 2
d ) 1 8 2
x 5
8
( U C - B A ) N a s i t u a ç ã o d o m a p a a b a i x o , d e -
s e j a - s e c
o n s t r u i r u m a e s t r a d a q u e l i g u e a c i d a -
d e A à e
s t r a d a B C , c o m o m e n o r c o m p r i m e n t o
p o s s í v e l . E s s a e s t r a d a m e d i r á , e m q u i l ô m e t r o s :
( A C ) 2 4
0 2 5
0 2
A C 3
0
5 0 d 3
0 4 0
d 2
4
5 0 k m
a ) 2 4
b ) 2 8
c ) 3 0
d ) 3 2
x
A
B
C
d
3 2
3 2
6 2
1 0 0 m
1 0 0 m
A
B
8 k m
1 0 k
m
200 m
4 0 k m
A
C
B
4 5 ° 4 5 °
A B
C
O b s e r v a ç ã o : a
f i g u r a n ã o r e s p e i t a a s m e d i d a s i n d i c a d a s .
A
C
E
B
1 6 k m
2 5 k m
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
D A E
T R I G O N O M E T R I A N
O T
R I Â N G U L O
R E T Â N G U L O
2 0 3
U N I D A D E 8
U N I D A D E
T r i g o n o m e
t r i a n o
t r i â n g u
l o r e
t â n g u
l o
1 .
A s r a z
õ e s
t r i g o n o m
é t r i c a s
N a U n i d a d e 6 ,
d e t e r m i n a m o s a a l t u r a d o
m a s t r o d e u m a b a n d e i r a
s e m m e d i - l a d i r e t a m e n t e .
L e m b r a m - s e ?
N e s t a u n i d a d e ,
v a m o s t a m b é m
c a l c u l a r a a l t
u r a
d o p r é d i o d a e s c o l a
s e m m e d i - l o
d i r e t a m e n t
e .
V e j a , n a i l u s t r a ç ã o a s e g u i r , o p r o c e d i m e n t o e a s m e d i d a s q u e o p r
o f e s s o r J o r g e a n o t o u .
N a s a l a d e a u l a , e l e d e s e n h o u e s s e t r i â n g u l o :
E s s e t r i â n g u l o é r e t â n g u l o , m a s s ó t e m o s a m e d i d a d e u m â n g u l o e d e u m c a t e t o . N ã o d á p a r a
a p l i c a r a s r e l a ç õ e s m é t r i c a s q u e c o n h e c e m o s .
N o e n t a n t o , h á o u t r a s
r e l a ç õ e s p a r a d e s c o b r i r . P r o s s i g a n a l e i t u r a
d o t e x t o . D e p o i s v o l t a r e m o s
à a l t u r a d o p r é d i o .
O c a t e t o B C é u m
d o s
l a d o s d o â n g u l o d e 4 0 o .
B C é o c a t e t o a d j a c e n t e
a o â n g u l o d e 4 0 o .
O c a t e t o A B é o c a t e t o
o p o s t o a o â n g u l o d e 4 0 o .
4 0 °
1 , 7 0 m
1 5 m
4 0 °
C
A
4 0 °
1 5 m
B x
H é l i o S e n a t o r e I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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2 1 0
E x e r c í c i o s
c )
1
C o n s i d e r e o
t r i â n g u l o a b a i x o .
a ) Q u a l é a h i p o t e n u s a ? a
b ) Q u a l é o c a t e t o o p o s t o a ? b
c ) Q u a l é o c a t e t o a d j a c e n t e a ? c
d ) Q u a l é o c a t e t o o p o s t o a ? c
e ) Q u a l é o c a t e t o a d j a c e n t e a ? b
2
N o t r i â n g u l o r e t â n g u l o d a f i g u r a , c a l c u l e
o s v a l o r e s d e :
a ) s e n
Å A 6 1 0 0 , 6
b ) c o s
Å A 8 1 0 0 ,
8
c ) t g Å A 6 8
0 , 7 5
d ) s e n
Å C 8 1 0 0 ,
8
e ) c o s
Å C 6 1 0 0 ,
6
f ) t g Å C 8 6
1 , 3 3 3 . . .
3
C o n s u l t e a
t a b e l a t r i g o n o m é t r i c a e c o m -
p l e t e o q u a d r o n o c a d e r n o .
4
C a l c
u l e x e m c a d a u m d o s t r i â n g u l o s r e t â n -
g u l o s .
s e n 2 4 ° x 1 0
x 1
0 0 , 4 0 6 7
x 4 , 0 6 7
t g 4 0 °
x 1 2 0
x 1
2 0 0 , 8 3 9 1
x 1
0 0 , 6 9 2
c o s 2 8 °
x 1 7
x 1
7 0 , 8 8 2 9
x 1
5 , 0 0 9
c o s 4 0 ° x 9
x 9 0 , 7 6 6 0
x 6 , 8 9 4
5
V e j a
a f i g u r a a b a i x o . P o d e - s e t o m b a r a á r v o -
r e e m d i r e ç ã o à c a s a , s e m a t i n g i r a c o n s t r u ç ã o ?
N ã o . A a l t u r a d a á r v o r e é d e 2 5 , 6 m .
t g 5 2 °
x 2 0
x 1 , 2 7 9 9 2 0
x 2
5 , 5 9 8 ( a p r o x . )
2 5
°
s e n o
0 , 6 1 5 7
c o s s e n o
0 , 2 7 5 6
t a n g e n t e
1 , 4 8 2 6
0 , 4 2
2 6
0 , 9 0
6 3
0 , 4 6
6 3
3 8 °
0 , 7 8 8 0
0 , 7 8 1 3
7 4 °
0 , 9 6 1 3
3 , 4 8 7 4
5 6 °
0 , 8 2 9 0
0 , 5 5 9 2
a )
b )
A x B
C
4 0 ° 1 2 0
2 8 °
1 7
C
B
x
A
d )
B A
C
x 9
4 0 °
b
a
c
A
8 c m
B 6 c m
C
2 0 m
5 2 ° 2 4 °
A
1 0
B
C
x
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
T R I G O N O M E T R I A N
O T
R I Â N G U L O
R E T Â N G U L O
2 1 1
1 , 2 m
4 , 8 m
6
U m a e s c a d a m e d i n d o 3 m p r e c i s a f a z e r
u m â n g u l o d e 4 0 ° c o m a
p a r e d e p a r a q u e n ã o
e s c o r r e g u e . A q u e d i s t â n
c i a o p é d a e s c a d a
p r e c i s a f i c a r d a p a r e d e ? 1
, 9 3 m ( a p r o x i m a d a m e n t e )
s e n 4 0 o x 3
x 0 , 6 4 2 8 3 1 , 9 2 8
7
A t o r r e E i f f e l , a m a i o r
a n t e s d a e r a d a t e l e -
v i s ã o , f o i c o n c l u í d a e m 3 1 d e m a r ç o d e 1 8 8 9 .
V e j a a f i g u r a e d e t e r m i n e
a a l t u r a d e s s a t o r r e .
3 2 4 m
8
U s e a c a l c u l a d o r a . S u g e r i m o s a v o c ê q u e
c a l c u l e o v a l o r d o
s e n o e d o c o s s e n o d e a l g u n s
â n g u l o s e c o m p a r e - o s c o m o s d a t a b e l a a p r e -
s e n t a d a n a p á g i n a
2 0 9 d o l i v r o .
9
O b s e r v e a f i g
u r a e c a l c u l e a m e d i d a d o
â n g u l o q u e a e s c a d a f a z c o m o s o l o . 7 6 °
1 0 V e j a a f i g u r a a b a i x o . A l â m p a d a e s t á a 3 m
d o c h ã o e l a n ç a u m c o n e d e l u z d e “ a b e r t u r a ”
i g u a l a 5 0 ° . Q u a l é
a m e d i d a d o r a i o d o c í r c u l o
d e l u z n o c h ã o ? 3 , 5 7 m
1 1
U m d o s â n g u l o s d e u m t r i â n g u l o r e t â n g u l o
é . S e t g 2 , 4 , a s m e d i d a s d o s l a d o s d e s s e
t r i â n g u l o s ã o p r o p
o r c i o n a i s a :
t g 5 0 ° x 3
x 1 , 1 9 1 8 3 3 , 5 7 5 4
R e s p o n d a n o
c a d e r n o .
a ) 1 2 , 3 5 , 3 7
b ) 3 0 , 4 0 , 5 0
c ) 5 0 , 1 2 0 , 1 3 0
d ) 8 0 , 1 5 0 , 1 7 0
x
2 , 4 2
4 1 0
1 2 0 5 0
t g 7 0 º
x 1 1 7 , 9
x 2 , 7 4 7 5 1 1 7 , 9
x 3
2 4
7 0 °
1 1 7 , 9 m
x 3
m
4 0 o
5 0 ° t g x 4
, 8 1 , 2 t g
x 4 x 7 6 ° I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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2 1 2 N
a t a b e l a , s e n 4 5 º 0 , 7 0 7 1 .
N u m a c a l c u l a d o r a , d i g i t a n d o
2
2 p a r a c a l c u l a r
2 2 , o b t e m o s 0 , 7 0 7 1 0 6 7 .
0 , 7 0 7 1 é u m
a a p r o x i m a ç ã o r a c i o n a l p a r a s e n 4 5 º e
2 2 é o v a l o r e x a t o d e s e n 4 5 º .
A i n d a n o t r i â n g u l o A B C :
c o s 4 5 º
m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a o â n g u l o d e 4 5 º
m e d i d a d a h i p o t e n u s a
2
1 2
2 2
t g 4 5 º
m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a 4 5 º
m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a 4 5 º
1
2 .
A s r a
z õ e s
t r i g o n o m
é t r i c
a s e o s
â n g u l o
s d e
3 0 o ,
4 5 o
e 6 0 o
H á s i t u a ç õ e s
e m q u e é m e l h o r t r a b a l h a r c o m v a l o r e s e x a t o s d e s e n o e d e c o s s e n o d e 4 5 º .
J á d e s c o b r i m
o s , p e l o t e o r e m a d e P i t á g o r a s , q u e d
2
.
O t r i â n g u l o A B C é r e t â n g u l o . V a m o s c a l c u l a r :
s e n 4 5 º
m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e 4 5 º
m e d i d a d a h i p o t e n u s a
s e n 4 5 º
2
1 2 o u
1
2
2
2
2 2
r a c i o n a l i z a n d o o d e n o m i n a d o r
V a l o r e x a t o d e
c o s 4 5 º .
S o b r e a T r i g o n
o m e t r i a
C o m o j á d i s s e m
o s , a p a l a v r a t r i g o n o m e t r i a v e m
d o g r e g o e s i g n i f i c a
“ m e d i d a d e t r i â n g u l o s ” . O d e s e n -
v o l v i m e n t o d e s t e r a m o d a M a t e m á t i c a e s t á l i g a d o a
A s t r o n o m i a , n a v e g a
ç ã o , c a r t o g r a f i a , e n t r e o u t r o s . V o c ê
p r o s s e g u i r á c o m o e s t u d o d a T r i g o n o m e t r i a n o E n s i n o
M é d i o e t e r á a o p o
r t u n i d a d e d e a p l i c a r e s t e s c o n h e c i -
m e n t o s n a F í s i c a , p o r e x e m p l o .
4 5 °
4 5 °
A
D
B
C
d M
2
D A E A d i a g o n a l d
é e i x o d e s i m e t r i a d o q u a d r a d o d e l a d o : d i v i d
e o â n g u l o r e t o e m d o i s â n g u l o s d e 4 5 o .
T R I G O N O M E T R I A N
O T
R I Â N G U L O
R E T Â N G U L O
2 1 3
F a ç a d u p l a c o m u m c o l e g a . D e t e r m i n e m , a p a r t i r d o t r i â n g u l o A H B , o
s v a l o r e s e x a t o s d e s e n 3 0 o ,
c o s 3 0 o e
t g 3 0 o . C o p i e m e c o m p l e t e m a
t a b e l a a b a i x o n o c a d e r n o . L e m b r e m
- s e d a r a c i o n a l i z a ç ã o !
P o d e m o s o b t e r t a m b é
m , a p a r t i r d o t r i â n g u l o e q u i l á t e r o , o s v a l o r e
s e x a t o s d a s r a z õ e s t r i g o n o -
m é t r i c a s p a r a o s â n g u l o s
d e 3 0 o e
d e 6 0 o .
A c o m p a n h e :
• s e n 6 0 o m
e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e 6 0 o
m e d i d a d a h i p o t e n u s a
c o s 6 0 o
2
2
1
1 2
s e n 6 0 o
3 2
3 2
1
3 2
• c o s 6 0 o m
e d i d a d o c a t e t o a d a j a c e n t e a o â n g u l o d e 6 0 o
m e d i d a d a h i p o t e n u s a
• t g 6 0 o
m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a 6 0 o
m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a 6 0 o
U m t r i â n g u l o e q u i l á t e
r o t e m t r ê s â n g u l o s d e 6 0 o . T r a ç a m o s a
a l t u r a A H q u e e s t á n u m d
o s e i x o s d e s i m e t r i a d o t r i â n g u l o e q u i l á -
t e r o d e l a d o , o b t e n d o o
t r i â n g u l o r e t â n g u l o A H B .
L e m b r a n d o q u e a a l t u r a d e u m t r i â n g u l o e q u i l á t e r o d e l a d o
é
h
3 2
, t e m o s :
t g 6 0 o
3 2
2
3 2
2
3
1 2
3
2
â n g u l o
s e n
c o s
t g
3 0 o
4 5 o
2 2
2 2
1
6 0 o
3 2
1 2
3
1 2
A
C
B
6 0 °
6 0 °
6 0 °
h H
2
2
A
C
B
3 0 °
3 0 °
6 0 °
6 0 °
2 3
3 3
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-9-2-por-folha 108/197
2 1 4 V
a m o s u s a r o v a l o r e x a t o d e s e n 6 0 o p a r a e s t a b e l e c e r u m
a r e l a ç ã o m a t e m á t i c a .
C o m r é g u a ,
c o m p a s s o e t r a n s f e r i d o r , f a ç a j u n t o .
A
B
C
r
r
r
1 2 0 ° 1 2 0 °
1 2 0 ° O
O B O
C
r
• T r a
ç a m o s u m a c i r c u n f e r ê n c i a d e c e n t r o O
e r a i o r q u a l q u e r .
• C o
m o 3 6 0 o
3 1
2 0 o , c o n s t r u i n d o t r ê s
â n g u l o s d e 1 2 0 o c o m v é r t i c e e m O , d i v i d i -
m o
s a c i r c u n f e r ê n c i a e m t r ê s p a r t e s i g u a i s
e t r a ç a m o s o t r i â n g u l o e q u i l á t e r o A B C .
E s s e t r i â
n g u l o e s t á i n s c r i t o n a c i r c u n f e r ê n c i a :
s e u s v é r t i c e s s ã o p o n t o s d a c i r c u n f e r ê n c i a . V a m o s
d e s c o b r i r q
u a l é a r e l a ç ã o e n t r e o r a i o r d a c i r c u n -
f e r ê n c i a e a m e d i d a
d o l a d o d o t r i â n g u l o .
O t r i â n g u l o O B C é i s ó s c e l e s d e b a s e B C .
T r a ç a m o s a a
l t u r a O H r e l a t i v a à b a s e . O H e s t á n o
e i x o d e s i m e t r i a
d o t r i â n g u l o O B C .
O b t i v e m o s o
t r i â n g u l o O H B r e t â n g u l o .
H Ô B m e d e 6
0 o ( m e t a d e d e 1 2 0 o ) .
s e n 6 0 o
m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e 6 0 º
m e d i d a d a h i p o t e n u s a
P o r e x e m p l o , s e a c i r c u n f e r ê n c i a t i v e r r a i o d e 5 c m , o l a d o
d o t r i â n g u l o e q u
i l á t e r o i n s c r i t o n e s s a c i r c u n f e r ê n c i a m e d i r á
5 3 c m .
3 2
2 r
2
2 r
3
r
3
U m t r i â n g u l o e q u i l á t e r o d e l a d o
4
3 c m e s t á i n s c r i t o n u m a c i r c u n f e -
r ê n c i a d e r a i o r .
D e s c u b r a , u s a n d o c á l c u l o m e n t a l ,
q u a l é a m e d i d a r . 4 c m
O
r
r
C
B
6 0 °
3 0 °
3 0 °
H
2
2
I l u s t r a ç õ e s : D A E
T R I G O N O M E T R I A N
O T
R I Â N G U L O
R E T Â N G U L O
2 1 5
E x
e r c í c i o s
1 2
C a l c u l e o v a l o r d e x e m c a d a u m d o s t r i â n -
g u l o s r e t â n g u l o s .
a )
b )
s e n 3 0 o x 8
1 2
x 8
x 4
c o
s 4 5 o x 1 0
2 2
x 1 0
x 5
2
1 3
Q u a l é a a l t u r a d o p r é
d i o ? 2 0
3 m
1 4
U m a v i ã o l e v a n t a v o o s o b u m â n g u l o d e
3 0 ° e m r e l a ç ã o à p i s t a . Q
u a l s e r á a a l t u r a d o
a v i ã o q u a n d o e s t e p e r c o r r e r 4 0 0 0 m e m l i n h a
r e t a ? 2 0 0 0 m
1 5
U m a e s c a d a d e 8 m é e n c o s t a d a e m u m a
p a r e d e , f o r m a n d o
c o m e l a u m â n g u l o d e 6 0 ° .
A q u e a l t u r a d a p a r e d e a e s c a d a s e a p o i a ? 4 m
t g 3 0 o x 6 0
1 6
P a r a p e r m i t i r
o a c e s s o a u m m o n u m e n t o
q u e e s t á e m u m p e d e s t a l d e 1 , 5 m d e a l t u r a ,
s e r á c o n s t r u í d a u m
a r a m p a c o m i n c l i n a ç ã o d e
3 0 ° c o m o s o l o , c o n f o r m e a i l u s t r a ç ã o .
1 , 5 m
3 0 °
Q u a l s e r á o c o m p
r i m e n t o d a r a m p a ? 3 m
1 7
C a l c u l e o p e r í m e t r o d a f i g u r a , c o n s i d e r a n -
d o
3 1 , 7 . 5 8 , 2
s e n 3 0 º
h 1 2
1 2
h 1 2
h 6
• c o s 6 0 o x 8
1 2
x 8 x 4
3 0 o
8
A B
C
x
s e n 3 0 º
x 4 0 0 0
1 2
x 4 0 0 0
x 2
0 0 0
c o s 3 0 o
a 1 2
3 2 a 1 2
a 6
3
p 1 2
1 5
1 0 ,
2 1 5
6 5 8 ,
2
3 3
x 6 0 x
2
0
3
A
x 4 5 o
B
C
1 0
4 0 0 0 m
3 0 °
x
3 0 o
1 2
h
a
1 5
3 0 o 1 2
3 0 °
6 0 m
6 0 °
8 m
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 9 2 Por Folha
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2 2 0
a ) 5 3
c ) 1 0 3
b ) 1 0
d ) 2 0
4 0
( E T F - S P ) A s
a l t i t u d e s ( a l t u r a e m r e l a ç ã o
a o n í v e l d o m a r ) e m q u e e s t ã o d o i s p o n t o s A
e B s ã o , r e s p e c
t i v a m e n t e , 8 1 2 m e 1 0 2 0 m .
D o p o n t o A v ê - s e o p o n t o B s o b u m â n g u l o
d e 3 0 ° c o m o
p l a n o h o r i z o n t a l ( c o n f o r m e
f i g u r a ) .
3 9
( U M C - S P ) A
m e d i d a d a f r e n t e p a r a a r u a
A , d o l o t e d e t e
r r e n o s o m b r e a d o n a p l a n t a d a
q u a d r a t r i a n g u l a r d a f i g u r a a b a i x o , e m m e t r o s ,
é i g u a l a :
x
c o s 3 0 º
x
2 0
3 3
1 0 x
2 0 3
A d i s t â n c i a e n t r e o s p o n t o s A e B é :
a ) 4 0 0 m
b ) 4 1 6 m
c ) 2 0 8 M 3 m
d )
m
s e n 3 0 º
A B 4
1 6
2 0 8 A B
4 1 6 M 3 3
x
4 1
( C e f e t - P R ) D u r a n t e u m a t e m p e s t a d e , u m
p o s t e d e 9 m d e a l t u r a q u e b r a - s e e , a o c a i r ,
f o r m a c o m o s o l o u m t r i â n g u l o r e t â n g u l o . A
p a r t e q u
e b r a d a f o r m a c o m o s o l o u m â n g u l o
d e 3 0 ° . O c o m p r i m e n t o d a p a r t e q u e f i c o u f i x a
a o s o l o é , e m m :
a ) 3
c ) 5
b ) 4
d ) 6
x
s e n 3 0 °
x 3
x 9 x
4 2
( C e e t e p s - S P ) A i n f o r m a ç ã o p o d e e v i t a r
d o e n ç a s :
“ P a r a
e v i t a r a c o n t a m i n a ç ã o d a á g u a p e l a
f o s s a ,
d e v e - s e c o n s t r u í - l a d i s t a n t e , n o m í n i m o ,
2 0 m
d o p o ç o d e á g u a . ”
O b s e r v a n d o o e s q u e m a a b a i x o , p o d e m o s
c o n c l u i r q u e a c o n s t r u ç ã o d a f o s s a e d o
p o ç o e s
t á :
C o n s i d e r e :
s e n 3 0 ° 0 , 5
c o s 3 0 ° 0 , 8
t g 3 0 ° 0 , 6
d d
i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a .
a ) c o r r e
t a , p o i s a d i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a é d e
2 0 m
.
b ) i n c o r
r e t a , p o i s a d i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a é
d e 1 5
m .
c ) c o r r e
t a , p o i s a d i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a é d e
2 2 m
.
d ) c o r r e
t a , p o i s a d i s t â n c i a d o p o ç o à f o s s a é d e
2 5 m
.
x
3 3
3 3
t g 3 0 º
d
2
5
1 5 d
1 5 0 , 6
3 0 °
1 5 m
F O S S A
P O Ç O
d
3 0 °
R u a
A
R u a B
1 0 m
3 0 ° 1 0 x
A
3 0 °
B
3 0 °
x
9 – x
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a C a r t o o n
C Í R C U L O
E
C I L I N D R O
2 2 1
P o n t o O : c e n t r o d a c i r c u n f e r ê n c i a
r : r a i o d a c i r c u n f e r ê n c i a
U N I D A D E 9
U N I D A D E
C í r c u l o
e c i l i n
d r o
1 .
Á r e a
d o c í r c u
l o
R o d a s , b o r d a s d e x í c a r
a s e c o p o s , e n g r e n a g e n s . . . A s f o r m a s c i r c u l a r
e s a p a r e c e m c o m f r e q u ê n c i a
n a s c o n s t r u ç õ e s e n o s o b
j e t o s p r e s e n t e s e m n o s s o m u n d o .
S t o c k b y t e / T h i n k s t o c k
M a u r i c i o M o r a i s
P h o t o d i s c
r
r
O
A M a t e m á t i c a f o r n e c e
c o n h e c i m e n t o s p a r a q u e p o s s a m o s u t i l i z a r m
e l h o r e s s a s f o r m a s e m n o s s o
d i a a d i a .
V o c ê j á s a b e q u e a c i r c
u n f e r ê n c i a é u m a l i n h a f o r m a d a p o r t o d o s o
s p o n t o s d o p l a n o q u e e s t ã o
a u m a m e s m a d i s t â n c i a d
e u m p o n t o f i x o , q u e é o c e n t r o d a c i r c u n f e r ê n c i a .
T o d o s o s p o n t o s d a c i r c u n f e r ê n c i a d i s t a m r d e O .
V o c ê t a m b é m s a b e q u e o c o m p r i m e n t o C d e u m a c i r c u n f e r ê n c i a
d e
r a i o r p o d e s e r c a l c u l a d o
p e l a r e l a ç ã o
C 2
r .
J u n t a n d o à c i r c u n f e r ê n c i a o s p o n t o s d o s e u i n t e r i o r , o b t e m o s u m c í r c u l o .
O c í r c u l o o c u p a u m a s
u p e r f í c i e . A m e d i d a d e s s a s u p e r f í c i e é a á r e a
d o
c í r c u l o .
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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2 2 6 A
p l i c a r e m o s
a p r o p o r c i o n a l i d a d e e n t r e a á r e a d o c í r c u l o
e a á r e a d o s e t o r c i r c u l a r p a r a c a l c u l a r
a á r e a d o s e t o r
c i r c u l a r d e s t a c a d o n a f i g u r a .
Á r e a d o s e t o
r c i r c u l a r : x
Á r e a d o c í r c u l o o n d e e s t á o s e t o r r 2 1
6
c m 2 .
 n g u l o c e n t
r a l c o r r e s p o n d e n t e a o s e t o r c i r c u l a r : 4 5 º .
 n g u l o c e n t
r a l c o r r e s p o n d e n t e a o c í r c u l o : 3 6 0 º .
x 1 6
4 5 º
3 6 0 º
x 1 6
1 8
8 x 1 6
x 1
6 8
x 2
o u x 6 , 2 8
Á r e a d o s e t o
r c i r c u l a r : 6 , 2 8 c m 2
J o a n M i r ó .
A c a r í c i a d e
u m p á s s a r o , 1 9 6 7 .
F u n d a ç ã o M i r ó / B a r c e l o n a
1
1 . D e s m o n t e u
m c
h a p e u z i -
n h o d e f e s t a
c o m o e s t e d a
f o t o g r a f i a . T
o m e c u i d a d o
p a r a n ã o r a s g á - l o . V o c ê
o b t e r á a p l a n i f i c a ç ã o d a
s u p e r f í c i e l a t e r a l d e u m
c o n e , q u e t e m a
f o r m a d e
u m s e t o r c i r
c u l a r .
2 . M e ç a o r a i o
d o c í r c u l o a q u e p e r t e n c e o s e t o r e o
â n g u l o c e n t r a l . U s a n d o a p r o p o r c i o n a l i d a d e , c a l -
c u l e q u a n t o
s c e n t í m e t r o s q u a d r a d o s d e p a p e l s ã o
n e c e s s á r i o s
p a r a c o n f e c c i o n a r o c h a p e u z i n h o .
V a l é r
i a V a
z
r
8
4 5 º 4 c m
V e j a n a f o t o g
r a f i a a o l a d o a s f o r m a s c i r c u l a r e s p r e -
s e n t e s e m u m a o b r a d e a r t e .
I l u s t r a ç õ e s : D A E
C Í R C U L O
E
C I L I N D R O
2 2 7
E x
e r c í c i o s
3
2 8
M a u r i c i o M o r a i s
M o e d a s
D i â m e t r o R a i o
P e r í m e t r o
Á r e a
R $ 0 , 2 5
R $ 0 , 5 0
2 , 5 c m
1 , 2 5 c m
7 , 8 5 c m
4 , 9 1 c m 2
2 , 3 c m
1 , 1 5 c m
7 , 2 2 c m
4 , 1 5 c m 2
A Q 4
2 1
6
A C 3 , 1 4 2 2 1
2 , 5 6
A r 2
8 , 5 6 c m 2
a )
b )
8 m
h 2 6
2 +
8 2 h 1
0
A s c
5 2
2
3
9 , 2 5
F o t o s : A r q u i v o p a r t i c u l a r
2 5 0
3 9 , 2 5 m 2
6 c m
A
3 , 1 4 3 2
2
A 1
4 , 1 3
1 4 , 1 3 c m 2
1
U t i l i z a n d o a u n i d a d e
d e s t a c a d a n o c a n t o
s u p e r i o r , i n d i q u e u m v a l o
r a p r o x i m a d o p a r a a
á r e a d e c a d a f i g u r a c o l o r i d a .
2
U m C D t e m 1 2 c m d
e d i â m e t r o . C a l c u l e
s u a á r e a . 1 1 3 , 0 4 c m 2
3
U t i l i z a n d o a f i g u r a , f a ç a a s m e d i ç õ e s n e -
c e s s á r i a s d a s m o e d a s e c o
m p l e t e a t a b e l a .
4
C a l c u l e a á r e a d o t a m p o d e m a d e i r a d a
m e s a r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a . 2 8 , 5 6 c m 2
5
O s d o i s a z u l e
j o s d a f i g u r a s ã o q u a d r a d o s
c o m 2 0 c m d e l a
d o . C a l c u l e a á r e a d a p a r t e
c o l o r i d a e m c a d a
u m d e l e s .
A Q 2
0 2 4
0 0
A C
3 , 1 4 2 0 2
4
3
1 4
A S 4
0 0 – 3 1 4 8
6
8 6 c m 2
a )
A Q 2
0 2 4
0 0
A C 3 , 1 4 1 0 2 3
1 4
A F 4
0 0 3
1 4 8
6
8 6 c m 2
b )
6
Q u a l é a á r e a d
a p a r t e s o m b r e a d a d a f i g u r a ?
4 c m
4 c m
6 c m
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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2 2 8
a )
b )
7
N u m a p l a c a d e m e t a l r e t a n g u l a r v ã o s e r
r e c o r t a d o s d i s c o s d e 5 0 c m d e r a i o . A p l a c a
t e m 2 m p o r 5 m
. A C 3 , 1 4 0 , 5
2 0 , 7 8 5
A R 2 5 1
0
A F 1
0 1
0 0 , 7 8 5 2 , 1 5
9 0 ° 3
8 , 4 7 c m 2 ( a p r o x . )
1 2 0 ° 5
1 , 2 9 c m 2 ( a p r o x . )
1 5 0 ° 6
4 , 1 0 c m 2 ( a p r o x . )
9 0 ° 1 2 0 °
1 5 0 °
A
1 5 2
8
7 0 6 , 5 8
8
8 , 3 1 ( a p r o x . )
A R 3 4 1
2
A T
3 2
2
3
A S C 1 , 5
2
2
1 , 1 2 5
A 1
2 + 3 + 1 , 1 2 5
1
5 + 1 , 1 2 5 1
8 , 5 3 2 5
4 c m
2 c m
3 c m
A C 2 2 4
3 , 1 4
A Q 2 2 4
A F 8 + 3 , 1 4 1
1 , 1 4
2 m
5 m
1 8 , 5 3 2 5 c m 2
1 1 , 1 4 c m 2
M a u r i c i o M o r a i s
a ) 2 c m 2
b ) c m 2
A
1 4
r 2
A
1 4
2 2
A
1 1 1
1
A
3 4
r 2
3 4 2 2 3
A 2
r 2 1 2
A 3
2
1
1 1 1
a ) Q u a l é o n ú m
e r o m á x i m o d e d i s c o s q u e p o -
d e m s e r r e c o
r t a d o s ? 1 0 d i s c o s
b ) Q u a l é a á r e
a d a p a r t e d a p l a c a d e m e t a l
d e s p e r d i ç a d a ? 2 , 1 5 m 2
8
C a l c u l e a á r
e a d a s f i g u r a s .
1 0
C a l c u l e a á r e a d a p a r t e c o l o r i d a d a f i g u r a ,
s a b e n d o
q u e o r a i o m e d e 2 c m .
1 1
U m a p i z z a d e f o r m a t o c i r c u l a r f o i d i v i d i d a
e m 8 p e
d a ç o s i g u a i s . S e a p i z z a t e m 3 0 c m d e
d i â m e t r o , q u a l é a á r e a d o s e t o r c i r c u l a r c o r r e s -
p o n d e n t e à s u p e r f í c i e d e c a d a u m a d a s f a t i a s ?
8 8 , 3 1 c m 2 ( a p r o x . )
1 2
C a l c u l e a á r e a d e c a d a s e t o r , s a b e n d o q u e
o r a i o d o g r á f i c o c i r c u l a r é d e 7 c m .
9
( F C M S C - S P ) U m l a g o c i r c u l a r d e 2 0 m d e
d i â m e t r o é c i r c u n d a d o p o r u m p a s s e i o , a p a r t i r
d a s m a r g e n s d o
l a g o , d e 2 m d e l a r g u r a . Q u a l
é a á r e a d o p a s s e i o ? 1 3 8 , 1 6 m 2
A L 1 0 2 1
0 0
A T 1 2 2 1
4 4
A P 1
4 4
1
0 0
4 4
1
3 8 , 1 6
l a g o
p a s s e i o
2 c m
2 c m
2 c m
2 c m
2
c m
2 c m
I l u s t r a ç õ e s : D A E
C Í R C U L O
E
C I L I N D R O
2 2 9
C i t e , j u n t a m e n t e c o m
s e u s c o l e g a s , e x e m p l o s d e o b j e t o s e c o n s t r u ç õ e s o n d e e n c o n t r a m o s a
f o r m a d o c i l i n d r o .
C a r a c t e r í s t i c a s d o c i l i n
d r o c i r c u l a r :
• É u m s ó l i d o g e o m é t r i c o .
• S u a s b a s e s s ã o d o i s c í r c u l o s p a r a l e l o s c o n g r u e n t e s .
• A p r e s e n t a s u p e r f í c i e
l a t e r a l c u r v a .
• A a l t u r a d o c i l i n d r o é a d i s t â n c i a e n t r e s u a s b a s e s .
P o d e m o s s e c c i o n a r u m
c i l i n d r o .
S e c c i o n a r e m M a t e m á
t i c a s i g n i f i c a c o r t a r p o r u m p l a n o .
Q u e f i g u r a s p l a n a s e n c o n t r a m o s q u a n d o s e c c i o n a m o s u m c i l i n d r o ?
2 .
Á r e a
d a s u p e r f í c i e e v o
l u m e
d e u m c i
l i n d r o
S a n d r a F a n z e r e s
b a s e
h ( a l t u r a )
b
a s e
P h o t o d i s c
P . S . S t u d i o
M a u r i c i o M o r a i s
1 . Q u e f i g u r a p l a n a o
b s e r v a m o s q u a n d o s e c c i o n a m o s u m c
i l i n d r o p a r a
l e l a m e n t e à s b a s e s ? C í r c u l o .
2 . Q u e f i g u r a p l a n a o
b s e r v a m o s q u a n d o s e c c i o n a m o s u m c
i l i n d r o p e r
p e n d i c u l a r m e n t e à s b a s e s ?
F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o
D A E
R e t â n g u l o .
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2 4 2 3
3 2 7 5
0 , 1 2
C o n f i r a o v a l o r
d o q u o c i e n t e c o m a c a l c u l a d o r a !
E u p e n s e i
d i f e r e n t e !
O
q u e v o c ê a c h o u d a s o l u ç ã o
p r o p o s t a p e l a A n a ?
1 2
1 0 0
N a l o j a B , o d
e s c o n t o é d e 1 5 % . O c o m p r a d o r p a g a r á
8 5 % d e R $ 2 8 0 , 0 0 , p o i s :
1 0 0 % 1
5 %
8
5 %
8 5 % 0 , 8 5
8 5 % d e 2 8 0
0 , 8 5 2 8 0 2
3 8
O p r e ç o à v i s t a n a l o j a B é R $ 2 3 8 , 0 0 .
C o n c l u í m o s q u e o m e l h o r p r e ç o à v i s t a p a r a e s s e a p a r e l h o d e s o m é o d a l o j a A .
A l o j a C n ã o
i n f o r m o u n o a n ú n c i o q u a l é a p o r c e n t a g e m d e d e s c o n t o o f e r e c i d a , m a s p o d e m o s
c a l c u l á - l a :
C o m o 2 7 5
2 4 2 3
3 , o d e s c o n t o é d e R $ 3 3 , 0 0 .
• R $ 3 3 , 0 0 c o r r e s p o n d e a q u e p o r c e n t a g e m d o p r e ç o o r i g i n a l d o p r o d u t o , q u e é R $ 2 7 5 , 0 0 ?
P a r a d e s c o b r i r , b a s t a c o m p a r a r e s s e s v a l o r e s p o r m e i o d e
u m a r a z ã o :
1
2 %
A l o j a o f e r e c e
u m d e s c o n t o d e 1 2 % n o p r e ç o d o p r o d u t o
p a r a p a g a m e n t o à v i s t a .
N a c a l c u l a d o r a . . .
P a r a d e t e r m i n a r 8 5 % d e 2 8 0
n a c a l c u l a d o r a , b a s t a d i g i t a r :
2 8 0
8 5 %
A p a r e c e n o v i s o r 2 3 8 .
M e s m o o f e r e c e n d o
u m
a p o r c e n t a g e m m a i o r d e
d e s c o n t o , o p r o d u t o s a i r á
m a i s c a r o n a l o j a B .
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
P O R C E N T A G E M
E
J U R O
2 4 3
O a l u g u e l d a c a s a
d o s e n h o r L i m a s e r á r e a j u s t a d o e s t e m ê s . A i m
o b i l i á r i a q u e a d m i n i s t r a o
i m ó v e l i n f o r m o u a e l e q u e , p a r a o b t e r o v a l o r d o n o v o a l u g u e l , d e v e r á m
u l t i p l i c a r o v a l o r d o a l u g u e l
a t u a l p o r 1 , 0 7 .
P e n s e , t r o q u e i n f o r m
a ç õ e s c o m o s c o l e g a s e r e s p o n d a :
1 . M u l t i p l i c a r p o r 1 , 0 7 e q u i v a l e a c a l c u l a r o v a l o r d o a l u g u e l c o m u
m a u m e n t o d e q u a n t o s p o r
c e n t o ? 7 %
2 . O v a l o r d o a l u g u e l d a c a s a d o s e n h o r L i m a é d e R $ 8 0 0 , 0 0 . Q u a n t o s e r á c o m o a u m e n t o ? R $ 8 5 6 , 0 0
R o g é r i o A l b u q u e r q u e / F o l h a I m a g e m
C u i d a d o ! S e v o c ê
a c h a q u e é d e 1 0 % ,
s e e n g a n o u !
2 . N o m e r c a d i n h o J J ,
o s p r e ç o s d e t r ê s a r t i g o s d e p e r f u m a r i a s o f r e
r ã o u m a u m e n t o d e 1 2 % .
V a m o s a j u d a r o C a r l o
s , q u e é f u n c i o n á r i o d o m e r c a d i n h o , a c a l c u l a r o s n o v o s p r e ç o s ?
C o m o o a u m e n t o s e r á d e 1 2 % , d e v e m o s s o m a r a o p r e ç o a n t i g o 1 2 % d o s e u v a l o r .
P r e ç o a n t i g o
1 0 0 %
P r e ç o c o m a u m e n t o
1 0 0 % 1
2 % 1
1 2 %
P o d e m o s o b t e r d i r e t a
m e n t e o p r e ç o c o m a u m e n t o c a l c u l a n d o 1 1 2 % d o p r e ç o a n t i g o :
1 1 2 %
1 , 1
2
S a b o n e t e :
1 1 2 % d e 0 , 7 5 1 , 1 2 0 , 7 5 0 , 8 4
R $
0 , 8 4
C r e m e d e n t a l :
1 1 2 % d e 1 , 5 0 1 , 1 2 1 , 5
1 , 6 8
R $
1 , 6 8
D e s o d o r a n t e :
1 1 2 % d e 2 , 4 0 1 , 1 2 2 , 4 0 2 , 6 8 8
R $
2 , 6 9
3 . O g e r e n t e d e u m a
l o j a d e a u t o m ó v e i s r e a j u s t o u o s p r e ç o s d e t o
d o s o s v e í c u l o s e m 2 0 % . E m
s e g u i d a , p u b l i c o u u m a n
ú n c i o o f e r e c e n d o d e s c o n t o d e 3 0 % e m t o d o o e s t o q u e .
C o m o o g e r e n t e s u b i u o s p r e ç o s a n t e s d a p r o m o ç ã o , o d e s c o n t o s
o b r e o p r e ç o i n i c i a l d o s a u t o -
m ó v e i s n ã o s e r á d e 3 0 %
. V a m o s c a l c u l a r o p o r c e n t u a l r e a l d e d e s c o n
t o ?
1 1 2
1 0 0
A r t i g
o
P r e ç o a n t i g o ( R $ )
P r e ç o c o m
a u m e n t o
( R $ )
S a b o n
e t e
0 , 7 5
C r e m e d
e n t a l
1 , 5 0
D e s o d o r a n t e
2 , 4 0
( A r r e d o n d a m o s p a r a
c e n t a v o s . )
L á p i s M á g i c o
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2 6 2 R
e f e
r ê n c i a s
b i b l i o g r á
f i c a s
B O R I N , J ú l i a .
J o g
o s e r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s : u m a e s t r a t é g i a p a r a a s a u l a s d e M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o :
I M E ; U S P , 1 9 9 5 .
B O Y E R , C a r l B . H
i s t ó r i a d a M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o : E d g a r d B l ü c h e r , 1 9 9 6 .
B R A S I L . M I N I S T É R I O D A E D U C A Ç Ã O . S e c r e t a r i a d e E d u c a ç ã o
F u n d a m e n t a l . P a r â m e t r o s C u r r i c u l a r e s
N a c i o n a i s d e M a t e m á t i c a . B r a s í l i a : S E F ; M E C , 1 9 9 8 .
C A R D O S O , V i r g í n i a C a r d i a .
M a t e r i a i s d i d á t i c o s p a r a a s q u a t r o o p e r a ç õ e s . S ã o P a u l o : I M E ; U S P , 1 9 9 2 .
C E N T U R I O N , M
a r í l i a .
C o n t e ú d o e m e t o d o l o g i a d a M a t e m á t i c a , n ú m e r o s e o p e r a ç õ e s . S ã o P a u l o :
S c i p i o n e , 1 9
9 4 .
D ’ A M B R Ó S I O , U
b i r a t a n .
D a r e a l i d a d e à a ç ã o – r e fl e x õ e s s o b
r e e d u c a ç ã o e M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o :
S u m m u s , 1 9 9 5 .
______________
___ .
E d u c a ç ã o m a t e m á t i c a : d a t e o r i a à p r á t i c a
. C a m p i n a s : P a p i r u s , 1 9 9 6 .
D I N I Z , M a r i a I g n
e z d e S o u z a V i e i r a ; S M O L E , K á t i a C r i s t i n a S t o c
c o .
O c o n c e i t o d e â n g u l o e o e n s i n o d e
g e o m e t r i a . S ã o P a u l o : I M E ; U S P , 1 9 9 2 .
G U E L L I , O s c a r . A
i n v e n ç ã o d o s n ú m e r o s . S ã o P a u l o : Á t i c a , 1 9 9 8 . v . 1 . ( C o l e ç ã o C o n t a n d o a H i s t ó r i a d a
M a t e m á t i c a
) .
I F R A H , G e o r g e s .
N ú m e r o s : a h i s t ó r i a d e u m a g r a n d e i n v e n ç ã o . R i o d e J a n e i r o : G l o b o , 1 9 9 2 .
K A M I I , C o n s t a n c e .
A r i t m é t i c a : n o v a s p e r s p e c t i v a s . I m p l i c a ç õ e s
d a t e o r i a d e P i a g e t . C a m p i n a s : P a p i r u s ,
1 9 9 2 .
K R U L I K , S t e p h e n ; R E Y S , R o b e r t E . ( O r g . ) .
A r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s n a m a t e m á t i c a e s c o l a r . S ã o P a u l o :
A t u a l , 1 9 9 7
.
L I M A , E l o n L a g e s .
Á r e a s e v o l u m e s . R i o d e J a n e i r o : A o L i v r o T é c n i c o , 1 9 7 5 . ( C o l e ç ã o F u n d a m e n t o s
d a M a t e m á
t i c a E l e m e n t a r ) .
M A C H A D O , N i l s o n J o s é .
C o l e ç ã o M a t e m á t i c a p o r A s s u n t o . S ã
o P a u l o : S c i p i o n e , 1 9 8 8 . v . 1 .
M O I S E , E ; D O W N S , F . L . G e o m e t r i a m o d e r n a . S ã o P a u l o : E d g a r d B l ü c h e r , 1 9 7 1 .
N E T O , E r n e s t o R
o s a .
D i d á t i c a d a M a t e m á t i c a . S ã o P a u l o : Á t i c a
, 1 9 8 7 .
P O L Y A , G e o r g e .
A a r t e d e r e s o l v e r p r o b l e m a s . R i o d e J a n e i r o : I n t e r c i ê n c i a , 1 9 7 8 .
R U B I N S T E I N , C l é a e t a l . M a t e m á t i c a p a r a o c u r s o d e f o r m a ç ã o d e
p r o f e s s o r e s . S ã o P a u l o : M o d e r n a , 1 9 7 7 .
S A N T O S , V â n i a
M a r i a P e r e i r a ( C o o r d . ) .
A v a l i a ç ã o d e a p r e n d i z a g e m
e r a c i o c í n i o e m
M a t e m á t i c a :
m é t o d o s a l t
e r n a t i v o s . R i o d e J a n e i r o : I M - U F R J ; P r o j e t o F u n
d ã o ; S p e c / P A D C T / C a p e s , 1 9 9 7 .
S T R U I K , D i r k J . H
i s t ó r i a c o n c i s a d a s M a t e m á t i c a s . L i s b o a : G r a d
i v a , 1 9 9 7 .
T R O T A , F e r n a n d o
; I M E N E S , L u i z M á r c i o ; J A K U B O V I C , J o s é .
M a t e m á t i c a a p l i c a d a . S ã o P a u l o : M o d e r n a , 1 9 8 0 .
W A L L E , J o h n A .
v a n d e .
M a t e m á t i c a n o E n s i n o F u n d a m e n t a l : f o r m a ç ã o d e p r o f e s s o r e s e a p l i c a ç ã o e m
s a l a d e a u l a
. P o r t o A l e g r e : A r t m e d , 2 0 0 9 .
Z A B A L L A , A n t o n i ( O r g . ) .
A p r á t i c a e d u c a t i v a : c o m o e n s i n a r . P o
r t o A l e g r e : A r t m e d , 1 9 9 8 .
2 6 3
M a
l h a
p a r a a s
a t i v i d a
d e s
M a l h a q u a d r i c u l a d a
C O N S E R V E S E U L I V R O .
T i r e
c ó p i a s d a m a l h a .
D A E
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2 6 8
2 1
. x
y 2
x – 3
( x , y )
– 2
– 7
( – 2 ; – 7 )
– 1
– 5
( – 1 ; – 5 )
0
– 3
( 0 ; – 3 )
1
– 1
( 1 ; – 1 )
2
1
( 2 ; 1 )
3
3
( 3 ; 3 )
0 , 5
– 2
( 0 , 5 ; – 2 )
2 2
. d
2 3
. b
2 4 . y x + 4
2 5
. p 2
t + 1
2 6
. b 3
n – 1 , e a f i g u r a 2 0 t e r á 5 9 b o -
l i n h a s
E x e r c í c
i o s
P á g i n a 1 1 3
2 7
. a
) R $ 3 5 , 0 0
b ) R $ 0 , 4 0
c ) R $ 0 , 2 0
2 8
. a
)
1 2 b ) A p e n a s o i t e m
1 é f u n ç ã o .
2 9
. R e s p o s t a p e s s o a l .
3 0
. d
P á g i n a 1 1 4
3 1
. a
) – 1 0 0 m i l r e a i s
b ) 2 0 0 m i l r e a i s
3 2
. d
3 3
. a
) 9 h o r a s
e ) 8 k m
b ) 1 h o r a
f ) 4 k m
c ) 3 h o r a s
g ) 1 h e 3 0 m
d ) S i m , 3 0 m i n .
h ) 1 8 k m
E x e r c í c
i o s
P á g i n a 1 2 2
3 4
. I e B ; I I e D ; I I I e A
; I V e C .
3 5
. a
)
x
y
2
4
1
2
0
0
1
2
2
4
5 4 3 2 1 0 – 1
– 2
– 3
– 4
– 5
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
x
y
x
0
1
2
4
y
4
0
2
2
x
0
2
4
4
y
2
2
2
– 1
b )
x
y
2
3
1
2
0
1
1
0
2
1
3 2 1 0 – 1
– 2
– 3
– 4
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
x
y
c )
x
y
2
5
1
4
0
3
1
2
2
1
3
0
5 4 3 2 1 0 – 1
– 2
– 3
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
x
y
d )
x
y
2
0
1 0
1
1
1 1 2
2
2
2 1 2 1
1
0
2
1
– 1
– 2
x
y 1 2
3 6
. O s g r á f i c o s d a s q u a t r o f u n ç õ e s s ã o r e -
t a s p a r a l e l a s .
3 7
. a
) S i m . R $ 3 , 0 0
c ) R $ 0 , 5 0
b ) N ã o .
d ) y 0 , 5 x + 3
3 8
. a
)
x
0
1
2
3
4
y
0
4
8
1 2
1 6
b ) D u p l i c a .
c ) É d i v i d i d o p o r 3 .
d ) y 4
x
P á g i n a 1 2 3
3 9
. a
) 2 0 m L
b ) 8 6 k g
c ) 2 , 5 m L
4 0
. 6 c m
4 1
. x
– 2
– 1
0
1
2
3
4
5
6
y
7
0
– 5
– 8
– 9
– 8
– 5
0
7
5 4 7 6 3 2 1 0 –
1 –
2 –
3 –
4 –
5 –
6 –
7 –
8 –
9
5
4
3
8
7
6
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
x
y
4 2
. x
– 1
0
1
2
3
4
5
y
– 8
– 3
0
1
0
– 3
– 8
5 4 3 2 1 0 – 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
5
4
3
8
7
6
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
x
y
4 3
. x
– 1
0
1
2
3
4
5
y
9
4
1
0
1
4
9
1 2
5 4 3 2 9 8 7 6 1 0 – 1
5
4
3
8
7
6
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
x
y
4 4
. c
I l u s t r a ç õ e s : D A E
2 6 9
R e v i s a n d o
P á g i n a 1 2 4
4 5
. a
) 8
c ) – 3
b ) 0
d ) 2 3
4 6
. a
) 7 0
b ) 2 7 4
c ) 2 ; 5
d ) – 1 ; 8
4 7
. 1 ) a 4 ,
b 6 , c 8 ,
d 7
2 ) a –
3 ,
b 4 , c –
3 ,
d –
1 7
4 8
. a
) R $ 7 5 0 , 0 0
b ) 2 0 0 m 2
c ) O p r e ç o a s e r c o b r a d o é u m a
f u n ç ã o
d a á r e a a s e r p i n t a d a .
4 9
. 1 7 h o r a s
5 0
. a
) 1 7 p a l i t o s
b ) 4 1 p a l i t o s c
) p
4 c + 1
P á g i n a 1 2 5
5 1
. 1 1 l i v r o s
5 2
. Q u a n t i d a d e
P r e ç o a p a g a r ( R $
)
1
0 , 7 0
2
1 , 4 0
3
1 , 4 0
4
2 , 1 0
5
2 , 8 0
6
2 , 8 0
7
3 , 5 0
8
4 , 2 0
9
4 , 2 0
1 0
4 , 9 0
5 3
. a
) 4 0 0 u n i d a d e s
b ) J u n h o ; 1 2 0 0 u n i d a d e s .
c ) D i m i n u i u ; 2 0 0 u n i d a d e s .
5 4
. G r á f i c o C
5 5
. 5 0 0 0 u n i d a d e s
P á g i n a 1 2 6
5 6
.
c )
3 2 1 0 – 1
– 2
– 3
– 4
– 5
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
x
y
d )
5 7
. a
) y 2
x + 5
b )
x
3
2
1
0
y
1 1
9
7
5
5 4 3 2 9 8 7 1 1
1 0 6 1 0
5
4
3
7
6
2
1
x
y
c ) 4 r e f r i g e r a n t e s
5 8
.
x
0
1
2
3
4
5
6
y
0
5
8
9
8
5
0
x
2
1
0
1
2
y
3
1 , 5
0
1 , 5 3
5 4 3 2 1 0 – 1
– 2
– 3
– 4
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
x
y
x
2
1
0
1 2
y
7
3
1 5 9
5 4 3 2 9 8 7 6 1 0 –
1 –
2 –
3 –
4 –
5 –
6 –
7 –
8 –
9
5
4
7
6
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
x
y
b )
x
2
1
0
1 2
y
3 2 1
0
1
x
2
1
0
1 2
y
3 2
1
1 2
0
1 2
– 2
5 4 3 2 1 0 – 1
5
4
3
2
1
– 1
– 3
– 4
– 5
x
y
5 4 3 2 9 8 7 6 1 0 –
1
5
4
3
8
7
6
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
x
y
5 9
. a
) ( 1 ; 0 ) e ( 5 ; 0 )
b ) ( 0 ; 5 )
c )
x
3
1
5
5 4 0
y
6 0
. a
) C 2
0 + 1 2 t
b ) R $ 5 0 , 0 0
c ) 1 h o r a e 1 5 m i n u t o s
6 1
. a
P á g i n a 1 2 7
6 2
. a
) P 8
x
c ) D 5
x
b ) A 3
x 2
d ) 1 2 c m
6 3
. a
) 1 3 p a l i t o s
c ) 3 1 p a l i t o s
b ) 1 6 p a l i t o s
d ) ( 3 n + 1 ) p a l i t o s
6 4
. 1 5 k m
6 5
. a
) E ;
b ) C ; c ) E ; d ) E ; e
) C
P á g i n a 1 2 8
6 6
. a
) 9 3 m i l h õ e s d e h a b i t a n t e s
b ) 2 3
6 7
. G r á f i c o B .
D e s a f i o s
6 8
. G r á f i c o A .
6 9
. 1 9
A u t o a v a l i a ç ã o
P á g i n a 1 2 9
7 0
. a
7 1
. d
7 2
. c
7 3
. d
7 4
. c
P á g i n a 1 3 0
7 5
. b
7 6
. a
7 7
. b
7 8
. b
P á g i n a 1 3 1
7 9
. c
8 0
. b
8 1
. a
8 2
. b
8 3
. b
8 4
. b
a )
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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C O L E G A
P R O
F E S S O R
C O L E G A
P R O
F E S S O R
E s t e m a n u a l t e
m d i v e r s o s o b j e t i v o s :
• R e v e l a r i d e i a s p r e s e n t e s n a c o n c e p ç ã o d e s t a c o l e ç ã o d e M a t e m á t i c a ,
e s c l a r e c e n d o
s u a p r o p o s t a p e d a g ó g i c a .
• C o n t r i b u i r p a r a o p r o c e s s o d e f o r m a ç ã o c o n t í n u a
d o d o c e n t e , a p r e s e n -
t a n d o t e x t o s e a r t i g o s c u j a l e i t u r a p r o p i c i a a r e fl e x
ã o s o b r e e d u c a ç ã o e
p r á t i c a s m e t o d o l ó g i c a s .
• F o r n e c e r s u
b s í d i o s p a r a e n r i q u e c e r a s a u l a s o f e
r e c e n d o o r i e n t a ç õ e s
e s p e c í fi c a s p
a r a o t r a b a l h o c o m o L i v r o d o A l u n o ,
s u g e s t õ e s d e t e x t o s ,
a t i v i d a d e s p
r o p o s t a s p a r a a v a l i a ç ã o e i n t e g r a ç ã o
c o m o u t r a s á r e a s d o
c o n h e c i m e n
t o .
• R e fl e t i r s o b r e o p r o c e s s o d e a v a l i a ç ã o e m M a t e m á t
i c a p r o p o n d o i d e i a s e
s u g e r i n d o i n
s t r u m e n t o s e e s t r a t é g i a s q u e p o s s a m l h
e s e r ú t e i s .
E s p e r a m o s q u e e s t e m a n u a l o a u x i l i e e m s e u t r a b a l h o
, c o n t r i b u i n d o p a r a o
s u c e s s o d e s e u s a l u n o s .
O s a u t o r e s
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