ppt clase de geometría de proporción i
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GeometríaGeometría20102010
Propiedad Intelectual Cpech
Clase Clase Geometría de Proporción IGeometría de Proporción I
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APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.
Propiedad Intelectual Cpech
1. Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
Propiedad Intelectual Cpech
3.5 Postulados de semejanza
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
Propiedad Intelectual Cpech
1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
Propiedad Intelectual Cpech
A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
Propiedad Intelectual Cpech
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
Propiedad Intelectual Cpech
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
1212
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
Propiedad Intelectual Cpech
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4 Área = 4
Propiedad Intelectual Cpech
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
A
E
D
C
B
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
Propiedad Intelectual Cpech
A
E
D
C
B
G
F
J
I
H
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Propiedad Intelectual Cpech
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
Propiedad Intelectual Cpech
P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.
= k
Propiedad Intelectual Cpech
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
Propiedad Intelectual Cpech
Recuerda: Teorema de Euclides
hC = a · bc
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo:Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
Propiedad Intelectual Cpech
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k 5
10= 1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
Propiedad Intelectual Cpech
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdemás
Propiedad Intelectual Cpech
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
E
F
D
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
Propiedad Intelectual Cpech
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además BAC=DFE y CBA=FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
=
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
4 10
Q
R
P
6
Solución:
10QR
46
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
ABPR
10QR
46
= =
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ
= = = k Con k razón de semejanza
Propiedad Intelectual Cpech
4. División de un segmento4.1 División interior
CA B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB
= m n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
Propiedad Intelectual Cpech
QA B
45
AQQB
= 35
Solución:
AQ45
= 35
AQ =3∙45
5
AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
Propiedad Intelectual Cpech
4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD
= m n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
Propiedad Intelectual Cpech
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
20∙2
5
BD = 8
BA D812
20Solución:
Propiedad Intelectual Cpech
4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m
ACCB
= = nADBD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
Propiedad Intelectual Cpech
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
12+y y
Solución:
x y
ACCB
= 32
= 32
3x = 2(12 - x) 12- x x
3x = 24 - 2x5x = 24
ADBD
= 32
= 32 24 + 2y = 3y
365
x = 245
24 = y
245
24A C B D
12 - x
12
Propiedad Intelectual Cpech
4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX
= AX BX
ó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?
5
Propiedad Intelectual Cpech
Solución:
(AP)2 = (AP + 5)∙5
(AP)2 = 5∙AP + 25
(AP)2 - 5∙AP - 25 = 0
5
PA B
(AP)2 = AB∙PB
Propiedad Intelectual Cpech
Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, en las páginas 273, 274 y 276.
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Equipo Editorial: Patricia ValdésOlga OrchardPablo Espinosa
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