position et vitesse d’une particule quantique l’équation
Post on 18-Jun-2022
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Positionetvitessed’uneparticulequantique
L’équationdeSchrödingergénérale
Chapitre2
JosephFourier1768-1830
WilliamR.Hamilton1805-1865
Laparticulelibreenmécaniquequantique
Enmécaniquequantique,l’étatd’uneparticuleponctuelleestdécritparunefonctiond’onde(onselimiteraiciaucasàunedimension)
Descriptionprobabiliste:Unemesuredepositiondonneralerésultatàprèsaveclaprobabilité
Silaparticuleestlibre,c’est-à-diren’estsoumiseàaucuneforce,niaucunemesure,l’évolutiondeestdonnéepar
Evolutiondansletemps:
ψ(x, t)
x
ψ(x, t)
i!∂ψ
∂t= − !2
2m
∂2ψ
∂x2
dP = |ψ(x, t)|2 dx
dx
P(x, t) = |ψ(x, t)|2densitédeprobabilité:
Questionscentralesducoursd’aujourd’hui
Quetrouve-t-onquandonmesurelavitesseoul’impulsiond’uneparticule?
Les relations d'incertitude de Heisenberg.
Notiond’opérateurpositionetd’opérateurimpulsion
EquationdeSchrödingerenprésenced’unpotentielV (x)
Ils’agitégalementd’unrésultatprobabiliste,avecunedensitédeprobabilitéreliéeàlatransforméedeFourierdeψ(x, t)
Peut-onconnaîtreàlafoislapositionetl’impulsiond’uneparticule?
1.
LatransformationdeFourier
propagationdelachaleur
∂u(x, t)∂t
= D∂2u(x, t)
∂x2
DessériesdeFourieràlatransformationdeFourier
Fonctionpériodiquedeclasseg(t)
g(t) C2T
ω0 =2π
T
Convergenceuniforme,
g(t) =+∞∑
n=−∞fn e−inω0t
fn =1T
∫ T
0e−inω0t g(t) dt
t
g(t)
t
Peut-onexprimercommeunesomme« continue »d’exponentiellesoscillantes?e−iωt
g(t)
g(t) =∫ +∞
−∞f(ω) e−iωt dω
?
Sioui,commenttrouverconnaissant?f(ω) g(t)
LatransformationdeFourier,ducoursdemathsaucoursdephysique
Maths(polycopiédetronccommun,chapitre7):laTFestdéfiniedansL1(fonctionssommables)
Physique:laTFestdéfinidansL2(fonctionsdecarrésommable)
1D:
Onutiliseaussil’espaceSdeSchwartz:fonctionsdécroissantplusvitequetoutepuissancedexàl’infini
f −→ f
ϕ(p) :=1√2π!
∫ +∞
−∞e−ixp/! ψ(x) dx
f(ξ) :=∫
RN
e−iξ·x f(x) dx
C∞
mêmes’ilfautsesouvenirdelavaleurdusignedans
LespropriétésessentiellesdelaTFpourlaphysique(I)
Connaissant,oncalculeenutilisant
Inversement,peut-onreconstruiresionconnaîtsaTF?
OUI!
OnditpoursimplifierqueetsontTFl’unedel’autre,
TF
ϕ(p) =1√2π!
∫ +∞
−∞e−ixp/! ψ(x) dx
ψ(x) =1√2π!
∫ +∞
−∞eixp/! ϕ(p) dp
ψ(x)
ψ(x)
ϕ(p)
ϕ(p)
ϕ(p)ψ(x)
ψ(x) ϕ(p)
e±ixp/!
Siestnormée,alorsl’estégalement:
LespropriétésessentiellesdelaTFpourlaphysique(II)
LaTFestuneisométriepourl’espaceL2TF TF
Notationcompacte: 〈ψ1|ψ2〉 = 〈ϕ1|ϕ2〉
1 = 〈ψ|ψ〉 = 〈ϕ|ϕ〉Notationcompacte:
ψ1(x) ψ2(x) ϕ2(p)ϕ1(p)
∫ψ∗
1(x) ψ2(x) dx =∫
ϕ∗1(p) ϕ2(p) dp
1 =∫
|ψ(x)|2 dx =∫
|ϕ(p)|2 dp
dψ(x)dx
=1√2π!
∫eixp/! ip
! ϕ(p) dp
LespropriétésessentiellesdelaTFpourlaphysique(III)
OnendéduitlaTFdeladérivéedeparrapportàx:
Dérivationdansl’espacedesx=
multiplicationdansl’espacedesp
DérivationettransforméedeFourier
Onpartde
etonsupposequ’onpeutdériversouslesigneintégral(OKdansl’espaceS)
TF
TF[ ]
ψ(x) ϕ(p)
ψ(x) =1√2π!
∫eixp/! ϕ(p) dp
dψ(x)dx
ip! ϕ(p)
2.
Ladistributionenimpulsiond’uneparticulequantique
Commentfaireunemesuredevitesseoud’impulsion?
Al’instant,laparticuleapourfonctiond’ondet = 0 ψ(x, 0)
x
|ψ(x, 0)|2
〈x〉0
Méthodedetempsdevol:laparticuleévoluependantuntempstsuffisammentlongdesorteque(onpeutmontrerquequand)∆xt ! ∆x0
x
Probabilitépourquelaparticuleparcourtladistancependantletempst?≈ L
∆xt
L
L’analyserigoureusedeceproblèmeestfaiteauchapitre2,§6(horsprogramme)
∆x0
〈x〉0 x = 〈x〉0 + L
∆xt ∝ t t→∞
Ladensitédeprobabilitépourl’impulsion
Proposition:siuneparticuleestdansl’état,alorsladistributiondeprobabilitépoursonimpulsionest:
TF
Est-cemathématiquementpossible?
Classiquement,unefoisconnuelatrajectoiredelaparticule,ondéfinitl’impulsiondelaparticulepar:
Retrouve-t-oncerésultatauniveauquantiquepourlesvaleursmoyennes?
Est-cephysiquementréaliste?
Onavuqueestnorméesiestnormée,donc
peutdoncbienêtreunedensitédeprobabilité
x(t)
P(p) = |ϕ(p)|2
ψ(x)
ψ(x) ϕ(p)
ϕ(p) ψ(x)∫P(p) dp = 1
P(p)
p = mdx
dt
Impulsionmoyenned’uneparticulelibrequantique
Auniveauquantique,onsaitcalculerl’évolutiondelapositionmoyennedelaparticuleenfonctiondutemps:
x x
Trouve-t-onsiondéfinit
par?
〈p〉t
|ψ(x, 0)|2 |ψ(x, t)|2
〈x〉0 〈x〉t
〈x〉t =∫
x |ψ(x, t)|2 dx〈x〉0 =∫
x |ψ(x, 0)|2 dx
〈p〉t =∫
p |ϕ(p, t)|2 dp
〈p〉t = md〈x〉t
dt
Unrésultatutilepourlasuiteducours
Comments’exprime
Onréécritcettevaleurmoyennesouslaforme:
enfonctionde?ψ(x)
ψ(x)ϕ(p) TF
isométrie:
ϕ∗1(p) = ϕ∗(p) TF ψ∗
1(x) = ψ∗(x)
ϕ2(p) = p ϕ(p) TFdérivation:
d’oùlerésultat:
〈p〉 =∫
p |ϕ(p)|2 dp
〈p〉 =∫
ϕ∗(p) p ϕ(p) dp
∫ϕ∗
1(p) ϕ2(p) dp =∫
ψ∗1(x) ψ2(x) dx
ψ2(x) =!i
dψ(x)dx
〈p〉 =∫
ψ∗(x)!i
dψ(x)dx
dx
Retouràlaquestion:?
L’évolutiondelapositionmoyennedelaparticuleestdonnéepar
Oninjectealorsl’évolutiondonnéeparl’équationdeSchrödinger
i!∂ψ
∂t= − !2
2m
∂2ψ
∂x2−i!∂ψ∗
∂t= − !2
2m
∂2ψ∗
∂x2
Intégrationsparpartiesensupposantquetendvers0quand|x|→∞ψ
àvérifierenexercice
Questionrésolue!
= 〈p〉t (cf.diapoprécédente)
〈p〉t = md〈x〉t
dt
d〈x〉t
dt=
ddt
∫x ψ∗(x, t) ψ(x, t) dx =
∫x ψ∗ ∂ψ
∂tdx +
∫x
∂ψ∗
∂tψ dx
md〈x〉t
dt= −i!
∫ψ∗ ∂ψ
∂xdx
3.
Opérateursposition,impulsion,énergie
et
l’équationdeSchrödingergénérale
Positionetimpulsionenmécaniquequantique
Valeurmoyennedelaposition:
Valeurmoyennedel’impulsion:
multiplicationparx
Structurecommuneentermed’opérateur:
ψ(x) x−→ x ψ(x)
dérivationparrapportàx(àprès)
Nousgénéraliseronsplustardcettestructureàtoutequantitéphysique
=∫
ψ∗(x) x ψ(x) dx〈x〉 =∫
x |ψ(x)|2 dx
〈p〉 =∫
p |ϕ(p)|2 dp
〈p〉 =∫
ψ∗(x) [p ψ(x)] dx
〈x〉 =∫
ψ∗(x) [x ψ(x)] dx
=∫
ψ∗(x)!i
dψ
dxdx
ψ(x) p−→ !i
dψ(x)dx
Retoursurl’équationdeSchrödingerpouruneparticulelibre
Nousavonsquel’évolutiondelafonctiond’onded’uneparticulelibreétaitrégieàunedimensionparl’équation:
i!∂ψ
∂t= − !2
2m
∂2ψ
∂x2
ψ(x, t)
Cetteéquationpeutseréécrireenutilisantl’opérateurimpulsion
i!∂ψ
∂t=
p2
2mψ avec
ouencore i!∂ψ
∂t= Hψ avec H =
p2
2m
estl’opérateur« énergiecinétique »,quicoïncideiciavecl’énergietotalecaraucunpotentieln’estprisencompteH
EquationdeSchrödinger=lientemps-énergie
ψ(x) p−→ !i
∂ψ(x)∂x
L’équationdeSchrödingerenprésenced’unpotentiel
V(x)
x
Nousallonsgarderlastructurei!∂ψ
∂t= Hψ
enincluantdanstouteslescontributionsàl’énergiedelaparticule:cinétiqueetpotentielle
H
avec
Equivalentquantiqueduprincipefondamentaldeladynamique(Newton)
L’équationdeSchrödingerquirégitl’évolutiondelafonctiond’onded’uneparticuledemassemenmouvementdanslepotentielV(x)s’écrit:
Principe2(casgénéral)
ψ(x, t)
i!∂ψ
∂t= Hψ H =
p2
2m+ V (x)
Hψ(x, t) = − !2
2m
∂2ψ(x, t)∂x2
+ V (x)ψ(x, t)Ecritureexplicite:
:opérateurénergietotaleou« Hamiltonien »H
PourquoiHamilton?
Mathématicien,physicien,astronomeirlandais
Parlait10languesà12ans
Inventeurdesquaternions,contributionsmajeuresàl’analysevectorielleetàl’algèbrelinéaire(th.deCayley-Hamilton)
Lamécaniquenewtoniennecorrespondàlamêmelimitequel'optiquegéométriqueparrapportàl'optiqueondulatoire
AprèsLagrange,ilreformulelamécaniquedeNewton
Effectuelasynthèseentrel'optiqueondulatoireetl'optiquegéométrique
1805-1865
optiquegéométrique
optiqueondulatoire
mécaniquenewtonienne ?
4.
Paquetsd’ondeset
inégalitédeHeisenberg
Interprétation«physique»delaTF
estunesuperpositiond’ondesdedeBroglie
Premieramphi:onavul’ondededeBroglieassociéeàuneparticuled’impulsion,maiscetteonden’estpasnormalisée
Aujourd’hui:toutefonctiond’ondenormaliséepeuts’écrire
représentel’amplitudedel’ondedanscedéveloppement
++ =
paquetd’ondes
p0
ψ(x) =1√2π!
∫eixp/! ϕ(p) dp
ψ(x)
ϕ(p) eixp/!
ψ(x) = eixp0/!
eixp/!
Développementd’unvecteursurunebaseorthonormée
Élémentàdévelopper
Typedesomme
Vecteursdebase
«poids»d’unvecteurdebase
normalisation
LaTFestsimilaireaudéveloppementsurunebase
àrelierà
sommediscrète intégrale
Onpeutformalisercetteanalogieenintroduisantlanotiondebasecontinue.Horsprogrammepourcecours(baseshilbertiennesdansl’amphi5)
ψ(x) =1√2π!
∫eixp/! ϕ(p) dp
up(x) = eixp/!/√
2π!∫
|ϕ(p)|2 dp = 1
!A { !un }
!A =∑
n
ϕn !un
vecteur !A fonction ψ(x)
!un
∑
n
|ϕn|2 = 1
|ϕn|2 |ϕ(p)|2
L’exempled’unpaquetd’ondes« gaussien »
LescalculsdeTFpeuventêtremenésanalytiquementaveclesgaussiennes
〈p〉 = p0
∆p = q
moyenne:écart-type:
Quelleestlafonctiond’ondecorrespondante?ψ(x)
p
p0
P(p)
2∆p
moyenne:écart-type:
〈x〉 = 0∆x =
!2q
Pourcepaquetd’ondesgaussien,onatoujours: ∆x ∆p =!2
Re(ψ)
x
2∆x
h/p0
ψ(x) ∝ eip0x/! e−q2x2/!2
P(x) ∝ e−2q2x2/!2
ϕ(p) ∝ e−(p−p0)2/(4q2) P(p) ∝ e−(p−p0)
2/(2q2)
Deuxcaslimitesintéressantsdupaquetgaussien
Lepaquetquasi-monocinétique:∆p! p0
Ilyaalorsbeaucoupd’oscillationsdeavecuneamplitudesimilairecar
λ =h
p0! ∆x =
!2 ∆p
ψ(x)
Lepaquetbienlocalisé:∆x ≈ λ
L’impulsionestalorsmaldéfinie:∆p ≈ p0
Re(ψ)
:unpaquetnepeutpasêtreàlafoisbienlocaliséetquasi-monocinétique∆x ∆p =!2
Re(ψ)
x
x
∆x
λOnretrouveuneondeplanedanslalimite∆p→ 0
L’inégalitédeHeisenbergdanslecasgénéral
Onsedonneunefonctiond’ondenormalisée,deTFψ(x) ϕ(p)
P(p) = |ϕ(p)|2
P(x) = |ψ(x)|2
∆x =[〈x2〉 − 〈x〉2
]1/2
Distributiondeprobabilitépourlapositiondelaparticule:
Distributiondeprobabilitépourl’impulsiondelaparticule:
∆p =[〈p2〉 − 〈p〉2
]1/2
Onatoujours:∆x ∆p ≥ !2
égalitéatteinteseulementpourlesgaussiennes
cf.PC
〈p〉 =∫
p |ϕ(p)|2 dp
〈x〉 =∫
x |ψ(x)|2 dx
Significationphysiquedel’inégalitédeHeisenberg
Ilestimpossibledeprépareruneparticuledansunétattelquelapositionetl’impulsiondelaparticulesoientsimultanémentarbitrairementbiendéfinies
Onconsidère2Nparticulestoutespréparéesdanslemêmeétat
MesuredelapositionsurNparticules Mesuredel’impulsionsurNparticules
ψ(x) TF←→ ϕ(p)
x p
n(p)n(x)
〈x〉∆x ∆p
〈p〉
∆x ∆p ≥ !2
Ceshistogrammesnepeuventpasêtresimultanémentarbitrairementétroits
Cetterelationd'incertituden'arienàvoiraveclarésolutiondesappareilsdemesure,c'est-à-direlalargeurdescanauxdeshistogrammes
Lecasmulti-dimensionnel
Considéronslemouvementd’uneparticuledansunplan0xy
ψ(x, y) ϕ(px, py)TF
avec
Onpeutdémontrercommeà1DlesinégalitésdeHeisenberg:
∆x∆px ≥!2
∆y ∆py ≥!2
Enrevanche,onpeuttrouverdessituationsoù∆x∆py <!2
ϕ(px, py) =1
2π!
∫∫ei(xpx+ypy) ψ(x, y) dxdy
x
InégalitédeHeisenbergetdiffraction
particulesincidentesavecuneimpulsionselonxarbitrairementfaibley
a Ons’intéresseauxparticulesqui« passentparletrou ».Onconnaîtdoncleurpositionselonxavecuneprécision Qu’enest-ildeleurimpulsionselonx?
∆x ∼ a
λ =h
py
Diffraction! θ =λ
a
θ
∆px ∼λ
apy
∼ h
a
∆x ∆px ∼ h
Lacomposanteselonxdel’impulsiondesparticulestransmisesn’estconnuequ’àprès.∆px ∼ θ py
(onsupposepoursimplifier)θ ! 1
Lastabilitédelamatière(1)
La« catastrophe »durayonnementclassiquepourunatome:
unechargeaccéléréerayonne
unélectrontournantautourd’unnoyauestaccéléré
l’énergied’unélectronautourd’unnoyauponctueln’estpasbornéeinférieurement
Mouvementcirculaireuniformeavecl’énergiepotentielleV (r) = − q2
4πε0r
équilibredesforces: mv2
r=
q2
4πε0r2
énergiecinétique: Ecin =12
q2
4πε0r
Etot = Ecin + V (r) = −12
q2
4πε0rénergietotale: Etot → −∞
r → 0
Lastabilitédelamatière(2)
Lesatomessauvésparl’inégalitédeHeisenberg…
Confineruneparticuledansunerégiond’étendueL« coûte »del’énergiecinétique:
∆x ≤ L ∆p ≥ !2L
Ecin ∼∆p2
2m≥ !2
8mL2
Si« l’orbite »del’électronatomiqueauneextensiontropfaible,cecoûtenénergiecinétiquel’emportesurlegainenénergiepotentielle.
Minimumdeatteintpour!2
8mL2− q2
4πε0LL =
!2
4m(q2 / 4πε0)
Raisonnementnonrigoureux,maisquidonnebien(àunfacteurnumériqueprès)lerayondeBohr,c’est-à-direlatailledel’étatfondamentaldel’atomed’hydrogène
Enrésumé
Distributiondeprobabilitépourlapositionetpourl’impulsion|ψ(x)|2 |ϕ(p)|2
TF ∆x∆p ≥ !2
Structureopératorielle:
ψ(x) x−→ x ψ(x)Opérateurposition:
Opérateurimpulsion:
EquationdeSchrödingergénérale:
H =p2
2m+ V (x)Opérateurénergieou« Hamiltonien »
i!∂ψ
∂t= Hψ
〈p〉 =∫
ψ∗(x) [p ψ(x)] dx
〈x〉 =∫
ψ∗(x) [x ψ(x)] dx
ψ(x) p−→ !i
∂ψ(x)∂x
top related