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MÉCANIQUE QUANTIQUE

Table des matières

Introduction ....................................................................................................................................................... QM 1 L'effet photoélectrique ....................................................................................................................................... QM 2 Hypothèse photonique ....................................................................................................................................... QM 5 Étude expérimentale de l'effet photoélectrique ................................................................................................. QM 7 Modèles de représentation de la lumière ......................................................................................................... QM 10 Quantité de mouvement des photons ............................................................................................................... QM 10 Les électrons montrent des caractéristiques ondulatoires ............................................................................... QM 13 Les ondes de de Broglie dans l'enveloppe atomique ....................................................................................... QM 15 Les électrons dans le champ électrique ........................................................................................................... QM 17 Les rayons des trajectoires dans le modèle atomique de Bohr ........................................................................ QM 19 États d'énergie discrets .................................................................................................................................... QM 20 Le spectre de l'hydrogène ................................................................................................................................ QM 22 Le laser ............................................................................................................................................................ QM 25 Recueil d'exercices ........................................................................................................................................ QM 27

Formulaire ...................................................................................................................................................... QM 30

Mécanique quantique 13GE − 2013/14 QM1

MÉCANIQUE QUANTIQUE

Introduction

Vers la fin du 19e siècle, la mécanique de Newton et la théorie de Maxwell de l'électromagnétisme étaient considérées comme les piliers inamovibles de la physique classique. En raison des grands succès de ces théories, maint physicien croyait qu'il n'y aurait plus de grandes découvertes à faire en physique.

Cependant, certains résultats expérimentaux ont montré que ces théories ne pouvaient pas tout expliquer. La stabilité des atomes et l'émission de spectres de raies posaient ainsi entre autres de très grands problèmes à la physique classique (voir chapitre: atome d'hydrogène). La puissance de rayonnement thermique déterminée expérimentalement de corps incandescents en fonction de la fréquence ne pouvait pas non plus être décrite par la théorie. Max Planck (1859 - 1947) a trouvé en 1900 par l'utilisation de la physique statistique la formule générale de rayonnement recherchée de ce qu'on appelle un 'corps noir' (fig. 1). Pour cela, Planck fut cependant forcé de supposer que les particules atomiques (fig. 2) n'absorbaient ou n'émettaient pas l'énergie de manière continue, mais par portions d'énergie, appelées quantums d'énergie. Chaque quantum d'énergie correspond à la grandeur h ⋅ f.

Cette découverte d'un nouveau genre a été notamment confortée par les travaux d'Albert Einstein (1879 - 1955) sur l'effet photoélectrique. En 1905, il a réussi, avec la même hypothèse des quantums à décrire correctement la distribution d'énergie des électrons détachés d'une surface métallique par la lumière. En conséquence, chaque onde lumineuse a également des propriétés corpusculaires. Ces particules de lumière sont appelées photons.

Niels Bohr (1885 - 1962) a expliqué peu après à l'aide de l'hypothèse quantique les couleurs de la lumière émise par les atomes. Louis de Broglie (1892 - 1987) a élargi en 1924 à toutes les particules de matière le dualisme particule-onde constaté pour la lumière. À chaque particule sont affectées des propriétés ondulatoires et sont ainsi décrites à l'aide d'ondes matérielles. En 1926, Max Born (1882 - 1970) a trouvé une explication pour la propriété qui 'oscille' dans une onde matérielle : elle est une mesure de la probabilité de rencontrer en un endroit donné la particule correspondant à l'onde. Erwin Schrödinger (1887 - 1961) a développé également en 1926 une équation à l'aide de laquelle on peut calculer le comportement spatial et temporel des ondes matérielles. Cette équation de Schrödinger est une des équations fondamentales de la physique.

1. Max Planck (1859 - 1947) a obtenu le prix Nobel en 1920 pour ses travaux. Il est connu notamment pour l'étude du rayonnement des corps noirs.

2. Trace d'un électron qui a été arraché à un atome d'hydrogène. Dans le champ magnétique, l'électron suit une trajectoire incurvée. Les électrons se comportent comme des particules.

3. La lumière forme un motif d'inter-férence lorsqu'elle tombe p. ex. à tra-vers une fente. La lumière se comporte donc comme une onde.


L'effet photoélectrique

Heinrich Hertz (1857 - 1894) a découvert lors de ses expériences de décharges disruptives pour la génération d'oscillations électriques rapides que la lumière, en particulier la lumière ultraviolette, a une influence sur la longueur de la distance d'éclatement. Cet effet a été étudié par de nombreux scientifiques, parmi lesquels Wilhelm Hallwachs (1859 -1922). Hallwachs a pu montrer que la lumière ultraviolette déchargeait des plaques métalliques chargées négativement, mais que les plaques métalliques chargées positivement conservaient par contre leur charge. Philipp Lenard (1862 -1947) a prouvé que des électrons étaient arrachés de la plaque lors de ce processus. Bien que l'effet fût expliqué sur le plan expérimental, la description théorique posait cependant les physiciens devant de très grands problèmes. La théorie de la nature ondulatoire de la lumière confirmée par de nombreuses expériences ne pouvait en effet pas expliquer l'effet photoélectrique. C'est le grand mérite d'Albert Einstein (1879 - 1955) d'avoir décrit complètement l'effet photoélectrique en faisant appel à l'hypothèse des quantums de Planck.

L'effet photoélectrique (également appelé émission photoélectrique) décrit l’expulsion de particules chargées négativement (électrons) hors d'un matériau lorsque celui-ci est frappé par un rayonnement électro-magnétique (par exemple de la lumière visible ou ultraviolette).

Expérience fondamentale de l’effet photoélectrique

• Une plaque de zinc venant d'être passée au papier de verre est fixée à un électroscope et chargée négativement (fig. 1). Lorsqu'on irradie cette plaque de zinc chargée négativement avec la lumière d'une lampe à vapeur de mercure à haute pression (fig. 2), on observe la décharge de l'électroscope; il perd son excès d'électrons. Ce processus s'observe encore lorsqu'on diminue l'intensité lumineuse; pour une grande intensité lumineuse, le phénomène est plus rapide, pour une faible intensité lumineuse, il est plus lent.

intensité relative

Longueur d'onde (nm)

2. Spectre d'émission d'une lampe à vapeur de Hg. Selon la tension de vapeur, les raies d'émission sont plus ou moins nombreuses et peuvent s'étendre à haute pression jusque dans le domaine UV. Une vitre permet de filtrer une grande partie du rayonnement UV.

1. Montage expérimental pour l'effet photoélectrique. La lumière d'une lampe à vapeur de mercure conduit à la décharge d'une plaque de zinc chargée négativement. Si on place une plaque de verre dans le cheminement du rayonnement, on n'observe pas de décharge.


• Une plaque de zinc chargée positivement n'est pas déchargée par la lumière de la lampe à vapeur de mercure; les électrons qui sont détachés de la plaque sont à nouveau attirés vers la plaque chargée positivement.

La lumière peut arracher des électrons à une plaque métallique. Ceux-ci peuvent être libérés dans l'environnement par la plaque chargée négativement. Dans le cas d'une plaque chargée positivement, ils ne peuvent pas quitter celle-ci.

• Si on absorbe la fraction UV de la lumière en plaçant par exemple une plaque de verre (tab. 1) entre la lampe à vapeur de mercure et la plaque métallique, il ne se produit pas de décharge de la plaque de zinc chargée négativement. Cette observation est indépendante de l'intensité lumineuse, c.-à-d. que, même si l'intensité lumineuse est très élevée (p. ex. plusieurs lampes) la plaque ne se décharge malgré tout pas.

On peut donc faire les observations suivantes lors de l'irradiation d'une plaque de zinc chargée négativement à l'aide d'une lampe à vapeur de mercure:

lumière infrarouge → pas de décharge

lumière visible → pas de décharge

lumière ultraviolette → décharge!

Pour un matériau déterminé, l'apparition de l'effet photoélectrique dépend de l'énergie, respectivement de la fréquence de la lumière utilisée.

Si on utilise la 'mauvaise lumière', il ne sert à rien d'augmenter l'intensité lumineuse; la décharge ne se produit malgré tout pas.

La décharge ne dépend donc pas de l’intensité de la lumière, mais de la fréquence de la lumière incidente. Ce n'est que si la fréquence de la lumière est supérieure à une fréquence déterminée, également appelée fréquence de seuil fG, que l'effet photoélectrique se produit. Pour le zinc, cette fréquence est d'environ 8 ⋅ 1014 Hz (des valeurs exactes sont difficiles à donner, l'état de la surface ayant une influence sur la fréquence de seuil). Qu'en est-il pour d'autres métaux? Si on éclaire une plaque de potassium chargée négativement avec de la lumière sans fraction UV, il se produit malgré tout une décharge (tab. 2).

Pour une fréquence déterminée de la lumière, l'effet photoélectrique dépend du matériau de la plaque irradiée.

La fréquence de seuil fG pour laquelle l'effet photoélectrique se produit encore est caractéristique pour chaque métal.

Matériau Cs Rb K Na Li Zn Cu Pt fG (1014 Hz) 4,7 5,2 5,4 5,5 5,9 8,0 10,8 13,0 λG (nm) 639 582 551 544 504 375 278 231 Couleur orange jaune vert vert vert UV UV UV

2. Fréquence de seuil et longueur d'onde de seuil pour différents métaux

Matériau λSp (nm) Verre 350 Verre de quartz 250 LiF 110 MgF2 110

1. Tableau de la longueur d'onde de blocage λSp du verre, du verre de quartz, de LiF et de MgF2. En dessous de la longueur d'onde de blocage, les matériaux indiqués ne sont plus transparents. Les deux derniers matériaux cités peuvent être utilisés comme matériaux de fenêtre dans l'UV lointain.


Quelques observations de l'effet photoélectrique ne sont pas explicables avec la physique ondulatoire:

• Des expériences montrent que, lors de l'effet photoélectrique, les premiers électrons sont toujours émis immédiatement après l'enclenchement de l'éclairage. La théorie ondulatoire de la lumière énonce que les électrons (dans la plaque) sont mis en vibration par le champ électrique de la lumière. L'amplitude de l'oscillation devrait augmenter en continu lorsque l'onde lumineuse intervient. Lorsque les électrons ont accumulé suffisamment d'énergie, ils peuvent quitter le métal (voir exemple). Cependant, dans des conditions normales et pour une faible intensité lumineuse, on devrait attendre très longtemps la libération des premiers électrons: cette théorie est donc en contradiction avec les constats expérimentaux!

• Par ailleurs, les essais montrent également que l'énergie cinétique des électrons libérés par l'effet photoélectrique est indépendante de l'intensité lumineuse: elle dépend en effet uniquement de la fréquence, c.-à-d. de l'énergie de la lumière! D'après la théorie ondulatoire, il pourrait arriver que, pour une intensité lumineuse très élevée, beaucoup d'ondes lumineuses agissent sur un électron et lui transmettent ainsi énormément d'énergie (voir analogie). Ceci n'est cependant pas observé.

Il n'est dès lors pas possible de décrire l'effet photoélectrique avec le modèle ondulatoire de la lumière! Afin de supprimer les contradictions de ces résultats expérimentaux inattendus de l'étude de l'effet photoélectrique avec les représentations antérieures de la lumière, on a développé l'optique quantique.

Exemple Afin de rendre plus claire l'idée décrite dans le texte, on peut utiliser l'exemple d'un four à micro-ondes: l'eau y est chauffée progressivement par absorption du rayonnement, jusqu'à ce qu'elle atteigne la température d'ébullition et se vaporise.

Analogie Pour détacher un punching-ball de son ancrage, il ne suffit pas de frapper doucement 1000 fois dessus. En principe, un seul coup (très) puissant suffit.


Hypothèse photonique

Pour expliquer l'effet photoélectrique, Albert Einstein a utilisé la théorie de la nature corpusculaire de la lumière (1905) qui avait été introduite 5 ans plus tôt par Max Planck. Elle dit que chaque rayonnement électro-magnétique (donc également la lumière) est constitué de particules in-dividuelles, les photons ou quantums (de lumière). Les photons ne sont cependant pas des particules au sens classique: on peut également les considérer comme une sorte de "paquet d'énergie", dont l'énergie est proportionnelle à la fréquence de la lumière.

L'énergie E d'un photon est donc :

E = h·f . f : fréquence [f] = Hz h = 6,626 ⋅ 10–34 J ⋅ s [h] = J ⋅ s = W ⋅ s2 quantum d'action de Planck, constante de Planck;

La valeur de la constante de proportionnalité h est extraordinairement petite, de sorte que la quantification de l'énergie lumineuse a des effets négligeables pour nos observations de tous les jours. Ce n'est qu'à l'échelle microscopique que cette constante de Planck détermine l'importance des effets quantiques et marque ainsi la séparation entre notre monde de tous les jours et le monde quantique.

Lorsque des photons entrent en collision avec une plaque métallique (fig. 1), ils entrent en interaction avec les électrons de la plaque. Un photon donne son énergie h⋅f à un électron. Cet électron sort de la plaque si l'énergie transmise par le photon a une valeur minimale caractéristique pour le matériau. On appelle travail d’extraction WA le travail minimum requis pour arracher un électron au métal.

Ce travail minimum correspond à une fréquence minimale (fréquence de seuil) fG que le photon doit posséder pour pouvoir "arracher" un électron à la plaque. Si la fréquence f du photon incident est supérieure à la fréquence limite fG, une partie de cette énergie est consommée comme travail d’extraction WA, le reste donne l'énergie cinétique Ecin de l'électron arraché :

E = WA + Ecin

h ⋅ f = WA + 21 mv2

Si l'énergie minimale (Tab. 2) est atteinte, les électrons sont juste libérés:

WA = h ⋅ fG

Dans ce cas, la fréquence des photons est égale à la fréquence de seuil et l'électron n'a pas d'énergie cinétique.

Remarque

Un électronvolt (eV) est l'énergie qu'une particule de 1 ⋅ e (charge élémentaire) reçoit lorsqu'elle se déplace librement dans le vide sous une tension de 1 volt.

E = q ⋅ U = 1 e ⋅ 1 V = 1,602 ⋅ 10–19 C ⋅ 1 V = 1 eV

Donc: 1,602 ⋅ 10–19 J = 1 eV

1. Représentation schématique de l'effet photoélectrique. Des photons d'énergie E = h⋅ f entrent en collision avec une surface métallique. Si leur énergie est supérieure au travail d’ex-traction, chaque photon libère un électron.

Matériau WA (eV) Cs 1,94 Rb 2,13 K 2,25 Na 2,28 Li 2,46 Zn 3,31 Cu 4,48 Pt 5,36

2. Travail d’extraction WA pour dif-férents métaux (comparez avec tab. 2 page 3).


Résumé

• Un photon peut apporter une certaine énergie à un électron. De cette énergie, une partie est utilisée pour libérer l'électron (travail d’extraction), le reste intervient comme énergie cinétique de l'électron libéré.

E = WA + Ecin

• Le nombre d'électrons émis est proportionnel au nombre de photons incidents, c.-à-d. également à l'intensité lumineuse (non proportionnelle à la fréquence f).

• L'énergie cinétique des électrons dépend uniquement de l'énergie des photons incidents, c.-à-d. également de leur fréquence f; pas de l'intensité lumineuse!

Exemple:

La cathode d'une cellule photoélectrique est constituée de césium (WA = 1,96 eV). Dans la suite, de la lumière monochromatique de longueur d'onde λ1 = 410 nm (lumière bleue) et λ2 = 656 nm (lumière rouge) frappent successivement la cathode. Nous voulons examiner si l'action de la lumière de ces longueurs d'onde provoque l'émission d'électrons.

La fréquence de seuil (fréquence minimale) fG qui est nécessaire pour l'apparition immédiate de l'effet photoélectrique est :

fG =WA

h=1,96 ⋅1,602 ⋅10−19 Ws6,626 ⋅10−34 Ws2

114 s107.4 −⋅=Gf

L'effet photoélectrique intervient uniquement par la lumière dont la fréquence est supérieure à 4.7⋅1014 Hz.

Fréquence de la lumière d'irradiation:

Hz103,7nm410m/s103 14

8

11 ⋅=

⋅==

λcf

Hz106,4nm656m/s103 14

8

22 ⋅=

⋅==

λcf

La lumière rouge (f2 < fG) ne détache pas d'électrons de la cathode. Pour la lumière bleue (f1 > fG), des électrons sont émis. Pour libérer un électron, il faut un quantum d'énergie suffisamment grand h⋅f.

1. Page de garde du travail original d'Albert Einstein sur l'effet photoélectrique, pour lequel il a reçu le prix Nobel en 1921.

2. Max Planck et Albert Einstein lors de la remise des prix Nobel de 1921.

Albert Einstein (1905) :

'La conception habituelle que l'énergie de la lumière est répartie de manière continue dans l'espace irradié rencontre des difficultés particulièrement grandes lorsqu'il s'agit d'expliquer les phénomènes photoélectriques. Les observations parlent plutôt pour une mise à disposition de l'énergie par la lumière sous la forme de portions.'


Étude expérimentale de l'effet photoélectrique Jusqu'à présent, l'étude de l'effet photoélectrique a fait apparaître quelques grandeurs, comme par exemple le travail d’extraction ou la constante de Planck, qui doivent être déterminés expérimentalement. Pour la détermination de ces grandeurs, on peut utiliser une cellule photoélectrique à vide poussé (fig. 1), qui est irradiée avec de la lumière d'énergie variable. Via une contre-électrode à laquelle on applique différentes tensions, on peut influencer le mouvement des électrons arrachés à la couche photoélectrique.

Si de la lumière d'énergie suffisante frappe la cellule photoélectrique, l'éclairage arrache immédiatement des électrons à la plaque. Même si aucune tension n'existe entre la couche photoélectrique et la contre-électrode, certains électrons peuvent atteindre la contre-électrode, un faible courant circule (fig. 2a). L'intensité de courant dépend de la tension appliquée et de l'intensité d'éclairage. Plus l'intensité d'éclairage est grande, plus il y a de photons frappant la couche photoélectrique et plus il y a d'électrons susceptibles d'être détachés pour une énergie suffisante des photons (fig. 2b, comparez les deux courbes).

2. Intensité de courant en fonction de la tension appliquée à la cellule photoélectrique à vide poussé pour différentes intensités d'éclairage.

• Si la tension U appliquée à la contre-électrode est positive (fig. 3), les électrons sortants peuvent atteindre la contre-électrode: ils forment le "courant photoélectrique". Plus la tension est importante, plus il y a d'électrons atteignant la contre-électrode. À partir d'une certaine tension, tous les électrons arrachés par les photons atteignent la contre-électrode. Une saturation est atteinte et le courant photo-électrique n'augmente plus malgré la tension croissante (fig. 2 c).

• Si la tension U appliquée est négative (fig. 4), la contre-électrode repousse les électrons sortants : en raison de leur énergie cinétique, ceux-ci peuvent cependant jusqu'à une certaine tension de seuil UG malgré tout encore atteindre la contre-électrode (fig. 2 d). Au-delà de cette tension, l'énergie cinétique des électrons ne suffit plus pour atteindre celle-ci.

Tâche: Affectez les points a, b, c, d décrits dans le texte aux différentes zones dans la figure 2.

1. Montage expérimental pour l'effet photoélectrique

3. Pour une tension appliquée positive, les électrons arrachés peuvent atteindre la contre-électrode.

4. Pour une tension appliquée négative, de moins en moins d'électrons peuvent atteindre la contre-électrode.

grande intensité

petite intensité


Principe de la méthode du champ inverse La contre-électrode possède vis-à-vis de la plaque métallique ou de la couche photoélectrique une tension négative réglable. Si de la lumière de fréquence f tombe maintenant sur la plaque, des électrons sont expulsés de celle-ci. Ceux-ci possèdent directement après la sortie du métal une énergie cinétique de

Ecin = 21 mv2

Comme ces électrons sont freinés lors de leur trajet vers la contre-électrode par la tension négative appliquée, la tension d'anode négative U, de moins en moins d'électrons atteignent la contre-électrode à tension (négative) croissante: le courant photoélectrique I diminue.

Lorsque la tension atteint une valeur de seuil (négative) UG, tous les électrons sont juste complètement freinés (v = 0 m/s): le courant photo-électrique devient nul, aucun électron n'atteignant plus la contre-électrode.

Lorsque les électrons quittent la plaque, ils transforment leur énergie cinétique en énergie électrique, qui se calcule avec:

Eél = e ⋅ U

Lors du freinage des électrons à la vitesse nulle, on a:

Ecin = Eél

21 mv2 = e ⋅ UG

Par ailleurs, selon le principe de conservation de l'énergie:

h ⋅ f = WA + 21 mv2

= WA + e ⋅ UG

Si on mesure lors de l’expérience l'énergie cinétique des électrons sous la tension d'anode négative en fonction de la fréquence, on obtient le résultat suivant (fig. 1) :

L'énergie cinétique des électrons augmente avec la fréquence de la lumière incidente. En dessous de la fréquence de seuil fG, aucun électron n'est arraché au métal! La fréquence de seuil dépend de son côté du métal utilisé.

Pour un métal donné, la représentation graphique de l'énergie cinétique des électrons en fonction de la fréquence de la lumière incidente donne une droite de pente h. Le travail de libération WA est donné par le point d'intersection de ces droites avec l'axe de l'énergie.

1. Energie cinétique

Ecin = h ⋅ f – WA des électrons détachés de la couche photoélectrique en fonction de la fréquence des photons incidents pour deux métaux différents.


La constante h peut donc facilement être déterminée comme étant la pente des droites: il suffit de déterminer les tensions de seuil respectives UG1 et UG2 pour deux fréquences f1 et f2 :

Pour un matériau donné, on a :

Pour deux points de mesure différents, on a :

ou:

Le quantum d'action de Planck h vaut:

sJ106262,6 34 ⋅⋅= −h

Applications de l'effet photoélectrique

• Convertisseur d'images infrarouge Si des photons d'une longueur d'onde jusqu'à 1200 nm frappent une couche photographique particulièrement sensibles (couche Ag-O-Cs), des électrons sont détachés de la photocathode. Dans un vide poussé, ils sont accélérés par un champ électrique et représentés par des lentilles électrostatiques et magnétiques sur un tube cathodique (fig. 2).

• Photoconducteur Dans l'élément photoconducteur, on utilise l'effet de photoconduction. Lors de cet effet, qui intervient principalement pour les semi-conducteurs, des électrons d'une bande de valence non conductrice sont excités par éclairement dans une bande conductrice. Les électrons arrachés ne sortent pas à la surface, mais provoquent uniquement une augmentation de la conductibi-lité du matériau. Les éléments photoconducteurs sont souvent constitués d'une couche de sulfure de cadmium, celle-ci a environ la même gamme de sensibilité aux couleurs que l'œil ou des films photographiques. On les utilise dès lors comme posemètres dans les caméras (fig. 3).

Comme autres applications, on peut encore citer les photomultiplicateurs ou la cellule photoélectrique.

1. Si la tension de seuil UG est représentée graphiquement en fonction de la fréquence lumineuse f, la droite obtenue a une pente h/e indépendante du matériel de la cathode :

UG =he⋅ f −WA

e

2. Convertisseur d'images infrarouge.

3. Elément photoconducteur également appelé LDR (light depending resistor).


Modèles de représentation de la lumière

L'explication de nombreux phénomènes optiques exige un classement dans certains modèles de représentation de la lumière (chapitre Optique). Pour cette raison, nous voulons lister en bref les modèles de la lumière :

Le modèle de la lumière comme rayonnement corpusculaire a été établi par Isaac Newton. Il permet de saisir des caractéristiques essentielles de la lumière, telles que la propagation rectiligne. Ces caractéristiques sont notamment essentielles pour la description de la formation de l'image de lentilles et miroirs. Le rayon lumineux est dans ce modèle la trajectoire des particules.

Le modèle de la lumière comme onde a été, entre autres, établi par Christian Huygens et constitue la base de l'optique ondulatoire. Il permet de saisir d'autres caractéristiques de la lumière, telles que la diffraction et les interférences. Ces phénomènes permettent une détermination de la longueur d'onde de la lumière. Le rayon lumineux est dans ce modèle la normale aux ondes.

Le modèle photon a été établi par Albert Einstein et est la base de l'optique quantique. Ceci permet notamment d'expliquer l'effet photo-électrique.

Quantité de mouvement des photons

La relation E = h ⋅ f montre que le flux d'énergie dans une onde est quantifié. Dans cette équation, l'énergie d'un photon (aspect corpusculaire) est liée à la fréquence de la lumière (aspect ondulatoire). La quantité de mouvement d'un photon est également liée à une caractéristique ondulatoire, comme le montrent les considérations suivantes.

Dans la théorie de la relativité, nous avons calculé comme suit l'énergie et la quantité de mouvement d'une particule de masse au repos m0:

Si nous éliminons la masse dynamique m de ces deux équations, nous obtenons:

Comme les photons se déplacent à la vitesse de la lumière, nous posons v = c et pour l'énergie des photons E = h ⋅ f. On peut ainsi affecter à un photon la quantité de mouvement:

Remarque: Bien qu'on prenne en général 300 000 km/s comme vitesse de la lumière dans le vide, la valeur exacte est:

c = 299 792,458 km/s

Ole Römer a déjà pu déterminer une valeur très convenable de la vitesse de la lumière en 1673 par l'observation précise des lunes de Jupiter.

1. Les gouttes de pluie qui tombent exercent une force sur le sol. La lumière se comporte également de manière similaire, à laquelle on attribue des caractéristiques corpusculaires.


Cette relation aussi relie la quantité de mouvement d'un photon (aspect corpusculaire) à la longueur d'onde de la lumière (aspect ondulatoire).

En outre, nous pouvons élargir notre représentation des photons à l'aide de l'équivalence masse-énergie E = m ⋅ c2 en ceci que nous attribuons à un photon sur le plan purement formel la masse

Un photon acquiert ainsi des caractéristiques corpusculaires.

Il y a cependant quelque chose de particulier à dire à propos de ces caractéristiques corpusculaires, qu'on peut dériver de la formule relativiste pour la masse dynamique d'une particule:

ou

Comme les photons se déplacent à la vitesse de la lumière, d'où v = c, on a également m0 = 0. Les photons n'ont pas de masse au repos, pour eux il n'existe pas de système au repos.

Résumé

Les photons sont les plus petites quantités d'énergie de la lumière. Ils n'ont pas de masse au repos. Ils se déplacent toujours à la même vitesse, dans le vide à la vitesse de la lumière c = 300 000 km/s.

L'énergie E et la quantité de mouvement p des photons dépendent de la fréquence f et donc également de la longueur d'onde λ de la lumière.

Énergie du photon :

E = m c2 =h ⋅ f

ou: f = hcm 2⋅

Quantité de mouvement du photon :

p = m ⋅ c = λh

ou: cmh⋅

=λ

1. La comète Hale-Bopp le 6 mars 1997. La partie blanche de la queue est de la poussière qui se répartit long de la trajectoire de la comète, la partie bleue est constituée d'ions qui sont toujours orientés à l'opposé du Soleil sous l'action du vent solaire. Non seulement la queue, mais également la trajectoire, en particulier de 'corps légers', est influencée par le rayonne-ment du Soleil.

2. Le rayonnement solaire peut être utilisé pour entraîner un vaisseau spatial à l'aide d'une voile solaire. Bien que la force d'entraînement soit très petite, elle peut être utilisée en permanence pendant un temps très long. En 2010, cette idée fut testée avec succès par la sonde spatiale japo-naise IKAROS.


L'hypothèse d'Einstein du photon qui reposait sur le fondement de la physique classique est en soi contradictoire, la définition du photon, exprimée par son énergie h⋅f faisant appel aux caractéristiques on-dulatoires de la lumière; celles-ci sont donc présupposées. L'idée provocante d'Einstein d'attribuer à la lumière des caractéristiques corpusculaires était une idée inimaginable pour les physiciens contemporains. Compte tenu des phénomènes d'interférence qui sont très bien expliqués par la théorie ondulatoire de la lumière, la simple explication de l'effet photoélectrique par l'hypothèse des photons d'Einstein ne paraissait nullement convaincante. Planck estimait à ce sujet, 'qu'il faudrait quelque chose de plus solide pour mettre en doute la théorie ondulatoire.'

La situation n'est dès lors pas celle d'un remplacement de la représentation ondulatoire de la lumière par une représentation corpusculaire ; au contraire, les deux théories sont mises l'une à côté de l'autre sur le même pied. On ne peut cependant pas percevoir simultanément les caractéristiques contradictoires. L'observation de l'une rend celle de l'autre impossible. De telles caractéristiques de la structure élémentaire de la nature sont appelées complémentaires. Le fait que nous percevons la nature de deux manières différentes est appelé dualisme. Ce faisant, ce dualisme ne doit pas être perçu comme une situation à prendre ou à laisser, mais comme une situation de type « non seulement … mais aussi ».

Max Planck (1913) : 'On ne doit pas trop en vouloir à Einstein qu'il ait parfois visé trop haut dans ses spéculations, comme pour son hypothèse des photons. Sans prendre de risques à l'occasion, même les sciences exactes ne peuvent pas introduire de nouveautés non plus.'

William Bragg : 'Le lundi, le mercredi et le vendredi, la lumière est une particule, le mardi, le jeudi, le samedi et le dimanche une onde. '


Les électrons montrent des caractéristiques ondulatoires

En 1923, un physicien français, le prince Louis de Broglie (fig. 1) a posé dans son travail de doctorat une hypothèse pour la validité de laquelle il n'existait dans un premier temps pas d'indications expérimentales. Si la lumière présente des caractéristiques ondulatoires et corpusculaires, ceci est peut-être vrai également pour les électrons. Ces particules se comportent-elles parfois comme des ondes? De Broglie a supposé que les relations

E = h ⋅ f et p =λh

entre les grandeurs corpusculaires E, p et les grandeurs ondulatoires f, λ ne sont pas seulement applicables aux photons, mais également aux électrons et aux autres particules.

Longueur d'onde de de Broglie La longueur d'onde qui peut être associée aux électrons d'énergie E est :

ph

=λ

Remarque : La relation f = cλ

entre fréquence et longueur d’onde est

valable uniquement pour les photons, jamais pour des particules avec une masse au repos non nulle !

De manière non relativiste, nous calculons la longueur d’onde selon :

Ecin =m ⋅ v2

2⋅mm=

p2

2 ⋅m=

h2

2 ⋅m ⋅λ 2

Il s’ensuit pour les vitesses non relativistes :

λ =h

2 ⋅m ⋅Ecin

(seulement pour v << c)

Avec son hypothèse, de Broglie a su expliquer quelques caractéristiques des atomes et proposa également un test expérimental: lorsqu'un faisceau d'électrons traverse une très petite ouverture, on devrait voir apparaître des phénomènes de diffraction (fig. 2).

L'hypothèse de de Broglie a pu être confirmée expérimentalement. Lorsque des électrons sont accélérés par une tension de quelques volts, ils présentent des longueurs d'onde qui sont comparables avec la distance interatomique dans les cristaux. Comme pour les rayons X, les cristaux peuvent ici également servir de réseau de diffraction (tab. 3).

La première preuve de la diffraction des électrons a été apportée le 6 janvier 1927 par Clinton Davisson et Lester Germer (fig. 1 page suivante) dans les laboratoires de la Bell Telephone Company à New York. Ils ont orienté un faisceau d'électrons sur un cristal de nickel (distance interatomique d = 0,215 nm) et ont observé sous l'angle β = 50° un maximum de diffraction du 1er ordre (fig. 2 page suivante).

1. Louis de Broglie (1892–1987) a obtenu le prix Nobel de physique en 1929 pour sa théorie des ondes matérielles.

2. Diffraction des électrons sur une feuille d'aluminium (en haut) et diffraction des rayons X (en bas) sur la même feuille.

λ (nm) Rayons X mous 10 Rayons X durs 0,001 Électron (102 km/s) 7,3 Électron (103 km/s) 0,73

3. Des longueurs d'onde de rayons X durs et mous et d'électrons de différentes vitesses.


Nous pouvons calculer la longueur d'onde des électrons. En optique, nous avons dérivé la relation :

Il en découle pour k = 1 :

λ = d ⋅ sin β = 0,165 nm Cette longueur d'onde correspond à la prédiction de de Broglie pour la tension d'accélération utilisée U = 54 V.

Tâche Vérifiez les affirmations qui viennent d'être faites.

Les caractéristiques ondulatoires des électrons sont confirmées par la diffraction d'électrons par des cristaux.

Un peu plus tard, George Thomson, le fils de Joseph Thomson, a pu confirmer ces résultats. Clinton Davisson et George Thomson ont obtenu le prix Nobel de physique en 1937.

Pour l'interprétation des images de diffraction comme figure d'interférence, nous partons de ce que la source d'électrons met suffisamment d'électrons à disposition. Lorsqu'on diminue la puissance de la source d'électrons, les images s'établissent de manière stochastique. Ceci a conduit Max Born (fig. 3) en 1927 à l'interprétation suivante de la relation entre la théorie ondulatoire et la théorie corpusculaire. D'après la théorie corpusculaire, les endroits où le nombre d'électrons est le plus grand sont les endroits des amplitudes maximales dans l'image d'interférence. Les impacts individuels des électrons sont visibles comme mesure de la probabilité d'impact. D'après la théorie ondulatoire, l'intensité d'une onde est proportionnelle au carré de l'amplitude des ondes. Born a relié ces deux affirmations:

La probabilité de trouver des électrons dans une zone déterminée de l'espace est proportionnelle au carré de l'amplitude de l'onde (qui est attribuée aux électrons).

Cette interprétation de Born des interférences électroniques a justifié l'idée que les électrons présentent un caractère ondulatoire en plus d'un caractère corpusculaire. On l'a appelée le dualisme onde-particule.

1. Montage expérimental de Germer et Davisson pour la mise en évidence de la diffraction d'un faisceau d'électrons sur un cristal de Ni.

2. Avec une tension d'accélération de 54 V, on peut observer un maximum particulièrement marqué du rayonne-ment diffus sous l'angle ß = 50°. Il s'agit ici de diagrammes polaires.

3. Max Born (1882 - 1970) a obtenu le prix Nobel en 1954 pour son inter-prétation statistique de la mécanique quantique.


Physique de l'enveloppe atomique

Les ondes de de Broglie dans l'enveloppe atomique

Nous considérons maintenant les électrons dans l'enveloppe atomique. Aux trajectoires circulaires des électrons correspondent des ondes qui circulent autour du noyau atomique. Cette forme d'onde est possible parce que λ augmente avec r. On obtient des états particulièrement marqués lorsque la périphérie de la trajectoire circulaire est un multiple entier de la longueur d'onde. Dans ce cas, il existe des ondes stationnaires sur un cercle, dont le mode d'oscillation ne change pas au fil du temps.

De Broglie supposait que ces ondes stationnaires autour du noyau atomique expliquent la stabilité du noyau atomique. L'amplitude d'une onde stationnaire en un point donné de l'espace est constante dans le temps.

Pour les ondes stationnaires autour du noyau atomique, la longueur de la trajectoire est un multiple entier de la longueur d'onde. La probabilité de séjour des électrons y est constante dans le temps.

De Broglie a contribué à l'élargissement des représentations atomiques de l'époque.

Selon la théorie classique de l'électromagnétisme, les électrons devraient émettre sur leur trajectoire autour du noyau atomique un rayonnement électromagnétique et perdre de ce fait de l'énergie. Suite à cette perte d'énergie, ils devraient peu à peu tomber sur le noyau atomique et l'atome ne serait pas stable. La distribution constante dans le temps des électrons selon le principe des ondes stationnaires dans l'atome ne conduit pas à un rayonnement d'ondes électromagnétiques.

Dans un gaz, les atomes reçoivent environ un milliard de chocs par seconde. Chacun de ces chocs amènerait les électrons sur des trajectoires toujours nouvelles et modifierait le rayon de l'atome. La distribution des électrons dans l'atome ne peut pas être influencée par de petits chocs, les ondes stationnaires n'existant que pour des rayons de trajectoires et des énergies bien définies. Ceci explique pourquoi les rayons des atomes ne changent pas lors de chaque choc.

Les ondes stationnaires correspondent aux états stables possibles de l'électron dans l'atome. Pour ces états, on a:

2 ⋅ π ⋅ r = n ⋅ λ avec λ = ph et n = 1, 2, 3, …

Les nombres n sont appelés nombres quantiques. Nous obtenons ainsi la condition quantique pour les ondes stationnaires:

2π ⋅ r = n ⋅ hp

⋅p2π

π2hnpr ⋅=⋅

1. Modèle d'ondes stationnaires autour du noyau atomique.

Remarque:

Si nous supposons que l'électron avec une masse ponctuelle m accomplit un mouvement circulaire de rayon r, nous pouvons attribuer à l'électron le moment cinétique suivant:

L= J·ω

= m·r2·ω

= m·r·v

On peut dès lors écrire comme suit la condition quantique pour les ondes stationnaires:

L = n ⋅ !

avec π2h

=! .


Avec l’expression p = me · v pour la quantité de mouvement de l’électron, on trouve la condition quantique de Bohr :

π2hnvrm ⋅=⋅⋅

On peut en déduire la vitesse de l’électron sur la trajectoire de rayon r :

v = n ⋅ h2π ⋅me ⋅ r

Cette condition quantique avait déjà été établie en 1913 par le physicien danois Niels Bohr (fig. 1). Il était parti de l'hypothèse que les électrons dans l'atome peuvent uniquement se déplacer sur des trajectoires qui satisfont à la relation ci-dessus. Ceci a permis à Bohr de calculer les raies spectrales de l'hydrogène en concordance avec les résultats expérimentaux. Il n'était cependant pas en mesure d'indiquer pourquoi les électrons devaient uniquement se déplacer sur des trajectoires satisfaisant à la condition quantique. De Broglie a su le premier expliquer le modèle atomique de Bohr par l'hypothèse d'ondes stationnaires sur un cercle.

1. Niels Bohr (1885 - 1962) a fourni des contributions importantes à la recherche sur la structure atomique et le rayonnement émis par les atomes. Cela lui valut le prix Nobel en 1922.


L'atome d'hydrogène

L’énergie de l’électron dans l'atome d'hydrogène

L’énergie totale de l’électron dans le champ électrique du noyau se compose de l’énergie cinétique Ekin = ½ m·v2 et de l’énergie potentielle Epot.

Afin de calculer l’énergie de l’électron, nous considérons l’énergie d’ionisation qui correspond au travail W effectué pour séparer l’électron complètement de l’atome.

Force de Coulomb dans l’atome d’hydrogène

Lorsqu’un électron se déplace dans le voisinage d’un noyau atomique de charge électrique Q1, il subit la force de Coulomb attractive avec la norme :

Fel =1

4π ⋅ε0⋅Q1 ⋅Q2

r2

Dans l’atome d’hydrogène, on a :

Noyau atomique : Q1 = +e (un seul proton)

Électron: Q2 = −e

Énergie d’ionisation dans l’atome d’hydrogène

Nous calculons le travail de la force F pour éloigner l’électron à une distance infinie du noyau atomique. La force F agit en sens opposé à la force de Coulomb Fel qui dépend de la distance r par rapport au noyau atomique.

W = F⋅dr

r

∞

∫

= −Fel

( ) ⋅dr

r

∞

∫

=1

4π ⋅ε0⋅e2

r2r

∞

∫ dr

=e2

4π ⋅ε0⋅

drr2r

∞

∫

=e2

4π ⋅ε0⋅ −1r

#

$%&

'(r

∞

=e2

4π ⋅ε0⋅ −

1∞+1r

$

%&

'

()

=14πε0

⋅e2

r> 0

1. Déviation d'un faisceau d'électrons entre des plaques chargées électriquement auxquelles on applique une tension de 1,66 kV.

Remarque

ε0 : permittivité du vide ε0 = 8,854 ⋅ 10–12 C/(Vm)

2. La force F qui écarte l’électron du noyau atomique est opposée à la force de Coulomb Fel.

Fel =1

4⇡✏0· e

2

r2


Le travail à effectuer est positif ; l’énergie potentielle de l’électron augmente au cours de l’ionisation :

Epot,∞ > Epot(r)

On obtient: Epot,∞ = Epot(r) + W

Vis-à-vis de l’état ionisé, auquel est affectée l’énergie Epot,∞ = 0, l’électron lié à une distance r du noyau d’hydrogène a l’énergie potentielle suivante :

WErE potpot −= ∞,)(

W−= 0

= −14πε0

⋅e2

r

Énergie totale de l’électron dans l’atome d’hydrogène

En utilisant les expressions précitées, on obtient pour l’énergie totale de l’électron lié à un noyau atomique :

potkin EEE +=

E = 12⋅me ⋅ v

2 −14πε0

⋅e2

r


Les rayons des trajectoires dans le modèle atomique de Bohr

Selon la représentation de l'atome de Bohr, nous supposons que les trajectoires des électrons sont des trajectoires circulaires. Niels Bohr a supposé que les électrons se meuvent sans rayonnement sur ces trajectoires (1er postulat de Bohr). Pour le calcul des rayons possibles des trajectoires des électrons dans l'atome d'hydrogène, la force de Coulomb Fél fournit la force centripète FR nécessaire pour la trajectoire circulaire (fig. 1). Le calcul suivant est effectué avec l'hypothèse:

Fél = FR

Après insertion de la condition quantique pour les ondes stationnaires

on obtient:

Il en découle les rayons possibles rn des trajectoires (fig. 2):

où ce qu'on appelle le rayon de Bohr r1 (n = 1) est donné par:

Après insertion des valeurs des grandeurs, on obtient:

r1 = 0,529 ⋅ 10–10 m

Cette valeur vaut pour la trajectoire la plus petite des électrons (état fondamental). En outre, cette valeur donne une idée de l'ordre de grandeur de l'atome d'hydrogène et est en bonne concordance avec les valeurs trouvées par d'autres voies.

Pour les autres trajectoires des électrons, on a (Tab. 3):

rn = r1 · n2

1. L'accélération centripète est causée par la force de Coulomb.

2. Les rayons des trajectoires des électrons pour lesquelles des ondes stationnaires sont possibles sont proportionnels à n2.

Remarque

Une unité de longueur obsolète est l'angström:

3. Rayon des trajectoires des électrons en fonction du nombre quantique n.

1 Å = 10-10 m

Fel =1

4⇡✏0· e

2

r2


États d'énergie discrets

Comme l’électron se déplace uniquement sur des trajectoires de rayons déterminés rn, on obtient également uniquement quelques valeurs possibles de l'énergie de l'électron En. Nous pouvons calculer ces valeurs d'énergie comme suit :

Après insertion de la condition quantique pour les ondes stationnaires

nous obtenons

Si nous insérons les rayons des trajectoires rn

nous obtenons les valeurs d'énergie

L'énergie de l'état fondamental est:

E1 = –13,6 eV

Pour les autres trajectoires des électrons, on a (Tab. 3):

En = –13,6 eV ⋅ 21n

On appelle ces énergies En les niveaux d'énergie. Le signe négatif des valeurs d'énergie signifie qu'on doit dépenser de l'énergie pour éloigner l'électron de l'atome, parce qu'il est lié par les forces électriques d'attraction, les forces de Coulomb, au noyau atomique. On obtient l'énergie la plus faible, l'énergie de référence ou de localisation, pour n = 1. On l'appelle l'état fondamental de l'atome. C'est l'état de la plus faible énergie possible et correspond à la trajectoire la plus intérieure de l'électron autour du noyau d'hydrogène.

1. Interprétation possible du postulat de Bohr.

2. Les valeurs d'énergie En de l'électron sont la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.

n En (eV) 1 –13,60 2 –3,40 3 –1,51 4 –0,85 5 –0,54

3. Niveaux d'énergie des trajectoires des électrons en fonction du nombre quantique n.


L’électron se déplace sans rayonnement sur une trajectoire circulaire autour du noyau d'hydrogène. Il existe uniquement certaines trajectoires discrètes. La force de Coulomb entre le noyau et l'électron constitue la force radiale nécessaire à cet effet. Les rayons de ces trajectoires circulaires sont déterminés par la relation suivante :

rn = r1 ⋅ n2

r1 est le rayon de Bohr et vaut

r1 = 0,529 ⋅ 10–10 m

n est un nombre quantique, qui détermine la trajectoire. Les énergies de l’électron sont quantifiées, avec :

En=E1 · 1n2

E1 est l'énergie de l'état fondamental et vaut

E1 = –13,6 eV

1. Vue d'une surface de silicium (111), prise avec un microscope électronique à effet tunnel


Le spectre de l'hydrogène

Chacun de ces niveaux d'énergie correspond à une onde stationnaire de de Broglie. Comme l'électron parvient-il d'un niveau d'énergie à un autre? A cet effet, une quantité d'énergie doit être absorbée ou libérée qui correspond exactement à la différence entre les deux niveaux d'énergie. Une forme possible de cette variation d'énergie (saut quantique) est l'émission ou l'absorption d'un photon, dont l'énergie E = h⋅f a la valeur nécessaire:

ΔE = Efin −Eini = −13,6 eV ⋅1nfin2 −

1nini2

$

%&&

'

())

Par nini et nfin, nous désignons les niveaux d'énergie. ΔE = Efin – Eini sym-bolise la transition du niveau d'énergie nini au niveau d’énergie nfin.

• Si ΔE est positif, l’atome peut absorber un photon d’énergie h⋅ f = ΔE (Efin > Eini, gain d’énergie pour l’atome).

• Si ΔE est négatif, l’atome peut émettre un photon d’énergie h⋅ f = –ΔE (Efin < Eini, perte d’énergie pour l’atome).

Les atomes ne peuvent donc pas absorber ni émettre des photons de fréquence quelconque, mais uniquement ceux qui correspondent à la différence entre les niveaux d'énergie. Ceci explique l'apparition des raies spectrales.

Les raies spectrales correspondent aux transitions entre les niveaux d'énergie possibles dans l'atome.

Considérons d'abord l'état fondamental de l'atome d'hydrogène (n=1). Comme il n'existe pas de niveau d'énergie plus bas, l'atome d'hydrogène dans cet état peut uniquement absorber de l'énergie, donc absorber des photons. Les énergies de ces photons découlent des différences entre les niveaux d'énergie de 10,20 eV, 12,09 eV... (fig. 1 et tableau). Elles correspondent à de la lumière dans le domaine spectral ultraviolet. Si on amène de l'hydrogène dans le faisceau d'une source de lumière qui émet de la lumière ultraviolette, on obtient un spectre d'absorption (voir fig. 1 à la page suivante), seuls des photons ayant l'énergie calculée ci-dessus étant extraits de la lumière.

Nous nous tournons maintenant vers les états excités n = 2, 3, ... Pour amener les atomes d'hydrogène dans ces niveaux d'énergie, nous devons leur apporter de l'énergie. Ceci peut se faire p. ex. par chauffage de l'hydrogène gazeux à quelques milliers de kelvins. A ces températures élevées, les atomes d'hydrogène s'entrechoquent à des vitesses tellement grandes que l'énergie suffit pour amener un des électrons dans un état excité. Le choc des deux atomes d'hydrogène se déroule alors de manière inélastique, leur énergie cinétique ayant été consommée pour l'excitation de l'atome. L'énergie cinétique doit ce faisant être au moins de 10,2 eV. Pour une énergie plus faible, les atomes ne peuvent pas être excités. Il se produit uniquement des chocs élastiques.

1. Niveaux d'énergies dans l'atome d'hydrogène. L'état fondamental se situe vers -13,6 eV. On a également introduit différentes séries.

Lyman E (eV) λ (nm) 1 – 2 10,20 121,6 1 – 3 12,09 102,6 1 – 4 12,75 97,3

Balmer E (eV) λ (nm) 2 – 3 1,89 656,4 2 – 4 2,55 486,2 2 – 5 2,86 434,1 2 – 6 3,02 410,3 2 – 7 3,12 397,1

Paschen E (eV) λ (nm) 3 – 4 0,66 1875,5 3 – 5 0,97 1282,0 3 – 6 1,13 1094,0

2. Toutes les transitions depuis l'état fondamental (n = 1) font partie de la série de Lyman, toutes les transitions depuis le premier état excité (n = 2) font partie de la série de Balmer, etc. Alors que la série de Lyman se situe dans l'UV, la série de Balmer se situe dans le domaine visible et la série de Paschen dans l'infrarouge.


Ceci explique pourquoi les atomes et les molécules de nombreux gaz se comportent à température ambiante comme des petites billes qui ne subissent que des chocs élastiques. L'énergie des chocs ne suffit pas pour amener les électrons dans l'état immédiatement supérieur. Nous comprenons ainsi également pourquoi les atomes peuvent subir des milliards de chocs par seconde sans s'user le moins du monde.

Lors des interactions d'atomes avec une énergie qui est inférieure à l'énergie d'excitation, seuls des chocs élastiques sont possibles

Aux températures élevées, les chocs conduisent toujours à élever des électrons dans des états excités. Ces électrons reviennent peu de temps après dans l'état fondamental et émettent de l'énergie sous la forme de photons. L'énergie de ces photons correspond à la différence entre les niveaux d'énergie de l'atome. Nous obtenons les raies spectrales d'un spectre d'émission (fig. 2).

Si on augmente la température encore plus, l'énergie de certains chocs suffit pour détacher un électron entièrement de son atome. L'atome est ionisé. L'électron devenu libre peut prendre une énergie quelconque. Il n'existe ici pas de niveaux d'énergie fixes, l'électron n'étant plus limité à la zone limitée d'un atome. Lors de l'ionisation des atomes, chaque énergie au-dessus d'une énergie minimale peut être absorbée. Nous obtenons un spectre d'absorption continu. Si les noyaux atomiques capturent à nouveau les électrons libres, un spectre d'émission continu est émis, les énergies cinétiques des électrons avant la capture pouvant avoir été quelconques.

Lorsqu'un atome d'hydrogène émet un quantum de lumière lors de la transition d'un électron du niveau d'énergie nini au niveau d'énergie nfin (saut quantique), on obtient comme différence d'énergie

ΔE = Efin −Eini = −13,6 eV ⋅1nfin2 −

1nini2

$

%&&

'

())

L'énergie d'ionisation de l'hydrogène à partir de l'état fondamental est:

E = 13,6 eV.

Comme nous l'avons vu, l'atome d'hydrogène a toute une série de transitions caractéristiques. Comme les mêmes transitions sont concernées tant lors de l'absorption que de l'émission, les longueurs d'onde observées des raies d'absorption et d'émission sont identiques. A côté de l'hydrogène, tout autre type d'atome et de molécule a ses transitions caractéristiques, de sorte qu'un spectre obtenu permet de déduire de manière univoque le type d'atome et de molécule impliqué.

1. Lorsqu'un gaz froid est éclairé par une source de lumière, on reconnaît des raies d'absorption dans le spectre continu de la source de lumière. Celles-ci correspondent aux énergies d'excitation des atomes contenus dans le gaz et sont caractéristiques du type d'atome.

2. Un gaz excité d'atomes émet de la lumière de certaines fréquences. Les raies spectrales observées correspondent aux différentes transitions possibles dans l'atome.

Source lumineuse

Gaz froid

Gaz chaud


Succès et limites du modèle atomique de Bohr

Niels Bohr a découvert qu'une description de l'enveloppe atomique uniquement sur la base des représentations mécaniques et électrodynamiques n'est pas possible. Les postulats de Bohr donnent un modèle pouvant être décrit mathématiquement de l'atome d'hydrogène, à l'aide duquel son spectre et les gaz similaires à l'hydrogène peuvent être décrits. Le modèle a fourni pour la première fois une explication de la stabilité d'un atome et pour la relation énergétique lors de l'émission de lumière avec des systèmes atomiques simples.

Le modèle atomique de Bohr ne conduit à des résultats satisfaisants que pour l'hydrogène et les systèmes similaires à l'hydrogène. Le modèle atomique de Bohr utilise une représentation trop intuitive de la structure des atomes. Dans celui-ci, il est possible d'indiquer simultanément le lieu et la quantité de mouvement d'un électron; ceci contredit le principe d'incertitude de Heisenberg. Par ailleurs, le modèle atomique de Bohr ne peut pas expliquer correctement l'intensité de différentes raies spectrales. Malgré les manquements du point de vue actuel, on doit reconnaître qu'avec les postulats introduits dans le modèle atomique de Bohr on a pour la première fois utilisé des représentations quantiques pour la description de l'enveloppe atomique.

Albert Einstein (1924) : 'L'idée qu'un électron choisisse librement le moment et la direction dans laquelle il veut sauter m'est insupportable. Dans ce cas, je préférerais être cordonnier ou même employé de casino que physicien. '

Niels Bohr : 'Les notions de particule et d'onde se complètent en ceci qu'elles se contredisent. Elles constituent des images complémentaires de la réalité.'

Exemples

• Spectre d'émission de l'hydrogène

On reconnaît les quatre raies d'émission de la série de Balmer.

• Spectre du Soleil

Dans le spectre du Soleil, on reconnaît en plus des raies d'absorption atmosphériques également des raies d'absorption de H, Na, Mg, Ca, Ca+, Ti, Fe et Mn.

Richard Feynman : ,... je pense que je peux considérer que personne ne comprend la théorie quantique.'


Le laser

Émission spontanée et induite de quanta de lumière

Les atomes peuvent être excités dans un état d'énergie plus élevé par des chocs d'électrons à vitesse élevée ou par de la lumière dont la longueur d'onde correspond à leur propre spectre. L'état d'excitation des atomes a en règle générale une durée de vie de 10-8 secondes avant que les atomes ne retombent dans l'état fondamental via l'émission spontanée (fig. 1). Il existe cependant pour les atomes avec plusieurs électrons également des états qui peuvent subsister pendant une période prolongée. De tels états d'énergie sont appelés métastables. A partir de ces états, la libération d'énergie par émission spontanée de lumière ne se produit que rarement. Il devient ainsi possible d'amener un grand nombre d'atomes dans des états d'excitation et de les y maintenir. Comment ceux-ci peuvent-ils libérer à nouveau leur énergie?

Un tel atome excité peut être influencé par un quantum de lumière qui est émis par un autre atome, excité de manière similaire, et forcé à l'émission. Un tel processus est appelé une émission induite. Les trains d'ondes qui sont affectés au quantum incident et au nouveau quantum formé oscillent ensuite avec la même phase et se renforcent. L'émission induite conduit à une amplification de la lumière rayonnée.

Le principe du laser

Laser est l'abréviation de 'light amplification by stimulated emission of radiation' - amplification de lumière par émission stimulée de rayonnement.

La source d'énergie (fig. 2) a pour fonction d'amener un grand nombre d'atomes du milieu laser dans des états d'excitation métastables. Ce processus est appelé pompage. Un quantum de lumière qui se forme lors d'une des rares émissions spontanées déclenche une suite d'émissions induites.

En fonctionnement continu, il s'établit un équilibre entre l'alimentation en énergie et la libération d'énergie. En mode par impulsions, l'énergie d'excitation stockée est émise dans un éclair de lumière. Ensuite, on doit à nouveau pomper.

Un résonateur optique a pour effet que l'amplification de la lumière a lieu uniquement dans une direction et uniquement pour des longueurs d'onde bien déterminées. Le résonateur est constitué dans le plus simple des cas de deux miroirs plans parallèles. Entre ceux-ci se trouvent de nombreux atomes du milieu laser dans l'état excité. Seules sont amplifiées les ondes lumineuses qui frappent perpendiculairement le miroir; toutes les autres sont sans signification pour le processus laser.

En effet, si l'écartement des deux surfaces de miroir est un multiple entier exact de la longueur d'onde du rayonnement laser, il se produit des interférences des ondes incidentes et des ondes réfléchies. Il se forme une onde stationnaire, pour laquelle les amplitudes se renforcent au maximum. Pour tous les autres écartements, les ondes s'annuleraient par interférence comme résultat de nombreuses réflexions. Afin que le rayonnement laser puisse quitter le résonateur, un des deux miroirs plans doit être partiellement transparent.

1. Représentation schématique de l'absorption, de l'émission spontanée et de l'émission induite.

2. Structure schématique d'un laser


Caractéristiques particulières du rayonnement laser

Le rayonnement laser (fig. 1) a vis-à-vis de la lumière de sources d'éclairage conventionnelles des caractéristiques particulières:

• Cohérence: les trains d'ondes peuvent avoir une longueur de plusieurs centaines de kilomètres; sur toute la section d'un faisceau laser, on peut atteindre la même phase des ondes émises.

• Focalisation étroite: l'angle d'ouverture d'un faisceau de rayonnement laser est essentiellement dû à la diffraction au diaphragme de sortie. Pour une ouverture circulaire de diamètre d, la valeur en radians du demi-angle d'ouverture α vaut:

α = 1,22 ⋅ dλ

• Grande concentration d'énergie: des éclairs lasers permettent de transmettre pendant de très courts intervalles de temps des puissances de plus de 1012 watts.

Le laser hélium-néon

Pour ce laser à gaz, on met à disposition un mélange d'environ dix parties d'hélium et une partie de néon, sous une pression d'environ 1,5 hPa. Avec une tension électrique continue ou également un champ alternatif à haute fréquence, on génère une décharge gazeuse comme pour une lampe fluorescente. Lors de la décharge gazeuse, il y a formation d'électrons libres par ionisation d'atomes d'hélium et de néon. Ces électrons peuvent amener par des chocs les atomes d'hélium non ionisés dans l'état d'excitation d'environ 25 eV. Par émission spontanée d'une partie de leur énergie d'excitation, ces atomes d'hélium parviennent dans l'état d'excitation métastable de 20,61 eV (fig. 2). Lors de leurs collisions avec les atomes de néon, cette énergie d'excitation est transmise. Ceci est possible, parce que les atomes de néon possèdent également un état d'excitation métastable d'énergie quasiment égale (20,66 eV). L'émission induite conduit pour les atomes de néon à un état d'énergie inférieur (18,70 eV). Il en découle la longueur d'onde du rayonnement laser:

19

834

10610)7186620(103106266

−

−

⋅⋅−

⋅⋅⋅=

,,,,

λ m = 633 nm

Le niveau d'énergie de 18,70 eV doit être évacué en continu. Ceci se produit d'abord par la transition spontanée des atomes de néon vers un niveau d'énergie de 16 eV. D'ici, les atomes de néon reviennent alors dans l'état fondamental, à savoir du fait des chocs contre la paroi du récipient, les atomes du récipient absorbant l'énergie libérée et la transformant en chaleur.

1. Laser He-Ne. Sur la première illustration, on reconnaît à côté de l'électronique le tube avec le mélange de gaz He-Ne. Cette partie est représentée agrandie sur la deuxième illustration.

2. Principe du laser He-Ne.


RECUEIL D'EXERCICES – MECANIQUE QUANTIQUE 1. La figure montre une cellule photoélectrique servant à la mesure de

l'intensité lumineuse (posemètre). La lumière tombe sur une photocathode et déclenche l'émission d'électrons. L'anode à tension positive collecte ces électrons. a) La photocathode est en Cs3Sb. Elle réagit à une lumière de λ < 670 nm.

Quel est le travail d’extraction WA des électrons pour ce matériau de cathode ?

b) De la lumière jaune (λ = 500 nm) tombe sur la photocathode. Montrez que le courant d'anode est proportionnel à l'intensité lumineuse si chaque photon peut uniquement interagir avec un seul électron.

c) Quel est le courant d'anode si de la lumière jaune d'une puissance de 1 watt tombe sur la cathode et que chaque photon déclenche l'émission d'un électron ?

d) Quel courant d'anode provoque de la lumière bleue (λ = 400 nm) de même puissance ? (WA = 1,85 eV; I = 402,5 mA; I = 322,0 mA)

2. La cathode d'une cellule photoélectrique est constituée de césium (travail d’extraction 1,96 eV). Il tombe successivement de la lumière violette de longueur d'onde 410 nm et de la lumière rouge de longueur d'onde 656 nm sur la cathode. L'action de la lumière de ces longueurs d'onde peut-elle provoquer l'émission d'électrons ?

(λG = 633,9 nm)

3. Pour arracher tout juste des électrons d'une couche de tungstène à l'aide de lumière de courte longueur d'onde, il faut 4,57 eV. a) Calcule la longueur d'onde de seuil correspondante ! b) Quelle vitesse maximale possèdent les électrons arrachés si la longueur d'onde de la lumière incidente

est de 200 nm ? c) Quelle contre-tension est nécessaire pour supprimer totalement le courant photoélectrique ?

(λG = 271,9 nm; v = 7,59 ⋅ 105 m/s; UG = 1,64 V)

4. Une cellule photoélectrique à vide poussé est irradiée successivement à l'aide de lumière verte de longueur d'onde 546 nm et de lumière bleue de longueur d'onde 436 nm. Par l'application de la méthode du champ contraire, le flux d'électrons s'arrête respectivement pour les tensions de 0,915 V (lumière verte) et 1,490 V (lumière bleue). a) Quelle valeur fournissent les résultats de mesure pour le quantum d'action de Planck ? b) Calcule le travail d’extraction du matériau de la cathode en eV ! c) Quelle longueur d'onde doit posséder la lumière qui, lors de l'irradiation de la cathode, arrache des

électrons d'une vitesse maximale de 1000 km/s ? (h = 6,65 ⋅ 10–34 J⋅s; WA = 2,17 ⋅ 10–19 J; λ = 295,4 nm)

5. Une lampe de 100 W émet de la lumière jaune de longueur d'onde λ = 500 nm. a) Calculez l'énergie, la quantité de mouvement et la masse dynamique d’un photon. b) Combien de photons partent par seconde de la lampe si 1 % de la puissance

introduite est irradiée dans le domaine visible ? c) La masse de la lampe diminue-t-elle suite à l'émission des photons ?

Une lampe à incandescence normale transforme seulement environ 5 % à 10 % de l'énergie utilisée en lumière; le reste est transformé en chaleur et dégagé dans l'environnement.

(E = 2,48 eV; p = 1,325 ⋅ 10–27 kg⋅m/s; m = 4,418 ⋅ 10–36 kg; N = 2,515 ⋅ 1018 1/s)


6. Un projecteur envoie un faisceau de lumière parallèle d'une puissance de 100 W. a) Quelle quantité de mouvement totale les photons émis par seconde ont-ils ? b) Quelle est la force de recul qui s'établit suite à l'émission de lumière ? c) La lumière du projecteur est réfléchie par un miroir. Quelle est la force agissant sur le miroir ?

(p = 3,33 ⋅ 10–7 kg⋅m/s; F = 3,33 ⋅ 10–7 N; F = 6,67 ⋅ 10–7 N)

7. Un flash électronique envoie un éclair d'une durée de 10-3 secondes qui contient 10 joules d'énergie lumineuse. La lumière sortante est parallèle. a) Quelle est la quantité de mouvement totale des photons ? b) La quantité de mouvement totale dépend-elle de la longueur d'onde ? c) Avec quelle vitesse un grain de sable (m = 1 mg) devrait-il se déplacer afin qu'il ait la même quantité de

mouvement totale ? d) Quelle est la force de recul agissant sur le flash pendant l'éclair ?

(p = 3,33 ⋅ 10–8 kg⋅m/s; v = 0,033 m/s; F = 3,33 ⋅ 10–5 N)

8. Un positron entre en contact à la vitesse v avec un électron au repos. Il se produit une annihilation de l'électron et du positron avec formation de deux photons. Le premier photon se déplace dans la direction de déplacement du positron, le deuxième dans la direction opposée. a) Écris le principe de conservation de l'énergie et le principe de conservation de la quantité de mouvement

si v = 2,106 m/s. Montre que dans ce cas les fréquences des deux photons sont presque identiques. Calcule alors les fréquences et les longueurs d'onde des photons !

b) Écris le principe de conservation de l'énergie et le principe de conservation de la quantité de mouvement si v = 0,9 c. Calcule alors également les fréquences et les longueurs d'onde des photons !

(f = 4,34 ⋅ 1011 Hz; f1 = 3,31 ⋅ 1020 Hz; f2 = 7,60 ⋅ 1019 Hz)

9. Sur chaque centimètre carré d'une surface absolument noire tombent par seconde 3,6⋅1017 photons de longueur d'onde 450 nm. Quelle est la pression en µPa générée par ce rayonnement ?

(p = 5,3 µPa)

10. Calculez la longueur de l'onde de de Broglie pour: a) une balle de tennis m = 60 g v = 10 m/s b) un projectile m = 1 g v = 90 m/s c) un proton m = 1,67 ⋅ 10-27 kg U = 2,5 ⋅ 105 V d) un électron m = 9,1 ⋅ 10-31 kg U = 250 V U est la tension d'accélération que le proton ou l'électron doit franchir depuis l'état de repos pour atteindre la vitesse nécessaire.

(λa = 1,10 ⋅ 10–33 m; λb = 7,36 ⋅ 10–33 m; λc = 5,72 ⋅ 10–14 m; λd = 7,76 ⋅ 10–11 m)

11. Dans un téléviseur, des électrons sont accélérés par une tension U = 15 kV. Quelles sont les longueurs d'onde de de Broglie de ces électrons (calcul relativiste) ?

(λ = 9,94 ⋅ 10–12 m)

12. Les électrons qui traversent une fente double génèrent un motif d'interférence sur un écran. Quelle est la variation de l'écartement des franges si la tension d'accélération est augmentée de 50 V à 5000 V (calcul classique) ?

(d’ = 0,1 d)


13. Un électron se déplace à 85 % de la vitesse de la lumière. a) Quelle tension d'accélération l'électron a-t-il traversé ? b) Détermine la longueur d'onde de de Broglie !

(U = 4,60 ⋅ 105 V; λ = 1,50 ⋅ 10–12 m)

14. Comme la lumière, les électrons montrent également des franges d'interférence derrière une fente double. A quelle tension doit-on accélérer les électrons afin que l'angle de déviation d'ordre 10 soit exactement de 1,0° après la diffraction sur une fente double d'écartement des fentes de 10 µm ?

(U = 4,94 mV)

15. Un faisceau d'électrons est accéléré avec une tension d'anode de 12 kV. a) Quelle vitesse et quelle masse les électrons acquièrent-ils (calcul relativiste) ? b) Quelles sont la quantité de mouvement et la longueur d'onde de de Broglie ? c) Quel angle de déviation montre le 2e maximum secondaire lors de la traversée par le faisceau d'électrons

d'un film, dont les atomes sont disposés dans un réseau d'écartement 3⋅10-8 cm ? (v = 6,39 ⋅ 107 m/s; m = 9,32 ⋅ 10–31 kg; p = 5,95 ⋅ 10–23 kg⋅m/s; λ = 1,11 ⋅ 10–11 m; α = 4,26°)

16. a) Quelles sont dans le modèle atomique de Bohr de l'atome d'hydrogène les vitesses sur la trajectoire dans l'état fondamental et dans les deux premiers états d'excitation ?

b) Compare la vitesse des électrons sur la trajectoire dans l'état fondamental à la vitesse de la lumière ! c) Combien de tours par seconde l'électron fait-il dans l'état fondamental ? d) Quel montant énergétique doit être apporté à l'atome afin que l'électron passe de la 4e trajectoire à la

trajectoire immédiatement supérieure ? (v1 = 2,19 ⋅ 106 m/s = 0,729 % c; 6,58 ⋅ 1015 tours; ΔE = 0,306 eV)

17. Pour amener des atomes d'hydrogène de l'état fondamental dans des états excités, ils sont bombardés à l'aide d'électrons externes qui ont traversé une tension d'accélération de 12,8 V. a) Combien de raies spectrales différentes l'atome d'hydrogène ainsi excité peut-il émettre ? b) Calcule la plus grande et la plus petite longueur d'onde de ces raies spectrales ! c) Lesquelles de ces raies spectrales tombent dans le domaine visible ?

(6 lignes; λmax = 1880 nm; λmin = 97 nm; f3→2 = 4,57 ⋅ 1014 Hz et f4→2 = 6,17 ⋅ 1014 Hz)

18. Quelle est l'énergie nécessaire pour détacher entièrement de son noyau un électron de l'atome d'hydrogène? Quelle longueur d'onde et quelle fréquence le photon nécessaire à cet effet doit-il posséder ?

(ΔE = 13,6 eV; λ = 91,1 nm; f = 3,29 ⋅ 1015 Hz)

19. Un atome a les niveaux d'énergie suivants:

0,0 eV(n → ∞ ) ; –3,0 eV (n = 3); – 5,0 eV (n = 2); –8,0 eV (n = 1) , Des atomes de ce type sont bombardés avec un faisceau d'électrons d'énergie 11 eV. a) Quelle énergie peuvent présenter les électrons externes qui sortent après la collision ? b) Quelles sont les fréquences possibles des photons qui sont émis par les atomes bombardés ?

;-)

20. Le spectre d'un atome d'hydrogène est illustré à l'aide d'un réseau Rowland à 570 traits par mm. Dans le 2e ordre, on observe une raie de la série de Balmer sous un angle de 33,6°. De quelle trajectoire plus élevée l'électron est-il retombé sur la 2e trajectoire ?

(Balmer: 4 → 2)


FORMULAIRE

fhE ⋅=

E: énergie du photon h: constante de Planck f: fréquence

2

21 vmWfh A ⋅⋅+=⋅

WA: travail d’extraction m: masse de l’électron libéré v: vitesse de l’électron

UQEel ⋅=

Eel: énergie électrique Q: charge électrique U: tension électrique

λhp =

p: quantité de mouvement λ: longueur d’onde de de Broglie

λ =h

2 ⋅m ⋅Ecin

seulement si v << c

λ: longueur d’onde de de Broglie non relativiste m: masse de la particule E: énergie de la particule

π2hnvrm ⋅=⋅⋅

n: nombre quantique v: vitesse de l’électron r: rayon de la trajectoire m: masse de l’électron

Fel =14πε0

⋅Q1 ⋅Q2

r2

Fel: force de Coulomb Q: charge électrique r: espacement entre les charges ε0: permittivité du vide

Epot = −14πε0

⋅e2

r

Epot: énergie potentielle électrique e: charge élémentaire

E = 12⋅m ⋅ v2 − 1

4πε0⋅e2

r

E: énergie totale de l’électron dans l’atome H

22

02

nem

hr

en ⋅

⋅⋅

⋅=π

ε 2

1 nrrn ⋅=

rn : rayon de Bohr dans l’atome H r1 = 0,529 ⋅ 10-10 m


2220

4 18 nh

emE en ⋅

⋅−=ε

211n

EEn ⋅=

En: énergie de l’électron dans l’atome H E1 = −13,6 eV

€

ΔE = Efin − Eini = −13,6 eV ⋅1

nfin2−

1

nini2

%

&

' '

(

)

* *

Eini , Efin : énergie de l’électron dans l’atome H nini , nfin : nombres quantiques

=α 1,22dλ

α : angle d’ouverture λ : longueur d’onde d : diamètre de l’ouverture circulaire

6 mécanique quantique 2013-14 - ltc.lu · broglie (1892 - 1987) a élargi en 1924 à toutes les...

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