phan dang toan 12rat hay
Post on 05-Aug-2015
65 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 1
PHÂN DẠNG
BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LỚP 12
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 2
PHÂN DẠNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LỚP 12.
PHẦN A: GIẢI TÍCH.
CHƢƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) 3 2
y 2x 3x 1 b) 3 2
y x 2x x 1
c) 3 2
y x 3x 9x 1 d) 3 2
y x 2x 5x 2
Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) 4 2
y x 2x 5 b) 2 2
y x 2 x
c) 4
2x
y x 3
4
d) 4 2
y x x 1
Bài 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a)
x 1
y
x
b)
3x 1y
1 x
c)
2
x 2xy
1 x
d)
2
x 2x 3y
x 2
e) 1
y x
x
f) 1
y x
x
Bài 4: Chứng minh rằng :
a) 2
y 2x x đồng biến trên khoảng 0;1 và nghịch biến trên khoảng 1;2 .
b) 2
y x x 8 nghịch biến trên
Bài 5: Tìm tham số m để:
a) 3
y mx –x nghịch biến trên
b) 3 21
y x mx 4x 3
3
đồng biến trên
c)
2
x - m 4y
x 3
đồng biến trên từng khoảng xác định.
d)
my x 2
x 1
đồng biến trên từng khoảng xác định.
e) 3 2y x 3x mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch
biến trên khoảng 0; .
f) 3 2y 2x 2x mx 1 đồng biến trên khoảng 1; .
g) 3 2y mx x 3x m 2 đồng biến trên khoảng 3;0 .
h) mx 4
yx m
luôn nghịch biến trên khoảng ;1 .
i) 3 2y x 3x m 1 x 4m nghịch biến trên khoảng 1;1 .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 3
Bài 6: Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
a) 3 2 3 21 1y x m m 1 x m x m 1.
3 2
b) 3 2 21 1y x mx m x m 3
3 2
c) 3 21 1y = m 1 x m 1 x x 2m 3.
3 2
Bài 7: Tìm tham số m để hàm số:
a)
2
mx 6x 2y
x 2 nghịch biến trên nữa khoảng 2; .
b)
mx 1y
x m luôn nghịch biến trên nữa khoảng 2; .
c)
x 2my
2m 3 x m luôn nghịch biến trên nữa khoảng 1;2 .
d) 3 21y = x 2 m 1 x m 1 x m.
3 đồng biến trên nữa khoảng 2; .
e) 3 2 2y = x m 1 x 2m 3m 2 x m 2m 1 . đồng biến trên nữa khoảng
1; .
Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
tanx x 0 x
2
b)
3
xtanx x 0 x
3 2
c) sinx x x 0 d) sinx x x 0
2. Cực trị của hàm số.
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số:
a) 3 21
y x 2x 3x
3
b) 3 21
y x x 2x 1
3
c) 4 21 1
y x 2x
4 4
d) 3
51 x
y x 2
5 3
Bài 2: Tìm cực trị các hàm số:
a) 1
y x
x
b)
2
x 3x 3y
x 1
c)
4x 1y
x 2
b)
2
x 4x 3y
2 x
Bài 3: Dùng dấu hiệu 2, tìm cực trị các hàm số:
a) 4 2
y x –2x 1 b) y sin2x –x
c) y sinx cosx d) y 3–2cosx –cos2x
e) 5 3
y x –x –2x 1 f) 1
y cosx cos2x
2
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 4
Bài 4: Tìm m để hàm số:
a) 3 2 2
y x –3mx 3 m – 1 x m đạt cực tiểu tại x 2
b)
2
x mx 1y
x m
đạt cực đại tại x 2
c) 3 2
y mx 3mx – m –1 x –1 không có cực trị.
d)
2 2
x mx my
x m
có cực đại và cực tiểu.
e) 3 2
y 2x –3 2m 1 x 6m m 1 x 1 đạt cực trị tại 1 2
x , x .
f) 3 2
y mx 3x 12x 2 đạt cực đại tại x 2
Bài 5: Tìm m để hàm số có cực trị.
a)
2
x mx 2y
mx 1
b) 3 2
y x –3mx m 1 x 3m 4
c)
2
x m 1 x m 2
y
x 1
d) 4 2
y x –2 m –4 x 2m 5
e)
2
mx m 2 x 1
y
x 2
f) 3 21
y m 1 x m 1 x 2m 1
3
Bài 6: Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu.
a) 3 2
y m 2 x 3x mx m
b)
2
m 1 x m 1 x m
y
x 1
c)
2 3
x m m 1 x m 1
y
x m
Bài 7: Tìm m để hàm số :
a) 3 2
y x mx 4
Có điểm cực đại là A 2;0 .
b) 4 2
y x m 1 x m 1
có điểm cực tiểu là B 1;1 .
c)
2
x m 1 x m 2
y
x 1
có điểm cực đại là C 2; 2 .
Bài 8: Tìm m để hàm số :
a) 4 2
y mx m –1 x 1 2m chỉ có 1 điểm cực trị.
b) 4 3 2
y x 4mx 3 m 1 x 1hàm có 3 cực trị.
Bài 9: Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại :
a) 4 21 3
y x mx
2 2
b) 4 2
y x mx 3
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 5
Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số :
a) 3 21
y x mx 2m 1 x 2
3
có 2 điểm cực trị dương.
b) 3 2
y x mx m 6 x 5 có 2 điểm cực trị dương.
c)
2
2x mx m 2y
mx 1
có 2 điểm cực trị âm.
d) 3 2
y x 6x 3 m 2 x m 6 đạt cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía với trục tung.
Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và cách đều trục oy :
a) 3 2
y 2x mx 12x 13
b) 3 21
y x 2m 3 x 2m 3 x
3
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và 2 điểm đó nằm về 2 phía
với trục ox :
a)
2
mx 3mx 2m 1y
x 1
b) 3 2m 1
y x x m 1 x 3
3 2
c) 3 2 2
y x 4m 3 x 2m 7m 10 x 3
Bài 13: Tìm a, b, c, d sao cho hàm số:
a) 3 2
f x ax bx cx d đạt cực tiểu tại x 0, f 0 0 và đạt cực đại tại
x 1, f 1 1
b) 3 2
f x x ax bx c đạt cực trị bằng 0 tại x 2 và đồ thị đi qua điểm A 1;0 .
c)
2
ax bx abf x
ax b
đạt cực trị tại x 0và x 4
3. Gía lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) 3 2
y x 3x –9x –7 trên 4;3 và 0;2 .
b) 4 2y x – 3x 1 trên 0;3 và 4;1 .
c)
3 xy
2 x
trên 5 7
2; 1 và ;2 2
.
d)
2
x 4x 4y
1 x
trên 1
3; và 2;42
.
e)
2
x 5x 4y
x 2
trên 0;1 .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 6
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
1y x –2
x 1
trên 1; . b) 1
y x –
x
trên 0;2 .
c)
2
2
x x 1y
x x 1
d) 2
xy
x 4
e) 2
y x –3x 2 trên 10;10 .
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) 2
y 5 x b) y 7 x trên 2;3 .
c) 2
y x 4 x d) 2
y x 9 x
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y 2cos2x 4sinx trên 0;
2
.
b) 3
y 2sinx sin x trên 0; .
c) 3 2
y cos x –6cos x 9cosx 5
d) 3
y sin x –cos2x sinx 2
e) y sin2x –x trên
;
2 2
.
Bài 5:
a) Trong các tam giác vuông có cạnh huyền là 12cm . Hãy xác định tam giác có diện tích
lớn nhất.
b) Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 2
24m . Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi
nhỏ nhất.
4. Tiệm cận của hàm số.
Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)
4xy
3 x
b)
2y
3x 1
c)
3y 2
x 1
d) 2
2x - 1y
x - 1
e)
2
2
x x 1y
2 x x
f)
x 2y
2x 1
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)
2
2x 1y x 3
x
b)
3
2
xy
x 2x 1
c)
3
2
x x 1y
x 4
d)
2
2
x x 2y
3x x 2
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 7
Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) 2
y x 2x b) 2
y x x 4
c) 2
y 2x x 9 d) 2
y x 2x 5
5. Khảo sát hàm số.
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a) 3
y 2 3x –x b) 3 2
y x 4x 4x
c) 3 2
y x x 9x d) 3
y 2x 3
e) 3 21 5
y x –x –3x –
3 3
f) 3 2
y x 3x –3x 2
g) 2
y x x –2 h) 2
y x 1 x –1
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) 4 2
y x –3x 1 b) 4 2
y x 2x –1
c) 4 2
y x 2x –1 d) 4
2x 3
y x
4 4
e) 4 21 3
y x –2x
4 4
f) 4 2
y x –2x 3
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a)
x 2y
x 1
b)
1 2xy
2x 4
c)
2x 1y
1 3x
d)
2y
2x 1
e)
3y 1
x 1
f)
1y 2
2 x
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a)
2
x 3x 6y
x 1
b)
2
2x x 1y
1 x
c)
2
2x 3x 3y
x 2
d)
1y x 2
x 1
e)
2
x 3y
x 1
f)
2
x 4x 4y
1 x
6. Những bài toán liên quan tới hàm số.
Bài 1: Cho hàm số: 3 21
y x 2x 3x 1 C
3
. Viết phương trình tiếp tuyến của C .
a) Tại giao điểm của C với trục tung.
b) Vuông góc với đường thẳng : x 3y –1 0
c) Tại hoành độ bằng 1.
d) Tại tung độ bằng 1 .
e) Có hệ số góc k 8
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 8
f) Đi qua điểm A 0; 1 .
Bài 2: Cho hàm số: 3 2
y x 3x –4
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
b) CMR tiếp tuyến trên có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị.
Bài 3: Cho hàm số: 4 2
y x –2x –3
a) Dựa vào C biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 2
x –2x m 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C có hệ số góc k 24
Bài 4: Cho hàm số: 4 21 1
y x x m
4 2
a) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số đi qua điểm A 1;1 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có tung độ bằng 7
4
Bài 5: Cho hàm số: 3 2
y x 3x –1 C
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị C với trục 0y .
b) Tuỳ theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: 3 2
x –3x m 0
Bài 6: Cho hàm số 3 2
y x 3x 1 C
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 3 2
3x 9x m 0.
Bài 7: Cho hàm số : 4 2
y –x –x 2 C
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết hệ số góc của d bằng 6 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết đi qua điểm A 0;3 .
Bài 8: Cho hàm số: 4 2
y x 2mx 2m .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1
m
2
. Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại hai điểm uốn.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho 2 2 2
1 2 3x x 4 .
Bài 9: Cho hàm số: 3 21
y x x 2 C
3
a) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số C biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục tọa độ tại 2
điểm phân biệt A, B sao cho tam giác 0AB vuông cân.
b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : y 3x 2 sao cho tổng khoảng cách tới 2 cực trị
của hàm số C là nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hàm số: 2x 1
y C
x 1
. Với giá trị nào của m đường thẳng
md đi qua điểm
A 2;2 và có hệ số góc m.
a) Cắt C tại hai điểm phân biệt.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 9
b) Cắt C tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.
c) Tiếp xúc với C .
Bài 11: Tìm m để đồ thị của hàm số:
a) 31
C : y x 3x m
3
tiếp xúc với 2
P : y x
b) mx 1
C : y
x
tiếp xúc với 2
P : y 4x 1
c) y = 2
2m 1 x m
C : y
x 1
tiếp xúc với đường thẳng d : y x .
Bài 12: Cho hàm số: 3 2 2
y x 3mx m 1 x 2 C .
a. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x 2 .
b. Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y 2 tại 2 điểm phân biệt A, B .khi đó m bằng bao
nhiêu để AB khoảng cách ABngắn nhất.
c. Tìm m để hàm có 2 cực trị đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Bài 13: Cho Hàm số : 2x 1
y Cx 2
a) Chứng minh đường thẳng d: y x m luôn luôn cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt
A, B .Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
b) Tìm trên đồ thị C những điểm có tổng khoảng cách tới 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
c) Tìm trên đồ thị những tọa độ nguyên.
Bài 14: Cho hàm số: 3x 1
y H
x 2
a) Xác định m để đường thẳng d : y 7x m cắt đồ thị H tại 2 điểm.
b) CMR tồn tại một điểm bất kỳ thuộc đồ thị H sao cho tích khoảng cách từ điểm đó tới
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là một hằng số.
b) Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên.
Bài 15: Cho hàm số: x 1
y C
x 2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và trục hoành 0x .
b) Tìm điểm M thuộc đồ thị C sao cho khoảng cách từ điểm M tới tiệm cận đứng bằng 2 lần
khoảng cách từ điểm M tới tiệm cận ngang.
c) Vẽ đồ thị: 'x 1
y C
x 2
Bài 16: Cho hàm số: mx 1
y
2x m
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
b) Tìm m để tiệm cận đứng đi qua A 2; 5 .
c) Tìm m để cho tích khoảng cách từ điểm M 1;1 tới tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của
hàm số bằng 2.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 10
Bài 17: Cho hàm số 3 2
C : y x –3x 4x 1 và 2
P : y x 5x –3
a) Tìm giao điểm của C và P . Viết phương trình tiếp tuyến của C và P tại các giao
điểm trên.
b) Xác định các khoảng trên đó C nằm phía trên hoặc phía dưới P .
c) Vẽ đồ thị hàm số 3 2
y x –3x 4x 1
Bài 18: Cho hàm số: x 3
y
x 1
có đồ thị C .
a) CMR: đường thẳng y 2x m luôn cắt C tại hai điểm phân biệt M, N .
b) Xác định các giá trị m để độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
c) Vẽ đồ thị hàm số
x 3y
x 1
d) Tìm trên đồ thị C những điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới 2 trục tọa độ là
nhỏ nhất.
Bài 19: Cho hàm số 3 2
y x 3x 1 C .
a) Xác định k để đường thẳng y kx tiếp xúc với C .
b) Gọi d là đường thẳng đi qua cực đại của hàm số C và có hệ số góc là m. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt.
c) vẽ đồ thị hàm số 3
2
y x 3x 1
d) Tìm những điểm trên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 20: Cho hàm số 3
y x –3x 2 C .
a) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 3;20 và có hệ số góc là m.Tìm m để đường thẳng
d cắt đồ thị C tại 3 điểm phân biệt.
b) Vẽ đồ thị hàm số 3
y x –3 x 2
c) Tìm điểm M thuộc đồ thị C sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 tới tiếp tuyến tại M
của đồ thị C là nhỏ nhất.
d) Tìm trên đồ thị hàm số C những điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Bài 21: Cho hàm số: 4 2
y x – m 2 x m 1 C
a) CMR: Đồ thị hàm số C luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi giá trị của m. Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại A và B.
b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị có hoành độ là 1 2 3
x ,x ,x sao cho 2 2 2
1 2 3x x x 1 .
c) Tìm m để đồ thị hàm số C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 11
7. Những bài toán CĐ, ĐH các năm.
Bài 1: CĐ khối A, B, D 2008: Cho hàm số x
y .x 1
C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt.
Bài 2: CĐ khối A, B, D 2009: Cho hàm số 3 2y x 2m 1 x 2 m x 2 (1),với m là
tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m = 2
b) Tìm các giá trị của m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm giá trị của đồ thị
hàm số (1) có hoành độ dương.
Bài 3: CĐ khối A, B, D 2010:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 3 2y x 3x 1
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng – 1
Bài 4: CĐ khối A, B, D 2011: Cho hàm số 3 21y x 2x 3x 1.
3 C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của C với trục tung.
Bài 5: ĐH khối B 2008: Cho hàm số 3 2y 4x 6x 1 1 ,
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
M 1; 9 .
Bài 6: ĐH khối D 2008: Cho hàm số 3 2y x 3x 4 1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I 1;2 với hệ số góc k k 3 đều
cắt đồ thị của hàm số 1 tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
Bài 7: ĐH khối A 2009: Cho hàm số x 2
y 1 .2x 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 ,biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành,trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Bài 8: ĐH khối B 2009: Cho hàm số 4 2y 2x 4x 1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 .
b) Với các giá trị nào của m,phương trình 2 2x x 2 m có 6 nghiệm thực phân biệt ?
Bài 9: ĐH khối D 2009: Cho hàm số 4 2y x 3m 2 x 3m có đồ thị là mC , m là tham
số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 12
b) Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị mC , tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ
hơn 2.
Bài 10: ĐH khối A 2010: Cho hàm số 3 2y x 2x 1 m x m 1 , m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1 .
b) Tìm m để đồ thị của hàm số 1 cắt với trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3x , x , x thỏa mãn điều kiện 2 2 2
1 2 3x x x 4.
Bài 11: ĐH khối B 2010: Cho hàm số 2x 1
y .x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).
Bài 12: ĐH khối D 2010: Cho hàm số 4 2y x x 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng 1
y x 1.6
Bài 13: ĐH khối A 2011: Cho hàm số x 1
y C2x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m luôn cắt C tại hai điểm
phân biệt A và B. Gọi 1 2k ,k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại A và
B.Tìm m để tổng 1 2k k đạt giá trị lớn nhất.
Bài 14: ĐH khối B 2011: Cho hàm số 4 2y x 2 m 1 x m 1 ,m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m 1 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA OB; trong đó O
là gốc tọa độ,A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Bài 15: ĐH khối D 2011: Cho hàm số 2x 1
y .x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.
b) Tìm K để đường thẳng y kx 2k 1 cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A,B sao
cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 13
CHƢƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT.
I. Lũy thừa.
Bài 1: Đơn giản biểu thức.
a) 55 23 126 .. yxyx b) 33
3
4
3
4
ba
abba
c) 1.1
.1
4
14
2
1
3
4
a
a
aa
aa
a d)
m
m
m
m
m
1
2
1
2.
22
4
2
13
2
Bài 2: Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
a) 7 35.28
1ax b) 3 45 . aa
c) 48 3 . bb d) 4 3.273
1a
Bài 3 : Tính .
a) 3
3
3
b) 31321 16.4
c) 23
2
3
27 d)
55 4
82
Bài 4: Đơn giản các biểu thức.
a)
2 2 2 3
2
2 3
a b1
a b
b) 2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
a 1 a a a
a a
c) 1
2
a b 4 .ab
d)
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
A
a a a
e)
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
a 2 a 2 a 1A
a 1a 2a 1 a
f)
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a aA
a a a a
g)
1 11 12 24 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
a b a bA : a b
a a b a b
h)
1 1 1 1
12 4 2 2
1 1 1
4 4 2
x x 1 x 1 2x xA
1 x x 1 x
Bài 5: Rút gọn:
a)
1
1
2
2 3 31 1
2 22 2
1 a bA ab
a ba b
b)
2 2
1 1 3 1 1
2 2 2 2 2
a a 2 1 aB
a a a a a
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 14
c) a 2 a 2 a 1
Ca 1a 2 a 1 a
d)
12 3 4 3 3
12 3 3 3 3
a 1 a aD
a a a
e)
2 8 5 1
3 3 3 3
2 5 2 1
3 3 3 3
a a a aE
a a a a
Luyện tập
Bài 1: Viêt dươi dang luy thưa vơi sô mu hưu ti cac biêu thưc sau :
a) 5 32 2 2 b)
11
6a a a a : a ;a 0 ;.
c) 24 3x x x 0 d) 5 3a a
ab 0b b
Bài 2: Đơn gian cac biêu thưc sau :
a) 4
5a b) 4 281a b ; b 0
c) 484 1 ; 1 x x x d)
2
2
2
a1 a
bP
a b 2 ab
e)
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4a 9a a 4 3a 3Q ; a 0;a 1;a
22a 3a a a
f) 3 5 13 48
Bài 3: Đưa nhân tư ơ ngoai vao dâu căn :
a) 4 ; 44
xx x
x b)
2
15 ; 0 5
25
a a
a
Bài 4: Trục căn ơ mâu số của các biểu thức sau :
a) 4
20 b)
6 3
1; 0; 0a b
a b
c) 1
3 2 d)
5
4 11
e) 33
1
5 2
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức :
a)
1
5 13 7 1 1 2
3 32 4 4 2A 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 15
b)
23 3
332 2
22 3
a b a a bA :
a a b ba ab
vơi 6
5a và
3
5b
c) 3
3 1 22 12 2 3A a b ab a
vơi 2
2a và
3
1
2b
Bài 6: Chưng minh đăng thức sau :
a) 1 2 2
21 1 1 1 3
2 2 2 2 2
a a 1 a 2a 0
a a a a a
b) 3
2 4 2 2 2 4 2 23 3 3 3a a b b a b a b
c) 3 2 2 3 2 2 2 d) 3 35 2 7 5 2 7 2
Bài 7: Rút gọn biểu thức :
a)
2 112a .a
b)
23 1
3b : b
c) 4 2 4x x : x d)
3 53 25a
Bài 8: So sanh :
a) 6003 và 4005 b)
5
71
2
và 3
142.2 c) 3 3 và 2
II. Logarit.
Bài 1: Tìm x.
a) log 42
x b) 2log 3x c) 81
1log
4x
d) log 25 2x e) log 1 23
x f) log 43
2 4x
g) log 421
2
x h) log 13 4
1 5
2
x
k) log 5 042
x
Bài 2: Tính.
a) log 3
24 b) 4
33
log
c)3
22log
d) 2log 4 e) 3
1log
3 f) 2
1log
16
g) 1
32log
aa với 0 1a h) 35
7 4949loglog
i)
1 13 2
6 89 4log log
Bài 3: Tính.
a) 12 12log 6 log 2 b) 1 1 1
2 2 2
4log 6 log 24 log
9
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 16
Bài 4: Tính.
a) 100 425 25
log log b) 2 2 2
20 6 15log log log .
c) 2 2 25 10 25log log log . d) 6 7 14
3 3 3log log log
e) 10 7 145 5 5
log log log .
Bài 5: Cho log 2;log 3b ca a . Hãy tính log xa , biết
a) 2 3
4
a bx
c b)
2
3
a bx
c c) 2 23x a bc
Bài 6: Tính
a) Cho 5 142 2
log ;loga b . Tính 352
log theo a và b
b) Cho 10 72 2
log ;loga b . Tính 352
log theo a và b
c) Cho 4 53 3
log ;loga b . Tính 103
log theo a và b
d) Cho 2 95 5
log ;loga b . Tính 65
log theo a và b
e) Cho 3 5 272 3
log ;log ;loga b c . Tính 5063
log
Luyện tập:
Bài 1: Biết 5 5log 2 a và log 3 b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
a) 5log 27 b) 5log 15 c) 5log 12 d) 5log 30
Bài 2: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các
lôgarit.
a) 32
5 3ba b)
2,0
6 5
10
b
a c) 549 ba d)
7
2
27a
b
Bài 3: Tính giá trị các biểu thức.
a) 9 9 9log 15 log 18 – log 10 b) 3
3
1
3
1
3
1 45log3400log2
16log2
c) 3log2
12log
6
136 d) 1 3 2
4
log log 4.log 3
Bài 4: Tính giá trị các biểu thức.
a)
1 1log 4 log 8 log 29 125 74 281 25 .49
b)
1log 3 3log 51 log 5 524 216 42
c)
1 log 4log 9 log 67 7 5272 49 5
Bài 5: Tìm x biết.
a) 6 6 6 6log x 3log 2 0,5 log 25 – 2 log 3. b) 4 4 4 4
1log x log 216 2log 10 4log 3
3
Bài 6: Tính.
a) 20 20
log 2 3 log 2 3 b) 3log 2 1 log 5 2 7
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 17
c) e
e1
lnln d) 1 2lne 4ln e . e
Bài 7: Tìm x biết
a) xlog 18 4 b) 5
32log 5 x c) 3
xlog 2. 2 6
Bài 8:
a) Biết 12 12log 6 a, log 7 b . Tính 2log 7 theo a và b.
b) Biết 2log 14 a . Tính 49log 32 theo a
III.Hàm số mũ, hàm số logarit.
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau.
a) x
x
ey
e 1
b) 2x 1y e 1 c)
2x 1y ln
1 x
d) 2y log x – 2x e) 2y ln x 5x 6 f) 2
2
2x 3x 1y log
1 3x
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau.
a) 2 xy x 2x 2 .e b) 2xy sinx – cosx .e c) x x
x x
e ey
e e
d) x xy 2 e e) 2y ln x 1 f) ln x
yx
g) y 1 lnx lnx h) 2 2y x .ln x 1 i) x
3y 3 .log x
k) e
y 2x 3 l) xy x .
m) 3y x
Bài 3: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
a) sinxy e ; ' ''ycosx – ysinx – y 0
b) y ln cosx ; ' ''y tanx – y –1 0
c) y ln sinx ; ' '' xy y sinx tan 0
2
d) xy e .cosx ; ' ''2y – 2y – y 0
f) 2y ln x ; 2 '' 'x .y x. y 2
Bài 4: Cho hàm số 2x xy e . Giải phương trình y y 2y 0
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) xy x.e trên đoạn [ 1; 2] b)
x
x
ey
e e
trên đoạn ln2;ln 4
c) y ln x x . d) 2y x ln 1 2x trên 2;0
e) 2
2
log x 2y
log x 2
trên đoạn 8;32 f) 2y f x x 8.lnx trên đoạn 1 ;e
g) 2 xf x x – 3x 1 e trên đoạn 0;3 h) y x – lnx 3 trên 1
;ee
i) 2 xf x x e trên đoạn 1;1 k) 2ln x
f (x)x
trên đoạn 31;e
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 18
IV. Phƣơng trình mũ – Phƣơng trình logarit.
1. Phƣơng trình mũ cơ bản.
Bài 1: giải các phương trình sau:
a) x10 1 b) x
82 c) x44 d) x
5e
e) x23 f) x 1
327
g)
x
91
2
h) x 2x 34 8
i) 3 x6 216 k)
3x 11
33
l) 2x 5x 6
15 m)
2x 3x 24 16
Bài 2: giải các phương trình sau:
a) x 1 2x 2x x 13 18 .2 .3 b) x 1 6x 5
0.4 6.25 c) 2x 1 2x 15 3.5 550
d) 2
2
10 1x x e)
3 7 7 3
3 7
7 3
x x
f) 5
1
2 .5 0.1 10x x x
g)
3
1 13 .
3 27
x x
x
h)
2x 2x 31 x 1
77
i)
2x 21 4 3x
22
j) 5 x
2x 3 40,75
3
k) x2 3x
0,5 2
p) 2x x 8 1 3x
42
q)
x 11 2x
12525
Bài 4: giải các phương trình sau:
a) x 1 x 2 x 3 x 43 3 3 3 750
b) 2x 1 2x3 3 108
c) 2x 1 2x 15 3.5 550
d) x 1 x 1 x
2 2 2 28
e) x 1 x 1 x2.3 3 3 96.
f)
2x 7 1161 6xx.4 8
2
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) 1 2x x
.5 5.5 2505
b) 2x 2 x2 9.2 2 0
c) 2x 1 x9.3 6 03
d) 2x 6 x 72 2 017
e) x x.3 09 2 15 f) x x
064 8 56
g) x x.5 025 6 5 h) x x 1
.3 09 24 15
i) 4x 8 2x 53 4.3 27 0
k) x x 14 36.2 32 0
l) 6x 3xe 3.e 2 m)
2 2x 5 x x 5 x 24 2 4
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) x 1 x3 18.3 29
b) x 1 1 x3 3 10
c) x 1 x
5 5 4 0
d) 2x 2xe 4.e 3
e) 2 2sin x cos x
9 9 10 f) 2 2sin x cos x
4.2 62
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 19
g) x x
4 15 4 15 62 h) x x
2 42 3 3
k) x x
6 46 35 35 l)
2 3 2 3 2
x x
x
Bài 7: Giải các phương trình sau
a) x x x2.25 7.10 5.4 0 b) x x x
5.363.16 2.81
c) x x 2x 125 10 2 d) x x x
04.9 12 3.16
e) x x x3.4 2.6 9 f)
1 1 1x x x4 6 9
g) 2x 4 x 2x 23 45.6 9.2 0
h) x x x
3.25 2.49 5.35
Bài 8: Giải các phương trình sau
a) x 1 x2 .5 200
b) 2x 4 x 2
2 3
c) 2x 5x 6 x 3
5 2
d) 2x 1 x x 2
3 .2 8.4
e) x xx 1
5 . 8 100 f)
2 2 4x -6 x -6 x-1
5
12 .3 = 6
6
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a) x x4 3 1 b)
x1
x 43
c) x x x2 5 7 d) x
3 5 2x
e) x x x2 3 5 f) x x x4 3 5
2. Phƣơng trình logarit.
Bài 1: Giải các phương trình:
a) 2log x 3 b) log x 1 c) lnx = 0
d) x xlog 4 x log x 1 11 e) 3log x 2 1x f) log x 5 22
g) 2 2log x 3 log x 1 3 h) 2
2log x 6x 1 3 i) 2log x 1
2x
k) 2
5 xlog x 2x 65 2 l) 3
loglog 3 2
x
Bài 2: Giải các phương trình:
a) log 5x 3 log 7x 53 3
b) 2log x x 7 log x 36
c) log x log x 1 12 2
d) log x 5 log x 2 32 2
e) log x 1 log 2x 11 log 2 f) log log x 3 22 4
x
g) log log x 23 3
x 1 h) 2log x 3 log 6x 10 0
2 21
i) 22log log x 75
22x j)
25log x log x log x log x
2 4 8 16 12
k) 21 1log x x 5 log 5x log
2 5x
l) 21
log x 4x 1 log 8x log 4x2
m) log x 4log x log x4 8
132
n) log x log x log x 63 13
3
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 20
o) x 8
log log xx 1
p)
2 1
8
log ( 2) 2 6log 3 5x x
Bài 3: Giải các phương trình:
a) log x log 4x 54 2
b) log2
3(x+1) – 5log3(x+1)+6 = 0
c) 2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 02 2 2
x x d) log 16 log 64 32 2xx
e) log 2 2log 4 log 8x 2x 2x f) 2
55
log (4 6) log (2 2) 2x x
g) 2 x 11 log x 1 log 4
h)
1 x x 2
log 4 .2 1 1 log 2 2 2log2
i) 1-
2 log2 1 log 5 1 log 5 5x x
j) logx log5
5 x 50
k) 2 2
3x 7 2x 3log 4x 12x 9 log 6x 23x 21 4
l) 2 3log x – logx 2 0 m) 2
3 3
3log log 1
xx
x
V. Bất phƣơng trình mũ – Bất phƣơng trình logarit.
1. Bất phƣơng trình mũ:
Bài 1: Giải các bất phương trình:
a) x3 5 b) x2 16 c)
x1
32
d) xe 2
e) x 110
10 f) x5 16 g)
x2
43
h)
2
2 4x x
i)
2
1 1
2 4
x x
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) 2x 3x
2 4
b)
22x 3x7 9
9 7
c) x 2 x 13 3 28
d) x x4 3.2 2 0
e) 2x 1 2x 2 2x 32 2 2 448
f) x x
22 3 0
g) x x 1
0, 4 2,5 1,5
h) x x x5.4 2.25 7.10
i) 2
2
3 9x x x j)
2
61
9
3
x x
x
k) 2x 1 x5 26.5 5 0 l) 2x 1 x 13.5 2.5 0.2
2. Bất phƣơng trình logarit:
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 21
Bài 1: Giải các bất phương trình:
a) 2log x 3 b) 3
4
log x 1 c) 5
1log x
2
d) 2log x 4 e) log x 13
f) 1
3
log x 2
g) 3x 2log x 1 h) 2
4 2log 2x 3x 1 log 2x 2
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) log 4 2x 28
b) log 3x 5 log x 11 15 5
c) log x log x 2 log 350,2 0,2
d) 2log x 5log x 6 0
3 3
e) 2log log x 1 1
3 12
f) 2
0,2 0,2log x 5log x 6
g) 1 3
3
log 1 log 2 x x h) 2
2xlog x 5x 6 1
i) 3log log 9 6 1
x
x j)
2 1 5
3
log log log 0
x
k) 5 x2log x log 125 1 l) 2
1
2
log 4 6 2 x x
m) 1
5
4 6log 0
x
x
n) 1
5log (6 36 ) 2
x x
o) 1 1
2 2log 9 7 log 3 1 2
x x
p) 9log log 3 9 1
x
x
VI. Hệ phƣơng trình.
Bài 1:Giải hệ phương trình sau.
a)2 2
lg lg 1
29
x y
x y
b)
3 3 3log log 1 log 2
5
x y
x y
c)2 2
lg( ) 1 3lg2
lg( ) lg( ) lg3
x y
x y x y
d)
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
e)1 1
3.2 2.3 8
2 3 19
x y
x y
f)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
g) 2 2
( ) ( )
log log 1 0
x y
x y x y
x y
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 22
VI.Một số bài tập CĐ, ĐH các năm.
1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ
1) 2 1 2 1 2 2 0x x
(Khối B – 2007)
2) 2 22 2
4 2.4 4 0x x x x
(Cao Đẳng KTKTCNII - 2006)
3) 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x (Khối A – 2006)
4) 2 22
2 2 3x x x x
(ĐH khối D – 2003)
5) 2 2 2
2 4.2 2 4 0x x x x x
(ĐH khối D – 2006)
6) 2 21 2
10.3 1 09x x x x
( Tham khảo 2006)
7) 2
3 .2 1x x
(ĐH Hùng Vương- hệ CĐ 2006)
8) 3 1125 50 2
x x x (CĐ KT đông du – 2006)
9) 2 22 2cos cos 1 2cos cos 12cos cos 1
6.9 13.6 6.4 0x x x xx x
10) 3 1 22 7.2 7.2 2 0x x x (Tham khảo Khối D – 2007)
11) 25 2 3 .5 2 7 0 x x
x x (ĐH tài chính kế toán Hà Nội – 97)
12) 12 4 1
x xx
(ĐH Ngoại Thương 97)
11) 2 2 23 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1x x x x x x
(Học viện quan hệ quốc tế - 99)
13) 2 22 1 2 2
2 9.2 2 0x x x x
(ĐH Thủy Lợi – 2000)
14) 7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0 x x x
15) 1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x
16) 22 1 2
3 3 1 6.3 31
x x x x
17) 2 2x 1 1 x 2x 1 1 2 x 2
x .2 2 2 x .2
18) 2 2x 1 x x
2 2 x 1
(Đại học Thủy Lợi 2001)
19) 1
4 2 m = 0x x (ĐH Sư phạm Vinh – 2000)
20) 3 2 3 2x x x (THAM KHẢO – 2004)
21) 8 18 2.27x x x (CĐ SP Q.NGÃI–06)
22) 4 23 4.3 3 0x x (CĐ NÔNG LÂM–06)
23) 2 22 24 2.4 4 0x x x x (CĐ KTKT CÔNG NGHIỆP–2006)
24) 14 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y
( THAM KHẢO-06)
25) x x
3 2 2 – 2 2 1 – 3 0.
26) Tìm a để hệ sau có nghiệm: 2 21 1 1 19 2 3 2 1 0 t ta a (TK-02)
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 23
27) 3
13 2 3 2
xx
x
28) 3.16 2.81 5.36 x x x (CĐ -2007)
29) 3 32x x 2 x 2 x 2 x 4x 44 2 4 2 x . (ĐH khối D – 2010)
2. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
1) 2 2log 2 2log 4 log 8x x x
(DB_A_2006)
2) 3
1 82
2
log 1 log 3 log 1 x x x (DB_B_2006)
3) 2 2log 2 2log 4 log 8x x x
. Đs: 2x ( DB_A_2006)
4) 1
3 3log 3 1 .log 3 3 6 x x . Đs: 3 3
28log , log 10
27x x (TK- 2006)
5) 2 4 2
12l og 1 log log 0
4 x x . Đs:
12,
4x x (DB_D_2006 )
6) 3 9
3
42 log log 3 1
1 log
xx
x Đs:
1, 81
3x x (DB_B_2007)
7) 2
2 4 1
2
log 2 log 5 log 8 0 x x Đs: 3 17
6,2
x x
Mâu A_2009
8) 2
2 2log 1 6log 1 2 0 x x Đs: 1, 3x x CĐ_ABD_2008
9) 2 1
2
2log 2 2 log 9 1 1 x x . Đs:3
1,2
x x DB_B_2008
10) 3
1 63 log 9
log
x x
x x Đs: 2x DB_A_2008
11) 22
log 2 1 log 2 1 42 1 1
x x xx x
Đs:5
2,4
x x (KA_2008)
12) log log5
5 50 x
x Đs: 100x CĐKTĐN_2005_A_D
13) 2 2
1log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
Đs: 2log 3x D_2007
14) 4 2
2 1
1 1log 1 log 2
log 4 2
x
x x . Đs:5
2x DB_A_2007
15) 5log 5 4 1x x Đs: 1x DB_D_2003
16) 2 3
4 82log 1 2 log 4 log 4x x x
17) 8 18 2.27x x x (CĐ SP Q.NGÃI–06)
18) 1
2
1 1
2 2
log 1 log 1 log 7 1x x x
(CĐ–06)
19) 2 21 log 9 6 log 4.3 6x x
(CĐ Y TẾ I–06)
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 24
20) 3
1 82
2
log 1 log 3 log 1 0x x x (TK - 2006)
22) 2 2log 2 2log 4 log 8 0x x x
23) 5log 5 4 1x x (THAM KHẢO –03)
24) Tìm m để phương trình: 2
2 1
2
4 log log 0x x m có nghiệm thuộc khoảng 0;1 .
25) 2 2
1log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
(ĐH,CĐ–KD-2007)
28) 22
2x 1 x 1log 2x x –1 log 2x 1 4 (ĐH–KA-08)
29) 3
2
32716log 3log 0xx
x x (TK – 2002)
30) Giải phương trình: 8
4 22
1 1log 3 log 1 log 4
2 4 x x x
31) Cho phương trình: 2 2
3 3log log 1 2 1 0 1 x x m , m là tham số.
a) Giải phương trình 1 khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình 1 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3
32) 4log 4 3 1 x x x R (CĐ KA - 07)
33) 2
3 3log 1 log 2 1 2x x
(TK-KHỐI B – 2007)
34) 4 2
2 1
1 1log 1 log 2
log 4 2x
x x
(KA-07)
3. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ.
1) 1 115.2 1 2 1 2x x x Đs: 2x (DB_A_2003)
2)
222 12
9 2 33
x xx x Đs:1 2 1 2x DB_D_2005
3) 5.4 2.25 7.10x x x Đs: 0 1x CĐKTĐN_2007
4) 2 22 4 2 2 1
2 16.2 2 0
x x x x Đs: 1 3 1 3x DB_D_2008
5) 2 1 2 13 2 5.6 0
x x x Đs: 3
2
log 2x DB_B_2008
6) 12 4 16
42
x x
x
Đs: ( ;2) (4; )x (DB_B_2004)
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 25
7)
2
2
2
2 19 2 3
3
x x
x x
(THAM KHẢO – 2005)
8) 25 15 2.9x x x ( CĐ ĐH BÁCH KHOA HN – 2006)
9) 2 21 15 5 24x x (CĐ KINH TẾ- TÀI CHÍNH - 2005)
10) 1 18 2 4 2 5x x x ( CĐ GIAO THÔNG - 2004)
11) 2 2
1 3log log
2 22 2x x
x (THAM KHẢO–04)
12) 2 3 2 3 2x x
x (CĐ 07)
4. BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT.
1) 3
3 5log 1
1
x
x. Đs: 2x (DB_A_2008)
2) 1 1 2
2 4
log 2log 1 log 6 0x x Đs: 3x (DB_B_2003)
3) 2
2
4
log log 2 0
x x x Đs: ( ; 4) (1; )x
4) 1log ( 2 ) 2x x . Đs: 2 3 0x (DB_A_2006)
5) 2
5 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1 x x . Đs: 2 4x KB_2006
6)
1 3log log2 22 22 2
x xx . Đs: 0;2 4; x (DB_A_2004)
7) 2
0,7 6log log 04
x x
x Đs: ( 4; 3) (8; )x (KB_2008)
8) 2
1
2
3 2log 0
x x
x
Đs: [2 2;1) (2;2 2]x (KD2008)
9) 1 2
3
2 3log log 0
1
x
x. Đs: 2x DB_A_2008
10) 2
4 2log 8 log log 2 0 x x x . Đs: 1
0; 1;2
x
11) 3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2x x . Đs:3
34
x (KA_2007)
12) 2 2 2
2 2 4log log 3 5 log 3 x x x
13) 2
2log 2log
2 20 0x x
x 2
14) 2
2
4
log log 2 0x x x
( THAM KHẢO –2005)
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 26
15) 1 1 2
2 4
log 2log 1 log 6 0x x ( CĐ BẾN TRE – 2006)
16) 1
2 2log 2 1 log 2 2 2x x (CĐ TÂY NINH – 2006)
17) 2
1 4
2
3 log log 2 0x x (CĐ TC KẾ TOÁN – 2006)
18) 2 4
0,5 2 16log 4.log 2. 4 log x x x (CĐ Y - 2006)
19) 3log log 3xx (THAM KHẢO–04)
20) 1 1 2
2 4
log 2log 1 log 6 0x x (THAM KHẢO–03)
21) 2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3.2x x x (THAM KHẢO–2002)
22) 3log log 9 72 1 x
x (ĐH,CĐ – KB 02)
23) 2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x
24) 31 log81
xx x
(CĐ 2007)
25) 26 6log log
6 12x x
x (CĐ KB- 07)
26) 1 1
3 3
4log log 3
2 3
xx
x
( CĐ– 07)
27) 2
2
1 log1
2 log
x
x
(CĐ -2007)
28) 2
4 2log 8 log log 2 0x x x (ĐỀ TK- 2007)
29) 2
3 2 1 3 3 1log 2 1 . log log 3 1 . log 2 x x x xx x x x
6.HỆ PHƢƠNG TRÌNH.
1)
2 2
5 5
9 5
log 3 log 3 1
x y
x y x y
(CĐTP. HCM - 2005)
2) 2 2
2
4 2
log 5
2log log 4
x y
x y
(CĐ SƯ PHẠM - KHỐI A - 2006)
3)
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y ( ĐỀ THAM KHẢO - 2006)
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 27
4) 2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y (ĐH, CĐ – KHỐI B - 2005)
5)
2 2
1 4
4
25
1log log 1
x y
y xy
(ĐH, CĐ – KHỐI A- 2004)
6)
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
(ĐTK07)
7) log log
2 2 3
y x
x y
xy y
(THAM KHẢO – 03)
8)
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
(THAM KHẢO 02)
9)
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
(ĐH, CĐ – KHỐI D– 02)
10)
2 2
2 2
2 2
x xy y
log x y 1 log xyx, y .
3 81
(ĐH – KHỐI A– 09)
11)
2
x x 2
log 3y 1 xx, y .
4 2 3y
(ĐH – KHỐI B–2010)
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 28
CHƢƠNG 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.
I.Nguyên hàm.
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau (công thức).
1.
.154
3
34
dxx
xx
2. dx
x a
3. 3
23 x dx
4. x x
dx
e e
5.
21 x
dxx
6. 2sin xdx.
7. dx
x .
8. 2 2
a bx dx a bx dx .
9. 2 2
1 sinx dx 1 cosx dx
10. dx
.2 5x
11. 3 1 3x.dx .
12. 2
dx
x x 2
13.
5
2
dx
5x 2
14. sin5x cos5x dx.
15. 2
dx
x 9
16. 3x
dxx 1
17. 5
dx
x ln x
18. 2x
2x
edx
e 1
19. 2
2x 2xe 5 e dx
20. x xcos 3e 1 e dx
21. tgx
2
edx.
cos x
Bài 2: Tính các nguyên hàm sau ( đổi biến số).
1. 5
2x 5 dx
2. 4/3
2x 1 x dx
3. 4
2 3x 8 x dx
4. 3sin xdx
5. 3cos xdx
6. 4sinxcos xdx
7. 5cosxsin xdx
8. 3 2sin x.cos xdx
9.
sinxe cosx cosxdx
10.2xxe dx
11. 3 2cos xsin xdx
12. dxx
x
ln
13. dx
x
x2
ln
14.1 ln x
dxx
15.21 ln x
dxx
16. dxx
x sin21
cos
17. 3
x 4 x dx
18. x 2 5xdx
19.2
2x 3dx
x 3x 5
20. 3
2 3x x 8 dx
Bài 3: Tính các nguyên hàm sau ( từng phần).
1. x1 3x e dx
2. 2xxe dx
3. xx.e dx
4. lnxdx
7. xsinxdx
8. xcosxdx
9. 2x 1 sinxdx
10. 1 4x cosxdx
12. dxx
x 2sin
13.
2 xx 4x 3 e dx
14. xe sinxdx
16. xlnxdx
17. xln x 1 dx
18. xsinx5xdx
19. xcos3xdx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 29
5. 2x lnxdx
6. 2 xx e dx
11.2
xdx
cos x 15. xe cosxdx
20. ln 5x 1 dx
II. Tích phân.
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN:
1. 1
3
0
1x x dx 2.2
2
1
1 1e
x x dxx x
2.
3
1
2x dx 3.
2
1
1x dx
4. 2
3
2sin 3x cosx x dx
5. 1
0
xe x dx
6. 1
3
0
x x x dx 7. 2
1
1 1x x x dx
8. 2
3
13sin 2x cosx dx
x
9.
1
2
0
1xe x dx
10. 2
2 3
1
x x x x dx 11. 2
1
1 1x x x dx
12. 3
3
1
x 1 dx
13. 2
2
2
-1
x.dx
x
14.
2e
1
7x 2 x 5dx
x
15.
x 2
5
2
dx
x 2
16. 2
2
1
x 1 dx
x x x
ln 17.
2 3
3
6
x dx
x
cos .
sin
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
19.
1 x x
x x
0
e e
e edx
20.
1 x
x x0
e dx
e e
.
21.
2
21
dx
4x 8x
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 30
22.
3
x x
0
dx
e e
ln.
22.
2
0
dx
1 xsin
24. 1
2
1
2x x 1 dx
25.
2
3
0
22x x dx
3
26. 2
2
x x 3 dx
27. 4
2
3
x 4 dx
28. dxxx
2
1
32
11 29.
2
1
3
2 2dx
x
xx
30. e
e
x
dx
1
1
31. 16
1
.dxx
32. dxx
xxe
2
1
752 33. dx
xx
8
13 23
14
2. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
23 2
3
sin xcos xdx
2.
22 3
3
sin xcos xdx
3.
2
0
sin
1 3
xdx
cosx
3.
4
0
tgxdx
4.
4
6
cot gxdx
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
6.
1
2
0
1x x dx 7.
1
2
0
1x x dx
8.
1
3 2
0
1x x dx 9.
1 2
30 1
xdx
x
10.
1
3 2
0
1x x dx 11.
2
31
1
1dx
x x
12.
1
2
0
1
1dx
x 13.
1
2
1
1
2 2dx
x x
14.
1
20
1
1dx
x 15.
1
22
0
1
1 3dx
x
16. 2
sin
4
xe cosxdx
17.
2
4
sincosxe xdx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 31
18.
21
2
0
xe xdx
19.
23 2
3
sin xcos xdx
20.
2sin
4
xe cosxdx
21.
2
4
sincosxe xdx
22.
21
2
0
xe xdx
23. 2
3 2
3
sin xcos xdx
24. 2
2 3
3
sin xcos xdx
25.
2
0
sin
1 3
xdx
cosx
26. 4
0
tgxdx
27. 4
6
cot gxdx
28. 6
0
1 4sin xcosxdx
29.
1
2
0
1x x dx
30.
1
2
0
1x x dx 31.
1
3 2
0
1x x dx
32.
1 2
30 1
xdx
x 33.
1
3 2
0
1x x dx
34.
2
31
1
1dx
x x 35.
1
1 lne
xdx
x
36.
1
sin lne
xdx
x 37.
1
1 3ln lne
x xdx
x
38.
2ln 1
1
e xedx
x
39.
221 ln
ln
e
e
xdx
x x
40.
2
2
1
1 ln
e
e
dxcos x 41.
2
1 1 1
xdx
x
42.
1
0 2 1
xdx
x 43.
1
0
1x x dx
44.
1
0
1
1dx
x x 45.
1
0
1
1dx
x x
46.
3
1
1xdx
x
47.
1
1 lne
xdx
x
48.
1
sin lne
xdx
x 49.
1
1 3ln lne
x xdx
x
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 32
50.
2ln 1
1
e xedx
x
51.
221 ln
ln
e
e
xdx
x x
52.
2
2
1
1 ln
e
e
dxcos x 53.
1
2 3
0
5 x x dx
54. 2
4
0
sin 1 cos x xdx
55.
4
2
0
4 x dx
56.
4
2
0
4 x dx 57.
1
2
01
dx
x
58. dxe x
0
1
32 59.
1
0
dxe x
60.
1
3
0
xdx
2x 1
61.
1
0
xdx
2x 1
62.
1
0
x 1 xdx 63.
1
2
0
4x 11dx
x 5x 6
64.
1
2
0
2x 5dx
x 4x 4
65.
3 3
2
0
xdx
x 2x 1
66.
6
6 6
0
sin x cos x dx 67.32
0
4sin xdx
1 cosx
68.4
2
0
1 sin2xdx
cos x
69.
2
4
0
cos 2xdx
70. 2
6
1 sin2x cos2xdx
sin x cosx
71.
1
x
0
1dx
e 1 .
72. 4
4 4
0
cos x sin x dx
72.
4
0 2sin21
2cos
dxx
x
73.
2
0 13cos2
3sin
dxx
x 74.
2
0 sin25
cos
dxx
x
75.
0
2
2 32
22 dx
xx
x 76.
1
12 52xx
dx
77. 2
3 2
0
cos xsin xdx
78. 2
5
0
cos xdx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 33
79. 4
2
0
sin 4xdx
1 cos x
80.
1
3 2
0
x 1 x dx
81.
2
32
0
sin 2x 1 sin x dx 82. 4
4
0
1dx
cos x
83.
e
1
1 ln xdx
x
84.
4
0
1dx
cosx
85.
e 2
1
1 ln xdx
x
86.
16
5 3
0
x 1 x dx
87. 6
2
0
cosxdx
6 5sin x sin x
88.
3 4
0
tg xdx
cos2x
89. 4
0
cos sin
3 sin2
x xdx
x
90.
2
022 sin4cos
2sin
dxxx
x
91.
5ln
3ln 32 xx ee
dx 92.
2
2
0
sin 2xdx
2 sin x
93. 3
4
ln tgxdx
sin 2x
94.
48
0
1 tg x dx
95.
2
4
2sin1
cossin
dxx
xx 96.
2
0 cos31
sin2sin
dxx
xx
97.
2
0 cos1
cos2sin
dxx
xx 98.
2sin x
0
e cosx cosxdx
99.
2
1 11dx
x
x 100.
e
dxx
xx
1
lnln31
101.
4
0
2
2sin1
sin21
dxx
x 102.
1
2
0
1 x dx
103.
1
2
0
1dx
1 x 104.
1
2
0
1dx
4 x
105.
1
2
0
1dx
x x 1 106.
1
4 2
0
xdx
x x 1
107. 2
0
1
1 cos sin
dx
x x
108.
2
22
2
0
xdx
1 x
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 34
109.
2
2 2
1
x 4 x dx 110.
2
3
2
2
1dx
x x 1
101.
3 2
2
1
9 3xdx
x
112.
1
5
0
1
1
xdx
x
113.
2
2
2
3
1
1
dx
x x 114.
2
0
cos
7 cos2
xdx
x
115.
1 4
6
0
1
1
xdx
x
116.
2
0
cos
1 cos
xdx
x
117.
0
12 22xx
dx 118.
1
0 311 x
dx
119.
2
1 5
1dx
x
xx 120.
8
2
3
1
1
dx
x x
121.
7 3
3 2
0 1
xdx
x 122.
3
5 2
0
1x x dx
123.
ln2
x
0
1dx
e 2 124.
7
3
3
0
1
3 1
xdx
x
125.
2
2 3
0
1x x dx 126.
32
52 4xx
dx
II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1.
3
3
1
lne
xdx
x 2. 1
ln
e
x xdx
3. 1
2
0
ln 1x x dx 4. 2
1
ln
e
x xdx
5.
3
3
1
lne
xdx
x 6. 1
ln
e
x xdx
7. 1
2
0
ln 1x x dx 8. 2
1
ln
e
x xdx
9. 2
0
osx sinxx c dx
10. 1
1ln
e
x xdxx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 35
11. 2
2
1
ln x x dx 12.
32
4
tanx xdx
13.
2
5
1
ln xdx
x 14.
2
0
x cosxdx
15.
1
0
xxe dx 16.
2
x
0
e cosxdx
17. 1
0
3. dxex x 18.
2
0
x 1 cosxdx
19. 6
0
2 x sin3xdx
20. 2
0
2sin.
xdxx
21. e
xdxx1
ln 22. e
2
1
1 x ln x.dx
23. 3
1
.ln.4 dxxx 24. 1
2
0
x.ln 3 x dx
25. 2
2 x
1
x 1 e .dx 26.
0
.cos. dxxx
26. 2
0
2 .cos.
dxxx 27. 2
2
0
x 2x sin x.dx
28.
2
5
1
ln xdx
x 28.
2
2
0
x cos xdx
29.
1
x
0
e sin xdx 30.
2
0
sin xdx
31.
e
2
1
x ln xdx 32. 3
2
0
x sin xdx
cos x
33.2
0
xsin x cos xdx
34.4
2
0
x(2cos x 1)dx
35.
2
2
1
ln 1 x
dx
x
36. 1
22x
0
x 1 e dx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 36
36. e
2
1
x ln x dx 37.
2
0
cosx.ln 1 cosx dx
38.
2
1
ln
1
e
e
xdx
x
39.
1
2
0
xtg xdx
40. 1
2x
0
x 2 e dx 41. 1
2
0
x ln 1 x dx
42. e
dxx
x
1
ln 43.
23
0
x cos x sin xdx
44. 2
0
2x 7 ln x 1 dx 45. 3
2
2
ln x x dx
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
5
3
2 23
12dx
xx
x 2.
b
a
1dx
x a x b
3.
1
0
3
1
1dx
x
xx 4. dx
x
xx
1
0
2
3
1
1
5.
1 2
3
0
xdx
3x 1 6.
1
2 2
0
1dx
x 2 x 3
7.
2 2008
2008
1
1 xdx
x 1 x
8.
0
1
2
23
23
9962dx
xx
xxx
9.
3 4
22
2
xdx
x 1 10.
1 2n 3
n2
0
xdx
1 x
11.
2 2
4 2
1
x 3dx
x x 3x 2
12.
2
4
1
1dx
x 1 x
13.
2
0
24
1dx
x 14.
1
0
41dx
x
x
15. dxxx
2
0
2 22
1 16.
1
32
0
xdx
1 x
17.
4
2
23 2
1dx
xxx 18.
3
2
3
2
23
333dx
xx
xx
19.
2
1
4
2
1
1dx
x
x 20.
1
0
31
1dx
x
21.
1
0
6
456
1
2dx
x
xxx 22.
1
0
2
4
1
2dx
x
x
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 37
23.
1
0
6
4
1
1dx
x
x
24. 1
2
0
4 11
5 6
xdx
x x
25. 1
2
01
dx
x x 26.
3
21
2dx
x
x
27. dxx
x
1
0
31
22 28.
0
1
1212
2dxx
x
x
29. dxxx
x
2
0
12
13 30. dx
x
xx
1
0
2
3
32
31. dxxx
xx
0
1
2
121
1 32. dxx
x
xx
1
0
2
11
22
33.
1
0
2 34xx
dx
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:
1. xdxx 42
0
2 cossin
2. 2
0
32 cossin
xdxx
3. dxxx2
0
54 cossin
4. 2
3 3
0
sin x cos dx
5. 2
0
44 )cos(sin2cos
dxxxx 6. 2
2 2
0
2sin x sin x cosx cos x dx
7. 2
3
sin
1
dxx
8. 2
10 10 4 4
0
sin x cos x cos xsin x dx
9.
2
0cos2
x
dx 10.
2
0sin2
1
dxx
11.
2
0
2
3
cos1
sin
dxx
x 12.
3
6
4 cos.sin
xx
dx
13.
4
0
22 coscossin2sin
xxxx
dx 14.
2
0cos1
cos
dxx
x
15.
2
0cos2
cos
dxx
x 16.
2
0sin2
sin
dxx
x
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 38
17.
2
0
3
cos1
cos
dxx
x 18.
2
01cossin
1
dxxx
19.
2
2
3
cos xdx
1 cos x
20.
2
2
3cos2sin
1cossin
dxxx
xx
21. 4
0
3
xdxtg 22. dxxg4
6
3cot
23. 3
4
4
xdxtg 24.
4
01
1
dxtgx
25. 4
0
dx
cos x cos x4
26.
2
05cos5sin4
6cos7sin
dxxx
xx
27.
2
0
sin1 dxx 28.
4
0 13cos3sin2
xx
dx
29.
4
0
4
3
cos1
sin4
dxx
x 30.
2
0cossin
2sin2cos1
dxxx
xx
31.
2
0cos1
3sin
dxx
x 32.
2
4
sin2sin
xx
dx
33. 4
0
2
3
cos
sin
dxx
x 34.
2
0
32 )sin1(2sin
dxxx
35.
0
sincos dxxx 36. 3
4
3
3 3
sin
sinsin
dxxtgx
xx
37.
2
0cossin1
xx
dx 38.
2
01sin2
x
dx
39. 2
4
53 sincos
xdxx 40.
4
0
2cos1
4sin
x
xdx
41.
2
03sin5
x
dx 42.
6
6
4 cossin
xx
dx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 39
43. 3
6
dx
sin x sin x6
4. 3
4
dx
sin x cos x4
45. 3
4
6
2
cos
sin
x
xdx 46. dxxtgxtg )
6(
3
6
47.
3
3
0
4sin xdx
sin x cosx
48.
0
2
2
sin 2x
2 sin x
49. 2
0
3sin
dxx 50. 2
0
2 cos
xdxx
51.
2
0
12.2sin
dxex x 52. dxex
x x
2
0cos1
sin1
53.
4
6
2cot
4sin3sin
dxxgtgx
xx 54.
2
0
2 6sin5sin
2sin
xx
xdx
55. 2
1
)cos(ln dxx 56. 3
2
6
ln sin xdx
cos x
57. 2
2
0
2x 1 cos xdx
58.
0
2cossin xdxxx
59. 4
0
2
xdxxtg 60.
0
22 sin xdxe x
61. 2
0
3sin cossin2
xdxxe x 62. 4
0
)1ln(
dxtgx
63.
4
2
0
dx
sin x 2cosx
64.
2
2
0
1 sin x cosxdx
1 sin x 2 cos x
65.
2
2
sin 2 sin 7
x xdx
66. 2
4 4
0
cos sin cosx x x dx
67.
23
0
4sin
1 cosx
dxx
68.
2
2
3cos.5cos
xdxx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 40
69.
2
2
2sin.7sin
xdxx 70. 4
0
cos2
sin
xdxx
71. 4
0
2sin
xdx
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
1.
32
52 4xx
dx 2.
2
3
22 1xx
dx
3.
2
1
2
12 5124)32( xxx
dx 4.
2
13 1xx
dx
5.
2
1
2 2008dxx 6.
2
12 2008x
dx
7.
1
0
22 1 dxxx 8. 1
32
0
1 x dx
9.
3
122
2
1
1dx
xx
x 10.
2
2
01
1dx
x
x
11.
1
032 )1( x
dx 12.
2
2
32
0
dx
1 x
13.
1
0
21 dxx 14.
2
2
02
2
1 x
dxx
15.
2
0 2cos7
cos
x
xdx 16.
2
0
2coscossin
dxxxx
17.
2
02cos2
cos
x
xdx 18.
2
0 cos31
sin2sin
dxx
xx
19.
7
03 2
3
1 x
dxx 20.
3
0
23 10 dxxx
21.
1
0 12x
xdx 22.
1
02
3
1xx
dxx
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 41
23.
7
2 112x
dx 24. dxxx
1
0
815 31
25. 2
0
56 3 cossincos1
xdxxx 26.
3ln
0 1xe
dx
27.
1
12 11 xx
dx 28.
2ln
0
2
1x
x
e
dxe
29.
1
4
5
2 8412 dxxx 30.
e
dxx
xx
1
lnln31
31.
3
02
35
1dx
x
xx 32. dxxxx
4
0
23 2
33.
0
1
32 )1( dxxex x 34.
3ln
2ln
2
1ln
lndx
xx
x
35. 3
0
2
2
cos
32cos
2cos
dxx
tgxx
x
36.
ln 2 x
3x
0
e dx
e 1
37.
3
0 2cos2
cos
x
xdx 38.
2
02cos1
cos
x
xdx
39. dxx
x
7
03 3
2 40.
a
dxax
2
0
22
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
1.
1
1
2
21
1dx
xx
2.
4
4
4
357
cos
1
dxx
xxxx
3.
1
x 2
1
dx
1 e 1 x
4.
2
2
2sin4
cos
dxx
xx
5.
1
2
1
2
1 xcos2x ln dx
1 x
6.
2
0
sin sin x nx dx
7. 52
2
sin xdx
1 cos x
8.
tga cot ga
2 21 1
e e
xdx dx1 tga 0
1 x x 1 x
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 42
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
3
3
2 1dxx 2.
2
0
2 34 dxxx
3.
1
0
dxmxx 4.
2
2
sin
dxx
5.
dxxsin1 6. 3
6
22 2cot
dxxgxtg
7. 4
3
4
2sin
dxx 8.
2
0
cos1 dxx
9. 5
2
x 2 x 2 dx
10.
3
0
42 dxx
11.
3
2
3coscoscos
dxxxx 12.
4
2
1
x 3x 2dx
13.
5
3
x 2 x 2 dx 14. 2
2
2
1
2
1x 2dx
x
15.
3
x
0
2 4dx 16. 0
1 cos2xdx
17.
2
0
1 sin xdx
18. dxxx 2
0
2
3. Ứng dụng của tích phân :
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi
a) Đồ thị hàm số 1y x x , trục hoành , đường thẳng x 2 và đường thẳng x 1
b) Đồ thị hàm số xy e 1, trục hoành , đường thẳng x 0và đường thẳng x 1
c) Đồ thị hàm số 3y x 4x , trục hoành , đường thẳng x 2 và đường thẳng x 4
d) Đồ thị hàm số y sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x 2
Bài 2: 2p : y 2x chia hình phẳng giới hạn bơi 2 2x y 8 thành hai phần.Tính diện tích
của mỗi phần.
II. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÕN XOAY.
Bài 1: Cho miền D giới hạn bơi hai đường : 2x x 5 0;x y 3 0 .Tính thể tích khối
tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 43
Bài 2: Cho miền D giới hạn bơi các đường : y x;y 2 x;y 0 . Tính thể tích khối tròn
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bơi hai đường : 2
y x 2 và y 4 .Tính thể tích khối tròn
xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bơi hai đường : 2 2
4 ; 2y x y x . Tính thể tích khối tròn
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bơi các đường : 2
2
1;
1 2
xy y
x
. Tính thể tích khối tròn xoay
được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bơi các đường 2y 2x và y 2x 4 . Tính thể tích khối tròn
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bơi các đường 2y 4x và y x . Tính thể tích khối tròn xoay
được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bơi các đường 1 x
2 2y x .e ; x 0; x 2 . Tính thể tích khối tròn
xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bơi các đường y xlnx ; y 0; x 1; x e . Tính thể tích khối
tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bơi các đường 3y x ln 1 x ; y 0; x 1 . Tính thể tích khối
tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
4. Các bài toán tích phân đề thi CĐ,ĐH các năm.
Bài 1: CĐ Khối A, B – 2005 dxxxI
1
0
23 3. KQ: 6 3 8
5
Bài 2: CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005
3
1 313
3dx
xx
xI KQ: 6ln3 8
Bài 3: CĐ GTVT – 2005 dxxxI
1
0
25 1 KQ: 8
105
Bài 4: CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I–2005: 2
0
3 5sin
xdxeIx KQ:
3
23.e 5
34
Bài 5: CĐ Truyền Hình Khối A – 2005:
4
0
2
2sin1
sin21
dx
x
xI KQ:
1ln 2
2
Bài 6: CĐSP Tp.HCM – 2005:
0
1
2 42xx
dxI KQ:
3
18
Bài 7: CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005: e
dx
x
xI
1
2
ln KQ:
21
e
Bài 8: CĐ Bến Tre – 2005:
2
01sin
3cos
dx
x
xI KQ: 2 3ln2
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 44
Bài 9: CĐSP Sóc Trăng Khối A–2005:
sin xdx
Ix
sin x cosx.cos
2
2 20 2
2
KQ: I ln2
xsin xdx
Jsin x cos x
23
2
02
KQ:3
J
3 4
Bài 10: CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 05: dxxxI sin4
0
2
KQ: 2 4
Bài 11: CĐSP Hà Nội – 2005: dx
x
xxxI
2
0
2
23
4
942 KQ: 6
8
Bài 12: CĐ Tài Chính – 2005 :
1
0
31x
xdxI KQ:
1
8
Bài 13: CĐSP Vĩnh Phúc – 2005:
e
xx
dxI
12ln1
KQ: 6
Bài 14: CĐSP Hà Nội – 2005:
2
0
20042004
2004
cossin
sin
dx
xx
xI KQ:
4
Bài 15: CĐSP KonTum – 2005:
2
0
3
cos1
sin4
dx
x
xI KQ: 2
Bài 16: CĐ KTKT Công Nghiệp II–06: 1
2
0
I x ln 1 x dx KQ:1
ln2
2
Bài 17: CĐ Cơ Khí – Luyện Kim–06: 2
2
1
ln 1 x
I dx
x
KQ:
33ln2 ln3
2
Bài 18: CĐ Nông Lâm – 2006:
1
2
0
I x x 1dx KQ: 2 2 1
3
Bài 19: CĐ Y Tế – 2006 :
2
4
sin x cosxI dx
1 sin2x
KQ: ln 2
Bài 20: CĐSP Hưng Yên-Khối D1-06:
e 3 2
1
ln x 2 ln xI dx
x
KQ: 3 2
33 3 2 2
8
Bài 21: CĐ Sư Phạm Hải Dương –2006:
2
3
0
cos2xI dx
sin x cosx 3
KQ: 1
32
Bài 22: CĐ KTKT Đông Du–06: 4
0
cos2xI dx
1 2sin2x
KQ: 1
ln3
4
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 45
Bài 23: CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 06:
ln2 2x
x
0
eI dx
e 2
KQ: 8
2 3
3
Bài 24: CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 06: 32
0
4sin xI dx
1 cosx
KQ: 2
Bài 25: CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 06: 4
2
0
xI dx
cos x
KQ: 2
ln
4 2
Bài 26: CĐ Sư Phạm Tiền Giang–06:
9
3
1
I x. 1 x dx KQ: 468
7
Bài 27: CĐ Bến Tre – 2006 :
e 3
1
x 1I ln x dx
x
KQ:
3
2e 11
9 18
Bài 28: CĐ y tế I 2006 2
0
2cos12
xdxxI KQ: 2
11
2 4 2
Bài 29: CĐ y tế II 2006
1
0
32 1 dxxexIx
KQ: 2
e 1
4 14
Bài 30: CĐ Xây dựng số 1 – 2006: 2
0
J 2x 7 ln x 1 dx KQ: 24ln3 14
Bài 31: CĐ Xây dựng số 2 – 2006:
2
1
x x 1I dx
x 5
KQ: 32
10 ln3
3
Bài 32: CĐ Xây dựng số 3 – 2006: 1
3
0
I x cos x sin x dx KQ: 5
4
Bài 33: CĐ Kinh tế đối ngoại –06: 4
8
0
I 1 tg x dx
. KQ: 76
105
Bài 34: CĐSP Hưng Yên-Khối A–06:
4
2
3
4x 3I dx
x 3x 2
KQ: 18ln2 7ln3
Bài 35: CĐSP Hưng Yên-Khối B–06:
36
0
sin3x sin 3xI dx
1 cos3x
KQ: 1 1
ln2
6 3
Bài 36: CĐ BC Hoa Sen–Khối A –06: 4
4 4
0
I cos x sin x dx
KQ: 1
2
Bài 37: CĐSP Trung ương – 2006 : 2
0
I sin xsin2xdx
KQ: 2
3
Bài 38: CĐSP Hà Nam – (DB)– 06:
e
2
1
dxI
x 1 ln x
KQ: 4
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 46
Bài 39: CĐKT Y Tế I – 2006:
2
4
sin x cosxI dx
1 sin2x
KQ: ln 2
Bài 40: CĐ Tài Chính Hải Quan–06: 3
4
ln tgx
I dx
sin2x
KQ: 21
ln 3
16
Bài 41: CĐ Kĩ thuật Cao Thắng–06: 2
32
0
I sin2x 1 sin x dx
KQ: 15
4
Bài 42: CĐKT Tp.HCM Khóa II-06:
e
0
ln xI dx
x
KQ: 4 2 e
Bài 43: CĐCN Thực phẩmHCM–06: 1
2
0
1I dx
x 2x 2
KQ:
4
Bài 44: CĐ GTVT – 2007 : cos x
I dxsin x
32
0
4
1
KQ: 2
Bài 45: CĐ Khối A – 2007: I dxx x
20071
2
1
3
1 11 KQ:
2008 2008
3 2
2008
Bài 46: CĐSP Vĩnh Phúc – 2007: I x sin x dx
4
2
1
KQ: 3 2
1
384 32 4
Bài 47: CĐ Thời Trang Tp.HCM–07: dx
Ix x
3
2 2
11
KQ: 3
1
3 12
Bài 48: CĐ Hàng hải – 2007: I x x dx 3
23
1
1 KQ: 14 3
5
Bài 49: CĐ KTKT Thái Bình –07: xI x e x dx
0
2
1
1 KQ: 2
3 31e
4 60
Bài 50: CĐSPTW–2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường có phương trình
2y x 2 ; y x, x 1, x 0 . KQ: 7
6
Bài 51: CĐ Khối A, B, D – 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường
2y x, y x cos x, x 0,x KQ: 2
Bài 52: CĐ Khối A, B, D – 2008: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi parabol
2P : y x 4x và đường thẳng d : y x . KQ: 9
2 (đvdt).
Bài 53: CĐ Khối A, B, D – 2009: 1
2x x
0
I e x e dx KQ:1
2e
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 47
Bài 54: CĐ Khối A, B, D – 2010:
1
0
2x 1dx
x 1
KQ: 2 3ln2
Bài 55: CĐ Khối A, B, D – 2011:
2
1
2x 1I dx.
x x 1
KQ: ln3
Bài 56: ĐH, CĐ Khối A – 2005:
2
0 cos31
sin2sin
dx
x
xxI KQ:
34
27
Bài 57: ĐH, CĐ Khối B – 2005: dx
x
xxI
2
0cos1
cos2sin
KQ: 2ln2 1
Bài 58: ĐH, CĐ Khối D – 2005: 2
0
sin coscos
xdxxeIx KQ: e 1
4
Bài 59: Tham khảo 2005: dx
x
xI
7
03 1
2 KQ:
231
10
Bài 60: Tham khảo 2005: 3
0
2sin
xtgxdxI KQ: 3
ln 2
8
Bài 61: Tham khảo 2005 4
0
sin cos.
dxxetgxIx KQ:
1
2ln 2 e 1
Bài 62: Tham khảo 2005 e
xdxxI
1
2 ln KQ: 32 1
e
9 9
Bài 63: ĐH, CĐ Khối A – 2006: 2
2 2
0
sin2xI dx
cos x 4sin x
KQ: 2
3
Bài 64: ĐH, CĐ Khối B – 2006:
ln5
x x
ln3
dxI
e 2e 3
KQ:
3ln
2
Bài 65: ĐH, CĐ Khối D – 2006: 1
2x
0
I x 2 e dx KQ: 2
5 3e
2
Bài 66: Tham khảo 2006 :
6
2
dxI
2x 1 4x 1
KQ: 3 1
ln
2 12
Bài 67: Tham khảo 2006 : 2
0
I x 1 sin2x dx
KQ: 1
4
Bài 68: Tham khảo 2006: 2
1
I x 2 ln x dx KQ: 5
ln 4
4
Bài 69: Tham khảo 2006 :
10
5
dxI
x 2 x 1
KQ: 2ln2 1
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 48
Bài 70: Tham khảo 2006:
e
1
3 2 ln xI dx
x 1 2 ln x
KQ:
10 112
3 3
Bài 71: ĐH khối A – 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường:
x
y e 1 x, y 1 e x . KQ: 12
e
Bài 72: ĐH khối B – 2007:Cho hình phẳng H giới hạn bơi các đường y xlnx , y 0, y e .
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. KQ: 3
5e 2
27
Bài 73: ĐH khối D – 2007: e
3 2
1
I x ln xdx KQ: 4
5e 1
32
Bài 74: Tham khảo 2007: 4
0
2x 1I dx
1 2x 1
KQ: 2 ln2
Bài 75: Tham khảo 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường
2
x 1 xy 0 và y
x 1
. KQ:
1ln2 1
4 2
Bài 76: Tham khảo 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường
2 2y x và y 2 x . KQ: 1
2 3
Bài 77: Tham khảo 2007: 1
2
0
x x 1
I dx
x 4
KQ: 3
1 ln2 ln3
2
Bài 78: Tham khảo 2007: 2
2
0
I x cosxdx
KQ: 2
2
4
Bài 79: ĐH Khối A – 2008 46
0
tg xI dx
cos2x
KQ: 1 10ln 2 3
2 9 3
Bài 80: ĐH Khối B – 2008
4
0
sin x dx4
Isin 2x 2 1 sin x cosx
KQ: 4 3 2
4
Bài 81: ĐH Khối D – 2008
2
3
1
ln xI dx
x KQ:
3 2ln 2
16
Bài 82: ĐH Khối A – 2009: 2
3 2
0
I cos x 1 cos xdx.
KQ:8
15 4
Bài 83: ĐH Khối B – 2009:
3
2
1
3 ln xI dx.
x 1
KQ:
1 273 ln
4 16
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 49
Bài 84: ĐH Khối D – 2009:
3
x
1
dxI .
e 1
KQ: 2ln e e 1 2
Bài 85: ĐH Khối A – 2010:
1 2 x 2 x
x0
x e 2x eI dx
1 2e
KQ: 1 1 1 2e
ln3 2 3
Bài 86: ĐH Khối B – 2010:
e
2
1
ln xI dx.
x 2 ln x
KQ:
1 3ln
3 2
Bài 87: ĐH Khối D – 2010:
e
1
3I 2x ln xdx.
x
KQ:
2e1
2
Bài 88: ĐH Khối A – 2011: 4
0
sin 1 cosI
sin cos
x x x x
dxx x x
KQ:2
ln 14 2 4
Bài 89: ĐH Khối B – 2011: 3
2
0
1 x sin xI dx.
cos x
KQ: 23 ln 2 3
3
Bài 90: ĐH Khối D – 2011:
4
0
4x 1I dx.
2x 1 2
KQ:
34 310ln
3 5
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 50
CHƢƠNG 4. SỐ PHỨC.
1.Các phép toán đơn giản trên tập số phức.
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a) 4 i 2 i 5 i ; b) 2 2
1 i 1 i ;
c) 3 3
2 i 3 i ; d)3 i 2 i
;1 i i
e)7
7
1 1i ;
2i i
f)
101 i ;
Bài 2: Cho số phức z x iy x, y R .Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức:
a) 2z 2z 4i; b)z i
;iz 1
c)
22z z ;
Bài 3: Bài tìm nghiệm phức của mỗi phương trình:
a)2 i 1 3i
z ;1 i 2 i
b) 1
2 i z i iz 0;2i
c) z 2z 2 4i; d) 2z z 0;
e) 2z z 0; f) 22z z 0;
2.Giải các phƣơng trình trên tập số phức:
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) iz 2 i 0 ; b) 2 3i .z z 1 ;
c) 2 i .z 4 0 ; d) z 2 3i 0 ;
e) 1
2 i .z 3 i . iz 02i
; f) z 2i . z 2i 0 ;
Bài 5: Giải các phương trình sau :
a) 2z z 1 b) 2z 1 3i .z 2 1 i 0
c) 2z 4 0 d) 2z 2z 5 0
Bài 6: Giải phương trình : 1
z kz
với k thứ tự bằng 1; 2 ; 2i .
Bài 7: Giải các phương trình :
a) 3z 1 0 b) 3z i 0
c) 4z 1 0 d) 4z 4 0
Bài 8: Tìm các số thực b,c để phương trình ( ẩn z) : 2z bz c 0 nhận số
phức 0z 1 i làm nghiệm.
Bài 9: Tìm các giá trị thực a, b, c để phương trình : 3 2z az bz c 0 Nhận
1 2z 1 i và z 2 làm nghiệm.
Bài 10: Tìm các số thực a, b để có phân tích : 3 2 22z 9z 14z 5 2z 1 z az b
Rồi giải phương trình : 3 22z 9z 14z 5 0 .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 51
Bài 11: Tìm các số thực a, b để có phân tích :
4 2 2 2z 4z 16z 16 z 2z 4 z az b Rồi giải phương trình:
4 2z 4z 16z 16 0 ;
Bài 12: Giải phương trình : 4 3
2
1z z z 1 0
z bằng cách đặt ẩn phụ
1z
z
Bài 13: Giải các phương trình sau : 2
2 2 2z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0 ;
Bài 14: Tìm số thực a, b để có phân tích :
4 3 2 2 2f z z 4z 7z 16z 12 z 4 z az b .
Từ đó giải phương trình : f z 0
Bài 15: Giải phương trình :
a) 4 3 2z 5z 8z 10z 12 0 . b) z iz 1 2i .
Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 11
z
z i
và
31
z i
z i
.
Bài 17: Tìm số phức z thỏa mãn :
4
1z i
z i
.
4. Các bài toán số phức đề thi CĐ,ĐH các năm.
Bài 1: CĐ khối A, B, D 2009:
a) Cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn 2
1 i 2 i z 8 i 1 2i z. Tìm phần thực và
phần ảo của z
b) Nâng cao: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức : 4z 3 7i
z 2i.z i
Bài 2: CĐ khối A, B, D 2010:
a) Cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
2 3i z 4 i z 1 3i .Tìm phần
thực và phần ảo của z
b) Nâng cao: Giải phương trình 2z 1 i z 6 3i 0 trên tập hợp các số phức
Bài 3: CĐ khối A, B, D 2011:
a) Cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn 2
1 2i z z 4i 20. Tìm môđun của z.
b) Nâng cao: Cho số phức z thỏa mãn 2z 2 1 i z 2i 0. Tìm phần thực và phần ảo của
1.
z
Bài 4: ĐH khối A 2009: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 2z 10 0 .
Tính giá trị của biểu thức 2 2
1 2A z z .
Bài 5: ĐH khối B 2009: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2 i 10 và z.z = 25.
Bài 6: ĐH khối D 2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn cac số
phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 52
Bài 7: ĐH khối A 2010:
a) Cơ bản: Tìm phần thực phần ảo của số phức z: 2
z 2 i 1 2i .
b) Nâng cao: Cho số phức z thỏa mãn :
3
1 3iz .
1 i
Tìm môđun của số phức z iz .
Bài 8: ĐH khối B 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số
phức z thỏa mãn: z i 1 i z .
Bài 9: ĐH khối D 2010: Tìm số phức z thỏa mãn: 2z 2 và z là số thuần ảo
Bài 10: ĐH khối A 2011:
a) Cơ bản: Tìm tất cả các số phức z, biết: 22z z z.
b) Nâng cao: Tính môđun của số phức z, biết: 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i.
Bài 11: ĐH khối B 2011:
a) Cơ bản: Tìm số phức z, biết: 5 i 3
z 1 0z
b) Nâng Cao: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 i 3z .
1 i
Bài 12: ĐH khối D 2011: Tìm số phức z, biết z 2 3i z 1 9i.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 53
PHẦN B: HÌNH HỌC.
CHƢƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
I. THỂ TÍCH TỨ DIỆN – HÌNH CHÓP.
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a .
Tính thể tích của khối chóp theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AC a 2 và
SB a 3 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC.
Bài 3: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC a 3 , mặt bên
SBC là tam giác cân tại S SB SC 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA SB 2a và
hai mặt phẳng SAB và ABCD vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chópS.ABCD .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với mặt
phẳng ABC . Đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM a . Mặt
bên SBC tạo với đáy góc 0
45 và 0
SBA 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC .
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bên SA SB SC a . Góc giữa cạnh bên và
đáy bằng 0
60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 7: Đáy ABCcủa hình chóp SABC là tam giác vuông cân BA BC . Cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 . Cạnh bên SB tạo với một góc 0
60 .
Tính diện tích toàn phần của hình chóp
Bài 8: Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc 0
60 , độ dài các cạnh
đáy là CB 3,CA 4,AB 5 . Tính thể tích V của hình chóp
Bài 9: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a và đôi một vuông góc nhau. Gọi H là trực
tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh OH ABC
b) Chứng minh 2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
c) Tính thể tích khối tứ diện
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc 0 a 5BAD 60 ,SA SC
2 ,
SB SD .Tính thể tích khối chópS.ABCD .
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC a ,
a 3SA SB SC
2 và mặt bên SABhợp với đáy một góc bằng 60
0. Tính thể tích của khối
chóp.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 54
Bài12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ABC ,góc
0ACB 60 ,BC a,SA a 3 . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh SAB SBC .
Tính thể tích khối tứ diện MABC .
Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABCvuông tại B, AB a,BC a 3 . Tam
giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC .
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có SB SC BC CA a . Hai mặt ABC và ASC cùng
vuông góc với SBC . Tính thể tích hình chóp .
Bài 15: Cho hình chóp SABCcó đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SBhợp với đáy một góc 60o.
a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
b) Tính thể tích hình chóp .
Bài 16: Cho hình chóp SABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABCvà SBC hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích hình chóp .
Bài 17: Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCDvà mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60o.
a) Tính thể tích hình chóp SABCD .
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD .
Bài 18: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là
tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD ,
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
b) Tính thể tích khối chóp SABCD .
Bài 19: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác vuông cân tại
D , ABC BCD và AD hợp với BCD một góc o60 .Tính thể tích tứ diện ABCD .
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
BC a . Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một
góc 450 .
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC .
Bài 21: Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh
rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác
đều ABC .Tính thể tích chóp đều S.ABC .
Bài 22: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
a) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
b) Tính thể tích khối chóp SABCD .
Bài 23: Cho khối tứ diện đều ABCDcạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD .
b) Tính thể tích hình chóp MABC .Suy ra khoảng cách từ M đến mp ABC .
Bài 24: Cho tam giác ABCvuông cân ơ A và AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông
góc với mặt phẳng ABC lấy điểm D sao cho CD a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,
cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
b) Chứng minh CE ABD
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 55
Bài 25: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh
BC a 2 và biết A'B 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 26: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D'có cạnh bên bằng 4a và đường chéo của
hình lăng trụ 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Bài 27: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác đều cạnh a 4 và biết
diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 28: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 060 Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .
Bài 29: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
với
BA BC a ,biết A' B hợp với đáy ABCmột góc 6 00 .Tính thể tích lăng trụ
Bài 30: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A
với AC a , góc 0
60ACB biết BC' hợp với AA'C'C một góc 030 . Tính AC' và thể tích
lăng trụ.
Bài 31: Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.và đường
chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 030 . Tính thể tích và tổng diên tích của
các mặt bên của lăng trụ .
Bài 32: Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
0
BAD 60 biết AB' hợp với đáy ABCD một góc o30 .Tính thể tích của hình hộp.
Bài 33: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh
A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 060 . Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’theo a.
Bài 34: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
với
BA BC a ,biết A' BC hợp với đáy ABC một góc 6 00 .Tính thể tích lăng trụ.
Bài 35: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác đều . Mặt A' BC tạo với
đáy một góc 3 00 và diện tích tam giác A' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 36: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng BDC' hợp
với đáy ABCD một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Bài 37: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AA' 2a ; mặt phẳng A' BC hợp với
đáy ABCD một góc 60o và A'C hợp với đáy ABCD một góc o30 .Tính thể tích khối hộp
chữ nhật.
Bài 38: Cho lăng trụ đứng ’ ’ ’ABC.A BC , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC a ,
060ˆ
C , đường chéo BC’ của mặt bên ’ ’BCC B hợp với mặt bên ’ ’ACC A một góc 3 00 .
a) Tính độ dài cạnh ’AC b) Tính thể tích lăng trụ.
Bài 39: Cho lăng trụ xiên tam giác ’ ’ ’ABC.A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết
cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABCmột góc o60 .Tính thể tích lăng trụ.
Bài 40: Cho lăng trụ xiên tam giác ’ ’ ’ABC.A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình
chiếu của A' xuống ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với
đáy ABC một góc o60 .
a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 56
b) Tính thể tích lăng trụ .
Bài 41: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình chữ nhật với AB 3;AD 7. Hai
mặt bên ABB’A’ và ADD’A’ lần lượt tạo với đáy những góc 0 045 và 60.
. Tính thể tích
khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Bài 42: Đáy ABCcủa hình lăng trụ ’ ’ ’ABC.A BC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên
hình lăng trụ và mặt đáy bằng 0
30 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy
ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài 43: Cho hình lăng trụ tam giác ’ ’ ’ABC.A BC có BB’ a , góc giữa đường thẳng BB’ và
mặt phẳng ABC bằng 6 00 ; tam giác ABCvuông tại C và góc 0BAC 60 . Hình chiếu
vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính
thể tích khối tứ diện B’ABC theo a.
Bài 44: Cho hình hộp ’ ’ ’ ’ABCD.A BC D có đáy là hình thoi cạnh a, góc 060
A . Chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.
Cho ’BB a .
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp
II. THỂ TÍCH HÌNH NÓN – HÌNH TRỤ - HÌNH CẦU.
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA 4,OB 3 . Khi quay tam
giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình
nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b)Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ơ đỉnh bằng 0120 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 22 a .Tính thể tích của hình nón
Bài 4: Một hình nón có góc ơ đỉnh bằng 060 và diện tích đáy bằng 9 .Tính thể tích của hình
nón
Bài 5: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng
a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b)Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 060 . Tính diện tích của thiết diện này
Bài 6: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h 20cm , bán kính đáy r 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c)Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
Bài 7: Cắt hình nón đỉnh S bơi mp đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng 2a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 57
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng SBC tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 060 . Tính diện tích tam giác SBC
Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bơi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện được tạo nên
Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h r 3 Cho hai điểm A và B lần lượt nằm
trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 030 . Tính
khoảng cách giữa đường thẳng ABvà trục của hình trụ
Bài 10: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h 50cm .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bơi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy.
Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có DA 5a và vuông góc với mp ABC , ABC vuông tại B và
AB 3a,BC 4a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A,B,C,D,S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a.SA 2a và vuông
góc với mp ABCD .
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A,B,C,D,S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 14: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng o45 .
a) Tính thể tích khối chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ
Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có SA 2a và SA ABC . Tam giác ABCvuông cân tại
B, AB a 2
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
c) Gọi I và H lần lượt là trung điểmSC và SB . Tính thể tích khối chóp S.AIH
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a.
a) Tính thể tích khối lập phương
b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương
c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ và D.C’D’Bbằng nhau.
Bài 18: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 6 00 .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 58
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,SA bằng a và SA vuông góc đáy.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh
của khối nón tạo ra
Bài 20: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy một góc 6 00 .
a) Tính thể tích khối chópS.ABC .
b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
III. Đề thi CĐ,ĐH các năm.
Bài 1: CĐ khối A, B, D 2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
0BAD ABC 90 ,AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với đáy và SA 2a. Gọi M,N
lần lượt là trung điểm của SA,SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích
của khối chóp S.BCNM theo a.
Bài 2: CĐ khối A, B, D 2009: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=a,SA=a 2.Gọi
M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB và CD.Chứng minh rằng đường thằng
MN vuông góc với đường thẳng SP.Tính a thể tích của khối tứ diện AMNP .
Bài 3: CĐ khối A, B, D 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a,mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, SA SB , góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng đáy bằng 045 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD .
Bài 4: CĐ khối A, B, D 2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB a,SA vuông góc với mặt phẳng ABC , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC
bằng 030 .Gọi M là trung điểm của cạnhSC . TÍnh thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
Bài 5: ĐH khối A 2008: Cho lăng trụ ' ' 'ABC.A BC có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB a,AC a 3 và hình chiếu vuông góc với đỉnh 'A trên mặt
phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp 'A .ABC và tính
cosin của góc giữa hai đường thẳng ' ' 'AA ,BC .
Bài 6: ĐH khối B 2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA a,SB a 3 và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB,BC . Tính theo a thể tích của hình chóp S.BMDN và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳngSM,DN .
Bài 7: ĐH khối D 2008: Cho lăng trụ đứng ' ' 'ABC.A BC có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a, cạnh bên 'AA a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích
của khối lăng trụ ' ' 'ABC.A BC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, 'BC.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 59
Bài 8: ĐH khối A 2009: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D;AB AD 2a,CD a; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 600.Gọi I
là trung điểm của cạnh AD.Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt
phẳng ABCD ,Tính thể thích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 9: ĐH khối B 2009: Cho hình lăng trụ tam giác ' ' ' 'ABC.A BC có BB a, góc giữa đường
thẳng 'BB và mặt phẳng ABC bằng 060 ; tam giác ABC vuông tại C và 0BAC 60 .Hình
chiếu vuông góc của điểm 'B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC .
Tính thể tích khối tứ diện 'A ABC theo a.
Bài 10: ĐH khối D 2009: Cho hình lăng trụ đứng ' ' 'ABC.A BC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, ' 'AB a,AA 2a,A C 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' 'A C , I là trung
điểm của AM và 'A C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABCvà khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng IBC .
Bài 11: ĐH khối A 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết
SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 . Tính thể thích khối chóp S.CDNMvà
tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 12: ĐH khối B 2010: Cho hình lăng trụ tam giác đều ' ' 'ABC.A BC có AB = a, góc giữa
hai mặt phẳng 'A BC và ABC bằng 060 .Gọi G là trọng tâm tam giác 'A BC. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Bài 13: ĐH khối D 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA=a; hình chiếu vuông góc từ đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh
AC, AH AC / 4. Gọi CM là đường cao của tam giácSAC . Chứng minh M là trung điểm của
SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 14: ĐH khối A 2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB BC 2a; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng
ABC . Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt
AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 060 . Tính thể tích khối
chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 15: ĐH khối B 2011: Cho hình lăng trụ 1 1 1 1ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ
nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A trên mặt phẳng ABCD trùng
với giao điểm của AC và BD.Góc giữa hai mặt phẳng 1 1ADD A và ABCD bằng 060 .
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm 1B đến mặt phẳng 1A BD theo a.
Bài 16: ĐH khối D 2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, BA 3a,BC 4a; mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết
0SB 2a 3 và SBC 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng SAC theo a.aaaa
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 60
CHƢƠNG 2. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN.
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA
ĐIỂM.
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho a 1; 2;1
, b 2;1;1
, c 2; 3; 4
.Tìm tọa độ các
véctơ
a) u 3a 2b
b) v c 3b
c) w a b 2c
d)3
x a b 2c2
Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho a 1; 1;0
, b 1;1;2
, c 2; 3; 4
a)xác định k để véctơ u 2;2k 1;0
cùng phương với a
b)xác định các số thực m,n,pđể d ma nb pc
c)Tính a , b , a 2b
Bài 3: Cho A 2;5;3 , B 3;7;4 , C x;y;6
a)Tìm x,y để ba điểm A,B,C thẳng hàng
b)Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz .Tính độ dài đoạn AB
c)Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA MB nhỏ nhất
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho 1
a 1; 2;4
, b 2;1;1
, c 3i 2 j 4k
a) Tính các tích vô hướng a.b
, c.b
.Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc
b)Tính Cos a,b
, Cos a,c
Bài 5: Cho A 1; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 ,D 3;0;1 ,E 1;2;3
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
d)Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MB 2MC 0
Bài 6: Cho A 1; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 .
a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB
b)Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC
2.TÍCH CÓ HƢỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG.
Bài 1: Tính tích có hướng u, v
biết rằng
a) 1; 2;1 u , 2;1;1
v b) 1;3;1
u , 0;1;1
v
c) u 4i j
, v i 2 j k
Bài 2: Tính tích u, v .w
biết rằng
a) 1; 2;1 u , 0;1;0
v , w 1;2; 1
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 61
b) 1; 1;1 u , 0;0;2
v , w 1; 2; 1
c) u 4i j
, v i 2 j k
, w 5;1; 1
Bài 3: Cho A 1; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 ,D 1;2;3
a)Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng
b)Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
c)Tính diện tích tam giác ABC
d)Tính thể tích tứ diện ABCD .Biết rằng
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có A 2; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 ,D 1;2; 1 ,S 0;0;7
a)Tính diện tích tam giác SAB
b)Tính diện tích tứ giác ABCD
c)Tính thể tích hình chóp S.ABCD .Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp ABCD
d)Tính khoảng cách từ A đến mp SCD
Bài 12: Cho hình hộp ' ' ' 'ABCD.A BC D . Biết rằng
'A 1;2; 1 ,B 1;1;3 , C 1; 1;2 và D 2; 2; 3
a)Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
b)Tính thể tích hình hộp
c)Tính thể tích tứ diện 'A.A BC . Tính tỉ số ABCD.A' B'C' D'
A.A' B'C'
V
V
d)Tính thể tích khối đa diện 'ABCDD
3.PHƢƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU.
Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu
a) 2 2 2
2 1 2 9 x y z b) 2 2 2 254 5 3 0
4x y z x y z
Bài 2: Cho A 1;3; 7 ,B 5; 1;1 .
a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy .
Bài 3: Cho A 1;1;1 ,B 1;2;1 ,C 1;1;2 ,D 2;2;1
a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ơ câu a) lên các mp Oxy,Oyz
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A 1;2; 4 ,B 1; 3;1 , C 2;2;3 và có tâm
nằm trên mp Oxy
Bài 5: Cho A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D 1;2;1
a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện
b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp ABC theo thiết diện là một đường tròn có bán kính
lớn nhất.
Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình 2 2 2 2x y z 4mx 2my 4z m 4m 0 luôn là
phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 62
Bài 7: Chứng tỏ rằng phương trình 2 2 2 2x y z 2cos .x 2sin .y 4z 4 4sin 0
luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
4.PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
Bài 1: Cho A 1;2;3 ,B 2; 4;3 ,C 4;5;6
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n 1; 1;5
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp
đó là a 1;2; 1 ,b 2; 1;3
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp ABC
Bài 2: Cho A 1;2;1 ,B 1; 4;3 ,C 4; 1; 2
a)Viết phương trình mp đi qua I 2;1;1 và song song với mp ABC
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp P : 2x y 3z 2 0
c)Viết phương trình mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp Q : 2x y 2z 2 0
d)Viết phương trình mp qua A, song song với Oy và vuông góc với
mp R : 3x – y 3z 1 0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
Bài 3: Viết phương trình mp đi qua M 2;1;4 và cắt các trục Ox,Oy,Oz tại các điểm
A,B,C sao cho
OA OB OC
Bài 4: Viết phương trình mp đi qua M 2;2;2 cắt các tia Ox,Oy,Oz tại các điểm A,B,C sao
cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất .
Bài 5: Viết phương trình mp đi qua M 1;1;1 cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lược tại các điểm
A,B,C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC .
Bài 6: Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D 1;2;1 .
a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp ABC
b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Bài 7:Cho mp P : 2x y 2z 2 0 và hai điểm A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 .
a)Tính khoảng cách từ A đến mp P
b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp P một góc có số đo lớn nhất.
c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp P
Bài 8: Cho ba mặt phẳng
: 2x y 2z 1 0; : x 2y z 1 0; : 2x y 2z 3 0
a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều và
c)Tính khoảng cách giữa hai mp và
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 63
d)Tìm quỹ tích các điểm cách một khoảng bằng 1
e)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mp và
Bài 9: Cho hai mặt phẳng : 2x y 2z 1 0; : x 2y z 1 0
a)Tính cosin góc giữa hai mp đó
b)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó.
c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox
Bài 10: Cho mặt phẳng P : 2x y 2z 3 0 và mặt cầu
2 2 2
C : x 1 y 1 z 2 25
a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng P và mặt cầu C cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn
giao tuyến
b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng P
Bài 11: Cho hai mặt phẳng : 2 2 5 0x y z và mặt cầu
2 2 2
C : x 1 y 1 z 2 25
a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với
b)Tính góc giưa mp với Ox
c)Lập phương trình mp đi qua hai A 1;0;1 điểm B 1; 2;2 và hợp với một góc 060
Bài 12: Cho bốn điểm A 1;1;2 ,B 1;2;1 ,C 2;1;1 ,D 1;1; 1
a)Viết phương trình mpABC .
b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng ABC và ABD
Bài 13: Viết phương trình mp đi qua điểm M 2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x y z 4 0 và 3x y z 1 0
Bài 14: Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x 2z 4 0 và x y z 3 0 đồng thời song song với mặt phẳng x y z 0 .
Bài 15: Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
3x y z 2 0 và x 4y 5 0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x y 7 0
Bài 16: Cho hình lập phương ' ' ' 'ABCD.A BC D có cạnh bằng 2.Gọi I,J,K lần lược là trung
điểm các cạnh ' ' ' ' 'BB ,C D và D A .
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng IJK vuông góc với mặt phẳng 'CC K
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng 'JAC và IAC
c)Tính khoảng cách từ I đến mp AJK
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB SA 2a. AD a .Đặt
hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox,Oy,Oz lần lược trùng với các tia AB,AD,AS .
a)Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.
b)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD .
c)Chứng tỏ rằng mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SBC
d)Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC
e)Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 64
Bài 18: Cho tam giác đều ABCcạnh a, I là trung điểm của BC.D là điểm đối xứng với A qua
I.Dựng đoạn 6
SD a2
vuông góc với mp ABC .Chứng minh rằng
a) mp SAB mp SAC
b) mp SBC mp SAD
c)Tính thể tích hình chóp S.ABC
Bài 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng 2P : 2x 2y z m 3m 0
(m là tham số) và mặt cầu 2 2 2
(S) : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm m để mặt phẳng P
tiếpxúc với mặt cầu S .Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của P và S .
5.VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG.
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng , Oxyz cho mặt phẳng
P :2x 2y z 4 0 và mặt cầu 2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0 Chứng minh
rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán
kính của đường tròn đó.
Bài 2: Cho Mặt Cầu 2 2 2S : x y z 2x 6y 15 0 và mặt phẳng
P : x 2y 2z 4 0
a)Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu S
b) Chứng tỏ rằng mp P cắt mặt cầu S theo một đường tròn và tính bán kính r của
đường tròn đó
c) viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với trục Oy,Vuông góc với mặt phẳng(P) và
tiếp xúc với mặt cầu (S)
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
điểm A 3;3;0 ,B 3;0;3 ,C 0;3;3 ,D 3;3;3 .
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D .
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 2;0;0 ,M 0; 3;6 .
a) Chứng minh rằng mặt phẳng P : x 2y 9 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính
M0.Tìm tọa độ tiếp điểm.
b) Viết phương trình mặt phẳng Q chứa A,M và cắt ox,oy tại các điểm tương ứng
B,C sao cho OABCV 3
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2S : x y z 2x 4y 2z 3 0 và mặt phẳng P : 2x y 2z 14 0 .
a) Viết phương trình mặt phẳng Q chứa trục Ox và cắt (S)theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng P
lớn nhất.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 65
6.PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
a)Đi qua A 1;2; 1 và có vectơ chỉ phương là a 1; 2;1
b) đi qua hai điểm I 1;2;1 ,J 1; 4;3 .
c)Đi qua A và song song với đường thẳng x 1 y 2 z 1
2 1 3
d)Đi qua M 1;2;4 và vuông góc với mặt phẳng 3x y z 1 0
Bài 2: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
a)Qua A 3; 1;2 và song song với đường thẳng
x 1 2t
y 3 t
z t
b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x 2 z – 4 0 ; x y z 3 0
c)Qua M 1;1;4 và vuông góc với hai đường thẳng 1
x 1 2t
d : y 3 t
z t
và
2
x 1 y 2 z 1d :
2 1 3
Bài 3: Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D 1;2;1
a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD .
b)Viết phương trình đường thẳng qua I 1;5; 2 và vuông góc với cả hai đường thẳng
AB,CD .
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x 1 y 2 z 1
d :2 1 3
lên các mặt phẳng tọa độ
Bài 5: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng
x 1 2t
d : y 3 t
z t
lên mặt phẳng
P : x y z 3 0
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
'
' '
'
x 1 tx 2t
: y 2 3t ; y 2 t
z 4t z 1 2t
a) Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng và song song với đường thẳng
' .
b) Cho điểm M 2;1;4 tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ' sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 66
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
'
' '
'
x 6 3tx a at
: y 1 t ; y 1 2a at
z t z t
a) Tìm a để hai đường thẳng và ' chéo nhau.
b) Với a 2 ,viết phương trình mặt phẳng P chứa ' và song song với .Tính
khoảng cách giữa và ' khi a 2 .
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai
điểm A 2;0;0 ,B 0;0;8 và AC 0;6;0
.I là trung điểm của BC,tính khoảng cách từ I tới
đường thẳng OA .
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
'
' '
'
x tx t
: y 1 2t ; y 1 2t
z t z 1 3t
a) Chứng minh hai đường thẳng và ' chéo nhau.
b) Viết phương trình tổng qu¸t của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng và song songvới
đường thẳng x 4 y 2 z 3
1 4 2
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm
A 2;1;1 ,B 0; 1;3 và đường thẳng
x 9 2t
d : y 8 3t
z t
a) Viết phương trình mặt phẳng P đi qua trung điểm I của đoạn ABvà vuông góc với
AB
Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . Chứng minh rằng d vuông góc với
IK b) Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng có phương trình x y z 1 0 .
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho điểm A 4; 2;4 và
đường thẳng
x 3 2t
d : y 1 t
z 1 4t
.Viết phương trình đường thẳng 'd qua điểm A,cắt và vuông
góc với đường thẳng d .
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho 2 điểm
A 4; 2; 2 ,B 0;0;7 và đường thẳng x 3 y 6 z 1
2 2 1
. Chứng minh rằng hai đường
thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác
ABCcân tại đỉnh A .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 67
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng x 1 y 3 z 3
d :1 2 1
và mặt phẳng P : 2x y 2z 9 0 .
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng P bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng Viết phương trình tham số
của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng P biết Δ đi qua A và vuông góc với d
Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường
thẳng 'x 1 2t
x y zd : ; d : y t
1 1 2z 1 t
a) Xét vị trí tương đối của 'd và d .
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d và N thuộc d’ sao cho đường thẳng MN song song với
mặt P : x y z 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 .
Bài 15:. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 0;1;2 và hai đường thẳng:
'x 1 t
x y 1 z 1d : ; d : y 1 2t
2 1 1z 2 t
a) Viết phương trình mặt phẳng P qua A , đồng thời song song với 'd và d .
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d, N thuộc d’ sao cho ba điểm A,M, N thẳng hàng
Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và hai đường thẳng:
'x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1
d : và d :2 1 1 1 2 1
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
b) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d và cắt d’.
Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
'x 1 t
x 3 y 1 zd : y 1 t ; d :
1 2 1z 2
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
b) Xác định điểm A trên d và điểm B trên d sao cho đoạn ABcó độ dài nhỏ nhất.
Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 4x 3y 11z 26 0
và hai đường thẳng 'x y 3 z 1 x 4 y z 1
d : ; d :1 2 3 1 1 2
a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trên P , đồng thời Δ cắt cả 'd và d
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 68
7.VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƢỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
GÓC & KHOẢNG CÁCH.
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
a) 'x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2
d : và d :2 1 4 3 2 1
b) 'x 1 y 2 z x y 8 z 4
d : và d :2 2 1 2 3 1
c) 'x 2 y z 1 x 7 y 2 z
d : và d :4 6 8 6 9 12
d)
x 1 2t
d : y 3 t
z t
và 'd là giao tuyến của hai mặt
phẳng : 2x 3y 3z 9 0, : x 2y z 3 0
Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng
nếu có.
a) x 12 y 9 z 1
d : và : 3x 5y z 2 04 3 1
b) x 1 y 3 z
d : và : 3x 3y 2z 5 02 4 3
c) x 9 y 1 z 3
d : và : x 2y 4z 1 08 2 3
Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M 1;2;3 đến các đường thẳng
a) 1
x 12 y 9 z 1d :
4 3 1
b) 2
x 1 2t
d : y 3 t
z t
c) 3d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2x 3y 3z 9 0, : x 2y z 3 0
Bài 4: Cho đường thẳng x 1 y 1 z 3
d : và : x 2y 4z 1 01 2 1
a)Tìm giao điểm giữa d và
b)Viết phương trình mp chứa d và hợp với một góc có số đo lớn nhất .
c)Viết phương trình mp chứa d và hợp với một góc có số đo nhỏ nhất.
Bài 5: Trong không gian cho bốn đường thẳng
1 2 3 4
x 1 y 2 z x 2 y 2 z x y z 1 x 2 y z 1d : ; d : ; d : ; d :
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
,
a) Chứng tỏ rằng 1 2d và d cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng đó
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c) Tính côsin góc giữa 1 3d và d .
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 69
Bài 6: Cho ba điểm A 1;1;1 ,B 1;2;0 ,C 2; 3;2 và mp : x y z 2 0
a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b)Tìm trên mp điểm cách đều 3 điểm A,B,C
c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp
Bài 7: Cho tứ diện ABCD .Biết rằng A 1;1;2 ,B 1;2;1 ,C 2;1;1 ,D 1;1; 1
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp BDC
d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB
e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp BCD
Bài 8: Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M 2; 1;1 qua mp : x y z 2 0
Bài 9: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A 2; 1;5 quađường thẳng x 1 y 2 z 3
1 2 3
Bài 10: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 và mp : x y z 2 0 . Tìm điểm M trên mp sao cho
MA MB nhỏ nhất
Bài 11: A 2;1;1 ,B 1;2; 1 và mp : 2x y z 4 0 . Tìm điểm M trên mp sao
cho MA MB lớn nhất
Bài 12: A 2;1;1 ,B 1;2; 1 và mp : 2x y z 4 0 .Tìm điểm M trên mp sao
cho MA MB
nhỏ nhất .
Bài 13: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 và mp : x y z 2 0 Tìm điểm M trên mp sao cho
2 2MA MB nhỏ nhất
Bài 14: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 ,C 1; 2; 3 và mp : x y z 2 0 Tìm điểm M trên
mp sao cho 2 2 2MA MB MC nhỏ nhất
Bài 15: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 ,C 1; 2; 3 ,D 1;5;1 và mp : x y z 1 0 Tìm điểm
M trên mp sao cho 2 2 2 2MA MB MC MD nhỏ nhất
Bài 16: Cho ba đường thẳng 1 2
x 3tx 1 y 2 z 2
d : và d : y 1 t1 4 3
z 5 t
và 3d là giao
tuyến của hai mặt phẳng : 2x y 4z 3 0, : 2x y z 1 0 . Viết phương trình
song song với 1d cắt cả hai đường thẳng 2 3d và d
Bài 17: Cho hai đường thẳng (d1): 1 2
x 1 2t
d : y t và d
z 3 t
là giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2x y z 1 0, : x 2z 3 0 .Viết phương trình đường thẳng đi qua
A 1; 1;1 cắt cả hai đường thẳng 1 2d và d
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 70
Bài 18: Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp :y 2z 0 và cắt cả hai đường
thẳng.
1 2
x 1 t x 2 t
d : y t và d : y 4 2t
z 4t z 1
Bài 19: Cho hai đường thẳng 'x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z
d : và d :2 3 1 1 5 2
a) Chứng tỏ rằng 'd và d chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
c)Tính góc giữa 'd và d
Bài 20: Cho hai đường thẳng 'x 2 t
x 1 y 2 z 3d : và d : y 1 t
1 2 3z t
a)Chứng tỏ rằng 'd và d chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa 'd và d
Bài 21: Cho hai đường thẳng 1 2
x 1 3t
d : y 2 t và d
z t
là giao tuyến của hai mặt phẳng
: x y z 2 0, : x 1 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A 0;1;1 vuông
góc với đường thẳng 1d và cắt 2d
Bài 22: Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
: x 4y 1 0, : x z 0 .Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M 0;1; 1 vuông góc và cắt đường thẳng d .
Bài 23: Cho hai điểm A 1;1; 5 , B 0;1; 7 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng : y 1, : x z 1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam
giác AMBnhỏ nhất.
8.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A'B'C'D'có A trùng với gốc của hệ toạ
độ, B a;0;0 ,D 0;a;0 ,A' 0;0;b ; a 0,b 0 . Gọi M là trung điểm cạnh CC' .
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b .
b) Xác định tỷ số b
a để hai mặt phẳng A' BD và MBD vuông góc với nhau.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 71
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi , AC cắt BD tại gốc toạ độ O.Biết A 2;0;0 ,B 0;1;0 , S 0;0;2 2 . Gọi M là trung
điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và BM .
b) Giả sử mặt phẳng ABM cắt SD tại N. Tính thể tích hình chópS.ABMN .
Bài 3: Cho hình lập phương ' ' 'ABCD.A'BC D cạnh a.
a) Chứng minh rằng A'C AB' D'
b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo ' ' 'A C và mp ABD đi qua trọng tâm của
tam giác ' 'ABD
c) Tính khoảng cách giữa hai ' ' 'mp ABD và C BD
d) Tính góc tạo bơi hai ' ' 'mp DAC và ABBA
e) Tính thể tích của khối đa diện ' 'ABCA B
Bài 4: Cho hình lập phương ' ' ' 'ABCD.A BC D cạnh a.Các điểm M thuộc 'AD và N thuộc
BD sao cho AM DN k , 0 k a 2
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b)Chứng minh rằng MN luôn song song với ' 'mp A D BC khi k biến thiên.
c)Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của 'AD và BDvà
lúc đó MN song song với AC .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 0BAD 60 và đường
caoSA a .
a) Tính khoảng cách từ O đến mp SBC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Góc giữa đường thẳng SA và mp SCD
e)Gọi M, N lần lược là trung điểm củaSA,SB .TÍnh tỉ số S.MNAB
S.ABCD
V
V
Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SADcạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng CI SB
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD
d) Tính tỉ số I.SAB
S.ABCD
V
V
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng
6a
2.Gọi là mp song song với BC và vuông góc với mp SBC , gọi I là trung điểm của
BC.
a)Tính khoảng cách từ I đến mp
b)Tính góc giữa ABvà
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 72
Bài 8: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
0BAD 60 gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC' . Chứng minh rằng
bốn điểm B',M,D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ
giác B'MDN là hình vuông.
Bài 9: Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng .
Trên lấy hai điểm A, B với AB a . Trong mặt phẳng P lấy điểm C, trong mặt phẳng
Q lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và AC BD AB . Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDvà tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD theo a.
Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật, AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A 2; 1;0 ,B 2; 1;0 ,S 0;0;3
a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB , song song với hai đường
thẳng, AD , SC.
b) Gọi P là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện của
hình chóp với mặt phẳng S.ABCD và mặt phẳng P .
10. Các bài toán đề thi CĐ,ĐH các năm.
Bài 1: CĐ khối A, B, D 2009:
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
1 2P : x 2y 3z 4 0 và P :3x 2y z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua
điểm A 1;1;1 ,vuông góc với hai mặt phẳng 1 2P và P .
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có
A 1;1;0 ,B 0;2;1 và trọng tâm G 0;2; 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
C và vuông góc với mặt phẳng ABC .
Bài 2: CĐ khối A, B, D 2010:
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;3 ,B 1;0;1 và
mặt phẳng P : x y z 4 0 .
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên P
2. Viết phương trình mặt cầu S có bán kính bằng AB
6,có tâm thuộc đường thẳng
AB và S tiếp xúc với P
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z
d :2 1 1
và mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với P .
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng P
Bài 3: CĐ khối A, B, D 201:
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 73
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai điểm A 1;2;3 ,B 1;0; 5 và mặt
phẳng P : 2x y 3z 4 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho ba điểm A,B,M thẳng
hàng.
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 1 z 1d : .
4 3 1
Viết phương trình mặt cầu có tâm I 1;2; 3 và cắt đường thẳng d tại
hai điểm A,B sao cho AB 26.
Bài 4: ĐH khối A 2009:
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 và
mặt cầu 2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0. Chứng minh rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu
S theo một đường tròn.Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P : x 2y 2z 1 0 và hai đường thẳng
1 2
x 1 y z 9 x 1 y 3 z 1: ; : .
1 1 6 2 1 2
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng
P bằng nhau.
Bài 5: ĐH khối B 2009:
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A 1;2;1 ,B 2;1;3 ,C 2; 1;1 và D 0;3;1 .Viết phương trình mặt phẳng P bằng khoảng
cách từ D đến P .
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz., Cho mặt phẳng
P : x 2y 2z 5 0 và hai điểm A 3;0;1 ,B 1; 1;3 . Trong các đường thẳng đi qua A
và song song với P , hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường
thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài 6: ĐH khối D 2009:
a) Cơ bản:
b) Nâng cao:
Bài 7: ĐH khối A 2010:
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A 2;1;0 ,B 1;2;2 ,C 1;1;0 và mặt phẳng P : x y z 20 0. Xác định tọa độ điểm D
thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng P .
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 2 z:
1 1 1
và mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0. Viết phương trình đường thẳng
d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .
Bài 8: ĐH khối B 2010:
a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho các điểm A 1;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c ,
trong đó b,c dương và mặt phẳng P : y z 1 0. Xác định b và c,biết mặt phẳng ABC
vuông góc với mặt phẳng P và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC bằng 1
3.
Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt
GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 74
b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z
: .2 1 2
Xác định
tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ điểm M đến bằng OM.
Bài 9: ĐH khối D 2010:
a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng
P : x y z 3 0 và Q : x y z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng R vuông góc
với P và Q sao cho khoảng cách từ O đến R bằng 2.
b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng
1 2
x 3 tx 2 y 1 z
: y t và : .2 1 2
z t
Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng
cách từ điểm M đến 2 bằng 1.
Bài 10: ĐH khối A 2011:
a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 2;0;1 ,B 0; 2;3
và mặt phẳng P : 2x y z 4 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho
MA MB 3.
b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
2 2 2S : x y z 4x 4y 4z 0 và điểm A 4;4;0 . Viết phương trình mặt phẳng
OAB , biết điểm B thuộc S và tam giác OAB đều.
Bài 11: ĐH khối B 2011:
a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng x 2 y 1 z
:1 2 1
và mặt
phẳng P : x y z 3 0. Gọi I là giao điểm của và P . Tìm tọa độ điểm M thuộc P
sao cho MI vuông góc với và MI=4 14.
b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng
x 2 y 1 z 5 :
1 3 2
và hai điểm A 2;1;1 ,B 3; 1;2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc
đường thẳng sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5.
Bài 12: ĐH khối D 2011:
a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng
x 1 y z 3d : .
2 1 2
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường
thẳng d và cắt trục Ox.
b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng x 1 y 3 z
:2 4 1
và mặt
phẳng P : 2x y 2z 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán
kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P .
“Chúc các em có tiến bộ trong học tập”
-------------- Hết ------------
top related