pemodelan matematika (matematika biologi) · pemodelan matematika (matematika biologi) nuning...

Pemodelan Matematika

(Matematika Biologi)

Nuning Nuraini

KK Matematika Industri & Keuangan

FMIPA - ITB

Mathematical modeling

timro@hydrogen.cchem.berkeley.edu

Can thigh circumference and leg strength

predict vertical jumping ability ?

Thigh average

circumference (cm)

Leg press(lbs) Vertical jump (in)

58.5 220 19.5

50 150 18

59.5 165 22

58 270 19

60.5 200 21

57.5 250 22

49.3 210 29.5

53.6 130 18

58.3 220 20

51 165 20

54.2 190 25

54 165 17

59.5 280 26.5

57.5 190 23

56.25 200 29

http://www.tech.nite.go.jp/human/eng/contents/cmeasurment/circum/thighcircum.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Leg_press

Result

• The correlation was to find a,b,c so that

Jump height = a * (thigh circum) + b * (bench press) + c

And hence, multilinear regression predicts that

the height a male can jump is given by formula

Jump height ~ -.29 * (thigh circum) + .44 * (bench press) +

29.5

Negative ? What is your explanation ?

How to manage 5 patients

with 3 heart transplants?

http://ngm.nationalgeographic.com/2007/02/hearts/hearts-photography

1

2

3

4 5

How

???

Result

• How many ways are there to make a list of

recipients? 10

• How many ways are there to make a list of

the two of the five who must wait for

further donors? 10

• How many list can be made for the

possible recipients in order in which the

surgery will be performed? 60

Introduce… very famous

Lotka-Volterra model Two equilibria

Jacobian matrix

Lotka-Volterra model

Saddle point

a centre

Limit cycle

TUGAS PEMODELAN MATEMATIKA

MA3271

© 2009

Swarna Jayanti S. (10106010)

Fery Santosa (10106013)

Friskalia Juliana S. (10106023)

Yuni Paramita H. (10106072)

Nani Natalia S. (10106100)

Mengapa usaha Keramba Jaring Apung (KJA )berdampak negatif pada kondisi air danau toba?

Apa pengaruh polutan dari usaha KJA terhadap eutrofikasi?

Bagaimana pengaruh cara pemberian pakan pada KJA tersebut terhadap jumlah polutan Nitrogen?

Mencari model pemberian pakan pada KJA yang

meminimumkan jumlah polutan nitrogen yang akan

dihasilkan.

Pakan ikan tidak termakan dan mengendap

Sisa Pakan mengapung di permukaan Air

(Mengandung Phospor dan Nitrogen)

Air danau tercemar dan

beracun

Enceng Gondok menutupi

permukaan air danau

Kadar DO menurun

Volume air danau tetap.

Laju air danau tetap.

Air danau tercampur merata.

Ukuran keramba yang digunakan sama.

Cara pemberian pakan ikan tiap keramba sama.

Jenis pakan ikan yang digunakan sama.

Variabel

• Massa Polutan Nitrogen

Parameter

• Waktu

• Jumlah / Massa pakan ikan

• Jumlah keramba

• Volume danau

o Volume Danau Toba = 2,4 x 10^14 liter

o Jumlah keramba = 6.312 unit

o Jumlah pakan ikan/per keramba/hari 24 kg

o Masa panen ikan tiap 5 bulan sekali

o Mass polutan nitrogen danau toba tahun 2007, m(0) = 62,4 x10^13 mg

o Sisa pakan ikan yang tidak termakan 30% dari jumlah pakan yang diberikan

o Massa polutan Nitrogen yang dihasilkan 69% dari sisa pakan ikan yang tidak termakan

Jumlah pakan yang diberikan/hari

= Jumlah keramba x Jumlah pakan x 3 kali pemberian makan

= 6.312 x 8kg x 3

= 151,488 x 10^9 mg

Sisa pakan yang tidak termakan/hari

= 30% x jumlah pakan yang diberikan/hari

= 30% x 151,488 x 10^9 mg

= 4,54464 x 10^10 mg

Jumlah nitrogen yang dihasilkan per massa panen

= 69% * sisa pakan per masa panen

= 4.703.702,4 kg

Model Matematika Perubahan Massa

Polutan Nitrogen

SOLUSI DENGAN PENDEKATAN MEDAN GRADIEN

SOLUSI DENGAN

PENDEKATAN NUMERIK

SOLUSI DENGAN

PENDEKATAN MEDAN

GRADIEN

SOLUSI DENGAN

PENDEKATAN NUMERIK

Untuk mengurangi laju penambahan jumlah

polutan Nitrogen pada danau Toba,

sebaiknya cara pemberian pakan ikan

diganti menjadi berbentuk step-impuls

modifikasi

Absorpsi Obat dalam Farmakokinetika

Kelompok :

10105003 Dimas Yudha P.

10105005 I Made Teguh A.B.

10105015 Ruly Ardiansyah

10105063 Zulkarnain

10105085 M. Mukhlis A. Pembimbing : Dr. Kuntjoro Adi Sidarto

Latar Belakang

Mengapa kita harus minum obat secara teratur?

Berapa banyak?

Berapa sering?

Berapa lama?

Definisi Farmakokinetika

Proses atau perubahan-

perubahan yang dilakukan tubuh

terhadap obat

Tahapan perjalanan obat

Tujuan

Mengamati fenomena pemberian obat

kepada seseorang, khususnya proses

ABSORPSI obat dan ELIMINASI obat

dalam tubuh sehingga kita dapat

menentukan besarnya dosis dan interval

waktu pemberian obat.

Batasan Masalah

Obat diberikan dalam 2 cara,

• Injeksi Intravena

• Oral

Absorpsi

Absorpsi adalah proses penyerapan

obat ke dalam aliran darah.

Eliminasi

Proses berkurangnya konsentrasi

obat pada aliran sistemik, akibat

metabolisme obat.

Injeksi Intravena

Injeksi Intravena :

melalui suntik langsung

2 kasus : • Dosis Tunggal • Dosis Berulang

Grafik satu kali pemakaian

Grafik pemakaian berulang-ulang

Grafik pemakaian berulang-ulang

Grafik “lupa” minum obat

Model Dosis Tunggal

Keterangan :

C(t) = Konsentrasi Obat

t = waktu

C(t)

t

Model Dosis Tunggal

t=0,

Misalkan ke adalah tetapan kecepatan eliminasi obat,

Model Dosis Tunggal

t=1,

Model Dosis Tunggal

t=2,

Model Dosis tunggal

t=m,

Model Dosis Tunggal

TABEL

Model Dosis Tunggal

Definisikan : Sub satuan waktu=n (m satuan waktu = m.n sub satuan waktu) tetapan eliminasi obat = ke/n

Model Dosis Tunggal

Notasikan variabel waktu dengan t, Perhatikan jika n menuju tak hingga, Maka,

Model Dosis Tunggal

Konsentrasi obat setiap waktu :

Model Dosis Tunggal

Jika ingin dinyatakan dalam konsentrasi obat tiap waktu,

karena

Model Dosis Berulang

Keterangan : C = Konsentrasi Obat

t = Waktu H = Kadar Toksik Minimum Obat

L = Kadar Efektif Minimum Obat

t

C(t)

H

L

Model Dosis Berulang

t=0,

Model Dosis Berulang

t=T, Pemberian dosis berikutnya,

Model Dosis Berulang

t=2T, Pemberian dosis berikutnya,

Model Dosis Berulang

t=nT, Pemberian dosis ke-n,

Model Dosis Berulang

TABEL

Model Dosis Berulang

misalkan

Model Dosis Berulang

Menentukan waktu dosis yang optimal,

atur agar R=L, dan Q0=H-L,

substitusi ke persamaan sebelumnya,

Model Dosis Berulang

Maka didapat persamaan,

Model Dosis Berulang

Untuk L=2, H=6, dan ke=0.047,

maka Q0=H-L=4.

T=23.37472955

HASIL PROGRAM MAPLE Grafik pemberian Obat dengan dosis

berulang diberikan melalui injeksi intravena,

C(t)

L

H

Pemberian Obat Melalui Oral

Oral = mulut 2 kasus :

• Dosis Tunggal • Dosis Berulang

Model Dosis Tunggal

Keterangan :

C(t) = Konsentrasi Obat

t = waktu

C(t)

t

Model Dosis Tunggal

Bateman Equation :

Model Dosis Berulang

Keterangan :

C(t) = Konsentrasi Obat

t = Waktu

C(t)

t

Misalkan

Model Dosis Berulang

Model Dosis Berulang

TABEL

Model Dosis Berulang

Model Dosis Berulang

Atur agar

Model Dosis Berulang

Model Dosis Berulang

Untuk ke=0.047, dan ka=0.5,

L=2, H=6, maka Q0=H-L=4

T=25.47494.694723802

Qmax=4.694723802

HASIL PROGRAM MAPLE

Grafik Pemakaian Obat dengan dosis berulang untuk pemberian melalui oral,

C(t)

H

L

Model Matematika Eksternal dan Internal

Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue

http://www.searo.who.int/EN/Section10/Section332_1102.htm

Diagram Transmisi Model Eksternal

S

V1

V2

I1

I2 Z

V1

V2

Z1

Z2

Y1

Y2

D

Diagram Model Internal

Model Matematika

Model Eksternal Model Internal

Basic Reproduction Ratio

Banyaknya kasus sekunder yang muncul akibat satu kasus satu orang

terinfeksi primer masuk dalam suatu populasi tertutup yang seluruhnya

susceptible. (Diekmann & Heesterbeek, 2000)

Ro = 2 Ro < 1

Titik Kesetimbangan

Model Eksternal Model Internal

Titik kesetimbangan

bebas penyakit

Titik kesetimbangan

bebas virus

Titik kesetimbangan

endemik penyakit

Titik kesetimbangan

endemik virus

Simulasi Numerik Model Internal

0 5 10 150

50

100

150

200

250

t

S

0 5 10 150

10

20

30

40

t

I

0 5 10 150

100

200

300

400

t

V

0 5 10 150

5000

10000

t

Z a = 0.003

a = 0.002

a = 0.001

Simulasi Numerik

Inisialisasi Sistem Peringatan Dini

PETA DAERAH RAWAN DBD PER KECAMATAN

KOTA BANDUNG – MARET 2006

Sukasari 01

Cidadap 05

Coblong 06

Cib.Kaler 09

Cib.Kidul 10

Bdg Wetan

07

Sukajadi

02

Cicendo 03

Sumur Bdg 08

Andir 04

Batununggal

12 Bdg

Kulon 19

Bbk.Ciparay 18

Bj. Kaler

16 Bj.

Kidul 17

Regol 14

Ast.Anyar 15

Bdg.Kidul

26

Lengkong

13

Margacinta

25

Kiaracondong

11

Rancasari

24

Cicadas 20

Arcamanik 21

Ujung Berung

22 Cibiru 23

Prediksi potensi endemik penyakit di suatu daerah berdasarkan parameter-

parameter tertentu

Simulasi prediksi jangka pendek penerapan vaksinasi pada suatu daerah

Inisialisasi Sistem Peringatan Dini

Kesimpulan

Model Eksternal Model Internal

Empat jenis titik

kesetimbangan

Tiga jenis titik

kesetimbangan

Skenario vaksinasi

terbaik dan reduksi nilai

Ro

Ro dengan respon imun

lebih rendah dibanding

tanpa respon imun

Inisialisasi sistem

deteksi dini Dengue

Respon imun yang baik

akan mempercepat

berkurangnya virus dari

dalam tubuh

Masalah yang masih terbuka

• Pengembangan model eksternal dan internal – Struktur usia

– Skenario vaksinasi yang mendekati kenyataan

– Data trombosit

• Model prediksi populasi nyamuk dari data survey telur nyamuk

• Mengembangkan perangkat lunak sistem peringatan dini pencegahan wabah DBD melalui jaringan internet.

Motivasi

• Mempelajari ‘tools’ yang ada pada MK

Matematika untuk digunakan sebagai

bekal membantu ‘menjawab’ tantangan

berbagai masalah di dunia ‘nyata’.